江苏省东台市时堰中学等六校高一下学期期中联考数学试题

盐城市—下学期期中考试高一数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置．．．．上． 1.化简的结果是 .2.在空间直角坐标系O xyz -中，点(1,1,2)A -，点(2,1,3)B ，则线段AB 长为 .3.过点A （-2，0）与B （-5，3）的直线的倾斜角为 .4.圆心为(1,-1),半径为2的圆的标准方程是 .5.直线l过点，且与圆()1122=+-y x 相切，则直线l 的方程为____ ________.6.已知向量(4,0),(2,2),AB AC ==则AC BC 与的夹角的大小为 .7.两圆04816622=-+-+y x y x 与0448422=--++y x y x 的公切线有 条.8.圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋c ＝0与y 轴交于A 、B 两点，其圆心为P ，若∠APB ＝90°， 则实数c 的值是 . 9. 圆C：1)6()2(22=-++y x 关于直线02=--y x 对称的圆的方程是 . 10.已知实数y x ,满足22x x y -=，则1+x y的取值范围是__________． 11.已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值为 ．12.不论k 为何实数，直线与曲线恒有公共点，则实数a 的取值范围是 .13. 已知实数x 、y 满足方程()()22111x a y -++-=，当0y b ≤≤（b R ∈）时，由此方程可以确定一个偶函数()y f x =，则点F 1(0,)2-到点(,)a b 的轨迹上点的距离最大值为 .①AB BC CA ++=0；②在ABC ∆中，若0>⋅，则ABC ∆为锐角三角形；③圆4)1()2(22=+++y x 与直线02=-y x 相交，所得弦长为2；)]24()82(21[31--+1+=kx y 0422222=--+-+a a ax y x④过圆222r y x =+内部一定点．．),(b a M 作动弦AB ，过A 、B 分别作圆的切线，若两条切线的交点为P ，则点P 恒在一条定直线上运动.二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量=（6，2），=（－3，k ），当k 为何值时，有（1）∥ ? （2）⊥ ? （3）与所成角θ是钝角 ？16. 已知两平行直线1l 、2l 分别过)0,2(1P 与)32,0(2P 。

高一年级第二学期期中联考数学试题本试卷分试题卷和答题卷两部分.试题卷包括1至4页；答题卷1至4页.满分150分.考试时间120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数，其中是虚数单位，是的共轭复数，则（ ）(13i)(2)10z z +-=i z z z =A. B. C. D.1+i 1i -1i -+1i --2. 已知向量，，．若与垂直，则实数的值为(1,2)a = (1,1)b =-r (4,5)c = a b c λ-r r λ（ ）A. B. C. D. 114314-114-4113. 已知，，则的值为（ ） π1cos 67α⎛⎫+= ⎪⎝⎭0πα<<sin αA. B. C. D. 111413144. 如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为的边旋转二周后所得如图的一开口容器4（下表面密封），是中点，现有一只妈蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这P BC A P 只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（ ）PA. B. C. D.5. 已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，点P 满足，则与面积比为（ ） 112663OP OB OC OA =++ ACP △BCP A A. 5:6 B. 1:4 C. 2:3 D. 1:26. 《九章算术》涉及算术、代数、几何等诸多领域，书中有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高二丈，问积几何？”其意思为：“有一个圆台，下底周长为3丈，上底周长为2丈，高为2丈，那么该圆台的体积是多少？”已知1丈等于10尺，圆周率约为3，估算出这个圆台体积约有（ ）A. 立方尺B. 立方尺 34475279C. 立方尺 D. 立方尺 342745105597. 已知△ 的内角所对的边分别为，满足，则ABC ,,A B C ,,a b c 2220a c ac b ++-=的取值范围为（ ） 2tan cos sin cos 222A C C B B --A. B. 33,42⎛⎫ ⎪⎝⎭13,44⎛⎫ ⎪⎝⎭C. D. 3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦8. 已知正方形的边长为，现将△沿对角线翻折，得到三棱锥ABCD 2ADC AC .记的中点分别为，则下列结论错误的是（ ）D ABC -,,AC BC AD ,,O M NA. 与平面所成角的范围是 MN BOD ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 三棱锥 D ABC -C. 与所成角的范围是 MN AC ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 三棱锥的外接球的表面积为定值D ABC -二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义i e cos isin x x x =+域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ）A. 对应的点位于第二象限2i e B. 为纯虚数πi eC. 的模长等于 14D. 的共轭复数为 πi 3e 1210. 已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是αβm n （ ）A. 若，，，则m n ⊥m α⊥//n βαβ⊥B. 若，，则m α⊥//n αm n ⊥C. 若，则//,//m m n α//n αD. 若，，则与所成的角和与所成的角相等//m n //αβm αn β11. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为αβ4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是（ ）A. 每一个直角三角形的面积为54B.3sin 3cos 2βα-=C.3sin 3sin 2βα-=D. ()5os 9c αβ-=12. 在长方体中，，，，动点在平面1111ABCD A B C D -3AB =4BC =15AA =P 内且满足，则（ ）11ADD A 10101AP AD AA λμλμ=+≤≤≤≤，，A. 无论，取何值，三棱锥的体积为定值30λμ1P BCC -B. 当时，0λ=1BP PC +C. 当时，直线与直线恒为异面直线1μ=PD 1CC D. 当时，平面 1λμ+=//BP 11CB D 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. _______________. 2cos 20︒=14. 已知是等腰直角三角形，，是外接圆上一ABC A 90,6A AB AC ∠=︒==S ABC A 点，则的取值范围是_______.()SA SB SC ⋅+ 15. 山西应县木塔（如图1）是世界上现存最古老、最高大的木塔，是中国古建筑中的瑰宝，是世界木结构建筑的典范．如图2，某校数学兴趣小组为测量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高为在地面上的射影为，在地面上再确定一点AB P D （，，三点共线），测得约为58米，在点处测得塔顶的仰角分别为C B C D BC ,A C P 30°和60°，则该小组估算的木塔的高度为______米．16. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，球的半径，，4r =1O 分别为圆柱上、下底面的圆心，O 为球心，为底面圆的一条直径，若为球面2O EF 1O P 和圆柱侧面的交线上一动点，线段与的和为，则的取值范围为PE PF PE PF +PE PF +________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知．sin(π)3cos αα-=（1）若为锐角，求的值； απcos 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）求值．πtan 24α⎛⎫- ⎪⎝⎭18. 已知复数z =（1）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围； )22m m --m（2）若在复平面（为坐标原点）内对应的点分别为.求向量在2z 2z +O ,B C OB向量上的投影向量的坐标.OC n 19. 如图，在中，，点为边的中点，ABC A 6,2,60AC BC ACB ==∠=︒D AB ． 14BE BC =（1）求；||CD （2）求的面积．AOD △S 20. 已知△的内角所对的边分别为，且． ABC ,,A B C ,,a b c 2()2sin sin sin sin a b C B c A B--=+（1）求； cos A（2）若△的为内角A 的角平分线，交边于点D ，求线段长的ABC AD BC AD 最大值．21. 如图（1），六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且ABCDEF ADEF ABCD ，，沿进行翻折，90BAD ADC ︒∠=∠=2,4AB AF EF ED AD CD ======AD 得到的图形如图（2）所示，且.90AEC ︒∠=（1）求二面角的余弦值；C AED --（2）求四棱锥外接球的体积.C ADEF -22. 在面积为的中，内角所对的边分别为，且S ABC A ,,A B C ,,a b c ． ()22sin sin 2sin sin sin C A S a b A B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭（1）若为锐角三角形，是关于的方程的解，ABC A m x 32cos cosC)0a x S c B b -+=（求的取值范围；m （2）若且的外接圆的直径为8，分别在线段上运动cos cos a B b A =ABC A ,E F ,BC CA （包括端点），为边的中点，且，的面积为．令D AB DE DF ⊥DEF A 1S，求的最小值． 1S p =p2022-2023学年度高一年级第二学期期中联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数，其中是虚数单位，是的共轭复数，则（ ）(13i)(2)10z z +-=i z z z =A.B. C. D.1+i 1i -1i -+1i --【答案】A 2. 已知向量，，．若与垂直，则实数的值为(1,2)a = (1,1)b =-r (4,5)c = a b c λ-r r λ（ ）A. B. C. D. 114314-114-411【答案】C3. 已知，，则的值为（ ） π1cos 67α⎛⎫+= ⎪⎝⎭0πα<<sin αA. B. C. D. 11141314【答案】C4. 如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为的边旋转二周后所得如图的一开口容器4（下表面密封），是中点，现有一只妈蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这P BC A P 只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（ ）PA. B. C. D.【答案】A5. 已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，点P 满足，则与面积比为（ ） 112663OP OB OC OA =++ ACP △BCP A A. 5:6B. 1:4C. 2:3D. 1:2【答案】B6. 《九章算术》涉及算术、代数、几何等诸多领域，书中有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高二丈，问积几何？”其意思为：“有一个圆台，下底周长为3丈，上底周长为2丈，高为2丈，那么该圆台的体积是多少？”已知1丈等于10尺，圆周率约为3，估算出这个圆台体积约有（ ） A. 立方尺 B. 立方尺 34475279C. 立方尺 D. 立方尺 34274510559【答案】D 7. 已知△ 的内角所对的边分别为，满足，则ABC ,,A B C ,,a b c 2220a c ac b ++-=的取值范围为（ ） 2tan cos sin cos 222A C C B B --A. B. 33,42⎛⎫ ⎪⎝⎭13,44⎛⎫ ⎪⎝⎭C. D. 3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D8. 已知正方形的边长为，现将△沿对角线翻折，得到三棱锥ABCD 2ADC AC .记的中点分别为，则下列结论错误的是（ ）D ABC -,,AC BC AD ,,O M NA. 与平面所成角的范围是 MN BOD ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 三棱锥 D ABC -C. 与所成角的范围是 MN AC ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 三棱锥的外接球的表面积为定值D ABC -【答案】C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义i e cos isin x x x =+域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ）A. 对应的点位于第二象限2i e B. 为纯虚数πi eC. 的模长等于 14D. 的共轭复数为πi 3e 12【答案】AD 10. 已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是αβm n （ ）A. 若，，，则m n ⊥m α⊥//n βαβ⊥B. 若，，则m α⊥//n αm n ⊥C. 若，则//,//m m n α//n αD. 若，，则与所成的角和与所成的角相等//m n //αβm αn β【答案】BD11. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为αβ4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是（ ）A. 每一个直角三角形的面积为54B.3sin 3cos 2βα-=C.3sin 3sin 2βα-=D. ()5os 9c αβ-=【答案】ACD 12. 在长方体中，，，，动点在平面1111ABCD A B C D -3AB =4BC =15AA =P 内且满足，则（ ）11ADD A 10101AP AD AA λμλμ=+≤≤≤≤ ，，A. 无论，取何值，三棱锥的体积为定值30λμ1P BCC -B. 当时，0λ=1BP PC +C. 当时，直线与直线恒为异面直线1μ=PD 1CC D. 当时，平面1λμ+=//BP 11CB D 【答案】BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. _______________. 2cos 20︒=【答案】##0.51214. 已知是等腰直角三角形，，是外接圆上一ABC A 90,6A AB AC ∠=︒==S ABC A 点，则的取值范围是_______.()SA SB SC ⋅+ 【答案】[0,72]15. 山西应县木塔（如图1）是世界上现存最古老、最高大的木塔，是中国古建筑中的瑰宝，是世界木结构建筑的典范．如图2，某校数学兴趣小组为测量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高为在地面上的射影为，在地面上再确定一点AB P D （，，三点共线），测得约为58米，在点处测得塔顶的仰角分别为C B C D BC ,A C P 30°和60°，则该小组估算的木塔的高度为______米．【答案】16. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，球的半径，，4r =1O 分别为圆柱上、下底面的圆心，O 为球心，为底面圆的一条直径，若为球面2O EF 1O P 和圆柱侧面的交线上一动点，线段与的和为，则的取值范围为PE PF PE PF +PE PF +________．【答案】[4+四、解答题：本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知．sin(π)3cos αα-=（1）若为锐角，求的值； απcos 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）求值．πtan 24α⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】（1（2）7-【解析】 【分析】（1）根据诱导公式及同角三角函数的基本关系列方程求出，再由两角cos ,sin αα和的余弦公式求解即可；（2）根据二倍角的正切公式求解即可.【小问1详解】，()sin παsin α3cos α-==且，为锐角，22sin cos1αα+=α解得，cos α=sin α=所以πππ1cos αcos αcos sin αsin 3332⎛⎫+=-== ⎪⎝⎭【小问2详解】由（1）可知：，可得 ，sin α3cos α=tan α3=所以， 22tan α233tan2α1tan α194⨯===---所以 31πtan2α14tan 2α7341tan2α14---⎛⎫-===- ⎪+⎝⎭-18. 已知复数z =（1）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围； )22m m --m （2）若在复平面（为坐标原点）内对应的点分别为.求向量在2z 2z +O ,B C OB 向量上的投影向量的坐标.OC n【答案】（1） ()0,1（2） ,55 ⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)利用复数的四则运算以及复数的几何意义，建立方程组进行求解.(2)利用复数的四则运算、复数的几何意义以及投影向量的计算公式进行求解.【小问1详解】因为. z =)()()()22221i 2421i m m m m m m m --=-+-=-+-因为复数在复平面内对应的点在第二象限， )22m m --所以，解得， 2m 4010m m ⎧-<⎨->⎩01m <<即实数m 的取值范围是.()0,1【小问2详解】由题可知， ()22212i 1i 4z +-===212i z +=+则点，，，.()0,1B ()1,2C ()0,1OB = ()1,2OC = 因此. 224,55OB OC n OC OC⋅⎛⎫==⎪⎝⎭ 19. 如图，在中，，点为边的中点，ABC A 6,2,60AC BC ACB ==∠=︒DAB ． 14BE BC =（1）求；||CD （2）求的面积．AOD △S 【答案】（1（2【解析】【分析】（1）根据题意得到，结合向量的数量积的运算公式，求得1()2CD CA CB =+ ，即可求解；2||13CD = （2）设，，根据向量的线性运算，求得EO EA μ= CO CD λ= 3(1)4CO CA CB μμ-=+ 及，联立方程组，求得，结合，即可22CO CA CB λλ=+ 63,77λμ==1172ABC S S =⨯⨯A 求解.【小问1详解】解：在中，点D 为边的中点，可得， ABC A AB 1()2CD CA CB =+ 因为，6,2,60AC BC ACB ==∠=︒所以 2222211||(2)(62262cos 60)1344CD CA CB CA CB =++⋅=⋅++⨯⨯⨯︒=所以||CD = 【小问2详解】 解：在中，因为，则， ABC A 14BE BC = 34CE CB = 又因为在上，设，，其中，O AE EO EA μ= CO CD λ= R,R λμ∈∈可得，则， ()CO CE CA CE μ-=- 3(1)(1)4CO CA CE CA CB μμμμ-=+-=+ 又由， 22CO CD CA CB λλλ==+ 所以，解得，所以， ()23124λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩63,77λμ==67CO CD = 所以的面积AOD △111116272722ABC S S A =´=´´´=20. 已知△的内角所对的边分别为，且． ABC ,,A B C ,,a b c 2()2sin sin sin sin a b C B c A B--=+（1）求； cos A （2）若△为内角A 的角平分线，交边于点D ，求线段长的ABC AD BC AD 最大值．【答案】（1） 14（2【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行角换边得，再利用余弦定理即可得到22212c b a bc+-=答案；（2）求出，再利用二倍角的余弦公式得sin A =8bc =sin sin BAD CAD ∠=∠=案.【小问1详解】 由正弦定理，得，即， 2()2c a b c b a b --=+22212c b a bc +-=故根据余弦定理有. 2221cos 21224A bc c b bc bc a +-===【小问2详解】因为为三角形内角，则由（1）知， A sin A==因为ABC A 1sin2bc A =即，解得， 12bc =8bc =又因为，，所以，所以1,cos 024A BAD CAD A ∠=∠==>()0,A π∈0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 0,24A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以 221cos s in sin ,si s 3n i 8n 2A BAD CAD BAD CAD -∠=∠==∠=∠==于是11sin sin 22ABC S b AD CAD c AD BAD =⋅⋅∠+⋅⋅∠=△那么． 1221AD b c ⎛⋅⋅⋅= ⎝所以 AD =≤==b c ==故．AD 21. 如图（1），六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且ABCDEF ADEF ABCD ，，沿进行翻折，90BAD ADC ︒∠=∠=2,4AB AF EF ED AD CD ======AD 得到的图形如图（2）所示，且.90AEC ︒∠=（1）求二面角的余弦值；C AED --（2）求四棱锥外接球的体积.C ADEF -【答案】（1（2 【解析】【分析】（1）作，连接，则，证得平面，得到EM AD ⊥AC AC =CD ⊥ADEF 再证得平面，得到，进而得到就是二面角CD AE ⊥⊥AE CDE AE DE ⊥CED ∠的平面角，在直角中，即可求解；C AED --CDE A（2）取的中点，连接，得到为等腰梯形的外心，取的中点AD 1O 11,O E O F 1O ADEF AC ，连接，证得平面，得到为四棱锥外接球O 1,,,OA OD OE OO 1O O ⊥ADEF O C ADEF -的球心，利用球的体积公式，即可求解.【小问1详解】解：在等腰梯形中，作于，ADEF EM AD ⊥M则，所以 1,3,2AD EF DM AM EM -====AE ==连接，则，AC AC =因为，所以，所以，所以， 90AEC ∠= EC =222ED DC EC +=CD ED ⊥又因为，且，平面，所以平面CD AD ⊥AD ED D = ,AD ED ⊂ADEF CD ⊥，ADEF 又由平面，所以，AE ⊂ADEF CD AE ⊥因为且，平面，所以平面， CE AE ⊥CE CD C ⋂=,CE CD ⊂CDE ⊥AE CDE 又因为平面，所以，AE ⊂CDE AE DE ⊥因为，所以就是二面角的平面角，AE CE ⊥CED ∠C AE D --在直角中， CDE A cos DE CDE CE ∠===所以二面角C AE D --【小问2详解】解：取的中点，连接，可得证四边形、均为平行四边AD 1O 11,O E O F 1O DEF 1O AFE 形，所以，所以为等腰梯形的外心，11112O D O A O E O F ====1O ADEF 取的中点，连接，可得，AC O 1,,,OA OD OE OO 1//OO CD 因为平面，所以平面，CD ⊥ADEF 1O O ⊥ADEF又因为，所以为四棱锥外接球的球心，OC OA OD OE OF =====O C ADEF -所以球的半径为，所以. R =3344πππ33V R ==⨯=22. 在面积为的中，内角所对的边分别为，且S ABC A ,,A B C ,,a b c ． ()22sin sin 2sin sin sin C A S a b A B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭（1）若为锐角三角形，是关于的方程的解，ABC A m x 32cos cosC)0a x S c B b -+=（求的取值范围；m （2）若且的外接圆的直径为8，分别在线段上运动cos cos a B b A =ABC A ,E F ,BC CA （包括端点），为边的中点，且，的面积为．令D AB DE DF ⊥DEF A 1S，求的最小值． 1S p =p【答案】（1）m ∈（2） 18+【解析】【分析】（1）由结合三角形面积公式，正弦定理和余()22sin sin 2sin sin sin C A S a b A B C ⎛⎫+=+⎪⎝⎭弦定理得，由为锐角三角形得出，由是关于的方程π3C =ABC A ππ(,62A ∈m x的解，整理得，根据正切函数的单调32cos cosC)0a x S c B b -+=（m =性及的范围即可求出的取值范围； A m（2）由和得出为正三角形，由的外接圆的直径为cos cos a B b A =π3C =ABC A ABC A 8得出，则，，在BDE 和a b c ===BD AD ==BDE θ∠=090θ︒≤≤︒A ADF 中，由正弦定理表示出和，进而表示出，代入，化简整理，由基本不A DE DF 1S p 等式即可得出最小值． 【小问1详解】在中，由三角形面积公式得， ABC A 1sin 2S bc A =由正弦定理得：， ()2212sin sin 2c a bc A a b A b c ⎛⎫⨯+=+ ⎪⎝⎭整理得：，由余弦定理得：， 222a b c ab +-=2221cos 22a b c C ab +-==又，故， 0πC <<π3C =因为为锐角三角形，ABC A 所以，，所以， π(0,2A ∈πππ,(0,)32B A B =--∈ππ(,)62A ∈所以 32(ccos b cos )S B C m a += 22(sin cos sin cos )sin S C B B C a A+=⋅ 22sinsin S A a A=⋅ sin b C a===， =+因为， ππ(,62A ∈所以， tan A ⎫∈+∞⎪⎪⎭， (0,3)故．m ∈【小问2详解】由，得，cos cos a B b A =in 0()s A B -=所以， A B =由（1）得， π3C =所以为正三角形，ABC A所以， π2sin 3a b c R ====因为为边的中点，D AB所以，BD AD ==设，，BDE θ∠=090θ︒≤≤︒在BDE 和ADF 中，A A 由正弦定理得，， ()sin 60sin 120DE BD θ=︒︒-()sin 60sin 30DF AD θ=︒︒+化简得，， ()3sin 60DE θ=︒+()3sin 30DF θ=︒+， ()()11922sin 60sin 30S DE DF θθ=⋅=︒+︒+因为 ()()sin 60sin 30θθ︒+︒+11sin cos 22θθθθ⎫⎛⎫=+⎪⎪⎪⎪⎭⎝⎭2231sin cos sin cos 44θθθθθθ=+++， 1sin 22θ=+所以，1S =则1p S =++22sin (60)sin (30)3[]99θθ︒+︒+=+229sin (60)sin (30)2θθ⎤=︒++︒+⎦+1cos(1202)1cos(602)22θθ-︒+-︒+=++2)θ=118(sin 22θ=++因为，1sin 22θ0>所以118(sin 22θ+18≥+=+当且仅当，即时，等号成立，118(sin 22θ+=sin 21θ=所以最小值为． p 18+。

江苏省盐城中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．若复数i12iz =+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．15B ．1i 5C ．15-D ．1i 5-2．在△ABC 中，cos 2A =1AB =，1AB =，BC =AC =（ ）AB ．5C ．6D ．3．如图所示，在ABC 中，3CB CD =，2AD AE =，若A B a =，AC b =，则CE =（ ） /A ．1163a b -B ．1263a b -C ．1133a b -D ．1566a b -4．若a ，b 是两条不同的直线，α是一个平面，a α⊥，则“//b α”是“a b ⊥r r”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设19cos92a =︒+︒，22tan181tan 18b ︒=+︒，c = ） A ．b ＜c ＜aB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b6．在矩形ABCD 中，已知3DC DE =，13BF BC =，3AE =，6AF =，则A C B D ⋅=（ ） A ．278-B ．7-C ．9-D ．72-7．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若()22243a b c =-，当角A 最大时，则sin C =（ ）A B C D 8．在四边形ABCD 中，AC AB =，3AD =，1CD =，3ABC π∠=，则四边形ABCD 面积的最大值为（ ）A B ．3C D ．4二、多选题9．已知向量()1,2a =-r，()3,4b =，则（ ） A ．()()3//2a b a b +- B ．向量a 在向量b 上的投影向量是15b -C ．265a b -=D ．向量b 在向量a 上的投影向量是15a -10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则（ ） A ．若A ＝30°，b ＝4，a ＝3，则△ABC 有两解 B ．若tan tan 1A B =，则△ABC 为直角三角形C ．若222sin sin cos 1A B C ++<，则△ABC 为锐角三角形D ．若a 2－b 2＝bc ，则A ＝2B11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 是11B CD 内部（不包括边界）的动点，若11AP B D ⊥，则线段AP 长度的可能取值为（ ）A ．1110B C ．65D12．已知对任意角α，β均有公式()()sin 2sin 22sin cos αβαβαβ=+-＋．设△ABC 的内角A ，B ，C 满足()()sin 2si 1n s n 2i A A B C C A B +-+=--+，面积S 满足12S ≤≤．记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列等式或不等式一定成立的是（ ）A ．()bc b c -<B ．612abc ≤≤C ．4sin aA≤≤D ．1sin sin sin 8A B C =三、填空题13．已知复数1z =，则2z i -的最大值是___________.14．国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为θ，则cos 2θ=．15．如图，在圆锥SO 中，AB 为底面圆的直径，SO ＝AO ＝3，P 为SB 上的点，13PB BS =，D 为底面圆周上的点，3BOD π=∠，则异面直线SA 与PD 所成角的余弦值为_________．16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a 24sin 4sin sin 12C BC B -+=，S 为△ABC 的面积，点M 是△ABC 的外接圆圆O 上一动点，当cos S B C 取得最大值时，MA MB ⋅的最大值为_________．四、解答题17．已知复数z 满足i 1i ⋅=-+z a （a ＞0，a ∈R ），且2z z+∈R ，其中i 为虚数单位．(1)求复数z ；(2)若复数z ，2z ，2z z -在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求cos ∠ABC ．18．已知向量()cos ,sin a αα=，31,22b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，02πα<<． (1)若a b ⊥时，求sin 21cos 2αα+的值；(2)若510a b -=，求sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．19．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2cos cos b c Ca A-=． (1)求角A ；(2)若b c +=，判断ABC 的形状，并说明理由．20．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2，PC =E 是线段PC 上的一点，()R PE EC λλ=∈．(1)试确定实数λ，使//PA 平面BED ，并给出证明； (2)当2λ=时，证明：PC ⊥平面BED ．21．如图，某公园有一块等腰直角三角形的空地ABC ，AB ＝AC ＝2km ．为迎接“五一”观光游，现对该地块进行改造，在边界BC 上选择中点D ，修建观赏小径,DE DF ，点E 、F 分别在边界AB 、AC 上（不含端点），且4EDF π∠=，在区域BDE 和区域CDE 内种植郁金香，区域AEDF 内种植牡丹．设BDE α∠=．(1)当3πα=，求区域BDE 的面积；(2)求区域AEDF 的面积()S α的取值范围． 22．在△ABC 中，已知2238CA CB AB ⋅+=． (1)若点D 为AB 的中点，62CD =AB ； (2)若不等式()2220CB CA B A C C λ⋅-⋅+≤恒成立，求实数λ的取值范围．参考答案：1．A【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，即可求出z 的虚部.【详解】()()()()22i i i i 2i 1222112121255512i i i i i i z -+=====+++---，其虚部为15. 故选：A ． 2．B【分析】根据余弦的倍角公式，求得3cos 5A =-，结合余弦定理列出方程，即可求解.【详解】由cos2A =23cos 2cos 125A A =-=-， 又由1AB =，1AB =，BC =根据余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，即(22615AC AC =++， 解得5AC =或315AC =-（舍去）． 故选：B ． 3．B【分析】根据向量的加法、减法、数乘，利用基底表示所求向量即可. 【详解】因为3CB CD =，2AD AE = 所以()11111112()22232663CE CA CD b CB b AB AC a b =+=-+⨯=-+-=-， 故选：B 4．A【分析】从充分性及必要性两个角度分析.【详解】当a α⊥，//b α时，由线面平行性质定理可在平面α内找到一条直线'b 与b 平行，则有'a b ⊥，进而可推出a b ⊥r r ，即在a α⊥前提下，“//b α”是“a b ⊥r r”的充分条件； 当a α⊥，a b ⊥r r 时，有b α⊂或//b α两种情况，即在a α⊥前提下，“//b α”不是“a b ⊥r r”的必要条件.综上，“//b α”是“a b ⊥r r”的充分不必要条件. 故选：A. 5．B【分析】利用三角恒等变换化简，再根据正弦函数的单调性即可比较大小. 【详解】由题意得()sin 930sin 39a =+=，2222sin182tan18cos18sin 36sin 181tan 181cos 18b ===++， sin 35c ==，因为正弦函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以c b a <<. 故选：B. 6．A【分析】根据向量的线性运算,求出,AB AD 的长度,然后用基地向量,AB AD 表示,AC BD ,即可求解. 【详解】13AE AB AD =+，13AF AB AD =+ 222211339AE AB AD AB AD ⎛⎫∴=+=+= ⎪⎝⎭，222169AF AB AD =+=，所以218980AD =，245980AB =， 又,AC AB AD BD AD AB =+=-()()221894592780808AC BD AD AB AD AB AD AB ⋅=+-=-=-=-.故选:A 7．B【分析】根据题意可得()22234a b c =-，结合余弦定理可得cos A =,角A 最大，即有2292a c = ，由此化简222cos 2a b c C ab +-=.【详解】由题意得，()22234a b c =-， 故()222222374cos 28b c b c b c A bc bc +--+==227b c =时取等号，即(0,),cos A A π∈,角A 最大,此时2292a c =，故2229712cos 322a b c C ab +-+-=== 而(0,)C π∈,所以sin C = 故选：B ． 8．B【分析】在三角形ACD ，由余弦定理求出2AC ，又因为在三角形ABC 中，AC AB =，3ABC π∠=，所以三角形ABC 为等边三角形，所以ABCD ABCBCDS SS=+23sin 2AC D +，代入化简即可求出四边形ABCD 面积的最大值.【详解】在三角形ACD ，由余弦定理得：22316cos 106cos AC D D =+---， 所以ABCD ABC BCD S SS=+，在三角形ABC 中，AC AB =，3ABC π∠=，所以三角形ABC 为等边三角形，2212ABCS AC AC =⨯=，131sin 2DACS D =⨯⨯⨯，()233sin sin 3sin 6022ABCD S AC D D D D +=+=-︒3≤. 故选：B ． 9．BC【分析】由向量平行的坐标运算可判断A ；由投影向量的计算公式可判断B 、D ；由模长的计算公式可判断C.【详解】()310,10a b +=，()25,10a b -=--，A 错误；5a b ⋅=-，225b =，故215a b b ⋅=-，B 正确；()21,8a b -=--，所以265a b -=，C 正确；25a =，故2a b a ⋅=-，所以向量b 在向量a 上的投影向量是a -，D 错误.故选：BC ． 10．ABD【分析】对A ，由正弦定理可判断；对B ，化简可得()cos 0A B +=可判断；对C ，由正弦定理化角为边，再由余弦定理可判断；对D ，由正弦定理结合余弦定理可判断.【详解】对A ，因为sin b A a b <<，所以△ABC 有两解，故A 正确；对B ，因为tan tan 1A B =，所以cos cos sin sin 0A B A B -=，()cos 0A B +=，2A B π+=，故2C π=，故B 正确；对C ，由222sin sin cos 1A B C ++<可得222sin sin sin A B C +<，则222a b c +<，所以222cos 02a b c C ab+-=<，故C 为钝角，故C 错误；对D ，22a b bc -=，所以22cos c bc A bc -=，所以sin 2sin cos sin C B A B -=，所以()sin sin A B B -=，()0,A B π-∈，0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以A B B -=，即2A B =，故D 正确.故选：ABD ． 11．BC【分析】利用线面垂直得线线垂直，从而确定点P 的轨迹，再根据平面几何的知识求距离的最大、最小值，判断选项即可.【详解】取11B D 中点O ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11AB AD =，O 是11B D 的中点，11B D AO ∴⊥，同理11B D OC ⊥，11B D ∴⊥面AOC ，又点P 是11B CD 内部（不包括边界）的动点，11AP B D ⊥ P ∴一定在线段OC 上运动在AOC中，AO CO ==AC = 故cos OCA ∠=12ACOC =sin OCA ∠== 故A 到OC的距离sin d AC OCA =⋅∠=AP ≤< 故选BC ． 12．ACD【分析】将()()sin 2si 1n s n 2i A A B C C A B +-+=--+根据三角形内角关系化简得1sin 2sin 2sin 22A B C ++=，进而根据任意角α，β均有公式()()sin 2sin 22sin cos αβαβαβ=+-＋，得到1sin sin sin 8A B C =.再联合正弦定理和面积公式，即可求解. 【详解】2,()2A B C B C A B C A B C ππ-+=---=-+=-,且()()sin 2si 1n s n 2i A A B C C A B +-+=--+,故()()sin 2sin 2sin 212A B C ππ+-=-+,因此可得: 1sin 2sin 2sin 22A B C ++=,对任意角α，β均有公式()()sin 2sin 22sin cos αβαβαβ=+-＋,()()()()()()sin 2sin 2sin 22sin cos sin 22sin cos cos A B C A B A B A B A B A B A B ++=+--+=+--+⎡⎤⎣⎦()2sin cos cos sin sin cos cos sin sin 4sin sin sin C A B A B A B A B C A B=⋅+--=⋅⎡⎤⎣⎦14sin sin sin 2A B C ∴=,所以1sin sin sin 8A B C =，D 正确；2211sin 2sin sin sin 244abc S ab C R A B C R R ====（R 为△ABC 外接圆半径），由12S ≤≤故2R ≤≤2sin a R A⎡=∈⎣，C 正确；338sin sin sin abc R A B C R ⎡==∈⎣，B 错误；()()38sin sin sin bc b c abc R A B C bc b c -<=≤-<A 正确.故选:ACD ． 13．3【分析】由已知中z C ∈，且||1z =，由复数模的运算性质，可得当z 与2i 反向时，|2|z i -取最大值，由此求出满足条件的z 值，进而求出答案． 【详解】解：由复数模的运算性质， 易得当z 与2i 反向时，|2|z i -取最大值 又||1z =，即当z i =-时，满足条件 此时|2||3|3i i i -=-= 故答案为：3． 14．725【分析】根据题意，求得大、小正方形的边长分别为10和2，得到1cos sin 5θθ-=，其中(0,)4πθ∈，结合三角函数的基本关系式，求得242sin cos 25θθ=-，进而求得7cos sin 5θθ+=，利用22cos 2cos sin θθθ=-，即可求解．【详解】由小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，可得大、小正方形的边长分别为10和2，又由为直角三角形中较小的锐角为θ，可得10cos 10sin 2θθ-=，其中(0,)4πθ∈，即1cos sin 5θθ-=，则()21cos sin 12sin cos 25θθθθ-=-=，所以242sin cos 25θθ=，因为()24912sin cos sin cos 25θθθθ=+=+，所以7cos sin 5θθ+=， 所以()()227cos 2cos sin cos sin cos sin 25θθθθθθθ=-=-+=． 故答案为：725. 15．38【分析】在BA 上取点A '，使得13BA BA '=，则DPA '∠即为直线SA 与PD 所成角，即可求出.【详解】在BA 上取点A '，使得13BA BA '=，连接PA '，此时PA SA '∥，所以DPA '∠即为直线SA 与PD 所成角．在ODA '中，1OA '=，3OD =，3BOD π=∠，由余弦定理得A D '=13PA SA '==过P 作PH AB ⊥，在△BHD 中，1BH =，3BD =，3DBH π∠=，由余弦定理得DH =在Rt △PHD 中，1PH =，DH =PD =在PA D '∆中，PA 'A D '=PD =所以2223cos 28PA PD DA DPA PA PD ''+-'∠=='⋅．故答案为：38.1632【分析】由题目条件可得23A π=，由正弦定理和面积公式可求得当0BC -=时，()B C -取得最大值，此时6B C π==，取AB 中点Q ，22214MA MB MQ AQ MQ ⋅=-=-，要求MA MB ⋅的最大值转化为求2MQ 的最大值减14-,代入即可求出答案. 【详解】由题得()21cos 4sin sin 1C B C B --+=⎡⎤⎣⎦，即2sin sin 2cos cos 1C B C B -=-，即()1cos 2B C +=，所以1cos 2A =-，所以23A π=． 由2sin sin sin a b c AB C===，所以1cos sin cos sin cos 2S B C bc A B C B C B C ==()B C -，当0B C -=时取得最大值，此时6B C π==．取AB 中点Q ，22214MA MB MQ AQ MQ ⋅=-=-， 由图知，连接QO 并延长交圆于点时，故MQ 取最大值，所以221131442MA MB MQ ⎫⋅=-≤-=⎪⎪⎝⎭．17．(1)1i z =+【分析】（1）根据i 1i ⋅=-+z a ，得到i z a =+，进而得到2z z +为实数求解. （2）化简得到复数所对应的点，进而得到向量 BA 和BC 的坐标，然后利用向量的夹角公式求解.(1)解：因为i 1i ⋅=-+z a ，所以()i 1i i =--+=+z a a ， 则22i i+=+++z a z a ， ()22i i 1-=+++a a a ， 22221i 11⎛⎫=++-∈ ⎪++⎝⎭a a R a a ， 所以22101a -=+， 所以21a =，又0a >，所以1a =，所以1i z =+．(2)()221i 2i z =+=，21i z z -=-，所以()1,1A ，()0,2B ，()1,1C -，所以()1,1BA =-，()1,3BC =-， 2cos cos ,5BA BCABC BA BC BA BC ⋅∠=<>== 18．【分析】（1）由a b ⊥求出tan α= （2）由510a b -=求出4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得到3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，利用和差角公式直接求解． (1)（1）a b ⊥时，31cos sin 022a b αα⋅=-=， 因为02πα<<，所以cos 0α≠，sin tan cos ααα==2sin 22sin cos tan 1cos 22cos αααααα===+ (2) 因为510a b -=，所以222222cos 65a b a b a b πα⎛⎫-=+-⋅=-+= ⎪⎝⎭， 所以4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，02πα<<，所以2,663πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以sin 06πα⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以3sin 65πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以24sin 22sin cos 36625πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 227cos 2cos sin 36625πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 所以sin 2sin 21234πππαα⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos 233ππαα⎤⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2472525⎫-⎪⎝⎭= 19．(1)3A π=(2)以A 为3π的直角三角形，理由见解析 【分析】（1）利用正弦定理，边化角，结合两角和的正弦公式，可求得1cos 2A =，即得答案；（2）利用利用正弦定理，边化角，结合两角和的正弦公式求得sin 6B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭B 的取值，可确定答案.(1) 因为2cos cos b c C a A-=， 由正弦定理得sin cos 2sin cos sin cos A C B A C A =-，即sin cos cos sin 2sin cos A C A C B A +=，即()sin 2sin cos A C B A +=，所以()sin 2sin cos B B A π-=，即2sin cos sin B A B =，()0,B π∈，sin 0B >， 所以1cos 2A =，()0,A π∈， 所以3A π=． (2)因为b c +， 由正弦定理得3sin sin 2B C +=，所以3sin sin 32B B π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即33sin 22B B =，362B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin 6B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以63B ππ+=或263B ππ+=， 所以6B π=或2B π=， 当6B π=时，2C π=； 当2B π=时，6C π=, 所以△ABC 是以A 为3π的直角三角形． 20．(1)1λ=，证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）作辅助线，连接AC ，可证明当E 为PC 中点时，使//PA 平面BED ，即得答案. （2）证明BD ⊥平面P AC ，即证明BD PC ⊥，再通过证明△P AC 与△OEC 相似，证明PC OE ⊥，根据线面垂直的判定定理，即可证明PC ⊥平面BED ．【详解】（1）连接AC ，且AC BD O =，若PA ∥平面BED ，因为PA ⊂平面P AC ，平面PAC 平面BED EO =，所以PA EO ∥，又因为O 为AC 中点，所以E 为PC 中点，即1λ=．当1λ=时，E 为PC 中点，又因为O 为AC 中点，所以PA OE ∥，PA ⊂平面BED ，OE ⊂平面BED ，所以PA ∥平面BED ．（2）连接OE ，因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，在菱形ABCD 中，AC BD ⊥，又因为PA AC A =，所以BD ⊥平面P AC ，PA ⊂平面P AC ，所以BD PC ⊥，在直角三角形PCA 中，2PA =，PC =AC =所以OC =因为2λ=，所以CECE OC =又AC PC =CE AC OC PC =，故△P AC 与△OEC 相似， 所以PC OE ⊥，又因为PC BD ⊥，OEBD O =，OE ，BD ⊂平面BED ，所以PC ⊥平面BED ．21．(2)1,22⎛ ⎝【分析】（1）利用正弦定理可求3BE =-.（2）利用正弦定理可求,BE CF ，利用面积公式可求()S α，利用换元法可求其范围.【详解】（1）3πα=，在△BDE中，BC =512BED π∠=， 由正弦定理得：5sin sin 123BD BE ππ=，解得3BE =-所以1sin 24BDE S BE BD π=⋅⋅= （2）由题意知42ππα<<， 在△BDE 中，由正弦定理得：sin sin 4BE BD παα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以sin 4BE α=+ ⎪⎝⎭ 在△CDF中，同理可得4sin CF παα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=．所以()112sin sin 2424S BD BE CD CF ππα⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭sin()sin 42sin sin()4πααπαα⎤+⎥=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦，设sin 141sin tan t πααα⎛⎫+ ⎪⎫⎝⎭==+⎪⎝⎭，则()12S t t α⎫=+⎪⎝⎭， 因为42ππα<<，故()111,2tan α+∈，故t ∈⎝， 设()1f t t t =+121t t <<<， 则有()()()()121212121t t t t f t f t t t ---=，121t t <<<，故1212120,0,10t t t t t t >-<-<， 故()()120f t f t ->即()()12f t f t >，故()f t在⎫⎪⎪⎝⎭为减函数，同理()f t在(为增函数，故当t ∈⎝时，有12t t ≤+所以112,22S t t ⎫⎛=+∈⎪ ⎝⎭⎝． 22．(2)16,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】(1)化简CA CB ⋅，得到22852332CA CB AB AB =⋅+=+，进而求出AB (2)根据余弦定理，把()2220CB CA B A C C λ⋅-⋅+≤， 整理得222222a b c a b λ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭≤，进而根据等量代换和基本不等式进行求解即可. (1)因为D 为AB 的中点，所以，()()22222AB AB AB CA CB CD DA CD DB CD CD CD ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=-⋅+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，2222552323822CA CB AB CD AB AB ⋅+=+=+=，所以AB =uu u r (2)设△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 因为()2220CB CA B A C C λ⋅-⋅+≤，得()222cos a b ab C λ-+≤， 则2222222a b c a b λ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭≤， 因为222a b ab +≥，且2238CA CB AB ⋅+=，所以，22cos 38ab C c +=，即有， 222283a b c c +-=-，所以，2222222222222222242828354222224a b c a b a b c c c a b c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++----+-+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥225816164555c ⎛⎫--- ⎪⎝⎭≥，当且仅当a b =，c =“＝”， 所以165λ-≤， 所以实数λ的取值范围为16,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．。

2016~2017学年度第二学期期中测试高一数学（考试时间120分，总分160分）一：填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分。

不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．求值：020215sin 15cos -= ▲ 。

2．函数x x f 2sin 2)(=的最小正周期为 ▲ 。

3．在等比数列}{n a 中，31,274-==q a ，则7a = ▲ 。

4．在ABC ∆中，060,2,1===C b a ，则边长c = ▲ 。

5．已知函数x x x f cos 4sin 3)(-=，则)(x f 的最大值为 ▲ 。

6．在等差数列}{n a 中，5,320171==a a ，则1009a = ▲ 。

7．在ABC ∆中，0150,3,2===C b a ，则ABC S ∆= ▲ 。

8．在243和3之间插入c b a ,,这3个数，使得243，c b a ,,，3这5个数成等比数列，则b = ▲ 。

9．将函数x x x f sin cos 3)(-=的图象向右平移ϕ个单位长度，得到的函数图象关于直线6π=x 对称，则ϕ的最小正值为 ▲ 。

10．已知等差数列}{n a 中，851511,3a a a =-=，则前n 项和n S 的最小值为 ▲ 。

11．已知31)3cos(=-πα，则)62sin(πα-的值为 ▲ 。

12．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，若A c C a cos 2cos 3=，且31tan =A ，则角B= ▲ 。

13．已知等差数列}{n a 中，前m 项（为奇数）和为77，其中偶数项之和为33，且181=-m a a ，则数列}{n a 的通项公式n a = ▲ 。

14．设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若12a a <，12b b <，且2(1,2,3)i i b a i ==，则数列{b n }的公比为 ▲ ．二：解答题（本大题共6小题，计90分。

江苏省盐城市时堰镇中学高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 从一副扑克牌(抽掉大王、小王，只剩52张)中，任取1张，则事件“抽出方块”与事件“抽出梅花”A. 是互斥事件，也是对立事件B. 不是互斥事件，但是对立事件C. 不是互斥事件，不是对立事件D. 是互斥事件，不是对立事件参考答案：D2. 若不等式的解集为，那么不等式的解集为()A. B.C. D.参考答案：D【分析】根据题中所给的二次不等式的解集，结合三个二次的关系得到，由根与系数的关系求出的关系，再代入不等式，求解即可.【详解】因为不等式的解集为，所以和是方程的两根，且，所以,即，代入不等式整理得，因为，所以,所以，故选D【点睛】本题主要考查含参数的一元二次不等式的解法，已知一元二次不等式的解求参数，通常用到韦达定理来处理，难度不大.3. 若等比数列的前项和为，且，则等于()A.24 B .25 C.26 D.30参考答案：C4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论不正确的是（）A. B.C. D.参考答案：D【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】选项A,是余弦定理，所以该选项正确；选项B,实际上是正弦定理的变形，所以该选项是正确的；选项C,由于,所以该选项正确；选项D,,不一定等于sinC,所以该选项是错误的.故选：D【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理实行边角互化，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5. 定义行列式运算，将函数的图象向左平移t（t＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t的最小值为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据已知中行列式运算，我们易写出函数的解析式，利用辅助角公式，可将函数的解析式化为正弦型函数的形式，结合函数f（x）的图象向左平移t（t ＞0）个单位后图象对应的函数为偶函数，易得平移后，初相角的终边落在y轴上，写出满足条件的t 的取值，即可得到答案．【解答】解：∵，∴=cos2x﹣sin2x=2sin（2x+）将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向左平移t（t＞0）个单位后可以得到函数f（x）=2sin（2x++2t）的图象则所得图象对应的函数为偶函数，则+2t=+kπ，k∈N*当k=1时，t取最小值为故选C6. 在△ABC中，若，则△ABC的面积为( ).A. 8B. 2C.D. 4参考答案：C【分析】由正弦定理结合已知，可以得到的关系，再根据余弦定理结合，可以求出的值，再利用三角形面积公式求出三角形的面积即可.【详解】由正弦定理可知：，而，所以有，由余弦定理可知：，所以，因此的面积为，故本题选C.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查了数学运算能力. 7. 已知{a}是由正数组成的等比数列，S表示{a}的前n项的和，若a＝2，a a＝64，则S的值是A. 30B. 61C.62 D. 63参考答案：C8. 设实数x1、x2是函数f(x)=|lnx|﹣()x的两个零点，则（）A．x1x2＜0 B．0＜x1x2＜1 C．x1x2=1 D．x1x2＞1参考答案：B【考点】函数零点的判定定理．【分析】能够分析出f（x）的零点便是函数y=|lnx|和函数y=（）x交点的横坐标，从而可画出这两个函数图象，由图象懒虫不等式组，然后求解即可．【解答】解：令f（x）=0，∴|lnx|=（）x；∴函数f（x）的零点便是上面方程的解，即是函数y=|lnx|和函数y=（）x的交点，画出这两个函数图象如下：由图看出＜﹣lnx1＜1，﹣1＜lnx1＜0，0＜lnx2＜；∴﹣1＜lnx1+lnx2＜0；∴﹣1＜lnx1x2＜0；∴0＜＜x1x2＜1故选：B．9. 在正方体中，异面直线与所成的角为（）A． B． C． D．参考答案：B略10. 直线l：与圆C：交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为A. B.C. D.参考答案：A【分析】先求出直线经过的定点，再求出弦AB最短时直线l的方程.【详解】由题得，所以直线l过定点P.当CP⊥l时，弦AB最短.由题得, 所以.所以直线l的方程为.故选：A【点睛】本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知幂函数的图象经过点,那么_____________．参考答案：2略12. 已知扇形的圆心角为，半径等于20，则扇形的面积为（）A．40 B. 80 C. 20 D.160参考答案：A13. 已知，求=参考答案：214. 已知直线与函数f（x）=cosx，g（x）=sin2x和h（x）=sinx的图象及x轴依次交于点P，M，N，Q，则PN2+MQ2的最小值为．参考答案：略15. 已知函数的值域为，设的最大值为，最小值为，则=_________.参考答案：略16. 在△ABC中，，，E，F为BC的三等分点，则______ .参考答案：试题分析：即,如图建立平面直角坐标系，为边的三等分点，考点：向量的数量积17. 若f（x）是一次函数，且f[f（x）]=4x﹣1，则f（x）= ．参考答案：f（x）=2x﹣或﹣2x+1【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题．【分析】利用待定系数法求解该函数的解析式是解决本题的关键．结合着复合函数表达式的求解，根据多项式相等即对应各项的系数相等得出关于一次项系数和常数项的方程组，通过方程思想求解出该函数的解析式．【解答】解：设f（x）=kx+b（k≠0），则f[f（x）]=f（kx+b）=k（kx+b）+b=k2x+kb+b=4x﹣1，根据多项式相等得出，解得或．因此所求的函数解析式为：f（x）=2x﹣或﹣2x+1．故答案为：f（x）=2x﹣或﹣2x+1．【点评】本题考查函数解析式的求解，考查确定函数解析式的待定系数法．学生只要设出一次函数的解析式的形式，寻找关于系数的方程或方程组，通过求解方程是不难求出该函数的解析式的．属于函数中的基本题型．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

江苏省盐城市高一下学期数学期中联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分）已知角为锐角，则下列各角中为第四象限角的是（）A .B .C .D .2. （2分）是的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）在△ABC中，若cosA•cosB﹣sinA•sinB＞0，则这个三角形一定是（）A . 锐角三角形B . 钝角三角形C . 直角三角形D . 以上都有可能4. （2分） (2019高三上·鹤岗月考) 点是角终边上一点，则的值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分） (2020高一下·黄浦期末) 大于且终边与角重合的负角是________.6. （1分）已知sinα=,cosα=﹣，则角α的终边在第________ 象限．7. （1分） (2020高一下·温州期末) 已知角的终边经过点（4，-3），则 =________；=________.8. （1分） (2020高一下·普宁月考) 设，则的值为________.9. （1分）已知，，则 ________．10. （1分）(2020高一下·浙江期中) 求值： ________，cos275°+cos215°+cos75°cos15°＝________.11. （1分） (2019高二上·林芝期中) 函数f(x)＝ sin x+cosx的最大值是________.12. （1分） (2020高一下·上海期末) 若，则 ________.13. （1分）求值：=________14. （1分）(2020·贵州模拟) 设为第二象限角，若，则 ________.15. （1分） (2020高一下·奉化期中) 若，则的值为________．16. （1分） (2016高一下·武城期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知C= ，a=1，b= ，则B=________．三、解答题 (共5题；共30分)17. （5分）已知函数f（x）=2x2﹣4ax﹣3，（0≤x≤3）（1）当a=1时，作出函数的图象并求函数的最值；（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[0，3]上是单调函数．18. （5分）(2017·南京模拟) 已知角α的终边上有一点p（1，2），（Ⅰ）求tan（）的值；（Ⅱ）求sin（2 ）的值．19. （5分）(2020·聊城模拟) 在①acosB+bco sA= cosC；②2asinAcosB+bsin2A= a；③△ABC的面积为S，且4S= (a2+b2-c2)，这三个条件中任意选择一个，填入下面的问题中，并求解，在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数 =2 sinωxcosωx+2cos2ωx的最小正周期为π，c为在[0， ]上的最大值，求a-b的取值范围.注:如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.20. （5分）在中,角的对边分别为 ,且（1）求的值;（2）若 ,求的面积.21. （10分）(2019·浙江模拟) 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos -sin =（Ⅰ）求角A的大小．（Ⅱ）当a= ，sin(A+C)= ，求c的值．参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共12题；共12分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共30分) 17-1、17-2、18-1、20-1、20-2、21-1、。

2023/2024学年度第二学期 联盟校期中考试高一年级数学试题（总分150分 考试时间120分钟）注意事项：1. 本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分.2. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上.3. 作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B 铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数()()1i 2i z =−+的实部为（ ） A. 3iB. 3C. i −D. －12. sin 27cos18cos 27sin18°°+°°=（ ）A.B. C.D. 3. 在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足::3:4:6a b c =，则cos A 的值为（ ）A.14B. 14−C.4348D. 4348−4. 已知向量a ，b 的夹角为34π，a = ，1b = ，则a b += （ ）A. 1B.C.D. 55. 在ABC △中，cos cos a A b B =，则ABC △的形状为（ ） A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形6. tan 23tan 3723tan 37°+°°°=（ ）A.B.C.D. 7. 已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，我们把数量sin a b θ叫作向量a 与b 的叉乘a b × 的模，记作a b × ，即sin a b a b θ×=.若向量()2,4a = ，()3,1b =− ，则a b ×=（ ） A. －14B. 14C. －2D. 28. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，已知6A π=，则2sin cos B C −的取值范围为（ ）A. B. C. 32D. (二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a =c =，4A π=，则C 的值可以是（ ） A.56πB.23π C.34π D.3π10. 已知cos α=3cos 5β=，其中,2παπ∈，0,2πβ ∈ ，以下判断正确的是（ ）A. 4sin 25α=B. 7cos 225β=−C. ()cos αβ−D. ()sin αβ+11. 已知a ，b 是两个不共线的向量，且a = ，1b =，则下列结论中正确的是（ ）A. a b −的取值范围是)1−B. a b ≤⋅≤C. a 在b 0D. a b + 与a b − 的夹角最大值为3π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知复数z 满足()()1i 1i z −=+，其中i 为虚数单位，则z =______.13. 如图，在ABC △中，13AN AC = ，P 是线段BN 上的一点，若17AP mAB AC =+，则实数m =______.14. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若()tan tan 2tan tan tan AB A BC =+，则222c a b =+______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）实数m 取什么值时，复数()()222356i z mm m m =−−+−−是：（1）实数？ （2）纯虚数？16.（15分）已知向量()1,2a = ，()3,b k =.（1）若a b ∥，求实数k 的值；（2）若()2a a b ⊥+，求实数k 的值.17.（15分）已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，且222b c a bc +−=. （1）求A ；（2）已知3a =，ABC △，且AD 为角A 的角平分线，求线段AD 的长.18.（17分）已知平面向量()sin ,cos a x x = ，),cos b x x − ，设函数()2f x a b =⋅.（1）求()f x 的最大值；（2）若在ABC △中()2f A =−，D 在BC 边上，且2BAD π∠=，22BD DC ==，求ABC △的周长.19.（17分）已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(),OM a b =为函数()f x 的伴随向量，同时称函数()f x 为向量OM的伴随函数.（1）设函数()4cos cos 1232x x g x π=−⋅−，试求()g x 的伴随向量OM ；（2）将（1）中函数()g x 的图像横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把整个图像向左平移23π个单位长度，得到()h x 的图像，已知()2,3A −，()2,6B ，问在()y h x =的图像上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥，若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.。

江苏省盐城市东台市安丰中学等六校2024届高三下学期4月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}230,e 1xM x x N y y =->==+，则（ ）A ．31,2M N ⎛⎫= ⎪⎝⎭I B ．3,2M N ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭U C ．31,2N M ⎛⎫= ⎪⎝⎭ð D ．M N ⊆2．设i 是虚数单位，复数43iiz +=，则z 在复平面上对应的点在（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限3．已知随机变量1X ，2X 分别满足二项分布111~,3X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，221~,3X B n ⎛⎫⎪⎝⎭，则“12n n >”是“()()12D X D X >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．现从含甲、乙在内的6名特种兵中选出3人去参加抢险，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（ ） A ．16B ．15C ．25D ．355．住房的许多建材都会释放甲醛.甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过0.083mg/m ，否则，该新房达不到安全入住的标准.若某套住房自装修完成后，通风()1,2,3,,50x x =L 周与室内甲醛浓度y （单位：3mg/m ）之间近似满足函数关系式()0.480.1y f x =-()*N x ∈，其中()()2log 21a f x k x x ⎡⎤=++⎣⎦()0,1,2,3,,50k x >=L ，且()22f =，()83f =，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风（ ） A ．17周B ．24周C ．28周D ．26周6．已知()1,0F c -，()2,0F c 分别是双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左右焦点，若过1F 的直线与圆22212x c y c ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与C 在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则C 的离心率为（ ）A ．B ．3C ．52D7．在ABC V 中，ABC S AB AC ⋅=u u r u u u r △sin cos sin B A C =，P 为线段AB 上的动点不包括端点，且CACB CP x y CACB =+u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ，则1x ）A ．2B ．1C ．2D ．18．设A 、B O 表面上的两定点，且π2AOB ∠=，球体O 表面上动点M 满足MA =，则点M 的轨迹长度为（ ）A B C D二、多选题9．已知p q ､为函数()lg f x x t =-的两个不相同的零点，则下列式子一定正确的是（ ） A ．222p q +< B ．228p q +> C ．33log log 0p q ⋅<D ．1pq =10．ABC V 的内角A ，B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若2,2AB AC a ⋅==u u u r u u u r，则（ ）A ．cos 2bc A a =B ．228b c +=C．角A 的最大值为π3D ．ABC V 11．在平面直角坐标系中，定义()1212,d A B x x y y =-+-为点()11,A x y 到点()22,B x y 的“折线距离”．点O 是坐标原点，点Q 在直线20x y +-上，点P 在圆221x y +=上，点R 在抛物线24y x =-上．下列结论中正确的结论为（ ）A ．(),d O Q 的最小值为2B ．(),d O PC ．(),d P QD ．(),d R Q 14三、填空题12．已知6m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，4x 项的系数是18，则m 的值为 .13．若函数()sin cos (0)f x x x ωωω=+>的图象在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有两条对称轴，一个对称中心，则实数ω的取值范围是 .14．记R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()1n n n n f x x x f x +=-'的数列{}n x 称为“牛顿数列”．若函数()2f x x x =-，且()21f x x '=-，数列{}n x 为牛顿数列．设ln1nn n x a x =-，已知12,1n a x =>，则2a = ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式214n n tS S -≤对任意的*N n ∈恒成立，则t 的最大值为 ．四、解答题15．已知函数()2ln f x ax x x =--．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为梯形，其中//AB CD ，60BCD ∠=︒，224AB BC CD ===，平面PBD ⊥平面ABCD.(1)证明：AD PD ⊥；(2)若AB PD ⊥，且PC 与平面ABCD 所成角的正切值为2，求平面PBC 与平面PAD 所成二面角的余弦值.17．2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A 为小明取到红色外观的模型，事件B 为小明取到棕色内饰的模型，求()P B 和(|)P B A ，并判断事件A 和事件B 是否独立； (2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元； 请你分析奖项对应的结果，设X 为奖金额，写出X 的分布列并求出X 的数学期望． 18．已知{}n a 是首项为1的等比数列，{}n b 是首项为2的等差数列，32a b =且413a b b =+. (1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)将{}n a 和{}n b 中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列{}n c ，求数列{}n c 的前50项和50S ；(3)设数列{}n d 的通项公式为1,2,2n n n a n d b n +⎧⎪=⎨+⎪⎩为奇数为偶数，*n ∈N ，记{}n d 的前n 项和为n T ，若212132314n n T nt +-≥+-对任意的*n ∈N 都成立，求正数t 的取值范围.19．在平面直角坐标系xOy 中，若在曲线1C 的方程(),0F x y =中，以(),x y λλ（λ为非零的正实数）代替(),x y 得到曲线2C 的方程(),0F x y λλ=，则称曲线1C 、2C 关于原点“伸缩”，变换()(),,xy x y λλ→称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比.（1）已知1C 的方程为22194x y -=，伸缩比2λ=，求1C 关于原点“伸缩变换”所得曲线2C 的方程；（2）射线l 的方程y =（0x ≥），如果椭圆1C ：221164x y +=经“伸缩变换”后得到椭圆2C ，若射线l 与椭圆1C 、2C 分别交于两点A ､B ，且AB =2C 的方程；（3）对抛物线1C ：212y p x =，作变换()()11,,x y x y λλ→，得抛物线2C ：222y p x =；对2C 作变换()()22,,x y x y λλ→得抛物线3C ：232y p x =，如此进行下去，对抛物线n C ：22n y p x =作变换()(),,n n x y x y λλ→，得1n C +：212n y p x +=⋅⋅⋅若11p =，12nn λ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n p 的通项公式n p .。

α∙AB∙β江苏省东台市时堰中学2010-2011学年度第二学期高一年级期中考试数学试卷一. 填空题（每小题5分，共70分）1. 直线053=+-y x 的倾斜角是 . 2．047sin 17cos 47cos 17sin -= 3．如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+ 4．已知532cos =α，则=+αα44cos sin 5．已知的值是则是第三象限角且2tan ,2524sin ααα-= 6．在（0 ，2π）内使sinx+cosx>0成立的x 的取值范围是 7．，则它的侧面与底面所成角的正切值为 。

8．设P A B C 、、、是球O 表面上四点，PA PB PC 、、两两垂直，且1PA PB PC ===，则球O 的表面积为 。

910．如图，二面角l αβ--的大小是45°，线段AB α⊂.B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是 . 11. 下列说法正确的有 .①直线a 平行于平面M ，则a 平行于M 内的任意一条直线； ②直线a 与平面M 相交，则a 不平行于M 内的任意一条直线； ③直线a 不垂直于平面M ，则a 不垂直于M 内的任意一条直线；④直线a 不垂直于平面M ，则过a 的平面不垂直于M .12．已知m R ∈,直线(12)(22)210m x m y m ++---=经过定点,定点坐标为 ． 13．已知长方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，棱AA 1＝3，AB ＝4，那么直线B 1C 1和平面A 1BCD 1的距离是______。

14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，给出以下四个结论：①1D C ∥平面11A ABB ；_ 俯视图 _ 左视图 _ 主视图②11A D 与平面1BCD 相交；③AD ⊥平面1D DB ；④平面1BCD ⊥平面11A ABB ．其中正确结论的序号是 ． 二. 解答题（共6大题，共90分）。