山东省聊城市莘县2013届高三上学期1月教学质量调研数学(理)试题 word版含答案

聊城市重点高中2013届高三上学期第二次调研考试理科数学试题考试时间：120分钟；第I 卷（选择题）一、选择题1．下列说法中，正确的是A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“R x ∈∃，使得“∀x R ∈，都有1-≤x 或1≥x ”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题D ．已知x R ∈，则“2x >”是“1x >”的必要不充分条件2．已知,,A B C 三点的坐标分别是(3,0)A ，(0,3)B ，(cos ,sin )C αα若1AC BC ⋅=-，则A5C ．2D ．33．已知向量a 、b 不共线，(),c ka b k R d a b =+∈=-,如果c d ∥，那么 A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向 C ．1k =-且c 与d 同向 D ．1k =-且c 与d 反向4是()f x 的导函数，则过曲线3x y =上一点(,)P a b 的切线方程为 A ．320x y --=B ．4310x y -+=C ．3203410x y x y --=-+=或D ．3204310x y x y --=-+=或5．已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足3)2(-=-f ，数列{}n a 满足11-=a ，且n a S n n +=2，（其中n S 为{}n a 的前n 项和）。

则=+)()(65a f a fA ．3B ．2-C ．3-D ．26．已知2{|1}M x y x ==-，2{|1}N y y x ==-，则M N =（ ）A ．∅B ．RC ．MD ．N7．设[]x 为表示不超过x 的最大整数,则函数lg[]y x =的定义域为 ( ) A ．(0,)+∞ B ．[1,)+∞ C ． (1,)+∞ D ． (1,2) 8．Direchlet 函数定义为： 1()0Rt Q D t t Q ∈⎧=⎨∈⎩ð，关于函数()D t 的性质叙述不正确．．．的是（ ）A ．()D t 的值域为{}0,1B ．()D t 为偶函数C ．()D t 不是周期函数 D ．()D t 不是单调函数9．个单位得到()y f x =的图象（如图），则ϕ=（ ）A 10，12⋅=-ab ，则向量a 在向量b 方向上的投影是（ ） A ．4- B ．4 C 11．已知()f x 是定义在R 时，()2()ln 1f x x x =-+，则函数()f x 在区间[0,6]上的零点个数是( )A ．3B ．5C ．7D ．912，若()1f a ＞，则实数a 的取值范围是（ ） A.21-（，） B.21-∞-+∞（，）（，） C.1+∞（，） D.10-∞-+∞（，）（，）第II 卷（非选择题）二、填空题13．已知等差数列{}n a 的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为35，14= ； 15/秒）的速度做变速直线运动，则该物16，故称其为“囧函数”.下列命题正确的是 .①“囧函数”的值域为R ； ②“囧函数”在(0,)+∞上单调递增； ③“囧函数”的图象关于y 轴对称； ④“囧函数”有两个零点； ⑤“囧函数”的图象与直线(0)y kx b k =+≠的图象至少有一个交点. 三、解答题17．(本题满分12分)已知集合{}73|<≤=x x A ,{}102|<<=x x B ,{}a x a x C <<-=5|. （1）求B A , ()R A B ð;（2）若()B A C ⊆,求a 的取值范围.18．(本题满分12分)某风景区有40辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日72元。

山东省东阿县第一中学2012-2013学年度上学期期初考试数学试题（文理）考试时间：100分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知集合m A B A mx x B A 则且,},1|{},1,1{===-= 的值为 （ ）A ．1或－1或0B ．－1C ．1或－1D ．0【答案】A【解析】因为A B A B A ⋃=∴⊆,即m=0,或者111,1m m=-=或,得到m 的值为1或－1 或0，选A2．已知向量25,10),1,2(=+=⋅=→→→→→b a b a a ，则=→b （ ）A. 5B.10C.5D.25 【答案】C【解析】因为222a (2,1),ab 10,a b (a b)50a 2a b b →→→→→→→→→→→=⋅=+=+==++，解得可知=→b 5，选C3．过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF∠=，则椭圆的离心率为（）ABC．12D．13【答案】B【解析】由题意知点P的坐标为（-c,2ba）,或（-c,-2ba），因为1260F PF∠=，那么222c2acba==，这样根据a,b,cB4．若函数(1)4a xy e x-=+（x∈R）有大于零的极值点，则实数a范围是（）A．3a>- B．3a<- C．13a>- D．13a<-【答案】B【解析】解：因为函数y=e（a-1）x+4x，所以y′=（a-1）e（a-1）x+4（a＜1），所以函数的零点为x0=14lna1a1--+，因为函数y=e（a-1）x+4x（x∈R）有大于零的极值点，故14lna1a1--+＝0，得到a<-3,选B5．若0sin2<θ，则角θ是（）A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第二或第四象限角【答案】D【解析】因为sin22sin cos0θθθ=<，则角θ是第二或第四象限角，选D6．“3πθ≠”是“21cos≠θ”的（）A .充分不必要条件 B.必要不充分条件C .充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为“3πθ≠”是“21cos≠θ”的逆否命题是“1cos2θ=”是“3πθ=”的必要不充分条件，选B7．设直线m、n和平面βα、,下列四个命题中，正确的是（）A. 若nmnm//,//,//则αα B. 若βαββαα//,//,//,,则nmnm⊂⊂C. 若βαβα⊥⊂⊥m m 则,,D. 若ααββα//,,,m m m 则⊄⊥⊥ 8．为了得到函数2log 1yx 的图象，可将函数2log y x 的图象上所有的点的（ ）A.纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 B.纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度 【答案】D【解析】因为选项A 中，两条直线同时平行与同一个平面，则两直线的位置关系有三种，选项B 中，只有Mm,n 相交时成立，选项C 中，只有m 垂直于交线时成立，故选D 9．设集合P={1,2,3,4},集合M={3,4,5}全集U=R ，则集合P ⋂∁UM= ( ) A ．{1，2} B ．{3，4} C ．{1} D ．{-2，-1，0，1，2}【答案】A【解析】因为集合P={1,2,3,4},集合M={3,4,5}全集U=R ，则∁UM={1,2}，集合P ⋂∁UM={1，2}，故选A.10．. 是虚数单位i ，复数ii+1= ( )A.i -1B.i +1C.i +-1D.i【答案】A【解析】因为11ii i+=-+，可知选A 11． 函数xx x f 1log )(2-=的一个零点落在下列哪个区间 （ ）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）【答案】B【解析】因为x x x f 1log )(2-=，那么利用零点存在性定理可知，f(1)=-1<0,f(2)>0,故可知函数的零点区间为（1，2），选B12．等差数列{}n a 中，若58215a a a -=+，则5a 等于 （ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】C【解析】因为等差数列285552155a a a a a +==-∴=，因此选C第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题（题型注释）13．在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=cba::【答案】2【解析】因为∠A:∠B:∠C=1:2:3,则可知A,B,C分别为00030,60,90,，根据直角三角形中边的比例关系可知，::2a b c=14．已知=-∈=+απαπαtan)0,2(,31)2sin(，则【答案】．22-【解析】因为11sin(),(,0)23233ππαααα+=∈-==-，cos,sin则tanα=-15．已知xyyxRyx，则，且14,=+∈+的最大值为【答案】161【解析】因为1,4116x y R x y xy+∈+=≥≤，且x4y,则16．如右图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点，过P作⊙O的切线，切点为C，32=PC，若︒=∠30CAP，则⊙O的直径=AB．【答案】4【解析】因为根据已知条件可知，连接AC，32=PC，︒=∠30CAP，根据切线定理可知, A2()PC PB PA PB PB BA ==+,可以解得为4.三、解答题（题型注释）17．（本小题满分14分）已知(sin ,cos ),(3cos ,cos )a x x b x x ==，设函数()f x a b =⋅ ()x R ∈ （1）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间； （2）当5[,]612x ππ∈-时，求)(x f 的值域.【答案】解：（1） 1122222()cos f x x x =++ 1262sin()x π=++ ∴)(x f 的最小正周期为π …………4分由222262k x k πππππ-+≤+≤+得36()k x k k Z ππππ-+≤≤+∈)(x f 的单调增区间为36[,]()k k k Z ππππ-++∈ …………8分（2）由（1）知1262()sin()f x x π=++又当 561266[,][,]x x πππππ∈-+∈-，2 故 12126sin()x π-≤+≤ 从而 )(x f 的值域为302[,] ………14分 【解析】本试题主要是考查了三角函数的图像与性质的运用。

山东省实验中学2013年1月高三教学质量调研考试数学（理）试题本试题分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．训练时间120分钟，满分150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1-答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第1卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R ，集合M={x|x 2+2x-3≤0），N={x|—1≤x≤4>，则M N 等于A ． {x l 1≤x≤4>B ． {x l 一1≤x≤3}C ． {x I 一3≤x≤4）D ． {x I 一1≤x≤1}2．复数12i i+-表示复平面内的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．设a=30．3，b=log π3，c=log 0．3 e 则a ，b ，c 的大小关系是A ．a<b<cB ．c<b<aC ．b<a<cD ．c<a<b4．将函数()sin(2)6f x x π=+的图象向右平移6π个单位后，所得的图象对应的解析式为 A ．y-sin 2x B ．y=cos 2x C ．y=sin （2x+2)3πD ．y=sin （2x 一6π） 5．已知函数1()()2x x f x e e -=-，则f （x ）的图象 A ．关于原点对称 B ．关于y 轴对称C ．关于x 轴对称D ．关于直线y=x 对称6．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下选项中，不可能是该锥体的俯视图的是7．已知椭圆方程了22143x y +=，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为ABC ．2D ．38．设实数x ，y 满足不等式组1103300x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，则z=2x+Y 的最大值为A ．13B ．19C ．24D ．299．已知等比数列{}n a 满足2135632,4,a a a a a =⋅=则的值为A ．12B ．1C ．2D ．1410．非零向量a ，b 使得l a b +l=||||a b -成立的一个充分非必要条件是A ．//a bB ．20a b +=C ．||||aba b = D ．a b =11．设函数()2x f x =，则如图所示的函数图象A ．(||)y f x =B ．|()|y f x =-C ．|()|y f x =--D ．|()|y f x =-112．已知定义在R 上的函数f （x ），对任意x ∈R ，都有f （x+6）=f （x ）+f （3）成立，若函数(1)y f x =+的图象关于直线x=一1对称，则f （201 3）=A ．0B ．201 3C ．3D ．-201 3第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共1 6分．13．221x dx ⎰= ;14．已知程序框图如右图所示，则输出的i= ;15．若圆C 以抛物线y 2=4x 的焦点为圆心，截此抛物线的准线所得弦长为6，则该圆的标准方程是 ;1 6．根据下面一组等式S 1=1S 2=2+3=5S 3=4+5+6=1 5S 4=7+8+9+1 0=34S 5=1 1+1 2+1 3+1 4+1 5=65S 6=1 6+1 7+1 8+1 9+20+2 1=1 1 1S 7=22+23+24+25+26+27+28=1 75… … … … … … … …可得S 1+S 3+S 5+……+S 2n-1= .三、解答题：（本大题共6小题，共74分）17．（本小题满分12分）△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．且满足（2b —c ）cos A=a cosC ．（1）求角A 的大小；（2）若=2，||AB AC +18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，a 3=5，S 6=36，（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设2,n an b =求数列{}n b 的前n 项和T n ．19．（本小题满分12分）设函数()sin x f x e x =（1）求函数()f x 单调递增区间；（2）当x ∈[0，π]时，求函数f （x ）的最大值和最小值．20．（本小题满分12分）已知四棱锥P-ABCD 的底面是直角梯形，AB//CD ，AD ⊥AB ，AD=AB=12CD=1,PD ⊥面ABCD ，E 是PC 的中点（1）证明：BE//面PAD ； （2）求二面角E —BD —C 的大小．21．（本小题满分13分）已知椭圆了22221(0)x y a b a b+=>>过点（0，1），其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线，与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足12,PM MQ PN NQ λλ==（1）求椭圆的标准方程：（2）若123λλ+=-，试证明：直线l 过定点并求此定点．22．（本小题满分13分）设函数2()ln .f x x ax x =+-（1）若a=l，试求函数()f x的单调区间；（2）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切点的横坐标为1；（3）令g（x）=()xf xe，若函数g（x）在区间（0，1]上是减函数，求a的取值范围．薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

2013·山东卷(理科数学)1． 复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( ) A ．2＋i B ．2－i C ．5＋i D ．5－i1．D [解析] 设z ＝a ＋bi ，(a ，b ∈)，由题意得(a ＋bi －3)(2－i)＝(2a ＋b －6)＋(2b －a＋3)i ＝5，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b －6＝5，2b －a ＋3＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1，∴z ＝5－i.2． 已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．92．C [解析] ∵x ，y ∈{}0，1，2，∴x －y 值只可能为－2，－1，0，1，2五种情况，∴集合B 中元素的个数是5.3． 已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 2＋1x，则f(－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．23．A [解析] ∵f ()x 为奇函数，∴f ()－1＝－f(1)＝－⎝⎛⎭⎫12＋11＝－2.4． 已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B.π3C.π4D.π64．B [解析] 设侧棱长为a ，△ABC 的中心为Q ，联结PQ ，由于侧棱与底面垂直，∴PQ ⊥平面ABC ，即∠PAQ 为PA 与平面ABC 所成的角．又∵V ABC －A 1B 1C 1＝34×()32×a ＝94，解得a ＝3，∴tan ∠PAQ ＝PQ AQ ＝332×3×23＝3，故∠PAQ ＝π3.5． 将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π45．B [解析] 方法一：将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后得到f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ的图像，若f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ为偶函数，必有π4＋φ＝k π＋π2，k ∈，当k ＝0时，φ＝π4.方法二：将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后得到f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ的图像，其对称轴所在直线满足2x ＋π4＋φ＝k π＋π2，k ∈，又∵f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ为偶函数，∴y 轴为其中一条对称轴，即π4＋φ＝k π＋π2，k ∈，当k ＝0时，φ＝π4.6． 在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－126．C [解析] 不等式组表示的可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0，解得P ()3，－1，当M 与P 重合时，直线OM 斜率最小，此时k OM ＝－1－03－0＝－13.图1－17． 给定两个命题p ，q ，若⌝p 是q 的必要而不充分条件，则p 是⌝q 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．A [解析] ∵⌝p 是q 的必要不充分条件，∴q 是⌝p 的充分而不必要条件，又“若p ，则⌝q ”与“若q ，则⌝p ”互为逆否命题，∴p 是⌝q 的充分而不必要条件．8． 函数y ＝xcos x ＋sin x 的图像大致为( )图1－28．D [解析] ∵f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－(xcos x ＋sin x)＝－f(x)，∴y ＝xcos x＋sin x 为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B.当x ＝π2时，y ＝1>0，排除选项C ；x ＝π，y ＝－π<0，排除选项A ；故选D.9． 过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝09．A [解析] 方法一：设点P(3，1)，圆心为C ，设过点P 的圆C 的切线方程为y －1＝k ()x －3，由题意得|2k －1|1＋k 2＝1，解之得k ＝0或43，即切线方程为y ＝1或4x －3y －9＝0.联立⎩⎨⎧y ＝1，()x －12＋y 2＝1，得一切点为()1，1，又∵k PC ＝1－03－1＝12，∴k AB ＝－1k PC ＝－2，即弦AB 所在直线方程为y －1＝－2()x －1，整理得2x ＋y －3＝0.方法二：设点P(3，1)，圆心为C ，以PC 为直径的圆的方程为()x －3()x －1＋y ()y －1＝0，整理得x 2－4x ＋y 2－y ＋3＝0，联立⎩⎨⎧x 2－4x ＋y 2－y ＋3＝0①，()x －12＋y 2＝1②，①，②两式相减得2x ＋y－3＝0.10． 用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A ．243 B ．252 C ．261 D ．27910．B [解析] (排除法)十个数排成不重复数字的三位数求解方法是：第一步，排百位数字，有9种方法(0不能作首位)，第二步，排十位数字，有9种方法，第三步，排个位数字，有8种方法，根据乘法原理，共有9×9×8 ＝ 648(个)没有重复数字的三位数．可以组成所有三位数的个数：9×10×10＝900，所以可以组成有重复数字的三位数的个数是：900－648＝252.11．、 抛物线C 1：y ＝12p x 2(p>0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316 B.38 C.2 33 D.4 3311．D [解析] 抛物线C 1：y ＝12p x 2()p>0的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2，双曲线x 23－y 2＝1的右焦点坐标为()2，0，连线的方程为y ＝－p4()x －2，联立⎩⎨⎧y ＝－p4（x －2），y ＝12px 2得2x 2＋p 2x －2p 2＝0.设点M 的横坐标为a ，则在点M 处切线的斜率为y′|x ＝a ＝⎝⎛⎭⎫12p x 2′.又∵双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为x 3±y ＝0，其与切线平行，∴a p ＝33，即a ＝33p ，代入2x 2＋p 2x －2p 2＝0得，p ＝4 33或p ＝0(舍去)．12． 设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．312．B [解析] 由题意得z ＝x 2－3xy ＋4y 2， ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x －3≤12 x y ·4yx－3＝1， 当且仅当x y ＝4yx，即x ＝2y 时，等号成立，∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －24y 2－6y 2＋4y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1.13．图1－3执行如图1－3所示的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n 的值为________．13．3 [解析] 第一次执行循环体时，F 1＝3，F 0＝2，n ＝1＋1＝2，1F 1＝13>0.25；第二次执行循环体时，F 1＝2＋3＝5，F 0＝3，n ＝2＋1＝3，1F 1＝15<0.25，满足条件，输出n ＝3.14．、 在区间[－3，3]上随机取一个数x ，使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为________． 14.13[解析] 当x<－1时，不等式化为－x －1＋x －2≥1，此时无解；当－1≤x ≤2时，不等式化为x ＋1＋x －2≥1，解之得x ≥1；当x>2时，不等式化为x ＋1－x ＋2≥1，此时恒成立，∴|x ＋1|－|x －2|≥1的解集为[)1，＋∞.在[]－3，3上使不等式有解的区间为[]1，3，由几何概型的概率公式得P ＝3－13－（－3）＝13.15． 已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．15.712 [解析] ∵AP →⊥BC →， ∴AP →·BC →＝()λAB →＋AC →·()AC →－AB→＝－λAB →2＋AC →2＋()λ－1AC →·AB →＝0， 即－λ×9＋4＋()λ－1×3×2×⎝⎛⎭⎫－12＝0，解之得λ＝712. 16．、 定义“正对数”：ln ＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x<1，ln x ，x ≥1.现有四个命题：①若a>0，b>0，则ln ＋(a b )＝bln ＋a ；②若a>0，b>0，则ln ＋(ab)＝ln ＋a ＋ln ＋b ；③若a>0，b>0，则ln ＋⎝⎛⎭⎫a b ≥ln ＋a －ln ＋b ； ④若a>0，b>0，则ln ＋(a ＋b)≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)16．①③④ [解析] ①中，当a b ≥1时，∵b>0，∴a ≥1，ln ＋(a b )＝ln a b ＝bln a ＝bln ＋a ；当0<a b <1时，∵b>0，∴0<a<1，ln ＋(a b )＝bln ＋a ＝0，∴①正确；②中，当0<ab<1，且a>1时，左边＝ln ＋(ab)＝0，右边＝ln ＋a ＋ln ＋b ＝ln a ＋0＝ln a>0，∴②不成立；③中，当a b ≤1，即a ≤b 时，左边＝0，右边＝ln ＋a －ln ＋b ≤0，左边≥右边成立；当a b >1时，左边＝ln ab＝ln a －ln b>0，若a>b>1时，右边＝ln a －ln b ，左边≥右边成立；若0<b<a<1时，右边＝0, 左边≥右边成立；若a>1>b>0，左边＝ln ab＝ln a －ln b>ln a ，右边＝ln a ，左边≥右边成立，∴③正确；④中，若0<a ＋b<1，左边＝ln ＋()a ＋b ＝0，右边＝ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2＝ln 2>0，左边≤右边；若a ＋b ≥1，ln ＋()a ＋b －ln 2＝ln ()a ＋b －ln 2＝ln(a ＋b 2)，又∵a ＋b 2≤a 或a ＋b 2≤b ，a ，b 至少有1个大于1，∴ln(a ＋b 2)≤ln a 或ln(a ＋b 2)≤ln b ，即有ln ＋()a ＋b －ln 2＝ln ()a ＋b －ln 2＝ln(a ＋b 2)≤ln ＋a ＋ln ＋b ，∴④正确．17．、 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79. (1)求a ，c 的值；(2)求sin(A －B)的值．17．解：(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accos B ，得b 2＝(a ＋c)2－2ac(1＋cosB)，又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝4 29.由正弦定理得sin A ＝asin B b ＝2 23.因为a ＝c ，所以A 为锐角，所以cos A ＝1－sin 2 A ＝13.因此sin(A －B)＝sin Acos B －cos Asin B ＝10 227.图1－418．、 如图1－4所示，在三棱锥P －ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA ＝BP ＝BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ ＝2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，联结GH.(1)求证：AB ∥GH ；(2)求二面角D －GH －E 的余弦值．18．解：(1)证明：因为D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，所以EF ∥AB ，DC ∥AB ，所以EF ∥DC.又EF 平面PCD ，DC 平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD.又EF 平面EFQ ，平面EFQ ∩平面PCD ＝GH ，所以EF ∥GH. 又EF ∥AB ，所以AB ∥GH.(2)方法一：在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ， 所以∠ABQ ＝90°，即AB ⊥BQ.因为PB ⊥平面ABQ ，所以AB ⊥PB.又BP ∩BQ ＝B ，图1－5所以AB ⊥平面PBQ.由(1)知AB ∥GH ，所以GH ⊥平面PBQ.又FH 平面PBQ ，所以GH ⊥FH.同理可得GH ⊥HC ，所以∠FHC 为二面角D －GH －E 的平面角．设BA ＝BQ ＝BP ＝2.联结FC ，在Rt △FBC 中，由勾股定理得FC ＝2，在Rt △PBC 中，由勾股定理得PC ＝ 5.又H为△PBQ 的重心，所以HC ＝13PC ＝53.同理FH ＝53.在△FHC 中，由余弦定理得cos ∠FHC ＝59＋59－22×59＝－45.即二面角D －GH －E 的余弦值为－45.方法二：在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ，所以∠ABQ ＝90°.又PB ⊥平面ABQ ，所以BA ，BQ ，BP 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BA ＝BQ ＝BP ＝2，则E(1，0，1)，F(0，0，1)，Q(0，2，0)，D(1，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)．所以EQ →＝(－1，2，－1)，FQ →＝(0，2，－1)，DP →＝(－1，－1，2)，CP →＝(0，－1，2)．设平面EFQ 的一个法向量为＝(x 1，y 1，z 1)， 由·EQ →＝0，·FQ →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋2y 1－z 1＝0，2y 1－z 1＝0，取y 1＝1，得＝(0，1，2)． 设平面PDC 的一个法向量为＝(x 2，y 2，z 2)， 由·DP →＝0，·CP →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－y 2＋2z 2＝0，－y 2＋2z 2＝0， 取z 2＝1，得＝(0，2，1)．所以cos 〈，〉＝m·n |m||n |＝45.因为二面角D －GH －E 为钝角，所以二面角D －GH －E 的余弦值为－45.图1－519．、 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．19．解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P(A 1)＝(23)3＝827，P(A 2)＝C 23(23)2(1－23)×23＝827， P(A 3)＝C 24(23)2(1－23)2×12＝427. 所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4， 由题意，各局比赛结果相互独立，所以P(A 4)＝C 24(1－23)2(23)2×(1－12)＝427， 由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，3. 根据事件的互斥性得 P(X ＝0)＝P(A 1＋A 2)＝P(A 1)＋P(A 2)＝1627.又P(X ＝1)＝P(A 3)＝427.P(X ＝2)＝P(A 4)＝427，P(X ＝3)＝1－P(X ＝0)－P(X ＝1)－P(X ＝2)＝327，故X 的分布列为X 0 1 2 3P 1627 427 427 327所以E(X)＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×327＝79.20．、 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n ＝λ(λ为常数)，令c n ＝b 2n (n ∈)，求数列{c n }的前n 项和R n .20．解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d. 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1 得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋（2n －1）d ＝2a 1＋2（n －1）d ＋1， 解得a 1＝1，d ＝2，因此a n ＝2n －1，n ∈*.(2)由题意知T n ＝λ－n 2n －1，所以n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝－n2n －1＋n －12n －2＝n －22n －1.故c n ＝b 2n ＝2n －222n －1＝(n －1)⎝⎛⎭⎫14n －1，n ∈*.所以R n ＝0×⎝⎛⎭⎫140＋1×⎝⎛⎭⎫141＋2×⎝⎛⎭⎫142＋3×⎝⎛⎭⎫143＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n －1， 则14R n ＝0×⎝⎛⎭⎫141＋1×⎝⎛⎭⎫142＋2×⎝⎛⎭⎫143＋…＋(n －2)×⎝⎛⎭⎫14n －1＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n ，两式相减得34R n ＝⎝⎛⎭⎫141＋⎝⎛⎭⎫142＋⎝⎛⎭⎫143＋…＋⎝⎛⎭⎫14n －1－(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n ＝14－⎝⎛⎭⎫14n 1－14－(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n＝13－1＋3n 3⎝⎛⎭⎫14n ， 整理得R n ＝19(4－3n ＋14n －1)．所以数列{c n }的前n 项和R n ＝19(4－3n ＋14n －1)．21．、 设函数f(x)＝xe2x ＋c(e ＝2.718 28…是自然对数的底数，c ∈)．(1)求f(x)的单调区间、最大值；(2)讨论关于x 的方程|ln x|＝f(x)根的个数．21．解：(1)f′(x)＝(1－2x)e －2x .由f′(x)＝0，解得x ＝12，当x<12时，f ′(x)>0，f(x)单调递增；当x>12时，f ′(x)<0，f(x)单调递减．所以，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，12)，单调递减区间是(12，＋∞)，最大值为f ⎝⎛⎭⎫12＝12e －1＋c. (2)令g(x)＝|lnx|－f(x)＝|lnx|－xe －2x －c ，x ∈(0，＋∞)．①当x ∈(1，＋∞)时，lnx>0，则g(x)＝lnx －xe－2x－c ，所以g′(x)＝e－2x(e 2xx＋2x －1)．因为2x －1>0，e 2xx>0，所以g′(x)>0.因此g(x)在(1，＋∞)上单调递增．②当x ∈(0，1)时，lnx<0，则g(x)＝－lnx －xe －2x －c ，所以g′(x)＝e －2x(－e 2x x＋2x －1)．因为e 2x ∈(1，e 2)，e 2x >1>x>0，所以－e 2xx<－1.又2x －1<1，所以－e 2xx＋2x －1<0，即g′(x)<0.因此g(x)在(0，1)上单调递减．综合①②可知，当x ∈(0，＋∞)时，g(x)≥g(1)＝－e －2－c.当g(1)＝－e －2－c>0，即c<－e －2时，g(x)没有零点，故关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为0；当g(1)＝－e －2－c ＝0，即c ＝－e －2时，g(x)只有一个零点，故关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为1；当g(1)＝－e －2－c<0，即c>－e －2时，(ⅰ)当x ∈(1，＋∞)时，由(1)知g(x)＝lnx －xe －2x －c ≥lnx －(12e －1＋c)>lnx －1－c ，要使g(x)>0，只需使lnx －1－c>0，即x ∈(e 1＋c ，＋∞)；(ⅱ)当x ∈(0，1)时，由(1)知g(x)＝－lnx －xe －2x －c ≥－lnx －(12e －1＋c)>－lnx －1－c ，要使g(x)>0，只需－lnx －1－c>0，即x ∈(0，e －1－c)；所以c>－e －2时，g(x)有两个零点， 故关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为2. 综上所述，当c<－e －2时，关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为0；当c ＝－e －2时，关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为1；当c>－e －2时，关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为2.22． 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，联结PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M(m ，0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k ≠0，试证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值．22．解：(1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a .由题意知2b 2a＝1，即a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)方法一：设P(x 0，y 0)(y 0≠0)． 又F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 所以直线PF 1，PF 2的方程分别为 lPF 1：y 0x －(x 0＋3)y ＋3y 0＝0，lPF 2：y 0x －(x 0－3)y －3y 0＝0. 由题意知||my 0＋3y 0y 20＋（x 0＋3）2＝||my 0－3y 0y 20＋（x 0－3）2. 由于点P 在椭圆上，所以x 204＋y 20＝1， 所以|m ＋3|⎝⎛⎭⎫32x 0＋22＝|m －3|⎝⎛⎭⎫32x 0－22 . 因为－3<m<3，－2<x 0<2，可得m ＋332x 0＋2＝3－m 2－32x 0. 所以m ＝34x 0. 因此－32<m<32. 方法二：设P(x 0，y 0)．当0≤x 0＜2时，①当x 0＝3时，直线PF 2的斜率不存在，易知P(3，12)或P ⎝⎛⎭⎫3，－12. 若P ⎝⎛⎭⎫3，12，则直线PF 1的方程为x －4 3y ＋3＝0. 由题意得|m ＋3|7＝3－m ， 因为－3<m<3，所以m ＝3 34. 若P ⎝⎛⎭⎫3，－12，同理可得m ＝3 34. ②当x 0≠3时，设直线PF 1，PF 2的方程分别为y ＝k 1(x ＋3)，y ＝k 2(x －3)．由题意知|mk 1＋3k 1|1＋k 21＝|mk 2－3k 2|1＋k 22， 所以（m ＋3）2（m －3）2＝1＋1k 211＋1k 22. 因为x 204＋y 20＝1， 并且k 1＝y 0x 0＋3，k 2＝y 0x 0－3， 所以（m ＋3）2（m －3）2＝4（x 0＋3）2＋4－x 204（x 0－3）2＋4－x 20＝3x 20＋8 3x 0＋163x 20－8 3x 0＋16＝（3x 0＋4）2（3x 0－4）2， 即|m ＋3||m －3|＝|3x 0＋4||3x 0－4|.因为－3<m<3，0≤x 0＜2且x 0≠3， 所以3＋m 3－m ＝4＋3x 04－3x 0. 整理得m ＝3x 04， 故0≤m ＜32且m ≠3 34. 综合①②可得0≤m ＜32. 当－2<x 0<0时，同理可得－32<m<0. 综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－32，32. (3)设P(x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k(x －x 0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k （x －x 0），整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0.由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0.又x 204＋y 20＝1， 所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0，故k ＝－x 04y 0. 由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0， 所以1kk 1＋1kk 2＝1k ⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2＝⎝⎛⎭⎫－4y 0x 0·2x 0y 0＝－8， 因此为定值，这个定值为－8.。

山东省聊城市某重点高中2013届高三上学期第三次调研考试理科数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题） 一、选择题 1．方程组23211x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集是( )A . {}51，B. {}15，C. (){}51，D. (){}15， 2．在平面直角坐标系xOy 中，点A(5，0)．对于某个正实数k ，存在函数f(x)=ax 2(a >0)，使得=λ·(|OQ ||OA |+λ为常数)，其中点P,Q 的坐标分别为(1, f(1) )，(k, f(k))，则k 的取值范围为( ) A ．(2，+∞) B ．(3，+∞) C ．[4，+∞) D ．[8，+∞)3．已知定义在R 上的函数)(x f y =满足下列三个条件： ①对于任意的x ∈R 都有)()4(x f x f =+ ②对于任意的121202()()x x f x f x ≤<≤<都有；③函数)2(+=x f y 的图象关于y 轴对称，则下列结论正确的是( ) A ．)5.15()5()5.6(f f f >> B ．)5.15()5.6()5(f f f << C ．)5.6()5.15()5(f f f <<D ．)5.6()5()5.15(f f f >>4．64(1(1的展开式中x 的系数是（ ）A.4-B.3-C.3D.45．在下列关于直线m l ,于平面βα,的命题中真命题是 （ ）A.若β⊆l 且βα⊥，则α⊥lB.若β⊥l 且βα//，则α⊥lC.若β⊥l 且βα⊥，则α//lD.若m =βα 且m l //，则α//l 6．数列{n a }前n 项和是n S ，如果*32()n n S a n N =+∈，则这个数列是（ ）A.等比数列B.等差数列C.除去第一项是等比D.除去最后一项为等差7．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ）A.13B.D.238．若集合131,11,2,01A y y x x B y y x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪==-≤≤==-<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭，则A B 等( )A.]1,(∞-B.[]1,1-C.∅D.}1{9．在△OAB 中，O 为坐标原点，A(1，cos θ)，B(sin θ，1)，则△OAB 的面积的取值范围是( )A ．(0，1]B ．[21，23] C ．[41，23] D ．[41，43]10．连结球面上两点的线段称为球的弦。

聊城三中2013高三年级第一次质量检测数学试题（理）一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 。

1. 函数()xx x f 2log 12-=的定义域为 （ ）A.()+∞,0B.()+∞,1C.()1,0D.()()+∞,11,0U2.命题“2,240x x x ∀∈-+≤R ”的否定为 （ ） A.2,240x x x ∀∈-+≥R B.2,240x x x ∃∈-+>R C.2,240x x x ∀∉-+≤R D. 2,240x x x ∃∉-+>R3. 下列函数中，既是偶函数又在()+∞,0单调递增的函数是 ( ) A.3x y =B. 1+=x yC.12+-=x yD.xy -=24. 设R y x ∈,，则“2≥x 且2≥y ”是“422≥+y x ”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件 5. 若角α的终边上有一点),4(a P -，且2512cos sin -=•αα，则a 的值为（ ） A. 3 B.3±C.316或3D. 316或3- 6 .下图给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是( )Ａ．112132y x yx y x y x -====①,②,③,④ Ｂ．13212y x y x y x yx -====①,②,③,④Ｃ．12312y x y x y x yx -====①,②,③,④ Ｄ．112132y x yx yx y x -====①,②,③,④7. 7．已知sin (π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值是( ) A ．－79 B ．－13 C.13 D.798．函数()()x x x x f +-+=2ln ln 的单调递增区间为 （ ）A. ()2,0B.()2,2C.()+∞,2D. ()2,2-9. 根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为(A ，c 为常数）。

考试时间：100分钟第I 卷（选择题）一、选择题1．设集合{}1|(cos sin )(cos sin ),,M y y x x x x x R N x x i i ⎧==-+∈=+<⎨⎩为虚数单位}x R ∈，则MN 为（ ）A. (0,1)B. (]0,1C. [)0,1D. []0,1 2． 在ABC ∆中，sin sin A B =是ABC ∆为等腰三角形的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3．如果函数()f x 对于任意实数x ，存在常数M ，使该不等式()f x M x ≤恒成立，就称函数()f x 为有界泛涵，下面有4个函数：①()1f x = ②2()f x x = ③()(cos sin )f x x x x =+ ④2()1xf x x x =++，其中有两个属于有界泛涵，它们是（ ）A. ①②B. ②④C. ①③D. ③④ 4．若函数(1)4()xa y ex x R -=+∈有大于零的极值点，则实数a 的范围是（ ）A. 3a >-B. 3a <-C. 13a >- D. 13a <- 5．已知曲线2:2c y x =，点(0,2)A -及点(3,)B a ，从点A 观察B ，要实现不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是（ ）A. (4,)+∞B. (,4)-∞C. (10,)+∞D. (,10)-∞ 6．1(2)x e x dx +⎰等于（ ）A. 1B. 1e -C. eD. 1e + 7．设集合A =｛4，5，7，9｝，B =｛3，4，7，8，9｝，全集B A U ⋃=，则集合)(B A C U ⋂ 中的元素共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个8．下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数，且在)0,(-∞上为减函数的是（ ）A ．xx f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=23)( B ．1)(2+=x x fＣ．3)(x x f -= Ｄ．)lg()(x x f -=9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10173=+a a ，则=19S （ ） A ．55 B ．95 C ．100Ｄ．不能确定10．设a 是函数f(x)＝x x ln |2|2--在定义域内的最小零点，若a x <<00，则)(0x f 的值满足 ( )A. 0)(0>x f B ．0)(0<x f C ．0)(0=x fD ．)(0x f 的符号不确定11．设函数1)1(3)(223+--+=k x k kx x f 在区间)4,0(上是减函数，则k 的取值范围是（ ）A ．31≤k B ．310≤<k Ｃ．310≤≤k Ｄ．31<k12．设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=⎰a x dt t x x x x f 020,0,ln )(，若{}9)]([=e f f f ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．2 D ．3第II 卷（非选择题）二、填空题13． 设函数sin()y x ϖϕ=+(0,(,))22ππϖϕ>∈-的最小正周期为π，且其图象关 于直线12x π=对称，则在下面四个结论：①图象关于点(,0)4π对称；②图象关于点(,0)3π对称，③在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数中，所有正确结论的编号为________ 14．函数2()sin(2)4f x x x π=--的最小正周期是_____________15．已知()x f 是定义在[]2,2-上的函数，且对任意实数)(,2121x x x x ≠，恒有1212()()0f x f x x x -<-，且()x f 的最大值为1，则满足()1log 2<x f 的解集为 ．16．函数xx xx x x f cos 22)4sin(2)(22++++=π的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=三、解答题17．在ABC ∆中，内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c ，已知2,3c C π==，（1）若ABC ∆，求,a b ； （2）sin 2sin B A =，求ABC ∆的面积。

2013年1月高三数学教学质量调研考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设全集U R =，集合2{|230},{|14}M x x x N x x =+-≤=-≤≤，则M N 等于（ ） A ．{|14}x x ≤≤ B ．{|13}x x -≤≤ C ．{|34}x x -≤≤ D ．{|11}x x -≤≤2、复数12i i+-表示复平面内的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3、设0.30.30.33,log 3,log a b c c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b b a <<C ．b a c <<D ．c a b <<4、将函数()sin(2)6f x x π=+的图象向右平移6π个单位后，所得的图象对应的解析式为（ ）A ．sin 2y x =B ．cos 2y x =C ．2sin(2)3y x π=+D ．sin(2)6y x π=- 5、已知函数()1()2x x f x e e =-，则()f x 的图象（ ） A ．关于原点对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y x =对称6、一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（ ）7、已知椭圆22143x y +=，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的交点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为（ ）A B ．2 D ．38、设实数,x y 满足不等式组1103300x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．13B ．19C ．24D ．299、已知等比数列{}n a 满足213562,4a a a a =⋅=，则3a 的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．1410、非零向量,a b 满足a b a b +==成立的一个充分非必要条件是（ ）A ．//a bB ．20a b +=C ．aba b = D ．a b =11、设函数()2xf x =，则如图所示的函数图象对应的函数是（ ） A ．(||)y f x =B ．|()|y f x =-C ．(||)y f x =--D ．(||)y f x =-12、已知定义在R 上的函数()f x ，对任意x R ∈，都有()()(6)3f x f x f +=+成立，若函数(1)y f x =+的图象关于直线1x =-对称，则()2013f =（ ）A ．0B ．2013C ．3D ．-2013第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

A .2013年山东省聊城市高考数学一模试卷（理科）、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. （ 5 分）设 A={x|1 v x v 2} , B={x|x v a}，若 A? B ，则 a 的取值范围是（）A .a<2 B .a E C .a 》D . a^2考点： 集合的包含关系判断及应用. 专题： 计算题；函数的性质及应用.分析：根据集合A 是B 的子集，利用数轴帮助理解，可得实数 a 应为不小于a 的实数,得到本题答案.解答： 解：•••设 A={x|1 v x v 2}, B={x|x v a}，且 A? B ,1 2•••结合数轴，可得 2w ,即a 》 故选：D 点评：本题给出两个数集的包含关系,判断及应用的知识，属于基础题.2. ( 5分)已知复数z= j ，则|z|=()(1-i) 2A .B .C .考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算. 专题：计算题.分析：首先利用复数的除法运算把复数 z 化为a+bi 的形式，然后直接代入模的公式求模.解答：解：z =一 i =】…上*匸；（1--2i _ （-21）（2i ） _4故选C .点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础的运算题.3 .（5 分） 一个底面是正三角形的三棱柱的侧视图如图所示,求参数a 的取值着重考查了集合的包含关系则该几何体的侧面积等于 （ ）所以 |z|= ■ --------- —23考点：简单空间图形的三视图. 专题：空间位置关系与距离.分析：由题意判断几何体的形状，集合三视图的数据求出侧面积. 解答：解：由正视图知：三棱柱是以底面边长为2,高为1的正三棱柱,侧面积为3>2X1=6, 故答案为：B .点评：本题考查三视图求解几何体的侧面积，考查空间想象能力，计算能力.4. （ 5分）下列说法错误的是（）A .在线性回归模型中，相关指数 R 2取值越大，模型的拟合效果越好B.对于具有相关关系的两个变量，相关系数r 的绝对值越大，表明它们的线性相关性 越强2 2C.命题?X €R •使得x +X+1 V 0”的否定是？x€R ，均有x +x+1 v 0”D .命题若x=y ，贝U sin . r=siny ”的逆否命题为真命题考点： 特称命题；命题的否定. 专题： 探究型.分析：A .利用相关指数 R 2取值意义进行判断.B .禾U 用相关系数r 的意义判断.C .利用特称命题的否定是全称命题进行判断.D .利用四种命题之间的关系进行判断.解答： 解：A .相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越大，说明模型的拟合效果越好，所以A 正确.B .线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强，所以B 正确.2 2C. 命题？x€R .使得x +x+1 v 0”的否定是？x€R ，均有x +x+1 R” .D .点评： 本题主要考查命题的真假判断，综合性较强，牵扯的知识点较多， 要求熟练掌握相应的知识.考点：函数y=Asin （ w x+ $）的图象变换. 专题：计算题.位后，所得图象关于y 轴对称，则实数m 的最小值为（)A .B .C .:：'D . 5兀6 33 65. （ 5分）（2011?宝鸡模拟）若将函数. ■:' 一二；的图象向左平移m ( m > 0)个单分析：函数，-_ ：」=2cos（x+）图象向左平移m个单位可得y=2cos（ x+m ■-）,2cos(m+ - 由函数为偶函数图象关于y轴对称，故可得此函数在y轴处取得函数的最值即求解即可解答：解：•••函数，•：，-- - .-=2cos （x+ ）图象向左平移m个单位可得y=2cos3(x+m ..)根据偶函数的性质：图象关于y轴对称，故可得此函数在y轴处取得函数的最值即2cos （m+ = ±,—）=+ 23 _解得，-| ■■- _irrF-^--k7TniFk^ - —, k € Zm的最小值—3故选C点评：本题主要考查了三角函数的辅助角公式的应用，函数的图象平移，偶函数的性质，三角函数的对称轴的应用，综合的知识比较多，但都是基本运用.6. （5分）在厶ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且A=60 ° c=5, a=7,则厶ABC 的面积等于（）A . - - B.儿C. 10「D. 10____4 4考点：正弦定理.专题：计算题.分析：利用余弦定理a2=b2+c2- 2accosA可求得b,即可求得△ ABC的面积.解答：解：•••△ ABC 中，A=60 ° c=5, a=7,2 2 2•••由余弦定理得：a2=b2+c2- 2bccosA,2即49=b +25 - 2X5b X,解得b=8或b= - 3 （舍）.•- S^A BC=bcsinA= >8>5x _=10 ；.T故选C.点评：本题考查余弦定理与正弦定理的应用，求得b是关键，考查分析与运算能力，属于中档题.7. （5分）在下列图象中，可能是函数y=cosx+lnx2的图象的是（）考点：利用导数研究函数的单调性.B.C.专题：导数的综合应用.分析：令f (x) =cosx+lnx2(x和)，可得f (- x) =f (x), f (x)是偶函数，其图象关于y 轴对称.利用导数# o (x旳),可知：当2 > x > 0时，y'> 0 .及f ( n)=y = - sinx+ —x-1+2ln n> 0即可判断出.解答：解：令f (x) =cosx+l nx2(x用),则f (- x) =f (x),即f (x)是偶函数，其图象关于y轴对称.•••严o (x旳)，•••当2>x>0 时，y'>0.y = -X由f ( n = - 1+2In n> 0可知：只有A适合.故选A.点评：熟练掌握偶函数的性质、利用导数研究函数的单调性、数形结合的思想方法等是解题的关键.8 ( 5 分)(2008?浙江)已知｛a n｝是等比数列，a2=2, a5=，则a i a2+a2a3+・・+a n a n+i=( )A . 16 (1 - 4-n)B . 16 (1 - 2-n) C. -，-，(1 - 4-n) D .T::(1 -2 n)T考点：等比数列的前n项和.专题：计算题.分析：首先根据a2和a5求出公比q，根据数列心.时1｝每项的特点发现仍是等比数列，且首项是a1a2=8，公比为.进而根据等比数列求和公式可得出答案.解答：解：由I ，解得■.関垃二屯“二q乜数列｛a n a n+1｝仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，1 n所以,也一】32 飞引衍+幻巧++斗玉+1 ------------- 7 ----- 二石(1一4 n)故选C.点评：本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用.应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息.9. (5分)某学校星期一每班都排9节课，上午5节、下午4节，若该校李老师在星期一这天要上3个班的课，每班I节，且不能连上3节课(第5和第6节不算连上)，那么李老师星期一这天课的排法共有( )A . 474 种B. 77种C. 462 种D. 79考点：排列、组合及简单计数问题.专题：概率与统计.分析：首先求得不受限制时，从9节课中任意安排3节排法数目，再求出其中上午连排3节和下午连排3节的排法数目，进而计算可得答案.解答：解：使用间接法，首先求得不受限制时，从9节课中任意安排3节，有A 93=504种排法，其中上午连排3节的有3A33=18种，3下午连排3节的有2A3 =12种，则这位教师一天的课表的所有排法有504 - 18- 12=474种，故选A.点评：本题考查排列知识的应用，使用间接法求解，考查学生的计算能力，属于中档题.210. （5分）（2010?宁德模拟）如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲y=x和曲线y=；围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBCC.内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（考点：几何概型；定积分.专题：计算题.分析：欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解.解答：解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量S （Q）=1,满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S （A）=r J 4x=（亍-討）|所以P （A）= '.S （A） 3_1~S~故选C.点评：本题综合考查了对数的性质，几何概型，及定积分在求面积中的应用，是一道综合性比较强的题目，考生容易在建立直角坐标系中出错，可多参考本题的做法.11. (5分)设e i , e 2分别为具有公共焦点 F i 与F ?的椭圆和双曲线的离心率， P 为两曲线的一个公共点，且满足 一? =0，则4e i 2+e 22的最小值为()PF r PF 3A . 3B .C . 4D .考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质. 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：利用椭圆、双曲线的定义，确定 a 2+m 2=2c 2，禾U 用离心率的定义，结合基本不等式， 即可得出结论. 解答：解：由题意设焦距为2c ,椭圆的长轴长2a ,双曲线的实轴长为 2m ,不妨令P 在双曲 线的右支上由双曲线的定义|PF i |-|PF 2|=2m ① 由椭圆的定义|PF i |+|PF 2|=2a ②2 2 2又 ----- ?——=0 ,•••/ F i PF 2=90 ° 故 |PF i | +|PF 2| =4c:二; ，小 I I I① 2+ ② 2得|PF 『+|PF 2|2=2a 2+2m 2④ 将④代入③得a 2+m 2=2c 2,2 2二 4e i +e 2 =4 c故选B .点评：本题考查椭圆、双曲线的定义，考查基本不等式的运用，属于中档题.i2. (5分)定义方程f (x ) =f'(x )的实数根x o 叫做函数f(x )的 新驻点”，若函数g(x )=x , h (x ) =ln (x+1) , 0 (x ) =X 3 - 1的新驻点"分别为a, Y 则a,丫的大小关系为()A . Y> a>B B . B> a> 丫C.a> B> Y D .B >Y> a考点： 导数的运算.专题：计算题；导数的概念及应用.分析：分别对 g (x ), h (x ), 0 (X )求导，令 g' (x ) =g (x ), h '(x )=h (x ), 0 '(x ) =0(x ),则它们的根分别为a , B, 3Y 即 a =1 , l n (B +1 )=1, Y - 1=3 Y ,然后分别讨论丫的取值范围即可.解答.2:解：••• g' (x ) =1, h' (x ) = - , 0 '(x ) =3x 2,7+i由题意得：32a =1 , In (供1 ) = - ，丫— 1=3 Y ,¥T12叩?. Ja 2 2m 22m a _ 2 12 ~ 2 a in a①In ( 3+1)二一,TO•••( 3+1)叫e ,当3 1时，3+1丝，•- 3< 1,这与3 1矛盾, • 0< 3< 1;②•/ Y-1=3 Y ，且 • 3 Y> 0 Y> 1, • Y> a> 3.故答案为A .点评：函数、导数、不等式密不可分，此题就是一个典型的代表，其中对对数方程和三次方 程根的范围的讨论是一个难点.二、填空题(本大题共 4个小题，每小题 4分，共16分.)13. (4分)某种品牌的摄像头的使用寿命 (单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于 2年的溉率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品 牌的摄像头，则在 4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；相互独立事件的概率乘法公式. 专题：概率与统计.分析：根据题意 旷N (仏/),且P ( < 2) =P ( E 6)结合正态分布密度函数的对称性可 知，尸4，从而得出每支这种摄像头的平均使用寿命，即可得到在4年内一个摄像头都能正常工作的概率，最后利用相互独立事件同时发生的概率的乘法公式即得这两个 摄像头都能正常工作的概率.解答：解：•汁 N ( ^, *), P (=0.8, P ( E 6) =0.2,• P ( < 2) =0.2, 显然 P ( < 2) =P (…(3 分)由正态分布密度函数的对称性可知， 尸4 ,即每支这种灯管的平均使用寿命是4年；••- (5分)•在4年内一个摄像头都能正常工作的概率， 则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为故答案为：点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义， 个基础题.14. (4分)(2 - T) 8展开式中不含x 2的所有项的系数和为-1119 考点：二项式系数的性质. 专题：计算题；概率与统计.分析：在展开式的通项公式中，令 x 的幕指数=2，解得r 的值，可得含x 2的系数•再根据所 有项的系数和为（2 - 1） 8=1，求得不含x 2的所有项的系数和.解答：解：（2- -） 8展开式的通项公式为 T r+i =「？28-r ? （- 1） r ? 1 ,C8x 2令=2，解得r=4，故含x 2的系数为24? . =1120.Y 0时等式不成立,考查曲线的变化特点，本题是Cg而所有项的系数和为（2 - 1）8=1，故不含x2的所有项的系数和为1- 1120= - 1119, 故答案为-1119.点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题.15. （4分）（2012?湖北模拟）已知某算法的流程图如图所示，若将输出的（x, y）的值依次记为（X1, yj, （X2, y2）,…，（X n, y n）,若程序运行中输出的一个数组是（t, - 8）,则t 为81 .y=0, n=lATn-n+2x=3xy=y-s考点：循环结构.专题：图表型.分析：由已知中程序框图，我们可以模拟程序的运行结果，并据此分析出程序运行中输出的一个数组是（t, - 8）时，t的取值.解答：解：由已知中的程序框图，我们可得：当n=1 时，输出（1，0），然后n=3，x=3，y= - 2;当n=3 时，输出（3，- 2），然后n=5，x=32=9，y= - 2 >2= - 4;当n=5 时，输出（9，- 4），然后n=7，x=33=27，y= - 2X3= - 6;4当n=7 时，输出（27，- 6），然后n=9，x=3 =81，y= - 2>4= - 8；当n=9时，输出（81，- 8），故t=81 .故答案为：81.点评：本题考查循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用利用框图的流程写出前 几次循环的结果，找规律.16. （4分）定义 min{a , b}=（缶，实数x 、y 满足约束条件b, 0〉b1- z=min{4x+y , 3x - y}，则 z 的取值范围是[-10, 7]考点：简单线性规划.专题：新定义；数形结合；不等式的解法及应用.分析：由新定义可得目标函数的解析式，分别由线性规划求最值的方法求各段的取值范围,综合可得.z =min{4x+y，3x - y}= -p ：:宀 2/[3K -y, x>- 2yz=4x+y 的几何意义是直线 y= - 4x+z 的纵截距，约束条件为（-2<X <2，可知当直线y= - 4x+z 经过点（-2, - 2）时,* - 2<y<2x< - 2yLz 取最小值-10,经过点（2,- 1）时，z 取最大值7,同理可得z=3x - y 的几何意义是直线 y=3x - z 的纵截距的相反数, 约束条件为（-2<X <2，可知当直线y=3x - z 经过点（-2, 2）时,，-2<y<2K >- 2yz 取最小值-8,经过点（2,- 1）时，z 取最大值7, 综上可知z=min{4x+y , 3x - y}的取值范围是[-10, 7],故答案为：[-10, 7]点评：本题考查简单的线性规划，涉及对新定义的理解，属中档题.三、解答题（本大题共 6小题，共74分.）-2<聲<2，-2<y<2解答：解：由题意可得217. (12 分)已知函数 f (x ) =4 ""sin (x+ ) +4sin (x+ “ ) sin (x -- 2 =.~~3~3(I )求函数f ( x )在［0 ,,］上的值域；~2(n)若对于任意的 x€R ,不等式f (x )廿(x o )恒成立，求sin (2x °).'T考点：三角函数的恒等变换及化简求值；复合三角函数的单调性. 专题：综合题.分析：(I )利用利用降幕公式、两角和与差的正弦公式及辅助角公式可将y=f (x )转化为f(x ) =4sin (2x -兀)-1,再利用复合三角函数的单调性即可求得函数f (x )在［0 ,T下］上的值域；(n)依题意知，f (x o )是f (x )的最大值，从而可求得 2x o =2k n+^rv ( k€Z ),继而可得sin (2x oJ.(sinx+ 二cosx ) (sinx - ~cosx )- 2;T~2p _2 2=2 1+2 :sin2x+sin x - 3cos x - 2 V / ・、 =2 £ i sin2x - 2cos2x - 1 =4sin (2x - 'i )- 1・・4 分T二 x€[0 ,--],~2二 2x -匹€[-兀，5 兀]，•••— W in (2x -兀)冬, T••- 3# (x ) W 3,•函数f (x )在[0,…]上的值域为[-3, 3]--8分~2解答: 解:(I )T f(x ) =4sin 2(X+ ) +4sin ( x+ ) sin (x - -I )- 2 二. y=2 :[1 - cos (2x+ | )]+4(n)v对于任意的x €R,不等式f ( x) # (X0)恒成立,••• f （ X 0）是f （x ）的最大值,…2x o =2k n + -厂(k €Z ),)=sin 厂.12分____ _____3 3 2点评：本题考查降幕公式、两角和与差的正弦公式及辅助角公式，考查复合三角函数的单调 性及正弦函数的性质，考查三角函数的综合应用，属于中档题.18. （12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多•某自行车租车点的 收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）•有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）•设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为， ；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是为为，;两人租车时间都不会超过四小时.（I ）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率.（n ）设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量三求E 的分布列及数学期望 E g考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式. 专题：计算题；应用题.分析：（I ）首先求出两个人租车时间超过三小时的概率，甲乙两人所付的租车费用相同即 租车时间相同：都不超过两小时、都在两小时以上且不超过三小时和都超过三小时三 类求解即可.（n ）随机变量 E 的所有取值为0, 2, 4, 6, 8,由独立事件的概率分别求概率，列 出分布列，再由期望的公式求期望即可.解答：解：（I ）甲乙两人租车时间超过三小时的概率分别为：，甲乙两人所付的租车费用相同的概率P=[ .1（n ）随机变量 E 的所有取值为0, 2, 4, 6, 8 P （手0） P （手2）i X 4'2因此2x 0 -• I=2k 时(k 包),• sin (2x 0-1 ) =sin (2k n + ■- ■■点评：本题考查独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查利用所学知识解决问题的能力.19. ( 12分)如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，/ ACB=90 °平面PAD 丄平面ABCD , PA=BC=1 , PD=AB=二，E 、F 分别为线段PD 和BC 的中点(I )求证：CE //平面PAF ；(H)求二面角 A - PB - C 的大小.考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定. 专题： 证明题；综合题；数形结合；空间位置关系与距离；空间角.分析： (I )由题意，可设出 PA 的中点为H ，连接HE , HF ，在四边形HECF 中证明CE 与HF 平行，从而利用线平行的判定定理得出结论；(II )由题中条件知，可建立空间坐标系求出两个半平面的法向量，再利用向量夹角公式求 二面角的余弦值，从而得出二面角的大小.解答： 解：(I )由图知，取 PA 的中点为H ，连接EH , HF ,由已知，E 、F 分别为线段PD 和BC 的中点及底面 ABCD 是平行四边形可得出 HE 丄AD , CF _1AD 故可得HE CF ,所以四边形FCEH 是平行四边形，可得 FH_CE 又 CE?面 PAF , HF?面 PAF 所以CE //平面PAF(II )底面ABCD 是平行四边形，/ ACB=90 °可得CA 丄AD , 又由平面PAD 丄平面ABCD ，可得CA 丄平面PAD ，所以CA 丄PA 又 PA =AD=1 , PD=二，可知，PA 丄 AD 建立如图所示的空间坐标系 A - XYZ因为 PA=BC=1 , PD=AB= .：C ，所以 AC=1所以 B (1,- 1, 0), C ( 1, 0, 0), P (, 0, 0, 1), AB =( 1，- 1, 0)，AP =(0，0，1) 设平面PAB 的法向量为=(x , y , z )则可得 G - y=o ,令 x=1，则 y=1, z=0,所以=(1, 1, 0)P （手8） 数学期望=“ -=-—X-— 4 4 16E庁5xgX又■ = (0,- 1, 0)，又 |= (- 1, 0, 1)设平面PCB 的法向量为=(x , y , z ),贝V (尸0，令x=1，则y=0, z=1，所以=(1, 0,1),所以 |cos v,> |=- -72^72 =2所以二面角A - PB - C 的大小为60°f ZPHA LX EJ F J 1I/ / A I X ，/~ 7~ D 9/ Y点评：本题考查二面角的求法与线面平行的判定， 利用空间向量求二面角是一个重要的方 法,恰当的建立空间坐标系是解答此题的关键， 本题考查了综合法证明及空间想像能力，是一道有一定难度的综合题(I )求数列｛a n ｝的通项公式；(n)设b n =，,，数列｛b n ｝的前项n 和为T n ,求证：T n <n+1 • a n+l t0考点：数列与不等式的综合；数列递推式. 专题：等差数列与等比数列.20. (12分)已知正项数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且a 1=1 ,叶―「(n②分析：(I )利用数列递推式证明数列 ｛ ——｝是以1为首项，1为公差的等差数列，再求数列｛a n ｝的通项公式4帚=-——••• n 场时，即=2n - 1n=1时也满足上式…如=2 n—1 ； (II )证明：bn=， , =1+- =1+- -,9 n (n+1) n n+1an+l _ 1--■n+1• - T n v n+1 .点评：本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属 于中档题.2 2的离心率为，以原点C ：— 1 (且>b>0)a b为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线• .1相切.(I)求椭圆的方程；(n)设P (4, 0), A , B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆解答:(n)确定数列｛b n ｝的通项，利用裂项法求前项n 和为T n,即可得出结论.(I )解:｝是以1为首项,1为公差的等差数列--T n=n+ (1 - +[ 2 +"I )= 13 n n+11 n+121. (12分)(2012?齐宁一模)已知椭圆•' a 1=1 ,•••数列｛C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于点Q (1, 0).考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程.专题：综合题.(I)根据椭圆，的离心率为，可得C ：七+孑1 (a>b>0)a b分析:解答: 的短半轴为半径的圆与直线」相切，可得b=二,从而可求椭圆的方程; (n)由题意知直线 达定理，表示出直线 解：(I)：椭圆C ： PB 的斜率存在，设方程为 y=k (x - 4) AE 的方程，令y=0，化简即可得到结论.2 2的离心率为，•••七 *今1(3>b>0)z b z代入椭圆方程，利用韦2 2- b _12~=4 a 廿2 4, 2a寻相切.•••椭圆的短半轴为半径的圆与直线■； -r• b=二2 2•- a =4, b =3•••椭圆的方程为. ；汀3一1(n)由题意知直线PB的斜率存在，设方程为y=k(x-4)代入椭圆方程可得(4k2+3) x2- 32k2x+64k 2- 12=0设B (x i, y) E (X2, y2),则A (勿,-y°,• xi+x2= ,，xix2=-4r4k2+3 4k2+3又直线AE的方程为y- y2= r.x2" Z1令y=0,则x=x2-匕1■「一「| 」二二_. =_ i =1J N 汽o 2 ---------- 吁o ~~~ y2+y! x1+x24k +3 ----------- 4k +332/4k2+3•直线AE过x轴上一定点Q (1, 0).点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，解题的关键是确定几何量之间的关系，利用直线与椭圆联立，结合韦达定理求解22. (14 分)已知函数f (x) =ax - 2lnx -(I)若函数f (x)在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；(n)设g (x) =，_，若存在x€[1 , e]，使得f (x)> g (x)成立，求实数a的取值范围.考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性.专题：导数的综合应用.分析：(I)确定函数的定义域，求导函数，由导数的正负，分离参数求最值，即可求实数a 的取值范围；(n) g ( x)二-，在［1 , e］上是减函数，且g (x) €［2 , 2e］.分类讨论求最值，即可x求实数a的取值范围.解答：解：(I)函数的定义域为(0, +R), 2 c丄z (x ax _ 2x+a f U)=—x①若f' (x)为，贝y ax2-2x+a为在(0, + 上恒成立，即,••• a》，此时函数在(0, + a)上单调递增;+ a)上恒成立,②若f' (x)切，则ax2- 2x+a切在(0, + a)上恒成立，即+ a)上恒成立，I , • aO，此时函数在(0, + a)上单调递减;-^>0X综上，a羽或a包)；II) g (x)二-：.:在［1 , e］上是减函数，且g (x) €［2 , 2e］.①aO时，函数f (x)在［1 , e］上是减函数，此时f (x) max=f (1) =0 ,不合题意;②a》时，函数f (x)在［1 , e］上是增函数，由题意，f (e)> g (e)a (e -丄)- 2>2e② 当0v a v 1 时，T - • f (x) =ax- 2lnx - w - < - - 2 v2,x - —>0 x --- 21nx 巴一丄E x e不合题意综上,点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查存在性问题的研究，考查分类讨论的数学思想，属于中档题.。