2014-2015学年华师大版九年级数学下 二次函数与方程、不等式之间的关系 课后练习二及详解

课 题：26.3实践与探索第三课时 二次函数与方程、不等式之间的关系（一） ＆.教学目标：1、会求二次函数c bx ax y ++=2与坐标轴的交点坐标。

2、经历探索二次函数c bx ax y ++=2的对称轴、顶点坐标、最值等情况的研究，掌握a 、b 、c 对于二次函数c bx ax y ++=2所起到的作用。

3、了解二次函数c bx ax y ++=2与一元二次方程、一元一次不等式之间的关系。

＆.教学重点、难点：重点：灵活地利用a 、b 、c 的性质解决二次函数c bx ax y ++=2的相关问题。

难点：了解二次函数c bx ax y ++=2与一元二次方程、一元一次不等式之间的关系。

＆.教学过程：一、问题引入问题1：请作出下列三个函数的图象。

（1）232+-=x x y ；（2）12+-=x x y ；（3）122+-=x x y ．问题2：观察图象，并解决下列问题。

（1）请你说出开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性？（2）图象与x 轴的交点个数，分别是几个交点？你知道图象与x 轴的交点个数与什么有关吗？二、探究新知探索：画出函数432--=x x y 的图象，根据图象回答下列问题。

（1）图象与x 轴、y 轴的交点坐标分别是什么？ （2）当x 取何值时，0=y ？这里x 的取值与方程0432=--x x 有什么关系？ （3）x 取什么值时，函数值0φy ？x 取什么值时，函数值0πy . 教学方法：利用数形结合的思想，引导学生观察分析，总结规律。

解析：因为x 轴上的点的纵坐标为0，所以二次函数432--=x x y 的图象与x 轴的交点即图象上纵坐标为0的点，它的横坐标也就是方程0432=--x x 的根，也就是说，当x 取23或21-时，0=y ；这里x 的值就是方程0432=--x x 的根；因为y 轴上的点横坐标为0，这个函数图象与y 轴的交点，即0=x 时，求出的y 的值就是与y 交点的纵坐标.这个函数图象在x 轴上方的部分的点，它的纵坐标都为正，所以当21-πx 或23φx 时，0φy ；同理，当2321ππx -时，0πy . 答案：（1）图象与x 轴的交点坐标为（21-，0）、（23，0），与y 轴的交点坐标为（0，43-）． （2）当21-=x 或23=x 时，0=y ，x 的取值与方程0432=--x x 的解相同。

二次函数与一元二次方程,不等式关系
二次函数是指形式为y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数
且a≠0。

该类函数的图像为抛物线，并且开口的方向取决于a的正负。

一元二次方程是指形式为ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c为常数
且a≠0。

解一元二次方程可以利用求根公式或配方法来求得方程的解。

二次不等式是由二次函数构成的不等式，其中不等号可以为大于号（>）、大于等于号（≥）、小于号（<）或小于等于号（≤）。

求解
二次不等式可以通过找出对应的函数图像的区间，或者进行因式分解
和求解每个因子的正负来得到解集。

二次函数与方程不等式的关系一、知识点梳理1、二次函数表达式的几种常见方法（1）三点式（或一般式）：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数且，表达式的右边是二次三项式的一般形式，当已知抛物线上不共线的三点坐标时，通常把三点坐标代入表达式，然后列出关于c b a ,,的三元一次方程组求解.（2）顶点式：k h x a y +-=2)()0,,(≠a k h a 为常数且由抛物线的表达式右边可知，抛物线的顶点坐标为),(k h ，当已知抛物线的顶点和抛物线上另一点时，通常设函数表达式为顶点式，然后代入另一个点的坐标，解关于a 的一次方程来求。

当已知两点的坐标和对称轴时，亦可将其代入k h x a y +-=2)(中求解.2、二次函数 c bx ax y ++=2与一元二次方程02=++c bx ax 的关系抛物线：c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标，恰为一元二次方程02=++c bx ax 的实根. 因为x 轴上的点的纵坐标都为0,所以求抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标，可利用函数表达式c bx ax y ++=2来求，只需令0=y ,得一元二次方程02=++c bx ax ,方程的解即为交点的横坐标.抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点有三种情况：（1）当042＞ac b -时，方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根21,x x ，拋物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点)0,(),0,(21x x ；（2）当042=-ac b 时，方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根2a -21b x x ==， 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有一个交点，恰好就是抛物线的顶点)0,2(ab -; （3）当042＜ac b -时，方程02=++c bx ax 没有实数根，抛物线与x 轴没有交点.3、二次函数的图像与一次函数图像的交点一次函数()0≠+=k n kx y 的图像L 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组⎩⎨⎧++=+=cbx ax y ,n kx y 2的解的个数来确定： （1）方程组有两组不同的解-----L 与G 有两个交点；（2）方程组只有一组解-----L 与G 只有一个交点；（3）方程组无解-----L 与G 没有交点。

班级：______姓名：___________年级九年级科目数学课型综合与实践课时 1 主备主讲课题二次函数的应用教研组长签字教学副校长签字一、教学目标1.能说出二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的转化与联系；2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解和一元二次不等式的解集。

二、教学过程知识预备一次函数y=kx+b的图象如图所示，请你根据图象回答下列问题：1、函数y=kx+b图象与x轴交点坐标为。

2、方程kx+b=0的解是，你是如何判断的？自主探究一(一)二次函数与一元二次方程的关系1、二次函数图象与x轴交点的横坐标与一元二次方程解的关系（1）找一找：如图是函数y＝x2-2x-3图象，请写出函数图象与ｘ轴的交点A、B的坐标。

（2）想一想，当y＝＿＿时：x2-2x-3＝0.请你尝试根据（1）中的交点坐标直接写出方程x2-2x-3＝0的解，并验证是否正确。

（3）观察回答：①函数y＝x2-2x-3在__________条件下转化为方程x2-2x-3＝0.②方程x2-2x-3＝0的解与函数y＝x2-2x-3的图象与x轴交点的坐标有什么关系？（4）思考归纳：二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标，与一元二次方程ax2+bx+c＝0的解有什么关系？二次函数图象与x轴交点个数与一元二次方程的关系：(1)当图象开口向上时，顶点坐标在x轴的，图象与x轴有两个交点，此时顶点纵坐标 0；当顶点在x轴，图象与x轴有一个交点，此时顶点纵坐标 0；当顶点在x轴，图象与x轴没有交点，此时顶点纵坐标 0。

当图象开口向下时，顶点坐标在x轴的，图象与x轴有两个交点，此时顶点纵坐标 0；当顶点在x轴，图象与x轴有一个交点，此时顶点纵坐标 0；当顶点在x轴，图象与x轴没有交点，此时顶点纵坐标 0。

想一想：一元二次方程的根有几种情况，是由判定的。

二次函数的顶点纵坐标是。

(2)当a>0时①b2-4ac>0时，方程有的实数根，此时4ac-b2 0,则24ac-b4a0，顶点在x轴的，图象与x轴有个交点；② b2-4ac=0时，方程有的实数根，此时4ac-b2 0,则24ac-b4a0，顶点在x轴的，图象与x轴有个交点；③ b2-4ac<0时，方程有的实数根，此时4ac-b2 0,则24ac-b4a0，顶点在x轴的，图象与x轴有个交点；(3)类比讨论，当a<0时，方程的解与函数图象与x轴的交点个数有什么关系。

学科：数学专题：二次函数与方程、不等式之间的关系重难点易错点解析题面：如图是二次函数2y ax bx c 的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c 的解集是( ) A ．15x B ．5x C ．1x 且5x D ．1x 或5x 金题精讲题面：已知关于x 的二次函数y = x 2+(2m +3)x +4m 2的图象与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的左边，与y 轴的交点C 在原点的上方，若A 、B 两点到原点的距离AO 、OB 满足4(OB AO )=3AO ?OB ．求这个二次函数的解析式满分冲刺题面：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，若|ax 2＋bx ＋c |＝k (k ≠0)有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．k ＜－3B ．k ＞－3C ．k ＜3D ．k ＞3思维拓展题面：设二次函数2y x bx c ，当1x 时，总有0y ，当13x 时，总有0y ，那么c 的取值范围是( )A.3cB.3cC.13cD.3c 课后练习详解重难点易错点解析答案：D.详解：利用二次函数的对称性，可得出图象与x 轴的另一个交点坐标，结合图象可得出20ax bx c 的解集：由图象得：对称轴是x =2，其中一个点的坐标为(5，0)，∴图象与x 轴的另一个交点坐标为(－1，0).由图象可知：20ax bx c 的解集即是y ＜0的解集，∴1x 或5x .故选D.金题精讲答案：y = x 2+3x +4详解：∵抛物线与y 轴的交点在原点上方，且抛物线开口向下∴A 、B 必在原点两侧．∵点A 在点B 的左边，因此A 在x 轴的负半轴，B 在x 轴的正半轴．设A (x 1，0)，B (x 2，0)，那么OA = x 1，OB =x 2．则有：x 1+x 2=2m +3，x 1x 2=m 24．∵4(OB AO )=3AO ?OB ，即4(x 2+x 1)= 3x 1x 2；4(2m +3)= 3(m 24)，解得m =0，m = 83，∵抛物线与y 轴的交点C 在y 轴正半轴∴４m 2＞0，即2＜m ＜2，∴m =0．∴抛物线的解析式为y = x 2+3x +4满分冲刺答案：D.详解：根据题意得：y＝|ax2＋bx＋c|的图象如右图，∵｜ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，∴k＞3.故选D.思维拓展答案：B.详解：∵当x≤１时，总有y≥０，当1≤x≤３时，总有y≤０，∴当x=1时，y=0，即1+b+c=0①.∵当1≤x≤３时，总有y≤０，∴当x=3时，y=9+3b+c≤０②.①②联立解得：c≥3.故选 B.。

二次函数与二次方程、二次不等式的关系一、知识梳理知识点1、二次函数与一元二次方程、二次不等式有着十分紧密的联系；当二次函数 y=ax 2+bx+c(a ≠0）的函数值y=0时,就是一元二次方程,当y ≠0时,就是二次不等式。

知识点2、二次函数的图象与x 轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，图像的交点个数与一元二次方程的根的个数是完全相同的，这是数和形有机结合的重要体现。

研究二次函数y=ax 2＋bx ＋c 图象与x 轴交点问题从而就转化为研究一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的根的问题,这样图像问题就可以转化成方程问题，应用根的判别式、韦达定理、求根公式等解题。

知识点3、二次函数与一元二次方程、二次不等式三者之间的内在联系如下表所示:二、精典题型剖析例1、已知二次函数y=x 2－(m －3）x －m 的图象是抛物线,如图（1）试求m 为何值时，抛物线与x 轴的两个交点间的距离是3?（2)当m 为何值时，方程x 2－（m －3）x －m=0的两个根均为负数？ （3）设抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点P 、Q ， 求当PQ 最短时△MPQ 的面积．变式训练：1、函数y=ax 2－bx ＋c 的图象过（－1，0)，则b a ca cbc b a +++++的值是________2、已知二次函数y=x 2-2x+3.(1） 若它的图像永远在x 轴的上方，则x 的取值范围是__________； （2) 若它的图像永远在x 轴的下方,则x 的取值范围是__________; (3) 若它的图像与x 轴只有一个交点,则x 的取值范围是__________。

3、已知二次函数y=x 2＋mx ＋m －2．求证：无论m 取何实数,抛物线总与x 轴有两个交点．4．已知二次函数y=x 2－2kx ＋k 2＋k －2．（1）当实数k 为何值时,图象经过原点？(2）当实数k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？△=b 2﹣4ac △＞0 △=0 △＜0二次函数y=ax2+bx+c(a ＞0）的图像 xy OxyOxyO一元二次方程ax2+bx+c=0(a ＞0）的根ab x 22,1∆±-=a bx 2-=无实数根一元二次不等式 ax 2+bx+c ＞0(a ＞0)的解集x ＜ 1x 或x ＞2x （1x ＜2x ）ab x 2-≠ x 为全体实数一元二次不等ax2+bx+c ＜0(a ＞0)的解集1x ＜x ＜2x（1x ＜2x ）无解 无解DQ图图1xyOABCC BAOyxDQ图2xyOABC5．已知抛物线y=mx 2＋（3－2m ）x ＋m －2（m≠0)与x 轴有两个不同的交点．（1）求m 的取值范围;(2)判断点P(1，1)是否在抛物线上；(3）当m=1时，求抛物线的顶点Q 及P 点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q 、P 三点，画出抛物线草图．例2、（本题满分12分) 二次函数26(0)y ax bx a =++≠的图像交y 轴于C 点,交x 轴于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧），点A 、点B 的横坐标是一元二次方程24120x x --=的两个根。

课题：二次函数与一元二次方程和不等式的关系【学习目标】1．理解二次函数的图象和与横轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程何时有两个不等实根、两个相等实根和没有实根．2．经历探索二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系，体会数形结合思想，培养学生观察能力．【学习重点】理解二次函数与一元二次方程的关系．【学习难点】结合二次函数图象与x轴交点坐标，求y>0或y<0时x的取值范围．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．解题思路：二次函数y＝ax2＋bx ＋c的图象与x轴交点的个数由b2－4ac的值决定，当b2－4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；当b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．一、情景导入生成问题一次函数y＝ax＋b与一元一次方程、一元一次不等式有何联系？答：一元一次方程ax＋b＝0可以看成是当一次函数值等于0时，求相应自变量的值，即直线y＝ax＋b与x轴交点的横坐标，一元一次不等式ax＋b>0或ax＋b<0可以看成是当一次函数值大(小)于0时，求自变量的取值范围．二、自学互研生成能力知识模块一二次函数与一元二次方程之间的关系阅读教材P28～P29，完成下列问题：问题：1.二次函数与一元二次方程的关系是什么？答：求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是求二次函数y＝ax2＋bx＋c在y＝0时，自变量x的值，也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点情况是怎样的？答：当Δ＝b2－4ac>0时，有两个交点，即方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根；当Δ＝b2－4ac＝0时，有唯一交点，即方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等实根；当Δ＝b2－4ac<0时，无交点，即方程ax2＋bx＋c＝0无实根．范例1：二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是k≤3且k≠0.仿例1：抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，关于x的一元二次方程－x2＋bx＋c＝0的解为x1＝－1，x2＝3．仿例2：抛物线y＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)的对称轴是直线x＝1．仿例3：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)的顶点在x轴下方应满足(A) A．b2－4ac<0 B．b2－4ac>0C．b2－4ac≥0 D．b2－4ac≤0范例2：若关于x的函数y＝kx2＋2x－1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为k＝0或k＝－1．仿例1：二次函数y＝x2－2(m＋1)x＋4m的图象与x轴的关系是(D) A．没有交点B．只有一个交点C．只有两个交点D．至少有一个交点仿例2：二次函数y＝x2－(m－4)x－m的图象与x轴的两个交点关于y轴对称，则其顶点坐标为(0，－4)．知识模块二 二次函数与一元二次不等式之间的关系 二次函数与一元二次不等式之间有何关系？ 答：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0可以看成是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当y >0或y <0时求自变量取值范围，可以利用图象观察求解． 范例：二次函数y ＝x 2－2x －3的图象如图所示．当y ＝0时，自变量x ＝－1或3；当y <0时，自变量x 的取值范围是－1<x <3；当y >0时，自变量x 的取值范围是x <－1或x >3． (范例图) (仿例图) 仿例：如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2＋bx ＋c <0的解是( D ) A ．－1<x<5B ．x >5C ．x <－1且x >5D ．x <－1或x >5 三、交流展示 生成新知 1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑． 2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 知识模块一 二次函数与一元二次方程之间的关系 知识模块二 二次函数与一元二次不等式之间的关系 四、检测反馈 达成目标 见《名师测控》学生用书． 五、课后反思 查漏补缺 1．收获：________________________________________________ 2．困惑：______________________________________。