圆的标准方程和一般方程,同步

圆的标准方程与一般方程的转换1. 已知方程x ²+y ²+Dx+Ey+F=0是圆的一般方程，则其标准方程为__________。

答案：（x+2D ）²+（y+2E）²=2244D E F+-提示①：将原方程配方并整理x ²+Dx+（2D）²+y ²+Ex+（2E ）²-（2D ）²-（2E ）²+F=0（x+2D ）²+（y+2E ）²-2244D E F +-=0 提示②：将常数项移至方程右边。

（x+2D ）²+（y+2E ）²=2244D E F+-2. 将圆的方程（x-a ）²+（x-b ）²=r ²化为一般方程的形式，结果为___________。

答案：x ²+y ²-2ax-2by+a ²+b ²-r ²=0 提示①：将原方程去掉括号并整理x ²+y ²-2ax-2by+a ²+b ²=r ²提示②：将方程右边化为0x ²+y ²-2ax-2by+a ²+b ²-r ²=03. 已知圆的一般方程为x ²+y ²+6x-8y=0，则其标准方程为___。

A 、(x-3)²+(y-4)²=25 B 、(x-3)²+(y-4)²=5 C 、(x+3)²+(y-4)²=25 D 、(x-3)²+(y-4)²=5 答案：C提示①：将原方程配方x ²+6x+3²+y ²-8y+4²-3²-4²=0(x+3)²+(y-4)²-25=0提示②：将常数项移至方程右边(x+3)²+(y-4)²=254.方程2（x+5）²+2y²=3表示一个圆，则这个圆的一般方程为___。

圆的标准方程与一般方程的转换1. 已知方程x²+y²+Dx+Ey+F=0是圆的一般方程，则其标准方程为__________。

答案：（x+）²+（y+）²=提示①：将原方程配方并整理x²+Dx+（）²+y²+Ex+（）²-（）²-（）²+F=0（x+）²+（y+）²-=0提示②：将常数项移至方程右边。

（x+）²+（y+）²=2. 将圆的方程（x-a）²+（x-b）²=r²化为一般方程的形式，结果为___________。

答案：x²+y²-2ax-2by+a²+b²-r²=0提示①：将原方程去掉括号并整理x²+y²-2ax-2by+a²+b²=r²提示②：将方程右边化为0x²+y²-2ax-2by+a²+b²-r²=03. 已知圆的一般方程为x²+y²+6x-8y=0，则其标准方程为___。

A、(x-3)²+(y-4)²=25B、(x-3)²+(y-4)²=5C、(x+3)²+(y-4)²=25D、(x-3)²+(y-4)²=5答案：C提示①：将原方程配方x²+6x+3²+y²-8y+4²-3²-4²=0(x+3)²+(y-4)²-25=0提示②：将常数项移至方程右边(x+3)²+(y-4)²=254. 方程2（x+5）²+2y²=3表示一个圆，则这个圆的一般方程为___。

圆的标准方程1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究：2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。

（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件r = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

3、知识应用与解题研究例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）：ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。

圆的一般方程和标准公式圆的标准方程公式：（x-a）²+（y-b）²=R²。

圆的一般方程公式：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）。

标准方程圆半径的长度定出圆周的大小，圆心的位置确定圆在平面上的位置。

如果已知：(1)圆半径长R；(2)中心A的坐标(a,b)，则圆的大小及其在平面上关于坐标轴的位置就已确定(如下图)。

根据图形的几何尺寸与坐标的联系可以得出圆的标准方程。

结论如下：（x-a）²+（y-b）²=R²当圆的中心A与原点重合时，即原点为中心时，即a=b=0，圆的方程为：x²+y²=R ²圆的一般方程圆的标准方程是一个关于x和y的二次方程，将它展开并按x、y的降幂排列，得：x²+y²-2ax-2by+a²+b²-R²=0设D=-2a，E=-2b，F=a²+b²-R²；则方程变成：x²+y²+Dx+Ey+F=0任意一个圆的方程都可写成上述形式。

把它和下述的一般形式的二元二次方程比较，可以看出它有这样的特点：(1)x2项和y2项的系数相等且不为0(在这里为1)；(2)没有xy的乘积项。

Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0圆的端点式：若已知两点A（a1,b1）,B（a2,b2），则以线段AB为直径的圆的方程为（x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

经过圆 x²+y²=r²上一点M（a0，b0）的切线方程为 a0·x+b0·y=r²在圆（x²+y²=r²）外一点M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0·x+b0·y=r²。

圆的标准方程与一般方程的变换1. 已知方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0是圆的一般方程，则其标准方程为__________。

答案：（x+ D）2+（y+ E ）2= D 2E 2 4F 2 24提示①：将原方程配方并整理x2+Dx+（ D ）2+y2+Ex+（ E ）2-（ D ）2-（ E）2+F=02 22 2（x+ D ）2+（y+ E ）2- D 2E 2 4F =0224提示②：将常数项移至方程右侧。

（x+D）2+（y+ E ）2= D 2E 2 4F 2242. 将圆的方程（ x-a ）2+（x-b ） 2=r2 化为一般方程的形式，结果为 ___________。

答案： x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0 提示①：将原方程去掉括号并整理x2+y2-2ax-2by+a2+b2=r2提示②：将方程右侧化为 0x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=03. 已知圆的一般方程为 x2+y2+6x-8y=0，则其标准方程为 ___。

A 、(x-3)2+(y-4)2=25 B 、(x-3)2+(y-4)2=5 C 、(x+3)2+(y-4)2=25 D 、(x-3)2+(y-4)2=5答案： C提示①：将原方程配方 x2+6x+32+y2-8y+42-32-42=0(x+3)2+(y-4)2-25=0提示②：将常数项移至方程右侧(x+3)2+(y-4)2=254.方程 2（ x+5）2+2y2=3表示一个圆，则这个圆的一般方程为 ___。

A、2x2+2y2+20x+47=0B、2x2+2y2+20x=-47C、x2+y2+10x+47=0D、2x2+2y2+20x=-4722答案： C提示①：将原方程去括号并整理2x2+2y2+20x+50=3提示②：将方程右侧化为02x2+2y2+20x+47=0提示③：将 x2、y2 系数化为 1x2+y2+10x+47=0 25. 圆 C的方程为： x2+y2+4x-4y+4=0，则圆 C的圆心坐标为 ___。

教学目的：1、掌握圆的一般方程与标准方程；2、会用待定系数法求圆的方程；3、简单了解参数方程教学内容：一、 圆的方程1）圆的标准方程：圆心C (a ，b )，半径r 的方程为2）圆的一般方程：二元二次方程表示圆的充要条件是：①A =C ≠0②B =0③D 2+E 2-4F 2>0由方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，配方可得：3）点与圆的位置关系：圆（x -a ）2+（y -b ）2=r 2，点P (x 0，y 0)与圆的位置关系有以下三种：①点在圆上↔②点在圆内↔③点在圆外↔圆外一点P 到圆上任意一点的最大距离为 ，最小距离为x 2+y 2-6x -8y =0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为 .C 的圆心与点P (-2,1)关于直线y =x +1对称。

直线3x +4y -11=0与圆C 交于A ,B两点，且|AB |=6，则圆C 的方程为 .xOy 中，设二次函数)(2)(2R x b x x x f ∈++=的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .(1)求实数b 的取值范围；(2)求圆C 的方程；(3)问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论.二、 圆的参数方程1） 圆x 2+y 2=r 2（r >0）的参数方程是)(sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x 2） 圆（x-a ）2+(y-b )2=r 2（r >0）的参数方程是)(sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 三、 圆的直径式方程的求法设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是圆的直径的两个端点，P (x ,y )为圆上任意一点，则∠APB =90°，即P A ⊥PB ，而11x x y y k AP --=，221x x y y k PB --=.由1-=⋅PB AP k k 得：12211-=--⋅--x x y y x x y y ，则方程为（x -x 1）（x -x 2）+（y -y 1）（y -y 2）=0)(0916)41(2)3(24222R t t y t x t y x ∈=++-++-+表示的图形是圆.(1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P （3，4t 2）恒在所给的圆内，求t 的取值范围.1.已知圆心为A （2，-3），半径长为5，则圆的方程为 .2.设a >0,b >0,4a +b =ab ,则在以（a ，b ）为圆心，a +b 为半径的圆中，面积最小的圆的标准方程是 .3.已知过点A (0,1)和B (4,a )且与x 轴相切的圆只有一个，求a 的值及圆的方程.4.已知圆C 通过不同的三点P (m ，0)、Q (2,0)、R (0,1),且CP 的斜率为-1.（1）试求圆C 的方程；（2）过原点O 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1交C 于E ,F 两点，l 2交C 于G ,H 两点， 求四边形EGFH 面积的最大值.5.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，准线l 的方程为x =-2，点P 在准线l 上，纵坐标为)0,(13≠∈-t R t tt ，点Q 在y 轴上，纵坐标为2t . (1)求抛物线C 的方程；(2)求证：直线PQ 恒与一个圆心在x 轴上的定圆M 相切，并求出圆M 的方程.。

圆的一般方程与标准方程互化一、圆的一般方程1、圆的一般方程为表示圆的一种数学方法，它可以表示任何圆。

一般圆的方程为：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中 (a，b) 是圆心的坐标、r 是半径。

2、圆的一般方程有诸多优点：首先，无论是任何形状的圆，都可以用圆的一般方程来定义和表示；其次，使用圆的一般方程定义圆的优势在于，只要得到圆心的坐标 (a，b) 和半径的大小，就可以得出圆的具体描述和定义。

二、圆的标准方程1、圆的标准方程是另一个表示圆的方法，与圆的一般方程定义有着异曲同工之妙的关系，它可以得到和一般方程相同的结果，只不过使用的Deux-Demi心、椭圆参数等数学方法有所不同，其标准方程为：(x/a)² + (y/b)² = 1，其中 (a，b) 是圆心的坐标，且 a，b 都是正数。

2、圆的标准方程与一般方程比较，它不仅可以表示各种形状的圆，而且能准确地确定其圆心坐标，可以用来估算和比较圆的大小。

而且使用圆的标准方程可以准确计算圆的面积，比一般方程实用性更强。

三、圆的一般方程与标准方程互化1、由圆的一般方程转换得出圆的标准方程：将x=a+r·cosθ、y=b+r·sinθ带入 (x-a)²+(y-B)²=r²，得出：(x/a)²+(y/b)²=12、由圆的标准方程转换得出圆的一般方程：将x=a·cosθ、y=b·sinθ 带入 (x/a)²+(y/b)²=1，得出：(x-a)²+(y-b)²=r²四、结论圆的一般方程和标准方程是不同的数学表达方式，它们的转换有着紧密的联系，利用它们的转换关系，可以获取任何圆的大小和位置，辅助我们研究和表达圆的数学特征，根据两者不同的优势特点，我们可以按需选择使用一般方程或标准方程进行数学证明。

〖圆的解析几何方程〗圆的标准方程：在平面直角坐标系中,以点O（a,b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a)^2+（y-b)^2=r^2。

圆的一般方程:把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后,可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0.和标准方程对比,其实D=—2a，E=-2b,F=a^2+b^2。

圆的离心率e=0,在圆上任意一点的曲率半径都是r。

〖圆与直线的位置关系判断〗平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1。

由Ax+By+C=0,可得y=(—C—Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x)=0。

利用判别式b^2—4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac〉0，则圆与直线有2交点,即圆与直线相交.如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b^2-4ac〈0，则圆与直线有0交点,即圆与直线相离.2。

如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴）,将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y—b）^2=r^2。

令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C／A〈x1或x=—C／A〉x2时，直线与圆相离;当x1<x=-C／A<x2时，直线与圆相交;半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：（x—a）^2+(y-b)^2=r^2x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2）^2+（y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F=〉圆心坐标为(-D/2,-E/2）1．点与圆的位置关系设圆C∶(x—a)2+(y-b)2=r2,点M(x0，y0）到圆心的距离为d，则有：（1）d＞r 点M在圆外；(2）d=r 点M在圆上；（3)d＜r 点M在圆内．2．直线与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)=r2，直线l的方程为Ax+By+C=0,圆心(a,b)判别式为△，则有: (1)d＜r 直线与圆相交; (2）d=r 直线与圆相切；(3）d＜r 直线与圆相离，即几何特征；或（1）△＞0 直线与圆相交；(2)△=0 直线与圆相切；（3)△＜0 直线与圆相离，即代数特征,3．圆与圆的位置关系设圆C1：(x-a)2+（y-b)2=r2和圆C2：（x-m)2+（y—n）2=k2（k≥r)，且设两圆圆心距为d，则有：(1)d=k+r 两圆外切；(2）d=k-r 两圆内切；（3)d＞k+r 两圆外离；（4）d＜k+r 两圆内含；（5)k-r＜d＜k+r 两圆相交．4．其他(1）过圆上一点的切线方程：①圆x2+y2=r2,圆上一点为（x0,y0），则此点的切线方程为x0x+y0y=r2（课本命题）．②圆（x-a)2+（y—b）2=r2，圆上一点为（x0,y0)，则过此点的切线方程为(x0—a）（x—a）+(y0—b)（y-b)=r2（课本命题的推广)．（2）相交两圆的公共弦所在直线方程：设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1—E2)y+(F1-F2）=0．(3）圆系方程:①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程）．②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ（Ax+By+C）=0(λ为参数)．1.求经过M(1，2）N（3，4），并且在Y轴上截得的弦长为1的圆的方程.解：设圆的方程为:x^2+y^2 +Dx+Ey+F=0 ,∴ 圆心为(- ，— )，半径r=由题意：圆心到y轴的距离为｜- | , y轴上截得的弦长为1∴ r =( ) +（）∴ (D +E −4F)= + D∴ E −4F=1 。