下载文档原格式
河南理工大学 2012-2013 学年第 1 学期《线性代数》试卷（A 卷）１．设()()()，，，，，，，，t 3,1321111321===βββ若321βββ,,线性相关，则t =．２．矩阵()nn ija ⨯=A 的全体特征值的和等于 , 全体特征值的积等于．３．设A 为4阶方阵，2-=A ，则A 3-= ．４．()234321,,B ,A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，则=AB．５．设三阶方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=120350002A ，则A 的逆矩阵1-A =．６．设3阶方阵A 按列分块为()321ααα,,A =，且Ad e t =5，又设()231215432ααααα,,B ++=，则B =．7．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11334221xA ，x 为某常数，B 为3阶非零矩阵，且0AB =，则x = ． 8．设三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，已知21ηη,是它的两个解向量．且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=42232121ηη,该方程组的通解为．1．设A 与B 均为n 阶方阵，则下列结论中成立的为（）．(A) det(AB ) = 0，则0A =或0B =； (B) det(AB ) = 0，则det A = 0或det B = 0； (C) AB = 0，则0A =或0B =； (D) AB ≠ 0，则det A ≠ 0或det B ≠ 0．2. 设n 阶矩阵A 的行列式0≠A ，*A 是A 的伴随矩阵，则( ).(A) 2-=n *A A ; (B) 1+=n *A A ; (C) 1-=n *AA ;(D) 2+=n *AA ．3. 已知A 、B 均为3阶方阵，且A 与B 相似，若A 的特征值为1，2，3，则()12-B 的特征值为（ ）(A) 2312,,; (B) 614121,,; (C) 321,,;(D) 3212,,．４. 向量组321,,βββ线性无关，324,,βββ线性相关，则有 ．(A)1β可由324,,βββ线性表示; (B)3β可由42ββ,线性表示 ;(C)2β可由43ββ,线性表示;(D)4β可由32ββ,线性表示 .三、计算题1．（7分）计算行列式211112111121=n D ．一、填空题,每小题4分二、选择题，每小题5分2．（7分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=121011332A ，求1-A ．3．（7分）求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1401131********12211A 的列向量组的一个最大线性无关组．4．（12分）λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x ,,（１）有唯一解；（２）无解；（３）有无穷多个解？5．（15分）已知二次型()322221321434x x x x x ,x ,x f ++=，求一个正交变换Py x =，把二次型()321x ,x ,x f 化为标准型．。
安徽师范大学2012－2013学年第一学期化材学院专业基础课2012级《线性代数》课程期末考试试卷(A 卷 闭卷 120分钟)1. 设α, β, γ1, γ2均为3维列向量，3阶方阵A =(α, γ1, γ2), B =(β, γ1, γ2)，且已知行列式3=A , 2=B ，则行列式=+B A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) 5 (B) 10 (C) 20 (D) 402. 设A , B 均为n 阶方阵，则(A +B )(A -B )=A 2-B 2成立的充分必要条件是⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) A =O (B)B =E (C) A =B (D) AB =BA3. 下列矩阵中为初等矩阵的是⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001001001001000(B) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100 (C) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-001010100 (D) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100010021 3. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0021α,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3002α，则下列向量中可以用α1, α2线性表示的是⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-403 (B)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010 (C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011 (D) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110 5. 若矩阵A 与B 相似，则⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) 存在正交矩阵P ，使得P -1AP =B (B) 存在正交矩阵P ，使得P T AP =B (C) 存在可逆矩阵P 和Q ，使得A =PBQ (D) 存在可逆矩阵P ，使得A =P -1BP1. 已知3阶方阵A 中的元素全部为1，则A 2013 = .2. 已知矩阵()4 ,0 ,30201⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A ，则矩阵A 的秩等于 .3. 已知n 阶方阵A 的秩为n -1，且A 的各行元素之和均为零，则齐次线性方程组Ax =0 的通解是 .4. 已知2阶方阵A 的特征值是1和2，则伴随矩阵A * 的特征值是 和 .5. 二次型f (x 1,x 2,x 3)= x 12-2x 1x 2+x 22的矩阵是 .一、单项选择题（每小题4分，共20分）二、填空题（每小题4分，共20分）1. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200120112A ，求矩阵B ，使得A +B =AB2. 已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λ211α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=202λα,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1113α线性相关，求参数λ 的值.3. 设三维向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111λα,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112λα,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λ113α,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=112β，已知β 不能由α1, α2, α3线性表示， 求参数λ 的值.4. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111ξ是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量. 求：① 参数a , b 的值；② 特征向量ξ 所对应的特征值.三、计算题（每小题7分，共35分）5. 用施密特正交化方法，将向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1101α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1112α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0213α规范正交化1. 已知A 是n 阶方阵，B 是n ⨯s 矩阵(n ≤s )，并且B 是行满秩矩阵. ① 证明：R (AB )=R (A )； ②证明：如果AB =B ，则A =E .2. 已知向量组(I): α1, α2, α3与向量组(II): β1, β2, β3满足关系式⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++=32112113211 2 3 αααβααβαααβ.证明：向量组(I)和(II)等价.四、证明题（每小题8分，共16分）设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000111a A .① 求矩阵A 的特征值；② 参数a取何值时，矩阵A 可对角化，说明理由；③ 当A 可对角化时，求可逆矩阵P 和对角阵Λ，使得P -1AP =Λ.五、解答题（9分）。
2012～2013 学年度第 二 学期《线性代数》试卷（ A 卷）适用年级专业：2012级理工、经管类本科教学班 考 试 形 式：（ ）开卷、（ √ ）闭卷二级学院： 行政班级： 学 号： 教 学 班： 任课教师： 姓 名： 注：学生在答题前，请将以上内容完整、准确填写，填写不清者，成绩不计。
一、填空题（每小题 2 分，共 10 分）：1、排列5173642的逆序数为_________________.2、已知四阶行列式D 的第二行元素分别为 1,0,2,1-，他们的代数余子式分别为2,2,1,1-，则 行列式D =____________.3、设A 为4阶方阵，且2A =，则*A -= .4、设A 是43⨯矩阵，且线性方程组Ax b =有唯一解，则A 的列向量组线性 .5、如果一个二次型的标准型为2221235x x x -+，则此二次型的秩为 . 二、选择题（每题 2分，共 10 分，每题只有一个正确答案）：1、若n 阶矩阵A 互换第一, 二行后得矩阵B , 则必有（ ）.()0=+B A A ； ()0=AB B ； ()0=+B A C ； ()0=AB D .2、设,,A B C 为同阶方阵，E 为单位矩阵，若E ABC =，则下列各式中总成立的是（ ）.()A BCA E =； ()B A C B E =； ()C BAC E =； ()D CBA E =.3、 设0Ax =是非齐次线性方程组b Ax =对应的齐次线性方程组， 那么下列叙述正确的是（ ）.()A 如果0Ax =只有零解，那么b Ax =有唯一解; ()B 如果0Ax =有非零解，那么b Ax =有无穷多个解;()C 如果b Ax =有无穷多个解, 那么0Ax =只有零解; ()D 如果b Ax =有无穷多个解, 那么0Ax =有非零解.4、设4阶矩阵A 的特征值为2、2、3、-1，则A =（ ）.()A 6； ()B -6； ()C 12； ()D -12.5、设矩阵A 为正交阵，下列说法错误的是（ ）.()A T A A =； ()B E AA T =； ()C A 的列向量为单位向量；()D 11A =-或.三、计算题（每题8分，共 32分）：1、计算行列式 1123112312131231D --=--.2、已知11112121,3321111A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, 求TB A .3、已知2110112132X ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，求矩阵X .4、已知齐次线性方程组0Ax =有非零解, 其中142t A -⎛⎫= ⎪⎝⎭, 求t 的值.四、证明题（共8分）已知向量组321,,βββ线性无关，若向量组321,,ααα满足：3211βββα+-= ，3212βββα-+= ，3213βββα++-= ；判断向量组321,,ααα的线性相关性.五、（共 10分）求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=6063324208421221A 对应的列向量组的秩，并 求一个最大无关组 .六、（共 10分）设三元非齐次线性方程组b Ax =,若()2R A =,且12(1,1,2,0),(0,1,1,0)T T ηη=-=是两个已知解向量,求b Ax =的通解.七、（共 10分）已知方阵0111110a A b ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值为1231, 2.λλλ===-1）求b a ,的值；2）判断A 是否可以对角化.八、（共 10分）已知二次型：323121232221321662355),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++= ，用正交变换化此二次型为标准型，并求正交变换矩阵Q .一、填空题[三基类] [教师答题时间： 2分钟]（每小题 2分，共 10 分）1、12;2、1;3、8;4、无关;5、3.二、选择题[三基类] [教师答题时间： 2分钟]（每题2分，共 10分）1、C ；2、A;3、D ；4、D ；5、A ；三、计算题[三基类][教师答题时间： 15 分钟]（每题8分，共32分），1、解：由1123112312131231D --=--=11231123512131231--- …………（2分）……………（6分）2、解： TB A =111131*********⎛⎫-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭…………（3分）283770-⎛⎫=⎪⎝⎭. …………（5分）3、解： 12110112132X -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭…………（3分） 211011121323-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭…………（3分） 41135123⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭. ……………（2分）4、解： 由 1042t A -==, …………（5分）即 240t +=, …………（2分）得 2t =-. ……………（1分）四、证明题[三基类] [教师答题时间： 5分钟]（8分）证明：由123123111(,,)(,,)111111αααβββ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭， ……（2分） 由04≠=A ，A 可逆，故两个向量组可相互线性表出,因此两个向量组等价. ………（3分） 由向量组321,,βββ线性无关，得123(,,)3R βββ=,有123123(,,)(,,)3R R αααβββ==, ………（2分） 故向量组321,,ααα线性无关 . ………（1分）五、 [一般综合型] [教师答题时间： 5分钟]（10分）解：由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−0000000012001221rA ，……（4分）故向量组的秩为2， ……（3分）最大无关组为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3221和⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0282. ……（3分）六、 [一般综合型] [教师答题时间： 5分钟]（10分）解: 由()2R A =得0Ax =的基础解系含一个非零向量, ......（4分）故T T T（4分） （2分）七、 [一般综合型] [教师答题时间： 5分钟]（10分）解：1）由已知, 0;1 2.b A a b =⎧⎪⎨=--=-⎪⎩……………（3分）得 1,0.a b =-= ………(2分)2）当1λ=时，由111111111000111000A E λ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， ……（2分） 得 ()1R A E -=，故1λ=对应两个线性无关的特征向量，……(2分) 故 A 可以对角化. …………（1分）八、 [综合型] [教师答题时间：10分钟]（10分）解: 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=333351315A ………………………………(2分)令0)9)(4(=--=-λλλλE A 得9,4,0321===λλλ。
海南大学2012-2013学年度第二学期试卷科目：（工科类）《线性代数》试题(A 卷)姓名： 学 号： 学院： 专业班级：时限： 120 分钟 考试形式：闭卷笔试所有试卷均配有答题纸，考生应将答案写在答题纸上，写在试卷上一律无效大题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分一、选择题：(每题3分，共15分)1.行列式0100002000034000=_____-24_____2. 设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵A *的行列式为0___3. 设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，若m n >，则AB =____0___4.若n 元齐次线性方程组AX O =有n 个线性无关的解向量，则A =O5. 设三阶方阵A 有三个特征值1232,3,λλλ==，若 A =24，则3λ=4二、填空题（每题3分，共15分）1. 设A 为n 阶方阵，且AX O =有非零解，则矩阵A 必有一个特征值为（ C ）(A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) 无法确定得分 阅卷教师得分 阅卷教师2. 设矩阵A 、B 都为n 阶方阵A =2，B =-3，则13A B *-＝（ D ）(A) 6 (B) 6n (C) -6 (D) 16n --3.若可逆方阵A 满足2A A = ，则 A =（ A ）(A)1 (B) 0 (C) -1 (D)无法确定4. 设三阶行列式D 的第三行元素依次是1、-1、1，它们的代数余子式依次是2、8、-5，则D =（ B ） （A ） 11 (B) -11 (C) 5 (D)-55. n 元非齐次线性方程组AX β=有解，其中A 为(1)n n +⨯的矩阵，则A β=（ A ）(A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) 无法确定三 、计算题（14分）求非齐次线性方程组1234123412343133445980x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩的通解。
课程编号：A073122 北京理工大学2012-2013学年第一学期线性代数A 试题 A 卷班级 ________ 学号 _________ 姓名 __________ 成绩 ___________一、（10分）已知3阶方阵123035002A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，计算行列式*123A I+。
二、（10分） 设423110, 2123A AX A X ⎛⎫ ⎪⎪==+ ⎪ ⎪-⎝⎭, 求X 。
三、（10分）已知线性空间4][x F 的自然基为231,,,x x x 。
(1) 证明：2231,12,123,1234x x x x x x ++++++为4][x F 的一个基；(2) 求自然基231,,,x x x 到基2231,12,123,1234x x x x x x ++++++的过渡矩阵，以及23()1h x x x x =--+在后一个基下的坐标。
四、（10分）已知123(1,0,1), (2,2,0), (0,1,1)TTTααα=-==。
(1) 求向量组123,,ααα的一个极大无关组；(2) 求生成子空间123(,,)L ααα的一个标准正交基。
五、（10分）设A 是5阶方阵，且已知存在5阶可逆矩阵P ，使得111112P AP --⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭试写出A 的初等因子，同时判断P 的哪几列是A 的特征向量。
六、（10分）在多项式空间4[]R x 中定义变换σ：233012330201()()a a x a x a x a a a x a a x σ+++=-+++（1）证明：σ是4[]R x 上的线性变换；（2）求σ在4[]R x 的自然基231,,,x x x 下的矩阵，并判断σ是否可逆。
七、（10分）假设A 是m n ⨯的实矩阵，证明：()()TA A A =秩秩八 (10分）已知(1,1,1)T ξ=-是矩阵2125312A a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的一个特征向量， （1）确定参数a , b 及特征向量ξ所对应的特征值； （2）判断A 是否可以相似对角化，说明理由。
,,s、向量组的秩为r，则向量组中三、计算题（每题12分，共60分）1、计算行列式：32142143143243212、已知=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101111121X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛523231141，求矩阵X3、求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=+-+-=+-+=+-+261782314620324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。
4、求向量组1234(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0),(1,2,3)αααα====-的一个极大线性无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示.5、求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100010221A 的特征值与特征向量.分）若123,,ξξξ是方程组0AX =的基础解系，证明1323122,2,2ξ+ξξ+ξξ+ξ也是该方程组的基础解系.2012-2013-1线性代数A 参考答案与评分标准一、 判断题（每题2分，共20分）二、填空题（每空2分，共10分）1、-2；2、43、41； 4、1； 5、111,,632三、计算题（每题12分，共60分）1、解：原式=32110214101431043210……………………………………………（2分） =111022203110432110321121411431432110------= …………………………（6分） =11314021113112011111131120----=----=---- …………（10分）=160113140=- ……………………………………………………（12分）2、解：1141121132111325101X -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦----------------------4分 121100121100111010012110101001022101⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦1310011031202201211001001100212111001122⎡⎤--⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥---→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦--⎢⎥⎣⎦--------------10分131221141223113201102232511465122⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎣⎦--------------------------12分 3、解：先对增广矩阵进行初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------000000000012210032112442012210122100321121611178231461203211--------------------6分同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-+1220324324321x x x x x x x ，一个特解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0011-----------------------8分选4x 为自由未知量，得到齐次线性方程组的一个基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210121,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1105----------------------10分原方程组的通解为+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2101211k ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11052k +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0011-------------------------12分 4、解:秩为 3，--------------------------6分一个极大线性无关组为123,,ααα. --------------------------10分412335αααα=-+-；--------------------------12分5、解:特征方程为|λE －A|=1010221---+λλλ=(λ+1) (λ－1)2 =0，------4分 ∴A 的全部特征值为λ1=－1，λ2=λ3=1。
