11初中数学竞赛专题培训(20)：类比与联想

课程小论文：构造相关例题对自选的3种数学方法的应用予以说明。

类比、归纳、联想与直觉在解题中的应用摘要 本文将从具体的数学方法——类比、归纳、联想与直觉出发，通过构造相关例题，分析说明这三种数学方法在初等数学解题中的应用，注重培养发展学生的推理能力。

关键词 类比；归纳；联想与直觉1、引言数学方法论是研究数学的发展规律，数学思想、方法、原则以及数学中的发现、发明与创新法则的学科。

其中数学思想方法是数学方法论其中一个非常重要的研究对象。

在《义务教育数学课程标准（2011版）》提到：在数学课程中，应当注重发展学生的推理能力。

其中推理一般包括演绎推理和合情推理，而合情推理就包含类比、归纳、联想与直觉等方法。

本文将从类比、归纳、联想与直觉的具体方法出发，通过构造相关例题，分析说明这三种数学方法在初等数学解题中的应用。

2、类比法在初等数学解题中的应用类比——根据两个不同对象的某些方面（如特征、属性、关系等）的相同或相似，推出它们在其他方面也可能相同或相同的思维形式。

它是以比较为基础的一种从特殊到特殊的推理方法.类比法是由此及彼以及由彼及此的联想方法，著名数学教育家波利亚指出“类比是一个伟大的引路人”，类比具有启迪思维、提供线索、举一反三的作用，对发展思维特别是创造性思维十分有利。

同时，类比法是系统掌握新知识、巩固旧知识，使新旧知识融会贯通的有效方法。

在数学解题过程中，当我们的思维遇到障碍时，运用类比推理，往往能实现知识的正迁移，将已学过的知识或已掌握的解题方法迁移过来。

2.1 解（证）题方法上的类比例2.1 若2()4()()0c a a b b c ----=，且a b c ≠≠。

求证：2b a c =+（即,,a b c成等差数列）分析：观察已知等式，类比联想到一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系，从而可以构造一元二次方程进行求证。

证：构造 2()()()0a b x c a x b c -+-+-=，容易知道1x =是方程的一个解。

浅谈七年级数学教学中的联想与类比的应用道桥中学 王菊华联想与类比思想在初中数学教学中应用广泛，联想与类比的魅力在于它可以使数学学习更容易、更生动、更形象，有利于学生自主探索与创新思维的培养。

通过联想可以把感知过的客观事物中那些接近的、相似的、对立的，或有一定因果关系的事物建立某种联系，从而沟通知识之间的逻辑关系，促进知识之间、方法之间的迁移和同化，有利于认识新事物，产生新的设想。

通过概念的类比，理解概念的本质；通过知识结构的类比，构建起知识的网络；通过思维的类比，突破学生学习思维难点，提高初中数学学习的有效性。

在教学中，如果遇到一些形式相同、思考方法相似、结构相近的熟悉问题或常规题型，可引导学生对所面临的问题进行类比，从而拓宽直觉思维的广度。

1、数与数之间的联想与类比。

类比法是由此及彼以及由彼及此的联想方法，著名数学教育家波利亚指出“类比是一个伟大的引路人”，教师在教学中必须善于引导学生去联想、类比，才能充分调动学生的想象力，让他们通过比较去发现、去认识、去掌握知识。

培养具有创造能力的人才，就要帮助他们学会归纳和类比。

类比具有启迪思维、提供线索、举一反三的作用，对发展思维特别是创造性思维十分有利。

教学中我发现部分学生对于数的感觉很差，在教学有理数的运算这一节内容时，我发现有些学生在计算0.125×1.75时，直接进行三位数乘三位数的小数乘法计算，而计算4354+时却直接将它们通分进行计算，这样一来学生在进行这类题的计算时不仅不能很快地得出结果并且极容易出现错误。

教学中教师首先要求学生将分母为2、4、5、8等等这样的最简分数化为小数后并记下来，特别是、81、83、8587这几个分数，引导学生开通联想功能，如看到83马上联想到0.625，而看到0.875马上联想到87了。

接下来让学生比较分数的加减与乘除计算，如8352+与0.25×0.375是化成小数计算较为简便还是直接计算较为简便呢?通过比较得出：加减计算时,分数(能化为有限小数的)化小数较为简便,乘除计算时，小数（有限小数）化分数较为简便.通过计算让学生自己体会得出的结论印象更深刻，领会到此类分数或小数的计算怎么做简单，学生尝到了甜头，在今后的学习中就会尝试这种方法，不仅提高了学生的计算能力也提高了计算的正确度。

初中数学竞赛中的思维方法数学竞赛作为一项考验学生数学思维和解题能力的活动，需要学生掌握多种思维方法。

在初中数学竞赛中，以下几种思维方法尤为重要：一、归纳思维归纳思维是指从一系列具体事实中概括出一般原理的思维方式。

在数学竞赛中，归纳思维常常用于探究数学规律和性质。

例如，通过观察一组数列，归纳出数列的通项公式；或者通过比较几个图形的性质，归纳出一般图形的性质。

二、演绎思维演绎思维是指从一般原理推导出特殊情况的思维方式。

在数学竞赛中，演绎思维常常用于证明题和推理题。

例如，利用已知定理和性质推导出一个新的定理或性质；或者通过逻辑推理，证明一个数学命题的正确性。

三、类比思维类比思维是指根据两个或多个事物的某些属性相似，推出其他属性也可能相似的思维方式。

在数学竞赛中，类比思维常常用于解决几何、代数和概率问题。

例如，通过比较相似三角形的性质，推出另一个相似三角形的性质；或者通过比较两个函数的图像，推断出它们的其他性质。

四、联想思维联想思维是指根据事物的特征或属性，联想到其他相关事物的思维方式。

在数学竞赛中，联想思维常常用于寻找解题思路。

例如，通过观察一个图形的形状，联想到与该图形相关的定理或公式；或者通过分析一个函数的性质，联想到与该函数相关的数学概念和方法。

五、逆向思维逆向思维是指从问题的反面或另一个角度来思考问题的思维方式。

在数学竞赛中，逆向思维常常用于解决一些常规方法难以解决的问题。

例如，通过反证法证明一个命题的错误；或者通过尝试反例来推翻一个错误的命题。

六、创新思维创新思维是指突破传统思维方式，提出新观念、新方法的思维方式。

在数学竞赛中，创新思维常常用于解决一些非常规问题。

例如，通过构造一个新函数或新模型来解决一个复杂的问题；或者通过观察和猜想，发现一个全新的数学规律或性质。

七、逻辑思维逻辑思维是指按照逻辑规则进行推理和论证的思维方式。

在数学竞赛中，逻辑思维是必不可少的思维方式。

通过逻辑推理，我们可以证明一个命题的正确性或推导出新的结论。

类比与联想在初中数学创新教育中的运用湖北枣阳郑昌国数学教学的重要目的就是培养学生的逻辑思维能力，不断提高学生的思维品质，数学教学的实质就是进行逻辑思维训练的教学。

类比与联想是重要的思维方法，在数学学习中有着广泛的应用，类比是根据两类事物在某些特征上的相似而作出它们在其它特征上也可能相似的一种思维方法。

数学联想是以联想为中介，进行数学发现，探求解题思路，由此及彼地思考问题的一种方法。

在初中数学创新教育中可以通过依据原有知识，给出一个与之相类似的情景，启发学生类比与联想，以获得新知识，形成新的知识结构。

循此启发学生进行数学发现。

开拓解题思路，优化思维品质。

一、类比是概念教学常用的重要方法对于相类似而又有区别的数学概念、公式与定理可以用类比法教学。

引导学生探索或沟通几类数学概念的联系与区别，全面深刻的抓住概念的本质特征。

（一）运用类比，引入新知识在进行整式因式分解的教学中，可以从数学概念着手与整数分解质因数作类比。

例如，列出以下一系列题：a 、算术中把整数60是怎样分解质因数的？请你说出结果来。

b 、60=2×2×3×5它是怎样确定的？c 、如果有同学得出60 = 3×4×5,请问是否正确？整式的因式分解整数的质因数分解相类似，关键是要“降次”，且找到几个不能再分解的因式连乘积。

请注意观察下列等式从左边到右边的变形，哪些是因式分解？a 、 x ２ –y ２=(x +y) (x-y)b 、 x ２-3x+3=( x - 2 ) ( x - 1 ) +1 c 、２４ａ３ｂ－１８ａ２ｂ２＝２ａｂ（１２ａ２－９ａｂ）循此给出因式分解的定义，引入新课，使学生在类比中获得新知识。

（二）类比设问，探索概念的性质在三角形中位线与梯形中位线创新教学中，以三角形中位线的性质为基础，梯形的中位线与三角形的中位线有相似之处，都是连结两边中点所成的线段，位置形状也极为相似。

于是先让学生观察、对比、猜想，二者之间是否有相似的性质呢？学生很容易得出：梯形中位线与两底平行且等于两底和的一半在证明方法上也可以与之类比 设问：三角形的中位线EF图，是如何证明 EF=12BC 的？我们是否可以在梯形中类似的构造一个三角形把梯形的中位线转化为三角形的中位线呢？引导学生通过旋转把上底AD转移到下底BC所在直线上来。

类比联想迁移思想在初中几何复习中的运用初探初中几何是数学中的一个重要分支，是具有一定难度且需要学生具备一定的空间想象力和逻辑思维能力的一门学科。

在学习初中几何过程中，如何提高学生的学习兴趣，并让他们能够灵活运用所学知识进行解题，在很大程度上取决于教师的教学方法和引导思想。

而在初中几何复习中，类比联想迁移思想的运用，是一种非常有效的教学手段。

类比联想是指把两个不同的事物进行对比和类比，发现它们之间的共同点，通过这种比较和类比的方式，把新的知识点和已经掌握的知识点相联系，达到提高学生学习几何的效果。

下面从三个方面分析类比联想迁移在初中几何复习中的应用。

一、基本概念的类比联想迁移初中几何中有许多基本概念，如角度、线段、平行线等。

学生在初学时，需要掌握这些基本概念的定义和性质，但有时候理解不足或者概念认知混乱，就会给以后的学习带来很大麻烦。

而在复习中，教师可以借助类比联想迁移的思想，对基本概念进行归纳总结，找到相似或不同之处，让学生更好地理解和记忆。

例如，在学习平行线的性质时，可以将其与垂直平分线的性质进行比较，让学生找到两者中的相同性质和不同性质，强化其对概念的理解。

这样的方法既能加深学生的记忆，又能帮助他们较快地掌握新的知识点。

在初中几何中，有许多特定的题型，如证明题、构造题、计算题等。

对于不同类型的题目，学生需要掌握不同的解题方法和思路。

但有时候，学生在遇到新题时，会陷入“不懂从何入手”的困境。

这时，教师可以通过类比联想迁移的思想，将新题型与已知题型进行比较和类比，激发学生的学习兴趣，并引导他们寻找新题解法的套路。

例如，在做计算题时，可以将其与构造题进行比较，看看两者之间是否有共性可寻。

而在做证明题时，可以将其与求证型实践题类比，发现它们的思路和方法有何异同之处，并从中推测新证题的解法。

这种类比联想迁移的思想能够提高学生的解题能力和创造力，让他们更好地掌握几何学科。

几何学科中有许多模型，如三角形、矩形、圆形等。

类比关系知识点总结初中一、概念类比是对两个事物之间相似关系的一种推理方法。

通过找出两个事物之间的共同特征，从而推断出它们之间的相似之处，并由此进行逻辑推理，得出新的结论。

二、类比的特点1. 类比是一种以找出相似之处为基础的推理方法。

通过发现两个事物之间的相同点来推断它们之间的关系。

2. 类比推理是一种近似推理方法。

因为两个事物之间的相似程度可能是相对的，不能完全相同。

3. 类比推理有一定的局限性。

因为两个事物之间的相似之处有限，可能逻辑并不一定成立。

4. 类比推理具有一定的创造性。

在推理过程中，需要通过发散思维来发现两个事物之间的相似之处。

三、类比的种类1. 类比推理类比推理是最基本的一种类比关系。

它要求发现两个事物之间的共同特征，并由此得出推论。

例如：苹果是水果，青菜是蔬菜，所以苹果和青菜都是食物。

2. 类比论证类比论证是一种更高级的类比关系。

它要求在类比推理的基础上，对推论进行进一步的论证。

例如：早起锻炼有益于健康，像输在沙滩上散步也会增强健康，所以可以通过这个类比来论证，早起在沙滩上散步也有益于健康。

3. 类比比较类比比较是一种对两个事物之间相似或不同之处进行比较的方法。

通过比较的方式来发现两个事物之间的相似之处或差异之处。

例如：猫和狗都是宠物，但它们的性格和习性却有很大的不同。

四、类比的应用1. 在语言的运用中，类比可以帮助人们更好地理解和运用一些语言中的隐喻和比喻。

例如，用“月亮弯弯”的形容词来形容美丽的眼睛。

2. 在逻辑推理中，类比可以帮助人们更好地理解逻辑关系。

通过发现两个事物之间的相似之处，从而推断其间的逻辑关系。

3. 在创造性思维中，类比可以帮助人们从一个领域中的思维方法应用到另一个领域中。

从而产生新的观点和发现新的问题解决方法。

4. 在教学中，类比可以帮助学生更好地理解一些抽象的概念和原理。

通过找出与学生熟悉的事物之间的相似之处，从而更好地理解新的知识点。

五、类比的局限性1. 类比推理的局限性在于两个事物之间的相似之处有限，可能逻辑推理并不一定成立。

教案：初中数学类比方法教学目标：1. 理解类比的概念和作用；2. 学会使用类比方法解决数学问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识。

教学重点：1. 类比的概念和作用；2. 类比方法在数学问题解决中的应用。

教学难点：1. 类比方法的灵活运用；2. 创新意识的培养。

教学准备：1. 教学课件；2. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学过的数学知识，如平行线、相似三角形等；2. 提问：你们觉得这些知识之间有什么联系呢？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍类比的概念：类比是一种推理方法，是根据两个或多个对象在某些方面相似，推断它们在其他方面也相似。

2. 讲解类比的作用：类比可以帮助我们发现数学知识之间的联系，简化问题的解决过程，培养逻辑思维能力和创新意识。

3. 举例说明类比方法在数学问题解决中的应用：a. 平行线与相似三角形的类比；b. 同角三角函数的类比；c. 圆与球的类比。

三、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成；2. 选取部分学生的作业进行讲解和分析。

四、总结与拓展（10分钟）1. 总结本节课所学内容，强调类比的概念和作用；2. 鼓励学生在生活中运用类比方法，培养创新意识。

五、课后作业（课后自主完成）1. 深入研究类比方法在数学问题解决中的应用，选取一个实例进行分析和总结；2. 思考类比方法在其他学科中的应用，提出自己的观点。

教学反思：本节课通过讲解类比的概念和作用，以及类比方法在数学问题解决中的应用，使学生掌握了类比方法的基本原理。

在课堂练习环节，学生能够独立完成练习题，对类比方法有一定的掌握。

但在拓展环节，部分学生对类比方法在其他学科中的应用还不够清晰，需要在今后的教学中进一步加强引导。

总体来说，本节课达到了预期的教学目标。

类比联想迁移思想在初中几何复习中的运用初探作为初中数学复习的重点内容之一，几何必然成为了许多学生的头号难题。

对于许多初中生来说，几何问题不仅深奥，而且需要掌握很多概念和定理，有时候还需要一定的想象力。

在这种情况下，类比联想迁移思想成为一种非常有效的复习方法。

具体来说，类比联想迁移思想是指将一个已知的问题与新问题进行比较，从而激发思考，找到共性和规律。

这种方法的基本原理是，通过联想和类比的过程，促进头脑灵活性和推理能力的提高，让学生在理解几何问题的同时，也将有助于他们更好地记忆和应用几何知识。

1. 比较图形的相似性和差异性几何中有很多形状相似或者具有某些相同的性质的图形，这些图形之间往往存在一些规律和联系。

比如，平行四边形、长方形、正方形之间具有很大的相似性，学生可以尝试将这些图形进行比较，从而找到它们之间的共同点和不同点，通过类比和联想的方法，来更好地理解和应用这些图形的性质和定理。

2. 通过类比理解和应用定理几何定理数量繁多，不同的定理之间也存在一定的相关性。

在几何复习中，学生可以通过类比的方法，将不同的定理进行比较和联系，从而更好地理解和应用这些定理。

例如，在学习圆的基本性质时，学生可以比较圆的直径和半径，利用类比的思想来理解直径和半径之间的关系，以及直径和半径的应用。

3. 视觉化比较和联想几何问题通常需要用图形来表示，这为学生联想和类比提供了更加直观的途径。

比如，当学生学习直线与平面垂直的问题时，可以想像一个笔直的铁筋垂直于一面平的墙面，这样有助于学生直观地感受垂直的概念和特征，从而更好地理解和应用垂直相关的定理和概念。

总之，类比联想迁移思想在初中几何复习中的应用，有助于学生加深对几何知识的理解和应用，提高学习效率，更好地应对考试。

同时，这种方法也能够培养学生的思维能力和证明能力，为他们今后的学习和生活打下坚实的基础。

初中数学竞赛专题培训第二十讲类比与联想类比就是根据两种事物一部分类似的性质，推测这两种事物其他类似性质的推理方法．例如，由分数的性质类似地推测分式的性质；由直线与圆的位置关系推测圆与圆的位置关系；由一次函数、一次方程、一次不等式的某些性质和解法，推测二次函数、二次方程、二次不等式的某些类似的性质与解法等．联想是由某种事物而想到其他相关事物的思维活动．当我们遇到一个数学问题时，常常想起与它类似的问题、类似的解法，从而有利于新问题的解决．利用类比与联想，常常可以发现新命题和扩展解题思路．1．类比与发现例1已知：△ABC中，∠C= 90°，AC=BC=1，BD是AC边上的中线，E点在AB边上，且ED⊥BD．求△DEA的面积(图2-113)．解引CF⊥BA于F，由于BC= AC，所以CF是底边AB上的中线．因为H为△ABC的重心，所以因为∠C=∠BDE=90°，所以∠ADE=∠CBH．又由∠A=∠BCH=45°，可知△ADE∽△CBH．所以类比如果保留例1中等腰三角形诸条件，去掉直角这一特殊性，那么是否会产生类似的命题呢？由此想到例2．例2如图2-114．已知△ABC中，∠C=4∠B=4∠A，BD是AC 边上的中线，E点在AB上，且∠AED=∠C，S△ABC=1，求S△AED．解类似例1的解法，引CF⊥AB于F，交BD于H，显然△ADE 不相似于△CBH．但由已知条件∠C=4∠B=4∠A，则∠A=∠B=30°，∠C=120°．由于CF平分∠C，所以∠ACF＝60°．又因为∠AED=∠ACB，∠A=∠A，所以△ADE∽△ABC，所以由于△AFC中∠AFC=90°，∠A=30°，所以若设CF=x，则类比如果保留例1中的直角等条件，去掉等腰三角形这一特殊性，可以类似地得到例3．例3已知△ABC中∠C= 90°，AC=2BC=2，BD是AC边上的中线，CF⊥AB于F，交BD于H(图2-115)．求S△CBH．解本题直接求S△CBH有些困难，联想例1、例2中的△ADE，不妨引辅助线DE⊥BD交AB于E．由于AC=2BC=2，D是AC的中点，且∠C=∠BDE=90°，所以∠CBH=∠ADE=45°．因为CF⊥AB于F，所以∠BCH=∠A．由于BC=AD=1，所以△CBH≌△ADE，所以 S△CBH=S△ADE.因此只要求出S△ADE即可，为此，设DE=x，则(2)例3由例1类比而来，最自然的想法是求S△ADE，为增加难度与变换方式获得新命题，故例3反求S△CBH．我们知道一个三角形的三边如果是a，b，c，那么就有│b-c│＜a＜b＋c，①即三角形任意一边小于其余两边之和，大于其余两边之差．我们对①类比：是否有存在呢？如果②存在，那么就发现了如下命题(例4)．2．联想与解题例5 a，b为两个不相等且都不为零的数，同时有a2＋pa＋q=0，b2+pb＋q=0，分析与解由已知条件，联想到方程根的定义，a，b是方程x2＋px+q=0的两个根，由a，b不为零，有例6如果(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0，求证：x+z=2y．分析与解 (1)展开原式有z2-2xz+x2-4(xy-y2-xz+yz)=0，合并、配方得(x+z)2-4y(x+z)＋4y2=0，即 (x+z-2y)2=0，所以 x+z＝2y．(2)如果看已知条件：(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0，很像二次方程根的判别式b2-4ac的形式，因此，可联想到方程(x-y)t2＋(z-x)t＋(y-z)＝0(x-y≠0)有二相等实根．由(x-y)+(z-x)+(y-z)=0可知1是以上方程的根，再由根与系数关系知所以 x+z=2y．当x=y=0，即x=y时，有x=y=z，所以x+z=2y．例7化简分析与解这是一个根式的化简问题，分子、分母大同小异，自然联想到应用因式分解，使分子、分母具有公因式，化简就很容易了．例8图2-116是我国古代数学家赵爽证明勾股定理的“弦图”，其中“弦实”是弦平方的面积，“弦图”以弦为边作正方形(如正方形ABCD)，然后在“弦图”内部作四个直角三角形(如△AHB，△BEC，△CDF，△DAG)．设a，b，c为四个直角三角形的勾、股、弦，则根据“出入相补原理”就有即 c2=2ab+b2-2ab+a2,即 c2=a2+b2.这是中国古代数学家独立于西方毕达哥拉斯和欧几里得发明的证法．后人沿用“出入相补原理”，也就是割补原理解决了许多数学问题，也创造了“勾股定理”的许多新证法．事实上每位初中同学，学了勾股定理，只要用心思考，一定会用割补法想出更新的证明勾股定理的方法．下面的几例，便是同学们提出的割补图．设a，b，c分别为直角三角形的勾、股、弦．(1)在图 2-117中，有a2+b2＝(S3+S5)+(S1+S2+S4)＝(S4+S5)+(S1+S2+S3)＝2S2+S1+S3=c2．(2)在图 2-118中，有a2+b2＝(S3+S4)＋(S1+S2)=S1＋S3＋S4＋S＇2＋S5=c2(3)在图2-119中，有a2＋b2＝(S2＋S5)+(S1＋S3＋S4)=S1＋S2＋S3＋S4＋S5＝c2．(4)在图2-120中，有a2＋b2=(S＇2＋S5)＋(S1＋S3＋S4)=(S＇2+S4)+(S1+S3+S5)＝S1+S2+S3+S5=c2．练习二十1．在直角△ABC中，∠C=90°．(1)如果以此直角三角形三边为边，分别作三个正三角形(如图2-121)，那么面积S1，S2，S3之间有什么关系？(2)如果以此直角三角形三边为直径，分别作三个半圆，那么面积S1，S2，S3之间有什么关系(如图2-122)？(提示：联想同分数，分母大的反而小，变比较分数的大小为比较倒数的大小．)(提示：如联想到已知公比之比值k，则可化难为易．)4．参照图2-120，写出勾股定理的逻辑证明．5．已知：△ABC中，∠C=2∠A=2∠B，BD是∠B的分角线，E 点在AB上，且∠ADE=∠DBC，S△ABC=1，求S△ADE．。