地热学chp3

∂T dV = − ∫ qds + ∫ AdV S ∂t v v 一般情况下,热导率k是空间位置的函数,若k是一个常数,则
∫ ρc
∂t
上式化为
,记
为热扩散率,单位为m2/s
a=
∂T κ 2 A = ∇T+ ρc ∂t ρc
κ ρc
.
3.1 一维热传导方程
在许多实际问题中，介质可以看作是由平面平行层组成， 各层内介质为均匀各向同性的导热介质。这时，介质就 是一维的，对应的热传导方程为 ∂T ∂ 2T A =a 2 + ∂x ∂t ρc 若S内无热源,即A=0,则热传导方程变为: ∂T = a∇ 2T
地表周期性热流的传导
• 在深度z处温度极值滞后的时间为（公式中提取2pi/T) z T 相位滞后的时间为 ϕ = z π ta =
2 πa
z aT
由上两式可知，当深度 z = πaT 时，温度变化极值滞后的 时间恰为周期的一半（T/2），而相位滞后则为 π 。在这 个深度上，温度的变化与地面温度变化正相反，即一年之 中，温度最高值出现在冬季，最低值出现在夏季。 • 同一地点，以T1和T2为周期的温度变幅作相同倍数衰减的 对应深度z1和z2之比等于两周期平方根之比，换言之，按 上式，当 exp(− π z ) = exp(− π z ) ，则有 z1 = T1 ，
q0 h k
3.1 一维热传导方程
地表周期性热流的传导 • 一昼夜或一周年的地面温度循环可以看作是周期性的， 假定地下岩性均一和各向同性，平坦的地面（z=0m） 温度循环采取以下形式：
θ ( 0 ,t )
T是温度变化周期，t为时间， θ为T周期内地面平均温 0 度， 为温度变化幅度。考虑无源的一维热传导方程 ∆θ0 其中z为垂直地面向下方向。用地面温度为边界条件 解热传导方程得：
加加加加加加加加加加加加加加加温温加加加加加温加加温加加加加加加加
5 4 3 2 z=0m z=5m z=10m z=20m z=30m
温温加加加温 / 温
1 0 -1 -2 -3 -4 -5
0
2
4
6
8
10
12
Time / 月
3.2 傅立叶定律与热传导方程
• 回顾温度场、稳定温度场、非稳定温度场的概念
3.1 一维热传导方程
• 热平衡下的介质温度 ∂T ∂ 2T A + 由热传导方程 ∂t = a ∂，在热平衡状态时， 2 x ρc ∂ T 方程的解为 1A 2 = 0
∂t
T =−
2k
x +C1x +C2
其中，C1，C2为待定常数。给出边界条件为表面 （x=0）处的温度为T0、热流为q0，则可确定 ： q 1A 2 C1 = −q0 / k, C2 = T0 故 T = T0 − 0 x − x k 2k 上式中， q0和A是两个独立的测量值。若取某个 介质厚度为h，则由T0及k可计算介质底面的温度 Th。
3.1 一维热传导方程
• 计算地热正演问题的热源加入方法: 1. 略去(无热源区域,A=0). 2. 层内热源为常数(A=A0). 3. 热源是空间位置的函数(如A=A0exp(-x/H))，此时，泊松方 程的解为： 2
T ( x) = T0 + xQ0 / κ + x A0 H
κ
exp(−
h AH x )+ 0 [1 − exp(− )] H K H
∂t
• 如果温度不随时间变化,则热传导方程分别变为: A (有热源, ρc 2 κ = a 泊松方程) ；
∇ T =−
在简单模型情况下,给定初始统计和边界条件时,这些热传 导方程才有解析解. 初始条件即起始条件, 计算地热问题 最常用的初始条件为t=0时,对所有空间点,T=常数. 如岩 浆侵入过程中, 围岩的温度. 边界条件是指模型的边或表 面,边界条件可能与时间有关.
dt
3.2 傅立叶定律与热传导方程
• 温度升高有两个原因：一为传入微元体的热量超过该微元 体输出的热量；另一为微元体内部有热源。前者，在时间 dt内微元体的存热量在x轴方向为(qx-qx+dx)dydzdt。因 qx+dx的数值是x坐标的未知数，将它用泰勒级数展开并取 前两项，有：q x + dx = qx + ∂qx dx ，故 [qx − (qx + ∂qx dx)]dydzdt = − ∂qx dvdt ∂x ∂x ∂x 上式表示在x点上时间dt内通过dydz面积的热流量，减去 x+dx点上dt时间内通过dydz面积的热流量，等于时间dt内 微元体dv储存的热量。上式右边可写成 ∂ (−κ ∂θ )
∂θ ∂ 2θ =a 2 ∂t ∂z
2π = θ 0 + ∆θ 0 sin t T
θ ( z ,t )
2π = θ 0 + ∆ θ 0 exp( − z ) sin( t− aT T
π
π
aT
z)
3.1 一维热传导方程
地表周期性热流的传导 • 用地面温度为边界条件解热传导方程得：
π 2π t− z) aT T aT 上式表明：地壳最上层任一深度上温度变化周期不随深度而变 化，地面温度变化向深处传播时，地温变化幅度 ∆θ随深度z的 0 增加按指数规律减小，即： θ ( z , t ) = θ 0 + ∆ θ 0 exp( −
3.1 一维热传导方程
• 若无热源，则A＝0，底面温度为 T h = T 0 +
1 Th = T0 + q0 h / κ 2
热平衡下的介质温度
此时， q0完全来源于层下；若层下无热源而A在层内是均 匀分布的，则q0完全来自层内，即q0 ＝Ah，故 一般说，q0有一部分来自层下，另一部分则来自中间的热 源。如何区分这两种来源的热流，则仍可借助于介质表 面的观测数据得到，伯奇（F·Birch）和洛埃 （R·F·Roy）等人利用观测地面热量的办法，指出地面 热流与热强度有一直线关系： q0 = q * + D × A q*是直线在上q0轴上的截距，D是直线的斜率。 q*是来自无源层的热流，即q0中来源于层下的部分。
k ∇ 2T = (无热源, 拉普拉斯方程)； 0
3.1 一维热传导方程
• 1. 2. 3. 4. 计算地热问题时,常用的边界条件有: 模型的表面温度不变(T0=常数, 对于t≥0),如地球 表面的年平均温度. 表面温度做周期变化(T=T0 sin(wt),对于t≥0), 如地 球表面的日变化. 恒定的热流密度(Q=常数,对于t≥0), 如在一个构 造单元内,来自上地幔的热流密度被认为是不变 的. 不同介质界面时的边界条件：在大多数情况下， 不可能精确地指定穿过界面的热传递量，但可以 近似地表示如下简单形式：q = a(θ s − θ ∞ ) 系数a是 通过热辐射和热对流的物理过程决定的。
地热学
Geothermometry
成都理工大学
Mao Lifeng 2011年8月15日
Chp3 地温场的热传递方程
• • • • • 3.1 一维热传导方程 3.2 傅里叶定律与热传导微分方程 3.3 热对流 3.4 热辐射方程 3.5 传导和对流共存时的热传递方程
Chp3 地温场的热传递方程
aT 1 1 aT2 2
z2 T2
上式表明，如果T1和T2分别为年和日，则有
z
年
：z日 =
365 ： 1 = 19 .1
即温度的年变化影响深度为日变化影响深度的19.1倍。
地表周期性热流的传导
ϕz = z π aT ∆θ z = ∆θ0 exp(− π z) aT
热扩散率作为同一周期两个深度z1和z2及其温度变幅∆ θ1和 ∆ θ 2 或其相位滞后之差（∆ ϕ）的函数来表达，即：
z ) sin(
∆ θ z = ∆ θ 0 exp( −
π
π
π z) aT
=L 令 ，L可称为衰减系数。结果表明，如深度以算术级数增加， aT 其对应温度变化幅度则以几何级数减小（ ）；同 时也表明，温度变幅随深度衰减强度依周期的减小而增大。 ∆θ0 : ∆θz : ∆θ2z = 1: e− z : e−2z
其中，T0是上界面的温度，Q0是流出上界面的热流密度；h 是层的厚度，A0是上界面的生热率，k是热导率，H是生热 率减小到只为上边界生热率的1/e=0.368时的特定距离。 如果生热率A=A0为常数，上式简化为： ( x) = T0 + 1 Q0 x − A0 x 2 T
κ
2κห้องสมุดไป่ตู้
T 如果A＝0，解拉普拉斯方程，得到： ( x) = T0 + κ Q0 x = T0 + x grad T 式中温度梯度是常数。 1
仅表示地面温度变化对地下温度的影响， 如果考虑大地热流值引起的升温和附加的地温梯度，则地壳 最上层的温度为： qz π 2π π
θ (z, t ) = θ 0 + λ + ∆ θ 0 exp( − aT z ) sin( T t− aT z)
地温梯度为：
G (s, t ) =
q 2π π 2π π π − ∆θ0 exp(− z) sin( t − z+ ) λ aT aT T aT 4
地表周期性热流的传导
• 设地面一个周期(年)内平均温度为20度，周期变温度幅度 为5度，热扩散率为0.01cm2/s,则一个周期(年)内的温度变 化与深度的关系如下图：
地表周期性热流的传导
• 不同深度时的温度变幅与年周期内各时间的关系。
不不不温加加温温加加加温加加加加加加
5 4 3 2 z=0m z=5m z=10m z=20m z=30m
加温加加温 / 温
1 0 -1 -2 -3 -4 -5 0
2
4
6
8
10