《新BBG》考前三个月2016高考二轮复习数学(江苏专用理科)：压轴大题突破练+压轴大题2

中档大题5圆锥曲线1。

已知椭圆错误!＋错误!＝1 (a>b≥1）的离心率e＝错误!，右焦点到直线2ax＋by－错误!＝0的距离为错误!。

（1）求椭圆C的方程；(2）已知椭圆C的方程与直线x－y＋m＝0交于不同的两点M，N，且线段MN的中点不在圆x2＋y2＝1内，求m的取值范围。

2。

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：错误!＋错误!＝1 （a〉b>0)的左焦点为F1(－1，0),且点P错误!在椭圆C上.(1）求椭圆C的方程;（2）若过顶点A(－错误!，0）的直线l1交y轴于点Q,交曲线C于点R，过坐标原点O作直线l2，使得l2∥l1，且l2交曲线C于点S，证明：AQ，错误!OS，AR成等比数列.3。

（2015·无锡模拟)如图所示,椭圆错误!＋错误!＝1（a〉b>0）的上、下顶点分别为A,B，已知点B在直线l：y＝－1上，且椭圆的离心率e＝错误!.(1)求椭圆的标准方程;（2)设P是椭圆上异于A，B的任意一点，PQ⊥y轴,Q为垂足，M为线段PQ的中点,直线AM交直线l于点C，N为线段BC的中点,求证：OM⊥MN。

4。

已知椭圆C：错误!＋错误!＝1 （a〉b>0)的两个焦点分别为F1（－错误!，0），F2（错误!，0),点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直。

（1）求椭圆C的方程;（2)过点M（1,0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN,BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2为定值.5.已知双曲线M：错误!－错误!＝1(a>0，b>0)的上焦点为F，上顶点为A,B为虚轴的端点,离心率e＝错误!,且S△ABF＝1－错误!.抛物线N的顶点在坐标原点，焦点为F。

(1)求双曲线M和抛物线N的方程；(2）设动直线l与抛物线N相切于点P,与抛物线的准线相交于点Q，则以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点？如果是，试求出该点的坐标，如果不是，请说明理由。

中档大题8综合练1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a≥b，sin A ＋错误!cos A＝2sin B。

(1）求角C的大小；（2）求错误!的最大值.2。

某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如图。

(1）比较这两名队员在比赛中得分的平均值和方差的大小；（2）以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测15分次数X 在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过．．．的概率分布和均值。

3.如图，三棱柱ABC—A1B1C1的侧面ABB1A1为正方形，侧面BB1C1C 为菱形,∠CBB1＝60°，AB⊥B1C。

(1）求证：平面ABB1A1⊥平面BB1C1C；（2）求二面角B—AC—A1的余弦值。

4.设公差不为0的等差数列{a n}的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列。

（1）求数列｛a n}的通项公式；(2）若数列｛b n｝满足b1a1＋错误!＋…＋错误!＝1－错误!，n∈N*,求｛b n｝的前n项和T n.5。

已知椭圆C：错误!＋错误!＝1 （a>b〉0)经过点M(－2，－1），离心率为22。

过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q. (1）求椭圆C的方程；（2)证明：直线PQ的斜率为定值，并求这个定值;（3）∠PMQ能否为直角？证明你的结论。

6。

已知f（x)＝e x(x－a－1)－错误!＋ax.(1)讨论f(x）的单调性；（2）若x≥0时，f（x）＋4a≥0，求正整数a的值。

（参考值：e2≈7。

389，e3≈20.086)答案精析中档大题8 综合练1.解（1)sin A＋3cos A＝2sin B，即2sin错误!＝2sin B，则sin错误!＝sin B。

因为0〈A，B〈π，又a≥b进而A≥B，所以A＋错误!＝π－B，故A＋B＝错误!，C＝错误!.（2）由正弦定理及（1)得错误!＝错误!＝错误![sin A＋sin错误!]＝错误!sin A＋cos A＝2sin错误!.当A＝错误!时，错误!取最大值2.2。

第38练 随机变量及其概率分布[题型分析·高考展望] 随机变量及其概率分布是高考的一个必考热点，主要包括离散型随机变量及其概率分布，均值与方差，二项分布及其应用．对本部分知识的考查，一是以实际生活为背景求解离散型随机变量的概率分布和均值；二是独立事件概率的求解；三是考查二项分布．常考题型精析题型一 条件概率与相互独立事件的概率例1 (1)(2014·课标全国Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是________． (2)(2014·山东)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：①小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； ②两次回球结束后，小明得分之和ξ的概率分布与均值．点评 (1)利用定义，分别求P (B )和P (AB )，得P (A |B )＝P (AB )P (B ).这是通用的求条件概率的方法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件B 包含的基本事件数n (B )，再在事件B 发生的条件下求事件A 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (A |B )＝n (AB )n (B ). (3)相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．变式训练1 (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数均为偶数”，事件B ＝“取到的2个数之和为偶数”，则P (A |B )＝________.(2)(2014·陕西)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：①设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的概率分布；②若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率．题型二离散型随机变量的均值和方差例2(2015·山东)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的概率分布和均值．点评离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其概率分布然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率间的对应．变式训练2(2014·辽宁)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的概率分布，均值E(X)及方差V(X)．题型三二项分布问题例3(2014·湖北)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年．入．流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的频率，并假设各年的入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多．．有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？点评 应用公式P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k的三个条件： (1)在一次试验中某事件A 发生的概率是一个常数p ；(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n 次试验中事件A 恰好发生了k 次的概率． 变式训练3 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的概率分布及均值．高考题型精练1．(2015·盐城模拟)甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为________．2．在4次独立重复试验中事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率是6581，则事件A 在一次试验中发生的概率为________．3．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1,2,3,4,5,6个点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，设事件B 为“x ＋y 为偶数”，事件A 为“x ，y 中有偶数且x ≠y ”，则概率P (A |B )＝________. 4．小王参加了2015年春季招聘会，分别向A ，B 两个公司投递个人简历．假定小王得到A 公司面试的概率为13，得到B 公司面试的概率为p ，且两个公司是否让其面试是独立的．记ξ为小王得到面试的公司个数．若ξ＝0时的概率P (ξ＝0)＝12，则随机变量ξ的均值E (ξ)＝________.5．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．6．(2014·浙江)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则V (ξ)＝________.7．(2014·安徽)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的概率分布和均值．8．(2015·常州模拟)已知甲箱中只放有x 个红球与y 个白球(x ，y ≥0，且x ＋y ＝6)，乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球(球除颜色外，无其他区别)．若从甲箱中任取2个球，从乙箱中任取1个球． (1)记取出的3个颜色全不相同的概率为P ，求当P 取得最大值时x ，y 的值； (2)当x ＝2时，求取出的3个球中红球个数ξ的均值E (ξ)．9．(2014·福建)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额． (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的概率分布及均值．(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．10．(2015·安徽)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的概率分布和均值．答案精析第38练 随机变量及其概率分布 常考题型典例剖析 例1 (1)0.8解析 已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P ＝0.60.75＝0.8.(2)解 ①记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0,1,3)， 则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16.记B j 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为j 分”(j ＝0,1,3)， 则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”. 由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3， 由事件的独立性和互斥性，得 P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3) ＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3) ＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)P (B 1)＋ P (A 0)P (B 3)＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝310， 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.②由题意，随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6， 由事件的独立性和互斥性，得 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16×15＝130，P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1) ＝13×15＋16×35＝16， P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13×35＝15，P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3) ＝12×15＋16×15＝215， P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3) ＝12×35＋13×15＝1130， P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12×15＝110.可得随机变量ξ的概率分布为所以均值E (ξ)＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝9130.变式训练1 (1)14解析 P (B )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110， P (A |B )＝P (AB )P (B )＝14. (2)解 ①设A 表示事件“作物产量为300 kg ”，B 表示事件“作物市场价格为6 元/kg ”，由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4，∵利润＝产量×市场价格－成本. ∴X 所有可能的取值为500×10－1 000＝4 000,500×6－1 000＝2 000，300×10－1 000＝2 000,300×6－1 000＝800. P (X ＝4 000)＝P (A )P (B )＝(1－0.5)×(1－0.4) ＝0.3，P (X ＝2 000)＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P (X ＝800)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2， 所以X 的概率分布为②设C i 表示事件“第i 季利润不少于2 000元”(i ＝1,2,3)，由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，由(1)知， P (C i )＝P (X ＝4 000)＋P (X ＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1,2,3)， 3季的利润均不少于2 000元的概率为 P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 3)＝0.83＝0.512； 3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为 P (C 1C 2C 3)＋P (C 1C 2C 3)＋P (C 1C 2C 3) ＝3×0.82×0.2＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896. 例2 解 (1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345； (2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 39＝84， 随机变量X 的取值为：0，－1,1， 因此P (X ＝0)＝C 38C 39＝23，P (X ＝－1)＝C 24C 39＝114，P (X ＝1)＝1－114－23＝1142，所以X 的概率分布为则E (X )＝0×23＋(－1)×114＋1×1142＝421.变式训练2 解 (1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”.因此 P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P (A 2)＝0.003×50＝0.15， P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108. (2)X 可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P (X ＝0)＝C 03(1－0.6)3＝0.064，P (X ＝1)＝C 13·0.6(1－0.6)2＝0.288， P (X ＝2)＝C 23·0.62(1－0.6)＝0.432， P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216， 则X 的概率分布为因为X ～B (3,0.6)，所以均值E (X )＝3×0.6＝1.8， 方差V (X )＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.例3 解 (1)依题意，得p 1＝P (40<X <80)＝1050＝0.2，p 2＝P (80≤X ≤120)＝3550＝0.7，p 3＝P (X >120)＝550＝0.1.由二项分布，得在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为 p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝(910)4＋4×(910)3×(110)＝0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元). ①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5 000，E (Y )＝5 000×1＝5 000.②安装2台发电机的情形.依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－800＝4 200，因此P (Y ＝4 200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝p 2＋p 3＝0.8.由此得Y 的概率分布如下：所以，E (Y )＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840. ③安装3台发电机的情形.依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－1 600＝3 400，因此P (Y ＝3 400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2－800＝9 200，因此P (Y ＝9 200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，三台发电机运行，此时Y ＝5 000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1，由此得Y 的概率分布如下：所以，E (Y )＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1 ＝8 620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.变式训练3 解 (1)设“甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利”分别为事件A ，B ，C ， 则P (A )＝23×23×23＝827，P (B )＝C 23⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝827，P (C )＝C 24⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－232×12＝427. (2)X 的可能的取值为0,1,2,3. 则P (X ＝0)＝P (A )＋P (B )＝1627，P (X ＝1)＝P (C )＝427，P (X ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫1－232×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－12＝427， P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫133＋C 23⎝⎛⎭⎫132×23×13＝19. ∴X 的概率分布为∴E (X )＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×19＝79.常考题型精练 1.34解析 设甲命中目标为事件A ，乙命中目标为事件B ，丙命中目标为事件C ，则目标被击中的事件可以表示为A ∪B ∪C ，即击中目标表示事件A 、B 、C 中至少有一个发生. ∴P (A ·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C ) ＝[1－P (A )]·[1－P (B )]·[1－P (C )] ＝⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14＝14. 故目标被击中的概率为1－P (A ·B ·C )＝1－14＝34.2.13解析 设事件A 在一次试验中发生的概率为p ，∵事件A 全不发生为事件A 至少发生一次的对立事件，∴1－(1－p )4＝6581，即(1－p )4＝1681.故1－p ＝23或1－p ＝－23(舍去)，即p ＝13.3.13解析 正面朝上的点数(x ，y )的不同结果共有C 16·C 16＝36(种).事件A ：“x ＋y 为偶数”包含事件A 1：“x ，y 都为偶数”与事件A 2：“x ，y 都为奇数”两个互斥事件，其中P (B 1)＝C 13·C 1336＝14，P (B 2)＝C 13·C 1336＝14，所以P (B )＝P (B 1)＋P (B 2)＝14＋14＝12.事件B 为“x ，y 中有偶数且x ≠y ”，所以事件AB 为“x ，y 都为偶数且x ≠y ”，所以P (AB )＝C 13·C 13－336＝16.P (A |B )＝P (AB )P (B )＝13. 4.712解析 由题意，得P (ξ＝2)＝13p ，P (ξ＝1)＝13(1－p )＋23p ＝1＋p3，ξ的分布列为由12＋1＋p 3＋13p ＝1，得p ＝14. 所以E (ξ)＝0×12＋1×1＋p 3＋2×13p ＝712.5.0.128解析 由题设，分两类情况：①第1个正确，第2个错误，第3、4个正确，由乘法公式得P 1＝0.8×0.2×0.8×0.8＝0.102 4；②第1、2个错误，第3、4个正确， 此时概率P 2＝0.2×0.2×0.8×0.8＝0.025 6. 由互斥事件概率公式得P ＝P 1＋P 2＝0.102 4＋0.025 6＝0.128. 6.25解析 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝35，b ＝15，所以V (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.7.解 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”. 则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1,2,3,4,5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)·P (A 3)P (A 4) ＝(23)2＋13×(23)2＋23×13×(23)2＝5681. (2)X 的可能取值为2,3,4,5. P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)·P (B 4)＝1081，P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881.故X 的概率分布为E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.8.解 (1)由题意知P ＝C 1x ·C 1yC 26C 14＝xy 60≤160⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝320，当且仅当x ＝y 时等号成立， 所以，当P 取得最大值时，x ＝y ＝3.(2)当x ＝2时，即甲箱中有2个红球与4个白球，所以ξ的所有可能取值为0,1,2,3.则P (ξ＝0)＝C 24C 12C 26C 14＝15，P (ξ＝1)＝C 12C 14C 12＋C 24C 12C 26C 14＝715， P (ξ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 14C 12C 26C 14＝310，P (ξ＝3)＝C 12C 26C 14＝130， 所以，红球个数ξ的概率分布为于是E (ξ)＝0×15＋1×715＋2×310＋3×130＝76.9.解 (1)设顾客所获的奖励额为X .①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意，得X 的所有可能取值为20,60. P (X ＝60)＝12，P (x ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的概率分布为所以顾客所获的奖励额的均值为E (X )＝20×12＋60×12＝40(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找均值为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以均值不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2. 以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的概率分布为X 1的均值为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60，X 1的方差为V (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X 2，则X 2的概率分布为X 2的均值为E (X 2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，X 2的方差为V (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2. 10.解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A .P (A )＝A 12A 13A 25＝310.(2)X 的可能取值为200,300,400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300) ＝1－110－310＝610.故X 的概率分布为110＋300×310＋400×610＝350.E(X)＝200×。

压轴大题3 函数与导数(一)1.已知函数f (x ）＝(x －a ）e x （a ∈R）.(1）当a ＝2时，求函数f （x )在x ＝0处的切线方程;(2）求f （x )在区间［1，2]上的最小值.2。

（2015·徐州模拟)已知a ∈R ，函数f (x ）＝ln x －a (x －1).(1)若a ＝错误!,求函数y ＝｜f (x )|的极值点；（2)若不等式f （x )≤－ax 2e 2＋1＋2a －e ax e 恒成立，求a 的取值范围。

（e 为自然对数的底数）3.已知函数f （x ）＝x e －x .(1）求函数f （x ）的单调区间和极值；(2)若当0<x <1时，f (x ）〉f 错误!，求实数k 的取值范围.4.已知函数f（x）＝(1＋x）e－2x，g（x）＝ax＋错误!＋1＋2x cos x.当x∈[0，1］时，（1）求证：1－x≤f(x)≤错误!；(2）若f（x）≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围。

答案精析压轴大题3 函数与导数（一)1。

解（1）设切线的斜率为k.因为a＝2，所以f(x）＝(x－2)e x，f′(x）＝e x(x－1）.所以f（0)＝－2，k＝f′（0）＝e0(0－1)＝－1。

所以所求的切线方程为y＝－x－2，即x＋y＋2＝0。

（2)由题意得f′（x）＝e x(x－a＋1)，令f′（x)＝0,可得x＝a－1.①若a－1≤1，则a≤2，当x∈[1，2]时，f′(x）≥0，则f(x）在[1,2]上单调递增.所以f（x)min＝f(1）＝（1－a)e。

②若a－1≥2,则a≥3，当x∈［1，2］时，f′（x)≤0，则f(x）在［1,2］上单调递减。

所以f(x）min＝f(2）＝(2－a)e2.③若1〈a－1<2，则2<a<3，所以f′（x），f(x)随x的变化情况如下表：↘↗所以f（x)的单调递减区间为[1，－1],单调递增区间为[a－1,2］。

第41练几何证明选讲[题型分析·高考展望]本讲主要考查相似三角形与射影定理，圆的切线及圆内接四边形的性质与判定定理，圆周角定理及弦切角定理，相交弦、切割线、割线定理等，本部分内容多数涉及圆，并且多是以圆为背景设计的综合性考题，考查逻辑推理能力.试题主要以解答题形式出现，难易程度均为中低档题.常考题型精析题型一相似三角形及射影定理例1如图所示，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、G分别为垂足.求证：AF·AC＝BG·BE.点评(1)在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”.(2)证题时，作垂线构造直角三角形是解该类问题的常用方法.变式训练1如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，EF⊥BC于F.求证：EF∶DF＝BC∶AC.题型二相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的应用例2(2014·重庆改编)过圆外一点P作圆的切线P A(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C.若P A＝6，AC＝8，BC＝9，求AB的值.点评(1)圆中线段长度成比例的问题，要结合切割线定理、相交弦定理，构造比例关系.(2)利用相似关系求解线段长度要灵活地在三角形中对条件进行转化或等比替换.变式训练2(2015·天津改编)如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE 分别经过点M，N.若CM＝2，MD＝4，CN＝3，求线段NE的长.题型三四点共圆的判定例3如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.证明：(1)B、D、H、E四点共圆；(2)CE平分∠DEF.点评(1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边表的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.变式训练3(2015·湖南)如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；(2) FE·FN＝FM·FO.高考题型精练1.(2015·重庆改编)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若P A＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，求BE的长.2.(2015·陕西)如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.(1)证明：∠CBD＝∠DBA；(2)若AD＝3DC，BC＝2，求⊙O的直径.3.如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA 的延长线于P.(1)求证：PM2＝P A·PC；(2)若⊙O的半径为23，OA＝3OM，求MN的长.4.(2015·课标全国Ⅱ)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M、N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两点.(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积.5.(2014·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形.6.如图所示，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠P AC的内部，点M是BC的中点.(1)证明：A，P，O，M四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM的大小.7.(2014·辽宁)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连结DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.8.如图所示，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直于直线OM，垂足为P.(1)证明：OM·OP＝OA2；(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直于直线ON，且交圆O于B点.过B点的切线交直线ON于K.证明：∠OKM＝90°.答案精析专题9 系列4选讲第41练 几何证明选讲常考题型典例剖析例1 证明 因为CD 垂直平分AB ，所以△ACD 和△BDE 均为直角三角形，并且AD ＝BD .又因为DF ⊥AC ，DG ⊥BE ，所以AF ·AC ＝AD 2，BG ·BE ＝DB 2，因为AD 2＝DB 2，所以AF ·AC ＝BG ·BE .变式训练1 证明 ∵∠BAC ＝90°，且AD ⊥BC ，∴由射影定理得AC 2＝CD ·BC ，∴AC CD ＝BC AC.① ∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴EF ∥AD ，∴AE DF ＝AC CD. 又BE 平分∠ABC ，且EA ⊥AB ，EF ⊥BC ，∴AE ＝EF ，∴EF DF ＝AC CD.② 由①、②得EF DF ＝BC AC，即EF ∶DF ＝BC ∶AC . 例2 解 由切割线定理得P A 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )，即62＝PB ·(PB ＋9)，解得PB ＝3(负值舍去).由弦切角定理知∠P AB ＝∠PCA ，又∠APB ＝∠CP A ，故△APB ∽△CP A ，则AB CA ＝AP CP ，即AB 8＝63＋9，解得AB ＝4.变式训练2 解 根据相交弦定理可知，CM ·MD ＝AM ·MB ＝29AB 2＝8， CN ·NE ＝AN ·NB ＝29AB 2＝8，而CN ＝3， 所以NE ＝83. 例3 证明 (1)在△ABC 中，因为∠B ＝60°，所以∠BAC ＋∠BCA ＝120°.因为AD 、CE 分别是∠BAC 、∠DCF 的平分线，所以∠HAC ＋∠HCA ＝60°，故∠AHC ＝120°.于是∠EHD ＝∠AHC ＝120°.所以∠EBD ＋∠EHD ＝180°，所以B 、D 、H 、E 四点共圆.(2)连结BH ，则BH 为∠ABC 的平分线，得∠HBD ＝30°.由(1)知B 、D 、H 、E 四点共圆，所以∠CED ＝∠HBD ＝30°.又∠AHE ＝∠EBD ＝60°，由已知可得EF ⊥AD ，可得∠CEF ＝30°.所以CE 平分∠DEF .变式训练3 证明 (1)如图所示，因为M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，所以OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，即∠OME ＝90°，∠ENO ＝90°，因此∠OME ＋∠ENO ＝180°，又四边形的内角和等于360°，故∠MEN ＋∠NOM ＝180°.(2)由(1)知，O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FE ·FN ＝FM ·FO .常考题型精练1.解 首先由切割线定理得P A 2＝PC ·PD ，因此PD ＝623＝12，CD ＝PD －PC ＝9，又CE ∶ED ＝2∶1， 因此CE ＝6，ED ＝3，再由相交弦定理得AE ·EB ＝CE ·ED ，所以BE ＝CE ·ED AE ＝6×39＝2. 2.(1)证明 因为DE 为⊙O 直径，则∠BED ＋∠EDB ＝90°，又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°，从而∠CBD ＝∠BED ，又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ，所以∠CBD ＝∠DBA .(2)解 由(1)知BD 平分∠CBA ，则BA BC ＝AD CD＝3，又BC ＝2，从而AB ＝32， 所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，所以AD ＝3，由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ，即AE ＝AB 2AD ＝6， 故DE ＝AE －AD ＝3，即⊙O 直径为3.3.(1)证明 连结ON ，则ON ⊥PN ，且△OBN 为等腰三角形，则∠OBN ＝∠ONB ，∵∠PMN ＝∠OMB ＝90°－∠OBN ，∠PNM ＝90°－∠ONB ，∴∠PMN ＝∠PNM ，∴PM ＝PN .根据切割线定理，有PN 2＝P A ·PC ，∴PM 2＝P A ·PC .(2)解 OM ＝2，在Rt △BOM 中，BM ＝OB 2＋OM 2＝4.延长BO 交⊙O 于点D ，连结DN .由条件易知△BOM ∽△BND ，于是BO BN ＝BM BD， 即23BN ＝443，∴BN ＝6. ∴MN ＝BN －BM ＝6－4＝2.4.(1)证明 由于△ABC 是等腰三角形，AD ⊥BC ，所以AD 是∠CAB 的平分线.又因为⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，所以AE ＝AF ，故AD ⊥EF .从而EF ∥BC .(2)解 由(1)知，AE ＝AF ，AD ⊥EF ，故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 为⊙O 的弦，所以O 在AD 上. 连接OE ，OM ，则OE ⊥AE .由AG 等于⊙O 的半径得AO ＝2OE ，所以∠OAE ＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形.因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3，所以OD ＝1. 于是AD ＝5，AB ＝1033. 所以四边形EBCF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633. 5.证明 (1)由题设知，A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠D ＝∠CBE ，由已知CB ＝CE 得∠CBE ＝∠E ，故∠D ＝∠E .(2)如图，设BC 的中点为N ，连结MN ，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上.又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形.6.(1)证明连结OP，OM，因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP，因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC，于是∠OP A＋∠OMA＝180°.由圆心O在∠P AC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆.(2)解由(1)得，A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM，由(1)得OP⊥AP，由圆心O在∠P AC的内部，可知∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.7.证明(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA.又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA，所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PF A.由于AF⊥EP，所以∠PF A＝90°，于是∠BDA＝90°，故AB是直径.(2)连结BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而Rt △BDA ≌Rt △ACB .于是∠DAB ＝∠CBA .又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB .由于AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角.于是ED 为直径.由(1)得ED ＝AB .8.证明 (1)因为MA 是圆O 的切线，所以OA ⊥AM .又因为AP ⊥OM ，在Rt △OAM 中，由射影定理知，OA 2＝OM ·OP .(2)因为BK 是圆O 的切线，BN ⊥OK ，同(1)，有OB 2＝ON ·OK ，又OB ＝OA ，所以OP ·OM ＝ON ·OK ，即ON OP ＝OM OK .又∠NOP ＝∠MOK ，所以△ONP ∽△OMK ，故∠OKM ＝∠OPN ＝90°.。

中档大题4 数 列1.数列{a n ｝中,a 1＝1，S n 为数列{a n ｝的前n 项和,且满足错误!＝1 （n ≥2)。

求数列{a n }的通项公式.2.已知各项均不为零的数列｛a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2a n ＝p ·a 错误! (其中p 为非零常数，n ∈N ＊）。

(1）求数列{a n }的通项公式;（2）令b n ＝na n ＋2a n，S n 为数列{b n }的前n 项和，求S n .3.（2015·徐州模拟）设等差数列{a n }的公差为d ,点（a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上（n ∈N *).若a 1＝1,函数f （x )的图象在点(a 2，b 2）处的切线在x 轴上的截距为2－错误!，求数列{a n b 错误!｝的前n 项和S n 。

4.(2015·南京模拟)设数列｛a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n＋1＋1,n∈N*,且a1＝1，设数列{b n}满足b n＝a n＋2n.(1)求证数列｛b n}为等比数列，并求出数列{a n｝的通项公式；(2）若数列c n＝错误!，T n是数列{c n｝的前n项和，证明：T n<3.5.(2015·泰州模拟）已知数列{a n｝中,a2＝p（p是不等于0的常数)，S n为数列{a n｝的前n项和，若对任意的正整数n都有S n＝错误!. (1）证明：数列{a n}为等差数列；(2）记b n＝错误!＋错误!，求数列｛b n}的前n项和T n；(3)记c n＝T n－2n，是否存在正整数N使得当n〉N时，恒有c n∈错误!。

若存在，证明你的结论，并给出一个具体的N值；若不存在，请说明理由.6.已知公差大于零的等差数列｛a n}的前n项和为S n，且满足：a2a4＝65，a1＋a5＝18.（1）若1<i<21，a1，a i，a21是某等比数列的连续三项,求i的值；(2)设b n＝错误!，是否存在一个最小的常数m使得b1＋b2＋…＋b n<m 对于任意的正整数n均成立,若存在,求出常数m；若不存在，请说明理由.答案精析中档大题4 数列1。

第15练存在与恒成立问题[题型分析·高考展望]“存在”与“恒成立”两个表示范围的词语在题目中出现是近年高考的一大热点，其本质是“存在性”与“全称”量词的一个延伸，弄清其含义，适当进行转化来加以解决.此类题目主要出现在函数与导数结合的解答题中，难度高，需要有较强的分析能力和运算能力.训练时应注意破题方法的研究.常考题型精析题型一恒成立问题例1(2014·浙江)已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a>0)，若f(x)在[－1,1]上的最小值记为g(a).(1)求g(a)；(2)证明：当x∈[－1,1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4.点评恒成立问题一般与不等式有关，解决此类问题需要构造函数利用函数单调性求函数最值，从而说明函数值恒大于或恒小于某一确定的值.变式训练1(2015·山东)设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R.(1)讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；(2)若∀x＞0，f(x)≥0成立，求a的取值范围.题型二存在性问题例2(2014·辽宁)已知函数f(x)＝(cos x－x)(π＋2x)－83(sin x＋1)，g(x)＝3(x－π)cos x－4(1＋sin x)·ln(3－2xπ).证明：(1)存在唯一x0∈(0，π2)，使f(x0)＝0；(2)存在唯一x 1∈(π2，π)，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1<π.点评 “存在”是存在性量词，即“有的”意思，证明这类问题的思路是想法找到一个“x 0”使问题成立即可，必要时需要对问题进行转化.若证“存在且唯一”则需说明除“x 0”外其余不能使命题成立，或利用函数单调性证明此类问题.变式训练2 (2015·浙江)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R ).(1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在[－1,1]上的最小值g (a )的表达式； (2)已知函数f (x )在[－1,1]上存在零点，0≤b －2a ≤1，求b 的取值范围.高考题型精练1.(2015·连云港模拟)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy≥M 恒成立，则M 的最大值为________. 2.若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是__________.3.若函数f (x )＝(x ＋1)·e x ，则下列命题正确的是________________________________________.①对任意m <－1e 2，都存在x ∈R ，使得f (x )<m ； ②对任意m >－1e 2，都存在x ∈R ，使得f (x )<m ； ③对任意m <－1e 2，方程f (x )＝m 只有一个实根； ④对任意m >－1e 2，方程f (x )＝m 总有两个实根. 4.(2015·无锡模拟)若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是________________________________________________________________________.5.(2015·苏州模拟)已知函数f (x )＝3x 3＋2x 2－1在区间(m,0)上总有f ′(x )≤0成立，则m 的取值范围为________________.6.(2014·辽宁改编)当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________.7.已知函数f (x )＝2ax 3－3ax 2＋1，g (x )＝－a 4x ＋32，若任意给定的x 0∈[0,2]，总存在两个不同的x i (i ＝1,2)∈[0,2]，使得f (x i )＝g (x 0)成立，则实数a 的取值范围是____________.8.(2014·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________.9.设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________.10.已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对于任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________.11.(2015·湖南)已知a >0，函数f (x )＝a e x cos x (x ∈[0，＋∞)).记x n 为f (x )的从小到大的第n (n ∈N *)个极值点.(1)证明：数列{f (x n )}是等比数列；(2)若对一切n ∈N *，x n ≤|f (x n )|恒成立，求a 的取值范围.12.(2014·陕西)设函数f (x )＝ln x ＋m x，m ∈R . (1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x 3零点的个数； (3)若对任意b >a >0，f (b )－f (a )b －a<1恒成立，求m 的取值范围.答案精析第15练 存在与恒成立问题常考题型典例剖析例1 (1)解 因为a >0，－1≤x ≤1.所以，①当0<a <1时，若x ∈[－1，a ]，则f (x )＝x 3－3x ＋3a ，f ′(x )＝3x 2－3<0，故f (x )在(－1，a )上是减函数；若x ∈[a,1]，则f (x )＝x 3＋3x －3a ，f ′(x )＝3x 2＋3>0，故f (x )在(a,1)上是增函数.所以g (a )＝f (a )＝a 3.②当a ≥1时，有x ≤a ，则f (x )＝x 3－3x ＋3a ，f ′(x )＝3x 2－3<0，故f (x )在(－1,1)上是减函数，所以，g (a )＝f (1)＝－2＋3a .综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 3，0<a <1，－2＋3a ，a ≥1.(2)证明 令h (x )＝f (x )－g (a ).①当0<a <1时，g (a )＝a 3.若x ∈[a,1]，则h (x )＝x 3＋3x －3a －a 3，h ′(x )＝3x 2＋3，所以h (x )在(a,1)上是增函数，所以，h (x )在[a,1]上的最大值是h (1)＝4－3a －a 3，且0<a <1，所以h (1)≤4.故f (x )≤g (a )＋4.若x ∈[－1，a ]，则h (x )＝x 3－3x ＋3a －a 3，h ′(x )＝3x 2－3，所以h (x )在(－1，a )上是减函数，所以，h (x )在[－1，a ]上的最大值是h (－1)＝2＋3a －a 3.令t (a )＝2＋3a －a 3，则t ′(a )＝3－3a 2>0，知t (a )在(0,1)上是增函数.所以，t (a )<t (1)＝4，即h (－1)<4.故f (x )≤g (a )＋4.②当a ≥1时，g (a )＝－2＋3a ，故h (x )＝x 3－3x ＋2，h ′(x )＝3x 2－3，此时h (x )在(－1,1)上是减函数，因此h (x )在[－1,1]上的最大值是h (－1)＝4.故f (x )≤g (a )＋4.综上，当x ∈[－1,1]时，恒有f (x )≤g (a )＋4.变式训练1 解 (1)由题意知，函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1.令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞).①当a ＝0时，g (x )＝1，此时f ′(x )＞0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点；②当a ＞0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8).(ⅰ)当0＜a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点；(ⅱ)当a ＞89时，Δ＞0，设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1＜x 2)，因为x 1＋x 2＝－12，所以x 1＜－14，x 2＞－14.由g (－1)＝1＞0，可得－1＜x 1＜－14.所以当x ∈(－1，x 1)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；因此函数有两个极值点.(ⅲ)当a ＜0时，Δ＞0，由g (－1)＝1＞0，可得x 1＜－1.当x ∈(－1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；所以函数有一个极值点.综上所述，当a ＜0时，函数f (x )有一个极值点；当0≤a ≤89时，函数f (x )无极值点；当a ＞89时，函数f (x )有两个极值点.(2)由(1)知，①当0≤a ≤89时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为f (0)＝0，所以x ∈(0，＋∞)时，f (x )＞0，符合题意；②当89＜a ≤1时，由g (0)≥0，得x 2≤0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝0，所以x ∈(0，＋∞)时，f (x )＞0，符合题意；③当a ＞1时，由g (x )＜0，可得x 2＞0.所以x ∈(0，x 2)时，函数f (x )单调递减；因为f (0)＝0，所以x ∈(0，x 2)时，f (x )＜0，不合题意；④当a ＜0时，设h (x )＝x －ln(x ＋1).因为x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )＝1－1x ＋1＝xx ＋1＞0 ，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增，因此当x ∈(0，＋∞)时，h (x )＞h (0)＝0，即ln(x ＋1)＜x .可得f (x )＜x ＋a (x 2－x )＝ax 2＋(1－a )x ，当x ＞1－1a 时，ax 2＋(1－a )x ＜0，此时f (x )＜0，不合题意.综上所述，a 的取值范围是[0,1].例2 证明 (1)当x ∈(0，π2)时，f ′(x )＝－(1＋sin x )(π＋2x )－2x －23cos x <0，则函数f (x )在(0，π2)上为减函数.又f (0)＝π－83>0，f (π2)＝－π2－163<0，所以存在唯一x 0∈(0，π2)，使f (x 0)＝0.(2)考虑函数h (x )＝3(x －π)cos x 1＋sin x －4ln(3－2πx )，x ∈[π2，π].令t ＝π－x ，则x ∈[π2，π]时，t ∈[0，π2].设u (t )＝h (π－t )＝3t cos t 1＋sin t －4ln(1＋2πt )，则u ′(t )＝3f (t )(π＋2t )(1＋sin t ).由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u ′(t )>0，当t ∈(x 0，π2)时，u ′(t )<0.在(0，x 0)上u (t )是增函数，又u (0)＝0，从而当t ∈(0，x 0]时，u (t )>0，所以u (t )在(0，x 0]上无零点.在(x 0，π2)上u (t )为减函数，由u (x 0)>0，u (π2)＝－4ln 2 <0，知存在唯一t 1∈(x 0，π2)，使u (t 1)＝0.所以存在唯一的t 1∈(0，π2)，使u (t 1)＝0.因为存在唯一的x 1＝π－t 1∈(π2，π)，使h (x 1)＝h (π－t 1)＝u (t 1)＝0.因此当x ∈(π2，π)时，1＋sin x >0，故g (x )＝(1＋sin x )h (x )与h (x )有相同的零点，所以存在唯一的x 1∈(π2，π)，使g (x 1)＝0.因为x 1＝π－t 1，t 1>x 0，所以x 0＋x 1<π.变式训练2 解 (1)当b ＝a 24＋1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋1，故对称轴为直线x ＝－a 2.当a ≤－2时，g (a )＝f (1)＝a 24＋a ＋2.当－2＜a ≤2时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝1.当a ＞2时，g (a )＝f (－1)＝a 24－a ＋2.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 24＋a ＋2，a ≤－2，1，－2＜a ≤2，a 24－a ＋2，a ＞2.(2)设s ，t 为方程f (x )＝0的解，且－1≤t ≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧ s ＋t ＝－a ，st ＝b ，由于0≤b －2a ≤1，因此－2tt ＋2≤s ≤1－2tt ＋2(－1≤t ≤1).当0≤t ≤1时，－2t 2t ＋2≤st ≤t －2t 2t ＋2，由于－23≤－2t 2t ＋2≤0和－13≤t －2t2t ＋2≤9－45，所以－23≤b ≤9－4 5.当－1≤t ＜0时，t －2t 2t ＋2≤st ≤－2t 2t ＋2，由于－2≤－2t 2t ＋2＜0和－3≤t －2t 2t ＋2＜0，所以－3≤b ＜0.故b 的取值范围是[－3,9－45].常考题型精练1.1解析 xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝1，∴1xy ≥1，∵1xy ≥M 恒成立，∴M ≤1.2.(－1，＋∞)解析 ∵2x (x －a )<1，∴a >x －12x .令f (x )＝x －12x ，∴f ′(x )＝1＋2－x ln 2>0.∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )>f (0)＝0－1＝－1，∴a 的取值范围为(－1，＋∞).3.②解析 ∵f ′(x )＝(x ＋2)·e x ，∴x >－2时，f ′(x )>0，f (x )为增函数.x <－2时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，∴f (－2)＝－1e 2为f (x )的最小值，即f (x )≥－1e 2 (x ∈R )，故②正确. 4.(－∞，4]解析 2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x >0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2.当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4，所以a ≤h (x )min ＝4.故a 的取值范围是(－∞，4].5.⎣⎡⎭⎫－49，0 解析 由题意知，f ′(x )＝9x 2＋4x ≤0在(m,0)上恒成立，且f ′(x )＝0的两根为x 1＝0，x 2＝－49，∴－49≤m <0. 6.[－6，－2]解析 当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R .当x ∈(0,1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3， ∴a ≥⎣⎡⎦⎤x 2－4x －3x 3max .设φ(x )＝x 2－4x －3x 3， φ′(x )＝(2x －4)x 3－(x 2－4x －3)3x 2x 6＝－x 2－8x －9x 4＝－(x －9)(x ＋1)x 4>0， ∴φ(x )在(0,1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6，∴a ≥－6.当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3x 3， ∴a ≤⎣⎡⎦⎤x 2－4x －3x 3min .仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－(x －9)(x ＋1)x 4.当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )<0，当x ∈(－1,0)时，φ′(x )>0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值.而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2.7.(－∞，－1)解析 当a ＝0时，显然不成立；当a >0时，注意到f ′(x )＝6ax 2－6ax ＝6ax (x －1)，即f (x )在[0,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数，又f (0)＝1<32＝g (0)，当x 0＝0时，结论不可能成立；进一步，可知a <0，此时g (x )在[0,2]上是增函数，且取值范围是[32，－a 2＋32]，同时f (x )在0≤x ≤1时，函数值从1增大到1－a ，在1≤x ≤2时，函数值从1－a 减少到1＋4a ，所以“任意给定的x 0∈[0,2]，总存在两个不同的x i (i ＝1,2)∈[0,2]，使得f (x i )＝g (x 0)成立”当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )的最大值>g (x )的最大值，f (x )的最小值<g (x )的最小值，即⎩⎨⎧ 1－a >－a 2＋32，1＋4a <32，解得a <－1.8.(－22，0)解析 作出二次函数f (x )的图象，如图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. 9.4解析 若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x >0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x3. 令g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4， 所以g (x )在区间(0，12)上单调递增，在区间(12，1]上单调递减， 因此g (x )max ＝g (12)＝4，从而a ≥4. 当x <0，即x ∈[－1,0)时，同理a ≤3x 2－1x3. g (x )在区间[－1,0)上单调递增，所以g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上可知a ＝4.10.⎣⎡⎭⎫94，＋∞ 解析 由于f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1.根据题意可知存在x ∈[1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立，令h (x )＝x 2＋52x ，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min ，又函数h (x )＝x 2＋52x在x ∈[1,2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94. 11.(1)证明 f ′(x )＝a e x cos x －a e x sin x＝2a e x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 令f ′(x )＝0，由x ≥0，得x ＋π4＝m π－π2， 即x ＝m π－3π4，m ∈N *. 而对于cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，当k ∈Z 时， 若2k π－π2＜x ＋π4＜2k π＋π2， 即2k π－3π4＜x ＜2k π＋π4，则cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＞0.若2k π＋π2＜x ＋π4＜2k π＋3π2， 即2k π＋π4＜x ＜2k π＋5π4，则cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＜0. 因此，在区间⎝⎛⎭⎫(m －1)π，m π－3π4与⎝⎛⎭⎫m π－3π4，m π＋π4上，f ′(x )的符号总相反. 于是当x ＝m π－3π4(m ∈N *)时，f (x )取得极值， 所以x n ＝n π－34π(n ∈N *). 此时，f (x n )＝a e n π－3π4cos ⎝⎛⎭⎫n π－3π4 ＝(－1)n ＋12a 2e n π－3π4. 易知f (x n )≠0，而f (x n ＋1)f (x n )＝(－1)n ＋22a 2e (n ＋1)π－3π4(－1)n ＋12a 2e n π－3π4＝－e π是常数，故数列{f (x n )}是首项为f (x 1)＝2a 2e π4，公比为－e π的等比数列.(2)解 对一切n ∈N *，x n ≤|f (x n )|恒成立，即n π－3π4≤2a 2e n π－3π4恒成立，亦即2a ≤e n π－3π4n π－3π4恒成立(因为a ＞0).设g (t )＝e tt (t ＞0)，则g ′(t )＝e t (t －1)t2. 令g ′(t )＝0得t ＝1.当0＜t ＜1时，g ′(t )＜0，所以g (t )在区间(0,1)上单调递减； 当t ＞1时，g ′(t )＞0，所以g (t )在区间(1，＋∞)上单调递增. 因为x 1∈(0,1)，且当n ≥2时，x n ∈(1，＋∞)，x n ＜x n ＋1， 所以[g (x n )]min ＝min{g (x 1)，g (x 2)}＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫g ⎝⎛⎭⎫π4，g ⎝⎛⎭⎫5π4＝g ⎝⎛⎭⎫π4＝4πe π4. 因此，x n ≤|f (x n )|恒成立，当且仅当2a ≤4πe π4. 解得a ≥2π4e －π4.故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2π4e －π4，＋∞. 12.解 (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋e x， 则f ′(x )＝x －e x2，∴当x ∈(0，e)，f ′(x )<0，f (x )在(0，e)上单调递减，当x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )>0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋e e ＝2，∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x 3(x >0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x >0).设φ(x )＝－13x 3＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0,1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0,1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减. ∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，∴x ＝1是φ(x )的最大值点，∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知①当m >23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点.综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0<m <23时，函数g (x )有两个零点.(3)对任意的b >a >0，f (b )－f (a )b －a <1恒成立，等价于f (b )－b <f (a )－a 恒成立.(*)设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋m x －x (x >0)，∴(*)等价于h (x )在(0，＋∞)上单调递减.由h ′(x )＝1x －m x 2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立， 得m ≥－x 2＋x ＝－(x －12)2＋14(x >0)恒成立， ∴m ≥14(对m ＝14，h ′(x )＝0仅在x ＝12时成立)， ∴m 的取值范围是[14，＋∞).。

第47练分类讨论思想[思想方法解读]分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.1.中学数学中可能引起分类讨论的因素：(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等.(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n}的前n项和公式等.(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等.(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等.(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.2.进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不重不漏”.3.解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论.常考题型精析题型一由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论例1设集合A＝{x∈R|x2＋4x＝0}，B＝{x∈R|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围.点评对概念、公式、法则的内含及应用条件的准确把握是解题关键，在本题中，B⊆A，包括B＝∅和B ≠∅两种情况.解答时就应分两种情况讨论，在关于指数、对数的运算中，底数的取值范围是进行讨论时首先要考虑的因素.变式训练1 若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.题型二 分类讨论在含参函数中的应用例2 已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]上有最大值2，求a 的值.点评 本题中函数的定义域是确定的，二次函数的对称轴是不确定的，二次函数的最值问题与对称轴息息相关，因此需要对对称轴进行讨论，分对称轴在区间内和对称轴在区间外，从而确定函数在给定区间上的单调性，即可表示函数的最大值，从而求出a 的值.变式训练2 (2015·江苏)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R ).(1)试讨论f (x )的单调性；(2)若b ＝c －a (实数c 是与a 无关的常数)，当函数f (x )有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞，求c 的值.题型三 根据图形位置或形状分类讨论例3 在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，y ＋x ≤s ，y ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是__________.点评 几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论：(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等.变式训练3 设F 1、F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1＞PF 2，求PF 1PF 2的值.高考题型精练1.对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则判断下式大小关系：f (0)＋f (2)________2f (1).(填“>”“<”“≥”“≤”或“无法确定”)2.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n －1(p 是常数)，则数列{a n }是________数列.(填序号)①等差；②等比； ③等差或等比； ④以上都不对.3.已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k ＝________.4.(2014·四川)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则P A ＋PB 的取值范围是______________.5.(2015·无锡模拟)抛物线y 2＝4px (p >0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等腰三角形，则这样的点P 的个数为________.6.在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________. 7.已知函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝________.8.(2014·浙江)若某流程图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是________.9.(2015·扬州模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m,0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系.10.已知a是实数，函数f(x)＝x(x－a).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设g(a)为f(x)在区间[0,2]上的最小值.①写出g(a)的表达式；②求a的取值范围，使得－6≤g(a)≤－2.答案精析第47练 分类讨论思想常考题型典例剖析例1 解 ∵A ＝{0，－4}，B ⊆A ，于是可分为以下几种情况.(1)当A ＝B 时，B ＝{0，－4}，∴由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1.(2)当B A 时，又可分为两种情况.①当B ≠∅时，即B ＝{0}或B ＝{－4}，当x ＝0时，有a ＝±1；当x ＝－4时，有a ＝7或a ＝1.又由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件；②当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1.综合(1)(2)知，所求实数a 的取值范围为a ≤－1或a ＝1.变式训练1 14解析 若a >1，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 在[0，＋∞)上为减函数，不合题意.若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ，此时a ＝14，m ＝116，检验知符合题意.例2 解 函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a .(1)当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，∴1－a ＝2，∴a ＝－1.(2)当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，∴a 2－a ＋1＝2，∴a 2－a －1＝0，∴a ＝1±52(舍). (3)当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，∴a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.变式训练2 解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2a 3. 当a ＝0时，因为f ′(x )＝3x 2≥0，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－2a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，x ∈⎝⎛⎭⎫－2a 3，0时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－2a 3，0上单调递减； 当a ＜0时，x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫－2a 3，＋∞时，f ′(x )＞0，x ∈⎝⎛⎭⎫0，－2a 3时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫－2a 3，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，－2a 3上单调递减. (2)由(1)知，函数f (x )的两个极值为f (0)＝b ，f ⎝⎛⎭⎫－2a 3＝427a 3＋b ，则函数f (x )有三个零点等价于f (0)·f ⎝⎛⎭⎫－2a 3＝b ⎝⎛⎭⎫427a 3＋b ＜0， 从而⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，－427a 3＜b ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，0＜b ＜－427a 3.又b ＝c －a ，所以当a ＞0时，427a 3－a ＋c ＞0或当a ＜0时，427a 3－a ＋c ＜0. 设g (a )＝427a 3－a ＋c ，因为函数f (x )有三个零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞， 则在(－∞，－3)上g (a )＜0，且在⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞上g (a )＞0均恒成立. 从而g (－3)＝c －1≤0，且g ⎝⎛⎭⎫32＝c －1≥0，因此c ＝1.此时，f (x )＝x 3＋ax 2＋1－a ＝(x ＋1)[x 2＋(a －1)x ＋1－a ]，因函数有三个零点，则x 2＋(a －1)x ＋1－a ＝0有两个异于－1的不等实根，所以Δ＝(a －1)2－4(1－a )＝a 2＋2a －3＞0，且(－1)2－(a －1)＋1－a ≠0，解得a ∈(－∞，－3)∪⎝⎛⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞.综上c ＝1. 例3 [7,8]解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－s ，y ＝2s －4，取点A (2,0)，B (4－s,2s －4)，C (0，s )，C ′(0,4). (1)当3≤s <4时，可行域是四边形OABC ，如图(1)所示，此时，7≤z <8.(2)当4≤s ≤5时，此时可行域是△OAC ′，如图(2)所示，z max ＝8.综上，z ＝3x ＋2y 最大值的变化范围是[7,8]. 变式训练3 解 若∠PF 2F 1＝90°，则PF 21＝PF 22＋F 1F 22，又∵PF 1＋PF 2＝6，F 1F 2＝25，解得PF 1＝143，PF 2＝43，∴PF 1PF 2＝72. 若∠F 1PF 2＝90°，则F 1F 22＝PF 21＋PF 22，∴PF 21＋(6－PF 1)2＝20，又PF 1>PF 2，∴PF 1＝4，PF 2＝2，∴PF 1PF 2＝2. 综上知，PF 1PF 2＝72或2. 常考题型精练1.≥解析 依题意，若任意函数f (x )为常函数时，则(x －1)f ′(x )＝0在R 上恒成立；若任意函数f (x )不是常函数时，当x ≥1时，f ′(x )>0，函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数；当x <1时，f ′(x )<0，f (x )在(－∞，1)上是减函数，故f (x )当x ＝1时取得最小值，即有f (0)>f (1)，f (2)>f (1)，综上，则有f (0)＋f (2)≥2f (1).2.④解析 ∵S n ＝p n －1，∴a 1＝p －1，a n ＝S n －S n －1＝(p －1)p n －1(n ≥2)， 当p ≠1且p ≠0时，{a n }是等比数列；当p ＝1时，{a n }是等差数列；当p ＝0时，a 1＝－1，a n ＝0(n ≥2)，此时{a n }既不是等差数列也不是等比数列.3.－12或0 解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有直线y ＝kx ＋1与直线x ＝0垂直(如图①)或直线y ＝kx ＋1与直线y ＝2x 垂直(如图②)时，平面区域才是直角三角形.由图形可知斜率k 的值为0或－12. 4.[10，25]解析 由动直线x ＋my ＝0知定点A 的坐标为(0,0)，由动直线mx －y －m ＋3＝0知定点B 的坐标为(1,3)，且两直线互相垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动.故当点P 与点A 或点B 重合时，P A ＋PB 取得最小值，(P A ＋PB )min ＝AB ＝10.当点P 与点A 或点B 不重合时，在Rt △P AB 中，有P A 2＋PB 2＝AB 2＝10.因为P A 2＋PB 2≥2P A ·PB ，所以2(P A 2＋PB 2)≥(P A ＋PB )2，当且仅当P A ＝PB 时取等号，所以P A ＋PB ≤2P A 2＋PB 2＝2×10＝25，所以10≤P A ＋PB ≤25，所以P A ＋PB 的取值范围是[10，25].5.4解析 当PO ＝PF 时，点P 在线段OF 的中垂线上，此时，点P 的位置有两个；当OP ＝OF 时，点P 的位置也有两个；对FO ＝FP 的情形，点P 不存在.事实上，F (p,0)，若设P (x ，y )，则FO ＝p ，FP ＝(x －p )2＋y 2，若(x －p )2＋y 2＝p ，则有x 2－2px ＋y 2＝0，又∵y 2＝4px ，∴x 2＋2px ＝0，解得x ＝0或x ＝－2p ，当x ＝0时，不构成三角形.当x ＝－2p (p >0)时，与点P 在抛物线上矛盾.∴符合要求的点P 一共有4个.6.32或6 解析 当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32， S 3＝3a 1＝92，显然成立； 当q ≠1时，由题意，得⎩⎨⎧ a 1q 2＝a 3＝32，a 1(1－q 3)1－q ＝S 3＝92.所以⎩⎨⎧ a 1q 2＝32， ①a 1(1＋q ＋q 2)＝92， ②由①②，得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0，所以q ＝－12或q ＝1(舍去).当q ＝－12时，a 1＝a3q 2＝6.综上可知，a 1＝32或a 1＝6.7.4解析 若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4；当x <0即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，令g (x )＝3x 2－1x 3，g ′(x )＝3(1－2x )x 4>0，g (x )在区间[－1，0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上得a ＝4.8.6解析 输入n ＝50，由于i ＝1，S ＝0，所以S ＝2×0＋1＝1，i ＝2，此时不满足S >50；当i ＝2时，S ＝2×1＋2＝4，i ＝3，此时不满足S >50；当i ＝3时，S ＝2×4＋3＝11，i ＝4，此时不满足S >50；当i ＝4时，S ＝2×11＋4＝26，i ＝5，此时不满足S >50；当i ＝5时，S ＝2×26＋5＝57，i ＝6，此时满足S >50，因此输出i ＝6.9.解 (1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，由题意得4＋p 2＝5，所以p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由题意知，圆M 的圆心为点(0,2)，半径为2.当m ＝4时，直线AK 的方程为x ＝4，此时，直线AK 与圆M 相离；当m ≠4时，由(1)知A (4,4)，则直线AK 的方程为：y ＝44－m (x －m )，即4x －(4－m )y －4m ＝0，圆心M (0,2)到直线AK 的距离d ＝|2m ＋8|16＋(m －4)2，令d >2，解得m >1.所以，当m >1时，直线AK 与圆M 相离；当m ＝1时，直线AK 与圆M 相切；当m <1时，直线AK 与圆M 相交.10.解 (1)函数的定义域为[0，＋∞)，f ′(x )＝3x －a2x (x >0).若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )有单调递增区间[0，＋∞).若a >0，令f ′(x )＝0，得x ＝a3，当0<x <a 3时，f ′(x )<0，当x >a3时，f ′(x )>0.f (x )有单调递减区间[0，a3]，有单调递增区间(a3，＋∞).(2)①由(1)知，若a ≤0，f (x )在[0,2]上单调递增，所以g (a )＝f (0)＝0.11 若0<a <6，f (x )在[0，a 3]上单调递减，在(a 3，2]上单调递增，所以g (a )＝f (a 3)＝－2a 3a3.若a ≥6，f (x )在[0,2]上单调递减， 所以g (a )＝f (2)＝2(2－a ).综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，a ≤0，－2a 3a 3，0<a <6，2(2－a )，a ≥6.②令－6≤g (a )≤－2.若a ≤0，无解. 若0<a <6，解得3≤a <6.若a ≥6，解得6≤a ≤2＋3 2.故a 的取值范围为3≤a ≤2＋3 2.。

压轴大题突破练压轴大题突破练(一) 直线与圆锥曲线(1)1．在平面直角坐标系中，已知点A (1,0)，点B 在直线l ：x ＝－1上运动，过点B 与l 垂直的直线和线段AB 的垂直平分线相交于点M .(1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)过(1)中轨迹E 上的点P (1,2)作两条直线分别与轨迹E 相交于C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)两点．试探究：当直线PC ，PD 的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD 的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．解 (1)依题意，得MA ＝MB .∴动点M 的轨迹E 是以A (1,0)为焦点，直线l ：x ＝－1为准线的抛物线， ∴动点M 的轨迹E 的方程为y 2＝4x .(2)∵P (1,2)，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)在抛物线y 2＝4x 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ② 由①－②得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，∴直线CD 的斜率为k CD ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.③ 设直线PC 的斜率为k ，则PD 的斜率为－k ，则直线PC 方程为y －2＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx －k ＋2，得ky 2－4y －4k ＋8＝0. 由2＋y 1＝4k ，求得y 1＝4k－2， 同理可求得y 2＝－4k－2. ∴k CD ＝4y 1＋y 2＝4(4k －2)＋(－4k－2)＝－1， ∴直线CD 的斜率为定值－1 .2．(2016·课标全国丙)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．由题意知F ⎝⎛⎭⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ， R ⎝⎛⎭⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.(1)证明 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a＝－ab a ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2. 所以 AR ∥FQ .(2)解 设过AB 的直线为l ，设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a |·FD ＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12， S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝1，x 1＝0(舍去)．设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)． 而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1.所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.3．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝22.设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相切于点P 且交直线x ＝2于点N ，△PF 1F 2的周长为2(2＋1)．(1)求椭圆E 的方程；(2)求两焦点F 1、F 2到切线l 的距离之积；(3)求证：以PN 为直径的圆恒过点F 2.(1)解 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝22，2a ＋2c ＝2(2＋1)，解得a ＝2，c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)解 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m⇒(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－1)＝0.设直线l 与椭圆E 相切于点P (x 0，y 0)，则Δ＝0，化简2k 2＋1＝m 2，焦点F 1，F 2到直线l 的距离d 1，d 2分别为d 1＝|－k ＋m |k 2＋1，d 2＝|k ＋m |k 2＋1， 则d 1·d 2＝m 2－k 2k 2＋1＝k 2＋1k 2＋1＝1. (3)证明 ∵x 0＝－2km 1＋2k2＝－2k m ， ∴y 0＝kx 0＋m ＝－2k 2m ＋m ＝m 2－2k 2m ＝1m ， ∴P (－2k m ，1m)． 又联立y ＝kx ＋m 与x ＝2，得到N (2,2k ＋m )， PF 2→＝(1＋2k m ，－1m)，F 2N →＝(1,2k ＋m )． ∴PF 2→·F 2N →＝(1＋2k m ，－1m)·(1,2k ＋m ) ＝1＋2k m －1m(2k ＋m ) ＝1＋2k m －2k m－1＝0. ∴PF 2→⊥F 2N →，∴以PN 为直径的圆恒过点F 2.4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，离心率为22，过点M (2,0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)求OA →·OB →的取值范围；(3)若B 点关于x 轴的对称点是N ，证明：直线AN 恒过一定点．(1)解 由题意知b ＝1，e ＝c a ＝22， 得a 2＝2c 2＝2a 2－2b 2，故a 2＝2.故所求椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)解 设l ：y ＝k (x －2)，与椭圆C 的方程联立，消去y 得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.由Δ>0得0≤k 2<12. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2(x 1－2)(x 2－2)＝(1＋k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)＋4k 2＝10k 2－21＋2k 2＝5－71＋2k 2. ∵0≤k 2<12，∴72<71＋2k 2≤7， 故所求范围是[－2，32)． (3)证明 由对称性可知N (x 2，－y 2)，定点在x 轴上，直线AN ：y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)． 令y ＝0得：x ＝x 1－y 1(x 1－x 2)y 1＋y 2＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2＝2kx 1x 2－2k (x 1＋x 2)k (x 1＋x 2－4)＝2x 1x 2－2(x 1＋x 2)x 1＋x 2－4＝16k 2－41＋2k 2－16k 21＋2k 28k 21＋2k 2－4＝1， 故直线AN 恒过定点(1,0)．。

压轴大题打破练 (四 )函数与导数 (2)11．已知函数 f(x)＝ 2x － sinx ， x ∈R .(1) 试求函数 f(x)的递减区间；(2) 试求函数 f(x)在区间 [－ π， π]上的最值．解(1) 求导得： f ′ (x)＝12－ cosx ，1令 f ′( x)<0 ，即 2－ cosx<0，ππ得－ 3＋ 2k π<x<3＋ 2k π， k ∈Z ，π π∴函数 f(x) 在区间 (－ 3＋ 2k π， 3＋ 2k π)， k ∈ Z 上为减函数．π ππ π(2) 由 (1)知，函数 f( x)在区间 (－ π，－ 3)，( 3，π)上为增函数，在区间 (－3， 3)上为减函数，π π3 π ππ π 3， ∵ f(－ π)∴函数 f(x)在 x ＝－ 处取极大值f(－－ ，在 x ＝处取极小值f(－33)＝ 2633)＝62π πππ＝－ 2， f(π)＝ 2， ∴ 函数 f(x)在区间 [－π， π]上的最大值为 f(π)＝ 2，最小值为 f(－π)＝－ 2.2．已知函数 f(x)＝ alnx ＋ x 2－ 1.(1) 求曲线 y ＝ f( x)在点 (1 ，f(1)) 处的切线方程；(2) 若 f(x)＞ (a ＋ 1)ln x ＋ax － 1 在 (1，＋∞ )上恒建立，求 a 的取值范围．解(1) 由题意得， f ′ (x)＝ a＋2x( x ＞0)，x∴ f ′ (1)＝ a ＋ 2，又 f(1)＝ 0，∴切线方程是 y ＝ (a ＋ 2)(x － 1)， 即( a ＋ 2)x － y － a － 2＝ 0.(2) 由 f(x)＞ (a ＋ 1)ln x ＋ax － 1 得， ax ＜ x 2－ lnx ，∵x ＞ 1， ∴a ＜ x －lnxx 恒建立．令 g(x) ＝ x － lnx，则 g ′ (x)＝ 2＋ lnx － 1x 2， x x令 h(x) ＝ x 2＋ln x －1，则 h ′( x)＝ 2x ＋1x ＞ 0，∴h(x)在 (1，＋∞ )上递加，而 h(1)＝ 0，∴当 x∈ (1，＋∞ )时， h(x)＞ 0，∴ g′ ( x)＞ 0，∴g(x)在 (1，＋∞ )上递加，∴g(x)＞ g(1)＝ 1，∴当 a≤ 1 时， a＜ g(x)恒建立，∴a的取值范围是 (－∞，1]．3． (2016 课·标全国乙 )已知函数f(x)＝ (x－ 2)e x＋ a(x－1)2有两个零点．(1)求 a 的取值范围；(2)设 x1， x2是 f(x)的两个零点，证明： x1＋ x2<2.(1)解 f′ (x)＝ (x－ 1)e x＋ 2a(x－ 1)＝ ( x－ 1)(e x＋ 2a)．①设 a＝ 0，则 f(x)＝ (x－ 2)e x， f(x)只有一个零点．②设 a>0 ，则当 x∈ (－∞， 1)时， f′ (x)<0 ；当 x∈ (1，＋∞)时， f ′(x)>0，所以 f( x)在 (－∞， 1)上单一递减，在(1 ，＋∞ )上单一递加．a又 f(1)＝－ e，f(2)＝ a，取 b 知足 b<0 且 b<ln 2，a223则 f(b)>2(b－ 2)＋ a(b－1)＝a b－2b >0，故 f(x)存在两个零点．③设 a<0 ，由 f′ (x)＝ 0 得 x＝ 1 或 x＝ ln(－ 2a)．e若 a≥ －2，则 ln( －2a)≤ 1，故当 x∈ (1，＋∞) 时， f′ (x)>0 ，所以 f(x)在 (1，＋∞ )上单一递增．又当 x≤ 1 时， f(x)<0 ，所以 f(x) 不存在两个零点．e若 a<－2，则 ln(－ 2a)>1 ，故当 x∈ (1，ln( － 2a)) 时，f′(x)<0；当 x∈ (ln( －2a)，＋∞ )时，f′ (x)>0 ，所以 f( x)在 (1， ln(－ 2a))上单一递减，在(ln( － 2a)，＋∞ )上单一递加．又当 x≤ 1 时， f(x)<0 ，所以 f(x) 不存在两个零点．综上， a 的取值范围为 (0，＋∞ )．(2)证明不如设 x1<x2.由 (1)知， x1∈ (－∞，1)，x2∈ (1，＋∞ )，2－x2∈ (－∞，1)，f(x)在 (－∞，1)上单一递减，所以 x1＋ x2<2 等价于 f(x1)>f(2 －x2)，即 f(2－ x2)<0.因为 f(2 －x2)＝－ x2 e2－ x2＋ a(x2－1) 2，而 f(x2)＝ (x2－2)ex2＋ a( x2－ 1)2＝ 0，所以 f(2 －x2)＝－ x2 e2－ x2－ (x2－ 2)ex2.设 g(x) ＝－ xe2－x－ (x－ 2)e x，则 g′ (x)＝(x－ 1)(e2－x－ e x) ，所以当 x>1 时， g′ (x)<0，而 g(1)＝0，故当 x>1 时， g(x)<0，进而 g(x2)＝f(2－x2 )<0，故 x1＋ x2<2.4．已知函数12f(x)＝ lnx－ 2ax (a∈R)．(1) 若 f(x)在点 (2， f(2)) 处的切线与直线x－ 2y＋ 1＝ 0 垂直，务实数 a 的值；(2)求函数 f(x)的单一区间；2(3) 议论函数f(x)在区间 [1， e ]上零点的个数．解(1) f(x)的定义域为 (0，＋∞ )，∵f(x)＝ lnx－12ax2.11－ ax2∴f ′ (x)＝x－ax＝x，1因为直线x－2y＋ 1＝ 0 的斜率为2，∴1×1－ 4a52＝－ 1，∴ a＝24.211－ ax(2)由 (1)知 f′ (x)＝x－ ax＝x . 当 a≤ 0 时， f′(x)>0 ，∴f(x)在 (0，＋∞ )上单一递加．当 a>0 时，由 f′ (x)>0，得 x<1 a ，由 f′( x)<0 ，得 x>1 a ，∴f(x)在 (0，1a )上单一递加，在(1，＋ ∞ )上单一递减．a综上所述：当 a ≤ 0 时，函数 f(x)的单一递加区间为(0，＋ ∞ )；当 a>0 时，函数 f(x)的单一递加区间为(0，1a )，1 单一递减区间为 (a ，＋ ∞) ．(3) 由 (2)可知，当 a<0 时， f(x)在区间 2[1， e ] 上单一递加，1 2上没有零点．∵f(1)＝－ a>0， ∴ f(x) 在区间 [1， e ]2当 a ＝ 0 时， f(x)在区间 [1， e 2] 上单一递加，1∵f(1)＝－ 2a ＝ 0，∴f(x)在区间 [1 ， e 2 ]上有一个零点．当 a>0 时， ① 若1≤ 1，即 a ≥ 1 时， f(x)在区间 [1， e 2 ]上单一递减，a∵f(1)＝－12a<0， ∴ f(x) 在区间 [1， e ]上没有零点．2②若 1<121112a <e ，即 e 4<a<1 时， f(x)在 [1，a ]上单一递加，在 [a ， e ] 上单一递减，∵f(1)＝－ 11 1 1a<0， f()＝－2lna － ，2 a221 4f(e )＝2－ 2ae .1 1 12 若－ 2lna － 2<0 ，即 a>e 时， f(x)在区间 [1 ，e ] 上没有零点；1 1 1 2若－ 2lna － 2＝0，即 a ＝ e 时， f(x)在区间 [1， e ] 上有一个零点；1 1 1 21 4 4 2若－ 2lna － 2>0 ，即 a<e 时，由 f(e )＝ 2－ 2ae >0 得 a<e 4，此时 f(x)在区间 [1 ， e ]上有一个零 点．21442由 f(e )＝ 2－ 2ae≤ 0，得 a ≥ 4，此时 f(x)在区间 [1， e ] 上有两个零点．e 1 2 12③若a ≥ e 即 0< a ≤ e 4时， f(x)在区间 [1， e ]上单一递加，∵f(1)＝－1 214，a ＜ 0， f(e)＝ 2－ ae >0 22∴f(x)在区间 [1 ， e 2 ]上有一个零点．4 12综上所述，当 0≤ a<e 4或 a ＝ e 时， f(x)在区间 [1 ，e ] 上有一个零点；4 1 2 当 e 4≤a<e 时， f(x)在区间[1，e ]上有两个零点；当 a<0 或 a>1e 时， f(x)在区间 [1， e 2] 上没有零点．。