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2020届贵州省贵阳市第一中学高三高考适应性月考卷（六）数学（文）试题一、单选题 1．已知集合(){}22,2,,A x y xy x Z y Z =+≤∈∈，(){},10B x y x =+>，则A B的元素个数为（ ） A ．9 B ．8C ．6D ．5【答案】C【解析】利用列举法表示集合A ，利用交集的定义可得出集合A B ，即可得出该集合中元素的个数. 【详解】 由题意得()()()()()()()()(){}1,1,1,0,1,1,0,1,0,0,0,1,1,1,1,0,1,1A =------，(){}(){},10,1B x y x x y x =+>=>-，因此，()()()()()(){}0,1,0,0,0,1,1,1,1,0,1,1A B =--，共6个.故选：C. 【点睛】本题考查交集元素个数的计算，解答的关键就是利用列举法表示集合，属于基础题. 2．i 是虚数单位，x 、y 是实数，()()2x i i y yi +=++，则x =（ ） A ．3 B ．1C ．12-D ．13【答案】D【解析】将等式左边的复数利用复数的乘法法则表示为一般形式，结合复数相等得出方程组，即可解得实数x 的值. 【详解】()()23x i i y yi y yi +=++=+，31y x y =⎧∴⎨=⎩，解得13x y ==.故选：D. 【点睛】本题考查利用复数相等求参数，涉及复数乘法法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 3．平面向量a 、b 满足4a =，2b =，()224a b a +⋅=，则2a b -=（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】B【解析】利用平面向量数量积的运算求得a b ⋅的值，计算出()2222a b a b -=-的值，进而可求得2a b -的值. 【详解】()22224224a b a a a b a b +⋅=+⋅=+⋅=，可得4a b ⋅=，()22222222444444216a b a ba ab b ∴-=-=-⋅+=-⨯+⨯=，因此，24a b -=.故选：B. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的模，考查计算能力，属于基础题.4．命题:p x R ∀∈，x e x >，命题0:q x R ∃∈，200x <，下列给出四个命题①p q ∨；②p q ∧；③p q ∧⌝；④p q ⌝∨，所有真命题的编号是（ ） A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④【答案】A【解析】利用导数判断命题p 的正误，并判断出命题q 的正误，再结合复合命题的真假可得出结论. 【详解】对于命题p ，构造函数()xf x e x =-，则()1xf x e '=-，由()00f x x '=⇒=.当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>.所以，函数()y f x =的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,∞+.所以，()()min 01f x f ==，则x R ∀∈，()()010f x f ≥=>，x e x ∴>，命题p 正确；对于命题q ，因为x R ∀∈，20x ≥为真命题，所以命题q 为假命题. 因此，p q ∨为真，p q ∧为假，p q ∧⌝为真，p q ⌝∨为假. 故选：A. 【点睛】本题考查复合命题真假的判断，解答的关键就是判断出各简单命题的真假，考查推理能力，属于中等题.5．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.下列说法中，错误的是（）A．服药组的指标x的均值和方差比未服药组的都低B．未服药组的指标y的均值和方差比服药组的都高C．以统计的频率作为概率，患者服药一段时间后指标x低于100的概率约为0.94 D．这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.5【答案】B【解析】根据服药组和未服药组的数据分布可判断A、B选项的正误；观察服药组的指标x大于100的数据个数，可判断C选项的正误；观察未服药组生理指标y值的分布，可判断D选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A选项，服药组的指标x的取值相对集中，方差较小，且服药组的指标y的均值小于100，未服药组的指标y的均值大于100，A选项正确；对于B选项，未服药组的指标y的取值相对集中，方差较小，B选项错误；对于C选项，服药组的指标x值有3个大于100，所以患者服药一段时间后指标x低于100的概率约为0.94，C选项正确；对于D选项，未服药组的指标y值只有1个数据比1.5小，则这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.5，D选项正确.故选：B.【点睛】本题考查统计图表的应用，考查推理能力，属于基础题.6．已知2sin()cos()33ππαα+=+，则sin2α=（）A ．1-B ．1C ．12D ．0【答案】A【解析】利用两角和的正弦和余弦公式求出tan α的值，然后利用二倍角的正弦公式以及弦化切思想可求出sin 2α的值. 【详解】2sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11sin cos 22αααα-=，可得)(1cos 1sin αα=，tan 1α∴=-.因此，()222212sin cos 2tan sin 22sin cos 1sin cos tan 12ααααααααα⨯-=====-++.故选：A. 【点睛】本题考查二倍角正弦值的计算，同时也考查了两角和正弦和余弦公式的应用以及弦化切思想的应用，考查计算能力，属于中等题.7．直线x m =与椭圆()2221012x yb b+=>交于A 、B 两点，OAB ∆（O 为原点）是面积为3的等腰直角三角形，则b 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】设点A 为第一象限的点，求出点A 的坐标，再将点A 的坐标代入椭圆的方程可求得b 的值. 【详解】不妨设点A 为第一象限的点，则0m >，由于OAB ∆为等腰直角三角形，则点(),A m m .AOB ∆的面积为21232AOB S m m m ∆=⨯⨯==，所以，m ，所以，点A 在椭圆上，则233+112b=，解得2b =.故选：B. 【点睛】本题椭圆方程中参数的求解，涉及三角形面积的计算，解答的关键就是求出椭圆上一点的坐标，考查计算能力，属于中等题.8．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，<2πϕ）的部分图象如图所示，为得到()cos 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度【答案】D【解析】根据图象求出函数()y f x =的解析式，并将函数()y g x =的解析式变形为()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用平移变换可得出结论.【详解】由图象可知，1A =，函数()y f x =的最小正周期为23471T πππ⎛⎫-=⎪⎝⎭=⨯，22Tπω∴==， 777sin 2sin 112126f ππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 22ππϕ-<<，275363πππϕ∴<+<，7362ππϕ∴+=，得3πϕ=，()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()cos 2sin 2sin 2sin 23326123g x x x x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，因此，只需将函数()y f x =的图象向右平移12π个单位可得到函数()y g x =的图象.故选：D. 【点睛】本题考查三角函数图象变换，解答的关键就是根据图象求出函数的解析式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别在1B B 和1C C 上（异于端点），则过三点A 、F 、E 的平面被正方体截得的图形不可能是（ ） A ．正方形B ．不是正方形的菱形C ．不是正方形的矩形D ．梯形【答案】A【解析】作出图形，设正方体的棱长为1，设102BE a a ⎛⎫=<<⎪⎝⎭，利用勾股定理可判断A 选项中的截面图形不可能，结合A 选项的推导可判断B 选项中的截面图形可能，取//EF BC 可判断C 选项中图形可能，取BE CF >可判断D 选项中截面图形可能.综合可得出结论. 【详解】对于A 选项，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，如下图所示：设102BF a a ⎛⎫=<<⎪⎝⎭，平面11//AA B B 平面11CC D D ，平面AEF 平面11AA B B AE =，平面AEF 平面11CC D D FG =，//AE FG ∴，同理//AG EF ，若截面AEFG 为正方形，则AE EF =，过点E 作//EM BC 交1CC 于点M ，易知BE CM =，AE EF =，则MF BE =，22CF BE a ∴==，2221AE EF AB BE a ==+=+22224AF AC CF a +=+由勾股定理得222AF AE EF =+，即222422a a +=+，解得100,2a ⎛⎫=∉ ⎪⎝⎭， 所以，截面不可能是正方形；对于B 选项，由A 选项可知，当2CF BE =时，截面是不为正方形的菱形； 对于C 选项，如下图所示，当//EF BC 时，由于BC ⊥平面11ABB A ，//EF BC ，EF ∴⊥平面11ABB A ，AE ⊂平面11ABB A ，EF AE ∴⊥，平面11//AA B B 平面11CC D D ，平面AEF平面11AA B B AE =，平面AEF平面11CC D D DF =，由面面平行的性质定理可得//AE DF ，//AD BC ，//EF AD ∴，22AE AB BE EF =+>，此时，四边形ADFE 为矩形但不是正方形；对于D 选项，如下图所示，平面11//AA B B 平面11CC D D ，平面AEF平面11AA B B AE =，平面AEF平面11CC D D FG =，由面面平行的性质定理可得//AE FG ，当BE CF >时，过点D 作//DH FG 交1CC 于点H ，易知DH AE =且FG DH AE <=，此时，截面图形为梯形. 故选：A. 【点睛】本题考查正方体截面图形的判断，考查空间想象能力与推理能力，属于中等题. 10．已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+，如图是计算该数列的前n 项和的程序框图，图中①②③应依次填入（ ）A ．i n <，21a a =+，S S a =+B ．i n <，S S a =+，21a a =+C ．i n ≤，21a a =+，S S a =+D ．i n ≤，S S a =+，21a a =+【答案】A【解析】取1n =代入程序框图进行检验可得出正确选项. 【详解】取1n =，已经有1S a ==，即11a =，不能进入循环，判断框应是i n <进入循环；进入循环后第一次加上的应该是2121a a =+，所以先算21a a =+， 故选：A ． 【点睛】本题考查利用算法选择算法程序，考查推理能力，属于中等题.11．过点()2,0A a 作双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线的垂线，垂足为B ，与另一条渐近线交于点C ，B 是AC 的中点，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．【答案】C【解析】推导出双曲线渐近线的倾斜角为60和120，可得3ba=，进而可求得该双曲线的离心率. 【详解】如下图所示，设点A 关于y 轴的对称点为点E ，由于AC OB ⊥，且B 为AC 的中点，且渐近线关于纵轴对称，COB AOB COE ∴∠=∠=∠，60AOB ∴∠=，则tan 603b a ==222212c a b b e a a a +⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，求出双曲线渐近线的倾斜角是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 12．11x =是函数()()321323f x x ax b x b a =++-+-的一个极值点，则ab 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】A【解析】求得()223f x x ax b '=++-，由()10f '=得出22b a =-，由>0∆可得出a 的取值范围，进而利用二次函数的基本性质可求得ab 的取值范围.【详解】()()321323f x x ax b x b a =++-+-，()223f x x ax b '∴=++-.由题意可得()()212204430f a b a b ⎧=+-=⎪⎨∆=-->'⎪⎩，可得221b a a =-⎧⎨≠-⎩， ()2111222,222ab a a a ⎛⎫⎛⎤∴=-=--+∈-∞ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.故选：A. 【点睛】本题考查利用极值点求参数的取值范围，涉及二次函数基本性质的应用，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题13．函数()222x f x x =-的零点个数为_______. 【答案】3【解析】作出函数xy =与2yx 的部分图象，观察交点个数并结合两个函数的增长趋势即可得出结论. 【详解】由()2202x f x x=⇒=，作出函数xy =与2yx 的部分图象，可知两函数在区间(),2-∞上的图象有两个交点，并注意到指数函数xy =的增长速度最终会远远超过幂函数2yx 的增长速度，所以两函数在区间()2,+∞上必有一个交点，因此，函数xy =与2yx 的图象有3个交点，所以，函数()y f x =有3个零点. 故答案为：3.【点睛】本题考查函数的零点个数，一般转化为两个函数图象的交点个数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.14．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，1PA AB AD ===，3BC CD BD ===，则四棱锥的外接球的表面积为_________.【答案】5π【解析】推导出AB AC ⊥，AD CD ⊥，从而可求得四边形ABCD 的外接圆半径r ，再由PA ⊥平面ABCD 可得出222PA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求得外接球的半径，结合球体表面积公式可得出结果. 【详解】1AB AD ==，3BD =2223cos 2AB BD BD ABD AB BD +-∠==⋅，30ABD ∴∠=，3BC CD BD ===60CBD ∴∠=，则90ABC ∠=，同理可知90ADC ∠=， AB BC ∴⊥，AD CD ⊥，∴四边形ABCD 的外接圆半径为12ACr ==， PA ⊥平面ABCD ，所以，该四棱锥的外接球半径为2252PA R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 因此，四棱锥的外接球的表面积为245R ππ=. 故答案为：5π.【点睛】本题考查外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，考查推理能力与计算能力，属于中等题.15．在ABC ∆中，D 是AB 边上一点，2AD DB =，DC AC ⊥，3DC =，7BC =，则AB =_______. 【答案】3【解析】设BD x =，在Rt ACD ∆中求出cos A ，然后在ABC ∆中利用余弦定理可得出关于x 的方程，解出x 的值，进而可求得AB 的长. 【详解】如图，设BD x =，则2AD x =，在Rt ACD ∆中，AC CD ⊥，3CD =，则243AC x =-，243cos AC x A AD -∴==，在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，即()22224394323437x x x x x -+--⨯-=，解得1x =，因此，33AB x ==. 故答案为：3. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.16．奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当01x <≤时，()()2log 4f x x a =+，若1522f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()a f a +=___________. 【答案】2【解析】推导出函数()y f x =是以4为周期的奇函数，由1522f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可求得a 的值，由此可计算出()a f a +的值. 【详解】由于函数()y f x =为奇函数，且()()()111f x f x f x +=-=--，即()()2f x f x +=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，所以，函数()y f x =是以4为周期的奇函数，()21511log 22222f f fa ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得2a =. ()()()222f f f =-=-，()20f ∴=.因此，()()222a f a f +=+=. 故答案为：2. 【点睛】本题考查函数值的计算，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题17．为抗击“新冠肺炎”，全国各地“停课不停学”，各学校都开展了在线课堂，组织学生在线学习，并自主安排时间完成相应作业为了解学生的学习效率，某在线教育平台统计了部分高三备考学生每天完成数学作业所需的平均时间，绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）如果学生在完成在线课程后每天平均自主学习时间（完成各科作业及其他自主学习）为5小时，估计高三备考学生每天完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（结果精确到0.01）；（2）以统计的频率作为概率，估计一个高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的概率.【答案】（1）0.18；（2）0.28.【解析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，相加后可得出学生每天完成数学作业的平均时间，再除以300可得出结果；（2）根据频率直方图计算出位于45左侧的矩形的面积之和，由此可得出结果. 【详解】（1）高三备考学生每天完成数学作业的平均时间的平均值的估计值为 300.1400.18500.3600.25700.12800.0552.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例估计值为52.60.18300≈； （2）由直方图知，样本中高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的频率为0()0.010.018100.28+⨯=，估计每个高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的概率为0.28． 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查利用频率分布直方图计算平均数以及频率，考查计算能力，属于基础题.18．n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，对任意正整数n ，2n S 是1n n a a +与1的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列18n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的最大项与最小项.【答案】（1）21n a n =-；（2）最大项是第4项，值为9，最小项是第5项，值为11-. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得出1122234141S a a S a a =+⎧⎨=+⎩，可得出关于1a 和d 的方程组，解出这两个量，由此可得出数列{}n a 的通项公式；（2）由题意得出1101829n n a a n +=----，分4n ≤和5n ≥两种情况讨论，结合数列18n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的单调性可得出其最大项和最小项的值. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知，对任意的n *∈N ，141n n n S a a +=+，可得1122234141S a a S a a =+⎧⎨=+⎩，即()()()()111111414221a a a d a d a d a d ⎧=++⎪⎨+=+++⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或11414a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 当11a =，2d =时，21n a n =-，2n S n =满足条件；当114a =，14d =-时，31330S a d =+=不满足条件，舍去. 综上，数列{}n a 的通项公式为21n a n =-；（2）121211018922929n n a n n a n n n +++==-=------. 当4n ≤时，290n -<，则11011829n n a a n +=-->---，此时数列18n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递增； 当5n ≥时，290n ->，则11011829n n a a n +=--<---，此时数列18n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递增. 数列18n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的最大项是第4项，值为9，最小项是第5项，值为11-.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了利用数列的单调性求数列的最大项和最小项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19．点P 是直线2y =-上的动点，过点P 的直线1l 、2l 与抛物线2y x 相切，切点分别是A 、B .（1）证明：直线AB 过定点；（2）以AB 为直径的圆过点()2,1M ，求点P 的坐标及圆的方程. 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y 、(),2P b -，利用导数求出切线1l 、2l 的方程，将点P 的坐标代入直线1l 、2l 的方程，可得出直线AB 的方程，进而可得出直线AB 所过的定点坐标；（2）设直线AB 的方程为()22y kx k b =+=，将该直线方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由题意得出0MA MB ⋅=，利用向量数量积的坐标运算，代入韦达定理可求得k ，进而可得出点P 的坐标以及圆的标准方程. 【详解】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y 、(),2P b -， 对函数2yx 求导得2y x '=，所以，直线1l 的方程为()1112y y x x x -=-，即1120x x y y --=，同理可得直线2l 的方程为2220x x y y --=，将点P 的坐标代入直线1l 、2l 的方程得1122220220bx y bx y -+=⎧⎨-+=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程220bx y -+=，由于两点确定一条直线，所以，直线AB 的方程为220bx y -+=，该直线过定点()0,2； （2）设直线AB 的方程为()22y kx k b =+=，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立得220x kx --=，则240k ∆=+>， 由韦达定理得122x x =-，12x x k +=，因为()2,1M 在AB 为直径的圆上，所以0MA MB ⋅=，()()11112,12,1MA x y x kx =--=-+，同理()222,1MB x kx =-+，()()()()()()()21212121222111250MA MB x x kx kx k x x k x x ∴⋅=--+++=++-++=，即2230k k +-=，解得1k =或3k =-. 当1k =时，1,22P ⎛⎫-⎪⎝⎭，直线AB 的方程为2y x =+，圆心为15,22⎛⎫⎪⎝⎭，半径r ==22159222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当3k =-时，3,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线AB 的方程为32y x =-+，圆心为313,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径223138521222r ⎛⎫⎛⎫=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆的标准方程为2231385222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 综上所述，当1k =时，1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，圆的标准方程为22159222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当3k =-时，3,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，圆的标准方程为2231385222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查抛物线中直线过定点的问题，以及圆的方程的求解，涉及抛物线的切线方程的求解以及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.20．如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，24BC AC ==，DA DC =，3CD =，F 是BC 的中点，EF ⊥平面ABC ，22EF =.（1）证明：A 、B 、E 、D 四点共面； （2）求三棱锥B CDE -的体积. 【答案】（1）见解析；（2）423. 【解析】（1）取BC 的中点M ，连接DM 、MF ，利用面面垂直的性质定理得出DM ⊥平面ABC ，结合线面垂直的性质得出//EF DM ，证明出四边形DEFM 为平行四边形，可得出//DE MF ，由中位线的性质得出//MF AB ，进而得出//DE AB ，由此可证得结论；（2）由（1）知//DM EF ，可推导出//DM 平面BCE ，可得出点D 到平面BCE 的距离等于点M 到平面BCE 的距离，进而得到D BCE M BCE E BCM V V V ---==，进而得解. 【详解】（1）如图，取BC 的中点M ，连接DM 、MF因为3DA DC ==，2AC =，M 为BC 的中点，所以DM AC ⊥，且22DM =，因为平面ACD ⊥平面ABC ，交线为AC ，DM ⊂平面ACD ，所以DM ⊥平面ABC ，又EF ⊥平面ABC ，所以//DM EF ，且22DM EF == 四边形DEFM 是平行四边形，从而//DE MF ，在ABC ∆中，M 、F 是AC 、BC 的中点，所以//MF AB ， 所以//DE AB ，从而A 、B 、E 、D 四点共面；（2）由（1）//DM EF ，DM ⊄平面BCE ，EF ⊂平面BCE ，//DM ∴平面BCE ， 所以，点D 到平面BCE 的距离等于点M 到平面BCE 的距离， 则三棱锥D BCE -与三棱锥M BCE -的体积相等，AC BC ⊥，24BC AC ==，M 为AC 的中点，BCM ∴∆的面积为122BCM S CM BC ∆=⋅=，又EF ⊥平面ABC ，且22EF =14233B CDE D BCE M BCE E BCM BCM V V V V S EF ----∆====⋅=. 【点睛】本题考查四点共面的证明，同时也考查了利用等体积法求三棱锥的体积，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 21．已知函数()321132a f x x x axb +=-++. （1）试讨论()f x 的单调性；（2）当函数()f x 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是()()1,00,3,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，求b 的值.【答案】（1）见解析；（2）0b =.【解析】（1）求得()()()1f x x x a '=--，然后对a 与1的大小关系进行分类讨论，分析导数的符号变化，可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间；（2）由题意可知1a ≠，可得出函数()y f x =的两个极值分别为()f a 、()1f ，由题意得出()()10f a f ⋅<，由此得出()()23363160a a b a b -+-+<，令()()()2336316g a a a b a b =-+-+，由题意得()()13003g g g ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，进而可得出实数b 的值. 【详解】 （1）()321132a f x x x axb +=-++，()()()()211f x x a x a x x a '∴=-++=--.当1a =时，()()210f x x '=-≥，此时，函数()y f x =在(),-∞+∞上单调递增；当1a <时，令()0f x '<，得1<<a x ，令()0f x '>，得x a <或1x >.此时，函数()y f x =的单调递减区间为(),1a ，单调递增区间为(),a -∞和()1,+∞； 当1a >时，令()0f x '<，得1x a <<，令()0f x '>，得1x <或x a >.此时，函数()y f x =的单调递减区间为()1,a ，单调递增区间为(),1-∞和(),a +∞. 综上所述，当1a =时，函数()y f x =的单调递增区间为(),-∞+∞；当1a <时，函数()y f x =的单调递减区间为(),1a ，单调递增区间为(),a -∞和()1,+∞；当1a >时，函数()y f x =的单调递减区间为()1,a ，单调递增区间为(),1-∞和(),a +∞；（2）当1a =时，函数()y f x =在R 上单调递增，至多一个零点，不合乎题意，所以，1a ≠，则函数()y f x =有两个极值()23366a a bf a -+=，()63116b a f +-=. 若函数()y f x =有三个不同的零点，则()()10f a f ⋅<，即()()23363160aa b a b -+-+<，由于a 的取值范围恰好是()()1,00,3,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，令()()()2336316g a a a b a b =-+-+，则该函数的三个零点分别为0、13、3.由()()36680g b b =+=，得0b =或43b =-； 由()()06610g b b =-=，得0b =或16b =； 由18660327g b b ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得0b =或481b =-. 因此，0b =. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用函数的零点个数求解参数，将问题转化为函数的零点是解答的关键，考查化归与转化思想以及分类讨论思想的应用，属于中等题.22．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为21sin ρθ=-，P 点的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，在平面直角坐标系中直线l 经过点P ，且倾斜角为60.（1）写出曲线C 的直角坐标方程以及点P 的直角坐标；（2）设直线与曲线C 相交于A 、B 两点，求11PA PB+的值. 【答案】（1）244x y =+，()0,1P ；（2【解析】（1）由21sin ρθ=-得出sin 2ρρθ=+2y =+，化简变形可得出曲线C 的普通方程，利用直角坐标与极坐标的转换关系可将点P 的极坐标化为直角坐标；（2）写出直线l 的参数方程，设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程与曲线C 的普通方程联立，列出韦达定理，进而可得出1212121111t t PA PB t t t t ++=+=，求解即可. 【详解】 （1）因为21sin ρθ=-，sin 2ρρθ=+2y =+，两边平方整理得244x y =+，所以，曲线C 的普通方程为244x y =+. 点P 的直角坐标cos02P x π==，sin12P y π==，即点()0,1P ；（2）直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），将直线l 的参数方程与曲线C 的方程244x y =+联立，得2320t --=，由韦达定理得12t t +=1232t t =-，121212121211114t t t t PA PB t t t t t t +-+=+=====.【点睛】 本题考查极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了利用直线参数方程的几何意义求值，涉及韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 23．已知()()()2f x x m x x x m =-++-.（1）当2m =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若1x >时，()0f x >，求m 的取值范围【答案】（1）(),1-∞-；（2）(],1-∞.【解析】（1）分0x ≤、02x <<、2x ≥三种情况解不等式()0f x <，综合可得出该不等式的解集；（2）由()0f m =且当1x >时，()()0f x f m >=，可得出1m ，再分析当1m 且1x >时()f x 的符号，即可得出实数m 的取值范围.【详解】 （1）当2m =时，()()()22224,222224,02224,0x x x f x x x x x x x x x x ⎧--≥⎪=-++-=-+<<⎨⎪-++≤⎩. 当0x ≤时，由()0f x <，得22240x x -++<，即220x x -->，解得1x <-或2x >，此时1x <-；当02x <<时，由()0f x <，得240x -+<，解得2x >，此时x ∈∅； 当2x ≥时，由()0f x <，得22240x x --<，解得12x -<<，此时x ∈∅. 综上所述，不等式()0f x <的解集为(),1-∞-；（2）对任意的1x >时，因为()0f m =，()()0f x f m >=恒成立，1m ∴≤.当1m 且1x >时，()()()()()()2210f x x m x x x m x x m =-++-=+->恒成立，因此，实数m 的取值范围是(],1-∞.【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用函数不等式恒成立求参数，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.。
2020年高考数学（4月份）模拟试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合U＝{0，1，2，3，4}，A＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，B＝{1，2，3}，则（∁U A）∪B ＝（）A．{3}B．{0，1，2}C．{1，2，3}D．{1，2，3，4} 2．函数f（x）＝cos2x﹣sin2x的最小正周期是（）A．π2B．πC．2πD．4π3．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义，仅由七块板（五个等腰直角三角形，一个正方形，一个平行四边形）组成的．如图，将七巧板拼成一个正方形ABCD，在正方形ABCD内任取一点P，则该点落在正方形EFGH内的概率为（）A．14B．15C．16D．184．已知直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，则“α∥β”是“m⊥n”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条作C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．据记载，欧拉公式e ix＝cos x+i sin x（x∈R）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”．特别是当x＝π时，得到一个令人着迷的优美恒等式eπi+1＝0，将数学中五个重要的数（自然对数的底e，圆周率π，虚数单位i，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”．根据欧拉公式，若复数eπ4i的共轭复数为z，则z=（）A．−√22−√22i B．−√22+√22i C．√22+√22i D．√22−√22i6．若a＝20.3，b＝log20.3，c＝log32，则实数a，b，c之间的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c7．已知一块形状为正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）的实心木材，AB＝2，AA1＝3．若将该木材经过切割加工成一个球体，则此球体积的最大值为（）A．92πB．8√23πC．43πD．17√176π8．函数f（x）＝（2x﹣2﹣x）sin x cos x的部分图象大致是（）A．B．C．D．9．设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F作垂直于x轴的直线交C于A，B两点．若以线段AB为直径的圆与C的渐近线相切，则双曲线C的离心率为（）A．√5B．√3C．√2D．√5210．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例：以下四个选项错误的是（）A．54周岁以上参保人数最少B．18～29周岁人群参保总费用最少C．丁险种更受参保人青睐D．30周岁以上的人群约占参保人群的80%11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线l与x轴相交于点M，过点M作斜率为k 的直线与抛物线C相交于A，B两点，若∠AFB＝60°，则k＝（）A．±12B．±√24C．±√22D．±√3212．已知函数f（x）＝|x|−1x−3，f'（x）是f（x）的导函数．①f（x）在区间（0，+∞）是增函数；②当x∈（﹣∞，0）时，函数f（x）的最大值为﹣1；③y＝f（x）﹣f'（x）有2个零点；④f'（x）﹣f'（﹣x）＝2．则上述判断正确的序号是（）A．①③B．①④C．③④D．①②二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知点P（x，y）满足约束条件{x+y≥4x−y≥0x≤4，则原点O到点P的距离的最小值为．14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若bc＝16，√3（b cos C+c cos B）cos A ＝a sin A，则△ABC的面积为．15．如程序框图所示，若输入a＝1010，k＝8，n＝4，则输出b＝．16．如图是由六个边长为1的正六边形组成的蜂巢图形，定点A，B是如图所示的两个顶点，动点P在这些正六边形的边上运动，则AP→⋅AB→的最大值为．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．2019年底，湖北省武汉市等多个地区陆续出现感染新型冠状病毒肺炎的患者，为及时有效地对疫情数据进行流行病学统计分析，某地研究机构针对该地实际情况，根据该地患者是否有武汉旅行史与是否有确诊病例接触史，将新冠肺炎患者分为四类：有武汉旅行史（无接触史），无武汉旅行史（无接触史），有武汉旅行史（有接触史）和无武汉旅行史（有接触史），统计得到以下相关数据（1）请将列联表填写完整有接触史无接触史总计有武汉旅行史 27 无武汉旅行史18 总计2754（2）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关系？附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d P （K 2≥k ）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k2.0722.7063.8415.0246.63518．已知{a n }为等差数列，各项为正的等比数列{b n }的前n 项和为S n ，2a 1＝b 1＝2，a 2+a 8＝10，________．在①λS n ＝b n ﹣1；②a 4＝S 3﹣2S 2+S 1；③b n ＝2λa n 这三个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答（如果选择多个条件解答，则以选择第一个解答记分）（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{a n •b n }的前n 项和T n ．19．图1是直角梯形ABCD ，AB ∥DC ，∠D ＝90°，AB ＝2，DC ＝3，AD =√3，点E 在DC 上，CE ＝2ED ，以BE 为折痕将△BCE 折起，使点C 到达C 1的位置，且AC 1=√6，如图2． （1）证明：平面BC 1E ⊥平面ABED ； （2）求点B 到平面AC 1D 的距离．20．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，A ，B 两点分别是椭圆C 的上，下顶点，△AF 1F 2是等腰直角三角形，延长AF 1交椭圆C 于D 点，且△ADF 2的周长为4√2． （1）求椭圆C 的方程；（2）设点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线AP，BP与直线l：y＝﹣2分别相交于M，N两点，点Q（0，﹣5），求证：△MNQ的外接圆恒过原点O．21．已知函数f（x）=−1x2．（1）若直线y＝﹣2x+m与曲线y＝f（x）相切，求m的值；（2）对任意x∈（0，+∞），alnx﹣f（x）﹣1≥0成立，求实数a的值．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.[选修44：坐标系与参数方程]22．如图，在以O为极点，Ox轴为极轴的极坐标系中，圆C1，C2，C3的方程分别为ρ＝4sinθ，ρ=4sin(θ+2π3)，ρ＝4sin（θ−2π3）．（1）若C1，C2相交于异于极点的点M，求点M的极坐标（ρ＞0，0≤θ＜2π）；（2）若直线l：0＝α（p∈R）与C1，C3分别相交于异于极点的A，B两点，求|AB|的最大值．[选修45：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a+b|+|x﹣c|的最小值为6，a，b，c∈R+．（1）求a+b+c的值；（2）若不等式1a+1+4b+2+9c+3≥|2m−3|恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合U＝{0，1，2，3，4}，A＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，B＝{1，2，3}，则（∁U A）∪B ＝（）A．{3}B．{0，1，2}C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}【分析】根据集合的基本运算即可求（∁U A）∩B；解：∵U＝{0，1，2，3，4}，A＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，则（∁U A）∪B＝{3，4}∪{1，2，3}＝{1，2，3，4}故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．函数f（x）＝cos2x﹣sin2x的最小正周期是（）A．π2B．πC．2πD．4π【分析】利用二倍角的余弦公式求得y＝cos2x，再根据y＝A cos（ωx+φ）的周期等于T= 2πω，可得结论．解：∵函数y＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，∴函数的周期为T=2π2=π，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的余弦公式，利用了y＝A sin（ωx+φ）的周期等于T=2πω，属于基础题．3．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义，仅由七块板（五个等腰直角三角形，一个正方形，一个平行四边形）组成的．如图，将七巧板拼成一个正方形ABCD，在正方形ABCD内任取一点P，则该点落在正方形EFGH内的概率为（）A ．14B ．15C ．16D ．18【分析】根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积，即可得到结论． 解：设正方形的边长为2，则阴影部分由2个小等腰直角三角形构成，则正方形的对角线长为2√2，则EF =2√24=√22，则正方形EFGH 的面积为：(√22)2=12，正方形的面积为4，若在此正方形中任取一点，则此点取自正方形EFGH 的概率为：124=18， 故选：D ．【点评】本题主要考查几何概型的应用，根据图形，求出对应区域的面积是解决本题的关键．4．已知直线m ⊥平面α，直线n ⊂平面β，则“α∥β”是“m ⊥n ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条作 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．解：∵直线m ⊥平面α，直线n ⊂平面β，∴若α∥β可得m ⊥β，m ⊥n ；若m ⊥n ，则m 不一定垂直β，∴α与β不一定平行；∴“α∥β”是“m ⊥n ”的充分不必要条件． 故选：A ．【点评】本题主要借助于立体几何的知识来考查充分条件和必要条件的判断，掌握立体几何的基础知识是解决本题的关键．5．据记载，欧拉公式e ix ＝cos x +i sin x （x ∈R ）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”．特别是当x ＝π时，得到一个令人着迷的优美恒等式e πi +1＝0，将数学中五个重要的数（自然对数的底e ，圆周率π，虚数单位i ，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”．根据欧拉公式，若复数e π4i 的共轭复数为z ，则z =（ ）A ．−√22−√22iB ．−√22+√22iC ．√22+√22iD ．√22−√22i【分析】复数e π4i =cos π4+i sin π4，进而得出共轭复数为z ． 解：复数e π4i =cos π4+i sin π4=√22+√22i ，则共轭复数为z=√22−√22i，故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．若a＝20.3，b＝log20.3，c＝log32，则实数a，b，c之间的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c【分析】由已知，将a、b、c与0和1比较得出答案．解：由题意可知a＝20.3＞20＝1，b＝log20.3＜log22﹣1＝﹣1，0＜c＝log32＜log33＝1，∴a＞c＞b．故选：B．【点评】本题考查对数比较大小，是基础题．7．已知一块形状为正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）的实心木材，AB＝2，AA1＝3．若将该木材经过切割加工成一个球体，则此球体积的最大值为（）A．92πB．8√23πC．43πD．17√176π【分析】若将该木材经过切割加工成一个球体，则此球体积的最大值时，即与该四棱柱的侧面相切的球，结合球体积公式可求．解：因为AB＝2，AA1＝3即AB＜AA1，若将该木材经过切割加工成一个球体，则此球体积的最大值时，即与该四棱柱的侧面相切的球，从而R＝1，所以V=4π3．故选：C．【点评】本题主要考查了球体积的求解，属于基础试题．8．函数f（x）＝（2x﹣2﹣x）sin x cos x的部分图象大致是（）A．B ．C ．D ．【分析】由函数的奇偶性，函数的零点以及特殊点的函数值即可得出选项．解：f （﹣x ）＝（2﹣x ﹣2x ）sin （﹣x ）cos （﹣x ）＝（2x ﹣2﹣x ）sin x cos x ＝f （x ），则f（x ）为偶函数，其图象关于y 轴对称，可排除A ； f(π2)=0，f(π)=0，f(1)=32sin1cos1＞0，f(2)=154sin2cos2＜0，可排除C ，D ； 故选：B ．【点评】本题考查利用函数性质确定函数图象，考查属数形结合思想，属于基础题． 9．设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆与C 的渐近线相切，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√5B ．√3C ．√2D ．√52【分析】根据条件可不妨F （c ，0）（c ＞0），分别表示出A ，B ，渐近线方程，根据条件可得a ＝b ，进而可求的离心率．解：根据条件不妨令F （c ，0）（c ＞0），则A （c ，b 2a），B （c ，−b 2a），且F 为圆心，又渐近线方程为y ＝±bax ，则F到渐近线的距离d=|bc|√a2+b=b，则b=b 2a，所以a＝b，故c2＝2a2，所以e=√c2a2=√2，故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义，考查双曲线离心率的表示，整体思想，属于中档题．10．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例：以下四个选项错误的是（）A．54周岁以上参保人数最少B．18～29周岁人群参保总费用最少C．丁险种更受参保人青睐D．30周岁以上的人群约占参保人群的80%【分析】根据选项逐一对应相应的统计图即可进行判断．解：由扇形图可得，54周岁以上参保人数最少，30周岁以上的人群约占参保人群的39%+33%+8＝80%，故A、D对；由折现图可知，18～29周岁人群参保费用最少，但是因为参保人数并不是最少的，故其总费用不是最少，故B错误；由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故C正确；故选：B．【点评】本题考查通过统计图进行合情推理，数形结合，属于基础题．11．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，其准线l 与x 轴相交于点M ，过点M 作斜率为k 的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，若∠AFB ＝60°，则k ＝（ ） A ．±12B ．±√24C ．±√22D ．±√32【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，过点M 作斜率为k 的直线方程设为y ＝k （x +1），联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，以及余弦定理，化简整理，解方程可得斜率k ．解：抛物线y 2＝4x 的焦点为F （1，0），准线方程为x ＝﹣1，M （﹣1，0）， 过点M 作斜率为k 的直线方程设为y ＝k （x +1），联立抛物线方程，可得 k 2x 2+（2k 2﹣4）x +k 2＝0，k ≠0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得|AF |＝x 1+1，|BF |＝x 2+1， 则△＝（2k 2﹣4）2﹣4k 4＞0，即﹣1＜k ＜1，且k ≠0， x 1+x 2=4k2−2，x 1x 2＝1，可得|AB |=√1+k 2|x 1﹣x 2|=√1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2•√(4k2−2)2−4=4•√1−k 4k ，在△AFB 中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF |2+|BF |2﹣2|AF |•|BF |•cos60° ＝（x 1+1）2+（x 2+1）2﹣2（x 1+1）（x 2+1）•12=（x 1+x 2）2+（x 1+x 2）﹣2＝（4k −2）2+（4k −2）﹣2=16k4−12k2=16(1−k 4)k4，解得k ＝±√32， 故选：D ．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查三角形的余弦定理，化简运算能力，属于中档题． 12．已知函数f （x ）＝|x |−1x−3，f '（x ）是f （x ）的导函数．①f （x ）在区间（0，+∞）是增函数；②当x ∈（﹣∞，0）时，函数f （x ）的最大值为﹣1；③y ＝f （x ）﹣f '（x ）有2个零点；④f '（x ）﹣f '（﹣x ）＝2． 则上述判断正确的序号是（ ） A ．①③B ．①④C ．③④D ．①②【分析】直接利用分类讨论思想的应用和函数的导数的应用求出函数的额单调区间和函数的极值和最值，进一步求出正确的结果．解：函数f（x）＝|x|−1x−3，f'（x）是f（x）的导函数．所以①当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x−1x−3，所以f′(x)=1+1x2＞0，所以①f（x）在区间（0，+∞）是增函数；正确．②当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝﹣x−1x −3，所以f′(x)=12−1=1−x22，令f′（x）＝0，解得x＝±1，由于x∈（﹣∞，0），所以x∈（﹣∞，﹣1）为减函数，x∈（﹣1，0）上为增函数，所以函数存在极小值即f （﹣1）＝﹣1，即为最小值．故错误．③当x＞0时，f(x)=x−1x −3，所以所以f′(x)=1+1x2＞0，所以f（x）在区间（0，+∞）是增函数；函数具有单调性f（0）•f（4）＜0，所以函数在（0，+∞）上存在一个零点，当x＜0时，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝﹣x−1x−3，所以f′(x)=1x2−1=1−x2x2=−(x+1)(x−1)x2，令f′（x）＝0，解得x＝±1，由于x∈（﹣∞，0），所以x∈（﹣∞，﹣1）为减函数，x∈（﹣1，0）上为增函数，所以函数有1个零点，故y＝f（x）﹣f'（x）有2个零点；故正确．④当x＞0时，f′(x)−f′(−x)=1+1x2−(1+1x2)=0≠2，故错误．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：函数的导数的应用，利用函数的导数的应用求出函数的单调区间和函数的最值，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知点P（x，y）满足约束条件{x+y≥4x−y≥0x≤4，则原点O到点P的距离的最小值为2√2．【分析】由约束条件作出可行域，然后判断原点到点P的距离的最小值，求解即可．解：点P（x，y）满足约束条件{x+y≥4x−y≥0x≤4，作出可行域如图，A（2，2），原点O到P的距离的最小值为：如图所示，可知A与P重合时，|OP|＝2√2．故答案为：2√2．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若bc＝16，√3（b cos C+c cos B）cos A ＝a sin A，则△ABC的面积为4√3．【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求A，然后结合三角形的面积公式即可求解．解：∵√3（b cos C+c cos B）cos A＝a sin A，∴√3（sin B cos C+sin C cos B）cos A＝sin A sin A，所以√3sin（B+C）cos A=√3sin A cos A＝sin A sin A，因为sin A≠0，所以tan A=√3，所以A=13π，∴S△ABC=12bcsinA=12×16×√32=4√3．故答案为：4√3．【点评】本题主要考查了和差角公式，同角基本关系及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．15．如程序框图所示，若输入a＝1010，k＝8，n＝4，则输出b＝520．【分析】根据框图的算法功能，从i＝2开始确定b的值，一直到i＝5时结束，此时循环体执行了四次！解：由题意得：i＝2时，b＝0+0×81﹣1＝0，i＝3时，b＝0+1×82﹣1＝8，i＝4时，b＝8+0×83﹣1＝8，i＝5时，b＝8+1×84﹣1＝520．此时i＞4，结束循环．故输出b的值为520．故答案为：520．【点评】本题考查循环结构的当型循环，注意运行循环体时i的值比前面执行框中的i 大1．本题同时考查了学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于基础题．16．如图是由六个边长为1的正六边形组成的蜂巢图形，定点A，B是如图所示的两个顶点，动点P在这些正六边形的边上运动，则AP→⋅AB→的最大值为452．【分析】观察图象可知点P 在线段MN 上运动时，AP →⋅AB →最有可能取到最大值，建立平面直角坐标系，把向量数量积转化为坐标运算，结合函数单调性可求最值． 解：以A为坐标原点建立平面直角坐标系如图，则A(0，0)，B(2√3，3)，M(√3，5)，N(3√32，92)，由图可知点P 在线段MN 上运动时，AP →⋅AB →最有可能取到最大值，线段MN ：y =−√33(x −√3)+5，x ∈[√3，3√32]，设P （x ，y ），则AB →=(2√3，3)，AP →=(x ，y)，AB →⋅AP →=2√3x +3y =√3x +18， 因为x ∈[√3，3√32]，且y =√3x +18 为增函数， 所以AB →⋅AP →≤√3×3√32+18=452．故答案为：452．【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，平面向量问题优先利用坐标运算进行求解，侧重考查数学运算的核心素养．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．2019年底，湖北省武汉市等多个地区陆续出现感染新型冠状病毒肺炎的患者，为及时有效地对疫情数据进行流行病学统计分析，某地研究机构针对该地实际情况，根据该地患者是否有武汉旅行史与是否有确诊病例接触史，将新冠肺炎患者分为四类：有武汉旅行史（无接触史），无武汉旅行史（无接触史），有武汉旅行史（有接触史）和无武汉旅行史（有接触史），统计得到以下相关数据（1）请将列联表填写完整有接触史无接触史总计 有武汉旅行史 27 无武汉旅行史18 总计2754（2）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关系？附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d P （K 2≥k ）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k2.0722.7063.8415.0246.635【分析】根据题意填表，计算，判断． 【解答】解（1）填表如下：有接触史无接触史 总计 有武汉旅行史 9 18 27 无武汉旅行史18 9 27 总计272754（2）k 2=54(9×9−18×18)227×27×27×27=6＞5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关系．【点评】本题考查独立性检验，以及平均值，属于中档题．18．已知{a n }为等差数列，各项为正的等比数列{b n }的前n 项和为S n ，2a 1＝b 1＝2，a 2+a 8＝10，________．在①λS n ＝b n ﹣1；②a 4＝S 3﹣2S 2+S 1；③b n ＝2λa n 这三个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答（如果选择多个条件解答，则以选择第一个解答记分）（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{a n •b n }的前n 项和T n ．【分析】选②．（1）设等差数列{a n }的公差为d ，各项为正的等比数列{b n }的公比为q＞0，由2a1＝b1＝2，a2+a8＝10，可得a1＝1，2×1+8d＝10，解得d．可得a n．由a4＝S3﹣2S2+S1，可得2q2﹣2q＝4，解得q．（2）a n•b n＝n•2n．利用错位相减法即可得出．解：选②解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，各项为正的等比数列{b n}的公比为q＞0，∵2a1＝b1＝2，a2+a8＝10，∴a1＝1，2×1+8d＝10，解得d＝1．∴a n＝1+n﹣1＝n．∵a4＝S3﹣2S2+S1，∴a4＝b3+b2，∴2q2﹣2q＝4，解得q＝2．∴b n＝2n．（2）a n•b n＝n•2n．数列{a n•b n}的前n项和T n＝2+2×22+3×23+……+n•2n．2T n＝22+2×23+……+（n﹣1）•2n+n•2n+1．∴﹣T n＝2+22+23+……+2n﹣n•2n+1=2(2n−1)2−1−n•2n+1，解得：T n＝（n﹣1）•2n+1+2．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．图1是直角梯形ABCD，AB∥DC，∠D＝90°，AB＝2，DC＝3，AD=√3，点E在DC上，CE＝2ED，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1=√6，如图2．（1）证明：平面BC1E⊥平面ABED；（2）求点B到平面AC1D的距离．【分析】（1）在图1中，连接AE，由已知得四边形ABCE为菱形，连接AC交BE于点F，得CF⊥BE，求解三角形证明C1F⊥AF，再由线面垂直的判定可得C1F⊥平面ABED，从而得到平面BC1E⊥平面ABED；（2）取AD的中点N，连接FN，C1N和BD，设B到平面AC1D的距离为h，在三棱锥C1﹣ABD中，利用V C1−ABD =V B−AC1D求解点B到平面AC1D的距离．【解答】（1）证明：在图1中，连接AE，由已知得AE＝2，∵CE ∥BA ，且CE ＝BA ＝AE ，∴四边形ABCE 为菱形， 连接AC 交BE 于点F ，∴CF ⊥BE ， 在Rt △ACD 中，AC =√32+(√3)2=2√3． ∴AF ＝CF =√3． 在图2中，AC 1=√6，∵AF 2+C 1F 2=AC 12，∴C 1F ⊥AF ． 由题意知，C 1F ⊥BE ，且AF ∩BE ＝F ， ∴C 1F ⊥平面ABED ，又C 1F ⊂平面BC 1E ， ∴平面BC 1E ⊥平面ABED ；（2）解：如图，取AD 的中点N ，连接FN ，C 1N 和BD ，设B 到平面AC 1D 的距离为h ， 在直角梯形ABED 中，FN 为中位线，则FN ⊥AD ，FN =32， 由（1）得C 1F ⊥平面ABED ，AD ⊂平面ABED ， ∴C 1F ⊥AD ，又FN ∩C 1F ＝F ，得AD ⊥平面C 1FN ，又C 1N ⊂平面C 1FN ，∴C 1N ⊥AD ，且C 1N =√FN 2+C 1F 2=√94+3=√212．在三棱锥C 1﹣ABD 中，V C 1−ABD =V B−AC 1D ， 即13×12×AB ×AD ×C 1F =13×12×AD ×C 1N ×h ，∴h =AB×C 1F C 1N=√3√212=4√77． 即点B 到平面AC 1D 的距离为4√77．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，A ，B 两点分别是椭圆C 的上，下顶点，△AF 1F 2是等腰直角三角形，延长AF 1交椭圆C 于D 点，且△ADF 2的周长为4√2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，直线AP ，BP 与直线l ：y ＝﹣2分别相交于M ，N 两点，点Q （0，﹣5），求证：△MNQ 的外接圆恒过原点O ．【分析】（1）由椭圆的定义可得a =√2，结合b ＝c ，且a 2＝b 2+c 2，即可求出b ，c 的值，从而求出椭圆C 的标准方程（2）直线AP 与BP 的斜率之积为−12，设直线AP 的斜率为k ，则直线AP ：y ＝kx +1，直线BP ：y =−12k x −1，可求M （−3k ，﹣2），N （2k ，﹣2），进而求出点E （k −32k，−52），从而得到|OE |＝|NE |，即点O ，M ，Q ，N 四点共圆，故△MNQ 的外接圆恒过y轴上定点（0，0）．解：（1）∵△ADF 2的周长为4√2，由椭圆的定义可知，|AF 1|+|AF 2|＝2a ，|DF 1|+|DF 2|＝2a ，∴4a ＝4√2，∴a =√2，又∵△AF 1F 2是等腰直角三角形，且a 2＝b 2+c 2，∴b ＝c ＝1， ∴椭圆C 的方程为：x 22+y 2=1；（2）证明：设P （x 0，y 0）（x 0≠0），则x 022+y 02=1，∴直线AP 与BP 的斜率之积为y 0−1x 0⋅y 0+1x 0=y 02−1x 0=−x 022x 0=−12，设直线AP 的斜率为k ，则直线AP ：y ＝kx +1，直线BP ：y =−12kx −1， 由{y =kx +1y =−2，可得M （−3k ，﹣2）， 同理可得N （2k ，﹣2），∴线段MN 与OQ 的中垂线交点E 的坐标为E （k −32k ，−52）， 又|OE|2=(k −32k )2+(−52)2=k 2+94k 2+134，|NE|2=(k +32k )2+14=k 2+94k 2+134， ∴|OE |＝|NE |，即点O ，M ，Q ，N 四点共圆，∴故△MNQ 的外接圆恒过y 轴上定点（0，0）．【点评】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆方程的位置关系，是中档题．21．已知函数f （x ）=−1x 2． （1）若直线y ＝﹣2x +m 与曲线y ＝f （x ）相切，求m 的值；（2）对任意x ∈（0，+∞），alnx ﹣f （x ）﹣1≥0成立，求实数a 的值．【分析】（1）设切点，根据切线性质，在切点的导数等于切线斜率，列等式求参数． （2）对函数求导，讨论参数，求最值，求出解．解：（1）设直线y ＝﹣2x +m 与曲线y ＝f （x ）相切于点（x 0，y 0），因为f '（x ）=23， 则有{2x 3=−2−1x 02=−2x 0+m ，解得{x 0=−1m =−3，所以m ＝﹣3． （2）令g （x ）＝alnx ﹣f （x ）﹣1＝alnx +1x 2−1，x ∈（0，+∞）， 则g '（x ）=a x −2x 3=ax 2−2x 3． （i ）当a ≤0时，因为x ∈（0，+∞），所以g '（x ）＜0，g （x ）在x ∈（0，+∞）单调递减，由g （1）＝0，但x ∈（0，+∞）时，g （x ）＜0，不满足题意．（ii ）当a ＞0时，因为x ∈（0，+∞），令g '（x ）＝0，解得x =√2a， 当x ∈（0，√2a）时，g '（x ）＜0，g （x ）单调递减， 当x ∈（√2a，+∞）时，g '（x ）＞0，g （x ）单调递增， 所以g （x ）min ＝g （√2a ）=a 2ln 2a +a 2−1，由题意知g （x ）≥0，可得g （x ）min ≥0， 所以g （√2a）≥0， 令t =2a ，（t ＞0），则1t lnt +1t −1≥0，即lnt ﹣t +1≥0，令h （t ）＝lnt ﹣t +1，则h '（t ）=1t −1=1−t t ， 当t ∈（0，1）时，h '（x ）＞0，h （x ）在（0，1）单调递增；当t ∈（1，+∞）时，h '（x ）＜0，h （x ）单调递减；所以t ＝1时，h （t ）max ＝h （1）＝0，即lnt ﹣t +1≤0，②，由①②可知，当且仅当t ＝1时，lnt ﹣t +1＝0，即a ＝2时，g （x ）≥0在x ∈（0，+∞）上恒成立，综上所述，a ＝2．【点评】本题考查函数的综合应用，借助于导数求单调性，求最值，以及函数的切线的性质，属于难题．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.[选修44：坐标系与参数方程]22．如图，在以O 为极点，Ox 轴为极轴的极坐标系中，圆C 1，C 2，C 3的方程分别为ρ＝4sin θ，ρ=4sin(θ+2π3)，ρ＝4sin （θ−2π3）．（1）若C 1，C 2相交于异于极点的点M ，求点M 的极坐标（ρ＞0，0≤θ＜2π）； （2）若直线l ：0＝α（p ∈R ）与C 1，C 3分别相交于异于极点的A ，B 两点，求|AB |的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（2）利用点到直线的距离和极径的应用及三角函数关系式的变换的应用及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）圆C 1，C 2的方程分别为ρ＝4sin θ，ρ=4sin(θ+2π3)，相交于点M ， 所以{ρ=4sinθρ=4sin(θ+2π3)，由于ρ＞0，0≤θ＜2π， 所以θ=π6，所以ρ＝2，故点M （2，π6）． （2）设A （ρ1，α），B （ρ2，α），所以|AB |＝|ρ1﹣ρ2|=|4sinα−4sin(α−2π3)|=4√3|sin(α+π6)|≤4√3．，所以|AB|的最大值为4√3．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．一、选择题23．已知函数f（x）＝|x+a+b|+|x﹣c|的最小值为6，a，b，c∈R+．（1）求a+b+c的值；（2）若不等式1a+1+4b+2+9c+3≥|2m−3|恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质：|x+m|+|x+n|≥|x+m﹣（x+n|＝|m﹣n|，结合条件可得所求值；（2）由题意可得|2m﹣3|不大于1a+1+4b+2+9c+3的最小值，由柯西不等式求得1a+1+4 b+2+9c+3的最小值，再由绝对值不等式的解法可得所求范围．解：（1）由f（x）＝|x+a+b|+|x﹣c|≥|x+a+b﹣（x﹣c）|＝|a+b+c|，当（x﹣c）（x+a+b）≤0时，取得等号，又a，b，c∈R+，可得f（x）的最小值为a+b+c，则a+b+c＝6；（2）由柯西不等式可得（1a+1+4b+2+9c+3）[（a+1）+（b+2）+（c+3）]≥（1+2+3）2＝36，又a+b+c＝6，可得1a+1+4b+2+9c+3≥3，当且仅当a＝1，b＝2，c＝3时取得等号．则|2m﹣3|≤3，即﹣3≤2m﹣3≤3，解得0≤m≤3，故m的取值范围是[0，3]．【点评】本题考查绝对值不等式的性质和柯西不等式的运用：求最值，考查不等式恒成立问题，注意运用转化思想，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。
2020高考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，孩子们！YCY本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P （A+B ）=P （A ）+P （B ）24RS其中R 表示球的半径如果事件A 、B 相互独立，那么球的体积公式P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）334R V其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合},1|{},,1|{2R x x y y N R x x y y M ，那么N M 等于（）A ．（0，1）B ．（0，1），（1，2）C ．}21|{yy y 或D ．}1|{y y 2．已知2sin ,1cossin54sin则且等于（）A ．2524B ．2512C ．54D ．25243．有5部各不相同的手机参加展览，排成一行，其中有2部手机来自同一厂家，则此2部手机恰好相邻的排法总数为（）A．120 B．24 C．48 D．604．在空间中，下列命题中正确的是（）①若两直线a、b分别与直线l平行，则a//b②若直线a与平面β内的一条直线b平行，则a//β③若直线a与平面β内的两条直线都垂直，则a⊥β④若平面β内的一条直线a垂直平面γ，则β⊥γA．①②④B．①④C．①③④D．①②③④5．如图正三棱柱ABC—A1B1C1底面边长与高相等，截面PAC 把棱柱分成两部分的体积之比为5∶1,则二面角P—AC—B 的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°6．如图一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆7．}{n a 是各项均为正数的等比数列，}{n b 是等差数列，且a 6=b 7，则有（）A ．10493b b a aB ．10493b b a a C ．10493b b a a D ．10493b b a a 8．若032y x ，则22)2()1(y x 的最小值为（）A ．5B ．225C ．552D ．5229．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当xx f x)31()(,0时，那么)9(1f的值为（）A ．7B ．2或7C ．7或12D ．210．已知)3,2(),1,(AC k AB ，则下列k 值中能使△ABC 是直角三角形的值是（）A ．23B ．21C ．－5D ．3111．定义区间长度m 为这样的一个量：m 的大小为区间右端点的值减去区间左端点的值，若关于x 的不等式062aaxx 有解，且解的区间长度不超过5个单位长，则a 的取值范围是（）A ．]1,0()24,25[B ．),1[]25,(C ．)24,1()0,25[D ．[－25，1]12．已知a 、b 、c 依次是方程x xx xxx212log 2log ,02和的实数根，则a 、b 、c的大小关系是（）A ．a b cB ．ac b C ．c b a D ．ca b 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上. 13．62)2(x x的展开式中的常数项是.14．设x 、y 满足约束条件y xz yxy x x23,120则的最大值等于 .15．已知双曲线的离心率为2，则它的两条渐近线所成的锐角等于.16．设地球的半径为R ，已知北纬45°圈上A 、B 两地的球面距离为R 2，则A 、B 两地间的纬线长为.三、解答题：本大题有6个小题；共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本题12分）函数3cos sin 2cos 32)(2xx xx f （1）求)(x f 的最小正周期和最大值及相应的x 值；（2）若将)(x f 的图象按向量)0,3(平移后，再将所有点的横坐标缩小到原来的21，得到函数)(x g 的图象，试写出)(x g 的解析式.18．（本题12分）甲、乙两个排球队进行比赛，已知每局甲获胜的概率为0.6，比赛时采用五局三胜制，分别求：（1）在前两局中乙队以2∶0领先的条件下，求最后甲、乙各自获胜的概率；（2）求甲队获胜的概率.19．（本题12分）已知函数d cxbxxx f 23)(在)0,(上是增函数，在[0，2]上是减函数，并且2是方程0)(x f 的一个根.求（1）求c 的值；（2）求证2)1(f20．（本题12分）在四棱锥P—ABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，M为PC的中点，PD=AB.（1）求证：PA//平面MBD；（2）求二面角M—BD—C的大小.21．（本题12分）如图，已知线段AB在直线2y上移动，|AB|=4，O为坐标原点，（1）求△AOB的外心M的轨迹方程；（2）设直线OA与（1）中轨迹交于C、D两点，且OCOD3，求直线OA的方程.22．（本题14分）已知n nn a a a x a xa xa x f ,,,,)(21221且组成等差数列.（n 为正偶数），又nf n f )1(,)1(2（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）试比较)21(f 与3的大小，并说明理由.数学试题（文）参考答案一、选择题：1—5 D A C B A 6—10 A B C D D 11—12 A B二、填空题：13．60 14．5 15．60°16．R22三、解答题：17．解：（1）)62cos(232sin )12(cos 3)(x x x x f 或)32sin(2x…………3分22T …………4分2)(maxx f (5)分这时12kx…………6分（2）)62cos(2)(xx f 向左平移3)652cos(2x………………8分横坐标缩小到原来的21)654cos(2xy………………10分)654cos(2)(xx g …………12分或)34sin(2)(xx g 18．解：（1）设最后甲胜的事件为A ，乙胜的事件为B …………1分216.06.0)(3A P ………………4分784.0)(1)(A P B P ………………6WV答：甲、乙队各自获胜的概率分别为0.216，0.784.（2）设甲胜乙的事件为C ，其比分可能为3∶03∶13∶2…………7分682.06.04.06.06.04.06.06.0)(22242233C C C P (12)分答：甲队获胜的概率为0.682.19．解：（1）cbxxx f 23)(2由题意可知0x为)(x f 的极值点………………2分00)0(cf (4)分（2）令320023)(212bx x bxx x f 得…………6分]0,()(在x f 上是增函数，在[0，2]上是减函数3232bb 即…………9分又bdd b f 48048)2(2371)1(bdbf ………………12分20．法一（1）连AC 交BD 于O ，则O 为AC 中点连OM ，因M 是PC 中点，PA OM //…………2分又OM平面MBDPA平面MBD//PA平面MBD …………4分（2）取CD 中点E 连ME ，则ME PD 21PD平面ABCDME平面ABCD …………6分作EF ⊥BD 交BD 于F ，连MF ，则∠MFE 为二面角M —BD —C 的平面角……8分记PD=AB=a则22a DEa MEa ODEDE EF42sin…………10分在2tan ,EFME MFEMEF Rt 中2arctan MFE…………12分法二如图建立空间直角坐标系D —xyz设PD=AB= a 则)0,,()0,0,(a a DB a DA )2,2,0(aa DM),0,0(a DP……2分设),,1(z y n 为平面MBD 的法向量则22000za y a ay a DMn DB n 解得)1,1,1(11nz y …………6分（1）n PAaaPAn a a PA),0,(故PA//平面MBD ……9分// ＝（2）),0,0(a DP 为底面ABCD 的法向量33||||,cosDP n DP n DPn 故得二面角M —BD —C 的大小为33arccos…………12分21．解：（1）设22||||),,(yxOM AM y x M 则作2||21|||,2|||,AB AN yMN N AB MN则于……3分在222||||||,MN AN AM AMN Rt 中222)2(4y yx整理得所求轨迹方程)2(42y x (6)分（II ）因直线OA 与（I ）中轨迹有两个交点故直线OA 斜率存在，设其方程为kxy 并设),(),,(2211y x D y x C 084)2(422kx xyxkx y 由………………8分kx x 421①821x x ②又1233x x OCOD③…………10分由①②③解得36322kk从而直线OA 方程为xy36………………12分22．解：（I ）设}{n a 的公差为dna a a a a f n n1321)1(且n 为正偶数22d n d n………………2分又14)1(121221a a a na a a f n 得……………4分12)1(1n dna a n………………6分（II ）nn f )21)(12()21(321)21(2①132)21)(12()21(3)21()21(21n n f ②………………8分①－②：12)21)(12()21(2)21(221)21(21n n n f n n n f )21)(12()21(2)21(2)21(2)21(21)21(132n n n )21)(12(211])21(1[21211………………12分nn n )21)(12()21(320)21)(12(0)21(2nn n n 为正偶数3)21(f ………………14分。
2020年贵州省高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U={x∈Z|0≤x≤5}，集合A={3,1}，B={y|y=log3x,x∈A}，则∁U(A∪B)=()A. {0,4，5，2}B. {0,4，5}C. {4,5}D. {4,5，2}2.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示，f(π2)=−23，则f(0)=()A. −23B. −12C. 23D. 123.如图，正方形BCDE和正方形ABFG的边长分别为2a，a，连接CE和CG，在两个正方形区域内任取一点，则该点位于阴影部分的概率是()A. 35B. 38C. 310D. 3204.已知直线l1:mx+y−1=0，直线l2:(m−2)x+my−1=0，则“l1⊥l2”是“m=1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知a∈R，i是虚数单位，若z=a−i，z⋅z.=2，则a=()A. ±√3B. ±1C. √2D. −√26.实数a=30.4，b=log432，c=log550的大小关系为A. c>b>aB. b>c>aC. a>c>bD. b>a>c7.已知底面是边长为1的正方形，侧棱长为√2且侧棱与底面垂直的四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A. 32π3B. 4π C. 2π D. 4π38.函数f(x)=2cosx−12x−2−x的部分图像大致是()A. B.C. D.9.已知点F为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，点O为坐标原点，以线段OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于O，E两点.若|FE|=a，则双曲线的离心率为()A. √2B. 2√2C. √3D. 2√310.如图是某学校研究性课题《如何促进同学们进行垃圾分类》问题的统计图(每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个)，则下列结论错误的是()A. 回答该问卷的总人数不可能是100个B. 回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多C. 回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少D. 回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个11.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与C相交于M，N两点，线段MN的中点为P，若|MN|=8，则|PF|=()A. √2B. √3C. 2D. 2√212.已知f(x)=e x−x，命題p:∀x∈R,f(x)>0，则()A. p是真命题，¬p:∃x0∈R,f(x0)≤0B. p是真命题，¬p:∃x0∈R,f(x0)<0C. p是假命题，¬p:∃x0∈R,f(x0)≤0D. p是假命题，¬p:∃x0∈R,f(x0)<0二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x，y满足约束条件{x+2y≤12x+y≥−1x−y≤0，则z=3x−2y的最小值为________．14. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知asinAsinB +bcos 2A =√3c.则b c =____________．15. 执行如图所示的程序框图，若输入a =27，则输出的值b = ______ ．16. 正六边形ABCDEF 的边长为1，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 为了了解青少年的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名青少年进行调查，得到如下列联表： 常喝 不常喝 总 计肥 胖 2不肥胖18 总 计 30已知从这30名青少年中随机抽取1名，抽到肥胖青少年的概率为415．(1)请将列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为青少年的肥胖与常喝碳酸饮料有关？独立性检验临界值表：P(K 2≥k 0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ．18.已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n，等比数列{b n}满足b2=a1，b3=a4．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{a n b n}的前n项和T n．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是梯形，AB//CD，PD⊥平面ABCD，BD⊥DC，PD=AB，E为PC中点．BD=DC=12(Ⅰ)证明：平面BDE⊥平面PBC；=√2，求点A到平面PBC的距离．(Ⅱ)若V P−ABCD20.已知P(2,3)是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且√3a=2b．(1)证明：|PF2|，|F1F2|，|PF1|成等差数列．(2)直线l与PF1垂直，且与椭圆C相交于A，B两点，若四边形AF1BF2为平行四边形，求该平行四边形的面积．21.已知函数，其中a∈R．(1)若直线y=x与y=f(x)相切，求实数a的值；(2)当a∈(−2e,0)时，设函数g(x)=x·f(x)在[1,+∞)上的最小值为ℎ(a)，求函数ℎ(a)的值域．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的普通方程为x2+y2−2x=0，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=31+2sin2θ．(Ⅰ)求C1的参数方程与C2的直角坐标方程；(ρ≥0)与C1交于异于极点的点A，与C2的交点为B，求|AB|．(Ⅱ)射线θ=π323.已知函数f(x)=|x+4|+|x−2|的最小值为n．(1)求n的值；(2)若不等式|x−a|+|x+4|≥n恒成立，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：解：全集U={x∈Z|0≤x≤5}={0,1，2，3，4，5}，集合A={3,1}，B={y|y=log3x,x∈A}={0,1}，∴A∪B={0,1，3}∁U(A∪B)={2,4，5}．故选：D．由题意求出U，B，然后求解∁U(A∪B)即可．本题考查集合的基本运算，基本知识的考查．2.答案：C解析：解：由题意可知，此函数的周期T=2(1112π−712π)=2π3，故2πω=2π3，∴ω=3，f(x)=Acos(3x+φ)．f(π2)=Acos(3π2+φ)=Asinφ=−23．又由题图可知f(7π12)=Acos(3×7π12+φ)=Acos(φ−14π)=√22(Acosφ+Asinφ)=0，∴f(0)=Acosφ=23．故选：C．求出函数的周期，确定ω的值，利用f(π2)=−23，得Asinφ=−23，利用f(7π12)=0，求出(Acosφ+Asinφ)=0，然后求f(0)．本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，三角函数的周期性及其求法，考查视图能力，计算能力，是基础题．3.答案：C解析：本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．根据几何概型的概率公式求出阴影部分的面积与两个正方形面积和的比即可．解：如图所示，正方形BCDE 和正方形ABFG 的边长分别为2a 和a ，∴S 阴影=S 正方形ABFG +S △BCE −S △ACG=a 2+12⋅2a ⋅2a −12⋅a ⋅3a =32a 2； ∴该平面图形内随机取一点P ，则点P 来自阴影部分区域的概率是P =32a 2a 2+(2a)2=310． 故选：C ．4.答案：B解析：解：直线l 1：mx +y −1=0，直线l 2：(m −2)x +my −1=0，若“l 1⊥l 2”， 则m(m −2)+m =0，解得m =0或m =1，故“l 1⊥l 2”是“m =1”的必要不充分条件，故选：B ．利用两条直线相互垂直的充要条件求出m 的值，再根据充分必要条件的定义即可得出．本题考查了简易逻辑的判定方法、两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：B解析：解：由z =a −i ，得z .=a +i ，又(a −i)(a +i)=2，解得a =±1．故选：B ．由z 求出z .，然后代入z ⋅z .=2计算可得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．6.答案：B解析：本题主要考查了对数函数和指数函数及其大小比较，考查计算能力和推理能力，属于基础题． 根据对数函数和指数函数的性质即可推出a ，b ，c 的范围，从而得到它们之间的关系． 解：∵b =log 432=52，b c =52log 550=52(2+log 52)=54+log 54，∵log 54<log 55=1，∴4+log 54<5，∴b c >1，即b >c ，∵a =30.4<30.5=√3，而c =log 550=2+log 52>2，∴c >a ，综上，b >c >a ．故选B ． 7.答案：D解析：解：因为正四棱柱底面边长为1，侧棱长为√2，所以它的体对角线的长是：2．所以球的直径是：2，半径为1．所以这个球的体积是：4π3．故选：D ．由正四棱柱的底面边长与侧棱长，可以求出四棱柱的对角线的长，就是外接球的直径，然后求出球的体积．本题考查正四棱柱的外接球的体积．考查空间想象能力与计算能力，是基础题． 8.答案：A解析：本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的特殊点的位置，变换趋势是常用方法，属于中档题．判断函数的奇偶性，排除选项，利用特殊值以及函数的图象的变化趋势判断即可．解：令函数f(−x)=2cos(−x)−12−x−2x =−2cosx−12x−2−x=−f(x)，所以函数f(x)是奇函数，故排除选项B，D，又f(π3)=0，f(π2)=−12π2−2−π2<0，故排除C，故选A．9.答案：A解析：本题考查双曲线的标准方程及其性质和点到直线的距离公式，属中档题．利用已知条件和点到直线的距离公式可得点F到此条渐近线的距离为√a2+b2，结合|FE|=a，从而建立等式，经过化简可得a、b的关系式，再利用离心率的计算公式即可得出．解：焦点F(c,0)，一条渐近线y=bax，∵E在以线段OF为直径的圆上，∴EF垂直渐近线，则点F到此条渐近线的距离即为|EF|=√a2+b2，∵|FE|=a，∴√a2+b2=a，∵c2=a2+b2，∴b=a，∴双曲线的离心率e=ca =√a2+b2a2=√2．故选A．10.答案：D解析：本题考查了对图表数据的分析处理能力及简单的合情推理，属基础题．先对图表数据分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．解：对于选项A，若回答该问卷的总人数是100个，则选择③④⑤的同学人数不为整数，故A正确，对于选项B ，由统计图可知，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多，故B 正确，对于选项C ，由统计图可知，选择“学校团委会宣传”的人数最少，故C 正确，对于选项D ，由统计图可知，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8%，故D 错误， 故选：D ．11.答案：D解析：根据抛物线方程可求得准线方程，进而根据抛物线的定义可知|MN|=x 1+x 2+p ，求解P 的坐标，利用距离公式求解即可．本题主要考查抛物线的应用，抛物线的简单性质以及两点间的距离公式的应用，属中档题． 解：依题意可知p =2，焦点坐标为(1,0)，过F 的直线l 设为y =k(x −1)．准线方程为x =−1，根据抛物线的定义，可知|MN|=x 1+1+x 2+1=8，可得x 1+x 2=6，所以线段MN 的中点P 的横坐标为3，由{y =k(x −1)y 2=4x，可得：k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0， 可得x 1+x 2=6=2k 2+4k ，解得k =±1，则P 的纵坐标±2，则|PF|=√(3−1)2+(±2)2=2√2．故选：D ．12.答案：A解析：本题考查全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判定，属于基础题，由f(x)=e x −x ，当x ≤0时，f(x)>0，当x >0时，f′(x)=e x −1>0，f(x)单调递增，f(x)>f(0)=1>0，从而得p 是真命题，再由全称命题的否定是特称命题可得．解：由f(x)=e x −x ，当x ≤0时，f(x)>0，当x >0时，f′(x)=e x −1>0，f(x)单调递增，f(x)>f(0)=1>0，从而得p 是真命题，由全称命题的否定是特称命题得：命題p:∀x ∈R,f(x)>0的否定是¬p:∃x 0∈R,f(x 0)⩽0．故选A ．13.答案：−5解析：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，即可求得答案．解：由x ，y 满足约束条件{x +2y ≤ 12x +y ≥−1x −y ≤0作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A ，联立{x +2y =12x +y =−1，解得A(−1,1)． ∴z =3x −2y 的最小值为−3×1−2×1=−5．故答案为：−5．14.答案：√3解析：本题考查了正弦定理的应用问题，是基础题．根据正弦定理，边转化为角再转化为边，即可求值．解：由正弦定理得sinB ⋅(sin 2A +cos 2A)=√3sinC ，则sin B =√3sin C ，可得b =√3c ，即b c =√3．故答案为√3． 15.答案：13解析：根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量b 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答． 解：当a =27时，执行循环体b =9，不满足退出循环的条件，故a =9；当a =9时，执行循环体b =3，不满足退出循环的条件，故a =3；当a =3时，执行循环体b =1，不满足退出循环的条件，故a =1；当a =1时，执行循环体b =13，满足退出循环的条件，故输出的b 值为13，故答案为：13 16.答案：32解析：解：∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°=√3×√3×12=32故答案为：32．根据△ACE 是边长为√3的正三角形以及BF⃗⃗⃗⃗⃗ =CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 可解得． 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题． 17.答案：解：(1)设常喝碳酸饮料且肥胖的青少年人数为x ，则x+230=415，解得x =6，列联表如下：(2)由(1)中列联表中的数据可求得随机变量K2的观测值：K2=30×(6×18−2×4)210×20×8×22≈8.523>7.879因此有99.5%的把握认为青少年的肥胖与常喝碳酸饮料有关．解析：本题考查了列联表与独立性检验的问题，是基础题．(1)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，求出x的值，填表即可；(2)计算观测值K2，对照数表得出结论．18.答案：解：(1)S n=n2+2n，可得a1=S1=3；n≥2时，a n=S n−S n−1=n2+2n−(n−1)2−2(n−1)=2n+1；上式对n=1也成立，可得a n=2n+1，n∈N∗，等比数列{b n}的公比设为q，b2=a1=3，b3=a4=9，可得q=b3b2=3，则b n=3n−1，n∈N∗；(2)a n b n=(2n+1)⋅3n−1，可得前n项和T n=3×30+5×31+⋯+(2n+1)⋅3n−1，3T n=3×3+5×32+⋯+(2n+1)⋅3n，两式相减可得−2T n=3+2(31+32+⋯+3n−1)−(2n+1)⋅3n=3+2⋅3(1−3n−1)1−3−(2n+1)⋅3n，化简可得T n=n⋅3n．解析：本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等比数列的通项公式，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(1)由数列的递推式：n=1时，a1=S1；n≥2时，a n=S n−S n−1，化简整理可得{a n}的通项公式；再由等比数列的通项公式，计算可得所求{b n}的通项公式；(2)求得a n b n=(2n+1)⋅3n−1，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．19.答案：证明：如图所示：(Ⅰ)PD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PD⊥CD，PD⊥DB，又BD⊥DC，PD=DC=DB，∴PC=PB=BC，∵E是PC的中点，∴PC⊥DE，PC⊥BE，又DE∩BE=E，DE⊂平面BDE，BE⊂平面BDE，∴PC⊥平面BDE，又PC⊂平面PBC，∴平面BDE⊥平面PBC．(Ⅱ)设PD=CD=BD=12AB=a，∴S四边形ABCD =12×AB×BD+12×CD×BD=32a2，则V P−ABCD=13S四边形ABCD⋅PD=a32=√2，∴a=√2．∴PC=PB=BC=√2a=2，∴S△PBC=12×2×2×√32=√3，又S△ABC=12×AB×BD=2，∴V P−ABC=13S△ABC⋅PD=2√23，设A到平面PBC的距离为h，则V A−PBC=13S△PBC⋅ℎ=√33ℎ．∵V P−ABC=V A−PBC，∴√33ℎ=2√23，解得ℎ=2√63．解析：本题考查了线面垂直、面面垂直的判定，棱锥的体积计算，点到平面的距离计算，属于中档题．(Ⅰ)根据三线合一可得PC⊥DE，PC⊥BE，故而PC⊥平面BDE，于是平面BDE⊥平面PBC；(Ⅱ)根据棱锥的体积计算PD，根据V P−ABC=V A−PBC列方程解出A到平面PBC的距离．20.答案：解：(1)证明：由题意可得{4a2+9b2=1√3a=2b ，解得{a=4b=2√3，∴c2=4，即c=2，∴F1(−2,0),F2(2,0)，∴|PF2|=3，|F1F2|=4，|PF1|=5，∴|PF2|，|F1F2|，|PF1|成等差数列；(2)∵直线PF1的斜率为34，∴设l的方程为x=−34y+m，∵四边形AF1BF2为平行四边形，∴l经过原点，则m=0，将l的方程代入椭圆方程x216+y212=1，消去x，得9116y2−48=0，解得y=±16√27391∴四边形AF1BF2的面积S=12|F1F2|·|y1−y2|=64√27391．解析：本题考查椭圆的性质，等差数列的证明，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的面积问题，属于中档题．(1)由题意可得{4a2+9b2=1√3a=2b，求出a，b，c，求出|PF2|=3，|F1F2|=4，|PF1|=5，即可证出结论；(2)设l的方程为x=−34y+m，与椭圆方程联立，结合四边形的面积公式，即可求出结果．21.答案：解：(1)设切点为P(x0,y0)由题意得：，∴a=√e，(2)g′(x)=f(x)+x·f′(x)=2xlnx+a，x∈[1,+∞)，∵g″(x)=2+2lnx>0，∴g′(x)在[1,+∞)上单调递增，∴g′(x)≥g′(1)=a<0，g′(e)=2e+a>0，∴存在唯一x0∈(1,e)使得g′(x0)=2x0lnx0+a=0，∴a=−2x0lnx0，∴g(x)在[1,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，∴g(x)在x=x0处取得最小值，最小值为：，令，，m(x)在(1,e)上单调递减，∴m(x)∈(−32e2,−12)，∵m(x)在(1,e)上单调递减，对，存在唯一的x0∈(1,e)，a=−2x0lnx0∈(−2e,0)，使得ℎ(a)=λ，即ℎ(a)的值域为(−32e2,−12)．综上，当a∈(−2e,0)时，函数g(x)在[1,+∞)上有最小值ℎ(a)，ℎ(a)的值域为(−32e2,−12)．解析：本题主要考查了导数的相关知识，利用导数研究函数的单调性，研究函数的最值，属于中档题．(1)根据题意，设切点为P(x0,y0)，列出方程组，即可解出实数a的值．(2)求出函数的导函数，利用导数研究函数的单调性，研究函数的最值，逐步推导得出答案．22.答案：解：(I)由x2+y2−2x=0，得(x−1)2+y2=1．所以曲线C1是以(1,0)为圆心，1为半径的圆，所以曲线C1的参数方程为{x=1+cosαy=sinα(α为参数)．由ρ2=31+2sin2θ，得ρ2+2ρ2sin2θ=3，所以x2+y2+2y2=3，则曲线C2的直角坐标方程为x23+y2=1．(II)由(I)易得曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ，则射线θ=π3(ρ≥0)与曲线C1的交点的极径为ρ1=2cosπ3=1，射线θ=π3(ρ≥0)与曲线C2的交点的极径ρ2满足ρ22(1+2sin2π3)=3，解得ρ2=√305．所以|AB|=|ρ1−ρ2|=√305−1．解析：(Ⅰ)首先利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用极径的应用求出极径，进一步求出|AB|的长．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)f(x)=|x+4|+|x−2|={2x+2,x≥26,−4≤x<2−2x−2,x<−4，所以最小值为6，即n=6．(2)由(1)知n=6，|x−a|+|x+4|≥6恒成立，由于|x−a|+|x+4|≥|(x−a)−(x+4)|=|a+4|，等号当且仅当(x−a)(x+4)≤0时成立，故|a+4|≥6，解得a≥2或a≤−10．所以a的取值范围为(−∞,−10]∪[2,+∞)．解析：(1)利用分段函数，表示函数，然后求解最小值．(2)利用绝对值不等式的几何意义，转化求解不等式的解集即可．本题考查不等式恒成立，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．。
贵阳第一中学2020届高考适应性月考卷（六）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．{(01)(00)(01)(11)(10)(11)}A B =--，，，，，，，，，，，，故选C ．2．(2i)(i)3i y y y y ++=+，所以1313y x y ===，，故选D ．3．由已知4=a b ，222|2|4416-=-+=a b a a b b ，所以|2|4-=a b ，故选B ． 4．p 真q 假p ⇒⌝为假，q ⌝为真，①③为真命题，故选A ．5．未服药组的指标y 的取值相对集中，方差较小，所以B 说法不对，故选B ．6．由诱导公式2ππsin cos 36αα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ2π()63k k αα⎛⎫+=++∈ ⎪⎝⎭Z （舍去）或πππ2π()22π()sin 21632k k k k αααα⎛⎫⎛⎫+++=∈⇒=-+∈⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z Z ，故选A ．7．OAB △是等腰直角三角形23OAB S m ⇒==△，在椭圆上，代入得2b =，故选B ． 8．方法一：由图可知，π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππππ()sin 2sin 2612312g x x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以把()f x 的图象向右平移π12个单位得到()g x 的图象，故选D ． 方法二：两个函数的振幅和周期相同，由图，点π112A ⎛⎫⎪⎝⎭，是()f x 图象的一个最高点，而由π203x -=，得π16B ⎛⎫⎪⎝⎭，是()g x 图象的一个最高点，所以把()f x 的图象向右平移π12个单位得到()g x 的图象，故选D ．9．当BE CF =时，截面是矩形；当2BE CF =时，截面是菱形；当BE CF >时，截面是梯形，故选A ． 10．取1n =，已经有111S a a ===，即，不能进入循环，判断框应是i n <进入循环；进入循环后第一次加上的应该是2121a a =+，所以先算21a a =+，故选A ．11．依题意，一条渐近线是x 轴与另一条渐近线的对称轴，渐近线的倾斜角是60︒或120︒，所以2b ca a==，故选C ． 12．2()23f x x ax b '=++-，(1)0220f a b '=⇒+-=且21(()(1))a f x x '≠-≠-，(22)ab a a =-=21112(1)222a a ⎛⎫⎛⎤--≠-∈-∞ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，，故选A ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13141516答案3 5π 3 2【解析】13．2()0(2)x f x x =⇔=，分别作(2)x y =与2y x =的图象，并注意到指数函数的增长速度最终会远远超零点． 过幂函数的增长速度，所以两函数图象有3个交点，即()f x 有3个底面14．如图1，由已知，在底面ABCD 中，AB BC AD CD ⊥⊥，，由PA ⊥ABCD ，易得PAC PBC PCD △，△，△都是Rt △，所以球心是 PC 的中点，5R =，5πS =． 15．如图2，设BD x =，则243cos x A -=2279BC x ==22(43)2343cos x xx A +---，解得1x =，3AB =∴．16．由已知()f x 是以4为周期的奇函数，21511log (2)2222f f f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2a =，又(2)(2)4(2)(2)0f f f f =-+-=（周期为）且（奇函数），所以(2)(2)0f f -==，所以()2a f a +=． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）高三备考学生每天完成数学作业的平均时间的平均值的估计值为300.1400.18500.3600.25700.12800.0552.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例估计值为52.60.18300≈. ………………………………………………………………………（6分）（2）由直方图，样本中高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的频率为0.28， 估计每个高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的概率为0.28．…………………………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）图1图2解：（1）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，取12n =，， 得1111114()14(2)()(2)1a a a d a d a d a d =++⎧⎨+=+++⎩，，解得112a d =⎧⎨=⎩，或11414a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，当112a d ==，时，212121n n n a n a n S n +=-=+=，，满足条件； 当11144a d ==-，时，34311042a a S =-=-=，，不满足条件，舍去，综上，数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. ………………………………………（6分） （2）121892n n a n a n ++=--，记2110()19292x f x x x+==-+--， ()f x 在( 4.5)-∞，与(4.5)+∞，上都是增函数（图象如图3），对数列18n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭，当4n ≤时，18n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭递增且都大于1-，当5n ≥时，18n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭递增且都小于1-，数列18n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的最大项是第4项，值为9，最小项是第5项，值为11-. ………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：设点11()A x y ，，22()B x y ，，(2)P b -，，过点A ，P 的直线方程为111()2y y x x +=，同理过点B ，P 的直线方程为221()2y y x x +=，因为点P 是两切线的交点，所以1(2)2y bx -=，即22y bx =+恒过(02)，. ………………………………………（6分）（2）解：设直线AB 为2(2)y kx k b =+=，与抛物线方程联立得220x kx --=，其中0∆>， 122x x =-，12x x k +=，因为(21)M ，在AB 为直径的圆上，所以0MA MB =，即11221212(21)(21)0(2)(2)(1)(1)0x y x y x x y y ----=⇔--+--=，， 1212(2)(2)(1)(1)0x x kx kx ⇔--+++=，图3整理得21212(1)(2)()50k x x k x x ++-++=， 即2230k k +-=，解得1k =或3k =-，当1k =时，122P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，圆心为1522⎛⎫⎪⎝⎭，，半径292r =，圆的标准方程为22159222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当3k =-时，322P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，圆心为31322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，半径2852r =， 圆的标准方程为2231385222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. …………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（1）证明：如图4，设M 是AC 的中点，因为3DA DC ==， 所以DM AC ⊥，且22DM =因为平面ACD ⊥平面ABC ，交线为AC ，DM ⊂平面ACD ， 所以DM ⊥平面ABC ，又EF ⊥平面ABC ， 所以DM EF ∥，且22DM EF == 四边形DEFM 是平行四边形，从而DE MF ∥，在ABC △中，M F ，是AC BC ，的中点，所以MF AB ∥，所以DE AB ∥，从而A B E D ，，，四点共面. …………………………………（6分） （2）解：由（1）12DE AB DE AB =∥且， 所以D 到平面BCE 的距离是A 到平面BCE 距离的12， EF ⊥平面ABC EF AC ⇒⊥，又AC BC AC ⊥⇒⊥平面BCE ， 所以D 到平面BCE 的距离为112AC =， BCE △的面积1422S BC EF =⨯=1424213B CDE D BCE V V --==⨯=. …………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（1）2()(1)(1)()f x x a x a x x a '=-++=--，图4当1a =时，2()(1)0f x x '=-≥，()f x 在()-∞+∞，上单调递增；当1a <时，在(1)a ，上，()0f x '<，()f x 单调递减；在()a -∞，和(1)+∞，上，()0f x '>，()f x 单调递增；当1a >时，在(1)a ，上，()0f x '<，()f x 单调递减；在(1)-∞，和()a +∞，上，()0f x '>，()f x 单调递增；综上，当1a =时，()f x 在()-∞+∞，上单调递增；当1a <时，()f x 在(1)a ，上单调递减；在()a -∞，和(1)+∞，上单调递增； 当1a >时，()f x 在(1)a ，上单调递减；在(1)-∞，和()a +∞，上单调递增.……………………………………………………………………………（6分）（2）当1a ≠时，函数有两个极值2336()6a a b f a -+=和631(1)6b a f +-=，若函数()f x 有三个不同的零点()(1)0f a f ⇔<，即32(36)(316)0a a b a b ---+>， 又因为a 的取值范围恰好是1(0)0(3)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，，所以令32()(36)(316)g a a a b a b =---+恰有三个零点1033，，，若3a =时，(3)6(68)0g b b b =-+=，或43b =-；当0b =时，2()(31)(3)0g a a a a =-->，解得1(0)0(3)3a ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，符合题意； 当43b =-时，32()(38)(39)0g a a a a =-+-=，则32380a a -+=不存在13这个根，与题意不符，舍去，所以0b =. ……………………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）因为21sin ρθ=-，所以sin 2ρρθ-=2y =， 两边平方整理得244x y =+.P 点直角坐标cos 0x ρθ==，sin 1y ρθ==，所以(01)P ，. ……………………………………………………………（5分）（2）设直线l 的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，（t 为参数）与曲线C 的方程244x y =+联立，得2320t --=，其中12t t +=1232t t =-，11||||PA PB +=1211||||t t +12121212||||||||||t t t t t t t t +-==，12||t t -=，所以1212||11||||||t t PA PB t t -+== …………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）222242()24022240x x x f x x x x x x ⎧--⎪=-+<<⎨⎪-++⎩，≥，，，，≤，当0x ≤时，2224x x -++<0⇒1x <-； 当02x <<时，2402x x -+<⇒>矛盾； 当2x ≥时，2224012x x x --<⇒-<<矛盾，综上，1x <-. ……………………………………………………………（5分） （2）对任意的1x >时，因为()0f m =，()0()f x f m >=， 所以x m >，则1m ≤， 当1m ≤，1x >时，0x m ->，则()()(2)()0f x x m x x x m =-++->恒成立，所以m 的取值范围是1m ≤. …………………………………………………（10分）。
则
B.5
C.16
D.18
4.已知直线m ⊥平面,直线平面,则“α∥β”是“”的
αn ⊂βm ⊥n A.充分不必要条件
B.必要不充分条作
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.函数的部分图象大致是
()(
x2y2
C.2
D.5 2
以下四个选项错误的是
A.54周岁以上参保人数最少
A,B
16.下图是由六个边长为1的正六边形组成的蜂巢图形,定点是如图所示的两个顶点,
P AP•AB
动点在这些正六边形的边上运动,则的最大值为
三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题,考生根据要求作答
(一)必考题:共60分
17.(本小题满分12分)
(2)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有在这三个条件中任选其中一个
本小题满分12分)
Q△MNQ
点,点(0,-5),求证:的外接圆恒过原点O.
12
M M(ρ>0,0≤θ相交于异于极点的点,求点的极坐标
若不等式恒成立。
贵州省2020届高三数学4月适应性考试试题文科数学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知集合U={0,1,2,3,4},A={x∈Z|x2-2x≤0},B={1,2,3},则A．{3} B. {0,1,2} C. {1,2,3} D. {1,2,3,4}2.函数f(x)=cos2x-sin2x的最小正周期是A. πB.2πC.3πD.4π3.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具,顾名思义,仅由七块板(五个等腰直角三角形,一个正方形,一个平行四边形)组成的。
如图,将七巧板拼成一个正方形ABCD,在正方形ABCD内任取一点P,则该点落在正方形EFGH内的概率为A.14 B.15C.16D.184.已知直线m⊥平面α,直线n⊂平面β,则“α∥β”是“m⊥n”的A.充分不必要条件B.必要不充分条作C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.据记载,欧拉公式e ix=cosx+isinx (x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当x=π时,得到一个令人着迷的优美恒等式eπi+1=0,将数学中五个重要的数(自然对数的底e,圆周率π,虚数单位i,自然数的单位1和零元0)联系到了一起,有些数学家评价它是“最完美的数学公式”.根据欧拉公式,若复数e π4i的共轭复数为z̅,则z̅=A.−√22−√22i B.−√22+√22i C.√22+√22i D.√22−√22i6.若a=20.3,b=log20.3,c=log32,则实数a,b,c之间的大小关系为A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. b>a>c7.已知一块形状为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(底面是正方形,侧棱与底面垂直的四棱柱)的实心木材,AB=2,AA1= 3.若将该木材经过切割加工成一个球体,则此球体积的最大值为A.9 2πB.8√2 3πC.4 3π8.函数f(x)=(2−2)sinxcosx的部分图象大致是A.√5B.√3C.√2D.√5 210.某保险公司为客户定制了5个险种:甲,一年期短险;乙,两全保险;丙,理财类保险;丁,定期寿险;戊,重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查,得出如下的统计图例:以下四个选项错误的是A.54周岁以上参保人数最少B.18~29周岁人群参保总费用最少C.丁险种更受参保人青睐D.30周岁以上的人群约占参保人群的80％11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,其准线l与x轴相交于点M,过点M作斜率为k的直线与抛物线C相交于A ,B两点,若∠AFB=60°,则k=A.±12B.±√24C.±√2 2D.±√3212.已知函数f(x)=|x|−1x −3,f’(x)是f(x)的导函数①f(x)在区间(0,+∞)是增函数;②当x ∈(−∞,0)时,函数f(x)的最大值为-1; ③y =f(x)−f′(x)有2个零点;④f′(x)−f′(−x)=2. 则上述判断正确的序号是 A. ①③ B. ①④ C ．③④ D ．①②二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.已知点P(x,y)满足约束条件{x +y ≥4,x −y ≥0,x ≤4,则原点O 到点P 的距离的最小值为14.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,C .若bc =16, √3( bcos C + ccos B)cosA = a sin A ,则△ABC 的面积为15.如下侧框图所示,若输入a =1010,k =8,n =4,则输出b =16.下图是由六个边长为1的正六边形组成的蜂巢图形,定点A,B 是如图所示的两个顶点,动点P 在这些正六边形的边上运动,则AP⃗⃗⃗⃗⃗ •AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题,每个试题考生都必须(1)请将列联表填写完整(2)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关系?已知{a n}为等差数列,各项为正的等比数列{b n}的前n项和为S n,2a1=b1=2,a2+a8=10,_____.在这三个条件中任选其中一个,补充在上面的横线上,并完成下面问题的解答(如果选择多个条件解答,则以选择第一个解答记分)(1)求数列{a}和{b}的通项公式;20.(本小题满分12分)设F1,F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,A,B两点分别是椭圆C的上,下顶点,△AF1F2是等腰直角三角形,延长AF1交椭圆C于D点,且△ADF2的周长为4√2(1)求椭圆C的方程;(2)设点P是椭圆C上异于A,B的动点,直线AP,BP与直线l:y=−2分别相交于M,N两点,点Q(0,-5),求证:△MNQ的外接圆恒过原点O.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=−1x2.(1)若直线y=−2x+m与曲线y=f(x)相切,求m的值；(2)对任意x∈(0,+∞),alnx−f(x)−1≥0成立,求实数a的值.(二)选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修44:坐标系与参数方程](10分)如图,在以O为极点,Ox轴为极轴的极坐标系中,圆C1,C2,C3的方程分别为(1)若C1,C2相交于异于极点的点M,求点M的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)；(2)若直线l:θ=α(ρ∈R)与C1,C3分别相交于异于极点的A,B两点,求|AB|的最大值23.[选修45:不等式选讲](10分)已知函数f(x)=|x+a+b|+|x−c|的最小值为6,a,b,c∈R+.(1)求a+b+c的值(2)若不等式恒成立,求实数m的取值范围.贵州省2020届高三数学4月适应性考试试题理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的1．已知集合{}{}{}3,2,1024,3,2,1,02=≤-∈==B x x Z x A U ，，，则B A C U Y )(=（ ）A.{}3B.{}2,1,0C.{}3,2,1 D.{}4,3,2,1 2．函数x x x f 22sin cos )(-=的最小正周期是（ ）A.πB.π2C.π3D.π4 3．已知直线⊥m 平面α，直线⊂n 平面β，则“βα∥”是“n m ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要4．据记载，欧拉公式)(sin cos R x x i x e ix ∈+=是由瑞土著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”。
