勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别

黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别
黎曼积分和勒贝格积分都是用来求解函数在某一区间上的定积分，但是它们的定义和性质有着很大的区别。

黎曼积分是一种传统的积分方法，它把定积分的计算问题转化
为一个求和问题，即将区间分成若干小段，然后对每一小段的函数
值乘以对应小段的长度求和来逼近定积分的值。

黎曼积分只适用于
满足黎曼可积条件的函数，也就是说，被积函数必须满足有界且在
有限区间上几乎处处连续。

勒贝格积分则是一种广义积分方法，它是将区间上的函数分解
成上下两个函数，然后利用这两个函数的极限逼近来计算定积分的值。

因为勒贝格积分的定义更加宽松，所以相比较于黎曼积分，它
能够处理诸如反常积分这样的更加复杂的积分问题。

此外，黎曼积分和勒贝格积分的性质也有所不同。

例如，黎曼
积分在加积分区间时是可交换的，而勒贝格积分则不具有这种性质。

此外，勒贝格积分对于不满足黎曼可积条件的函数，也有一定的处
理能力，而黎曼积分则无法计算这些函数的积分。

综上所述，黎曼积分和勒贝格积分都是求解定积分问题的方法，但是它们的定义和性质有很大的不同。

黎曼积分只适用于黎曼可积
的函数，而勒贝格积分则更加广泛适用于各种类型的函数。

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系数学系1302班第五组07 樊萌12 韩鸿林19 兰星21 李鸿燕45 王堃51 武相伶54 许小亭57 杨莉黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系黎曼积分和勒贝格积分定义的比较1、黎曼积分定义：设()x f 在[]b a ,上有界,对[]b a ,做分割,{}b x x x a T n =<<<==Λ10,其中令(){}i i x x x f M ∆∈=,sup ,(){}i i x x x f m ∆∈=,inf ,i i i x x x -=∆+1,()11-=-=∑i i ni i x x m s()11-=-=∑i i ni i x x M S ,若有dx s dx S bab a⎰⎰=则称()x f 在[]b a ,上黎曼可积.2、勒贝格积分定义：,0>∀δ,作M y y y m n =<<=Λ10,,其中δ<--1i i y y ,M ,m 分别为()x f 在E 上的上界和下界,令(){}i i i y x f y x E ≤≤=-1,,()n i Λ,2,1=若i ni i mE y ∑=-→110lim δ存在,则()x f 勒贝格可积.3、一般的可测函数的积分定义为:设在可测集E 上可测,若记()(){}0,m ax x f x f=+，()(){}0,m in x f x f-=-,则有()()()x f x fx f -+-=,若()dx x f E+⎰,()dx x fE_⎰不同时为∞,则()x f 在E 上的积分确定且()()()dx x f dx x f dx x f EEE-+⎰⎰⎰-=.4、 简单函数的勒贝格积分定义:设()x f 是可测集E 上的非负简单函数,于是有对E 的划分i E ,n i Λ2,1=,()x f 在i E 上的取值为i c ,则()i E ni i c x f χ∑==1,定义()x f 的勒贝格积分为()ini iEmE c dm x f ∑⎰==1,若()∞<⎰dm x f E,则称()x f 在E 上勒贝格可积.5、非负可测函数的勒贝格积分定义:取E 上的非负简单函数列()x f n ,对任意的E x ∈,()x f n 都收敛于()x f ,则()x f 在E 上勒贝格可积其积分为()()dm x f dm x f EEn n ⎰⎰=∞→lim .对一般的函数由于()()()x f x fx f -+-=,则()()()dm x f dm x f dm x f EEE⎰⎰⎰=--+.若左端的两个积分值都有限时,称()x f 在E 上勒贝格可积.勒贝格积分是对黎曼积分的推广,所以黎曼可积的函数一定勒贝格可积,但勒贝格可积的函数不一定黎曼可积.黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较黎曼可积的条件㈠黎曼可积的条件必要条件定义在[]b a ,上的()x f 黎曼可积的必要条件是()x f 在[]b a ,上有界.注 任何黎曼可积的函数必有界,但有界函数不一定黎曼可积. ㈡黎曼可积的充分必要条件1、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为()x f 在[]b a ,上的黎曼上积分等于黎曼下积分.即设()x f 在[]b a ,上有界,{}b x x x a T n =<<<==Λ10为对[]b a ,的任一分割,其中令(){}i i x x x f M ∆∈=,sup ,(){}i i x x x f m ∆∈=,inf ,i i i x x x -=∆+1,()11-=-=∑i i ni i x x m s ,()11-=-=∑i i ni i x x M S ,n i Λ,2,1=有dx s dx S bab a⎰⎰=.2、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为0>∀ξ,总存在某一分割T ,使得()i i i ini i m M w xw -=<∆∑=ξ1.3、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为0>∀ξ,总存在某一分割T ,使得()()ξ<-T s T S 成立.4、定义在[]b a ,上的函数()x f 黎曼可积的充分必要条件为()x f 在[]b a ,上的一切间断点构成一个零测度集.注 这说明黎曼可积的函数时几乎处处连续的. 勒贝格可积条件1、设()x f 是定义在可测集E 上的有界函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为0>∀ξ,总存在E 的某一分割D ,使得ξ<∑iii mEw .2、设()x f 是定义在可测集E 上的有界函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为()x f 在E 上勒贝格可测.3、设()x f 在[]b a ,上的黎曼反常积分存在,则()x f 在[]b a ,上勒贝格可积的充要条件为()x f 在[]b a ,上的黎曼反常积分存在,且有()[]()⎰⎰=ba ba dx x f dm x f ,. 4、设()x f n 为E 上的可测函数列,()x f n 在E 上的极限函数几乎处处存在,且()M dx x f En <⎰,则()x f 在E 上勒贝格可积.5、设()x f 是是定义在可测集E 上的连续函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为()x f 在E 上勒贝格可测.黎曼积分与勒贝格积分的性质比较黎曼积分的性质1、（线性性）若()x f ,()x g 是定义在[]b a ,上黎曼可积函数,则()()x g x f +,()()x g x f -,()()x g x f 也在[]b a ,上黎曼可积.注()()()()dx x g dx x f dx x g x f b ab ab a⎰⎰⎰+=+,但()()()()dx x g dx x f dx x f x g bab ab a⎰⎰⎰≠.2、（区域可加性）设有界函数()x f 在[]c a ,,[]b c ,上都黎曼可积,则()x f 在[]b a ,上也黎曼可积,且有()()()dx x f dx x f dx x f bcc ab a⎰⎰⎰+=.3、（单调性）若()x f ,()x g 是定义在[]b a ,上黎曼可积,且()()x g x f ≤,则()()dx x g dx x f bab a⎰⎰≤.4、（可积必绝对可积）若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,则()x f 在[]b a ,上也黎曼可积,且有()()dx x f dx x f bab a⎰⎰≤.注 其逆命题不成立.5、若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,则在[]b a ,的任意内闭子区间[][]b a ,,⊂βα上也黎曼可积.且其积分值不会超过在[]b a ,上的积分值.6、若()x f 是[]b a ,上非负且连续的函数,若有()010=⎰dx x f ,则()x f 在[]b a ,上恒等于零.7、若()x f ,()x g 是[]b a ,上的黎曼可积函数,则()(){}x g x f M ,m ax = ,()(){}x g x f m ,m in =在[]b a ,上也黎曼可积.8、若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,()x f 1在[]b a ,上有定义且有界,则()x f 1也在[]b a ,上黎曼可积.勒贝格积分的性质1、（有限可加性）设()x f 是有界可测集E 上的可积函数,K nk E E Y 1==,K E 等均可测且两两互不相交,则有()()()()d x x f dx x f dx x f d x f nEEEE⎰⎰⎰⎰+++=Λ21x . 2、对于给定的可测函数()x f ,()x f 与()x f 的可积性相同且()()dx x f d x f EE⎰⎰≤x . 3、(单调性)若()x f ,()x g 在E 上勒贝格可积,且()()x g x f ≤几乎处处成立,则()()d x x g d x f EE⎰⎰≤x . 4、()x f 是E 上的非负可积函数,则()x f 在E 上是几乎处处有限的.5、()x f 是E 上的非负可测函数,若()x f 在E 上几乎处处等于0,则()0x =⎰d x f E.6、(零测集上的积分)若0=mE ,则()0=⎰dx x f E.7、()x f 是E 上的勒贝格可积函数,()0≥x f 在E 上几乎处处成立,则()0x ≥⎰d x f E.8、设()x f 在E 上可测,若存在非负函数()x g 在可测集E 上勒贝格可积,()()x g x f ≤几乎处处成立,则()x f 在可测集E 上勒贝格可积.9、()x f 在可测集E 上勒贝格可积,A 是E 的可测子集,则()x f 在A 上也勒贝格可积. 且其积分值不会超过在E 上的积分值.10、设()x f 在E 上可测,则()0x =⎰d x f E的充要条件是()0=x f 在E 上几乎处处成立.11、设()x f ,()x g 均在E 上勒贝格可积,则()(){}x g x f M ,m ax =,()(){}x g x f m ,m in =也 在E 上勒贝格可积.12、若()x f 与()x g 在E 上几乎处处相等,则()x g 也可积,且()()d x x g dx x f EE⎰⎰=. 13、设()x f 在可测集E 上勒贝格可积函数,则其不定积分是绝对连续函数14、设()x f 为可测集E 上勒贝格可积函数,则存在绝对连续的函数()x g ,使得()x g 导函数在E 上几乎处处等于()x f .黎曼积分与勒贝格积分相关定理的比较与黎曼积分相关的定理⒈若函数列()x f n 在区间I 上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数()x f 也在I 上连续.⒉（可积性）若函数列()x f n 在区间I 上一致收敛,且每一项都连续,()()dx x f dx x f ban n nb a n ⎰⎰∞→∞→=lim lim .⒊（可微性）设()x f n 为定义在[]b a ,上的函数列,若[]b a x ,0∈为()x f n 的收敛点,且()x f n 的每一项在[]b a ,上都有连续的导数,()x f n '在[]b a ,上一致收敛,则()()()x f dxdx f dx d n n n n ∞→∞→=lim lim . ⒋有界收敛定理设()x f n 是定义在[]b a ,上的黎曼可积函数. ⑴()[]()b a x n M x f n ,,2,1∈=≤Λ.⑵()x f 是定义在[]b a ,上的黎曼可积函数.且()()x f x f n n =∞→lim .则有()()dx x f dx x f bab an n ⎰⎰=∞→lim .与勒贝格积分相关的定理⒈（勒维定理）设可测集E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件:()()Λ≤≤≤x f x f 210,()()x f x f n n =∞→lim ,则()x f n 的积分序列收敛于()x f 的积分()()d x x f d x f En n E⎰⎰∞→=limx . ⒉（勒贝格控制收敛定理）设可测集E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件: ⑴()x f n 的极限存在,()()x f x f n n =∞→lim .⑵存在可积函数()x g 使得()()()N n E x x g x f n ∈∈≤,,那么()x f 可积,有()()d x x f d x f En n E⎰⎰∞→=limx . ⒊设∞<mE ,E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件: ⑴()()()N n E x x g x f n ∈∈≤,,,()x g 可积. ⑵()x f n 依测度收敛于()x f ,那么()x f 可积,有()()d x x f d x f En n E⎰⎰∞→=limx . ⒋设()x f n 是[]b a ,上的增函数列,且有()x f n n ∑∞=1在[]b a ,上收敛,则()()x f dxdx f dx d n n n n ∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛11.。

黎曼积分与勒贝格积分的区别积分是微积分学中的一个重要概念，用于描述曲线下面积的大小。

在实际应用中，常常会遇到黎曼积分和勒贝格积分这两种不同的积分方式。

本文将从定义、性质和应用等方面对黎曼积分与勒贝格积分进行比较，以便更好地理解它们之间的区别。

1. 定义黎曼积分是由德国数学家黎曼提出的，是微积分中最基本的积分形式。

对于一个函数f(x)，在闭区间[a, b]上的黎曼积分定义为：∫[a, b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ f(xi)Δxi其中，Σ f(xi)Δxi表示对区间[a, b]进行分割，取各子区间上任意一点xi，然后求和得到的黎曼和，当分割数n趋于无穷大时，这个黎曼和的极限就是函数f(x)在区间[a, b]上的黎曼积分。

而勒贝格积分是由法国数学家亨利·勒贝格提出的，是对黎曼积分的一种推广。

勒贝格积分的定义更加一般化，可以处理更广泛的函数类。

勒贝格积分的定义涉及到测度论的概念，需要引入测度空间的概念，因此比黎曼积分更加抽象和复杂。

2. 性质黎曼积分和勒贝格积分在性质上也有一些区别。

黎曼积分对函数的要求相对较高，需要函数在有限闭区间上有界且可积。

而勒贝格积分对函数的要求较低，只需要函数是可测的即可进行勒贝格积分。

此外，黎曼积分是通过分割区间并取极限的方式定义的，因此对分割的精细程度有一定要求，而勒贝格积分则是通过测度的概念来定义的，更加灵活和一般化。

3. 应用在实际应用中，黎曼积分和勒贝格积分各有其优势和适用范围。

黎曼积分在初等数学和物理等领域有着广泛的应用，例如计算曲线下面积、求定积分等。

而勒贝格积分则在测度论和概率论等领域有着重要的应用，能够处理更加复杂的函数和集合。

总的来说，黎曼积分是微积分中最基本的积分形式，适用于一般函数的积分计算；而勒贝格积分是对黎曼积分的推广，更加抽象和一般化，适用范围更广，能够处理更加复杂的函数和集合。

综上所述，黎曼积分和勒贝格积分在定义、性质和应用等方面存在一定的区别，各有其特点和适用范围。

黎曼积分与勒贝格积分积分是微积分中重要的概念之一。

在实际问题中，我们常常需要求解一个区间内函数的面积或者体积。

这个过程就称为积分。

积分有很多种，今天我想和大家聊一聊黎曼积分和勒贝格积分。

一、黎曼积分黎曼积分最早是由德国的数学家黎曼提出的。

它是积分的一种基本形式，从历史上来看，黎曼积分是最早被人们所接受的一种积分形式。

黎曼积分的定义非常简单，假设有一个区间[a，b]，f(x)是[a，b]上的一个函数，我们将区间[a，b]进行分割，得到n个小区间[a1，b1]，[a2，b2]，……，[an-1，bn-1]，然后在每个小区间内分别取一点xi（ai≤xi≤bi），然后求出每个小区间上函数f(x)的取值和小区间长度之积的和，即∑f(xi)Δxi（i=1，2，……，n），当分割越来越细，n越来越大时，和式∑f(xi)Δxi的极限值就是函数f(x)在区间[a，b]上的黎曼积分。

黎曼积分的优点是在实际计算中比较简单，但它也有一些局限性，比如说不是所有的函数都可以积分，例如在非连续点处黎曼积分是没有定义的。

二、勒贝格积分勒贝格积分是20世纪初期法国的数学家勒贝格提出来的。

它是通过使用类似度量论的概念，对几乎处处连续的函数进行积分，从而将积分的适用范围扩展到了更广泛的函数上。

具体来说，假设有函数f（x），它在[a，b]上几乎处处连续，记E为f（x）在[a，b]上所有不连续点的集合。

我们可以在每个不连续点处定义一个容许误差，使得在这个误差以内f（x）可以任意变化，而在误差以外随着分割越来越细，误差的贡献趋近于0。

于是我们就得到了函数在[a，b]上的勒贝格积分。

勒贝格积分相对于黎曼积分而言，可以积分更多的函数，也避免了因非连续点而产生的积分误差。

但是它在实际计算上会稍稍麻烦一些。

三、总结黎曼积分和勒贝格积分是积分的两种基本形式。

黎曼积分在实际计算中比较简单，但不是所有函数都能够使用黎曼积分。

勒贝格积分是一种更加通用的积分形式，它可以积分更多的函数，但相对于黎曼积分而言，计算会有一些复杂。

Riemann 积分与Lebesgue 积分的区别（一）存在性 狭义Riemann 积分只能定义在有界集上，而Lebesgue 积分无此限制，并且存在Riemann 线积分、曲面积分而无Lebsgue 式的这些积分，因为曲线长度和曲面面积是基于一定的连通集而非从可测点集出发定义的。

Lebesgue 可测无界集上的Lebesgue 积分不能看作是Riemann 广义积分的推广，Riemann 瑕积分存在且有限也不能保证相应的Lebesgue 积分存在。

（二）函数连续性 Riemann 积分对于函数的连续性要求过高。

一般来说，对于有界函数函数，Riemann 积分要求函数的不连续点所成集合为一零测集，并且这一条件还是充要的；而对于Lebesgue 积分，只需要函数在上可测，并且即可。

当然我们知道有限维狭义Riemann 可积蕴含Lebesgue 可积且积分值相等。

有限维实向量值狭义Riemann 积分收敛的充要条件借助于Lebesgue 积分有漂亮的解决。

（三）积分与极限的换序运算 Riemann 积分对于积分与极限运算的要求过高：函数序列满足，且在上，一致收敛到，则Riemann 可积，并且而对于Lebesgue 积分来说，根据Beppo Levi 非负渐升列的积分定理，对于定义在上渐升的非负可测函数列：且有，则 这其中有著名的依测度型控制收敛定理，即，且在上依测度收敛于，若存在，使得则，且有f (x )f (x )E ∣f (x )∣d x <∫E ∞{f (x )}n f (x )∈n C [a ,b ][a ,b ]f (x )n f (x )f (x )f (x )d x =∫a b n →∞lim n f (x )d x =∫a b f (x )d xn →∞lim ∫abE f (x )⩽1f (x )⩽2⋯⩽f (x )⩽k ⋯,lim f (x )=k →∞k f (x ),x ∈E f (x )d x =k →∞lim ∫E k f (x )d x∫Ef (x )∈k L (R )(k =n 1,2,⋯)f (x )k R n f (x )F ∈L (R )n ∣f (x )∣⩽k F (x ) (k =1,2,⋯;a .e . x ∈R )n f ∈L (R )n ∫∫ 如果我们只要求函数列是上的非负可测函数列，则根据Fatou 引理，我们有（四）完备性 Riemann 积分所构成的空间不完备，考虑连续函数族上，定义范数为 连续函数列在Riemann 积分的度量意义下不一定收敛到某一连续函数，因而中函数列的极限运算不再是封闭的，即使是对于一个几乎处处连续的函数列，在其度量下收敛到某一函数，此函数也不一定是几乎处处连续的。

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系数学系1302班第五组07 樊萌12 韩鸿林19 兰星21 李鸿燕45 王堃51 武相伶54 许小亭57 杨莉黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系黎曼积分和勒贝格积分定义的比较1、黎曼积分定义：设()x f 在[]b a ,上有界,对[]b a ,做分割,{}b x x x a T n =<<<== 10,其中令(){}i i x x x f M ∆∈=,sup ,(){}i i x x x f m ∆∈=,inf ,i i i x x x -=∆+1,()11-=-=∑i i ni i x x m s()11-=-=∑i i ni i x x M S ,若有dx s dx S bab a⎰⎰=则称()x f 在[]b a ,上黎曼可积.2、勒贝格积分定义：,0>∀δ,作M y y y m n =<<= 10,,其中δ<--1i i y y ,M ,m 分别为()x f 在E 上的上界和下界,令(){}i i i y x f y x E ≤≤=-1,,()n i ,2,1=若i ni i mE y ∑=-→110lim δ存在,则()x f 勒贝格可积.3、一般的可测函数的积分定义为:设在可测集E 上可测,若记()(){}0,m ax x f x f=+，()(){}0,m in x f x f-=-,则有()()()x f x fx f -+-=,若()dx x f E+⎰,()dx x fE_⎰不同时为∞,则()x f 在E 上的积分确定且()()()dx x f dx x f dx x f EEE-+⎰⎰⎰-=.4、 简单函数的勒贝格积分定义:设()x f 是可测集E 上的非负简单函数,于是有对E 的划分i E ,n i 2,1=,()x f 在i E 上的取值为i c ,则()i E ni i c x f χ∑==1,定义()x f 的勒贝格积分为()ini iEmE c dm x f ∑⎰==1,若()∞<⎰dm x f E,则称()x f 在E 上勒贝格可积.5、非负可测函数的勒贝格积分定义:取E 上的非负简单函数列()x f n ,对任意的E x ∈,()x f n 都收敛于()x f ,则()x f 在E 上勒贝格可积其积分为()()dm x f dm x f EEn n ⎰⎰=∞→lim .对一般的函数由于()()()x f x fx f -+-=,则()()()dm x f dm x f dm x f EEE⎰⎰⎰=--+.若左端的两个积分值都有限时,称()x f 在E 上勒贝格可积.勒贝格积分是对黎曼积分的推广,所以黎曼可积的函数一定勒贝格可积,但勒贝格可积的函数不一定黎曼可积.黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较黎曼可积的条件㈠黎曼可积的条件必要条件定义在[]b a ,上的()x f 黎曼可积的必要条件是()x f 在[]b a ,上有界.注 任何黎曼可积的函数必有界,但有界函数不一定黎曼可积. ㈡黎曼可积的充分必要条件1、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为()x f 在[]b a ,上的黎曼上积分等于黎曼下积分.即设()x f 在[]b a ,上有界,{}b x x x a T n =<<<== 10为对[]b a ,的任一分割,其中令(){}i i x x x f M ∆∈=,sup ,(){}i i x x x f m ∆∈=,inf ,i i i x x x -=∆+1,()11-=-=∑i i ni i x x m s ,()11-=-=∑i i ni i x x M S ,n i ,2,1=有dx s dx S bab a⎰⎰=.2、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为0>∀ξ,总存在某一分割T ,使得()i i i ini i m M w xw -=<∆∑=ξ1.3、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为0>∀ξ,总存在某一分割T ,使得()()ξ<-T s T S 成立.4、定义在[]b a ,上的函数()x f 黎曼可积的充分必要条件为()x f 在[]b a ,上的一切间断点构成一个零测度集.注 这说明黎曼可积的函数时几乎处处连续的. 勒贝格可积条件1、设()x f 是定义在可测集E 上的有界函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为0>∀ξ,总存在E 的某一分割D ,使得ξ<∑iii mEw .2、设()x f 是定义在可测集E 上的有界函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为()x f 在E 上勒贝格可测.3、设()x f 在[]b a ,上的黎曼反常积分存在,则()x f 在[]b a ,上勒贝格可积的充要条件为()x f 在[]b a ,上的黎曼反常积分存在,且有()[]()⎰⎰=ba ba dx x f dm x f ,. 4、设()x f n 为E 上的可测函数列,()x f n 在E 上的极限函数几乎处处存在,且()M dx x f En <⎰,则()x f 在E 上勒贝格可积.5、设()x f 是是定义在可测集E 上的连续函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为()x f 在E 上勒贝格可测.黎曼积分与勒贝格积分的性质比较黎曼积分的性质1、（线性性）若()x f ,()x g 是定义在[]b a ,上黎曼可积函数,则()()x g x f +,()()x g x f -,()()x g x f 也在[]b a ,上黎曼可积.注()()()()dx x g dx x f dx x g x f b ab ab a⎰⎰⎰+=+,但()()()()dx x g dx x f dx x f x g bab ab a⎰⎰⎰≠.2、（区域可加性）设有界函数()x f 在[]c a ,,[]b c ,上都黎曼可积,则()x f 在[]b a ,上也黎曼可积,且有()()()dx x f dx x f dx x f bcc ab a⎰⎰⎰+=.3、（单调性）若()x f ,()x g 是定义在[]b a ,上黎曼可积,且()()x g x f ≤,则()()dx x g dx x f bab a⎰⎰≤.4、（可积必绝对可积）若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,则()x f 在[]b a ,上也黎曼可积,且有()()dx x f dx x f bab a⎰⎰≤.注 其逆命题不成立.5、若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,则在[]b a ,的任意内闭子区间[][]b a ,,⊂βα上也黎曼可积.且其积分值不会超过在[]b a ,上的积分值.6、若()x f 是[]b a ,上非负且连续的函数,若有()010=⎰dx x f ,则()x f 在[]b a ,上恒等于零.7、若()x f ,()x g 是[]b a ,上的黎曼可积函数,则()(){}x g x f M ,m ax = ,()(){}x g x f m ,m in =在[]b a ,上也黎曼可积.8、若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,()x f 1在[]b a ,上有定义且有界,则()x f 1也在[]b a ,上黎曼可积.勒贝格积分的性质1、（有限可加性）设()x f 是有界可测集E 上的可积函数,K nk E E 1==,K E 等均可测且两两互不相交,则有()()()()d x x f dx x f dx x f d x f nEEEE⎰⎰⎰⎰+++=21x . 2、对于给定的可测函数()x f ,()x f 与()x f 的可积性相同且()()dx x f d x f EE⎰⎰≤x . 3、(单调性)若()x f ,()x g 在E 上勒贝格可积,且()()x g x f ≤几乎处处成立,则()()d x x g d x f EE⎰⎰≤x . 4、()x f 是E 上的非负可积函数,则()x f 在E 上是几乎处处有限的.5、()x f 是E 上的非负可测函数,若()x f 在E 上几乎处处等于0,则()0x =⎰d x f E.6、(零测集上的积分)若0=mE ,则()0=⎰dx x f E.7、()x f 是E 上的勒贝格可积函数,()0≥x f 在E 上几乎处处成立,则()0x ≥⎰d x f E.8、设()x f 在E 上可测,若存在非负函数()x g 在可测集E 上勒贝格可积,()()x g x f ≤几乎处处成立,则()x f 在可测集E 上勒贝格可积.9、()x f 在可测集E 上勒贝格可积,A 是E 的可测子集,则()x f 在A 上也勒贝格可积. 且其积分值不会超过在E 上的积分值.10、设()x f 在E 上可测,则()0x =⎰d x f E的充要条件是()0=x f 在E 上几乎处处成立.11、设()x f ,()x g 均在E 上勒贝格可积,则()(){}x g x f M ,m ax =,()(){}x g x f m ,m in =也 在E 上勒贝格可积.12、若()x f 与()x g 在E 上几乎处处相等,则()x g 也可积,且()()d x x g dx x f EE⎰⎰=. 13、设()x f 在可测集E 上勒贝格可积函数,则其不定积分是绝对连续函数14、设()x f 为可测集E 上勒贝格可积函数,则存在绝对连续的函数()x g ,使得()x g 导函数在E 上几乎处处等于()x f .黎曼积分与勒贝格积分相关定理的比较与黎曼积分相关的定理⒈若函数列()x f n 在区间I 上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数()x f 也在I 上连续.⒉（可积性）若函数列()x f n 在区间I 上一致收敛,且每一项都连续,()()dx x f dx x f ban n nb a n ⎰⎰∞→∞→=lim lim .⒊（可微性）设()x f n 为定义在[]b a ,上的函数列,若[]b a x ,0∈为()x f n 的收敛点,且()x f n 的每一项在[]b a ,上都有连续的导数,()x f n '在[]b a ,上一致收敛,则()()()x f dxdx f dx d n n n n ∞→∞→=lim lim . ⒋有界收敛定理设()x f n 是定义在[]b a ,上的黎曼可积函数. ⑴()[]()b a x n M x f n ,,2,1∈=≤ .⑵()x f 是定义在[]b a ,上的黎曼可积函数.且()()x f x f n n =∞→lim .则有()()dx x f dx x f bab an n ⎰⎰=∞→lim .与勒贝格积分相关的定理⒈（勒维定理）设可测集E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件:()() ≤≤≤x f x f 210,()()x f x f n n =∞→lim ,则()x f n 的积分序列收敛于()x f 的积分()()d x x f d x f En n E⎰⎰∞→=limx . ⒉（勒贝格控制收敛定理）设可测集E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件: ⑴()x f n 的极限存在,()()x f x f n n =∞→lim .⑵存在可积函数()x g 使得()()()N n E x x g x f n ∈∈≤,,那么()x f 可积,有()()d x x f d x f En n E⎰⎰∞→=limx . ⒊设∞<mE ,E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件: ⑴()()()N n E x x g x f n ∈∈≤,,,()x g 可积. ⑵()x f n 依测度收敛于()x f ,那么()x f 可积,有()()d x x f d x f En n E⎰⎰∞→=limx . ⒋设()x f n 是[]b a ,上的增函数列,且有()x f n n ∑∞=1在[]b a ,上收敛,则()()x f dxdx f dx d n n n n ∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛11.--。

黎曼积分和勒贝格积分的联系与区别
黎曼积分和勒贝格积分都是函数积分的一种。

它们的定义很相似，但在某些意义上有所不同。

首先，黎曼积分是指函数在某一闭区间上的积分，其公式如下：
$$\int _a^ b f(x)dx=\lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^nf
\left(x_i\right)\Delta x_i$$
其中，$a、b$为积分的上下限，$x_i$为每个子区间的位置，$\Delta x_i$为每个子区间的长度。

而勒贝格积分可以看作是黎曼积分的一种特殊情况，其定义如下：
其中，$x_k=a+\frac{k(b-a)}{n}$。

从定义来看，黎曼积分是考虑分割区间的情况，其子区间不一定都相同，而勒贝格积分只考虑等分子区间的情况，所以勒贝格积分只是黎曼积分的特例。

此外，在实际应用中，由于勒贝格积分只考虑子区间的等分情况，进行计算时不需要考虑子区间的长度，即$\Delta x_k$可以直接取1，因此计算量相较于黎曼积分少。

但需要注意的是，如果子区间的宽度稍有不同，勒贝格积分可能会产生较大的误差。

勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别摘要本文讨论勒贝格积分是与黎曼积分的联系与区别，勒贝格积分和黎曼积分积分之间有一种相依赖、相互补充、相互帮助及在特定条件下相互转化的关系，勒贝格积分在积分与极限换序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处。

在实变函数里引入勒贝格积分是为了弥补黎曼积分的缺乏，可以扩大可积函数类，降低逐项积分与交换积分顺序的条件。

勒贝格积分拓广了黎曼积分的定义,使得可积性的条件要求减弱了。

它断言可测集上的有界可测函数和单调函数必勒贝格可积,这比黎曼积分中要求连续函数、单调函数的条件放松多了。

它放松了黎曼积分要求函数序列的一致收敛的过强的要求。

关键词：勒贝格可黎曼可积勒贝格积分黎曼积分1、定义1.1黎曼积分定义 设)(x f 在[]b a,上有定义1）分割分划，将()b a ,添加n-1个分点T ：n n x b x x x a x =<<<<=-1210 将[]b a,分成n 个小区间[][][]n n x x x x x x ,,,12110-1x ∆2x ∆ n x ∆2）取近似[]()i i i i i x f t s x x ∆∀-ξξ..,,1 3）()i i ni x f ∆∑=ξ14）取极限令{}i x T ∆=max —T 的细度，假设()i ni i T x f ∆∑=→10lim ξ存在()()∑⎰=→∆=ni iiT baxf dx x 10lim ξ1.2勒贝格积分定义设()x f 在有限可测集E 上有界1）n E E E 21为E 的n 个互相不相交的可测子集且 ni i E 1E ==称{}n E E E D 21=为E 的一个L-分划2）设{}n E E E D 21=，{}''2'1'D n E E E =均为E 的一个L-分划，假设对''D E ∈∀存在j i j E E t s DE ⊂∈'..称D 比'D 细〔D D 是'的加细〕3）设{}n E E E D 21=为E 的一个L-分划，()()x f B x f b iiE x i E x i sup inf ,∈∈==称()i ni i mE b f D s ∑==1',在划分D 下()x f 的小和()∑==ni i i mE B f 1D,S 在划分D 下()x f 的大和2黎曼积分和勒贝格积分的联系对于定义在[]b a ,上的函数f ，如果它是黎曼可积的，那么它勒贝格可积的，而且有一样的积分值，故我们平时解题算勒贝格积分时，一般先考虑该函数是否黎曼可积，如果可以，那么就先化为黎曼积分求解，因为我们在学数分时，已经熟悉了黎曼积分。

黎曼积分与勒贝格积分的区别积分是微积分中的重要概念，用于求解曲线下面的面积、计算函数的平均值等。

在实际应用中，常常会遇到需要对不同类型的函数进行积分的情况。

而黎曼积分和勒贝格积分是两种常见的积分方法，它们在定义和适用范围上存在一些区别。

本文将详细介绍黎曼积分和勒贝格积分的区别。

一、黎曼积分黎曼积分是由德国数学家黎曼在19世纪提出的，是最早被广泛应用的积分方法之一。

黎曼积分的定义是通过将区间[a, b]分成若干小区间，然后在每个小区间上取一个样本点，计算函数在这些样本点处的取值与小区间长度的乘积，再将这些乘积相加得到的极限值。

黎曼积分的计算公式如下：∫[a, b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ f(xi)Δxi其中，f(x)是被积函数，[a, b]是积分区间，n是将区间[a, b]分成的小区间的个数，xi是每个小区间上的样本点，Δxi是每个小区间的长度。

黎曼积分的优点是定义简单，易于理解和计算。

但是，黎曼积分的适用范围有限，只能对一些特定类型的函数进行积分。

对于某些函数，黎曼积分可能不存在或者无法计算。

二、勒贝格积分勒贝格积分是由法国数学家勒贝格在20世纪初提出的，是对黎曼积分的一种推广。

勒贝格积分的定义是通过将函数的定义域分成若干个可测集，然后在每个可测集上计算函数的上积分和下积分，如果上积分和下积分相等，则称该函数是勒贝格可积的，其积分值即为上下积分的公共值。

勒贝格积分的计算公式如下：∫f(x) dμ = ∫[a, b] f(x) dμ = ∫[a, b] f(x) dμ+ -∫[a, b] f(x) dμ-其中，f(x)是被积函数，[a, b]是积分区间，dμ是勒贝格测度，∫[a, b] f(x) dμ+和∫[a, b] f(x) dμ-分别是函数f(x)在积分区间上的上积分和下积分。

勒贝格积分的优点是适用范围广泛，可以对几乎所有的函数进行积分。

勒贝格积分的定义更加一般化，可以处理更复杂的函数和测度空间。

勒贝格积分的若干简介我们先学习了Riemann 积分（简称R 积分），从而慢慢引入到了勒贝格积分，因此我将在下文中分几部分来讲勒贝格积分。

首先介绍一下在有界函数围，R 积分还是存在这很大的缺陷，主要表现在以下两个方面[1]：⑴R 积分与极限可交换的条件太严。

⑵积分运算不完全是微分运算的逆运算。

⑶不适宜于无界区间：黎曼积分只能用来在有界区间对函数进行积分。

⑷缺乏单调收敛。

鉴于R 积分的上述缺陷，人们致力于对此进行改进。

1902年，法国数学家勒贝格基于可列可加的测度，成功引进了一种新的积分，即Lebesgue 积分（简称L 积分）。

那么，建立L 积分的基本思路和步骤是怎么样的呢？L 积分的思路也基本与R 积分一样先分割，作积分和，取取极限。

在重新审视R 积分和曲边梯形面积的关系时，另一个建立L 积分的思路浮现出来。

首先，为了避免可测函数不是有界函数，最后的积分值可能会出现∞-∞的不定情形的出现，在定义L 积分时第一步仅限于非负函数。

其次，注意到非负函数围成的曲边梯形的面积，对于L 积分，可以将“可测集分割”加以取代，形成所谓“简单函数”，从而过度到L 积分“横着数”的思想。

下文将详细的介绍L 积分和R 积分的区别和联系。

关于Lebesgue 积分与Riemann 积分的定义比较1.1勒贝格积分的定义[3]:定义1：设)(x f 是n R E ⊂()∞<mE 上的非负可测函数.我们定义)(x f 是E 上的Lebesgue 积分()()()sup ():()x Eh x f x E E f x dx h x dx h x ∈≤⎧⎫=⎨⎬⎩⎭⎰⎰是n R 上的非负可测简单函数}，这里的积分可以是+∞;若∞<⎰Edx x f )(,则称)(x f 在E 上Lebesgue 可积的。

设)(x f 是n R E ⊂上的可测函数,若积分⎰+E dx x f )(，⎰-Edx x f )(中至少有一个是有限值,则称⎰⎰⎰-+-=EE E dx x f dx x f dx x f )()()(为)(x f 是E 上的Lebesgue 积分;当上式右端两个积分值皆为有限时,则称)(x f 是E 上是Lebesgue 可积的。