下载文档原格式
2021年八年级数学下册 7.2用配方法解一元二次方程教案鲁教版一、素质教育目标（一）知识储备点理解并掌握一元二次方程的配方法，能正确、熟练地运用配方法解一元二次方程，并使学生真正理解配方法的整个过程．在理解的基础上，牢牢记住配方的关键是“添加的常数项等于一次项系数一半的平方”．（二）能力培养点通过配方法的整个过程的理解培养学生按规循律分析问题、解决问题的能力，培养学生观察、类比、归纳思维的能力，切实提高学生解方程的能力．（三）情感体验点使学生按照配方法的步骤一步一步地解方程让学生形成有条不紊的学习习惯，按照规律办事的思想观念，养成良好的品德修养，为将来的人生打下扎实的基础．二、教学设想1．重点：用配方法解一元二次方程．2．难点：真正理解配方法的整个过程．3．疑点：为什么要用配方法解一元二次方程．4．课型与基本教学思路：新授课．本节课通过将一元二次方程变形，•运用直接开平方的方法解方程，形成解一元二次方程的一个重要方法──配方法，并能运用配方法解一元二次方程．三、媒体平台1．教具、学具准备：自制投影胶片．2．多媒体课件撷英：【注意】课件要根据实际需要进行适当修改．四、课时安排１课时五、教学步骤（一）教学流程1．情境导入解方程：①x2+2x=5；②x2-4x+3=0．能否经过适当的变形，将它们转化为（ •）2＝a的形式，应用直接开平方法求解？2．课前热身提问：（1）什么是一元二次方程的一般形式？（2）什么是一元二次方程的直接开平方法？（3）什么是一元二次方程的因式分解法？3．合作探究（1）整体感知：学生按照要求解．①原方程转化为x2+2x+1=6，（x+1）2=6，x+1=±，解得x=-1+，x=-1-．②x2-4x+4=-3+4，（x-2）2=1，所以x-2=±1，解得x1=3，x2=1．教师归纳概括：上面我们把方程x2-4x+3=0变形为（x-2）2=1，•它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，这样能应用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．（2）师生互动互动1提出配方时方程两边同时加上的常数是如何确定的？你能发现什么规律？明确配方时，化二次项系数为1，通过变形，•方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成一个完全平方式，是配方法整个过程的重点．互动2配方法是一个重要的数学方法，它在很多地方有重要的应用，我们能总结出配方法的步骤吗？明确配方法的一般步骤是：（1）方程两边同除以二次项系数，•将二次项系数化为1；（2）移项，使方程左边为二次项、一次项，右边为常数项；（3）配方，•方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边为一个完全平方式，右边是一个常数的形式；（4）如果右边是非负数，两边直接开平方解这个一元二次方程．互动3我们能否对x2+px+q=0用配方法进行因式分解？让学生自己完成，看谁又快又正确．明确对于含有字母已知数的因式分解，移项得x2+px=-q，配方得（x+）2=，x+=或x+=，所以，x1=-+，x2=--，为下节课ax2+bx+c=0（a≠0）•通过配方法推出一元二次方程的根，打下知识基础． 4．达标反馈（1）填空题：①x2-2x+（ 1 ）=[x+（ -1 ）]2；②x2+6x+（ 9 ）=[x-（ -3 ）]2；③x2-5x+ =（x- ）2；④x2+2mx+ m2 =（x+ m ）2；⑤x-3mx+m2 =（x- m ）2．⑥用配方法解一元二次方程2x2+3x+1=0，变形为（x+m）2=k，则m=，k=．（2）解答题：①用配方法解下列方程：⑴x2-2x-5=0；⑵x2+x-1=0；⑶x2+x-=0；⑷x2-2+1=0；【答案】⑴x1=1-，x2=1+ ⑵x1=-+，x=-- ⑶x1=-，x2=⑷x1=1+，x2=1-②用配方法将下列各式化成a（x+h）2+k的形式．⑴-3x2-2x+1；⑵x2-x+1；⑶y2+y-2；⑷ax2+bx+c（a≠0）；【答案】⑴-3（x+）2+ ⑵（x-）2+ ⑶（y+）2-⑷a（x+）2+5．学习小结（1）引导学生作知识总结：本节课学习了什么叫配方法，•怎样运用配方法解一元二次方程，按照配方法的四个步骤正确、熟练地求一元二次方程的解．（2）•教师扩展：（方法归纳）用配方法解一元二次方程的关键是：方程两边都加上一次项系数一半的平方，但前提是二次项系数化为1，•配方法的理论根据是直接开平方法．（二）拓展延伸1．链接生活链接一：如果一个一元二次方程有两个不相等的实数根，应当怎样表示？解答：这两个根的值分别为m、n（m≠n），那么可以表示为以下三种形式：（1）x1=m，x2=n；（2）x=m，或x=n（逗号可以省去）；（3）x=m，和x=n．注意不要用“x1=m，或x2=n”这种形式，不能用“x1=m，且x2=n”这种形式．链接二：在什么情况下，解方程会出现增根？解答：我们知道，在方程两边可以加上（或减去）同一个数或整式，也可以乘以（或除以）同一个非零数；从方程的每一项（不管是否为整式），都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边．对于方程进行以上三种变形后，都不会出现增根．那么，什么情况下会出现增根呢？在初中代数里遇到的以下情况时，就有可能产生增根：（1）在方程两边都乘以0，所得的新方程必然有无限多个根．（2）在方程两边乘以同一个含未知数的整式．例如在方程x-1=0•的两边都乘以（x-2），所得的新方程就产生一个增根x=2．（3）将方程两边乘同次方，例如将方程x+1=2两边平方，所得的新方程（x+1）2=•4就产生一个增根x=-3．2．巩固练习（1）选择题：＋的值等于（C）A．2-3 B．3-2 C．1 D．3（2）填空题：①x2-bx+=（x-）2；②x2-（m+n）x+=（x-）2；③y2+y+=（y+）2；④当a= -4 时，二次三项式ax2+ax-1是一个完全平方式．（3）解答题：①已知关于x的方程（ax+b）2=c有实数解．⑴a、b、c应各取怎样的实数？⑵求方程的两个实数根？【答案】⑴a≠0，b为一切实数，c≥0 ⑵x1=，x2=-②用配方法解下列方程：⑴x2-10x+24=0；⑵x2-8x+15=0；⑶x2+2x-99=0；⑷y2+5y+2=0；⑸2x2+x-30=0；⑹x2+px+q=0（p2-4q>0）；⑺-x2+2x+3=0；⑻ax2+x-2=0（a>0）；⑼ax2+ax-2=0（a>0）．【答案】⑴x1=4，x2=6 ⑵x1=5，x2=3 ⑶x1=9，x2=-11 ⑷x1=-，x2=--⑸x1=，x2=-3 •⑹x1=-，x2=-- ⑺x1=3，x2=-1⑻x1=，x2= ⑼x=。
用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程示例文章篇一：《用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程》嗨，小伙伴们！今天咱们来一起研究一个超级有趣的数学问题——用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程。
这就像是一场奇妙的数学冒险呢！我先给大家举个例子吧，比如说方程2x² - 5x + 3 = 0。
这可不像我们之前学的那些简单的方程哦。
那怎么来解这个方程呢？我们第一步要做的，就像是给这个方程来个“大变身”。
我们先把二次项系数2提出来，方程就变成了2(x² - 5/2x) + 3 = 0。
这时候呀，括号里的式子就像是一个小宝贝，我们要把它打扮得漂漂亮亮的。
我们要在括号里加上一个数，又要减去这个数，这样方程才不会变哦。
这个数怎么找呢？对于x² - 5/2x来说，我们看一次项系数- 5/2，把它除以2再平方，那就是(- 5/2÷2)²=( - 5/4)² = 25/16。
这时候方程就变成了2(x² - 5/2x + 25/16 - 25/16)+3 = 0。
这就好比我们给小宝贝穿上了一件漂亮的衣服，又脱了一点东西，但是整体还是一样的。
我们把括号里的式子变形一下，变成2[(x - 5/4)² - 25/16]+3 = 0。
然后展开括号，就是2(x - 5/4)² - 25/8+3 = 0。
接着计算，2(x - 5/4)² - 25/8+24/8 = 0，也就是2(x - 5/4)² - 1/8 = 0。
这时候我们把- 1/8移到等号右边，得到2(x - 5/4)² = 1/8。
再两边同时除以2，(x - 5/4)² = 1/16。
最后求x，x - 5/4 = ±1/4。
如果x - 5/4 = 1/4，那x = 6/4 = 3/2；如果x - 5/4 = - 1/4，那x = 4/4 = 1。
教学设计学习方法利用学生的好奇心设疑、解疑，组织互动、有效的教学活动，鼓励学生积极参与，大胆猜测，使学生在自主探索和合作交流中，观察猜测、交流讨论、分析推理和归纳总结，理解和掌握本节课的内容。
教学手段利用课间辅助教学，适时呈现问题情景，以丰富学生的感性认识，增强直观效果，提高课堂效率。
启发、引导、点拨、评价。
教学过程教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图一、课程引入1.复习回忆：用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的根据以及步骤问：1.什么是配方法？2.配方根据是什么？3.用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤是什么？答：1.定义：我们通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.2.配方根据：(1)平方根的意义：如果＝a，那么x＝±a；(2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.3.用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：(1)移——移项，把常数项移到方程的右边；(2)配——配方，方程的两边同时加上一次项系数一半的平方,使方程变为(x＋m)2＝n的形式；(3)开——如果n≥0，就可左右两边开平方得x+m=；学生回忆并答复，为本课的学习提供迁移或类比方法，进一步加深对配方法的理解.二次项系数为1的一元二次方程的步骤，主要是夯实根底，为完善用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤做准备.二、新知探究2.引入二次项系数不为1的一元二次方程,即本节课所学内容.探究1：如何解二次项系数不为1的一元二次方程，教会学生找出问题之间的异同.问:你会解方程2x2＋2x＝5吗?它跟上节课我们所学的方程有什么不同?对,答得很好.这就是我们这节课要学习的用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.问:1.请同学们比拟以下两个一元二次方程,找出这两个方程的区别与联系?①x2－4x－1＝0；②2x2－8x－2＝0.师:对答得很好,实际上这两个方程是等价的.问:2.探讨：方程②应如何去解呢？(4)解——方程的解为x＝—m答:这个方程的二次项系数不为1答:1.这两个方程中的对应系数成2倍关系，利用等式的性质方程②可以化为跟方程①一样的方程.答:2.利用等式的性质先将方程②化为跟方程①一样的方程,即先把方程中的二次项系数化为1,再用上节课学过的用配方法解举出一个二次项系数不为1的一元二次方程，让学生找出与上节课所学方程的异同，是为了引出本课课题，也为了让学生学会用类比的方法解决本课所学知识.1.让学生在实践中逐步体会配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤，在学生有了初步认识的根底上，教师再展示步骤，目的是引导学生掌握这种思想，而不是让学生死记硬背这些步骤．使他们在自主探索的过程中真正理解和掌握根本的数学知识、思想和方法，同时获得广泛的数学活动经验．问:3.观察方程2x2＋2x＝5，它与上面我们所解的方程有什么不同？你有什么想法？(同学之间相互交流)4.如何解方程2x2＋2x＝5,你能写出它的解答过程吗?(同学间先讨论交流,然后派代表上来板书)师总结：这位同学写得很好，同学们也很积极的参与。
《用配方法解一元二次方程》教学设计一、教学目标：1.知识与技能：（1）理解配方法的意义，会用配方法解数字系数的一元二次方程；（2）在学习的过程，体会配方法的运用，进一步发展符号感，提高代数运算能力。
2.过程与方法：通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法。
3.情感态度与价值观：学生在独立思考中感受探究的兴趣，并体验数学的价值，促进形成学好数学的自信心。
二、教学重、难点：教学重点：配方并运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程。
教学难点：发现并理解配方的方法。
三、教学准备：多媒体、PPT课件四、教学过程：（一）：复习导入x2 + 6x + 8 = 0（二）：新课讲授：任务一：1自主学习：观察下面两个一元二次方程,总结它们之间的联系和区别：①x2 + 6x + 8 = 0 ; ②3x2 +8x -3 = 0.联系： 区别：2 .想一想怎么来解方程？ 3x 2 + 8x -3 = 0. （只写出第一步）跟练： 将下列一元二次方程转换成x 2+px+q=0的形式.（1） -5x 2-2x+4=0 (2) 0.5x 2+6x -3=0 (3)31x 2 +9x -3=0（4）6x 2-7x+1=04 解方程： 3x 2 + 8x -3 = 0.跟踪练习（独立完成）(1) 2x 2+3x -2=0 (2) 2x 2-4x+2=0 （3) x 2+2x+3=0(4) (2x -1)(x+3)=45 小组合作： （1）讨论解决解一元二次方程中遇到的问题.（2）总结出利用配方法解一般的一元二次方程的步骤.任务二： 一元二次方程的应用（数学来源于生活，又服务于生活）1.自主练习： 一个小球从地面上以15m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h (m)与时间 t (s)满足关系：h=15t - 5t 2. 小球何时能达到10m 高？2.小组合作：小组成员互对答案，解决疑难.（三）：归纳总结：1.强调易错点：(1)二次项系数要化为1；(2)在二次项系数化为1时，常数项也要除以二次项系数；(3)配方时，两边同时加上一次项系数一半的平方.2.微视频总结.3.转化、降次的思想.（四）： 当堂检测：A 组：解方程 （1）3x 2-4x+1=0 (2) 2x 2+3=7xB组：课本p61 问题解决2题.（五）：作业布置：必做数学同步p63-p64 1-5题，10题. 选做p65 11题作业分为必做题和选做题，这样既保证“面向全体学生”, 又兼顾“提优”和“辅差”, 有利于全面提高作业质量, 有利于全体学生达到练习的目的。
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程1．利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．(重点)2．能熟练灵活地运用配方法解一元二次方程．(难点)一、情境导入如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m 2，道路的宽为多少？二、合作探究探究点一：利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程用配方法解方程：－12x 2＋52x －54＝0. 解：方程两边同除以－12，得x 2－5x ＋52＝0. 移项，得x 2－5x ＝－52. 配方，得x 2－5x ＋(52)2＝－52＋(52)2， 即(x －52)2＝154. 所以x －52＝152或x －52＝－152. 所以x 1＝5＋152，x 2＝5－152. 易错提醒：用配方法解一元二次方程时，易出现以下错误：(1)方程一边忘记加常数项：(2)忘记将二次项系数化为1；(3)在二次项系数化为1时，常数项忘记除以二次项系数；(4)配方时，只在一边加上一次项系数一半的平方．探究点二：配方法的应用【类型一】 利用配方法求代数式的值 已知a 2－3a ＋b 2－b 2＋3716＝0，求a －4b 的值． 解：原等式可以写成：(a －32)2＋(b －14)2＝0. ∴a －32＝0，b －14＝0，解得：a ＝32，b ＝14. ∴a －4b ＝32－4×14＝－12. 方法总结：这类题目主要是配方法和非负数性质的综合应用，通过配方把等式转化为两个数的平方和等于0的形式是解题的关键．【类型二】 利用配方法求代数式的最值或判定代数式的值与0的关系请用配方法说明：不论x 取何值，代数式x 2－5x ＋7的值恒为正．解：∵x 2－5x ＋7＝x 2－5x ＋(52)2＋7－(52)2 ＝(x －52)2＋34，而(x －52)2≥0， ∴(x －52)2＋34≥34. ∴代数式x 2－5x ＋7的值恒为正．方法总结：对于代数式是一个关于x 的二次式且含有一次项，在求它的最值时，常常采用配方法，将原代数式变形为一个平方式加一个常数的形式，根据一个数的平方式是一个非负数，从而就可以求出原代数式的最值．三、板书设计用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：(1)把原方程化为一般形式；(2)二次项系数化为1，方程两边都除以二次项系数；(3)移项，把常数项移到右边，使方程左边只含二次项和一次项；(4)配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；(5)用直接开平方法解方程．通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，发现解二次项系数不是1的一元二次方程的方法，经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识．培养学生发现问题的能力，通过学生亲自解方程的感受与经验，总结成文，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯．10.5 一次函数与一元一次不等式教学目标【知识与能力】了解一元一次不等式与一次函数的关系。
