江苏省高一数学苏教版必修1课后导练：1.1集合的含义与表示 Word版含解析

第1章集合1.1集合的含义及其表示第1课时集合的含义课时训练1集合的含义1.(2019山东德州高一期中)下列对象不能构成集合的是().A.一年中有31天的所有月份B.平面内到点O的距离等于1的所有点C.满足方程x2-2x-3=0的所有xD.某校高一(1)班所有性格开朗的女生31天的月份,平面内到点O的距离等于1的点,满足方程x2-2x-3=0的x都是确定的,所以都能构成集合.班里性格开朗的女生的判断标准不明确,D不能构成集合.故选D.2.给出下列6个关系:∈R,∈Q,0∈{0},tan 45°∈Z,0∈N*,π∈Q,其中正确的个数为().A.2B.3C.4D.5R,0∈{0},tan 45°=1∈Z正确;∈Q,0∈N*,π∈Q不正确.3.集合A中的元素为小于1的数,则下列给出的几个关系式中,正确的是().A.3∈AB.1∈AC.0∈AD.-3∉AA中的元素为小于1的数,所以3∉A,1∉A, 0∈A,-3∈A,故只有C正确.4.集合A中的元素y满足y∈N,且y=-x2+1,若t∈A,则t的值为().A.0B.1C.0或1D.2y=-x2+1≤1,且y∈N,∴y的值为0,1.又t∈A,则t的值为0或1.5.已知集合A中的元素均可表示为x=a+b,a,b∈Z的形式,则 A.(填“∈”或“∉”)1=1+1×,∵1∈Z,∴∈A.6.若集合A中含有两个元素x,x2,且1∈A,则x=.1x=1时,x=x2=1不合题意,故x2=1,由集合中元素的特性可知x=-1.7.已知集合A={a-3,2a-1},若-3∈A,求实数a的值.(导学号51790131)-3∈A,∴-3=a-3或-3=2a-1.若-3=a-3,则a=0,此时A={-3,-1},符合题意.若-3=2a-1,则a=-1,此时A={-4,-3},符合题意.综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.8.设集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.(导学号51790132)(1)求实数x应满足的条件;(2)若-2∈A,求实数x.由集合元素的互异性可得x≠3,且x2-2x≠x,x2-2x≠3,解得x≠-1,且x≠0,且x≠3.(2)若-2∈A,则x=-2或x2-2x=-2.由于x2-2x=(x-1)2-1≥-1,所以x=-2.9.已知集合A中含有四个元素:1,3,a2+a,a+1,若a∈A,求实数a的值.(导学号51790133)a∈A,∴a=1或a=3或a=a2+a.当a=1时,a2+a=2,a+1=2,这与集合中元素的互异性矛盾,故舍去.当a=3时,a2+a=12,a+1=4,符合题意.当a=a2+a,即a=0时,a+1=1,与集合中元素的互异性矛盾,故舍去.综上所述,所求实数a的值是3.。

集合的含义及其表示练习1∈R；②Q；③4.5∈Q；④0∈N*，其中正确的个数为________．2．已知集合S＝{a，b，c}中三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是__________三角形．3．由实数a，－a，|a|所组成的集合最多．．含有________个元素．4．下列四个集合中，表示空集的是__________．①{0}；②{(x，y)|y2＝－x2，x∈R，y∈R}；③{x||x|＝5，x∈Z，x N}；④{x|2x2＋3x－2＝0，x∈N}．5．用适当的符号填空：已知A＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则有17__________A，－5__________A．6．下列给出的5种说法中，正确说法的序号是________(填上所有正确说法的序号)．①任意一个集合的正确表示方法都是惟一的；②集合{0，－1,2，－2}与集合{－2，－1,0,2}相等；③若集合P是满足不等式0≤2x≤1(x∈R)的x的集合，则这个集合是无限集；④已知a∈R，则a Q；⑤集合{x|x＝2k－1，x∈Z}与集合{y|y＝2s＋1，s∈Z}相等．7．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，试用列举法表示集合A＝{x|x2－4x－a＝0}为__________．8．定义集合A*B＝{x|x∈A且x B}．已知A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,5}，则A*B＝__________．9．已知集合A＝{2，a，b}与集合B＝{2a,2，b2}恰好相等，试求a，b的值，并写出这个集合．10．已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至多只有一个，求m的取值范围．11．用集合的形式表示不等式组2(1)(1)(2),3123x x xx x⎧+->-⎪⎨-<+⎪⎩的解集．12．已知集合A＝{x∈R|m2x2－n＝0}，当m，n满足什么条件时，集合A是有限集、无限集、空集？参考答案1．答案：32．答案：等腰3．答案：24．答案：④5．答案：∈6．答案：②③⑤7．答案：A ＝{2}8．答案：{1,7}9．解：由条件可得22,a a b b =⎧⎨=⎩或2,2.a b b a ⎧=⎨=⎩ 解得0,1a b =⎧⎨=⎩或0,0a b =⎧⎨=⎩或1,41.2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩其中00a b =⎧⎨=⎩，舍去．从而这个集合为A ＝B ＝{2,0,1}或A ＝B ＝11224⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，．10．解：当m ＝0时，原方程为－2x ＋3＝0，32x ＝，符合题意； 当m ≠0时，方程mx 2－2x ＋3＝0为一元二次方程，由Δ＝4－12m ≤0，得13m ≥， 即当13m ≥时，方程mx 2－2x ＋3＝0无实根或有两个相等的实根，符合题意； 综上可知，m ＝0或13m ≥． 11．解：由不等式(x ＋1)(x －1)＞(x －2)2，得54x >， 由不等式2x －3＜3x ＋1，得x ＜24， 从而原不等式组的解集为5244x x ⎧⎫<<⎨⎬⎭⎩． 12．解：∵m 2x 2－n ＝0，∴m 2x 2＝n ．当m ＝0，n ＝0时，x ∈R ，A 就是实数集，集合A 是无限集．当m ≠0，n ＝0时，x ＝0，A ＝{0}，集合A 是有限集．当m ≠0，n ＜0时，方程m 2x 2－n ＝0无实根，集合A 是空集． 当m ≠0，n ＞0时，方程m 2x 2－n ＝0有两个不等的实根，=x ±=A ⎧⎪⎨⎪⎩，集合A 是有限集．当m ＝0，n ≠0时，方程无实根，集合A 为空集．综上所述，当m ＝0，n ＝0时，集合A 是无限集；当m≠0，n＜0或m＝0，n≠0时，集合A是空集；当m≠0，n≥0时，集合A是有限集．。

双基达标(限时15分钟)1．已知集合M＝{－1,0,1,2}，P＝{x|x＝a＋b，a∈M，b∈M且a≠b}，则P 有________个元素．解析∵a∈M，b∈M且a≠b，－1＋0＝－1,0＋2＝2，－1＋1＝0,0＋1＝1，－1＋2＝1,1＋2＝3，∴P中共有5个元素．答案 52．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为________．解析∵y＝－x2＋1≤1，且y∈N，∴y的值为0或1.又t∈A，则t的值为0或1.答案0或13．已知集合A＝{2,4,6}，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为________．解析若a＝2，则6－2＝4∈A；若a＝4，则6－4＝2∈A；若a＝6，则6－6＝0∉A.答案2或44．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2＜x＜a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________.解析∵x∈N，且2＜x＜a，∴a＝6.答案 65．下列集合：①{x2－1}；②{x2－1＝0}；③{x|x2－1＝0}；④{x∈N|x2－1＝0}．其中恰有2个元素的是________．解析集合{x2－1}与{x2－1＝0}是用列举法表示的，它们的元素分别是多次式x 2－1和方程x 2－1＝0，是单元素集．集合{x |x 2－1＝0}与{x ∈N |x 2－1＝0}是用描述法表示的，前者是方程x 2－1＝0的根±1构成的集合，后者是方程x 2－1＝0的自然数根1构成的集合．故恰有2个元素的集合是③.答案 ③6．用适当的方法表示下列集合：(1)比5大3的数组成的集合；(2)方程x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0的解集；(3)不等式x －3>2的解的集合；(4)二次函数y ＝x 2－10图象上的所有点组成的集合．解 (1)比5大3的数显然是8，故可表示为{8}．(2)方程x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝0，∴⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝－3，∴方程的解集为{(2，－3)}． (3)由x －3>2，得x >5.故不等式的解集为{x |x >5}．(4)“二次函数y ＝x 2－10的图象上的点”用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2－10，x ∈R }．综合提高 (限时30分钟)7．方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝1x －y ＝0，的解集为________． 解析 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y ＝0＝ ⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＝12y ＝12＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎪⎫12，12.答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 8．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪ 65－a ∈N *，a ∈N *，则集合A 为________． 解析 ∵65－a∈N *，∴5－a 是6的正的因数，∴5－a ∈{1,2,3,6}，又a ∈N *，∴a 的值是4或3或2，∴A ＝{2,3,4}．答案 {2,3,4}9．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，b a ，b }，则b －a ＝________.解析 由{1，a ＋b ，a }＝{0，b a ，b }可知a ≠0，则只能a ＋b ＝0，则有以下对应关系：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，b a ＝a ，b ＝1，① ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，b ＝a ，b a ＝1.②解①得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，符合题意，②无解，∴b －a ＝2. 答案 210．设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，若A ＝B ，则a ，b 的值分别为________．解析 ∵A ＝B ，A ，B 中均有元素a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝a 2b ＝ab ，或⎩⎪⎨⎪⎧1＝ab ，b ＝a 2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ∈R 或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝1.再根据元素的互异性，得a ＝－1，b ＝0.答案 a ＝－1，b ＝011．设集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪62＋x ∈N .(1)试判断元素1和2与集合B 的关系；(2)用列举法表示集合B .解 (1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N ， 当x ＝2时，62＋2＝32∉N ，∴1∈B,2∉B . (2)∵62＋x∈N ，x ∈N ，∴2＋x 只可能取1,2,3,6， ∴x 只能取0,1,4，∴B ＝{0,1,4}．12．已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，求x .解 既然2∈M ，则就应有：⎩⎨⎧ 2＝3x 2＋3x －4，－2，3x 2＋3x －4，x 2＋x －4互不相等，或⎩⎨⎧ 2＝x 2＋x －4，－2，3x 2＋3x －4，x 2＋x －4互不相等.当3x 2＋3x －4＝2时，3x 2＋3x －6＝0，即x 2＋x －2＝0，解得x ＝－2，或x ＝1.经检验，x ＝－2，x ＝1均不符合题意．当x 2＋x －4＝2时，x 2＋x －6＝0，解得x ＝－3，或x ＝2.经检验，x ＝－3，x ＝2均符合题意，所以x ＝－3，或x ＝2.13．(创新拓展)对于a ，b ∈N *，定义a *b ＝⎩⎨⎧a ＋b (a 与b 的奇偶性相同)ab (a 与b 的奇偶性不同).集合M ＝{(a ，b )|a *b ＝12，a ，b ∈N *}． (1)用列举法表示a ，b 奇偶性不同时的集合M ；(2)当a ，b 奇偶性相同时，集合M 中共有多少个元素？解 (1)M ＝{(a ，b )|ab ＝12，a ，b ∈N *且a 与b 的奇偶性不同}＝{(1,12)，(3,4)，(4,3)，(12,1)}．(2)当a 与b 奇偶性相同时，a *b ＝a ＋b ＝12，所以(a ，b )＝(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，(6,6)，(7,5)，(8,4)，(9,3)，(10,2)和(11,1)．故当a与b奇偶性相同时，集合M中共有11个元素．。

课后导练基础达标.下面有四个命题，其中正确命题的个数为( )①集合中最小数为;②若∈,则∈;③所有小的正数组成一个集合;④若∈∈,则的最小值为.解析：①②正确，故选.答案：.方程组的解集为( ).() .{} .{()} .{()()}解析：三元一次方程组解唯一，它的解集只有一个元素而由方程组可知，，故选.答案：.已知∈*,则方程的解集为( ).{} .{} .{} .{()}解析：的实数解为，而∈*,∴，故选.答案：.下列集合中,表示同一集合的是( ){()}{()}{}{()}{()}{}{}{}解析：中集合的主要元素是点的坐标，与不同，、中主要元素不同，故选.答案：.下列集合表示空集的是（）.{} .{()∈}.{∈} .{<<∈*}解析：集合{∈}中的解为和，均不属于，故选.答案：.设{,,,,…},用描述法可表示为.答案：{∈*}.集合{<<∈},用列举法可表示为.答案：{，，}.用列举法表示下列给定的集合：（）大于且小于的质数；（）{<≤∈}.解析：（）∵大于且小于的质数有,∴集合为{}.（）∵<≤，而∈,∴为.∴{}..用适当方法表示下列集合：（）二次函数的函数值组成的集合；（）一次函数的自变量的值组成的集合.解析：此类问题求解的关键是认清集合中的元素是什么.（）因为二次函数在∈时的值有无数个，故用描述法表示为{}.（）同（）一样也是一个无限集，故用描述法表示{}..设集合{∈，∈}.()试判断元素,元素与集合的关系;()用列举法表示集合.解析：（）当时，∈,当时，,∴∈.（）因当时，∈,当时，∈,∴{}.综合训练.设{面积为的三角形}{面积为的正方形},则( )、都是有限集、都是无限集是有限集是无限集是无限集是有限集解析：根据题目中所给集合中元素是否可数，中面积为的三角形有无数个而面积为的正方形只有一种，故选.答案：.已知集合{<≤∈}，下列用列举法表示集合正确的是（）.{} .{} .{} .{}答案：.平面直角坐标系中,到两坐标轴距离相等的点的集合可表示为.解析：由于集合中的元素是点，于是所表示的集合是{()±}.答案：{()±}.使式子有意义的允许值组成的集合是,它是集.解析：由题意得≥且≠，∴≤且≠,于是所求得集合为{≤且≠}.因满足集合条件的实数有无限个，故为无限集.答案：{≤且≠} 无限.设表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形：。

第1课时集合的含义及其表示(1)教学过程一、问题情境(1) 小于10的所有偶数;(2) 中国的直辖市;(3) 单词book中的字母;(4) 到一个角的两边距离相等的所有的点;(5) 方程x2-5x+6=0的所有实数根;(6) 不等式x-3>0的所有解;(7) 某高中全体高一学生.二、数学建构问题1以上实例有什么共同特征?(引导学生说出:一定范围内,确定的,不同对象.然后通过学生回答,总结出集合的含义)一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.集合常用大写的拉丁字母来表示,如集合A、集合B.集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元.集合的元素常用小写的拉丁字母来表示,如元素a、元素b.问题2回答下列问题:(1) 已知A={1, 3},问:3, 5哪个是A的元素?(2) “所有素质好的人”能否构成一个集合A?(3) A={2, 2, 4}表示是否准确?(4) A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋}是否表示同一个集合?由上述问题可以归纳出集合中元素的特征:①确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则“x是A的元素”或者“x不是A的元素”这两种情况必有一种且只有一种成立.②互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不能重复出现同一元素.③无序性:一般不考虑元素之间的顺序,但在表示数列之类的特殊集合时,通常按照由小到大的数轴顺序书写.问题3元素与集合之间有怎样的关系?解如果a是集合A中的元素,就记作a∈A,读作“a属于A”;如果a不是集合A中的元素,就记作a∉A或a⋷A,读作“a不属于A”.问题4常用的数集有哪些?它们分别用什么数学符号表示?解自然数集(非负整数集):N,正整数集:N*或N+,整数集:Z,有理数集:Q,实数集:R.问题5集合的表示方法有哪些?(1) 列举法:将集合的元素一一列举出来,并置于“{}”中,元素之间用逗号分隔.列举时与元素次序无关,如{北京,上海,天津,重庆}.集合的相等关系:如果两个集合所含的元素完全相同,那么称这两个集合相等,如{北京,上海,天津,重庆}={天津,重庆,北京,上海}.思考“问题情境”中的集合都能用列举法表示吗?如果能,请表示出来.(2) 描述法:将集合中所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x|p(x)}的形式.{x|p(x)}中x为集合的代表元素,p(x)指元素x具有的性质,如{x|x为中国的直辖市},{x|x-3>0, x∈R}. (3) Venn图:有时用Venn图示意集合(如图1),更显直观.(图1)问题6按照元素的个数,集合该怎样分类?(1) 有限集:含有有限个元素的集合称为有限集.(2) 无限集:含有无限个元素的集合称为无限集.(3) 空集:不含任何元素的集合称为空集,记作⌀,如{x|x2+x+1=0, x∈R}=⌀.三、数学运用【例1】下列各组对象能否构成集合:(1) 所有的好人;(2) 小于2012的数;(3) 和2012非常接近的数;(4) 小于5的自然数;(5) 不等式2x+1>7的整数解;(6) 方程x2+1=0的实数解. (见学生用书课堂本P1~2)[处理建议]引导学生根据定义判断.[规范板书]解(1)(3)不符合集合中元素的确定性,因此,只有(2)(4)(5)(6)能够构成集合.[题后反思]解决这类题目要抓住集合中元素的两个特征:确定性,互异性.【例2】用符号“∈”或“∉”填空:-错误!未找到引用源。

[学业水平训练]一、填空题1.(2021·江阴市一中高一期中试题)假设1∈{x ,x 2} ,那么x ＝________．解析：由1∈{x ,x 2} ,那么x ＝1或x 2＝1 ,∴x ＝±1 ,当x ＝1时 ,x ＝x 2＝1 ,不符合元素的互异性 ,∴x ＝－1.答案：－12.给出以下关系：①12∈R ；② 2∉Q ；③|－5|∉N *； ④|－3|∈Q .其中正确的选项是________．(填序号)解析：|－5|＝5∈N * ,故③不正确；|－3|＝3∉Q ,故④不正确．其他两个均正确． 答案：①②3.集合A ＝{x 2 ,3x ＋2 ,5y 3－x } ,B ＝{周长等于20 cm 的三角形} ,C ＝{x |x －3＜2 ,x ∈R } ,D ＝{(x ,y )|y ＝x 2－x －1} ,其中用描述法表示集合的有________．解析：集合A 是用列举法描述的．答案：B 、C 、D4.如图 ,是用Venn 图表示的集合 ,用列举法表示为________；用描述法表示为________．解析：其中元素为－2 ,－1 ,0 ,1 ,2 ,3. 答案：{－2 ,－1 ,0 ,1 ,2 ,3} {x |－3<x <4 ,x ∈Z }5.假设集合{1 ,a ,b }与{－1 ,－b ,1}是同一个集合 ,那么a 与b 分别为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－b 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－b b ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 b ＝－1.当a ＝1 ,b ＝－1时 ,集合中有重复元素舍去．故a ＝－1 ,b ＝0.答案：－1 ,06.集合A ＝{x |x ＝|a |a ＋|b |b,a ,b 为非零实数}的元素个数为________． 解析：假设a >0 ,b >0 ,那么x ＝2；假设a <0 ,b <0 ,那么x ＝－2；假设a ,b 异号 ,那么xA ＝{－2 ,0 ,2}．答案：3二、解答题7.判断以下对象能否构成一个集合．如果能 ,请采用适当的方法表示该集合；如不能 ,请说明理由．(1)小于5的整数；(2)高一年级|体重超过75 kg 的同学；(3)方程x ＋y ＝3的非负整数解；(4)与π非常接近的有理数．解：(1)能．{x |x <5 ,x ∈Z }．(2)能．{高一年级|体重超过75 kg 的同学}．(3)能．{(0 ,3) ,(1 ,2) ,(2 ,1) ,(3 ,0)}．(4)不能构成集合．接近π的有理数界限不明确 ,不符合集合元素确定性的特点． 8.用适当的方法表示以下集合 ,并指出它是有限集还是无限集．(1)由所有小于10的既是奇数又是质数的自然数组成的集合．(2)由平面直角坐标系中所有第三象限内的点组成的集合；(3)由方程x 2＋x ＋1＝0的实数根组成的集合．解：(1)满足条件的数为3 ,5 ,7 ,所以所求集合为B ＝{3 ,5 ,7}．集合B 是有限集．(2)所求集合可表示为C ＝{(x ,y )|x <0且y <0}．集合C 是无限集．(3)因为方程x 2＋x ＋1＝0的判别式Δ<0 ,故无实根 ,所以由方程x 2＋x ＋1＝0的实数根组成的集合是空集．[（高|考）水平训练]一、填空题1.(2021·黄桥中学高一期中试题)集合M ＝{x 2－5x －5≠1} ,那么实数x 的取值范围为________．解析：∵x 2－5x －5≠1 ,∴x 2－5x －6≠0 ,∴(x ＋1)(x －6)≠0 ,∴x ≠－1且x ≠6.故x 的取值范围为{x |x ∈R ,x ≠－1且x ≠6}．答案：{x |x ∈R ,x ≠－1且x ≠6}2.集合A ＝{x |x ∈N ,126－x∈N }, 那么集合A 用列举法表示为________． 解析：∵126－x∈N ,x ∈N ,∴6－x ＝1 ,2 ,3 ,4 ,6 ,得x ＝5 ,4 ,3 ,2 ,0.∴集合A ＝{0 ,2 ,3 ,4 ,5}．答案：{0 ,2 ,3 ,4 ,5}二、解答题3.集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0 ,x ∈R } ,a 为实数．(1)假设A 是空集 ,求a 的取值范围；(2)假设A 是单元素集 ,求a 的值；(3)假设A 中至|多只有一个元素 ,求a 的取值范围．解：(1)假设A 是空集 ,那么⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0Δ＝22－4a <0 所以a >1. (2)假设A 是单元素集 ,那么①当a ＝0时 ,此时A ＝{x |2x ＋1＝0 ,x ∈R }＝{－12}； ②当a ≠0时 ,有⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0Δ＝22－4a ＝0 即a ＝1 , 此时A ＝{x |x 2＋2x ＋1＝0 ,x ∈R }＝{－1}．所以综合①②得a ＝0或a ＝1.(3)假设A 中至|多只有一个元素 ,那么A 为空集或单元素集 ,所以a ＝0或a ≥1.4.集合A＝{x|x＝a＋2b ,a∈Z ,b∈Z} ,试判断以下元素x与集合A间的关系：(1)x＝0；(2)x＝12＋1；(3)x＝x1＋x2 ,其中x1∈A ,x2∈A；(4)x＝x1·x2 ,其中x1∈A ,x2∈A.解：(1)∵x＝0＝0＋0×2 ,取a＝b＝0 ,0∈Z ,∴x∈A；(2)∵x＝12＋1＝2－1＝(－1)＋1×2 ,－1∈Z ,1∈Z.∴x∈A；(3)∵x1∈A ,x2∈A.∴有a1 ,a2 ,b1 ,b2∈Z , 使得x1＝a1＋2b1 ,x2＝a2＋2b2 ,那么x＝x1＋x2＝(a1＋a2)＋2(b1＋b2) ,而a1＋a2∈Z ,b1＋b2∈Z ,∴x∈A；(4)由(3) ,x＝x1·x2＝(a1＋2b1)(a2＋2b2)＝(a1a2＋2b1b2)＋2(a1b2＋a2b1) ,而a1a2＋2b1b2∈Z ,a1b2＋a2b1∈Z ,故x∈A.。

课后训练千里之行 始于足下1．以下对象能构成集合的序号是________．①NBA 联盟中所有优秀的篮球运发动；②2021年诺贝尔奖获得者R ；③美韩联合军演时发射的所有导弹；④校园花坛里所有鲜艳的花朵．2．给出以下6个关系：12∈R Q ,0∈{0} ,tan45°∈Z ,0∈N * ,π∈Q ,其中 ,正确的个数为________．3． (1 ) "被3除余1的数〞组成的集合用描述法可表示为________．(2 )设集合6{}3A x x=∈∈-N N ,用列举法表示为____________． 4．集合A ＝{1,2,3} ,B ＝{3 ,x 2,2} ,假设A ＝B ,那么x 的值是________．5．以下结论中 ,正确的个数是________．①cos30°∈Q ；②假设a -∈N ,那么a ∈N ；③方程x 2＋4＝4x 的解集中含有2个元素；④假设a ∈N * ,b ∈N ,那么a ＋b 的最||小值为2；⑤|－3|∈N *.6．以下结论中 ,正确的序号是________．①假设以集合S ＝{a ,b ,c }中三个元素为边可构成一个三角形 ,那么该三角形一定不是等腰三角形；②满足1＋x ＞x 的实数x 20y +=的解集为{2 ,－2}；④方程 (x －1 )2 (x ＋5 ) (x －3 )＝0的解集中含有3个元素；⑤今天正午12时生活在地球上的所有人构成的集合为无限集．7．二元素集A ＝{a －3,2a －1} ,假设－3∈A ,求实数a 的值．8．集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0 ,a ∈R }．(1 )假设A 中只有一个元素 ,求a 的值；(2 )假设A 中最||多有一个元素 ,求a 的取值范围；(3 )假设A 中至||少有一个元素 ,求a 的取值范围．百尺竿头 更进一步设S 是由满足以下条件的实数所构成的集合：①1S ∉；②假设a ∈S ,那么11S a∈- ,请解答以下问题： (1 )假设2∈S ,那么S 中必有另外两个数 ,求出这两个数； (2 )求证：假设a ∈S ,那么11S a -∈； (3 )在集合S 中元素能否只有一个 ?请说明理由． 参考答案与解析千里之行1．②③ 解析：①中的 "优秀〞、④中的 "鲜艳〞标准不明确 ,不能构成集合．2．3 解析：12R ∈,0∈{0} ,tan45°＝1∈Z 正确；3Q ∈ ,0∈N * ,π∈Q 不正确． 3． (1 ){x |x ＝3n ＋1 ,n ∈Z } (2 ){0,1,2}4．±1 解析：由A ＝B 得x 2＝1 ,∴x ＝±1.5．1 解析：只有⑤正确．∵ 3cos302=Q ,∴①不正确．取a ＝0.1 ,那么－0.1N,0.1N ,∴②不正确；∵方程x 2＋4＝4x 的解集中只含有一个元素2 ,∴③不正确；∵a ∈N * ,∴a 的最||小值为1 ,∵b ∈N ,∴b 的最||小值为0 ,∴a ＋b 的最||小值为1 ,故④不正确．6．①②④ 解析：由集合中元素的互异性知①正确；由1＋x ＞x ,得x 为全体实数．故x 构成实数集R ,②正确；220x y -+=的解为x ＝2且y ＝－2 ,所以方程的解集表示不正确 ,应为含22x y =⎧⎨=-⎩的单元素集 ,③错误；④中方程有一个重根x ＝1 ,在集合中只算一个元素 ,故④正确；⑤中构成的集合为有限集 ,故不正确．7．解：∵－3∈A ,∴－3＝a －3或－3＝2a －1.假设－3＝a －3 ,那么a ＝0.此时A ＝{－3 ,－1} ,符合题意．假设－3＝2a －1 ,那么a ＝－1 ,此时A ＝{－4 ,－3} ,符合题意．综上所述 ,满足题意的实数a 的值为0或－1.8．解： (1 )当a ＝0时 ,原方程变为2x ＋1＝0.此时12x =- ,符合题意； 当a ≠0时 ,方程ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程 ,Δ＝4－4a ＝0时 ,即a ＝1时 ,原方程的解为x ＝－1 ,符合题意．故当a ＝0或a ＝1时 ,原方程只有一个解 ,此时A 中只有一个元素．(2 )A 中最||多含有一个元素 ,即A 中有一个元素或A 中没有元素．当Δ＝4－4a ＜0 ,即a ＞1时 ,原方程无实数解 ,结合 (1 )知 ,当a ＝0或a ≥1时 ,A 中最||多有一个元素．(3 )A 中至||少有一个元素 ,即A 中有一个或两个元素．由Δ＞0得a ＜1 ,结合 (1 )可知 ,a ≤1.百尺竿头解： (1 )∵2∈S,2≠1 ,∴1112S =-∈-.∵－1∈S ,－1≠1 ,∴111(1)2S =∈--.∵12S ∈ ,112≠ ,∴12112S =∈- ,∴－1 ,12S ∈ ,即集合S 中另外两个数分别为－1和12.(2 )证明：∵a∈S,∴11Sa∈-,∴111111Saa=-∈--(a≠0 ,假设a＝0 ,那么11 1Sa =∈-,不合题意)．(3 )集合S中的元素,不能只有一个,理由：假设集合S中只有一个元素,那么根据题意知11aa=-,即a2－a＋1＝0.此方程无实数解．∴11aa≠-.因此集合S不能只有一个元素．。

第1课时 集合的含义学习目标 1.通过实例理解集合的有关概念.2.初步理解集合中元素的三个特性.3.体会元素与集合的属于关系.4.了解常用数集及其专用符号，学会用集合语言表示有关数学对象．知识点一 集合的概念思考 有首歌中唱道：“他大舅他二舅都是他舅”你能从集合的角度解读一下这句话吗？ 答案 “某人的舅”是一个集合，某人的大舅、二舅都是这个集合中的元素．梳理 (1)一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．常用大写字母拉丁A ，B ，C ，…来表示．(2)集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元． 集合的元素常用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示． 知识点二 元素与集合的关系 思考 1是整数吗？12是整数吗？答案 1是整数；12不是整数．梳理 元素与集合的关系有两种，分别为属于、不属于，数学符号分别为∈、∉. 知识点三 元素的三个特性思考1 某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？答案 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”无明确的标准．高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定．元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．思考2构成单词“bee”的字母形成的集合，其中的元素有多少个？答案2个．集合中的元素互不相同，这叫元素的互异性．思考3“中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：北京、上海、天津、重庆；乙同学说：上海、北京、重庆、天津，他们的回答都正确吗？由此说明什么？答案两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的，由此说明集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性．梳理元素的三个特性是指确定性、互异性、无序性．知识点四常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R类型一判断给定的对象能否构成集合例1观察下列每组对象能否构成一个集合．(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)某校2015年在校的所有高个子同学；(4)3的近似值的全体．解(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合．(2)能构成集合．(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合．(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数，如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．反思与感悟判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．跟踪训练1下列各组对象可以组成集合的是________．(填序号)①数学必修1课本中所有的难题；②小于8的所有素数；③直角坐标平面内第一象限的一些点；④所有小的正数．答案 ②解析 ①中“难题”的标准不确定，不能构成集合；②能构成集合；③中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；④中没有明确的标准，所以不能构成集合． 类型二 元素与集合的关系 命题角度1 判定元素与集合的关系 例2 给出下列关系：①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∉N ；④|－3|∈Q ；⑤0∉N .其中正确的为________．(填序号) 答案 ①②解析 12是实数，①对；2不是有理数，②对； |－3|＝3是自然数，③错； |－3|＝3为无理数，④错； 0是自然数，⑤错．反思与感悟 要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N ，R ，Q ，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件． 跟踪训练2 用符号“∈”或“∉”填空． －2________R ； －3________Q ； －1________N ； π________Z . 答案 ∈ ∈ ∉ ∉命题角度2 根据已知的元素与集合的关系推理例3 集合A 中的元素x 满足63－x ∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________．答案 0,1,2解析 ∵x ∈N ，63－x ∈N ，∴0≤x ≤2且x ∈N .当x ＝0时，63－x ＝63＝2∈N ；当x ＝1时，63－x ＝63－1＝3∈N ；当x ＝2时，63－x ＝63－2＝6∈N .∴A 中元素有0,1,2.反思与感悟 判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法①使用前提：集合中的元素是直接给出的．②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现． (2)推理法①使用前提：对于某些不便直接表示的集合．②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征．跟踪训练3 已知集合A 中元素满足2x ＋a >0，a ∈R ，若1∉A,2∈A ，则a 的取值范围是____________． 答案 (－4，－2]解析 ∵1∉A ，∴2×1＋a ≤0，a ≤－2. 又∵2∈A ，∴2×2＋a >0，a >－4， ∴－4<a ≤－2.类型三 元素的三个特性的应用例4 已知集合A 中有三个元素：a －3,2a －1，a 2＋1，集合B 中也有三个元素：0,1，x . (1)若－3∈A ，求a 的值； (2)若x 2∈B ，求实数x 的值； (3)是否存在实数a ，x ，使A ＝B . 解 (1)由－3∈A 且a 2＋1≥1， 可知a －3＝－3或2a －1＝－3，当a －3＝－3时，a ＝0；当2a －1＝－3时，a ＝－1.经检验，0与－1都符合要求．∴a＝0或－1.(2)当x＝0,1，－1时，都有x2∈B，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1.(3)显然a2＋1≠0.由集合元素的无序性，只可能a－3＝0或2a－1＝0.若a－3＝0，则a＝3，A＝{a－3,2a－1，a2＋1}＝{0,5,10}≠B.若2a－1＝0，则a＝12，A＝{a－3,2a－1，a2＋1}＝{0，－52，54}≠B.故不存在这样的实数a，x，使A＝B.反思与感悟(1)元素的无序性主要体现在①给出元素属于某集合，则它可能表示集合中的任一元素；②给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等．(2)元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等．跟踪训练4已知集合A只含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．解若1∈A，则a＝1或a2＝1，故a＝1或－1.当a＝1时，集合A有重复元素，∴a≠1；∴当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合题意，∴a＝－1.1．下列给出的对象中，能组成集合的是________．(填序号)①一切很大的数；②好心人；③漂亮的小女孩；④方程x2－1＝0的实数根．答案④2．下面说法正确的是________．(填序号)①所有在N中的元素都在N*中；②所有不在N*中的数都在Z中；③所有不在Q中的实数都在R中；④方程4x＝－8的解既在N中又在Z中．答案③3．由“book”中的字母构成的集合中元素的个数为________．答案 34．设函数y＝x2－2x－1图象上的点构成集合A，则点(0，－1)________A.答案∈5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为________．答案 3解析由2∈A可知，若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意．1．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．2．元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a∉A.3．集合中元素的三个特性(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．课时作业一、填空题1．已知集合A由x<1的数构成，则有________．①3∈A；②1∈A；③0∈A；④－1∉A.答案③解析很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．2．由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合，最多含________个元素．答案 2解析由于|x|＝±x，x2＝|x|，－3x3＝－x，并且x，－x，|x|之中总有两个相等，所以最多含2个元素．3．下列结论中，不正确的是________．(填序号)①若a∈N，则－a∉N；②若a∈Z，则a2∈Z；③若a∈Q，则|a|∈Q；④若a∈R，则3a∈R.答案①解析①不对．反例：0∈N，－0∈N.4．已知x，y为非零实数，代数式x|x|＋y|y|的值所组成的集合是M，则M中的元素为________．答案－2,0,2解析①当x，y为正数时，代数式x|x|＋y|y|的值为2；②当x，y为一正一负时，代数式x|x|＋y|y|的值为0；③当x，y均为负数时，代数式x|x|＋y|y|的值为－2，所以集合M的元素共有3个：－2,0,2.5．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A时，有6－a∈A，则a的值为________．答案2或4解析若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；若a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0∉A .6．不等式x －a ≥0的解集为A ，若3∉A ，则实数a 的取值范围是________． 答案 (3，＋∞)解析 因为3∉A ，所以3是不等式x －a ＜0的解，所以3－a ＜0，解得a ＞3. 7．在方程x 2－4x ＋4＝0的解集中，有________个元素． 答案 1解析 易知方程x 2－4x ＋4＝0的解为x 1＝x 2＝2，由集合元素的互异性知，方程的解集中只有1个元素．8．下列所给关系正确的个数是________．①π∈R ； ②3D ∈/Q ； ③0∈N *； ④|－4|D ∈/N *. 答案 2解析 ∵π是实数，3是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2.9．如果有一集合含有三个元素：1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________． 答案 x ≠0,1,2，1±52解析 由集合元素的互异性可得x ≠1，x 2－x ≠1，x 2－x ≠x ，解得x ≠0,1,2，1±52.10．已知a ，b ∈R ，集合A 中含有a ，ba ，1三个元素，集合B 中含有a 2，a ＋b,0三个元素，若A ＝B ，则a ＋b ＝______. 答案 －1解析 ∵A ＝B,0∈B ，∴0∈A . 又a ≠0，∴ba ＝0，则b ＝0.∴B ＝{a ，a 2,0}． ∵1∈B ，∴a 2＝1，a ＝±1. 由元素的互异性知，a ＝－1， ∴a ＋b ＝－1. 二、解答题11．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求实数a 的值． 解 由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32.当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不满足集合中元素的互异性，故a ＝－1舍去． 当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3，满足题意．∴实数a 的值为－32.12．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，a ∈R . (1)若－3∈A ，试求实数a 的值； (2)若a ∈A ，试求实数a 的值． 解 (1)因为－3∈A ， 所以－3＝a －3或－3＝2a －1. 若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意． 若－3＝2a －1，则a ＝－1.此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1. (2)因为a ∈A ，所以a ＝a －3或a ＝2a －1. 当a ＝a －3时，有0＝－3，不成立；当a ＝2a －1时，有a ＝1，此时A 中有两个元素－2,1，符合题意． 综上所述，满足题意的实数a 的值为1.13．数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a ∈A (a ≠1)．(1)若2∈A ，试求出A 中其他所有元素；(2)自己设计一个数属于A ，然后求出A 中其他所有元素；(3)从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”． 解 (1)2∈A ，则11－2∈A ，即－1∈A ，则11＋1∈A ，即12∈A ，则11－12∈A ，即2∈A ，所以A 中其他所有元素为－1，12.(2)如：若3∈A ，则A 中其他所有元素为－12，23.(3)分析以上结果可以得出：A 中只能有3个元素，它们分别是a ，11－a ，a －1a ，且三个数的乘积为－1. 证明如下：若a ∈A ，a ≠1，则有11－a ∈A 且11－a ≠1，所以又有11－11－a ＝a －1a ∈A 且a －1a ≠1，进而有11－a －1a＝a ∈A . 又因为a ≠11－a (因为若a ＝11－a ，则a 2－a ＋1＝0，而方程a 2－a ＋1＝0无解)，同理11－a ≠a －1a ，a ≠a －1a .又因为a ·11－a ·a －1a ＝－1，所以A 中只能有3个元素，它们分别是a ，11－a ，a －1a ，且三个数的乘积为－1.三、探究与拓展14．已知集合A ＝{a ，b ，c }中任意2个不同元素的和的集合为{1,2,3}，则集合A 的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是________． 答案 {1,2} 解析 由题意知： ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，b ＋c ＝2，c ＋a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝2，∴集合A ＝{0,1,2}，则集合A 的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2. 故集合A 的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是{1,2}． 15．已知集合A 中的元素x 均满足x ＝m 2－n 2(m ，n ∈Z )，求证： (1)3∈A ；(2)偶数4k－2(k∈Z)不属于集合A.证明(1)令m＝2∈Z，n＝1∈Z，得x＝m2－n2＝4－1＝3，所以3∈A.(2)假设4k－2∈A，则存在m，n∈Z，使4k－2＝m2－n2＝(m＋n)(m－n)成立．①当m，n同奇或同偶时，m＋n，m－n均为偶数，所以(m＋n)(m－n)为4的倍数与4k－2不是4的倍数矛盾．②当m，n一奇一偶时，m＋n，m－n均为奇数，所以(m＋n)(m－n)为奇数，与4k－2是偶数矛盾．所以假设不成立．综上，4k－2∉A.。

．集合的含义及其表示第课时集合的含义．通过实例理解并掌握集合的有关概念．．初步理解集合中元素的三个特征．(重点)．体会元素与集合的属于关系．(重点)．掌握常用数集及其专用符号，初步认识用集合语言表示有关数学对象．(重点、易错易混点)[基础·初探]教材整理集合的含义阅读教材开始至倒数第四自然段，完成下列问题．．元素与集合的概念确定的一般地，一定范围内某些、不同的对象的全体构成一个集合．集合每一个中的对象称为该集合的元素，简称元．．集合中元素的特性确定性集合中元素的特性：、、．无序性互异性判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()漂亮的花可以组成集合．( ) ()在一个集合中可以找到两个(或两个以上)相同的元素．( )【解析】()×.因为“漂亮”没有明确的标准，其不满足集合中元素的确定性．()×.因为集合中的元素具有互异性，故在一个集合中一定找不到两个(或两个以上)相同的元素．【答案】()×()×教材整理元素与集合的关系阅读教材最后三个自然段，完成下列问题．．元素与集合的表示()元素的表示：通常用小写拉丁字母，，，表示集合中的元素．…，，，()集合的表示：通常用大写拉丁字母表示集合．…．元素与集合的关系∈)，是集合中的元素，记作()属于(符号：，读作∈．“”属于)，不是集合中的元素，记作∉()不属于(符号：或∉或．，读作”不属于“．常用数集及表示符号用“∈”、“∉”填空．．；－；；*；.【解析】因为不是自然数，故∉；因为－是整数，故－∈；因为是实数，故∈；因为不是正整数，故∉*；因为是有理数，故∈.。