数列限时练

05限时规范特训A 级 基础达标1．在等比数列{a n }中，a 1·a 2·a 3＝27，a 2＋a 4＝30，则公比q 是( ) A ．±3 B ．±2 C ．3D ．2解析：在等比数列{a n }中，由已知可得⎩⎨⎧a 1·a 1q ·a 1q 2＝ 27a 1q ＋a 1q 3＝30，解得q ＝±3.选A. 答案：A2．[2014·辽宁模拟]设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( )A ．2 B.73 C.83D ．3解析：设数列{a n }的公比为q (q ≠0)，由题意知q ≠1，根据等比数列前n 项和的性质，得S 6S 3＝(1＋q 3)S 3S 3＝1＋q 3＝3，即q 3＝2.于是S 9S 6＝1＋q 3＋q 61＋q 3＝1＋2＋41＋2＝73. 答案：B3．[2014·昆明高三调研]公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且－3a 1，－a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4＝( )A ．－20B ．0C ．7D ．40解析：记等比数列{a n }的公比为q ，其中q ≠1，依题意有－2a 2＝－3a 1＋a 3，－2a 1q ＝－3a 1＋a 1q 2≠0，即q 2＋2q －3＝0，(q ＋3)(q －1)＝0，又q ≠1，因此有q ＝－3，S 4＝1×[1－(－3)4]1＋3＝－20，选A.答案：A4．[2014·湛江检测]在等比数列{a n }中，若a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＝2，则a 8＋a 9等于( )A ．2 2B ．4C ．8D ．16 解析：⎩⎨⎧a 2＋a 3＝a 1q (1＋q )＝1 ①a 4＋a 5＝a 1q 3(1＋q )＝2 ②，②÷①得q 2＝2，∴a 8＋a 9＝a 1q 7(1＋q )＝[a 1q (1＋q )](q 2)3＝1×23＝8. 答案：C5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，S n ＝15，则项数n 为( )A ．12B ．14C ．15D ．16解析：a 5＋a 6＋a 7＋a 8a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝q 4＝2，由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1， 得a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝1， 即a 1·1－q 41－q ＝1，∴a 1＝q －1，又S n ＝15，即a 1(1－q n )1－q ＝15，∴q n ＝16， 又∵q 4＝2， ∴n ＝16.故选D. 答案：D6．[2014·衡阳三联考]设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2·a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( )A.334B.314C.172D.152解析：依题意知，a 21q 4＝1，又a 1>0，q >0，则a 1＝1q 2.又S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝7，于是有(1q ＋3)(1q －2)＝0，因此有q ＝12，所以S 5＝4(1－125)1－12＝314，选B.答案：B7．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使得每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为________.解析：由表格知，第一行构成以1为首项，12为公差的等差数列，所以第一行第四个数为52，第五个数为3.第三列构成以2为首项，12为公比的等比数列，所以a ＝12.同理，b ＝516，c ＝316，所以a ＋b ＋c ＝1.答案：18．[2014·江南十校联考]已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)的取值范围是________．解析：设数列{a n }的公比为q .因为a 2＝2，a 5＝14，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2a 1q 4＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4q ＝12，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝4[1－(12)n ]1－12＝8－8×(12)n.因为0<(12)n ≤12，所以4≤S n <8.答案：[4,8)9．[2014·北京海淀模拟]数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N *，都有a n ＋ma m＝a n ，则a 3＝________；{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：由a n ＋m a m ＝a n 可得a 2a 1＝a 1，∴a 2＝a 21＝22＝4.∴a 3＝a 1a 2＝2×4＝8.由a m ＋n a m ＝a n 得a n ＋m a n ＝a m ，令m ＝1，得a n ＋1a n ＝a 1＝2，即数列{a n }是公比为2的等比数列，∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.答案：8 2n ＋1－210．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2(1a 1＋1a 2)，a 3＋a 4＝32(1a 3＋1a 4)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n ＋log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)， 则a n ＝a 1q n －1，且a n >0，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝2(1a 1＋1a 1q )，a 1q 2＋a 1q 3＝32(1a 1q 2＋1a 1q 3)，化简得⎩⎨⎧a 21q (q ＋1)＝2(q ＋1)，a 21q 5(q ＋1)＝32(q ＋1)，即⎩⎨⎧a 21q ＝2，a 21q 5＝32.又因为a 1>0，q >0，所以⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝2.所以a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝a 2n ＋log 2a n ＝4n －1＋n －1， 所以T n ＝(1＋4＋42＋…＋4n －1)＋(0＋1＋2＋…＋n －1)＝1－4n 1－4＋n (n －1)2＝4n －13＋n (n －1)2.11．[2014·浙江模拟]已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a (a ∈R )，且1a 1，1a 2，1a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，试比较1a 2＋1a 22＋1a 23＋…＋1a 2n 与1a 1的大小．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 由题意可知(1a 2)2＝1a 1·1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 从而a 1d ＝d 2，因为d ≠0，所以d ＝a 1＝a .故通项公式a n ＝na .(2)记T n ＝1a 2＋1a 22＋…＋1a 2n，因为a 2n ＝2n a ，所以T n ＝1a (12＋122＋…＋12n ) ＝1a ·12[1－(12)n ]1－12＝1a [1－(12)n ]．从而，当a >0时，T n <1a 1；当a <0时，T n >1a 1.12．[2013·天津高考]已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ， ∵S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， ∴S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5， 即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，∴q ＝－12. 故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n ＝1－(－12)n＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， ∴1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大， ∴34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n≤56.∴数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712. B 级 知能提升1．[2014·北大附中模拟]已知各项为正的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值为( )A ．16B ．8C ．6D ．4解析：∵a 4a 14＝(22)2＝8，即a 4a 14＝a 29＝8，∴a 9＝2 2.则2a 7＋a 11＝2a 9q 2＋a 9q 2≥22a 9q 2×a 9q 2＝22×a 9＝8，当且仅当2a 9q2＝a 9q 2，即q 4＝2时取等号．答案：B2．[2014·郑州模拟]若{a n }是正项递增等比数列，T n 表示其前n 项之积，且T 4＝T 8，则当T n 取最小值时，n 的值为________．解析：由T 4＝T 8知，a 5·a 6·a 7·a 8＝1，则(a 6·a 7)2＝1，∵{a n }为正项递增等比数列，∴a 6·a 7＝1且a 6<1，a 7>1，故T n 取最小值时，n 的值为6.答案：63．[2014·江西模拟]已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn 的最小值为________．解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，a 1＝33，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝33＋2＋4＋…＋2(n －1)＝n 2－n ＋33.则a n n ＝n ＋33n －1，令f (n )＝n ＋33n －1，由y ＝x ＋1x 的单调性知，当n ＝6时，f (n )min ＝212.答案：2124．[2014·青岛一中模拟]在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值． 解：(1)当n ≥2时，由题意可得 a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n2a n ，① a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，② ②－①得na n ＝n ＋12a n ＋1－n2a n ， 即(n ＋1)a n ＋1＝3na n ，(n ＋1)a n ＋1na n＝3， ∴{na n }是以2a 2＝2为首项，3为公比的等比数列(n ≥2)， ∴na n ＝2·3n －2，∴a n ＝2n ·3n －2(n ≥2)，∵a 1＝1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n·3n －2，n ≥2.(2)a n ≤(n ＋1)λ⇔λ≥a nn ＋1，由(1)可知当n ≥2时，a nn ＋1＝2·3n －2n (n ＋1)， 设f (n )＝n (n ＋1)2·3n )(n ≥2，n ∈N *)， a n n ＋1＝132·1f (n )，数列限时训练311 / 11 则f (n ＋1)－f (n )＝2(n ＋1)(1－n )2·3n ＋1<0， ∴1f (n ＋1)>1f (n )(n ≥2)， 又132·1f (2)＝13及a 12＝12， ∴所求实数λ的最小值为13.。

数学数列单项选择题：共20小题，每小题5份，共100分1．数列{a n}为等差数列，且a2+a7+a12＝6，则{a n}的前13项的和为（）A．52B．C．26D．2．记S n为正项等比数列{a n}的前n项和．若a1＝1，4a3＝a5，则S10＝（）A．512B．511C．1023D．10243．数列{a n}是公差为2的等差数列，S n为其前n项和，且a1，a4，a13成等比数列，则S4＝（）A．8B．12C．16D．244．已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1+a3+a5＝21，则a3+a5+a7＝（）A．21B．42C．63D．845．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．86．已知等差数列{a n}中，a2＝7，a4＝15，则前10项的和S10＝（）A．100B．210C．380D．4007．设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3＝15，a1a2a3＝80，则a11+a12+a13＝（）A．120B．105C．90D．758．已知数列{a n}满足3a n+1+a n＝0，a2＝﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）9．已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝（）A．100B．99C．98D．9710．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12B．﹣10C．10D．1211．已知等比数列{a n}满足a1＝，a3a5＝4（a4﹣1），则a2＝（）A．2B．1C．D．12．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130B．170C．210D．26013．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24B．﹣3C．3D．814．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n＝2a n+1，则当n＞1时，S n＝（）A．（）n﹣1B．2n﹣1C．（）n﹣1D．（﹣1）15．已知等差数列{a n}满足a2+a4＝4，a3+a5＝10，则它的前10项的和S10＝（）A．138B．135C．95D．2316．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝（）A．B．7C．6D．17．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n＝（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．18．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5＝3，则S5＝（）A．5B．7C．9D．1119．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝a2+10a1，a5＝9，则a1＝（）A．B．C．D．20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1＝﹣2，S m＝0，S m+1＝3，则m＝（）A．3B．4C．5D．6数学数列单选答案1．数列{a n}为等差数列，且a2+a7+a12＝6，则{a n}的前13项的和为（）A．52B．C．26D．【分析】由等差数列的性质可求a7，然后代入到求和公式S＝＝13a7可求．【解答】解：由等差数列的性质可知，a2+a7+a12＝3a7＝6，故a7＝2，则{a n}的前13项的和S＝＝＝13a7＝26．故选：C．【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的简单应用，属于基础试题．2．记S n为正项等比数列{a n}的前n项和．若a1＝1，4a3＝a5，则S10＝（）A．512B．511C．1023D．1024【分析】结合已知及等比数列的性质可求公比q，然后结合等比数列的求和公式即可求．【解答】解：由4a3＝a5可得q2＝4，∵q＞0，所以q＝2，由等比数列的求和公式可得，S10＝＝1023．故选：C．【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式及性质的简单应用，属于基础试题．3．数列{a n}是公差为2的等差数列，S n为其前n项和，且a1，a4，a13成等比数列，则S4＝（）A．8B．12C．16D．24【分析】运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项，再由等差数列的求和公式，计算可得所求值．【解答】解：数列{a n}是公差d为2的等差数列，S n为其前n项和，且a1，a4，a13成等可得a42＝a1a13，即（a1+6）2＝a1（a1+24），解得a1＝3，则S4＝4a1+6d＝4×3+6×2＝24．故选：D．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4．已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1+a3+a5＝21，则a3+a5+a7＝（）A．21B．42C．63D．84【分析】由已知，a1＝3，a1+a3+a5＝21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．【解答】解：∵a1＝3，a1+a3+a5＝21，∴，∴q4+q2+1＝7，∴q4+q2﹣6＝0，∴q2＝2，∴a3+a5+a7＝＝3×（2+4+8）＝42．故选：B．【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．5．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．8【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝48，∴，解得a1＝﹣2，d＝4，∴{a n}的公差为4．【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6．已知等差数列{a n}中，a2＝7，a4＝15，则前10项的和S10＝（）A．100B．210C．380D．400【分析】由第二项和第四项的值可以求出首项和公差，写出等差数列前n项和公式，代入n＝10得出结果．【解答】解：d＝，a1＝3，∴S10＝＝210，故选：B．【点评】若已知等差数列的两项，则等差数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解．7．设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3＝15，a1a2a3＝80，则a11+a12+a13＝（）A．120B．105C．90D．75【分析】先由等差数列的性质求得a2，再由a1a2a3＝80求得d即可．【解答】解：{a n}是公差为正数的等差数列，∵a1+a2+a3＝15，a1a2a3＝80，∴a2＝5，∴a1a3＝（5﹣d）（5+d）＝16，∴d＝3，a12＝a2+10d＝35∴a11+a12+a13＝105故选：B．【点评】本题主要考查等差数列的运算．8．已知数列{a n}满足3a n+1+a n＝0，a2＝﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）【分析】由已知可知，数列{a n}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：∵3a n+1+a n＝0∴∴数列{a n}是以﹣为公比的等比数列∵∴a1＝4由等比数列的求和公式可得，S10＝＝3（1﹣3﹣10）故选：C．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题9．已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝（）A．100B．99C．98D．97【分析】根据已知可得a5＝3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，S9＝＝＝9a5．∴9a5＝27，a5＝3，又∵a10＝8，∴d＝1，∴a100＝a5+95d＝98，故选：C．【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．10．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12B．﹣10C．10D．12【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程，能求出a5的值．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3＝S2+S4，a1＝2，∴＝a1+a1+d+4a1+d，把a1＝2，代入得d＝﹣3∴a5＝2+4×（﹣3）＝﹣10．故选：B．【点评】本题考查等差数列的第五项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11．已知等比数列{a n}满足a1＝，a3a5＝4（a4﹣1），则a2＝（）A．2B．1C．D．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5＝4（a4﹣1），∴＝4，化为q3＝8，解得q＝2则a2＝＝．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．12．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130B．170C．210D．260【分析】利用等差数列的前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，用m 表示出a1、d，进而求出s3m；或利用等差数列的性质，s m，s2m﹣s m，s3m﹣s2m成等差数列进行求解．【解答】解：解法1：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由题意得方程组，a1解得d＝，a1＝，∴s3m＝3ma1+d＝3m+＝210．故选C．解法2：∵设{a n}为等差数列，∴s m，s2m﹣s m，s3m﹣s2m成等差数列，即30，70，s3m﹣100成等差数列，∴30+s3m﹣100＝70×2，解得s3m＝210．故选C．a1【点评】解法1为基本量法，思路简单，但计算复杂；解法2使用了等差数列的一个重要性质，即等差数列的前n项和为s n，则s n，s2n﹣s n，s3n﹣s2n，…成等差数列．13．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24B．﹣3C．3D．8【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出{a n}前6项的和．【解答】解：∵等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，∴，∴（a1+2d）2＝（a1+d）（a1+5d），且a1＝1，d≠0，解得d＝﹣2，∴{a n}前6项的和为＝＝﹣24．故选：A．【点评】本题考查等差数列前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．14．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n＝2a n+1，则当n＞1时，S n＝（）A．（）n﹣1B．2n﹣1C．（）n﹣1D．（﹣1）【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵S n＝2a n+1，得S n＝2（S n+1﹣S n），即3S n＝2S n+1，由a1＝1，所以S n≠0．则＝．∴数列{S n}为以1为首项，公比为的等比数列∴S n＝．故选：A．【点评】本题考查了递推关系与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．已知等差数列{a n}满足a2+a4＝4，a3+a5＝10，则它的前10项的和S10＝（）A．138B．135C．95D．23【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n项和，根据a2+a4＝4，a3+a5＝10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前n项和公式，即可求解．【解答】解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）＝2d＝6，∴d＝3，a1＝﹣4，∴S10＝10a1+＝95．故选：C．【点评】在求一个数列的通项公式或前n项和时，如果可以证明这个数列为等差数列，或等比数列，则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或等比数列的通项公式，写出该数列的通项公式，如果未知这个数列的类型，则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关，间接求其通项公式．16．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝（）A．B．7C．6D．【分析】由数列{a n}是等比数列，则有a1a2a3＝5⇒a23＝5；a7a8a9＝10⇒a83＝10．【解答】解：a1a2a3＝5⇒a23＝5；a7a8a9＝10⇒a83＝10，a52＝a2a8，∴，∴，故选：A．【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想．17．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n＝（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．【分析】由题意可得a42＝（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．【解答】解：由题意可得a42＝a2•a8，即a42＝（a4﹣4）（a4+8），解得a4＝8，∴a1＝a4﹣3×2＝2，∴S n＝na1+d，＝2n+×2＝n（n+1），故选：A．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．18．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5＝3，则S5＝（）A．5B．7C．9D．11【分析】由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5＝3＝3a3，解得a3．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5＝3＝3a3，解得a3＝1．则S5＝＝5a3＝5．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝a2+10a1，a5＝9，则a1＝（）A．B．C．D．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到，解出即可．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵S3＝a2+10a1，a5＝9，∴，解得．∴．故选：C．【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键．20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1＝﹣2，S m＝0，S m+1＝3，则m＝（）A．3B．4C．5D．6【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1与a m，进而得到公差d，由前n项和公式及S m＝0可求得a1，再由通项公式及a m＝2可得m值．【解答】解：a m＝S m﹣S m﹣1＝2，a m+1＝S m+1﹣S m＝3，所以公差d＝a m+1﹣a m＝1，S m＝＝0，m﹣1＞0，m＞1，因此m不能为0，得a1＝﹣2，所以a m＝﹣2+（m﹣1）•1＝2，解得m＝5，另解：等差数列{a n}的前n项和为S n，即有数列{}成等差数列，则，，成等差数列，可得2•＝+，即有0＝+，解得m＝5．又一解：由等差数列的求和公式可得（m﹣1）（a1+a m﹣1）＝﹣2，m（a1+a m）＝0，（m+1）（a1+a m+1）＝3，可得a1＝﹣a m，﹣2a m+a m+1+a m+1＝+＝0，解得m＝5．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a n与S n的关系，考查学生的计算能力．。

邯郸市第二中学 高二年级 出题人：徐瑞娟审题人：王翠英1 高二数学解三角形和数列限时练（五）一、选择题(本大题共12小题，共60分)1.数列{a n }中，若S n =3n+m -5，数列{a n }是等比数列，则m =（ ） A.2 B.1 C.-1 D.4 2.已知数列{a n }满足a 1=1，a n +1=a n +2n，则a 10=（ ） A.1024 B.1023 C.2048 D.20473.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5+a 7=14，则S 11=（ ） A.140 B.70 C.154 D.774.满足条件a =4，b =5 2，A=45°的△ABC 的个数是（ ） A.1 B.2 C.无数个 D.不存在5.在△ABC 中，a =4，b =6，C=60°，则c =（ ）A.2 7B.8C.6 2D.2 196.△ABC 中，若lga -lgc =lgsin B=-lg 2且B ∈(0，π2)，则△ABC 的形状是（ ） A.等边三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形7.已知△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且a = 2，c = 6，C=2π3，则△ABC 的面积S 等于（ ）A.3B.32 C.3 D. 328.如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得∠BCD=75°，∠BDC=45°，CD=30米，并在C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔的高度AB 为（ ） A.30 2米 B.30 6米 C.15（ 3+1）米 D.10 6米9.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若asin A sin B+bcos 2A= 3a ，则ba =（ ） A. 33 B. 3 C.2 3 D.310.已知数列{a n}是等差数列a1=1，a5=13，设S n为数列{（-1）n a n}的前n项和，则S2016=（）A.2016B.-2016C.3024D.-302411.在等比数列{a n}中，a1+a2=3，a3+a4=12，则a5+a6=（）A.21B.42C.48D.9612.各项均为正数的等比数列{a n}中，a2，a32，a1成等差数列，那么a4+a5a3+a4=（）A.5+12B.5±12C.5−12D.1±52二、填空题(本大题共4小题，共20分)13.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1（n∈N*），则数列{a n}的前n项和S n= ______ ．14.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠A=60°，∠B=45°，a=3，则b= ______ ．15.等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10=0，S15=25，则使S n取最小值的n等于______ ．16.已知{a n}为各项为正数的等比数列，其中S5=3，S15=21，则S20= ______ ．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.（10分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=6，cos∠ADC=-13．（1）若∠CAB=π4，求AC的长；（2）若BD=9，求△ABD的面积．邯郸市第二中学 高二年级 出题人：徐瑞娟审题人：王翠英3 18.（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若2asin B= 3b ，A 为锐角，求A 的值； （2）若b =5，c = 5，cos C=910，求a 的值．19.（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2-a 2=bc ， （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）设函数f （x ）=sinx +2cos 2x 2，a =2，f （B ）= 2+1时，求边长b ．20.（12分）已知三角形△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且2acos C=2b -c ． （1）求角A 的大小；（2）若b +c =2，求a 的取值范围．21.（12分）已知等差数列{a n}的公差d=2，其前项和为S n，且等比数列{b n}满足b1=a1，b2=a4，b3=a13．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式和数列{b n}的前项和B n；（Ⅱ）记数列{1Sn}的前项和为T n，求T n．22.（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b13+b232+…+b n3n=a n-1（n∈N*），求数列{nb n}的前n项和T n．邯郸市第二中学 高二年级 出题人：徐瑞娟审题人：王翠英5高二解三角形和数列限时练答案【答案】1.D2.B3.D4.D5.A6.C7.D8.A9.B 10.C 11.C 12.A 13.14（3n +1-2n -3）14. 6 15.5 16.4517.解：（1）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=6，cos ∠ADC=-13， ∴sin ∠ADC=2 23，∠ACD=∠CAB=π4．△ACD 中，由正弦定理可得AC sin ∠ADC =ADsin ∠ACD ，即2 2=6sin π，∴AC=8．（2）若BD=9，∵∠DAB=π-∠ADC ， ∴cos ∠DAB=-cos ∠ADC=13， ∴sin ∠DAB= 2∠DAB =2 23．△ABD 中，由余弦定理可得BD 2=AD 2+AB 2-2AD •AB •cos ∠DAB ， 即81=36+AB 2-2•6•AB •13，∴AB=9， ∴△ABD 的面积为12•AD •AB •sin ∠DAB=12•6•9•2 23=18 2．18（本题满分为12分）解：﹙1﹚在△ABC 中，由正弦定理知a =2R sin A ，b =2R sin B ， ∴由已知可得： 3×2R sin B=2×2R sin A sin B ， ∵sin B ≠0，∴sin A= 32且A 为锐角，∴A=60°…6分（2）由余弦定理：c 2=a 2+b 2-2abcos C ，可得：5=a 2+25-2×5a ×910， 可得：a 2-9a +20=0， 解得：a =4或5…12分19.（本题满分为12分） 解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b 2+c 2-a 2=bc ，由余弦定理可得cos A=b 2+c 2−a 22bc=bc 2bc =12，…（3分）∵0＜A ＜π，∴A=π3． …（6分）（Ⅱ）∵f （x ）=sinx +2cos 2x 2=sinx +cosx +1= 2sin （x +π4）+1， ∴f （B ）= 2sin （B+π4）+1= 2+1， ∴B=π4，…（9分）∵a sinA =bsinB ，即：2sin π3=bsin π，∴b =2×22 32=2 63． …（12分）20.解：（1）∵2acos C=2b -c ，∴2a ×a 2+b 2−c 22ab=2b -c ，化为：b 2+c 2-a 2=bc ．∴cos A=b 2+c 2−a 22bc=12，又A ∈（0，π）． ∴A =π3．（2）∵asinA =bsinB =csinC ，∴b =2 3asinB 3，c =2 3asinC 3， ∴b +c =2 3asinB3+2 3asinC3=2，sin B+sin C=sin B+sin (2π3−B )=sin B+ 32cos B+12sin B= 3( 32sinB +12cosB )= 3sin (B +π6)．∴a = 3sinB +sinC =1sin (B +π)，∵B ∈(0，2π3)，∴a ∈[1，2）．21.解：（I ）由题意可得：a n =a 1+2（n -1），b 22=b 1b 3，(a 1+6)2=a 1（a 1+24），解得a 1=3． ∴a n =3+2（n -1）=2n +1．设等比数列{b n }的公比为q ，则q =b 2b 1=a 4a 1=93=3．∴数列{b n }的前项和B n =3(3n −1)3−1=32(3n −1)． （Ⅱ）由（I ）可得：S n =n (3+2n +1)2=n 2+2n ．邯郸市第二中学 高二年级出题人：徐瑞娟审题人：王翠英7 ∴1S n=1n 2+2n =12(1n −1n +2)．∴数列{1S n}的前项和为T n =12[(1−13)+(12−14)+(13−15)+…+(1n−1−1n +1)+(1n −1n +2)]=12(1+12−1n +1−1n +2) =34-2n +32(n +1)(n +2)．22.解：（Ⅰ）依题意得， 3a 1+3×22d +5a 1+4×32d =50(a 1+3d )2=a 1(a 1+12d )…（2分）解得 a 1=3d =2，…（4分）∴a n =a 1+（n -1）d =3+2（n -1）=2n +1 …（5分）（Ⅱ）由（I ）得，b 13+b 232+⋯+bn3n =2n ， 当n ≥2时，b 13+b 23+⋯+bn −13=2n −2，两式相减得，bn 3=2，则b n =2•3n（n ≥2）…（7分） 当n =1时满足上式，所以b n =2•3n （n ∈N *），∴nb n =2n •3n（n ∈N *），T n =2•31+4•32+6•33+…+2n •3n，∴3T n =2•32+4•33+6•34+…+2n •3n+1，…（9分）两式相减得，-2T n =2•31+2•32+2•33+…+2•3n -2n •3n+1=2（31+32+33+…+3n ）-2n •3n+1 =2×3(1−3n )1−3-2n •3n +1=（1-2n ）•3n +1-3，…（11分）∴T n =(2n +1)⋅3n +1+32．…（12分）。

05限时规范特训A 级 基础达标1．[2014·杭州模拟]数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A ．200B ．－200C ．400D ．－400解析：S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3) －…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.答案：B2．[2014·江南十校联考]若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( )A ．1－14n B ．1－12n C.23(1－14n ) D.23(1－12n )解析：a n ＝2n －1，设b n ＝1a n a n ＋1＝(12)2n －1，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12＋(12)3＋…＋(12)2n －1 ＝12(1－14n )1－14＝23(1－14n )． 答案：C3．[2014·锦州模拟]设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.n n －1D.n ＋1n解析：∵f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1， ∴m ＝2，a ＝1.∴f (x )＝x 2＋x ，f (n )＝n 2＋n . ∴1f (n )＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. ∴S n ＝1f (1)＋1f (2)＋1f (3)＋…＋1f (n －1)＋1f (n )＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1－1n )＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝nn ＋1.答案：A4．[2014.西安模拟]数列1,1＋2,1＋2＋4，...，1＋2＋22＋ (2)－1，…的前n 项和S n >1020，那么n 的最小值是( ) A ．7 B ．8 C ．9D ．10解析：∵1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n －1，∴S n ＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝2－2n ＋11－2－n ＝2n ＋1－2－n .若S n >1020，则2n ＋1－2－n >1020，∴n ≥10. 故选D 项． 答案：D5．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ∈N *，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，∴a 1q 4·a 1q 2n －6＝22n ，即a 21·q 2n －2＝22n ⇒(a 1·q n －1)2＝22n ⇒(a n )2＝(2n )2，∵a n >0，∴a n ＝2n ，∴a 2n －1＝22n －1，∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 22＋log 223＋…＋log 222n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝1＋(2n －1)2·n ＝n 2. 答案：C6．[2014·景德镇质检]已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2(n 为奇数)，－n 2(n 为偶数)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2014等于( )A ．－2013B ．－2014C ．2013D ．2014解析：当n 为奇数时，a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝n 2－(n ＋1)2＝－(2n ＋1)；当n 为偶数时，a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝－n 2＋(n ＋1)2＝2n ＋1.所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2014＝2(－1＋2－3＋4＋…－2013＋2014)＝2014.答案：D7．设数列{a n }的首项a 1＝32，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n＝3(n ∈N *)，则满足1817<S 2n S n<87的所有n 的和为________．解析：由2a n ＋1＋S n ＝3得2a n ＋S n －1＝3(n ≥2)，两式相减，得2a n＋1－2a n ＋a n ＝0，化简得2a n ＋1＝a n (n ≥2)，即a n ＋1a n ＝12(n ≥2)，由已知求出a 2＝34，易得a 2a 1＝12，所以数列{a n }是首项为a 1＝32，公比为q ＝12的等比数列，所以S n ＝32[1－(12)n ]1－12＝3[1－(12)n ]，S 2n ＝3[1－(12)2n ]代入1817<S 2nS n<87，可得117<(12)n <17，解得n ＝3或4，所以所有n 的和为7.答案：78．[2014·北京西城区月考]已知{a n }是公比为2的等比数列，若a 3－a 1＝6，则a 1＝________；1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n＝________.解析：∵{a n }是公比为2的等比数列，且a 3－a 1＝6，∴4a 1－a 1＝6，即a 1＝2，∴a n ＝2·2n －1＝2n ，∴1a 2n＝(14)n ，即数列{1a 2n}是首项为14，公比为14的等比数列，∴1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n＝14(1－14n )1－14＝13(1－14n )． 答案：2 13(1－14n )9．[2014·武汉模拟]若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n＝n2＋3n(n∈N*)，则a12＋a23＋…＋a nn＋1＝________.解析：令n＝1，得a1＝4，即a1＝16.当n≥2时，a n＝(n2＋3n)－[(n－1)2＋3(n－1)]＝2n＋2，所以a n＝4(n＋1)2，当n＝1时，也适合，所以a n＝4(n＋1)2(n∈N*)．于是a nn＋1＝4(n＋1)，故a12＋a23＋…＋a nn＋1＝2n2＋6n.答案：2n2＋6n10．已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝a n＋2a n，求数列{b n}的前n项和S n.解：(1)设数列{a n}的公差为d，由a1＝2和a2，a3，a4＋1成等比数列，得(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，解得d＝2或d＝－1.当d ＝－1时，a 3＝0，与a 2，a 3，a 4＋1成等比数列矛盾，舍去． ∴d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n ， 即数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)∵b n ＝2n ＋22n ＝2n ＋4n ，∴S n ＝(2＋41)＋(4＋42)＋…＋(2n ＋4n )＝(2＋4＋…＋2n )＋(41＋42＋ (4))＝n (2＋2n )2＋4(1－4n)1－4＝n 2＋n ＋43(4n －1). 11．已知各项均不相等的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝15，且a 3＋1为a 1＋1和a 7＋1的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式与前n 项和S n ；(2)设T n 为数列{1S n}的前n 项和，问是否存在常数m ，使T n ＝m [n n ＋1＋n 2(n ＋2)]，若存在，求m 的值；若不存在，说明理由． 解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由已知，可得 S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝15，得a 2＝a 1＋d ＝5， 由a 3＋1为a 1＋1和a 7＋1的等比中项，可得(6＋d )2＝(6－d )×(6＋5d )，化简得d 2－2d ＝0， 解得d ＝0(不合题意，舍去)或d ＝2，当d ＝2时，a 1＝3，其通项公式为a n ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1，前n 项和S n ＝n (n ＋2)．(2)由(1)知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n (n ＋2)， 则有1S n ＝1n (n ＋2)＝12(1n －1n ＋2)，T n ＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2)＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)＝12[n n ＋1＋n2(n ＋2)]． 故存在常数m ＝12，使得T n ＝m [n n ＋1＋n 2(n ＋2)]成立．12．[2014·温州模拟]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2.当n ≥2时，S n －1＋1，a n ，S n ＋1成等差数列．(1)求证：{S n ＋1}是等比数列； (2)求数列{na n }的前n 项和T n .解：(1)证明：∵S n －1＋1，a n ，S n ＋1成等差数列， ∴2a n ＝S n ＋S n －1＋2(n ≥2)．∴2(S n －S n －1)＝S n ＋S n －1＋2，即S n ＝3S n －1＋2， ∴S n ＋1＝3(S n －1＋1)(n ≥2)．∴{S n ＋1}是首项为S 1＋1＝3，公比为3的等比数列． (2)由(1)可知S n ＋1＝3n ，∴S n ＝3n －1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2×3n －1. 又a 1＝2，∴a n ＝2×3n －1(n ∈N *)．na n ＝2n ·3n －1∴T n ＝2＋4×3＋6×32＋…＋2(n －1)×3n －2＋2n ×3n －1，① 3T n ＝2×3＋4×32＋6×33＋…＋2(n －1)×3n －1＋2n ×3n ，② 由①－②得，－2T n ＝2＋2×3＋2×32＋…＋2×3n －1－2n ×3n ＝2(1－3n )1－3－2n ×3n ＝3n －1－2n ×3n ，∴T n ＝(2n －1)×3n ＋12. B 级 知能提升1．[2014·长春第一次调研]数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2014＝( )A.40242013 B.40282015 C.20102011D.20092010解析：令m ＝1得a n ＋1＝a n ＋n ＋1， 即a n ＋1－a n ＝n ＋1，于是a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)， 上述n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ， 所以a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2， 当n ＝1时，a 1＝1满足上式，所以a n ＝n (n ＋1)2(n ∈N *)， 因此1a n ＝2n (n ＋1)＝2(1n －1n ＋1)，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2014＝2(1－12＋12－13＋…＋12014－1 2015) ＝2(1－12015) ＝40282015 答案：B2．[2014·海南中学统考]在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋a n ＋1＝1(n ∈N *)，设S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2007－2S 2006＋S 2005的值为________．解析：当n 为偶数时，a 1＋a 2＝a 3＋a 4＝…＝a n －1＋a n ＝1，故S n＝n2；当n 为奇数时，a 1＝2，a 2＋a 3＝a 4＋a 5＝…＝a n －1＋a n ＝1，故S n ＝2＋n －12＝n ＋32.故S 2007－2S 2006＋S 2005＝1005－2×1003＋1004＝3.答案：33．设数列{a n }中，若a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则称数列{a n }为“凸数列”，已知数列{b n }为“凸数列”，且b 1＝1，b 2＝－2，则数列{b n }的前2014项和为________．解析：由“凸数列”的定义，可知，b 1＝1，b 2＝－2，b 3＝－3，b 4＝－1，b 5＝2，b 6＝3，b 7＝1，b 8＝－2，…，故数列{b n }是周期为6的周期数列，又b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＋b 6＝0，故数列{b n }的前2014项和S 2014＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝1－2－3－1＝－5.答案：－54．[2014·惠州调研]已知数列{a n }中，a 1＝2，a n －a n －1－2n ＝0(n ≥2，n ∈N *)．(1)写出a 2，a 3的值(只写结果)，并求出数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n ＋1＋1a n ＋2＋1a n ＋3＋…＋1a 2n，若对任意的正整数n ，当m∈[－1,1]时，不等式t 2－2mt ＋16>b n 恒成立，求实数t 的取值范围．解：(1)∵a 1＝2，a n －a n －1－2n ＝0(n ≥2，n ∈N *)， ∴a 2＝6，a 3＝12.当n ≥3时，a n －a n －1＝2n ，a n －1－a n －2＝2(n －1)， 又a 3－a 2＝2×3，a 2－a 1＝2×2， ∴a n －a 1＝2[n ＋(n －1)＋…＋3＋2]，∴a n ＝2[n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1]＝2×n (n ＋1)2＝n (n ＋1)． 当n ＝1时，a 1＝2；当n ＝2时，a 2＝6，也满足上式， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n ＋1)． (2)b n ＝1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a 2n＝1(n ＋1)(n ＋2)＋1(n ＋2)(n ＋3)＋…＋12n (2n ＋1)＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1＝1n ＋1－12n ＋1＝n2n 2＋3n ＋1 ＝1(2n ＋1n )＋3. 令f (x )＝2x ＋1x (x ≥1)，则f ′(x )＝2－1x 2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立，∴函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数，故当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3，即当n ＝1时，(b n )max ＝16.要使对任意的正整数n ，当m ∈[－1,1]时，不等式t 2－2mt ＋16>b n 恒成立，则需t 2－2mt ＋16>(b n )max ＝16， 即t 2－2mt >0对∀m ∈[－1,1]恒成立，∴⎩⎨⎧ t 2－2t >0t 2＋2t >0，解得t >2或t <－2，∴实数t的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．。

双基限时练(七)1．下列叙述正确的是( )A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是同一数列B ．数列0,1,2,3，…的通项公式为a n ＝nC. 0,1,0,1，…是常数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n ＋1是递增数列答案 D2．数列23，45，67，89，…的第10项是( )A.1617B.1819C.2021D.2223答案 C3．数列1,3,6,10，x,21，…中，x 的值是( )A ．12B ．13C ．15D ．16答案 C4．下列说法不正确的是( )A ．数列可以用图形表示B ．数列的通项公式不唯一C ．数列的项不能相等D ．数列可能没有通项公式答案 C5．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析 由a n ＋1－a n －3＝0，得a n ＋1＝a n ＋3，∴数列{a n }是递增数列．答案 A6．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )A ．a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *)B ．a n ＝a n －1＋n (n ∈N *，n ≥2)C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)(n ∈N *，n ≥2)D ．a n ＝a n －1＋(n －1)(n ∈N *，n ≥2)解析 把数的前5项代入验证，知a n ＝a n －1＋n 适合．答案 B7．观察数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5，7，________，11，…. 答案 38．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第________项． 解析 令n －2n 2＝0.08，得 2n 2－25n ＋50＝0，解得n ＝10，或n ＝52(舍去)， ∴a 10＝0.08.答案 109．若数列的通项公式是a n ＝3－2n ，则a 2n ＝________；a 2a 3＝________.解析 ∵a n ＝3－2n ，∴a 2n ＝3－22n ＝3－4n， a 2a 3＝3－223－23＝15. 答案 3－4n 1510．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－8n ＋12，那么该数列中为负数的项一共有________项．解析 由a n ＝n 2－8n ＋12<0，得(n －2)(n －6)<0，∴2<n <6，又n ∈N ＋，∴n ＝3,4,5共3项．答案 311．根据数列的通项公式，写出下列数列的前5项，并用图象表示出来．(1)a n ＝(－1)n ＋2；(2)a n ＝2n n ＋1. 解 (1)∵a n ＝(－1)n ＋2，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝1，a 4＝3，a 5＝1.∴数列的前5项是1,3,1,3,1.图象如图①.① ②(2)数列{a n }的前5项依次是：1，43，32，85，53.图象如图②.12．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －23n ＋1.(1)求a 10；(2)710是否为该数列中的项？若是，它为第几项？(3)求证：0<a n <1.解 (1)a 10＝3×10－23×10＋1＝2831.(2)令a n ＝710，即3n －23n ＋1＝710，解得n ＝3， ∴710为数列{a n }中的项，为第3项．(3)证明：a n ＝3n －23n ＋1＝1－33n ＋1. ∵n ∈N *，∴3n ＋1>3. ∴0<33n ＋1<1，∴0<1－33n ＋1<1，即0<a n <1.。

数列限时训练（1）一、选择题1、在等比数列{}n a （n ∈N *）中，若11a =，418a =，则该数列的前10项和为（ ） A ．4122- B ．2122- C ．10122- D ．11122- 2、设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==,则m = ( )A.3B.4C.5D.63、{a n }是等比数列，a 4 a 7=－512，a 2+a 9=254，且公比为整数，则数列的a 12是（ ）(A)－2048 (B)1024 (C)512 (D)－5124、在项数为2n+1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150， 则n 等于 ( )(A)9 (B)10 (C)11 (D)125、已知数列{}n a 的首项10a ≠，其前n 项的和为n S ，且112n n S S a +=+，则lim n n na S →∞= （A ）0 （B ）12（C ） 1 （D ）2 6、若a 是1+2b 与1-2b 的等比中项，则||2||2b a ab +的最大值为 A.1552 B.42 C.55 D.22 二、填空题1、已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+，求n a2、数列{}n a 满足12211125222n n a a a n +++=+ ，求n a 3、已知数列{}n a 满足11a =，n n a a n n ++=--111(2)n ≥，则n a =________ 4、等差数列{n a }前n 项和为n S 。

已知1m a -+1m a +-2m a =0，21m S -=38, 则m= .三、解答题1.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S2、数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝2，且对任意m 、n ∈N *都有a 2m －1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋2(m －n )2 （Ⅰ）求a 3，a 5；（Ⅱ）设b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列；（Ⅲ）设c n ＝(a n+1－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和S n .。

双基限时练(十)1．等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析 a 1＝1，a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝14， ∴d ＝2，∴S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝100. ∴n ＝10. 答案 B2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝35，则a 4＝( ) A ．8 B ．7 C ．6D ．5解析 S 7＝a 1＋a 72×7＝35， ∴a 1＋a 7＝10，∴a 4＝a 1＋a 72＝5. 答案 D3．设数列{a n }是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )A ．1B ．2C ．4D ．8 解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝12，a 1·a 2·a 3＝48，∵a 1＋a 3＝2a 2，∴a 2＝4.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 3＝8，a 1·a 3＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，a 3＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6，a 3＝2.∵{a n }是递增数列，∴a 1＝2. 答案 B4．若数列{a n }为等差数列，公差为12，且S 100＝145，则a 2＋a 4＋…＋a 100的值为( )A ．60B ．85 C.1452D ．其他值解析 设a 1＋a 3＋…＋a 99＝S 1， 则a 2＋a 4＋…＋a 100＝S 1＋50d . 依题意，有S 1＋S 1＋50d ＝145. 又d ＝12，∴S 1＝60.∴a 2＋a 4＋…＋a 100＝60＋25＝85. 答案 B5．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( )A ．2B ．3C ．6D ．7 解析 由题意，有a 1＋a 2＝4，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝20， ∴a 3＋a 4＝16. ∴a 1＋2d ＋a 2＋2d ＝16. ∴4d ＝12，d ＝3. 答案 B6．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )A ．765B ．665C ．763D ．663解析 被7除余2的自然数，构成等差数列，其首项a 1＝2，公差d ＝7.最大的a n ＝93，由2＋(n －1)×7＝93得n ＝14.∴这些数的和为S ＝2＋932×14＝665.答案 B7．在数列{a n }中，a n ＝4n －52，a 1＋a 2＋…＋a n ＝an 2＋bn ，(n ∈N *)，其中a ，b 为常数，则ab ＝________.解析 ∵a n ＝4n －52，∴a 1＝32. 又知{a n }为等差数列，且d ＝4， ∴an 2＋bn ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝32n ＋n (n －1)2×4＝2n 2－12n . ∴a ＝2，b ＝－12，∴ab ＝－1. 答案 －18．在等差数列{a n }中，S 4＝6，S 8＝20，则S 16＝________. 解析 S 4＝6，S 8＝S 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝20， ∴a 1＋…＋a 4＝6，a 5＋…＋a 8＝14. ∴a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝22， a 13＋…＋a 16＝30，∴S 16＝72. 答案 729．在数列{a n }中，a n ＋1＝2a n 2＋a n(n ∈N *)，且a 5＝12，则a 3＝________.解析 由a n ＋1＝2a n 2＋a n ，得1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公差为12的等差数列，故1a 3＝1a 5－2d ＝2－2×12＝1，即a 3＝1.答案 110．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50. (1)求通项a n ； (2)若S n ＝242，求n .解 (1)设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.∴通项a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10＋2n .(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，S n ＝242，可得方程 12n ＋n (n －1)2×2＝242.解得n ＝11或n ＝－22(舍去)，∴n ＝11.11．已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }的前n 项和S n 的最大值． 解 (1)设{a n }的公差为d ，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5. (2)S n ＝na 1＋n (n －1)2d＝－n 2＋4n ＝－(n －2)2＋4，所以，当n ＝2时，S n 取得最大值4.12．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .∵a 3＝7，a 5＋a 7＝26，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .即a n ＝2n ＋1，S n ＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，∴b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14×1n (n ＋1)＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴T n ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n4(n ＋1)，即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).。

数列、解三角形限时练习（40分钟）2019-09-251.已知{a n }是等差数列，满足：对∀n ∈N*，a n +a n +1＝2n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝（ ）A. nB. n ﹣1C. n ﹣12D. n+122.已知等差数列{a n }中，39a =，517a =，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为S n ，若()2110n n m S S m Z +-≤∈，对任意的*n N ∈恒成立，则整数m 的最小值是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．23.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22(sin sin )sin ()3sin sin B C B C B C +-+=，且2a =，则△ABC 的面积的最大值是（ ）3 C. 4.在两直角边分别为a ，b ，斜边为c 的直角三角形中，若1,c a b mab =+=，则实数m 取值范围是（ ）A ．B ．⎡⎣ C.)⎡+∞⎣ D ．)⎡+∞⎣ 5.已知函数：123)(2--=mx x x f ,47)(-=x x g ．若对任意的)2,1(-∈x ,)()(x g x f ≥，则m 的取值范围是 .6.已知140,0,1x y x y>>+=，不等式280m m x y ---<恒成立，则m 的取值范围是 ．（答案写成集合或区间格式）7.已知()()()1 0 1 1 OA OB x y OA OB λμ===+，，，，，.若012λμ≤≤≤≤时，()0 0x y z m n m n=+>>，的最大值为2，则m n +的最小值为 . 8.已知等比数列{a n }的前n 项和为()*234,2,,4n S n N S S S ∈-成等差数列，且2341216a a a ++=. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若2(2)log n a n b n =-+，求数列}1{nb 的前n 项和T n .（答案写在背面）试卷答案1.C2.B3.B4.C5.[]1,1x ∈-6.()1,9-7.52+8.(1) 12n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ (2) 32342(1)(2)n n T n n +=-++【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ， 由23424,,S S S -成等差数列知，324224S S S =-+， 所以432a a =-，即12q =-. 又2341216a a a ++=，所以231111216a q a q a q ++=，所以112a =-， 所以等差数列{}n a 的通项公式12n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）由（1）知1()22(2)log (2)n nb n n n =-+=+ ， 所以11111(2)22n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和： 11111111111232435112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111112212n n ⎡⎤=+--⎢⎥++⎣⎦ 32342(1)(2)n n n +=-++ 所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32342(1)(2)n n T n n +=-++。

数列限时训练题（二）一、选择题1.等比数列{a n }的公比为q ，则“q ＞1”是“对于任意正整数n ，都有a n ＋1＞a n ”的( D ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2.(2009·广东高考)已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝ ( C ) A.n (2n －1) B.(n ＋1)2 C.n 2 D.(n －1)23.(2010·宁波模拟)已知数列{a n }是首项为a 1的等比数列，则能保证4a 1，a 5，－2a 3成等差数列的公比q 的个数为 ( B) A. 3 B. 2 C. 1 D. 04.(2010·嘉兴模拟)等比数列{a n }中，a 1＝317，q ＝－12.记f (n )＝a 1·a 2·…·a n ，则当f (n )最大时，n 的值为 ( C) A.7 B.8 C.9 D.105.设数列{a n }是首项为m ，公比为q (q ≠1)的等比数列，S n 是它的前n 项和，对任意的n ∈N *，点⎝⎛⎭⎫a n ，S 2n S n ( A ) A ．在直线qx －my ＋m ＝0上 B ．在直线mx ＋qy －q ＝0上 C ．在直线qx ＋my －q ＝0上 D ．不一定在一条直线上6.在等差数列{a n }中，其前n 项和是S n ，若S 15＞0，S 16＜0，则在11S a ，22Sa ，…，1515S a 中最大的是 ( B ) A .11S a B .88S a C .99S a D .1515S a7．已知等比数列{a n }的首项为8，S n 是其前n 项的和，某同学经计算得S 2＝20，S 3＝36，S 4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为 ( C ) A ．S 1 B ．S 2 C ．S 3 D ．S 48.已知数列{a n }共有m 项，定义{a n }的所有项和为S (1)，第二项及以后所有项和为S (2)，第三项及以后所有项和为S (3)，…，第n 项及以后所有项和为S (n ).若S (n )是首项为2，公比为12的等比数列的前n 项和，则当n ＜m 时，a n 等于 ( A )A. －12n －1B.12n －2C. －12n －2D.12n －1二、填空题9. 设f (x )是定义在R 上恒不为0的函数，对任意x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n 为常数)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是 [12，1).10.已知数列{a n }中，a 1＝1，na n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)·a n －1(n ≥2)，则a n ＝ .11.设等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为 1941 .12.在所示的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列， 每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为 1 .三、解答题13．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上. (1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝n ＋14a n(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由题意，S n ＝b n ＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r . 所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)，由于b ＞0且b ≠1，所以当n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列，又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r ＝b ，解得r ＝－1.(2)由(1)知，n ∈N *，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1，所以b n ＝n ＋14×2n －1＝n ＋12n ＋1.T n ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋1. 12T n ＝223＋324＋…＋n 2n ＋1＋n ＋12n ＋2，两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2 ＝12＋123×(1－12n －1)1－12－n ＋12n ＋2＝34－12n ＋1－n ＋12n ＋2，故T n ＝32－12n －n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1. 14. 等差数列{}n a 的前n项和为1319n S a S =+=+，． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ； （Ⅱ）设()nn S b n n*=∈N ，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 14.解：（Ⅰ）由已知得111339a a d ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩，2d ∴=，故21(n n a n S n n =-+=+．（Ⅱ）由（Ⅰ）得n n Sb n n==假设数列{}n b 中存在三项p q r b b b ，，（p q r ，，互不相等）成等比数列， 则2q p r b b b =．即2((q p r +=++．2()(20q pr q p r ∴-+--= p q r *∈N ，，，2020q pr q p r ⎧-=∴⎨--=⎩，， 22()02p r pr p r p r +⎛⎫∴=-=∴= ⎪⎝⎭，，． 与p r ≠矛盾．所以数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成等比数列．15．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足(p －1)S n ＝p 2－a n (p >0，p ≠1)，且a 3＝13.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝12－log 3a n，数列{b n b n ＋2}的前n 项和为T n ，若对于任意的正整数n ，都有T n <m 2－m ＋34成立，求实数m 的取值范围．15.解：(1)由题设知(p －1)a 1＝p 2－a 1，解得p ＝a 1或p ＝0(舍去)． 由条件可知(p －1)S 2＝(p －1)(a 1＋a 2)＝p 2－a 2，解得a 2＝1.再由(p －1)S 3＝(p －1)(a 1＋a 2＋a 3)＝p 2－a 3，解得a 3＝1p . 由a 3＝13可得1p ＝13，故p ＝3＝a 1.所以2S n ＝9－a n ，则2S n ＋1＝9－a n ＋1，以上两式作差得2(S n ＋1－S n )＝a n －a n ＋1，即2a n ＋1＝a n －a n ＋1，故a n ＋1＝13a n .可见，数列{a n }是首项为3，公比为13的等比数列．故a n ＝3(13)n －1＝32－n .(2)因为b n ＝12－log 3a n ＝12－(2－n )＝1n ，所以b n b n ＋2＝1n (n ＋2)＝12(1n －1n ＋2)，T n ＝b 1b 3＋b 2b 4＋b 3b 5＋…＋b n b n ＋2＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋(14－16)＋…＋(1n －1n ＋2)]＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)<34.故要使T n <m 2－m ＋34恒成立，只需34≤m 2－m ＋34， 解得m ≤0或m ≥1.故所求实数m 的取值范围为(－∞，0]∪[1，＋∞)．。

高三限时训练（1）1.已知数列{a n}是等比数列，若a2=1，a5=18，则a1a2+a2a3+a3a4+a4a5=( )A. 25532B. 8532C. 2552D. 8532.已知等比数列{a n}中，a5=3，a4a7=45，则a7−a9a5−a7的值为()A.3B. 5C. 9D. 253.已知数列{a n}是公差大于0的等差数列，且满足a1+a5=4，a2a4=−5，则数列{a n}的前10项的和等于()A.23B. 95C. 135D. 1384.已知数列{a n}中，a1=1，前n项和为S n，且点P(a n,a n+1)在直线y=x+1上，则1 S1+1S2+1S3+⋯+1S n=()A. 2nn+1B. 2n(n+1)C. n(n+1)2D. n2(n+1)5.数列{a n}满足a1=12，且对于任意n∈N+都满足a n+1=a n3a n+1，则数列{a n⋅a n+1}的前n项和为()A. 13n+1B. n3n+1C. 13n−2D. n2(3n+2)6.已知等比数列{a n}的各项都是正数，且3a1，12a3，2a2成等差数列，则a20+a19a18+a17=()A.1B. 3C. 6D. 97.已知数列{a n}的前n项和S n=2n−1，则数列{log2a n}的前10项和等于()A.1023B. 55C. 45D. 358.已知等比数列{a n}中，有a3a11=4a7，数列{b n}是等差数列，其前n项和为S n，且b7=a7，则S13=()A.26B. 52C. 78D. 1049.已知数列满足S n=2n2−n+1，则通项公式a n=______ ．10.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n−4(n∈N∗)，则a n=______；数列{log2a n}的前n项和为______．11.已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，n∈N∗．2(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=2a n+(−1)n a n，求数列{b n}的前2n项和．12.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a10=30，a15=40．(1)求通项a n；(2)若S n=210，求n．高三限时训练（2）13.数列3，6，12，21，x，48…中的x等于()A.29B. 33C. 34D. 2814.已知数列{a n}中，a1=1，a n=3a n−1+4(n∈N∗且n≥2)，则数列{a n}通项公式a n为()A.3n−1 B. 3n+1−8C. 3n−2D. 3n15.已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则()A.a1d>0，dS4>0B. a1d<0，dS4<0C. a1d>0，dS4<0D. a1d<0，dS4>016.等差数列{a n}的前n项和是S n，且a3=1，a5=4，则S13=()A.39B. 91C. 48D. 5117.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )A.13项B. 12项C. 11项D. 10项18.设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a7a4=2，则S13S7的值为()A.1314B. 2 C. 713D. 26719.等比数列{a n}的各项均为正数，且a1+2a2=4，a42=4a3a7，则a5=( )A.18B. 116C. 20D. 4020.已知a1=5，a n=2a n−1+3(n≥2)，则a6=______ ．21.已知等比数列{a n}为递增数列.若a1>0，且2(a4+a6)=5a5，则数列{a n}的公比q=______ ．22.已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a9构成等比数列{b n}的前3项，则a1+a3+a6a2+a4+a10=______．23.设S n为数列{a n}的前n项和，2a n−a n−1=3⋅2n−1(n≥2)，且3a1=2a2．(1)设b n=a n2n−1，证明数列{b n}是等比数列；(2)记T n为数列{na n+S n }的前n项和，求Tn．24.已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2=4，a n+12=6S n+9n+1，n∈N∗，各项均为正数的等比数列{b n}满足b1=a1，b3=a2．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)若c n=(3n−2)⋅b n，数列{c n}的前n项和T n高三限时训练（3）25. 在等比数列{a n }中，a 3=2，a 6=16，则数列{a n }的公比是( )A. −2B. √2C. 2D. 426. 已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为( )A. 2B. 4C. 8D. 1627. 已知数列{a n }满足a n+1+(−1)n+1a n =2，则其前100项和为( )A. 250B. 200C. 150D. 10028. 已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1·a 3=4，a 4=8，则a 1+q 的值为( )A. 3B. 2C. 3或−2D. 3或−329. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S n =2a n −3n ，则a 2018=( )A. 22018−1B. 32018−6C. (12)2018−72D. (13)2018−10330. 已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3=14，a 3=8，则a 6=()A. 16B. 32C. 64D. 128 31. 已知{a n }是公差为12的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若a 2，a 6，a 14成等比数列，则S 5=( ) A. 352B. 35C. 252D. 2532. 设S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1=−1，a n+1=S n S n+1，则S n =______．33. 已知两个等差数列{a n }，{b n }，它们的前n 项和分别是S n ，T n ，若S nT n=2n+33n−1，则a7b 7=______ ．34. 已知数列{a n }中，a 1=20，a n+1=a n +2n −1，n ∈N ∗，则数列{a n }的通项公式a n =______．35.在等差数列{a n}中，a3+a4=15，a2a5=54，公差d<0．(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)求数列的前n项和S n的最大值及相应的n值．36.设数列{a n}的前n项和为S n.已知2S n=3n+3．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n}满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．高三限时训练（4）37.在公差不为零的等差数列{a n}中，2a5−a72+2a9=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则log2(b5b9)=()A.1B. 2C. 4D. 838.数列{a n}为等差数列，满足a2+a4+⋯+a20=10，则数列{a n}前21 项的和等于()B. 21C. 42D. 84A.21239.已知等差数列{a n}的前3项和为4，后3项和为7，所有项和为22，则项数n为()A.12B. 13C. 14D. 1540.已知各项都为正的等差数列{a n}中，a2+a3+a4=15，若a1+2，a3+4，a6+16成等比数列，则a10=( )A.19B. 20C. 21D. 2241.已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=()A.−4B. −6C. −8D. −1042.设{a n}是首项为a1，公差为−2的等差数列，S n为前n项和，若S1,S2,S4成等比数列，则a1=( )A.2B. −2C. 1D. −143.数列{a n}中，已知a1=1，a2=2，a n+2=a n+1−a n(n∈N∗)，则a2017=()A.1B. −1C. −2D. 244.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a6+a7+a8=()A.63B. 45C. 39D. 2745.数列{a n}满足a n+1+(−1)n a n=2n−1，则{a n}的前20项和为______．46.已知等比数列{a n}的公比不为−1，设S n为等比数列{a n}的前n项和，S12=7S4，则S8=______．S447.已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26，其前n项和为S n．(Ⅰ)求{a n}的通项公式及S n；(n∈N∗)，求数列{b n}的前8项和．(Ⅱ)令b n=1S n−n48.已知等比数列{a n}中，a1=2,a4=16．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若a3,a5分别是等差数列{b n}的第8项和第20项，试求数列{b n}的通项公式及前n项和S n．高三限时训练（5）49.在等比数列{a n}中，a1，a4是方程x2−2x−3=0的两根，则a2⋅a3=()A.2B. −2C. 3D. −350.各项为正数的等比数列{a n}中，若a1⋅a7=36，则a4的值是()A.6B. 8C. 5D. 751.《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月(按30天计)共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织()尺布．A.12B. 815C. 1631D. 162952.已知数列{a n}的通项为a n=(−1)n(4n−3)，则数列{a n}的前50项和T50=( )A.98B. 99C. 100D. 10153.已知各项均为正数的等比数列{a n}，a3⋅a5=2，若f(x)=x(x−a1)(x−a2) (x)a7)，则)A.8√2B. −8√2C. 128D. −12854.在等比数列{a n}中，已知a7⋅a19=8，则a3⋅a23=()A.6B. 7C. 8D. 955.等差数列{a n}的前m项和为30，前3m项和为90，则它的前2m项和为______ ．56.已知三个数12，x，3成等比数列，则实数x=______ ．57.已知S n为数列{a n}的前n项和，且log2(S n+1)=n+1，则数列{a n}的通项公式为______．58.若等比数列{a n}满足a1+a3=20，a2+a4=40，则公比q=______ ．59.在数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和S n满足S n2=a n(S n−12)．(1)求a n；(2)令b n=S n，求数列{b}的前项和T．60.已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设S n为数列{a n}的前n项和，b n=a n+1S n S n+1，求数列{b n}的前n项和T n．61.已知数列{a n}满足a1=12，a n=a n−12−a n−1(n≥2)．(1)求证：{1a n−1}为等比数列，并求出{a n}的通项公式；(2)若b n=2n−1a n，求{b n}的前n项和S n．62.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2(n+1)n a n，设b n=a nn，n∈N∗．(Ⅰ)证明{b n}是等比数列；(Ⅱ)求数列{log2b n}的前n项和T n．高三限时训练（6）63.已知{a n}为等差数列，a2+a8=43，则S9等于______ ．64.已知数列{a n}，若a1+2a2+⋯+na n=2n，则数列{a n a n+1}的前n项和为______．65.已知数列n∈N∗，前n项和S n=n2+2n−1(n∈N∗)，则a1=______ ；数列{a n}的通项公式为a n=______ ．66.设等比数列{a n}满足a n>0，且a1+a3=516，a2+a4=58，则log2(a1a2…a n)的最小值为____．67.已知数列{a n}的前n项和S n=2n+n，则a3=______．68.设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=2S n+1，数列{b n}满足a1=b1，点P(b n,b n+1)在x−y+2=0上，n∈N∗．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)设c n=b na n，求数列{c n}的前n项和T n．69.设{a n}为等比数列，S n为其前n项和，已知a n+1=2S n+1．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{na n}的前n项和H n．70.已知{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n表示{a n}的前n项和．(Ⅰ)求a n及S n；(Ⅱ)设{b n}是首项为2的等比数列，公比为q满足q2−(a4+1)q+S4=0.求{b n}的通项公式及其前n项和T n．71.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−2．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和为T n，求T n．(2)若数列{n+1a n72.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=6，S5=40.求数列{a n}的通项公式和前n项和．73.已知数列{a n}满足：a1+a2+a3+⋯+a n=n−a n，(n=1,2，3，…)(Ⅰ)求a1，a2，a3的值；(Ⅱ)求证：数列{a n−1}是等比数列；。