2013-2014学年高中数学(人教A版)选修2-2基础达标 1.3.1 函数的单调性与导数 Word版含解析

第一章 集合与函数概念数学①必修第二章 基本初等函数（I）第三章 函数的应用第一章 空间几何体第二章 点、直线、平面之间的位置关系数学②必修第三章 直线与方程第四章 圆与方程第二章 统计第三章 概率第一章 三角函数第二章 平面向量第四章 圆与方程第一章 算法初步数学③必修数学④必修第二章 数列第三章 不等式第一章 常用逻辑用语第二章 圆锥曲线与方程第三章 导数及其应用第一章 统计案例第三章 三角恒等变换第一章 解三角形数学⑤必修数学选修1-1第二章 推理与证明数学选修1-2第三章 数系的扩充与复数的引入第四章 框图第一章 常用逻辑用语数学选修2-1第二章 圆锥曲线与方程第三章 空间向量与立体几何第一章 导数及其应用数学选修2-2数学选修2-2第二章 推理与证明第三章 数系的扩充与复数的引入第一章 计数原理数学选修2-3第二章 随机变量及其分布第三章 统计案例第一讲 早期的算术与几何第二讲 古希腊数学第三讲 中国古代数学瑰宝第七讲 千古谜题第八讲 对无穷的深入思考第九讲 中国现代数学的开拓与发展第三讲 中国古代数学瑰宝第四讲 平面解析几何的产生第五讲 微积分的诞生第六讲 近代数学两巨星数学选修3-1数学史选讲第一讲 从欧式几何看球面第二讲 球面上的距离和角第三讲 球面上的基本图形第四讲 球面三角形数学选修3-3球面上的几何第五讲 球面三角形的全等第六讲 球面多边形与欧拉公式第七讲 球面三角形的边角关系第八讲 欧式几何与非欧几何第一讲 平面图形的对称群数学选修3-4对称与群第二讲 代数学中的对称与抽象群的概念第三讲 对称与群的故事第一讲　相似三角形的判定及有关性质数学选修4-1几何证明选讲第二讲　直线与圆的位置关系第三讲　圆锥曲线性质的探讨第一讲　线性变换与二阶矩阵数学选修4-2矩阵与变换第二讲　变换的复合与二阶矩阵的乘法第三讲　逆变换与逆矩阵第四讲　变换的不变量与矩阵的特征向量第一讲 坐标系数学选修4-4坐标系与参数方程第四讲　数论在密码中的应用第一讲　优选法第二讲 证明不等式的基本方法第三讲 柯西不等式与排序不等式第四讲 数学归纳法证明不等式第一讲　整数的整除第二讲　同余与同余方程第三讲　一次不定方程第二讲 参数方程第一讲 不等式与绝对值不等式数学选修4-5不等式选讲数学选修4-6初等数论初步第二讲　决策树方法第三讲　风险型决策的敏感性分析第二讲　试验设计初步第一讲　风险与决策的基本概念第四讲　马尔可夫型决策简介数学选修4-7优选法与实验设计初步数学选修4-9风险与决策1.1 集合1.2 函数及其表示1.3 函数的基本性质2.1 指数函数2.2 对数函数2.3 幂函数3.1 函数与方程3.2 函数模型及其应用1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图1.3 空间几何体的表面积与体积2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质3.1 直线的倾斜角与斜率3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式4.1 圆的方程4.2 直线、圆的位置关系4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例2.1 随机抽样2.2 用样本估计总体2.3 变量间的相关关系3.1 随机事件的概率3.2 古典概型3.3 几何概型1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像和性质1.5 函数y=Asin(ωx+ψ)的图像1.6 三角函数模型的简单应用2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.2 平面向量的线性运算2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.4 平面向量的数量积2.5 平面向量应用举例2.5 平面向量应用举例3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.2 简单的三角恒等变换1.1 正弦定理和余弦定理1.2 应用举例1.3 实习作业2.1 数列的概念与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次（组）与简单的线性规划问题3.4 基本不等式√ab≤﹙a+b﹚/21.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑关联词1.4 全称量词与存在量词2.1 椭圆2.2 双曲线2.3 抛物线3.1 变化率与导数3.2 导数的计算3.3 导数在研究函数中的应用3.4 生活中的优化问题举例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算4.1 流程图4.2 结构图1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑关联词1.4 全称量词与存在量词2.1 曲线与方程2.2 椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线3.1 空间向量及其运算3.2 立体几何中的向量方法1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算1.1 分类加法计数原理与分布乘法计数原理1.2 排列与组合1.3 二项式定理2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用一 古埃及的数学二 两河流域的数学三 丰富多彩的记数制度一 希腊数学的先行者二 毕达哥拉斯学派三 欧几里得与《原本》四 数学之神——阿基米德一 《周髀算经》与赵爽弦图二 《九章算术》三 大衍求一术四 中国古代数学家一 坐标思想的早期萌芽二 笛卡尔坐标系三 费马的解析几何思想四 解析几何的进一步发展一 微积分产生的历史背景二 科学巨人牛顿的工作三 莱布尼茨的“微积分”一 分析的化身——欧拉二 数学王子——高斯一 三次、四次方程求根公式的发现二 高次方程可解性问题的解决三 伽罗瓦与群论四 古希腊三大几何问题的解决一 古代的无穷观念二 无穷集合论的创立三 集合论的进一步发展与完善一 中国现代数学发展概观二 人民的数学家——华罗庚三 当代几何大师——陈省身一 平面与球面的位置关系一 平面与球面的位置关系二 直线与球面的位置关系和球幂定理三 球面的对称性一 球面上的距离二 球面上的角一 极与赤道二 球面二角形三 球面三角形一 球面三角形三边之间的关系二 球面“等腰”三角形三 球面三角形的周长四 球面三角形的内角和一 球面多边形及其内角和公式二 简单多面体的欧拉公式三 用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式一 球面上的正弦定理和余弦定理二 用向量方法证明球面上的余弦定理三 从球面上的正弦定理看球面与平面四 球面上余弦定理的应用——求地球上两城市间的距离一 平面几何与球面几何的比较二 欧式平行公理与非欧几何模型——庞加莱模型三 欧式几何与非欧几何的意义一 平面刚体运动二 对称变换三 平面图形的对称群一 n元对称群Sn二 多项式的对称变换三 抽象群的概念一 带饰和面饰二 化学分子的对称群三 晶体的分类四 伽罗瓦理论一 平行线等分线段定理二 平行线分线段成比例定理三 相似三角形的判定及性质四 直角三角形的射影定理一 圆周角定理二 圆内接四边形的性质与判定定理三 圆的切线的性质及判定定理四 弦切角的性质五 与圆有关的比例线段一 平行射影二 平面与圆柱面的截线三 平面与圆锥面的截线一 线性变换与二阶矩阵二 二阶矩阵与平面向量的乘法三 线性变换的基本性质一 复合变换与二阶矩阵的乘法二 矩阵乘法的性质一 逆变换与逆矩阵二 二阶行列式与逆矩阵三 逆矩阵与二元一次方程组一 变换的不变量——矩阵的特征向量二 特征向量的应用一 平面直角坐标系二 极坐标系三 简单曲线的极坐标方程四 柱坐标系与球坐标系简介一 曲线的参数方程一 曲线的参数方程二 圆锥曲线的参数方程三 直线的参数方程四 渐开线与摆线一 不等式二 绝对值不等式一 比较法二 综合法与分析法三 反证法与放缩法一 二维形式的柯西不等式二 一般形式的柯西不等式三 排序不等式一 数学归纳法二 用数学归纳法证明不等式一 整除二 最大公因数与最小公倍数三 算术基本定理一 同余二 剩余类及其运算三 费马小定理和欧拉定理四 一次同余方程五 拉格朗日插值法和孙子定理六 弃九验算法一 二元一次不定方程二 二元一次不定方程的特解三 多元一次不定方程一 信息的加密与去密二 大数分解和公开密钥一 什么叫优选法二 单峰函数三 黄金分割法——0.618法四 分数法五 其他几种常用的优选法五 其他几种常用的优选法六 多因素方法一 正交试验设计法二 正交试验的应用一 风险与决策的的关系二 风险与决策的基本概念一 马尔可夫链简介二 马尔可夫型决策简介三 长期准则下的马尔可夫型决策理论1.1.1 集合的含义与表示1.1.2 集合间的基本关系1.1.3 集合的基本运算1.2.1 函数的概念1.2.2 函数的表示法1.3.1 单调性与最大（小）值1.3.2 奇偶性2.1.1 指数与指数幂的运算2.1.2 指数函数及其性质2.2.1 对数与对数运算2.2.2 对数函数及其性质3.1.1 方程的根与函数的零点3.1.2 用二分法求方程的近似解3.2.1 几类不同增长的函数模型3.2.2 函数模型的应用实例1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征1.1.2 简单组合体的结构特征1.2.1 空间几何体的三视图1.2.2 空间几何体的直观图1.2.3 平行投影与中心投影1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1.3.2 球的体积和表面积2.1.1 平面2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定2.2.3 直线与平面平行的性质2.2.4 平面与平面平行的性质2.3.1 直线与平面垂直的判定2.3.2 平面与平面垂直的判定2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质3.1.1 倾斜角与斜率3.1.2 两条直线平行与垂直的判定3.2.1 直线的点斜式方程3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离4.1.1 圆的标准方程4.1.2 圆的一般方程4.2.1 直线与圆的位置关系4.2.2 圆与圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程的应用4.3.1 空间直角坐标系4.3.2 空间两点间的距离公式1.1.1 算法的概念1.1.2 程序框图1.2.1 输入语句、输出语句和赋值语句1.2.2 条件语句1.2.3 循环语句2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样2.1.3 分层抽样2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3.1 变量之间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关3.1.1 随机事件的概率3.1.2 概率的意义3.1.3 概率的基本性质3.2.1 古典概型3.2.2 整数值随机数（random numbers）的产生3.3.1 几何概型3.3.2 均匀随机数的产生1.1.1 任意角1.1.2 弧度制1.2.1 任意角的三角函数1.2.2 同角三角函数的基本关系1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质1.4.3 正切函数的性质和图像2.1.1 向量的物理背景与概念2.1.2 向量的几何表示2.1.3 相等向量与共线向量2.2.1 向量加法运算及其几何意义2.2.2 向量减法运算及其几何意义2.2.3 向量数乘运算及其几何意义2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算2.3.4 平面向量共线的坐标表示2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例3.1.1 两角差的余弦公式3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式1.1.1 正弦定理1.1.2 余弦定理3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2 简单的线性规划问题1.1.1 命题1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件1.3.1 且（and）1.3.2 或（or）1.3.3 非（not）1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词1.4.3 含有一个量词的命题的否定2.1.1 椭圆及其标准方程2.1.2 椭圆的简单几何性质2.2.1 双曲线及其标准方程2.2.2 双曲线的简单几何性质2.3.1 抛物线及其标准方程2.3.2 抛物线的简单几何性质3.1.1 变化率问题3.1.2 导数的概念3.1.3 导数的几何意义3.2.1 几个常用函数的导数3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则3.3.1 函数的单调性与导数3.3.2 函数的极值与导数3.3.3 函数的最大（小）值与导数2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2.1 综合法和分析法2.2.2 反证法3.1.1 数系的扩充和复数的概念3.1.2 复数的几何意义3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义3.2.2 复数代数形式的乘除运算1.1.1 命题1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件1.3.1 且（and）1.3.2 或（or）1.3.3 非（not）1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词1.4.3 含有一个量词的命题的否定2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程2.2.1 椭圆及其标准方程2.2.2 椭圆的简单几何性质2.3.1 双曲线及其标准方程2.3.2 双曲线的简单几何性质2.4.1 抛物线及其标准方程2.4.2 抛物线的简单几何性质3.1.1 空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数乘运算3.1.3 空间向量的数量积运算3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示3.1.5 空间向量运算的坐标表示1.1.1 变化率问题1.1.2 导数的概念1.1.3 导数的几何意义1.2.1 几个常用函数的导数1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1.3.1 函数的单调性与导数1.3.2 函数的极值与导数1.3.3 函数的最大（小）值与导数1.5.1 曲边梯形的面积1.5.2 汽车行驶的路程1.5.3 定积分的概念1.7.1 定积分在几何中的应用1.7.2 定积分在物理中的应用2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2.1 综合法和分析法2.2.2 反证法3.3.1 数系的扩充和复数的概念3.3.2 复数的几何意义3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义3.2.2 复数代数形式的乘除运算1.2.1 排列1.2.2 组合1.3.1 二项式定理1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质2.1.1 离散型随机变量2.1.2 离散型随机变量的分布列2.2.1 条件概率2.2.2 事件的相互独立性2.2.3 独立重复试验与二项分布2.3.1 离散型随机变量的均值2.3.2 离散型随机变量的方差1. 象形文字中的数字记法2. 纸草书上的数学3. 几何学的诞生1. 楔形文字中的记数法2. 泥板上的代数3. 泥板上的几何1. 中国古代的算筹记数2. 印度——阿拉伯数码3. 其他记数制度1. 毕达哥拉斯2. 勾股定理与勾股形数3. 多边形数4. 不可公度1. 几何大师欧几里得2. 《原本》1. 《九章算术》的重要成就举例2. 《九章算术》的深远影响1. 刘徽与割圆术2. 祖冲之与祖暅1. 牛顿与微积分2. 牛顿的“流数术”1. 数学英雄2. 欧拉的丰功伟绩1. 高斯的故事2. 高斯的学术成就1. 三次、四次方程问题2. 世界上最早的数学竞赛3. 张冠李戴1. 初步的尝试2. 中学生数学家取得的成就1. 伽罗瓦的传奇人生2. 伽罗瓦的群论1. 三大几何问题的由来2. 解决三大几何问题的早起努力3. 三大几何问题的最后解决1. 建立集合理论的最早尝试2. 康托尔的集合论思想3. 不朽的康托尔1. 罗素悖论2. 消除悖论的初步成功1. 奠基阶段2. 发展时期1. 小荷才露尖尖角2. 出类拔萃赴英伦3. 艰苦岁月创辉煌4. 报效祖国攀高峰5. 独具慧眼识英才6. 老骥伏枥志千里1. 少年时代2. 清华岁月3. 留学欧洲4. 抗日烽火5. 定居美国6. 崇高荣誉7. 落叶归根1. 平面与球面相交2. 平面与球面相离3. 平面与球面相切1. 球面三角形2. 三面角3. 对顶三角形4. 球极三角形1. “边边边”（S.S.S）判定定理2. “边角边”（S.A.S）判定定理3. “角边角”（A.S.A）判定定理4. “角角角”（A.A.A）判定定理1. 向量的向量积2. 球面上余弦定理的向量证法1. 平面刚体运动的定义2. 平面刚体运动的性质1. 对称变换的定义2. 正多边形的对称变换3. 对称变换的合成4. 对称变换的性质5. 对称变换的逆变换1. 群的一般概念2. 直积1. 相似三角形的判定2. 相似三角形的性质（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵 1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用1.恒等变换2.旋转变换3.切变变换4.反射变换5.投影变换1. 逆变换与逆矩阵2. 逆矩阵的性质1. 二元一次方程组的矩阵形式2. 逆矩阵与二元一次方程组1. 特征值与特征向量2. 特征值与特征向量的计算1. A^nα的简单表示2. 特征向量在实际问题中的应用1. 平面直角坐标系2. 平面直角坐标系中的伸缩变换1. 极坐标系的概念2. 极坐标和直角坐标的互化1. 圆的极坐标方程2. 直线的极坐标方程1. 柱坐标系2. 球坐标系1. 参数方程的概念2. 圆的的参数方程3. 参数方程和普通方程的互化1. 椭圆的参数方程2. 双曲线的参数方程3. 抛物线的参数方程1. 渐开线2. 摆线1. 不等式的基本性质2. 基本不等式3. 三个正数的算术-几何平均不等式1. 绝对值三角不等式2. 绝对值不等式的解法1. 整除的概念和性质2. 带余除法3. 素数及其判别法1. 最大公因数2. 最小公倍数1. 同余的概念2. 同余的性质1. 一次同余方程2. 大衍求一术1. 黄金分割常数2. 黄金分割法——0.618法1. 分数法2. 分数法的最优性1. 对分法2 盲人爬山法3. 分批试验法4. 多峰的情形1. 纵横对折法和从好点出发法2. 平行线法3. 双因素盲人爬山法1. 正交表2. 正交试验设计3. 试验结果的分析4. 正交表的特性1. 风险（平均损失）2. 平均收益3. 损益矩阵4. 风险型决策1. 马尔可夫性与马尔可夫链2. 转移概率与转移概率矩阵1. 马尔可夫链的平稳分布2. 平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3. 平稳准则的应用案例。

【优化方案】2013-2014学年高中数学 离散型随机变量的方差基础达标（含解析）新人教A 版选修2-31．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D (X甲)＝11，D (X 乙)＝3.4.由此可以估计( )A ．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B ．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C ．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D ．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较解析：选B.∵D (X 甲)>D (X 乙)，∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．2．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝3,6,9.则D (X )等于( ) A ．6 B ．9C ．3D ．4解析：选A.E (X )＝3×13＋6×13＋9×13＝6. D (X )＝(3－6)2×13＋(6－6)2×13＋(9－6)2×13＝6. 3．已知X ～B (n ，p )，且E (X )＝7，D (X )＝6，则p 等于( )A.17B.16C.15D.14解析：选A.∵E (X )＝np ＝7，D (X )＝npq ＝6(其中q ＝1－p )，∴q ＝D (X )E (X )＝67. ∴p ＝1－q ＝17. 4．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是( )A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.6解析：选B.由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以有Y ＝8－X .因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (Y )＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.5．随机变量X 的分布列如下：X 1 2 3 P 0.5 xy若E (X )＝158，则D (X )等于( ) A.732 B.932 C.3364 D.5564 解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧ 1×0.5＋2x ＋3y ＝158，0.5＋x ＋y ＝1，得⎩⎨⎧ x ＝18，y ＝38.所以D (X )＝⎝⎛⎭⎫1－1582×12＋⎝⎛⎭⎫2－1582×18＋⎝⎛⎭⎫3－1582×38＝5564. 6．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X 1，X 2，已知E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，则自动包装机________的质量较好．解析：因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，故乙包装机的质量稳定．答案：乙7．某运动员投篮命中率p ＝0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数ξ的标准差为________，在5次投篮中(假设各次投篮相互之间没有影响)命中次数η的方差是________．解析：依题意知：ξ 服从两点分布，η服从二项分布，即η～B (5,0.8)，所以D (ξ)＝0.8×(1－0.8)＝0.16， 所以D (ξ)＝0.4.D (η)＝5×0.8×(1－0.8)＝0.8.答案：0.4 0.88．一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个题目选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分．某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为________．解析：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X ，所得的分数(成绩)为Y ，则Y ＝4X .由题知X ～B (25,0.6)，所以E (X )＝25×0.6＝15，D (X )＝25×0.6×0.4＝6，E (Y )＝E (4X )＝4E (X )＝60，D (Y )＝D (4X )＝42×D (X )＝16×6＝96，所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96.答案：60,969．A ，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2，根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为在A ，B 12A 和B 所获得的利润，求方差D (Y 1)，D (Y 2)．解：由题设可知Y 1和Y 2的分布列分别为E (Y 1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D (Y 1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；E (Y 2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D (Y 2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.10．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号，(1)求X 的分布列，均值和方差；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，D (Y )＝11，试求a ，b 的值．解：(1)X 的分布列为 故E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5，D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75. (2)由D (Y )＝a 2D (X )，得a 2×2.75＝11，即a ＝±2，又E (Y )＝aE (X )＋b ，故当a ＝2时，由1＝1.5×2＋b ，得b ＝－2；当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.因此，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝4，即为所求．。

人教A版高中数学教材目录(必修+选修)必修1第一章集合与函数概念1.1 集合1.2 函数及其表示1.3 函数的基本性质实习作业小结复习参考题第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数2.2 对数函数2.3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1 函数与方程3.2 函数模型及其应用实习作业小结复习参考题必修2第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图1.3 空间几何体的表面积与体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质小结复习参考题第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式小结复习参考题第四章圆与方程4.1 圆的方程4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系小结复习参考题必修3第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图象与性质1.5 函数y=Asin(ωx+ψ) 的图象1.6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.2 平面向量的线性运算2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.4 平面向量的数量积2.5 平面向量应用举例小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.2 简单的三角恒等变换小结复习参考题必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业小结复习参考题第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列阅读与思考估计根号下2的值2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式2abba+≤小结复习参考题选修1－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分小结复习参考题选修1－2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1 流程图4.2 结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图小结复习参考题选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2 立体几何中的向量方法小结复习参考题选修 2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题选修3-1数学史选讲第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身学习总结报告选修3-3球面上的几何第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性思考题第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角思考题第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1.球面三角形2.三面角3.对顶三角形4.球极三角形思考题第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和思考题第五讲球面三角形的全等1.“边边边”(s.s.s)判定定理2.“边角边”(s.a.s.)判定定理3.“角边角”(a.s.a.)判定定理4.“角角角”(a.a.a.)判定定理思考题第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式思考题第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1.向量的向量积2.球面上余弦定理的向量证法三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离思考题第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史学习总结报告选修3-4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1.平面刚体运动的定义2.平面刚体运动的性质思考题二对称变换1.对称变换的定义2.正多边形的对称变换3.对称变换的合成4.对称变换的性质5.对称变换的逆变换思考题三平面图形的对称群思考题第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1.群的一般概念2.直积思考题第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论学习总结报告附录一附录二选修4-1 几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1.相似三角形的判定2.相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线学习总结报告选修 4-2矩阵与变换第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组探究与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａnα的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用学习总结报告选修4-4 坐标系与参数方程引言第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线学习总结报告选修4-5 不等式选讲引言第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲证明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式阅读与思考法国科学家柯西二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式学习总结报告选修4-6 初等数论初步引言第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程1.一次同余方程2.大衍求一术五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数论在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7 优选法与试验设计初步引言第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用学习总结报告附录一、附录二、附录三选修4-9 风险与决策引言第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例学习总结报告附录。

1．分析法是从要证的结论出发，逐步寻求结论成立的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．等价条件解析：选A.由分析法的要求知，应逐步寻求结论成立的充分条件．2．要证明3＋7＜25可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )A ．综合法B ．分析法C ．类比法D ．归纳法解析：选B.从数据来看宜用分析法．3．对于不重合的直线m ，l 和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是( )A ．m ⊥l ，m ∥α，l ∥βB ．m ⊥l ，α∩β＝m ，l ⊂αC ．m ∥l ，m ⊥α，l ⊥βD ．m ∥l ，l ⊥β，m ⊂α解析：选D.A ：与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；B ：平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不能确定；C ：这两个平面有可能平行或重合；D ：是成立的，故选D.4．已知a 、b 是不相等的正数，x ＝a ＋b 2，y ＝a ＋b ，则x 、y 的关系是( ) A ．x ＞y B ．x ＜yC ．x ＞2yD ．不确定解析：选B.∵x ＞0，y ＞0，要比较x ，y 的大小，只需比较x 2，y 2的大小，即比较a ＋b ＋2ab 2与a ＋b 的大小，∴a 、b 为不相等的正数， ∴2ab ＜a ＋b .∴a ＋b ＋2ab 2＜a ＋b ， 即x 2＜y 2，∴x ＜y .5．(2013·张家口高二检测)分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac ＜3a ”索的因应是( )A ．a －b ＞0B ．a －c ＞0C ．(a －b )(a －c )＞0D ．(a －b ) (a －c )＜0解析：选C.要证明b 2－ac ＜3a ，只需证b 2－ac ＜3a 2，只需证(a ＋c )2－ac ＜3a 2，只需证－2a 2＋ac ＋c 2＜0，即证2a 2－ac －c 2＞0，即证(a －c )(2a ＋c )＞0，即证(a －c )(a －b )＞0.6．(2013·福州高二检测)已知关于x 的方程x 2＋(k －3)x ＋k 2＝0的一根小于1，另一根大于1，则k 的取值范围是________．解析：令f (x )＝x 2＋(k －3)x ＋k 2，则由题意知f (1)＜0，即12＋(k －3)×1＋k 2＜0，则得－2＜k ＜1.答案：(－2,1)7．(2013·济南高二检测)如果x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝2，则x ＋y 的最小值为________． 解析：由x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝2，得2－(x ＋y )＝xy ≤(x ＋y 2)2， ∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0，∴x ＋y ≥23－2或x ＋y ≤－2－23，∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y 的最小值为23－2.答案：23－28．命题“若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0”，则cos(α－β)等于________．解析：条件变为sin α＋sin β＝－sin γ，cos α＋cos β＝－cos γ，两式平方相加可推得结论cos(α－β)＝－12. 答案：－129．设函数f (x )对于定义域R 内任意实数都有f (x )≠0，且f (x ＋y )＝f (x )·f (y )成立． 求证：对于定义域内的任意x 都有f (x )＞0.证明：∵f (x )在定义域R 上任意实数都有f (x )≠0且f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，∴对于任意x ∈R ，有f (x )＝f (x 2＋x 2)＝f (x 2)f (x 2)＝f 2(x 2)＞0， 故有f (x )＞0.10．设a ，b ，c 均为大于1的正数，且ab ＝10.求证log a c ＋log b c ≥4lg c .证明：由于a ＞1，b ＞1，故要证明log a c ＋log b c ≥4lg c ，只要证明lg c lg a ＋lg c lg b≥4lg c ．又c ＞1，lg c ＞0，所以只要证明1lg a ＋1lg b ≥4，即lg a ＋lg b lg a lg b≥4. 因为ab ＝10，所以lg a ＋lg b ＝1，故只要证明1lg a lg b≥4，① 由于a ＞1，b ＞1，所以lg a ＞0，lg b ＞0，所以0＜lg a lg b ≤(lg a ＋lg b 2)2＝14，。

人教A版高中数学目录必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图 1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.2应用举例1.3实习作业第二章数列2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2简单的线性规划问题3.4基本不等式选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.2双曲线2.3抛物线第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用3.4生活中的优化问题举例选修1-2第一章统计案例1．1回归分析的基本思想及其初步应用1．2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明2．2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充和复数的概念3．2复数代数形式的四则运算第四章框图4．1流程图4．2结构图选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆2.3双曲线2.4抛物线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.2立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3导数在研究函数中的应用1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2排列与组合1.3二项式定理第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用选修3-1第一讲早期的算术与几何第二讲古希腊数学第三讲中国古代数学瑰宝第四讲平面解析几何的产生五讲微积分的诞生第六讲近代数学两巨星第七讲千古谜题第八讲对无穷的深入思考第九讲中国现代数学的开拓与发展选修3-2选修3-3第一讲从欧氏几何看球面第二讲球面上的距离和角第三讲球面上的基本图形第四讲球面三角形第五讲球面三角形的全等第六讲球面多边形与欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系第八讲欧氏几何与非欧几何选修3-4第一讲平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念第三讲对称与群的故事选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质第二讲直线与圆的位置关系第三讲圆锥曲线性质的探讨选修4-2第一讲线性变换与二阶矩阵第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法第三讲逆变换与逆矩阵第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量选修4-3选修4-4第一讲坐标系第二讲参数方程选修4-5第一讲不等式和绝对值不等式第二讲证明不等式的基本方法第三讲柯西不等式与排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式选修4-6第一讲整数的整除第二讲同余与同余方程第三讲一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用选修4-7第一讲优选法第二讲试验设计初步选修4-8选修4-9第一讲风险与决策的基本概念第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介高中人教版（B）教材目录介绍必修一第一章集合1．1 集合与集合的表示方法1．2 集合之间的关系与运算第二章函数2．1 函数2．2 一次函数和二次函数2．3 函数的应用（Ⅰ）2．4 函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3．1 指数与指数函数3．2 对数与对数函数3．3 幂函数3．4 函数的应用（Ⅱ）必修二第一章立体几何初步1．1 空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2．1 平面真角坐标系中的基本公式 2．2 直线方程2．3 圆的方程2．4 空间直角坐标系必修三第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量的相关性第三章概率3．1 随机现象3．2 古典概型3．3 随机数的含义与应用3．4 概率的应用必修四第一章基本初等函(Ⅱ)1．1 任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的图象与性质第二章平面向量2．1 向量的线性运算2．2 向量的分解与向量的坐标运算2．3 平面向量的数量积2．4 向量的应用第三章三角恒等变换3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式3．3 三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解直角三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例第二章数列2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 均值不等式3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题与量词1．2 基本逻辑联结词1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线第三章导数及其应用3．1 导数3．2 导数的运算3．3 导数的应用选修1－2第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2 基本不等式1．3 绝对值不等式的解法1．4 绝对值的三角不等式1．5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2 排序不等式2．3 平均值不等式(选学)2．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1 数学归纳法原理3．2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式。

1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[学习目标]1．能根据定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．[知识链接]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数y＝f(x)的导数？答(1)计算ΔyΔx，并化简；(2)观察当Δx趋近于0时，ΔyΔx趋近于哪个定值；(3)ΔyΔx趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数．[预习导引]1．几个常用函数的导数2．基本初等函数的导数公式要点一利用导数定义求函数的导数例1用导数的定义求函数f(x)＝2 013x2的导数．解f′(x)＝limΔx→02 013(x＋Δx)2－2 013x2x＋Δx－x＝limΔx→02 013[x2＋2x·Δx＋(Δx)2]－2 013x2Δx＝limΔx→04 026x·Δx＋2 013(Δx)2Δx＝limΔx→0(4 026x＋2 013Δx)＝4 026x.规律方法 解答此类问题，应注意以下几条： (1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤． (2)当Δx 趋于0时，k ·Δx (k ∈R )、(Δx )n (n ∈N *)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用． 跟踪演练1 用导数的定义求函数y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)的导数． 解 y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋b －(x 2＋ax ＋b )Δx ＝lim Δx →0 x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2＋ax ＋a ·Δx ＋b －x 2－ax －b Δx ＝lim Δx →0 2x ·Δx ＋a ·Δx ＋(Δx )2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋a ＋Δx )＝2x ＋a . 要点二 利用导数公式求函数的导数 例2 求下列函数的导数(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0； (2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5； (3)y ′＝(x －3)′＝－3x －4；(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫4x 3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 34′＝34x －14＝344x ； (5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.规律方法 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．跟踪演练2 求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13x .解 (1)y ′＝8x 7；(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xln 2；(3)∵y ＝x x ＝x 32，∴y ′＝32x 12； (4) y ′＝1x ln 13＝－1x ln 3.要点三 利用导数公式求曲线的切线方程例3 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程．解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率是：y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23， 故所求的直线方程为y －12＝－23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即2x ＋3y －32－π3＝0.规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键．跟踪演练3 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解 ∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0，又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，∴k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.1．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( )A ．0B ．2xC ．6D ．9答案 C解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B ．0 C ．12xD ．32答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x，∴f ′(3)＝123＝36. 3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π)C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∵k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1， ∴αl ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2.1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ， 所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.一、基础达标1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 ①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0.①错．②③④正确．2．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B. 3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 答案 A解析 f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，a ＝4.4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线．5．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是________．答案 x ＋y －6＝0解析 ∵y ′＝－9x 2，∴y ′|x ＝3＝－1， ∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为： y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0.6．若曲线y ＝x －12在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________. 答案 64解析 ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线斜率k ＝－12a －32，∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )． 令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a . ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64. 7．求下列函数的导数：(1) y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4； (4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫5x 3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2. (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5.(3)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x 2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. 二、能力提升8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1e C ．－e D ．e答案 D解析y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝kx 0y 0＝e x 0k ＝e x 0.∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.9．曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝________. 答案 1解析 y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a ＝1，∴a ＝1.10．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x 的最小距离为________． 答案 22 解析根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图．则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即y ′|x ＝x 0＝1.∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为22.11．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值． 解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1， 由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0， 即sin x ≥1，但sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .12．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离． 解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 三、探究与创新13．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，试求f 2 014(x )．解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…，f n＋4(x)＝f n(x)，可知周期为4，∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x．1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)[学习目标]1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．3．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．[知识链接]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则．[预习导引]1．导数运算法则2．复合函数的求导法则要点一 利用导数的运算法则求函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1) y ＝x 3－2x ＋3； (2)y ＝(x 2＋1)(x －1)； (3)y ＝3x －lg x .解 (1)y ′＝(x 3)′－(2x )′＋3′＝3x 2－2. (2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1， ∴y ′＝(x 3)′－(x 2)′＋x ′－1′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x －lg x 是函数f (x )＝3x 与函数g (x )＝lg x 的差．由导数公式表分别得出f ′(x )＝3x ln 3，g ′(x )＝1x ln 10，利用函数差的求导法则可得 (3x －lg x )′＝f ′(x )－g ′(x )＝3x ln 3－1x ln 10. 规律方法 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数． 跟踪演练1 求下列函数的导数： (1)y ＝5－4x 3；(2)y ＝3x 2＋x cos x ；(3)y＝e x·ln x；(4)y＝lg x－1 x2.解(1)y′＝－12x2；(2)y′＝(3x2＋x cos x)′＝6x＋cos x－x sin x；(3)y′＝e xx＋ex·ln x；(4)y′＝1x ln 10＋2x3.要点二求复合函数的导数例2求下列函数的导数：(1)y＝ln(x＋2)；(2)y＝(1＋sin x)2；解(1)y＝ln u，u＝x＋2∴y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(x＋2)′＝1u·1＝1x＋2.(2)y＝u2，u＝1＋sin x，∴y x′＝y u′·u x′＝(u2)′·(1＋sin x)′＝2u·cos x＝2cos x(1＋sin x)．规律方法应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：(1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导．(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．(4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤．跟踪演练2(1)y＝e2x＋1；(2)y＝(x－2)2.解(1)y＝e u，u＝2x＋1，∴y′x＝y′u·u′x＝(e u)′·(2x＋1)′＝2e u＝2e2x＋1.(2)法一∵y＝(x－2)2＝x－4x＋4，∴y′＝x′－(4x)′＋4′＝1－4×12x－12＝1－2x.法二 令u ＝x －2，则y x ′＝y u ′·u x ′＝2(x －2)·(x －2)′＝ 2(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12·1x －0＝1－2x .要点三 导数的应用例3 求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程． 解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为 k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0) ① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0 ②又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)． 即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.规律方法 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解． 跟踪演练3 已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度． 解 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ， ∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327 m/s.1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 答案 D解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ， ∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x . 2．函数y ＝cos x1－x的导数是( ) A.－sin x ＋x sin x(1－x )2B．x sin x －sin x －cos x(1－x )2C ．cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2D．cos x －sin x ＋x sin x1－x答案 C解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2.3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2答案 A解析∵y′＝x′(x＋2)－x(x＋2)′(x＋2)2＝2(x＋2)2，∴k＝y′|x＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.4．直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.答案ln 2－1解析设切点为(x0，y0)，∵y′＝1x，∴12＝1x0，∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b，∴b＝ln 2－1.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础达标1．设y＝－2e x sin x，则y′等于()A．－2e x cos x B．－2e x sin xC．2e x sin x D．－2e x(sin x＋cos x)答案D解析y′＝－2(e x sin x＋e x cos x)＝－2e x(sin x＋cos x)．2．当函数y＝x2＋a2x(a>0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0＝()A．a B．±aC ．－aD ．a 2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B ．12 C ．－12 D ．－2答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1) C ．(2,8) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18答案 B解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1， 则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________． 答案 4解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ， f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________. 答案 1解析 由于f ′(0)是一常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0， ∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1. 7．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝x －sin x 2cos x2.解 (1)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9.法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3， ∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9. (2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .二、能力提升8．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B ．12 C ．－22 D ．22答案 B解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故y ′|x ＝π4＝12，∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.9．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)答案 D解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1，设t ＝e x∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t ＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π)．10．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2解析 令t ＝e x ，则x ＝ln t ，所以函数为f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x ＋1，即f ′(1)＝11＋1＝2.11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解 点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3.当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0； 当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27， 则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程． 解 设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3， ∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16， 又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16， 即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0. 三、探究与创新13．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． (1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12， ①又f ′(x )＝a ＋bx 2， ∴f ′(2)＝74， ② 由①，②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12a ＋b 4＝74.解之得⎩⎨⎧a ＝1b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知 曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)． 所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.1．2导数的计算1．2.1几个常用函数的导数1．2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[学习目标]1．能根据定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．[知识链接]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数y＝f(x)的导数？答(1)计算ΔyΔx，并化简；(2)观察当Δx趋近于0时，ΔyΔx趋近于哪个定值；(3)ΔyΔx趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数．[预习导引]1．几个常用函数的导数2．基本初等函数的导数公式要点一利用导数定义求函数的导数例1用导数的定义求函数f(x)＝2 013x2的导数．解f′(x)＝limΔx→02 013(x＋Δx)2－2 013x2x＋Δx－x＝limΔx→02 013[x2＋2x·Δx＋(Δx)2]－2 013x2Δx＝limΔx→04 026x·Δx＋2 013(Δx)2Δx＝lim Δx →0 (4 026x ＋2 013Δx ) ＝4 026x .规律方法 解答此类问题，应注意以下几条： (1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤． (2)当Δx 趋于0时，k ·Δx (k ∈R )、(Δx )n (n ∈N *)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用． 跟踪演练1 用导数的定义求函数y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)的导数． 解 y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋b －(x 2＋ax ＋b )Δx ＝lim Δx →0 x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2＋ax ＋a ·Δx ＋b －x 2－ax －b Δx ＝lim Δx →0 2x ·Δx ＋a ·Δx ＋(Δx )2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋a ＋Δx )＝2x ＋a . 要点二 利用导数公式求函数的导数 例2 求下列函数的导数(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0； (2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5； (3)y ′＝(x －3)′＝－3x －4；(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫4x 3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 34′＝34x －14＝344x ； (5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.规律方法 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．跟踪演练2 求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13x .解 (1)y ′＝8x 7；(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xln 2；(3)∵y ＝x x ＝x 32，∴y ′＝32x 12； (4) y ′＝1x ln 13＝－1x ln 3.要点三 利用导数公式求曲线的切线方程例3 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程．解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率是：y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23， 故所求的直线方程为y －12＝－23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即2x ＋3y －32－π3＝0.规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键．跟踪演练3 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解 ∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0， 又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ， ∴k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.1．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ．6 D ．9答案 C解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B ．0 C ．12xD ．32 答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x，∴f ′(3)＝123＝36. 3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π)C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∵k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1， ∴αl ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1.∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2.1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ， 所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.一、基础达标1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 ①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0.①错．②③④正确．2．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B.3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( )A ．4B ．－4C ．5D ．－5答案 A解析 f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，a ＝4. 4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线．5．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是________． 答案 x ＋y －6＝0解析 ∵y ′＝－9x 2，∴y ′|x ＝3＝－1， ∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为： y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0.6．若曲线y ＝x －12在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________. 答案 64解析 ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线斜率k ＝－12a －32，∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )． 令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a . ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64.7．求下列函数的导数：(1) y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4；(4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫5x 3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5.(3)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x 2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. 二、能力提升8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1e C ．－e D ．e答案 D解析y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝kx 0y 0＝e x 0k ＝e x 0.∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.9．曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝________. 答案 1解析 y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a ＝1，∴a ＝1.10．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x 的最小距离为________．答案 22 解析根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图．则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即y ′|x ＝x 0＝1.∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为22.11．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值． 解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1， 由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0， 即sin x ≥1，但sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .12．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离． 解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 三、探究与创新13．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2 014(x)．解f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…，f n＋4(x)＝f n(x)，可知周期为4，∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x．1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)[学习目标]1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．3．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．[知识链接]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则．[预习导引]1．导数运算法则2．复合函数的求导法则要点一 利用导数的运算法则求函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1) y ＝x 3－2x ＋3； (2)y ＝(x 2＋1)(x －1)； (3)y ＝3x －lg x .解 (1)y ′＝(x 3)′－(2x )′＋3′＝3x 2－2. (2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1， ∴y ′＝(x 3)′－(x 2)′＋x ′－1′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x －lg x 是函数f (x )＝3x 与函数g (x )＝lg x 的差．由导数公式表分别得出f ′(x )＝3x ln 3，g ′(x )＝1x ln 10，利用函数差的求导法则可得 (3x －lg x )′＝f ′(x )－g ′(x )＝3x ln 3－1x ln 10.规律方法 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数． 跟踪演练1 求下列函数的导数：(1)y＝5－4x3；(2)y＝3x2＋x cos x；(3)y＝e x·ln x；(4)y＝lg x－1 x2.解(1)y′＝－12x2；(2)y′＝(3x2＋x cos x)′＝6x＋cos x－x sin x；(3)y′＝e xx＋ex·ln x；(4)y′＝1x ln 10＋2x3.要点二求复合函数的导数例2求下列函数的导数：(1)y＝ln(x＋2)；(2)y＝(1＋sin x)2；解(1)y＝ln u，u＝x＋2∴y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(x＋2)′＝1u·1＝1x＋2.(2)y＝u2，u＝1＋sin x，∴y x′＝y u′·u x′＝(u2)′·(1＋sin x)′＝2u·cos x＝2cos x(1＋sin x)．规律方法应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：(1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导．(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．(4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤．跟踪演练2(1)y＝e2x＋1；(2)y＝(x－2)2.解(1)y＝e u，u＝2x＋1，∴y′x＝y′u·u′x＝(e u)′·(2x＋1)′＝2e u＝2e2x＋1.(2)法一∵y＝(x－2)2＝x－4x＋4，∴y′＝x′－(4x)′＋4′＝1－4×12x －12＝1－2x .法二 令u ＝x －2，则y x ′＝y u ′·u x ′＝2(x －2)·(x －2)′＝ 2(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12·1x －0＝1－2x .要点三 导数的应用例3 求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程． 解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为 k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0) ① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0 ②又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)． 即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.规律方法 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解． 跟踪演练3 已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度． 解 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ， ∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327 m/s.1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 答案 D解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ， ∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x . 2．函数y ＝cos x1－x的导数是( ) A.－sin x ＋x sin x(1－x )2B．x sin x －sin x －cos x(1－x )2C ．cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2D．cos x －sin x ＋x sin x1－x答案 C解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2.3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2答案A解析∵y′＝x′(x＋2)－x(x＋2)′(x＋2)2＝2(x＋2)2，∴k＝y′|x＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.4．直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.答案ln 2－1解析设切点为(x0，y0)，∵y′＝1x，∴12＝1x0，∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b，∴b＝ln 2－1.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础达标1．设y＝－2e x sin x，则y′等于()A．－2e x cos x B．－2e x sin xC．2e x sin x D．－2e x(sin x＋cos x)答案D解析y′＝－2(e x sin x＋e x cos x)＝－2e x(sin x＋cos x)．2．当函数y＝x2＋a2x(a>0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0＝()A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B ．12C ．－12D ．－2答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1) C ．(2,8) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18答案 B解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1， 则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________． 答案 4解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ， f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________. 答案 1解析 由于f ′(0)是一常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)， 令x ＝0，则f ′(0)＝0， ∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1. 7．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝x －sin x 2cos x2.解 (1)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9.法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3， ∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9. (2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .二、能力提升8．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B ．12 C ．－22 D ．22答案 B 解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故y ′|x ＝π4＝12，∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.9．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)答案 D解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1，设t ＝e x∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t ＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π)．10．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2解析 令t ＝e x ，则x ＝ln t ，所以函数为f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x ＋1，即f ′(1)＝11＋1＝2.11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解 点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3.当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0； 当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27， 则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程． 解 设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3， ∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16， 又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16， 即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0. 三、探究与创新13．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． (1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12， ①又f ′(x )＝a ＋bx 2， ∴f ′(2)＝74， ② 由①，②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12a ＋b 4＝74.解之得⎩⎨⎧a ＝1b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知 曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)． 所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

必修 1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2． 1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3． 1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修 2第一章空间几何体1 ．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2 ．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3． 1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3 ． 3 直线的交点坐标与距离公式必修 3第一章算法初步1 ．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2 ．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2 ．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图人教 A 版高中数学目录2． 3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3 ．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3． 2 古典概型3． 3 几何概型必修 4第一章三角函数1 ．1 任意角和弧度制1． 2 任意角的三角函数1． 3 三角函数的诱导公式1． 4 三角函数的图象与性质1． 5 函数 y=Asin （ωx+ψ）1． 6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2 ．1 平面向量的实际背景及基本概念2． 2 平面向量的线性运算2． 3 平面向量的基本定理及坐标表示2． 4 平面向量的数量积2． 5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3 ．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3． 2 简单的三角恒等变换必修 5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.2 应用举例1.3 实习作业第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n 项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n 项和第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2 简单的线性规划问题3.4 基本不等式选修 1-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.2 双曲线2.3 抛物线第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算3.3 导数在研究函数中的应用3.4 生活中的优化问题举例选修 1-2第一章统计案例1．1 回归分析的基本思想及其初步应用1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1合情推理与演绎证明2．2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1 数系的扩充和复数的概念3．2 复数代数形式的四则运算第四章框图4． 1 流程图4． 2 结构图人教 A 版高中数学目录选修 2-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆2.3双曲线2.4抛物线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.2 立体几何中的向量方法选修 2-2第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修 2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2排列与组合1.3二项式定理第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修 3-1第一讲早期的算术与几何第二讲古希腊数学第三讲中国古代数学瑰宝人教 A 版高中数学目录选修 3-2选修 3-3第一讲从欧氏几何看球面第二讲球面上的距离和角第三讲球面上的基本图形第四讲球面三角形第五讲球面三角形的全等第六讲球面多边形与欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系第八讲欧氏几何与非欧几何第二讲直线与圆的位置关系第三讲圆锥曲线性质的探讨选修 4-2第一讲线性变换与二阶矩阵第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法第三讲逆变换与逆矩阵第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量选修 4-3选修 4-4第一讲坐标系第二讲参数方程第四讲平面解析几何的产生第五讲微积分的诞生第六讲近代数学两巨星第七讲千古谜题第八讲对无穷的深入思考第九讲中国现代数学的开拓与发展选修 3-4第一讲平面图形的选修 4-5对称群第一讲不等式和绝对值不等式第二讲代数学中的对称与抽象群的概念第二讲证明不等式的基本方法第三讲对称与群的故事第三讲柯西不等式与排序不等式选修 4-1第四讲数学归纳法证明不等式第一讲相似三角形的判定及有关性质选修 4-6第一讲整数的整除第二讲同余与同余方程第三讲一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用选修 4-7第一讲优选法第二讲试验设计初步选修 4-8选修 4-9第一讲风险与决策的基本概念第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介高中人教版（ B）教材目录介绍必修一第一章集合1． 1 集合与集合的表示方法1．2 集合之间的关系与运算人教 A 版高中数学目录第二章函数2．1 函数2． 2 一次函数和二次函数2． 3 函数的应用（Ⅰ）2． 4 函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3 ．1 指数与指数函数3． 2 对数与对数函数3．3 幂函数3． 4 函数的应用（Ⅱ）必修二第一章立体几何初步1．1 空间几何体1． 2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2 ．1 平面真角坐标系中的基本公式2． 2 直线方程2． 3 圆的方程2． 4 空间直角坐标系必修三第一章算法初步1．1 算法与程序框图1． 2 基本算法语句1． 3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1 随机抽样2． 2 用样本估计总体2． 3 变量的相关性第三章概率3．1 随机现象3． 2 古典概型3． 3 随机数的含义与应用3． 4 概率的应用必修四第一章基本初等函(Ⅱ )1 ．1 任意角的概念与弧度制1． 2 任意角的三角函数1． 3 三角函数的图象与性质第二章平面向量2 ．1 向量的线性运算2 ．2 向量的分解与向量的坐标运算2． 3 平面向量的数量积2．4 向量的应用第三章三角恒等变换3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式3．3 三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解直角三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例第二章数列2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列第三章不等式3 ．1 不等关系与不等式3．2 均值不等式3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题选修 1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题与量词1．2 基本逻辑联结词1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线第三章导数及其应用3．1 导数3．2 导数的运算3．3 导数的应用选修 1－2第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图选修 4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1 ．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2 基本不等式人教 A 版高中数学目录1．3 绝对值不等式的解法1．4 绝对值的三角不等式1．5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2． 1 柯西不等式2．2 排序不等式2．3 平均值不等式 ( 选学 )2．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3． 1 数学归纳法原理3．2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式。