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知识网络结构图重点题型总结及应用题型一 灵活解一元一次方程解一元一次方程的一般步骤是：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)把系数化为1．根据方程的特点，可灵活运用五个步骤，以简化运算．例1 解方程：1121(1)3232x x x ⎡⎤⎛⎫--=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．例2 解方程：21101136x x ++-=． 例3．在 中，用x 的代数式表示y ，则y=______________．例4．已知a 、b 、c 满足⎩⎨⎧=+-=-+02052c b a c b a ，则a ：b ：c= ．例5 关于x 的方程2x －4＝3m 和x ＋2＝m 有相同的解，则m 的值是( ) A ．10 B ．－8 C ．－10 D ．8例6 已知y ＝3是6＋14(m －y )＝2y 的解，那么关于x 的方程2m (x －1)＝(m ＋1)(3x －4)的解是多少?例7 一通讯员骑摩托车需要在规定时间，把文件送到某地，若每小时走 60千米，就早到12分钟；若每小时走50千米，则要迟到7分钟，求路程．例8 某校校长暑假将带领该校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”．乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票价的六折优惠”，若全票价为240元，(1)设学生数为x ，甲旅行社收费为y 甲，乙旅行社收费为y 乙，分别计算两家旅行社的收费(建立表达式)；(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样?例9 某商场将彩电先按原价提高40％，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是多少元?例10 某中学租用两辆汽车(设速度相同)同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人(不包括司机)．其中一辆小汽车在距离考场 15千米的地方出现故障，此时离截止进考场的时间还有42分，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60千米／时，人步行的速度是 5千米／时(上、下车时间忽略不计)．(1)若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时间前到达考场；(2)假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时间前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．例11 (1)七年级(1)班43人参加运土劳动，共有30根扁担，要安排多少人抬土，多少人挑土，可使扁担和人数相配不多不少?若设有x 人挑土，填写下表：挑土 抬土 人数／人扁担／根即可知两个等量关系：挑土人数＋抬土人数＝43人，挑土用扁担数＋抬土用扁担数＝30根．根据等量关系，列方程 ，解得x ＝ ，因此挑土人数为 ，抬土人数为 ．你能用其他方法计算这道题吗?(2)如果参加劳动的人数不变，扁担数为20根可以吗?为什么?例12 下面是甲商场电脑产品的进货单，其中进价一栏被墨水污染，读了进货单后，请你求出这台电脑的进价．甲商场商品进货单电脑供货单位乙单位 品名 P4200 商品代码 DN —63DT 商品所属电脑专柜标价5 850元032=-+y x折扣 八折 利润210元例1 已知方程3x 2－9x ＋m ＝0的一个解是1，则m 的值为 ．例2 如果4x 2＋3x －5＝kx 2－20 x ＋20 k 是关于x 的一元一次方程，那么k = ，方程的解是 ．例3 某中学甲、乙两班学生在开学时共有90人，如果从甲班转入乙班4人，结果甲班的学生人数是乙班的80％，问开学时两班各有学生多少人?考点1 一元一次方程的解考点突破：在中考中对一元一次方程的解的考查，一般以填空题的形式出现．已知一元一次方程的解，求未知字母的值．解决此类问题的思路是：将解代入一元一次方程，转化成关于未知字母的方程，从而求解．例1 (2010·江苏宿迁中考)已知5是关于x 的方程3x －2a ＝7的解，则a 的值为 ． 例2 (20l0·湖南怀化中考)已知关于x 的方程3x －2m ＝4的解是x ＝m ，则m 的值是 ． 例3 (2010·福建泉州中考)方程2x ＋8＝0的解是 ． 一、选择题1. （2011山东日照，4，3分）某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有（ ） A ．54盏 B ．55盏 C ．56盏 D ．57盏2. （2011山西，10，2分）“五一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x 元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A ．()130%80%2080x +⨯=B ． 30%80%2080x ⋅⋅=C ． 208030%80%x ⨯⨯=D ． 30%208080%x ⋅=⨯3. （2011•柳州）九（3）班的50名同学进行物理、化学两种实验测试，经最后统计知：物理实验做对的有40人，化学实验做对的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有（ ） A 、17人 B 、21人 C 、25人 D 、37人4. （2011山东滨州，3，3分）某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是( )A.()22891256x -= B.()22561289x -=C.289(1-2x)=256D.256(1-2x)=289 5. （2011•山西10，2分）“五一”节期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x 元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A 、x （1+30%）×80%=2080 B 、x •30%•80%=2080 C 、2080×30%×80%=x D 、x •30%=2080×80%6.（2011•铜仁地区4,3分）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km ，可早到10分钟，每小时骑12km 就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km ？设他家到学校的路程是xkm ，则据题意列出的方程是（ ） A 、错误！未找到引用源。
中考数学——⼀元⼀次⽅程和⼆元⼀次⽅程组⼀元⼀次⽅程和⼆元⼀次⽅程组第次课【知识要点】1．等式及其性质⑴等式：⽤等号“=”来表⽰关系的式⼦叫等式. ⑵性质：①如果b a =，那么=±c a ；②如果b a =，那么=ac ；如果b a =()0≠c ，那么=ca .2. ⽅程、⼀元⼀次⽅程的概念⑴⽅程：含有未知数的叫做⽅程；使⽅程左右两边值相等的，叫做⽅程的解；求⽅程解的叫做解⽅程. ⽅程的解与解⽅程不同.⑵⼀元⼀次⽅程：在整式⽅程中，只含有个未知数，并且未知数的次数是，系数不等于0的⽅程叫做⼀元⼀次⽅程；它的⼀般形式为 ()0≠a .3. 解⼀元⼀次⽅程的步骤：①去；②去；③移；④合并；⑤系数化为1. 4．⼆元⼀次⽅程：含有未知数（元）并且未知数的次数是的整式⽅程.5. ⼆元⼀次⽅程组：由2个或2个以上的组成的⽅程组叫⼆元⼀次⽅程组. 6．⼆元⼀次⽅程的解：适合⼀个⼆元⼀次⽅程的未知数的值叫做这个⼆元⼀次⽅程的⼀个解，⼀个⼆元⼀次⽅程有个解.7．⼆元⼀次⽅程组的解：使⼆元⼀次⽅程组的，叫做⼆元⼀次⽅程组的解. 8. 解⼆元⼀次⽅程的⽅法步骤：⼆元⼀次⽅程组⽅程.消元是解⼆元⼀次⽅程组的基本思路，⽅法有消元和消元法两种.9.列⽅程解应⽤题常⽤的相等关系消元转化2.列⽅程解应⽤题的步骤:（1）审题：仔细阅读题，弄清题意；（2）设未知数：直接设或间接设未知数；（3）列⽅程：把所设未知数当作已知数，在题⽬中寻找等量关系，列⽅程；（4）解⽅程；（5）检验：所求的解是否是所列⽅程的解，是否符合题意；（6）答：注意带单位．【典型例题】例1 解⽅程(1)12733)1(2-=-++x x x （2）21101136x x ++-=(3)2111x x x x++=+ (4) 0322=--xx ．例2解下列⽅程组：（1）{4519323a b a b +=--= （2）{2207441x y x y ++=-=-例3若⽅程组{31x y x y +=-=与⽅程组{84m x ny m x ny +=-=的解相同，求m 、n 的值.例5 （1）. 某商品标价为165元，若降价以九折出售（即优惠10％），仍可获利10％（相对于进货价），则该商品的进货价是(2). 甲、⼄⼆⼈投资合办⼀个企业，并协议按照投资额的⽐例分配所得利润，已知甲与⼄投资额的⽐例为3：4，⾸年的利润为38500元，则甲、⼄⼆⼈可获得利润分别为元和元(3). 某公司1996年出⼝创收135万美元，1997年、1998年每年都⽐上⼀年增加a ％，那么，1998年这个公司出⼝创汇万美元例6. A 、B 两地相距64千⽶，甲骑车⽐⼄骑车每⼩时少⾏4千⽶，?如果甲⼄⼆⼈分别从A 、B 两地相向⽽⾏，甲⽐⼄先⾏40分钟，两⼈相遇时所⾏路程正好相等，?求甲⼄⼆⼈的骑车速度．例7.要建⼀个⾯积为150m 2的长⽅形养鸡场，为了节约材料，鸡场的⼀边靠着原有的⼀条墙，墙长为am ，另三边⽤⽵篱笆围成，如图，如果篱笆的长为35m ，（1）求鸡场的长与宽各为多少？（2）题中墙的长度a 对题⽬的解起着怎样的作⽤？例8.某⼯⼚第⼀季度⽣产甲、⼄两种机器共480台．改进⽣产技术后，计划第⼆季度⽣产这两种机器共554台，其中甲种机器产量要⽐第⼀季度增产10 % ，⼄种机器产量要⽐第⼀季度增产20 %．该⼚第⼀季度⽣产甲、⼄两种机器各多少台？【经典练习】⼀、选择1、(2009年四川省内江市)若关于x ，y 的⽅程组=+=-n my x m y x 2的解是?==12y x ，则n m -为（）A ．1B ．3C ．5D ．22、（2009年淄博市）家电下乡是我国应对当前国际⾦融危机，惠农强农，带动⼯业⽣产，促进消费，拉动内需的⼀项重要举措．国家规定，农民购买家电下乡产品将得到销售价格13%的补贴资⾦．今年5⽉1⽇，甲商场向农民销售某种家电下乡⼿机20部．已知从甲商场售出的这20部⼿机国家共发放了2340元的补贴，若设该⼿机的销售价格为x 元，以下⽅程正确的是（）A ．2013%2340x ?= B ．20234013%x =? C ．20(113%)2340x -=D ．13%2340x ?=3、（2009年齐齐哈尔市）⼀宾馆有⼆⼈间、三⼈间、四⼈间三种客房供游客租住，某旅⾏团20⼈准备同时租⽤这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房⽅案有（）A ．4种B ．3种C ．2种D ．1种4、（2009年吉林省）A 种饮料B 种饮料单价少1元，⼩峰买了2瓶A 种饮料和3瓶B 种饮料，⼀共花了13元，如果设B 种饮料单价为x 元/瓶，那么下⾯所列⽅程正确的是（） A ．2(1)313x x -+= B ．2(1)313x x ++= C ．23(1)13x x ++=D ．23(1)13x x +-=ABDEF5、（2009年深圳市）班长去⽂具店买毕业留⾔卡50张，每张标价2元，店⽼板说可以按标价九折优惠，则班长应付（） A ．45元 B ．90元 C ．10元 D ．100元6、（2009年⽇照）若关于x ，y 的⼆元⼀次⽅程组??=-=+ky x ,k y x 95的解也是⼆元⼀次⽅程632=+y x的解，则k 的值为 A.43-B.43 C.34 D.34-7、（2009年长沙）已知三⾓形的两边长分别为3cm 和8cm ，则此三⾓形的第三边的长可能是（） A ．4cm B ．5cm C．6cm D ．13cm8、（2009年台湾）已知有10包相同数量的饼⼲，若将其中1包饼⼲平分给23名学⽣，最少剩3⽚。
中考复习讲义（四）一元一次方程、二元一次方程组班级姓名一、考点审视的形式为目标，根据等式的性质和移项1、一元一次方程的解法：解题时，以x a法则对原方程进行变形；2、二元一次方程组的解法：解题时，首先要分析未知数的系数、常数项，选择恰当的方法；3、列方程（组）解应用题：首先要认真分析题意，努力寻找相等关系，设几个未知数，就要找出几个相等关系，然后列出相应的方程。
注意：如果有单位，单位必须要统一，在设未知数及写答案时，不要漏了单位。
对于解出的解，要检验是否符合实际情况。
二、重点细说1、等式：2、等式的基本性质：等式的基本性质是解方程的根据，根据等式的基本性质，可以从已知的等式出发得出新的等式。
在此过程中应注意：①等式两边都要参与运算，而且是同一种运算；②等式两边加上（或减去）或者乘以（或除以）的数必须是同一个数；③由于0不能作除数或分母，因此等式两边都除以一个数时，除数不能为0。
3、方程、一元一次方程的概念：4、一元一次方程解法的一般步骤及注意事项：5、二元一次方程（组）的相关概念：6、二元一次方程组的解法：（1）代入法：①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含x（或y）的代数式表示y（或x），即变形成y ax b=+）的形式；=+（或x ay b②将y ax b=+）代入另一个方程中，消去y（或x），得到一个关于=+（或x ay bx（或y）的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；④把x（或y）的值代入y ax b=+），求出y（或x）的值，从而得=+（或x ay b到方程组的解；⑤检验。
（2）加减法：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程；④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解；⑤检验。
二元一次方程（组）补习、培优、竞赛归类讲解及练习答案知识点：1、二元一次方程：（1）方程的两边都是整式，（2）含有两个未知数，（3）未知数的最高次数是一次。
2、二元一次方程的一个解：使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值叫二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组：含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的方程组。
4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解。
（使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值）无论是二元一次方程还是二元一次方程组的解都应该写成 的形式。
⎩⎨⎧==y x 5、二元一次方程组的解法：基本思路是消元。
（1）代入消元法：将一个方程变形，用一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程，把二元消去一元，再求解一元一次方程。
主要步骤：变形——用一个未知数的代数式表示另一个未知数。
代入——消去一个元。
求解——分别求出两个未知数的值。
写解——写出方程组的解。
（2）加减消元法：适用于相同未知数的系数有相等或互为相反数的特点的方程组，首先观察出两个未知数的系数各自的特点，判断如何运用加减消去一个未知数；含分母、小数、括号等的方程组都应先化为最简形式后再用这两种方法去解。
变形——同一个未知数的系数相同或互为相反数。
加减——消去一个元。
求解——分别求出两个未知数的值。
写解——写出方程组的解。
（3）列方程解应用题的一般步骤是：关键是找出题目中的两个相等关系，列出方程组。
列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：①审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数。
②找：找出能够表示题意两个相等关系。
③列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组。
④解：解这个方程组，求出两个未知数的值。
⑤ 答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案。
6、二元一次方程组的解的情况有以下三种：⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a ①当时，方程组有无数多解。
第6课时 一元一次方程及二元一次方程〔组〕【知识梳理】1．方程、一元一次方程、二元一次方程〔组〕和方程〔组〕的解、解方程〔组〕的概念及解法，利用方程解决生活中的实际问题．2．等式的根本性质及用等式的性质解方程：等式的根本性质是解方程的根据，在使用时要注意使性质成立的条件 ．3．灵敏运用代入法、加减法解二元一次方程组．4．用方程解决实际问题：关键是找到“等量关系〞，在寻找等量关系时有时可以借助图表等，在得到方程的解后，要检验它是否符合实际意义．【例题精讲】例1． 〔1〕解方程.x x +--=21152156〔2〕解二元一次方程组 ⎩⎨⎧=+=+27271523y x y x例2．x =-2是关于x 的方程()x m x m -=-284的解，求m 的值．例3．以下方程组中，是二元一次方程组的是〔 〕A. B. C. D. 例4．在 中，用x 的代数式表示y ，那么y=______________．例5．a 、b 、c 满足⎩⎨⎧=+-=-+02052c b a c b a ，那么a ：b ：c= ．⎪⎩⎪⎨⎧=+=+65115y x y x ⎩⎨⎧-=+=+2102y x y x ⎩⎨⎧==+158xy y x ⎩⎨⎧=+=31y x x 032=-+y x例6 ．某电厂规定该厂家属区的每户居民假如一个月的用电量不超过A 度，那么这个月这户只需交10 元用电费，假如超过 A 度，那么这Array个月除了仍要交10 元用电费外，超过局部还要按每度0.5 元交费．①该厂某户居民 2 月份用电90 度，超过了规定的 A 度，那么超过局部应该交电费多少元〔用A 表示〕？．②右表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况：根据右表数据，求电厂规定A度为．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
厚积薄发，一鸣惊人。
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第4讲 一元一次方程和二元一次方程组考纲要求备考指津1.了解等式、方程、一元一次方程和二元一次方程(组)的概念，掌握等式的基本性质． 2．掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法． 3．会列方程(组)解决实际问题.中考中多以选择题、填空题、解方程(组)的形式考查方程(组)的解法，结合社会关注的热点，考查列方程(组)解决实际问题的能力．同时还注重对方程思想、转化思想以及分析问题和解决问题能力的考查．考点一 等式及方程的有关概念 1．等式及其性质(1)用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．(2)等式的性质：等式两边加(或减)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能是0)，所得结果仍是等式．2．方程的有关概念(1)含有未知数的等式叫做方程．(2)方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解，也叫它的根．(3)解方程：求方程解的过程叫做解方程． 考点二 一元一次方程1．只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不等于零的整式方程叫做一元一次方程，其标准形式为ax ＋b ＝0(a ≠0)，其解为x ＝b a-. 2．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)未知数的系数化为1.考点三 二元一次方程组的有关概念 1．二元一次方程(1)概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做二元一次方程．(2)一般形式：ax ＋by ＝c (a ≠0，b ≠0)．(3)使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． (4)解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解． 2．二元一次方程组(1)概念：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．(2)一般形式：⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2(a 1，a 2，b 1，b 2均不为零)．(3)二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 考点四 二元一次方程组的解法解二元一次方程组的基本思想是消元，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有代入消元法和加减消元法．1．用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤为：(1)从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x (或y )的代数式表示出y (或x )，即变成y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )的形式；(2)将y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )代入另一个方程，消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求出x (或y )的值；(4)把x (或y )的值代入y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )中，求y (或x )的值．2．用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤为：(1)在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可以直接相减(或相加)，消去一个未知数；(2)在二元一次方程组中，若不存在(1)中的情况，可选一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把方程两边分别相减(或相加)，消去一个未知数；(3)解这个一元一次方程；(4)将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程内，求出另一个未知数．考点五 列方程(组)解应用题步骤：(1)设未知数；(2)列出方程(组)；(3)解方程(组)；(4)检验求得的未知数的值是否符合实际意义；(5)写出答案(包括单位名称)．1．(a －1)x |a |＋5＝0是一元一次方程，那么a ＝__________，x ＝__________.2．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1是方程2x －ay ＝3的一个解，那么a 的值是( )．A ．1B ．3C ．－3D ．－13．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，2x －y ＝5的解是( )．A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝2B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝3C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－14．若有方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4，2x ＋y ＝6，则x －y 的值是( )．A ．2B ．－2C ．1D ．－15．20XX 年5月长江中下游发生严重干旱，受气候等因素的影响，今年某些农产品的价格有些上涨，张大爷在承包的10亩地里所种植的甲、乙两种蔬菜共获利13 800元，其中甲种蔬菜每亩获利1 200元，乙种蔬菜每亩获利1 500元，则甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？一、一元一次方程的解法【例1】 解方程：2x ＋13－10x ＋16＝1.解：去分母，得2(2x ＋1)－(10x ＋1)＝6， 去括号，得4x ＋2－10x －1＝6， 移项，得4x －10x ＝6－2＋1， 合并同类项，得－6x ＝5，系数化为1，得x ＝－56.解一元一次方程时，首先要清楚基本方法与一般步骤，明确每步的理论依据，根据其特点选用解题步骤．二、二元一次方程组的有关概念【例2】 已知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝8，nx －my ＝1的解，则2m －n 的算术平方根为( )．A ．4B ．2C ． 2D ．±2解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝8，nx －my ＝1的解．∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝8，2n －m ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2.∴2m －n ＝2×3－2＝4＝2.答案：B方程组的解适合于方程组的每一个方程，把它代入原方程组，就会得到一个新的方程组，解新方程组即可得出待定字母系数的值．三、二元一次方程组的解法【例3】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＝5，5x ＋2y ＝23.①②解：方法一：用加减消元法解方程组． ①×2得6x －2y ＝10，③ ②＋③得11x ＝33，∴x ＝3.把x ＝3代入①得9－y ＝5，∴y ＝4.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝4.方法二：用代入消元法解方程组．由①得y ＝3x －5，③把③代入②得5x ＋2(3x －5)＝23， 所以11x ＝33，则x ＝3. 把x ＝3代入③得y ＝4.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4.解二元一次方程组的基本思路是通过消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程．最常见的消元方法有代入消元法和加减消元法，具体应用时，要结合方程组的特点，灵活选用消元方法．如果出现未知数的系数为1或-1，宜用代入消元法解；如果出现同一未知数的系数成倍数关系或系数较为复杂，宜用加减消元法解．四、列方程(组)解决实际问题 【例4】 某工厂承接了生产第16届亚运会会标和亚运会吉祥物“乐羊羊”的生产任务，需要用到甲、乙两种原料．已知生产一套亚运会标志需要甲原料和乙原料分别为0.4 kg 和0.3 kg ，生产一套亚运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为0.5 kg 和1 kg.该厂购进甲、乙原料的量分别为2 300 kg 和3 600 kg ，如果所进原料全部用完，求该厂能生产亚运会标志和亚运会吉祥物各多少套？解：设生产亚运会标志x 套，生产亚运会吉祥物y 套．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0.4x ＋0.5y ＝2 300，0.3x ＋y ＝3 600.①②①×2－②×1得0.5x ＝1 000， ∴x ＝2 000.把x ＝2 000代入②得600＋y ＝3 600， ∴y ＝3 000.答：该厂能生产亚运会标志2 000套，生产亚运会吉祥物3 000套．对于含多个未知数的实际问题，利用列方程组来解，一般要比列一元一次方程解容易．列二元一次方程组，首先要对具体的问题进行具体分析，从中抽取等量关系，再根据相应的等量关系列出方程组，注意所求的解要符合实际问题．1．(2012甘肃兰州)兰州市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x 米，则可列方程为( )．A ．x (x －10)＝200B ．2x ＋2(x －10)＝200C ．2x ＋2(x ＋10)＝200D ．x (x ＋10)＝2002．(2011湖南邵阳)请写出一个解为x ＝2的一元一次方程：__________.3．(2011广东湛江)一件衬衣标价是132元，若以9折降价出售，仍可获利10%，则这件衬衣的进价是________元．4．(2011安徽芜湖)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝7，x －3y ＝8的解是__________．1．已知x ＝2是关于x 的方程x －2a ＝0的解，则a 的值是( )．A ．4B ．2C ．1D ．122．方程2x ＋3y ＝11和下列方程构成的方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1的是( )．A ．3x ＋4y ＝20B ．4x －7y ＝3C ．2x －7y ＝1D ．5x －4y ＝63．巴广高速公路正式通车，从巴中到广元全长约126 km.一辆小汽车、一辆货车同时从巴中、广元两地相向开出，经过45分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行6 km ，设小汽车和货车的速度分别为x km/h ，y km/h ，则下列方程组正确的是( )．A ．⎩⎪⎨⎪⎧45(x ＋y )＝12645(x －y )＝6B ．⎩⎪⎨⎪⎧34(x ＋y )＝126x －y ＝6C ．⎩⎪⎨⎪⎧34(x ＋y )＝12645(x －y )＝6D ．⎩⎪⎨⎪⎧34(x ＋y )＝12634(x －y )＝64．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5k ，x －y ＝9k 的解也是二元一次方程2x ＋3y ＝6的解，则k 的值为( )．A ．－34B ．34C ．43D ．－435．一家商店将某件商品按成本价提高50%后，再打8折出售，售价为480元，则售出这件商品可获利润________元．6．方程|4x －8|＋x －y －m ＝0，当y ＞0时，m 的取值范围是__________．7．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝7，ax －by ＝1的解，则a －b 的值为__________．8．剃须刀由刀片和刀架组成．某时期，甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀(刀片不可更换)和新式剃须刀(刀片可更换)，有关销售策略与售价等信息如下表所示：某段时间内，甲厂家销售了8 400把剃须刀，乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的50倍，乙厂家获得的利润是甲的两倍，问这段时间内，乙销售了多少把刀架？多少片刀片？老式剃须刀新式剃须刀 刀架 刀片售价 2.5(元/把) 1(元/把) 0.55(元/片) 成本 2(元/把) 5(元/把) 0.05(元/片)91支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本．(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．参考答案基础自主导学自主测试1．－1 522.A3.C4.D5．解：设甲、乙两种蔬菜种植面积分别为x ，y 亩，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，1 200x ＋1 500y ＝13 800，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6.答：甲、乙两种蔬菜各种植了4亩、6亩．知能优化训练中考回顾1．D 2.x ＝2，x －2＝0,2x －3＝1……3．108 4.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－1模拟预测1．C 2.C 3.D 4.B 5．80 6.m ＜2 7.－18．解：设这段时间内乙厂家销售了x 把刀架，则销售刀片x 片．依题意，得(0.55－0.05)·50x ＋(1－5)x ＝2×(2.5－2)×8 400，解得x ＝400. 销售出的刀片数＝50×400＝20 000(片)．答：这段时间乙厂家销售出400把刀架，20 000片刀片． 9．解：(1)设每支钢笔x 元，每本笔记本y 元．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝18，2x ＋5y ＝31，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.答：每支钢笔3元，每本笔记本5元．(2)设买a 支钢笔，则买笔记本(48－ a )本．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋5(48－a )≤200，48－a ≥a .解得20≤a ≤24.所以，一共有5种方案，即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20,28；21,27；22,26；23,25；24,24.。
专题：一元一次方程与二元一次方程组中考要求：1．根据具体问题中的数量关系，经历形成方程模型、解方程和运用方程解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．2．了解一元一次方程及其相关概念，会解一元一次方程（数字系数）3．能以一元一次方程为工具解决一些简单的实际问题，包括列方程、求解方程和解释结果的实际意义及合理性，提高分析问题、解决问题的能力．4．在经历建立方程模型解决实际问题的过程中，体会数学的应用价值．5．经历从实际问题中抽象出二元一次方程组的过程，体会方程的模型思想，发展灵活运用有关知识解决实际问题的能力，培养良好的数学应用意识．6．了解二元一次方程（组）的有关概念，会解简单的二元一次方程组（数字系数人能根据具体问题中的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题，并能检验解的合理性．7．了解二元一次方程组的图象解法，初步体会方程与函数的关系．8．了解解二元一次方程组的“消元”思想．从而初步理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想．知识点讲解：1．方程：含有未知数的等式叫方程．2．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的指数是1（次）系数不为0，这样的方程叫一元一次方程．一般形式：ax＋b=0（a≠0）3．解一元一次方程的一般步骤及注意事项：4．等式的基本性质及用等式的性质解方程：性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个代数式，所得结果仍是等式．若a=b，则a±m ＝b±m性质2：等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数）所得结果仍是等式；若a=b，则am=bm 等式其他性质：若a=b，b=c,则a=c（传递性）．等式的基本性质是解方程的依据，在使用时要注意式性质成立的条件．5．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．6．二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组． 7．二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解． 8．二元一次方程组的解法．（1）代人消元法：解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元”，主要步骤是，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法． （2）减消无法：通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法． 9．整体思想解方程组．（1）整体代入．如解方程组3(1) 5 5(1)3(5) x y y x -=+⎧⎨-=+⎩①②，方程①的左边可化为3(x+5)－18=y+5③，把②中的 3（x+5）看作一个整体代入③中，可简化计算过程，求得y ．然后求出方程组的解． （2）整体加减，如1+3y 19 313x+y 11 3x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①②因为方程①和②的未知数x 、y 的系数正好对调，所以可采用两个方程二元一次方程与一次函数的区别和联系．区别：（1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量；（2）二元一次方程用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量之间的关系，又可以用列表或图象来表示两个变量之间的关系． 联系：（1）在直角坐标系中分别描出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上；（2）在一次函数的图象上任取一点，它的坐标都适合相应的二元一次方程．10．两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系：在同一直 坐标系中，两个一次函数图象的交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点， 11．用作图象的方法解二元一次方程组：（1）将相应的二元一次方程组改写成一次函数的表达式；（2）在同一坐标系内作出这两个一次函数的图象；（3）观察图象的交点坐标，即得二元一次方程组的解．整体相加减求解．利用①+②，得x+y=9③，利用②－①得x －y=3④，可使③、④组成简单的方程组求得x ，y ． 经典例题剖析： 1．若代数式2354x +322nm3x mn+-与是同类项，则x=__________.2．已知2x+5y ＝3，用含y 的代数式表示x ，则x=___________；当y=1时，x=________ 3．当k=_______时，方程5x －k=3x ＋8的解是－2．4．有一个数，十位数字是a ，个位数字是b ，十分位数字是c ，那么这个数可表示为_______. 5．三个连续奇数的和是15，那么其中最大的奇数为_______. 6．若2x+y+4+(x-2)=0则3x+2y ＝_______7．方程x+y=22x+2y=3⎧⎨⎩没有解，由此一次函数y=2－x 与y= 32 －x 的图象必定（ ）A ．重合B ．平行C ．相交D ．无法判断8．已知点(2，－1)是方程y=kx ＋1的一个解，则直线y=kx+l 的图象不经过的象限是_______9．若b a b +4与b a +3是同类二次根式，求a 、b 的值.10．解方程组：⑴2x+5y=53x+2y=5 3x-5y=102x+5y=7⎧⎧⎨⎨⎩⎩⑵11．若x=-2y=1⎧⎨⎩ 是方程组ax+by=1bx+ay=7⎧⎨⎩的解，则（a+b ）（a －b ）的值为_______.12．学生问老师多少岁，老师说我像你这么大时你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了，请你算算老师、学生各多少岁？13．今年我省荔枝又喜获丰收. 目前市场价格稳定，荔枝种植户普遍获利. 据估计，今年全省荔枝总产量为50 000吨，销售收入为61 000万元. 已知“妃子笑”品种售价为1.5万元/吨，其它品种平均售价为0.8万元/吨，求“妃子笑”和其它品种的荔枝产量各多少吨. 如果设“妃子笑”荔枝产量为x 吨，其它品种荔枝产量为y 吨，那么可列出方程组为 .解：x+y=500001.5x+0.8y=61000⎧⎨⎩14．甲、乙两件服装的成本共n0元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50％利润定价，乙服装接40％的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？答：甲、乙两件服装的成本分别为300元，200元． 15．已知x=－3是方程3241-=x mx 的一个根，(1)求m 的值；⑵求代数式20012)1113(+-m m 的值．16．一个由父亲、母亲、叔叔和x 个孩子组成的家庭去某地旅游．甲旅行社的收费标准是：如果买4张全票，则其余人按半价优惠；乙旅行社的收费标准是：家庭旅游算团体票，按原价的43优惠．这两家旅行社的原价均为100元．试比较随着孩子人数的变化，哪家旅行社的收费额更优惠？解：甲旅行社的收费总额为：y 1=400+50（x －1）= 50x ＋350，乙旅行社的收费总额为：y 2=75（x+3）－75x+225． (1)当孩子数x<5时，乙旅行社的收费优惠；（2）当孩子数x=5时，两旅行社的收费相同；（3）当孩子数x ＞5时，甲旅行社的收费优惠． 同步练习： 一、选择题1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A ．3x －2y=4z B ．6xy+9=0 C ．1x+4y=6 D ．4x=24y -2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A ．228423119 (237)54624x y x y a b x B C D x y b c y xx y +=+=-=⎧⎧=⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩ 3．二元一次方程5a －11b=21 （ ）A ．有且只有一解 B ．有无数解 C ．无解 D ．有且只有两解 4．方程y=1－x 与3x+2y=5的公共解是（ ） A ．3333 (2)422x x x x B C D y y y y ==-==-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩ 5．若│x －2│+（3y+2）2=0，则y x 321+的值是（ ）A ．－1B ．－2C ．－3D ．326、方程⎩⎨⎧=+=+10by x y ax 的解是 ⎩⎨⎧-==11y x ，则a ，b 为（ ）A 、⎩⎨⎧==10b aB 、⎩⎨⎧==01b aC 、⎩⎨⎧==11b a D 、⎩⎨⎧==00b a7、|3a ＋b ＋5|＋|2a －2b －2|＝0，则2a 2－3ab 的值是（ ）A 、14B 、2C 、－2D 、－48、解方程组⎩⎨⎧=-=+534734y x y x 时，较为简单的方法是（ ）A 、代入法B 、加减法C 、试值法D 、无法确定 二、填空题 1．已知方程2x+3y －4=0，用含x 的代数式表示y 为：y=_______；用含y 的代数式表示x 为：x=________． 2．在二元一次方程－12x+3y=2中，当x=4时，y=_______；当y=－1时，x=______．3．已知2,3x y =-⎧⎨=⎩是方程x －ky=1的解，那么k=_______．4、方程0251x =．的解是 ．5、关于x 的方程x kx 21=-的解为正实数，则k 的取值范围是6、方程320x +=的解是______________．7、已知关于x 的方程432x m -=的解是x m =，则m 的值是______________。
8．已知│x －1│+（2y+1）2=0，且2x －ky=4，则k=_____． 9．二元一次方程x+y=5的正整数解有______________． 10．以57x y =⎧⎨=⎩为解的一个二元一次方程是_________．11．已知2316x m x y y x ny =-=⎧⎧⎨⎨=--=⎩⎩是方程组的解，则m=_______，n=______．三．用代入法解下列方程组： (1)⎩⎨⎧=+-=18050y x y x (2)⎩⎨⎧=-=+173x y y x (3)233511x y x y +=⎧⎨-=⎩(4)⎩⎨⎧=+=+7222y x y x (5) (6)四．用加减法解下列方程组： (1) ⎩⎨⎧=-=+534734y x y x（2）3216,31;m n m n +=⎧⎨-=⎩（3）234,443;x y x y +=⎧⎨-=⎩（4）523,611;x y x y -=⎧⎨+=⎩ (5) 32522(32)28x y x x y x +=+⎧⎨+=+⎩ （6）357,234232.35x y xy ++⎧+=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩⎩⎨⎧=-=2273y x x y ⎩⎨⎧=+-=65732y x y x(7) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+244263n m nm (8) ⎩⎨⎧=+=-1123332y x y x (9) ⎩⎨⎧=-=+6341953y x y x。
