微观经济学 - 1-3-2_版本1

u ( g ) i 1 piu (wi ), u ( E ( g )) u (
n

n
i 1
pi wi )

前式表示的是赌局的VNM效用，后式表示的是 Slide 25 赌局的期望值的VNM效用。
2.4.3 风险回避


当行为者更偏爱确定性地获得期望收益 时，我们说她是风险回避的；当她认为 上面两种选择无差异时她是风险中性的； 当她更偏好于以赌局而非确定性方式获 得同样期望值时，她是风险偏好的。 风险态度 风险回避： u( E ( g )) u( g )
Slide 2
内容
偏好 期望效用函数 风险厌恶

Slide 3
2.4.1 偏好

选择集

选择对象：赌局（gamble、lottery）

其结果不确定 结果集 概率分布

可描述性：

A {a1 , a2 ,..., an }

p { p1 , p2 ,..., pn }
p
i 1
Slide 29
风险态度
1 .7 .5 .2 -2 4 10
Slide 30
2.4.3 风险厌恶

风险态度的度量

风险厌恶：u(· )严格凹 风险中性： u(· )线性 风险偏爱： u(· )严格凸


Slide 31
2.4.3 风险厌恶

确定性等价(CE，Certainty Equivalent)
u ( g ) pi u (ai )
i 1 n
其中 ( p1 a1 ,..., pk an ) 是g的简化赌局
Slide 16
2.4.2 期望效用定理

冯· 诺依曼－摩根斯坦恩效用函数

如果效用函数具有期望效用性质，那么 称其为von Neumann-Morgensten效用函 数，简称VNM效用函数。
p (0,1) wp pw1 (1 p)w2
u(wp ) p u(w1 ) (1 p) u(w2 ) 严格凹函数 u(wp ) p u(w1 ) (1 p) u(w2 ) 线性函数 u(wp ) p u(w1 ) (1 p) u(w2 ) 严格凸函数
复合赌局的有效概率



例：设A={a1,a2}， 复合赌局形式： （1）以概率α获得结果a ； 1 （2）以概率（1- α ）获得彩票券，彩票券以概率β获 得结果a1，以概率（1- β ）获得结果a2。 实际上结果为a1的有效概率是多少？ a1将以两种互相排斥的方式形成：作为复合赌局的直接 结果出现或作为一张彩票券出现。因此结果为a1的有效 概率为α+(1- α) β；a2的有效概率为(1- α) (1- β)。 人们在考虑所进行的赌局时只考虑有效概率，因此对复 合赌局和由该复合赌局引致的简单赌局无差异。
u A ( g1 ) 0.5
￥4
g1
Slide 20
例：续

进一步比较：
g1 (0.2 ￥4,0.8 ￥10)
g2 (0.07 ￥(2),0.03 ￥4,0.9 ￥10)
我们有：
u( g1 ) 0.2u(￥4) 0.8u(￥10) 0.92
u( g2 ) 0.07u(￥(2)) 0.03u(￥4) 0.9u(￥ 10) 0.918
n
i
1
Slide 4
2.4.1 偏好

选择集

简单赌局：

每一个状态下都是确定的结果
g ( p1 a1 ,..., pn an )

简单赌局集
S
{( p1 a1 ,..., pn an ) pi 0, i 1 pi 1}
n
Slide 5
2.4.1 偏好

选择集

复合赌局

Slide 35
绝对风险规避系数

对正仿射变换的不变性
v(w) u(w) v u
v( w) u( w) Ra ( w, v) Ra ( w, u ) v( w) u( w)
v u
Slide 36
风险态度的比较

u1(· )比u2(· )更厌恶风险
——VNM效用函数在正仿射变换意义下是唯一的Slide 24源自2.4.3 风险回避
以概率 pi 提供 wi 的简单赌局g的期望值由下列 关系给出：
E ( g ) pi wi
i 1 n

假设行为者面临同样期望的两种选择，一种是 接受赌局g，另一种是确定性地接受g的期望值， 又设u(· )是行为者的VNM效用函数，于是我们 可以给出如下形式的选择取值：
风险态度基本由u(· )函数特征决定了。
Slide 27
风险态度
1 .6 .5 .4 -2 4
A B C
10
Slide 28
风险态度
g ( p w1 , (1 p) w2 )
u( g ) pu(w1 ) (1 p)u(w2 ) u( E( g )) u( pw1 (1 p)w2 )
g ( p1 g1 ,..., pk g k ), h ( p1 h1 ,..., pk hk )
如果 hi ~g i , i 1, 2,..., k , 那么就有
h~g

含义：如果决策者对两个赌局中任何给 出的结果无差异，并且每个赌局的结果 会以同样的概率出现，则这两个赌局无 差异。
Slide 11
Slide 17
定理2.7 VNM效用函数存在性
在 上的偏好关系，如果满足公 理1－6，那么就存在具有期望效 用性质的效用函数表示该偏好。 证明：略

Slide 18
定理2-7的说明


如果个人赌局偏好满足公理1-6，那么可给赌局A中的 每一个结果（子赌局）分配一个效用数值，使得当且 仅当一个子赌局的预期效用大于另一个子赌局时个人 才更偏好于前面那个子赌局。 定理2-7的证明还给我们提供了一个实际上如何构建具 有预期效用函数特性的效用函数的流程。要决定任何 确定性结果ai 的效用，我们只须求得个人最好结果 （使她在优劣赌局（ a1 , (1 ) an）和确定性结果 ai 之间无差异）的概率。采取相同的步骤，我们于是可 以计算由赌局A产生的任何结果的预期效用。并且，如 果该个人的偏好满足公理1-6，我们还能保证所获得的 效用函数代表了她的偏好。
Slide 19
2.4.2 期望效用定理
例： A (￥ 10， ￥4，-￥2)
￥ 10 ~（1 ￥10 ， 0 ￥-2）
u(￥ 10)＝ 1
0.4 ￥-2） u A (￥4)＝0.6 ￥4 ~ （0.6 ￥10 ，
￥-2 ~（0 ￥10 ， 1 ￥-2） u(￥-2)＝0
g1 (0.5 ￥ 10，0.5 ￥-2)

风险中性： u( E ( g )) u( g )
风险偏爱： u( E ( g )) u( g )
Slide 26

风险态度
A {10, 4, -2},
u A (￥4)＝0.6
g {0.5 10,0.5 2}
E( g ) 4
u(￥10)＝ 1 u(￥2)＝0
u( g ) 0.5 uB (￥4)＝0.5 uC (￥4)＝0.4
Slide 9
不确定性下的选择公理

公理4:单调性
, [0,1], 当且仅当
( a1 ,(1 ) an ) ( a1 ,(1 ) an )
含义：以较高概率获得最好结果的赌局将更受 偏好。
Slide 10
不确定性下的选择公理

公理5：替代性
设 g, h
Slide 12
不确定性下的选择公理

简单赌局与复合赌局
g
p1 pi
pk
k
g1 gi
g
k
pi1 pij pin
k
a1 aj an
g s ( pi1 a1 ,..., pin an )
i 1 i 1
——复合赌局g的简化赌局形式
Slide 13
不确定性下的选择公理

公理6： g 如果 ( p1 a1 ,..., pk an )

若干状态下的结果仍然是一个赌局
g ( p1 g1 ,..., pk g k )
p1
g 1 , g 2 ,..g k
pi1
g1 g
g
i
k
g
pi
pk
pij pin
a1 aj an
Slide 6
2.4.1 偏好

赌局集
偏好


on
定义在赌局空间上的消费者偏好
Slide 7
不确定性下的选择公理

公理1：完备性 1 1 2 有 g g , g 公理2：传递性

于是
g1 g 2
Slide 21
例：续

分别计算上面两个赌局的期望值：
E ( g1 ) 0.2 4 0.8 10 ￥8.80
E( g2 ) 0.07 (2) 0.03 4 0.9 10 ￥8.98
E ( g1 ) E ( g 2 )

而上面我们得出： g1 g 2 由此可以推断，该赌局参与者的偏 好体现出比较明显的风险回避特征。

Ra (w, u1 ) Ra (w, u 2 ) w
CE1 ( g ) CE 2 ( g ) g
Slide 22
VNM效用函数的不变性