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八年级数学下册第17章 一元二次方程重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、由于新冠疫情影响，某口罩加工厂改进技术，扩大生产，从今年10月份开始，平均每个月生产量的增长率为x ．已知今年10月份的生产量为800万个，12月的生产量为1152万个，则可列方程（ ）A ．800+800x 2＝1152B ．800（1+x ）2＝1152C ．800+800（1+x ）+800（1+x ）2＝1152D ．800+800（1+x ）＝11522、已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，则x 12+x 22的值是（ ）A ．﹣7B ．7C ．2D ．﹣23、用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -= 4、下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．23x x y ++=B ．211x x+= C ．250x = D ．()()211x x x x +-=+5、在等式①21x x +=；②325+=；③110x+=；⑤1x y +=；⑤32x x +=中，符合一元二次方程概念的是（ ）A ．①⑤B ．①C ．④D ．①④6、下列方程，哪个是关于x 的一元二次方程（ ）A ．20ax bx c ++=B ．2310y y -+=C ．223x x -=D ．222(1)24x x x -=+7、下列关于x 的方程中一定没有实数根的是（ ）A ．210x x --=B ．24690x x -+=C ．24x x =-D ．2720x mx --=8、若x ＝3是方程x 2﹣4x +m ＝0的一个根，则m 的值为（ ）A ．3B ．4C ．﹣4D ．﹣39、若0是关于x 的一元二次方程mx 2＋5x ＋m 2－m ＝0的一个根，则m 等于（ ）A ．1B ．0C ．0或1D ．无法确定10、关于x 的方程x 2+kx +1＝0有实数根，则k 的取值可以是（ ）A ．k ＝﹣1B ．k ＝0C ．k ＝1D ．k ＝﹣3第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地的面积为20m 2，设原正方形空地的边长为x m ．则可列出的方程是______．2、解一元二次方程x 2﹣7x ＝0的最佳方法是 _____．3、若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +2＝0（a ≠0）的一个解是x ＝1，则a +b 的值为 _____．4、一元二次方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则k 的值为__________．5、现规定一种新的运算：a bad bc c d =-，当()322x x x x =-时，则x 的值为____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、解方程与化简：（1）解方程：2109x x -=-（2）化简：2221121a a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭ 2、解方程：（1）x 2﹣x ﹣1＝0（2）x 2﹣2x ＝33、计算（1）计算：2(2)- （2）解方程：2470x x --=4、已知函数y 1＝x ＋1和y 2＝x 2＋3x ＋c （c 为常数）.（1）若两个函数图像只有一个公共点，求c 的值；（2）点A 在函数y 1的图像上，点B 在函数y 2的图像上，A ，B 两点的横坐标都为m ．若A ，B 两点的距离为3，直接写出满足条件的m 值的个数及其对应的c 的取值范围．5、解方程：（1）2890x x +-=（配方法）（2）22410x x --=（公式法）-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据增长率公式即可得出答案．【详解】∵10月份的生产量为800万个，12月的生产量为1152万个，，经过了两个月，∴方程可为：2800(1)1152x +=．故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，经过n 次变化，增长率公式为(1)n a x b +=，其中x 为增长率，a 为起始值，b 为终值，掌握增长率公式是解题的关键．2、B【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得x 1+x 2＝3，x 1x 2＝1，再把代数式x 12+x 22化为()212122x x x x +-，再整体代入求值即可.【详解】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝1，所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×1＝7．故选：B．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，熟练的利用根与系数的关系求解代数式的值是解本题的关键.3、B【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式．【详解】解：2250x x--=移项得：225-=x x方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：22151-+=+x x配方得：()216x-=．故选：B．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程的步骤，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤．配方法的步骤：配方法的一般步骤为：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．4、C【分析】判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．A.有两个未知数，错误；B.不是整式方程，错误；C.符合条件；D.化简以后为1x =-，不是二次，错误；故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．5、B【分析】根据一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐个分析判断即可．【详解】解：①21x x +=，是一元二次方程，符合题意；②325+=，不是方程，不符合题意； ③110x+=，不是整式方程，不符合题意； ⑤1x y +=，是二元一次方程，不符合题意；⑤32x x +=，是一元一次方程，不符合题意故符合一元二次方程概念的是①【点睛】本题考查了一元二次方程定义，掌握一元二次方程定义是解题的关键．6、C【分析】关于x的一元二次方程中，未知数为x，最高次幂为2，平方项系数不为0．【详解】解：A中a的值未知，故不符合题意；B是关于y的一元二次方程，故不符合题意‘C是关于x的一元二次方程，故符合题意；D中最高次幂为1，故不符合要求；故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的特征．解题的关键明确方程中的元与次．7、B【分析】根据根的判别式的概念，求出△的正负即可解题．【详解】解: A. x2-x-1=0,△=1+4=5>0，∴原方程有两个不相等的实数根；B. 2-+=, △=36-144=-108<0，∴原方程没有实数根；4x6x90C. 2x x+=, △=1>0，∴原方程有两个不相等的实数根；=-, 24x x40D. 2--=, △=m2+56>0，∴原方程有两个不相等的实数根．x mx720【点睛】本题考查了根的判别式，属于简单题，熟悉根的判别式的概念是解题关键．8、A【分析】根据一元二次方程的解，把3x =代入240x x m -+=得到关于m 的一次方程，然后解此一次方程即可．【详解】解：把3x =代入240x x m -+=得9120m -+=，解得3m =．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．9、A【分析】根据一元二次方程根的定义，将0x =代入方程解关于m 的一元二次方程，且根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，即可求得m 的值【详解】 解：0是关于x 的一元二次方程mx 2＋5x ＋m 2－m ＝0的一个根，20m m ∴-=，且0m ≠解得1m =故选A本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程的定义，因式分解法解一元二次方程，注意0m ≠是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．10、D【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可【详解】解：∵关于x 的方程x 2+kx +1＝0有实数根，∴240k ∆=-≥ 则2k ≥故选D【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=-，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程没有实数根．二、填空题1、()()1220x x --=【分析】可设原正方形的边长为x m ，则剩余的空地长为()1x -m ，宽为()2x -m ．根据长方形的面积公式列出方程即可．【详解】解：设原正方形空地的边长为xm ，根据题意，得：()()1220x x --=．故答案为()()1220x x --=．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，应熟记长方形的面积公式，另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．2、因式分解法【分析】将一元二次方程先提公因式然后计算即可．【详解】解：一元二次方程270x x -=，即()70x x -=，解得：10x =，27x =，∴应采用因式分解法，故答案为：因式分解法．【点睛】题目主要考查一元二次方程的因式分解法，熟练掌握因式分解法是解题关键．3、-2【分析】根据一元二次方程解得定义把1x =代入到()200++=≠ax bx c a 进行求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的一个解是1x =，∴20a b ++=，∴2a b +=-，故答案为：-2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解得定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． 4、1【分析】根据一元二次方程根的判别式等于0即可求得k 的值．【详解】解：∵一元二次方程220x x k ++=有两个相等的实数根，∴2240k ∆=-=即440k -=解得1k =故答案为：1【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=-，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程没有实数根．5、2或3或2【分析】根据新定义运算把原式转化成一元二次方程，解方程即可．【详解】解：由32(2)x x x x =-可得，23(2)2x x x --=；2560x x -+=，(3)(2)0x x --=，3020x x -=-=，，解得，1232x x ==，；故答案为：2或3．【点睛】本题考查了新定义运算和解一元二次方程，解题关键是根据题意把原式转化为一元二次方程．三、解答题1、（1）19x =，21x =（2）1a a - 【分析】（1）配方法解一元二次方程即可；（2）先根据分式的加减通分计算括号内的，同时将除法转化为乘法，进而根据分式的性质化简即可（1）解：配方，得21025925x x -+=-+()2516x -=开方，得54x -=±∴1459x =+=，2451x =-+=，（2） 解：原式()()()2111111a a a a +-⎛⎫=-÷ ⎪+⎝⎭+ 111a a a a -=÷++ 111a a a a +=⋅+- 1a a =- 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，分式的化简，正确的计算是解题的关键．2、（1）12x x =（2）123,1x x ==-【分析】（1）根据公式法解一元二次方程；（2）先化为一般形式，进而根据因式分解法解一元二次方程（1）解：210x x --=145∆=+=x ∴==12x x ∴== （2）2230x x --=()()310x x -+=解得：123,1x x ==-【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．3、（1）8+（2）1222x x ==【分析】（1）根据有理数的乘法，二次根式的性质，分母有理化进行计算即可；（2）根据公式法解一元二次方程即可（1）2(2)-44=++8=+（2）2470x x --=21,4,7,4162844a b c b ac ==-=-∆=-=+=x ∴==1222x x ∴==【点睛】本题考查了有理数的乘法，二次根式的性质，分母有理化，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．4、（1）c ＝2；（2）当c ＞5时，m 有0个；当c ＝5时，m 有1个；当－1＜c ＜5时，m 有2个；当c ＝－1时，m 有3个；当c ＜－1时，m 有4个【分析】（1）只需求出y 1=y 2时对应一元二次方程有两个相等的实数根的c 值即可；（2）根据题意，AB =｜m 2＋2m ＋c －1｜=3，分m 2＋2m ＋c －1＞0和m 2＋2m ＋c －1＜0两种情况，利用一元二次方程根的判别式与根的关系求解即可．【详解】解：（1）根据题意，若两个函数图像只有一个公共点，则方程x 2＋3x ＋c ＝x ＋1有两个相等的实数根，∴△=b 2－4ac ＝22－4(c －1)＝0，∴c ＝2；（2）由题意，A （m ，m +1），B （m ，m 2＋3m ＋c ）∴AB =｜m 2＋3m ＋c －m －1｜=｜m 2＋2m ＋c －1｜=3，①当m 2＋2m ＋c －1＞0时，m 2＋2m ＋c －1=3，即m 2＋2m ＋c －4=0，△=22－4（c －4）=20－4c ，令△=20－4c =0，解得：c =5，∴当c ＜5时，△＞0，方程有两个不相等的实数根，即m 有2个；当c =5时，△=0，方程有两个相等的实数根，即m 有1个；当c ＞5时，△＜0，方程无实数根，即m 有0个；②当m 2＋2m ＋c －1＜0时，m 2＋2m ＋c －1=－3，即m 2＋2m ＋c +2=0，△=22－4（c +2）=－4c －4，令△=－4c －4=0，解得：c =－1，∴当c ＜－1时，△＞0，方程有两个不相等的实数根，即m 有2个；当c =－1时，△=0，方程有两个相等的实数根，即m 有1个；当c ＞－1时，△＜0，方程无实数根，即m 有0个；综上，当c ＞5时，m 有0个；当c ＝5时，m 有1个；当－1＜c ＜5时，m 有2个；当c ＝－1时，m 有3个；当c ＜－1时，m 有4个．【点睛】本题考查函数图象上点的坐标特征、一元二次方程根的判别式与根的关系、坐标与图形，解答的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系：△＞0，方程有两个不相等的实数根，△=0，方程有两个相等的实数根，△＜0，方程无实数根．5、（1）121,9x x ==-；（2）12x x =【分析】（1）利用配方法，首先将常数项移项，再配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方求出即可；（2）利用公式法直接代入求出即可．【详解】（1）2890x x +-=289x x +=2816916x x ++=+2(4)25x +=45x +=±121,9x x ==-（2）22410x x --=2,4,1a b c ==-=-∴224(4)42(1)240b ac =-=--⨯⨯-=>∴1,2x =12x x = 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法、配方法的解题步骤是解题的关键．。
章末复习【知识与技能】1.了解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的公式解法和其他解法；能够根据方程的特征,灵活运用一元二次方程的解法求方程的根.2.理解一元二次方程的根的判别式,会运用它解决一些简单的问题.3.掌握一元二次方程根与系数的关系,会用它解一些简单的问题.4.会列出一元二次方程解实际问题.【过程与方法】1.进一步培养学生快速准确的计算能力.2.进一步培养学生严密的逻辑推理与论证能力.3.进一步培养学生的分析问题、解决问题的能力.【情感态度】1.进一步渗透知识之间的相互联系和相互作用.2.进一步渗透“转化”的思想方法及对学生进行辩证唯物主义思想教育.3.进一步体会配方法是解决数学问题的一种思想方法.【教学重点】1.一元二次方程的解法及判别式.2.一元二次方程根与系数的关系以及它的简单应用.【教学难点】列方程解决实际问题,灵活运用根与系数的关系解决问题.一、知识框图,整体把握【教学说明】教师引导学生回顾本章知识点,边回顾边画出本章知识框图,使学生对本章知识有一个总体把握,了解各知识点之间的联系,加深对知识点的理解,为后面的运用奠定基础.二、释疑解惑,加深理解1.一元二次方程的定义和一般形式（1）只含有一个未知数、且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程.（2）一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）特别注意：①分母中不含有未知数.②只有当二次项系数a≠0时,整式方程ax2+bx+c=0才是一元二次方程.2.一元二次方程的解法一元二次方程解法有：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法.说明：（1）明确一元二次方程是以降次为目的,以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段,从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；（2）根据方程系数的特点,熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；值得注意的问题：①一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数.②直接开平方法是最基本的方法.③公式法和配方法是最重要的方法.公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法）,在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算根的判别式的值,以便判断方程是否有解.配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法解一元二次方程.但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一,一定要掌握好.（三种重要的数学方法：换元法配方法,待定系数法）.3.一元二次方程根的判别式一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中,b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式,通常用“Δ”来表示,即Δ=b 2－4ac,①当Δ＞0时,一元二次方程有2个不相等的实数根；②当Δ=0时,一元二次方程有2个相同的实数根；③当Δ＜0时,一元二次方程没有实数根.4.一元二次方程根与系数的关系如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个实数根是x 1,x 2,那么x 1+x 2=－a b ,x 1x 2=a c .应用根与系数的关系,可以不解方程,计算两根的和或积,求式子的值.5.建立一元二次方程模型解决实际问题建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程.注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系.【教学说明】教师引导学生对本章重点知识和需要注意的问题进行详细的回顾,使学生对本章知识有进一步的理解,形成知识网络.三、典例精析,复习新知例1 判断关于x 的方程x 2-mx(2x-m+1)=x 中是不是一元二次方程,如果是,指出二次项系数、一次项系数及常项数.【分析】先把方程化为一般形式ax 2+bx+c=0,然后根据一元二次方程的定义可知,当a ≠0时方程是一元二次方程.解：原方程可化为（1-2m ）x 2+(m 2-m-1)x=0.当1-2m=0,即m=21时,原方程整理为-45x=0,原方程是一元一次方程； 当1-2m ≠0,即m ≠21时,原方程是一元二次方程. 此时,二次项系数为1-2m,一次项系数为m 2-m-1,常数项为0.例2 已知关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+3x+m 2-2=0的一个根中零.求m 的值. 【分析】(1)正确理解方程的根的概念；（2）要特别注意一元二次方程ax 2+bx+c=0中隐含的a ≠0这个条件.解：方程的一个根是零,即x=0,当x=0时,原方程可化为m 2-2=0.解得m=±2.又∵m-2≠0,即m ≠2,∴m=-2例3（四川绵阳中考）已知关于x 的一元二次方程x 2=2(1-m)x-m 2的两个实数根为x 1,x 2.（1）求m 的取值范围.（2）设y=x 1+x 2,当y 取得最小值时,求相应m 的值,并求出最小值.【分析】（1）一元一次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的条件是b 2-4ac ≥0,不要漏掉b 2-4ac=0的情况.先把方程变形成一般形式,把a,b,c 的值代入b 2-4ac,根据b 2-4ac ≥0求出m 的取值范围.（2）可由一次函数y=kx+b,当k ＞0时,y 随x 的增大而增大；当k ＜0时,y 随x 的增大而减小的性质,根据自变量取值范围,求出一次函数的最大值或最小值.解：（1）将原方程整理为x 2+2（m-1）x+m 2=0.∵原方程有两个实数根,∴Δ=［2(m-1)］2-4m 2=-8m+4≥0,得m ≤21. （2）∵x 1,x 2=-2m+2,∴y=x 1+x 2=-2m+2,∵y 随m 的增大而减小,且m ≤21, ∴当m=21时,y 取得最小值1. 【教学说明】教师出示典型例题,让学生先尝试解答,教师予以讲解,在讲解的过程中,应着重于知识点的应用和解题方法的渗透.四、复习训练,巩固提高1.若方程x 2－3x －1=0的两根为x 1、x 2,则2111x x 的值为( ). A.3 B.－3 C.31 D.－31 2.关于x 的方程(a-6)x 2-8x+6=0有实数根,则整数a 的最大值是（ ）A.6B.7C.8D.93.在一幅长为80cm,宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是5400cm 2,设金色纸边的宽为xcm,那么x 满足的方程是（ ）.A.x 2+130x －1400=0B.x 2+65x －350=0C.x 2－130x －1400=0D.x 2－65x －350=04.关于x 的一元二次方程－x2+(2k+1)x+2－k 2=0有实数根,则k 的取值范围是 .5.已知x 1、x 2是方程x 2－3x －2＝0的两个实根,则(x 1－2) (x 2－2)= .6.某电动自行车厂三月份的产量为1000辆,由于市场需求量不断增大,五月份的产量提高到1210辆,则该厂四、五月份的月平均增长率为 .7.解方程：(x －3)2+4x(x －3)=08.阅读材料：为解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)+4=0,我们可以将x 2－1 看作一个整体,然后设x 2－1=y,那么原方程可化为y 2－5y+4=0……①,解得y 1=1,y 2=4,当y=1时,x 2－1=1,∴x 2=2,∴x=±2；当y=4时,x 2－1=4,∴x 2=5,∴x=±5,故原方程的解为x 1=2,x 2=－2,x 3=5,x 4=－5. 解答问题：（1）上述解题过程,在由原方程得到方程①的过程中,利用 法达到了解方程的目的,体现了转化的数学思想；（2）请利用以上知识解方程x 4－x 2－6=0.9.关于x 的方程kx 2+(k+2)x+4k =0有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围.(2)是否存在实数k,使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在,求出k 的值；若不存在,说明理由.10.如图,利用一面墙,用80米长的篱笆围成一个矩形场地（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？（2）能否使所围的矩形场地面积为810平方米,为什么？【答案】1.B 2.C 3.B 4.k ≥－49 5.－4 6.10％10.解：设AD=BC=xm,则AB=（80－2x）m （1）由题意得：x（80－2x）=750解得：x1=15 x2=25当x=15时,AD=BC=15m,AB=50m当x=25时,AD=BC=25m,AB=30m答：当平行于墙面的边长为50m,斜边长为15m时,矩形场地面积为750m2；或当平行于墙面的边长为30m,邻边长为25m时矩形场地面积为750m2.（2）由题意得：x（80－2x）=810Δ=40－4×405=1600－1620=－20＜0∴方程无解,即不能围成面积为810m2的矩形场地.【教学说明】学生独立完成练习,进一步熟练相关知识点的应用和提高解题能力.五、师生互动,课堂小结1.一元二次方程的定义和一般形式.2.一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法,要根据具体的问题选择合适的方法.3.根的判别式：Δ=b2-4ac和根与系数的关系：4.列方程解应用题的一般步骤.【教学说明】学生结合刚才所进行的复习,进行自主交流与反思,提出自己的困惑,进一步掌握全章知识.完成同步练习册中本课时的练习.重点是让学生加强对一元二次方程解法的熟练性,难点是让学生掌握根的判别式和根与系数的关系.对于根的判别式这个知识点,学生还不时会在两个方面出问题：一是方程有解的时候,学生通常只考虑到△＞0的情况,而漏了△=0情况；二是在对方程中某一待定系数的取值范围的分析的时候,常常会忘记对二次项系数a≠0这种情况的分析.有一部分的学生问题主要还是出在了公式的误差记忆上,从而导致了整个运算的错误.还有一点问题就是学生的运算能力太差,在解方程时,方法基本都已经掌握,但无法保证计算的准确性.。
第17章 一元二次方程知识结构框图：⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧1.定义→一般形式2.解法⎩⎪⎨⎪⎧配方法公式法→求根公式x ＝－b±b 2－4ac 2a →根的判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，方程有两个不相等的实数根Δ＝0，方程有两个相等实数根Δ＜0，方程没有实数根因式分解法3.根与系数关系：若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的解是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca 4.一元二次方程的应用知识要点：1、一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数最高项次数是2的整式方程叫做一元二次方程．2、一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．其中，ax 2叫做二次项，a 是二次项的系数；bx 叫做一次项，b 是一次项的系数；常数项是c .3、直接开平方法：对于形如x 2＝a(a ≥0)或(x ＋h)2＝a(a ≥0)的一元二次方程可以用直接开平方法求解．直接开平方法解一元二次方程的依据是平方根的概念．4、配方法：先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式后，再直接开平方求解的方法，叫做配方法．5、公式法：一般地，对于一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当b 2－4ac ≥0时，它的根可以由式子x ＝－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac ≥0)得到，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法.用公式法解一元二次方程的步骤：(1)将方程化为一般形式；(2)写出系数a ，b ，c的值；(3)当b 2－4ac ≥0时，将a ，b ，c 的值代入公式中即求出方程的解．6、因式分解法：将一元二次方程的右边化为0，通过因式分解将左边化为两个一次式乘积的形式，利用“如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0”的性质来求解的方法，叫做因式分解法．7、一元二次方程根的判别式：我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)根的判别式，用符号“Δ”表示，即Δ＝b 2－4ac.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，Δ0时，方程有两个相等的实数根，Δ＜0时，方程无实数根．8、韦达定理：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1、x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a，这个关系通常称为韦达定理．例题：1、方程(m ＋2)x |m|＋3mx ＋1＝0是关于x 的一元二次方程，则( )A ．m ＝±2B ．m ＝2C ．m ＝－2D ．m ≠±22、若a(a ≠0)是关于x 的方程x 2＋bx －2a ＝0的根，则a ＋b=_______.3、一元二次方程x 2－2(3x －2)＋(x ＋1)＝0的一般形式是______________．其中，二次项系数是____，一次项系数是______，常数项是______．4、一元二次方程x 2－8x －1＝0配方后可变形为( )A ．(x ＋4)2＝17B ．(x ＋4)2＝15C ．(x －4)2＝17D ．(x －4)2＝155、已知a 、b 为实数，若(a 2－b 2)(a 2－b 2－2)＝8，则a 2－b 2的值是( )A ．4B ．－2C ．4或－2D ．－4或26、解下列方程：3(x －1)2－108＝0 x 2＋12x －15＝02x 2－7x ＋6＝0 4x 2＋4x ＋10＝1－8x－t 2＋4t ＝8 (1＋2)x 2－(1－2)x ＝0(3x ＋2)2－4x 2＝0 6x x 2－1＋5x －1＝x ＋4x ＋1.7、已知一元二次方程(k －1)x 2＋2kx ＋k ＋3＝0有实数根，则k 的取值范围是( )A ．k ≤32B ．k ＜32C ．k ≤32且k ≠1D ．k ≥32且k ≠18、已知关于x 的方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2＋2＝0有两个不相等的实数根，试判断直线y ＝(2m－3)x －4m ＋7能否通过点A(－2，4)，并说明理由．9、已知α，β是关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，则m 的值是( ) A ．3或－1 B ．3 C ．1 D ．－1或110、已知关于x 的方程x 2＋x ＋n ＝0有两个实数根－2，m.求m ，n 的值．11、已知方程2410ax x +-=.（1）当a 取什么值时，方程有两个不相等的实数根？（2）当a 取什么值时，方程有两个相等的实数根？（3）当a 取什么值时，方程没有实数根？12、求证：关于x 的方程222(1)2(4)0m x mx m +-++=没有实数根.13、已知12x x 、是关于x 的一元二次方程260x x k -+=的两个实数根，且221212115x x x x--=.求：（1）k的值；（2）22128x x++的值.14、新世纪购物中心今年3月份的营业额为500万元，四月份营业额比三月份减少10%，从五月份起逐月上升，六月份达到648万元，求五、六月份营业额的月平均增长率为多少．15、有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数.16、银座商场将成本价为30元的台灯以40元的价格出售，平均每月能售出600盏.调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就相应减少10盏.为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少盏？17、小明将1000元钱存入银行，定期一年后取出500元购买学习用品，剩下的500元和应得利息又全部按一年定期存入，若存款的年利率保持不变，到期后取出660元，求存款的年利率.检测：一、选择题(每题3分，共30分)1.下列方程:①2x2-=1；②2x2-5xy+y2=0；③4x2-1=0；④x2+2x=x2-1；⑤ax2+bx+c=0中，属于一元二次方程的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.方程x2-5x=0的解为( )A.x1=1，x2=5B. x1=0，x2=1C. x1=0，x2=5D. x1=，x2=53.关于x的一元二次方程x2+(m-2)x+m+1=0有两个相等的实数根，则m的值是( )A.0B.8C.4±2D.0或84.解方程3(x-2)2=2x-4所用方法最简便的是( )A.配方法B.公式法C.因式分解法D.都一样5.若关于x的方程x2+(m+1)x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是( )A.-B.C.-或D.16.张君同学在验算某数的平方时，将这个数的平方误写成了它的2倍，使答案少了35，则这个数是( )A.-7B.-5或7C.5或7D.77.某省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一.若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是( )A. 1.4(1+x)=4.5B. 1.4(1+2x)=4.5C. 1.4(1+x)2=4.5D. 1.4(1+x)+1.4(1+x)2=4.58.若3-与-2a m是同类项，则m的值为( )A.2B.3C.2或3D.-2或-39.已知M=a-1，N=a2-a(a为任意实数)，则M，N的大小关系为( )A.M<NB.M=NC.M>ND.不能确定10.给出一运算:对于函数y=x n，规定y/=nx n-1.例如:若函数y=x4，则有y/=4x3.已知函数y=x3，则方程y/=12的解是( )A.x1=4，x2=-4B.x1=2，x2=-2C.x1=x2=0D.x1=2，x2=-2二、填空题(每题3分，共12分)11.若2x+1与2x-1互为倒数，则实数x=____________.12.已知关于x的方程x2-2x-k=0有两个相等的实数根，则k的值为___________.13.若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程: _______________.14.方程x2+2kx+k2-2k+1=0的两个实数根x1，x2满足+=4，则k的值为_________.三、解答题(共58分)15.解下列方程:(1)8x2-6=2x2-5x；(2)(2x+1)(2x+3)=15.16.关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-1=0有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围；(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根.17.已知:关于x的方程x2-2mx=-m2+2x的两个实数根x1，x2满足|x1|=x2，求实数m的值.18.近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注.当市场猪肉的平均价格达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格.(1)从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%，某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元?(2)5月20日猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在5月20日每千克40元的基础上下调a%出售.某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了a%，求a的值.19.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件.设每件商品降价x元.据此规律，请回答:(1)商场日销售量增加_______________件，每件商品盈利_______________元(用含x的代数式表示)；(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？20.如图，在长为10 cm，宽为8 cm的长方形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原长方形面积的80%，求截去的小正方形的边长.21.2013年，东营市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售.因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米5265元.(1)求平均每年下调的百分率；(2)假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？(房价每平方米按照均价计算)22.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2.(1)求实数k的取值范围.(2)是否存在实数k使得x1·x2--≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.23.请阅读下列材料:问题:已知方程x2+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍. 解:设所求方程的根为y，则y=2x，所以x=.把x=代入已知方程，得+-1=0.化简，得y2+2y-4=0.故所求方程为y2+2y-4=0.这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:将所求方程化为一般形式).(1)已知方程x2+x-2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为: ；(2)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数.。
华东师大版八年级数学下册第17章全章热门考点整合及应用讲义本章内容是中考的必考内容，是历年来中考的热点，主要考查一次函数与反比例函数的图象与性质，求函数的表达式，建立一次函数模型解决利润、方案等实际问题，利用反比例函数解决学科内、学科间的综合问题．题型涉及选择题、填空题与解答题．其热门考点可概括为：四个概念、三个图象、两个性质、三个关系、一个方法、两个应用、一个技巧．四个概念概念1变量与常量1．(1)设圆柱的底面半径R不变，圆柱的体积V与圆柱的高h的关系式是V＝πR2h，在这个变化过程中常量和变量分别是什么？(2)设圆柱的高h不变，在圆柱的体积V与圆柱的底面半径R的关系式V＝πR2h中，常量和变量分别又是什么？概念2函数2．两个变量之间存在的关系式是y2＝x＋1(其中x是非负整数)，y是不是x的函数？如果变为用含y的代数式表示x的形式，x是不是y的函数？请说明原因．概念3一次函数3．当m，n为何值时，y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)是关于x的一次函数？当m，n为何值时，y是关于x的正比例函数？概念4反比例函数4．若y＝(m－1)x|m|－2是反比例函数，则m的取值为( )A．1 B．－1 C．±1 D．任意实数①xy＝－13；②y＝5－x ；③y＝－25x ；④y＝2ax (a 为常数且a≠0)．其中________是反比例函数．(填序号)三个图象图象1 函数的图象6．“黄金1号”玉米种子的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打6折．设购买量为x 千克，付款金额为y 元，则y 与x 的函数关系的图象大致是( )图象2 一次函数的图象7．若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a ＜b ＜c ，则函数y ＝ax ＋c 的图象可能是( )图象3 反比例函数的图象8．如图，已知A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝mx 的图象的两个交点．求：(1)反比例函数和一次函数的表达式；(2)直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积； (3)方程kx ＋b －mx ＝0的解(请直接写出答案)；(4)不等式kx ＋b －mx<0的解集(请直接写出答案)．(第8题)两个性质性质1一次函数的性质9．已知一次函数的表达式是y＝(k－2)x＋12－3k.(1)当图象与y轴的交点位于原点下方时，判断函数值随着自变量的增大而变化的趋势；(2)如果函数值随着自变量的增大而增大，且函数图象与y轴的交点位于原点上方，确定满足条件的正整数k的值．性质2反比例函数的性质10．画出反比例函数y＝6x的图象，并根据图象回答问题：(1)根据图象指出当y＝－2时x的值；(2)根据图象指出当－2<x<1且x≠0时y的取值范围；(3)根据图象指出当－3<y<2且y≠0时x的取值范围．三个关系关系1一次函数与一元一次方程的关系11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋1与y＝－34x＋3交于点A⎝⎛⎭⎪⎫87，157，两直线分别交x轴于点B和点C.(1)求点B，C的坐标；(2)求△ABC的面积．(第11题)关系2 一次函数与二元一次方程(组)的关系12．如图，一次函数y ＝k 1x ＋b 1的图象l 1与y ＝k 2x ＋b 2的图象l 2相交于点P ，则方程组⎩⎨⎧y ＝k 1x ＋b 1，y ＝k 2x ＋b 2的解是( )(第12题)A .⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝2B .⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3C .⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2D .⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－2关系3 一次函数与不等式(组)的关系13．已知一次函数y ＝kx ＋3的图象经过点(1，4)． (1)求这个一次函数的表达式；(2)求关于x 的不等式kx ＋3≤6的解集．一个方法——待定系数法14．如图，一个正比例函数的图象与一个一次函数的图象交于点A(3，4)，且一次函数的图象与y 轴相交于点B(0，－5)．(1)求这两个函数的表达式； (2)求三角形AOB 的面积．(第14题)15．已知反比例函数y＝kx的图象与一次函数y＝x＋b的图象在第一象限内相交于点A(1，－k＋4)．试确定这两个函数的表达式．两个应用应用1利用一次函数解实际问题16．某游泳馆普通票价20元/张，暑期为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y 元．(1)分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；(2)在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A，B，C的坐标；(3)请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．(第16题)应用2利用反比例函数解实际问题17．某厂仓库储存了部分原料，按原计划每小时消耗2吨，可用60小时．由于技术革新，实际生产能力有所提高，即每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量．设现在每小时消耗原料x(单位：吨)，库存的原料可使用的时间为y(单位：小时)．(1)写出y关于x的函数表达式，并求出自变量的取值范围．(2)若恰好经过24小时才有新的原料进厂，为了使机器不停止运转，则x应控制在什么范围内？一个技巧：用k的几何性质巧求图形的面积18．如图，A，B是双曲线y＝kx(k≠0)上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C.过B点作BE⊥x轴，垂足为E.若△ADO的面积为1，S△BOE ＝4S△DOC，则k的值为( )A.43B.83C．3 D．4(第18题) (第19题)19．如图，过x轴正半轴上的任意一点P作y轴的平行线交反比例函数y＝2x和y＝－4x的图象于A，B两点，C是y轴上任意一点，则△ABC的面积为________．参考答案1．解：(1)常量是π和R ，变量是V 和h. (2)常量是π和h ，变量是V 和R.2．解：在y 2＝x ＋1中，当x 的值是0时，y 的值为±1，此时y 的值有两个，并不是唯一确定的，因此y 不是x 的函数．y 2＝x ＋1变形为x ＝y 2－1后，对于y 的每一个值，另一个变量x 都有唯一确定的值与其对应，因此x 是y 的函数．3．解：若y ＝(5m －3)x 2－n ＋(m ＋n)是关于x 的一次函数，则有⎩⎨⎧5m －3≠0，2－n ＝1，解得⎩⎨⎧m ≠35，n ＝1.所以当m≠35且n ＝1时，y ＝(5m －3)x 2－n ＋(m ＋n)是关于x 的一次函数．若y ＝(5m －3)x 2－n ＋(m ＋n)是关于x 的正比例函数，则有⎩⎨⎧5m －3≠0，2－n ＝1，m ＋n ＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝1.所以当m ＝－1且n ＝1时，y ＝(5m －3)x 2－n ＋(m ＋n)是关于x 的正比例函数． 4．B 5.①③④ 6．B 7.A8．解：(1)将B(2，－4)的坐标代入y ＝m x ，得－4＝m2，解得m ＝－8.∴反比例函数的表达式为y ＝－8x .∵点A(－4，n)在双曲线y ＝－8x 上，∴n＝2. ∴A(－4，2)．把A(－4，2)，B(2，－4)的坐标分别代入y ＝kx ＋b ，得 ⎩⎨⎧－4k ＋b ＝2，2k ＋b ＝－4，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝－2. ∴一次函数的表达式为y ＝－x －2.(2)对于y ＝－x －2，令y ＝0，则－x －2＝0，∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×2×2＋12×2×4＝6.(3)x 1＝－4，x 2＝2. (4)－4<x<0或x>2.9．解：(1)因为图象与y 轴的交点位于原点下方，即点(0，12－3k)位于原点下方，所以12－3k<0，解得k>4.所以k －2>4－2>0，所以函数值随着自变量的增大而增大．(2)因为函数值随着自变量的增大而增大，所以k －2>0，解得k>2. 因为函数图象与y 轴的交点位于原点上方，所以12－3k>0，解得k<4. 所以k 的取值范围为2<k<4. 所以满足条件的正整数k 的值为3.10．解：如图，由观察可知：(1)当y ＝－2时，x ＝－3；(2)当－2<x<1且x≠0时，y<－3或y>6；(3)当－3<y<2且y≠0时，x<－2或x>3.(第10题)点拨：解决问题时，画出函数图象．由图象观察得知结果．由图象解决相关问题，一定要注意数形结合，学会看图．11．解：(1)由x ＋1＝0，解得x ＝－1， 所以点B 的坐标是(－1，0)． 由－34x ＋3＝0，解得x ＝4，所以点C 的坐标是(4，0)．(2)因为BC ＝4－(－1)＝5，点A 到x 轴的距离为157， 所以S △ABC ＝12×5×157＝7514.12．A13．解：(1)把点(1，4)的坐标代入y ＝kx ＋3中，得4＝k ＋3. ∴k＝1.∴一次函数的表达式为y ＝x ＋3.∴原不等式为x ＋3≤6. ∴x≤3.点拨：(1)把点(1，4)的坐标代入y ＝kx ＋3中，用待定系数法求出k 的值．(2)把求出的k 值代入不等式kx ＋3≤6中，求出不等式的解集．14．解：(1)设正比例函数的表达式为y ＝k 1x ，一次函数的表达式为y ＝k 2x ＋b ，把A(3，4)的坐标代入y ＝k 1x 得k 1＝43，把A(3，4)，B(0，－5)的坐标分别代入y ＝k 2x ＋b ，解得k 2＝3，b ＝－5，故正比例函数的表达式为y ＝43x ，一次函数的表达式为y ＝3x －5.(2)因为A 点横坐标为3，所以A 点到OB 的距离为3.又因为B 点纵坐标为－5，所以OB ＝5. 所以三角形AOB 的面积为12×5×3＝7.5.15．解：∵反比例函数y ＝kx 的图象经过点A(1，－k ＋4)，∴－k ＋4＝k1，即－k ＋4＝k ，∴k＝2，∴A(1，2)．∵一次函数y ＝x ＋b 的图象经过点A(1，2)， ∴2＝1＋b ，∴b＝1.∴反比例函数的表达式为y ＝2x ，一次函数的表达式为y ＝x ＋1. 16．解：(1)银卡：y ＝10x ＋150； 普通票：y ＝20x.(2)把x ＝0代入y ＝10x ＋150，得y ＝150， ∴A(0，150)．∵⎩⎨⎧y ＝20x ，y ＝10x ＋150，∴⎩⎨⎧x ＝15，y ＝300. ∴B(15，300)．把y ＝600代入y ＝10x ＋150，得x ＝45. ∴C(45，600)．(3)当0<x<15时，选择购买普通票更合算；(注：若写成0≤x＜15，也正确) 当x ＝15时，选择购买银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算； 当15<x<45时，选择购买银卡更合算；当x ＝45时，选择购买金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；17．解：(1)库存的原料为2×60＝120(吨)，根据题意可知y 关于x 的函数表达式为y ＝120x .由于生产能力提高，每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量，所以自变量的取值范围是x>2. (2)根据题意，得y≥24， 所以120x≥24. 解不等式，得x≤5，即每小时消耗的原料量应控制在大于2吨且不大于5吨的范围内．点拨：(1)由“每小时消耗的原料量×可使用的时间＝原料总量”可得y 关于x 的函数表达式．(2)要使机器不停止运转，需y ≥24，解不等式即可．18．B 19.3。
专训 全章热门考点整合应用名师点金：一元二次方程题的类型非常丰富，常见的有一元二次方程的根、一元二次方程的解法、一元二次方程根的情况、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的应用等，只要我们掌握了不同类型题的解法特点，就可以使问题变得简单，明了．本章热门考点可概括为：两个概念，一个解法，两个关系，一个应用，三种思想．两个概念概念1：一元二次方程的定义1．当m 取何值时，方程(m －1)x ＋3＝0是关于x 的一元二次方程？概念2：一元二次方程的根2．(中考·兰州)若一元二次方程ax 2－bx －2 015＝0有一根为x ＝－1，则a ＋b ＝________．3．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为－1，且a ＝4－c ＋c －4－2，求（a ＋b ）2 0162 015c 的值．一个解法——一元二次方程的解法4．用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后所得的方程为( ) A．(x＋1)2＝0 B．(x－1)2＝0C．(x＋1)2＝2 D．(x－1)2＝25．一元二次方程x2－2x－3＝0的解是( )A．x1＝－1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝－3C．x1＝－1，x2＝－3 D．x1＝1，x2＝36．选择适当的方法解下列方程：(1)(x－1)2＋2x(x－1)＝0；(2)x2－6x－6＝0；(3)6 000(1－x)2＝4 860；(4)(10＋x)(50－x)＝800；(5)(中考·山西)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.两个关系关系1：一元二次方程的根的判别法7．(中考·河北)若关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，则a 的取值范围是( )A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥18．在等腰三角形ABC中，三边长分别为a，b，c.其中a＝5，若关于x的方程x2＋(b＋2)x＋(6－b)＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．关系2：一元二次方程根与系数的关系9．已知α，β是关于x的一元二次方程2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，则m的值是( )A．3 B．1C．3或－1 D．－3或110．(中考·南充)已知关于x的一元二次方程(x－1)(x－4)＝p2，p 为实数．(1)求证：方程有两个不相等的实数根．(2)p为何值时，方程有整数解．(直接写出三个，不需说明理由)．11．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2＋4a－2＝0的两个实数根，当a为何值时，x12＋x22有最小值？最小值是多少？一个应用——一元二次方程的应用12．(中考·湖州)随着某市养老机构(养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等)建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加．(1)该市的养老床位数从底的2万个增长到底的2.88万个，求该市这两年(从底到底)拥有的养老床位数的年平均增长率；(2)若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间(1个养老床位)，双人间(2个养老床位)，三人间(3个养老床位)，因实际需要，单人间房间数在10至30之间(包括10和30)，且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t.①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？13．小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm 2，小林该怎么剪？ (2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2.”他的说法对吗？请说明理由．三种思想 思想1：整体思想14．已知x ＝a 是2x 2＋x －2＝0的一个根，求代数式2a 4＋a 3＋2a 2＋2a ＋1的值．思想2：转化思想15．解方程：()2x ＋12－3()2x ＋1＝－2.思想3：分类讨论思想16．已知关于x 的方程x 2－()2k ＋1x ＋4⎝⎛⎭⎪⎫k －12＝0.(1)求证：无论k 取什么实数，这个方程总有实数根．(2)若等腰三角形ABC 的一边长a ＝4，另两边的长b ，c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．答案专训1．解：当m 2＋1＝2且m －1≠0时，方程(m －1)2＝1，所以m ＝±1. 由m －1≠0，得m≠1，所以只能取m ＝－1.所以当m ＝－1时，方程(m －1)x ＋3＝0是关于x 的一元二次方程． ：要准确理解一元二次方程的概念，需从次数和系数两方面考虑． 2．2 015 ：把x ＝－1代入方程中得到a ＋b －2 015＝0，即a ＋b ＝2 015.3．解：∵a＝4－c ＋c －4－2，∴c－4≥0且4－c≥0，即c ＝4，则a ＝－2.又∵－1是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，∴a－b ＋c ＝0，∴b＝a ＋c ＝－2＋4＝2.∴原式＝（－2＋2）2 0162 015×4＝0.4．D 5.A6．解：(1)(x －1)2＋2x(x －1)＝0， (x －1)(x －1＋2x) ＝0， (x －1)(3x －1) ＝0， x 1＝1，x 2＝13.(2)x 2－6x －6＝0， ∵a＝1，b ＝－6，c ＝－6，∴b 2－4ac ＝(－6)2－4×1×(－6)＝60. ∴x＝6±602＝3±15，∴x 1＝3＋15，x 2＝3－15. (3)6 000(1－x)2＝4 860， (1－x)2＝ 0.81， 1－x ＝ ±0.9， x 1＝1.9，x 2＝0.1. (4)(10＋x)(50－x)＝800， x 2－40x ＋300＝ 0， x 1＝10，x 2＝30.(5)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7， 4x 2－4x ＋1 ＝3x 2＋2x －7， x 2－6x ＋8 ＝0， x 1＝2，x 2＝4. 7．B8．解：∵关于x 的方程x 2＋(b ＋2)x ＋(6－b)＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(b ＋2)2－4(6－b)＝0，∴b 1＝2，b 2＝－10(舍去)． 当a 为腰长时，△ABC 周长为5＋5＋2＝12. 当b 为腰长时，2＋2＜5，不能构成三角形．∴△ABC 的周长为12. 9．A10．(1)证明：化简方程，得x 2－5x ＋4－p 2＝0. Δ＝(－5)2－4(4－p 2)＝9＋4p 2.∵p 为实数，则p 2≥0，∴9＋4p 2＞0.即Δ＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．(2)解：当p 为0，2，－2时，方程有整数解．(答案不唯一) ：(1)先将一元二次方程化为一般形式，由题意得，一元二次方程根的判别式b 2－4ac ＝(－5)2－4×1×(4－p 2)＝9＋4p 2，易得，9＋4p 2＞0，从而得证．(2)一元二次方程的解为x ＝5±9＋4p 22，若方程有整数解，则9＋4p 2必须是完全平方数，故当p ＝0、2、－2时，9＋4p 2分别对应9、25、25，此时方程的解分别为整数．11．解：∵方程有两个实数根，∴Δ＝(2a)2－4(a 2＋4a －2)≥0，∴a≤12.又∵x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝a 2＋4a －2， ∴x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝2(a －2)2－4.∵a≤12，且2(a －2)2≥0，∴当a ＝12时，x 12＋x 22的值最小．此时x 12＋x 22＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－22－4＝12，即最小值为12.：本题中考虑Δ≥0从而确定a 的取值范围这一过程易被忽略． 12．解：(1)设该市这两年(从底到底)拥有的养老床位数的年平均增长率为x ，由题意可列出方程：2(1＋x)2＝2.88.解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(不合题意，舍去)． 答：该市这两年拥有的养老床位数的年平均增长率为20%.(2)①因为规划建造单人间的房间数为t(10≤t≤30)，则建造双人间的房间数为2t ，三人间的房间数为100－3t ，由题意得：t ＋4t ＋3(100－3t)＝200.解得t ＝25.答：t 的值是25.②设该养老中心建成后能提供养老床位y 个，由题意得：y ＝t ＋4t ＋3(100－3t)＝－4t ＋300(10≤t≤30)， ∵k＝－4＜0，∴y 随t 的增大而减小． 当t ＝10时，y 有最大值为300－4×10＝260， 当t ＝30时，y 有最小值为300－4×30＝180.答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个，最少提供养老床位180个．13．解：(1)设剪成的较短的一段为，由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝⎛⎭⎪⎫40－x 42＝58，解得.(2)小峰的说法正确．理由如下：设剪成的较短的一段为m cm ，则较长的一段就为(40－m) cm ，由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫m 42＋⎝⎛⎭⎪⎫40－m 42＝48，变形为m 2－40m ＋416＝0.∵Δ＝(－40)2－4×416＝－64＜0，∴原方程无实数解，∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2.14．解：∵x＝a 是2x 2＋x －2＝0的一个根， ∴2a 2＋a －2＝0，即2a 2＋a ＝2.∴原式＝a 2(2a 2＋a)＋2a 2＋2a ＋1＝2a 2＋2a 2＋2a ＋1＝2(2a 2＋a)＋1＝5.15．解：设2x ＋1＝y ，则原方程可变形为y 2－3y ＝－2. 解得y 1＝1，y 2＝2.当y ＝1时，有2x ＋1＝1，所以x ＝0； 当y ＝2时，有2x ＋1＝2，所以x ＝12.所以原方程的解为x 1＝0，x 2＝12.：利用换元法将复杂的一元二次方程转化为简单的一元二次方程来求解．16．(1)证明：Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×4⎝⎛⎭⎪⎫k －12＝4k 2－12k ＋9＝(2k －3)2.∵无论k 取什么实数，均有(2k －3)2≥0， ∴无论k 取什么实数，原方程总有实数根．(2)解：∵△ABC 是等腰三角形，∴有两条边长相等，若b ＝c ，∵b，c 是所给方程的两个根，∴Δ＝(2k －3)2＝0，即k ＝32.此时方程为x 2－4x ＋4＝0，∴b＝c ＝2.又∵a＝4，∴b＋c ＝a ，不符合三角形的三边关系定理， ∴不存在这种情况．若b 、c 中有一值与a 相等，不妨设b ＝a ＝4. ∵b 是所给方程的根，∴42－4(2k ＋1)＋4⎝⎛⎭⎪⎫k －12＝0.∴k＝52，此时方程为x 2－6x ＋8＝0，∴b＝4，c ＝2.∵a＝b ＝4，c ＝2，符合三角形的三边关系定理， ∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝4＋4＋2＝10.：涉及等腰三角形的问题时，在没有指明底或腰的情况下，要先分类讨论再求解，同时对所求得的解进行检验，取舍，即所得的解还必须满足三角形的三边关系定理，不满足的解应舍去．。
