邯郸市一中理科部高三第一次月考集合逻辑函数

邯郸市2024届高三年级第一次调研监测数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式13V Sh=（其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高）.棱台的体积公式()13V h S S'=+（其中S '，S 分别为棱台的上､下底面面积，h 为棱台的高）.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}1A =<，{}220B x xx =+≤，则A B ⋃=（）A.(]1,2- B.{}0 C.[)2,1- D.(),1-∞【答案】C 【解析】【分析】先求一元二次不等式得{20}B xx =-≤≤∣，再根据集合运算法则求解A B ⋃即可.【详解】{}{}2{1}{01},2020A x x B x x x x x =<=≤<=+≤=-≤≤∣∣∣，则{21}A B xx ⋃=-≤<∣.故选：C.2.已知命题p ：[)0,x ∞∀∈+，e 1x ≥，则p ⌝为（）A.(),0x ∃∈-∞，e 1x ≥B.[)0,x ∃∈+∞，e 1x <C.(),0x ∀∈-∞，e 1x <D.[)0,x ∞∀∈+，e 1x <【答案】B 【解析】【分析】利用含有全称量词的命题的否定判断.【详解】因为命题:[0,),e 1x p x ∞∀∈+≥，所以:[0,),e 1x p x ⌝∃∈+∞<.故选：B.3.已知i 是虚数单位，若复数z 满足：()31i 1i z -=-，则z z +=（）A.0B.2C.2iD.2i-【答案】A 【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得i z=-，得到i z =，即可求解.【详解】由复数()31i 1i z -=-，可得()()()231i 1i 1i i 1i 1i 1i 1i z ---====--++-，则iz =，所以i i 0z z +=-+=.故选：A.4.设函数()()ln f x x a =+在1x =处的切线与直线12xy =+平行，则=a （）A.2- B.2C.1- D.1【答案】D 【解析】【分析】由条件，根据导数的几何意义及两平行直线的斜率关系列方程求a .【详解】函数()()ln f x x a =+的定义域为(),a -+∞，由已知1a >-，故1a >-，函数()()ln f x x a =+的导函数()1f x x a'=+，所以()111f a'=+，因为函数()()ln f x x a =+在1x =处的切线与直线12xy =+平行，所以1112a =+，所以1a =，经验证，此时满足题意.故选：D .5.设1F ，2F 是双曲线()222104x y b b-=>的左､右焦点，过1F 的直线l 交双曲线的左支于A ，B 两点，若直线2y x =为双曲线的一条渐近线，22AB b =，则22AF BF +的值为（）A.11B.12C.14D.16【答案】C 【解析】【分析】根据双曲线的标准方程可得2a =,再由双曲线的定义可得212124,24AF AF a BF BF a -==-==，得到()22118AF BF AF BF +-+=,再根据||6AB =得到答案.【详解】根据双曲线的标准方程2221(0)4x y b b -=>，得2a =,由直线2y x =为双曲线的一条渐近线，得2b a =,解得b =,得2||26AB b ==.由双曲线的定义可得2124AF AF a -==①，2124BF BF a -==②，①+②可得()22118AF BF AF BF +-+=,因为过双曲线的左焦点1F 的直线l 交双曲线的左支于A ,B 两点,所以11||6AF BF AB +==,得22||86814AF BF AB +=+=+=.故选：C.6.有一种钻头，由两段组成，前段是高为3cm ､底面边长为2cm 的正六棱锥，后段是高为1cm 的圆柱，圆柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，则此钻头的体积为（）A.()33cm π B.()33cm πC.)33cm π+ D.33cm 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据棱锥和圆柱的体积公式即可得到答案.【详解】由题意，钻头的前段正六棱锥的体积)311133226cm 322V =⨯⨯⨯⨯⨯=，因为圆柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，作出以下图形，所以圆柱的底面圆的半径2sin 60r ︒==，所以圆柱的体积()2321π3πcm V =⨯⨯=，所以此钻头的体积为()3123πcm V V +=.故选：B.7.甲口袋中有3个红球，2个白球，乙口袋中有4个红球，3个白球，先从甲口袋中随机取出1球放入乙口袋，分别以1A ，2A 表示从甲口袋取出的球是红球､白球的事件；再从乙口袋中随机取出1球，以B 表示从乙口袋取出的球是红球的事件，则()2P A B =（）A.823B.623 C.1740D.58【答案】A 【解析】【分析】分别求出()2P A ，()2P B A ，再根据全概率公式求出()P B ，再根据条件概率公式即可得解.【详解】()()()()()1122352423585840P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=，()225P A =，()24182P B A ==，()()()()()()222221852232340P A P B A P A B P A B P B P B ⨯====.故选：A.8.设函数()f x 的定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，()e x f x =-，A.()31f =-B.()21f -=-C.()6f x +为奇函数D.()()228f x f x =+【答案】D 【解析】【分析】由题意可得()()11f x f x --=--，()()11f x f x -+=+，结合()1,1x ∈-时，()e xf x =-，可判断AB ；求出函数的周期，进而可判断CD .【详解】因为()1f x -为奇函数，所以()()11f x f x --=--，即()()2f x f x =---，则()()11f f -=--，所以()10f -=，因为()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x -+=+，即()()2f x f x =-+，则()()310f f =-=，故A 错误；由当()1,1x ∈-时，()e xf x =-，得()01f =-，则()()201f f -=-=，故B 错误；()()22f x f x -+=---，则()()4f x f x +=-，所以()()()84f x f x f x +=-+=，所以()()228f x f x =+，故D 正确；对于C ，由()()8f x f x +=，得()()62f x f x +=-，若()6f x +为奇函数，则()2f x -也为奇函数，令()()2g x f x =-，则()g x 为奇函数，则()00g =，又()()0210g f =-=≠，矛盾，所以()()2g x f x =-不是奇函数，即()6f x +不是奇函数，故C 错误.故选：D .【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：（1）若函数()f x 的图象关于直线x a =和x b =对称，则函数()f x 的周期为2T a b =-；（2）若函数()f x 的图象关于点(),0a 和点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为2T a b =-；（3）若函数()f x 的图象关于直线x a =和点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为4T a b =-.二､选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.设a ，b是两个非零向量，且a b a b +<+ ，则下列结论中正确的是（）A.a b a b-≤+ B.a b a b-<+ C.a ，b的夹角为钝角 D.若实数λ使得a b λ=成立，则λ为负数【答案】AD 【解析】【分析】根据平面向量的模、线性运算的概念即可判断.【详解】对A ，当,a b 不共线时，根据向量减法的三角形法则知||||||a b a b -<+，当,a b 反向共线时，||||||a b a b -=+r r r r ，故a b a b -≤+，A 正确；对B ，若a b ⊥，则以,a b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b + 和a b - 是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，故B 错误；对C ，若,a b 的夹角范围为π0,2⎛⎤⎥⎝⎦，根据向量加法的平行四边形法则知：||||||a b a b +<+r r r r ，故C 错误；对D ，若存在实数λ，使得a b λ=成立，则,a b 共线，由于||||||a b a b +<+r r r r ，则,a b反向共线，所以λ为负数，故D 正确.故选：AD.10.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列，则（）A.数列{}n a 为递减数列B.22n S n n=-C.43n a n =- D.数列{}n n a S +是等差数列【答案】BC 【解析】【分析】根据等差数列的通项即可判断B ；根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项，即可判断C ；由1n n a a +-的符号即可判断A ；根据等差数列的定义即可判断D.【详解】由题意21nS n n=-，所以22n S n n =-，故B 正确；当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()221221143n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-，当1n =时，上式也成立，所以43n a n =-，故C 正确；因为140n n a a +-=>，所以数列{}n a 为递增数列，故A 错误；2233n n n a S n =++-，因为()22119a S a S +-+=，()332213a S a S +-+=，所以数列{}n n a S +不是等差数列，故D 错误.故选：BC .11.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点()0,1，最小正周期为π2，则（）A.()f x 在π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B.()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得到的函数为偶函数C.函数()f x 在()0,π上有且仅有4个零点D.函数()f x 在区间π5π,412⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值无最大值【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定条件，求出ω与ϕ，再逐项分析求解，判断作答.【详解】依题意，(0)2sin 1f ϕ==，即1sin 2ϕ=，而π2ϕ<，则()ππ,2sin 66f x x ϕω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.由最小正周期为2π，得22T ππω==，得4ω=，则()π2sin 46f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，由π5π,66x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，得π5π7π4,662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则()f x 在π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，A 不正确；对于B ，()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得函数()πππ2sin 42sin 42cos 4662f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是偶函数，B 正确；对于C ，当0πx <<时，πππ44666x π<+<+，则π4π,2π,3π,4π6x +=，则5π11π17π23π,,,24242424x =，可得()f x 在()0,π上有且仅有4个零点，C 正确；对于D ，当π5π412x <<时，7ππ11π4666x <+<，当π3π462x +=，解得π3x =时，()f x 取得最小值2-，无最大值，D 正确.故选：BCD.12.已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，R ，E ，F 分别是AB ，11AD ，1CC 的中点，连接RE ，EF ，RF ，记R ，E ，F 所在的平面为α，则（）A.a 截正方体所得的截面为五边形 B.1B D α⊥C.点D 到平面αD.α截正方体所得的截面面积为【答案】BCD 【解析】【分析】根据平面的性质先做出截面可判定A 、D ，再利用线线垂直可判定线面垂直得B 项正误，由正六棱锥的体积判定C .【详解】如上左图所示取111AA BC C D 、、中点分别为H G J 、、，连接EH HR RG GF FJ JE 、、、、、，易知HR FJ RG EJ GF HE ，，，HR FJ RG EJ GF HE ===，，，即六边形HRGFJE 为正六边形，平面HRGFJE 即过R ，E ，F 三点的平面α，故A 错误；由正方体的棱长为2，可得截面HRGFJE 的面积为2364S =⨯⨯=D 正确；如上右图所示，连接11AC BD BC B C 、、、，由正方体的性质可得1,AC BD BB ⊥⊥面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，所以1,BB AC ⊥又11,BD BB B BD BB ⋂=⊂、面1BDB ，所以AC ⊥面1BDB ，1DB ⊂面1BDB ，所以1AC DB ⊥，而AC RG ，所以1RG DB ⊥，同理可得1FG DB ⊥，,FG RG G FG RG α⋂=⊂、，故1DB α⊥，即B 正确；分别连接1D B ，与截面HRGFJE 的六个顶点可得两个正六棱锥，设点D 到平面α的距离为h ，易知211128862162323D HRGFJE A HRD HRGFJE V V V h S h --=-=-⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⇒=正方体六边形，故C 正确.故选：BCD.三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.()841x x-的展开式的常数项是___________.【答案】70【解析】【分析】利用通项公式求解，84(1)x x-的展开式中常数项由8(1)x -的展开式的4次方项确定，求解即可.【详解】8(1)x -的展开式的通项公式为818C (1)r rr r T x-+=-，当84r -=时，44584,C r T x ==，所以84(1)x x-的展开式的常数项为48C 70=.故答案：70.14.写出函数()cos 1sin xf x x=-的一个对称中心：___________.【答案】π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】首先化简函数得()πtan 24x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,再根据正切函数的对称中心公式求解.【详解】222cos sin cos sincos 2222()1sin cos sinsin cos 2222x x x x x f x x x x x x -+===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭π1tantan tan π224tan π241tan 1tan tan 224x x x x x ++⎛⎫===+ ⎪⎝⎭--，令1ππ24x k +=或()212ππ,242x k k k π+=+∈Z ，则1π2π2x k =-+或()212π2π,2x k k k =+∈Z ，令20k =，则π2x =，所以函数()f x 的一个对称中心是π,02⎛⎫⎪⎝⎭.故答案：π,02⎛⎫⎪⎝⎭(答案不唯一，横坐标符合π2π2x k =±(k ∈Z )即可)15.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线W ：214y x =+.若等腰直角三角形ABC 三个顶点均在W 上且直角顶点B 与抛物线顶点重合，则ABC 的面积为___________.【答案】1【解析】【分析】根据等腰直角三角形与二次函数的性质，建立不等式，可得答案.【详解】由题意可作图如下：设()()11221,,0,,,4A x y B C x y ⎛⎫⎪⎝⎭，其中120x x <<，则直线AB 与直线BC 的斜率分别为1114y x -，2214y x -，由AB BC ⊥，则121211441y y x x --⋅=-，由AB BC =，则222211221144x y x y ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将21114y x =+，22214y x =+代入121211441y y x x --⋅=-，可得121x x =-，将21114y x =+，22214y x =+代入222211221144x y x y ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得24241122x x x x +=+，将121x x =-代入24241122x x x x +=+，可得()()6222110x x -+=，解得21x =，则5151,,0,,1,444A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，==AB BC ，112ABC S AB BC =⋅⋅=V .故答案为：1.16.过圆O ：222x y +=上一点P 作圆C ：()()22442x y -+-=的两切线，切点分别为Q ，R ，设两切线的夹角为θ，当PQ PR +取最小值时，sin θ=___________.【答案】9【解析】【分析】易得,,,2PQ PR CPQ CPR CQ PQ CR PR θ=∠=∠=⊥⊥，从而可得2P PQ P Q R ==+，求出PC 取得最小值时，sin θ的值即可.【详解】由题意可得,,,2PQ PR CPQ CPR CQ PQ CR PR θ=∠=∠=⊥⊥，圆O 的圆心()0,0O ，半径1r =，圆C 的圆心()4,4C ，半径2r =则2PQ Q R P P ===+，当PQ PR +取最小值时，则PC 取得最小值，1min PC OC r =-=此时1sinsin23CPQ θ=∠==，又2θ为锐角，所以22cos 23θ=，所以12242sin 2339θ=⨯⨯=，即当PQ PR +取最小值时，sin 9θ=.故答案为：429.【点睛】关键点点睛：由圆的切线的性质将所求转化为求PC 的最小值是解决本题的关键.四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >，且满足126a a +=，430S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()1n n b n a =-⋅，{}n b 的前n 项和为n T ，求使196n T ≤成立的n 的最大值.【答案】（1）2n n a =（2）5【解析】【分析】（1）求首项、公比，从而求得n a ；（2）利用错位相减求和法求得n T ，解不等式196n T ≤.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，0n a >，则0q >.1246,30a a S +==，则12346,24a a a a +=+=，得234122446a a q a a +===+，所以2q =，所以116a aq +=，所以12a =，所以2n n a =.【小问2详解】由（1）得(1)(1)2nn n b n a n =-⋅=-⋅，得231222(1)2n n T n =⨯+⨯++-⋅ ，得34121222(1)2n n T n +=⨯+⨯++-⋅ ，两式相减得23412222(1)2nn n T n +-=++++--⋅ ()112122(1)2(2)2412n n n n n ++-=-+--⋅=--⋅--，所以1(2)24n n T n +=-⋅+.由196n T ≤，得11(2)24196(2)2192n n n n ++-⋅+≤⇒-⋅≤，当5n =时，左边632192=⨯=，当5n >时，1(2)2192n n +->，所以n 的最大值为5.18.暑假期间，儿童溺水现象屡有发生，防溺水工作十分重要.现从某社区随机抽取100名居民，对他们的防溺水认识程度进行了测评，经统计，这100名居民的测评成绩全部在40至100之间，将数据按照[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）估计这100名居民成绩的中位数（保留一位小数）；（2）在这100名居民中用分层随机抽样的方法从成绩在[)40,50，[)50,60，[)60,70的三组中抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[)50,60的人数，求ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）79.3（2）分布列见解析，()1E ξ=【解析】【分析】（1）根据在频率分布直方图中中位数的求法计算即可；（2）写出随机变量ξ的所有取值，求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求期望即可.【小问1详解】因为()100.0040.0080.0120.24⨯++=，0.24100.0280.52+⨯=，所以中位数在区间[)70,80内，设为x ，则()()100.0040.0080.0120.028700.5x ⨯+++-=，解得79.3x ≈，即估计这100名居民成绩的中位数为79.3；【小问2详解】成绩在[)40,50有0.0041220.0040.0080.012⨯=++人，成绩在[)50,60有0.0081240.0040.0080.012⨯=++人，成绩在[)60,70有0.0121260.0040.0080.012⨯=++人，则ξ可取0,1,2,3，()38312C 140C 55P ξ===，()1248312C C 281C 55P ξ===，()2148312C C 122C 55P ξ===，()34312C 11C 55P ξ===，所以分布列为ξ123P145528551255155所以()14281210123155555555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.19.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin 2cos c a C c A =-.（1）求sin 2A ；（2）若2a =，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）34（2）273+【解析】【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，化简整理可求得sin co 1s 2A A -=，平方进而求得sin 2A ；（2）利用余弦定理表示出22b c +，根据三角形面积公式和基本不等式求得最值.【小问1详解】因为2sin 2cos c a C c A =-，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得sin 2sin sin 2sin cos C A C C A =-，因为()0,,sin 0C C ∈π∴≠，所以sin co 1s 2A A -=，所以21(sin cos )4A A -=，得1312sin cos 2sin cos 44A A A A -=⇒=，即3sin 24A =.【小问2详解】由（1）知13sin cos ,2sin cos 24A A A A -==，()0,A π∈，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得sin 0,cos 0A A >>，与22sin cos 1A A +=联立，有221sin cos 2sin cos 1A A A A ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得17sin 471cos 4A A ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，得1117sin 224ABC S bc A ==⨯ ，由余弦定理得，22271cos 24b c a A bc+-==，所以227142b c bc -+=+，得2271422b c bc bc -+=+≥，当且仅当b c =时等号成立，即4(59bc ≤=+，得1142(52493ABC S +≤⨯⨯+=，得最大值为23+.20.如图，几何体由四棱锥B AEFC -和三棱台EFG ACD -组合而成，四边形ABCD 为梯形，//AD BC 且2AD BC =，AD CD ⊥，2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC ==，平面EBC 与平面ABCD 的夹角为45°.（1）求证：平面BCE ⊥平面CDGF ；（2）求三棱台EFG ACD -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）73【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质和平行的性质得BC CD ⊥，再利用面面垂直的判定即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，设DG h =，求出相关平面法向量，利用面面角的空间向量求法得到方程，解出h ，再利用棱台体积公式即可得到答案.【小问1详解】因为DG ⊥平面,ABCD BC ⊂平面ABCD ，所以DG BC ⊥，因为//,AD BC AD CD ⊥，所以BC CD ⊥，由GD CD D = ，,GD CD ⊂平面CDGF ，得BC ⊥平面CDGF ，由BC ⊂平面BCE ，得平面BCE ⊥平面CDGF .【小问2详解】因为DG ⊥平面ABCD ，,AD CD ⊂平面ABCD ，所以,DG AD DG CD ⊥⊥，又因为AD CD ⊥，所以,,DG AD CD 两两互相垂直，所以以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DG 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图.设DG h =，由题可知，(0,0,0),(2,0,0),(1,2,0),(0,2,0),(1,0,),(0,1,),(0,0,)D A B C E h F h G h ，易知平面ABCD 的一个法向量为(0,0,)DG h = ，设平面EBC 的法向量为(,,)n x y z =，(1,0,0),(0,2,)CB BE h ==- ，故得0n CB n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y zh =⎧⎨-+=⎩，不妨令1y =，则20,1,,cos ,2||||DG n n n DG h DG n ⋅⎛⎫=〈〉==⎪⎝⎭ ，解得2h =，所以三棱台EFG ACD -的体积为1117222113223V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.21.已知函数()2ln 2xf x a x =⋅-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时，证明：不等式()12ln f x a a≤+有实数解.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，再分0a ≤和0a >两种情况讨论即可；（2）要证不等式()12ln f x a a ≤+有实数解，只需证明()min 12ln f x a a≤+即可，由（1）求出()min f x ，进而得证.【小问1详解】()()ln 22ln 2ln 221x x f x a a '=⋅-=⋅-，当0a ≤时，()0f x '<，则函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减，当0a >时，21log x a <时，()0f x '<，21log x a>时，()0f x ¢>，所以函数()f x 在21,log a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在21log ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减；当0a >时，函数()f x 在21,log a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在21log ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；【小问2详解】要证不等式()12ln f x a a ≤+有实数解，只需证明()min12ln f x a a≤+即可，由（1）得()21log 22min11log 2ln 2log 1ln a f x f a a a a ⎛⎫==⋅-⨯=+ ⎪⎝⎭，则只要证明11ln 2ln a a a+≤+即可，即证1ln 10a a+-≥，令()()1ln 10h a a a a =+->，则()22111a h a a a a-'=-=，当01a <<时，()0h a '<，当1a >时，()0h a '>，所以函数()h a 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()10h a h ≥=，即1ln 10a a+-≥，所以当0a >时，不等式()12ln f x a a≤+有实数解.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的焦点分别为()11,0F -和()21,0F ，离心率为12.不过2F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，M 两个不同的点，直线2AF 与椭圆的另一交点为点B .（1）求椭圆E 的方程；（2）①若直线MB 交x 轴于点N ，求以ON 为直径的圆的方程；②若过2F 与AB 垂直的直线交椭圆E 于D ，G 两个不同的点，当22AB DG +取最小值时，求直线AB 的方程.【答案】（1）22143x y +=（2）①22(2)4x y -+=；②1y x =-或1y x =-+.【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义，可求其方程；（2）①联立直线AB 与椭圆方程，表示出直线BM 的方程，再由根与系数的关系求出N 点坐标，即可求出圆的方程；②根据弦长公式可求AB 长度,进而得DG 长度，根据不等式即可求解最值，得直线AB 的方程.【小问1详解】由题意可知，11,2c c e a ===，得2a =，由222a b c =+，得23b =，所以椭圆E 的方程为22143x y +=.【小问2详解】①显然直线AB 的斜率必存在，且0AB k ≠，则设直线AB 的方程为()()1122(1)(0),,,,y k x k A x y B x y =-≠，则()11,M x y -，联立有22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()22224384120k x k x k +-+-=，所以221212228412,4343k k x x x x k k -+==++，直线BM 的方程为()211121,y y y y x x x x ++=-- 令0y =可得N 点的横坐标为()()()()1211212211112112121222N k x x x x x x x x x x y x x y y k x x x x ---+-=+=+=++-+-22222241282434348243k k k k kk -⨯-++==-+.所以N 为一个定点，其坐标为(4,0)，则圆心坐标为()2,0，半径为2，则以ON 为直径的圆的方程为22(2)4x y -+=.②根据①可进一步求得:21||AB x =-=()2212143k k +=+，第21页/共21页因为AB DG ⊥,所以1DG k k =-,则()22121||34k DG k +=+,由()()()()()22222222221211212881||2243344334k k k AB DG AB DG k k k k ++++≥⋅=⨯⨯=++++()22222288111524943342k k k +≥=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，当且仅当224334k k +=+时取等号，即1k =±时，22||||AB DG +取得最小值115249，此时直线AB 的方程为1y x =-或1y x =-+.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，设直线AB的方程为(1)(0)y k x k =-≠，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，再去计算出N 点的横坐标为定值，则可得到圆的方程，再利用弦长公式和基本不等式则可得到22||||AB DG +的最小值.。

试卷第1页，总19页绝密★启用前河北省邯郸市大名一中2019-2020学年高三上学期第一次月考数学（文)试卷试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．函数()2ln 1y x =-的定义域为A ，值域为B ，全集U =R ，则集合U A C B =（ ）A.()1,-+∞B.(],0-∞C.()0,1D.[)0,1【答案】C 【解析】由题意，易得：()1,1A =-，](0B ∞=-，∴()0,U C B ∞=+， ∴()0,1U A C B ⋂= 故选：C2．在复平面内，复数12z i=+（i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得z 的坐标得答案． 【详解】试卷第2页，总19页……装…………○…※※不※※要※※在※※装※※订……装…………○… ()()12222i z i i i -==++- 2155i =-， ∴在复平面内，复数12z i =+对应的点的坐标为21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限． 故选：D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 3．已知等差数列 的前n 项和为 ，若 ，则 ＝ ( ) A ．28 B ．32 C ．56 D ．24 【答案】A 【解析】 试题分析：，故选A.考点:等差数列前 和公式.4．一个几何体三视图所示，侧视图上的数值是对应线段的长度，则该几何体的体积为A.3πB.73πC.72π D.π+【答案】A 【解析】几何体为半个圆柱（底面为半径为1的圆，高为4）与一个圆柱（底面为半径为1的圆，高为1）的组合体，体积为221411132πππ⨯⨯⨯+⨯⨯= ，选A 5．已知1a >，过(,0)P a 作22:1O x y +=e 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点，则经过,,P A B 三点的圆的半径为试卷第3页，总19页A.12- B.12a + C.aD.2a 【答案】D 【解析】经过,,P A B 三点的圆为以OP 为直径的圆，所以半径为2a，选D 6．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，a =4b =，则B =（ ）A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒C ．30B =︒D ．60B =︒【答案】C 【解析】 【分析】将已知代入正弦定理可得1sin 2B =，根据a b >，由三角形中大边对大角可得：60B <︒，即可求得30B =︒.【详解】 解：60A =︒，a =，4b =由正弦定理得：sin 1sin 2b A B a === a b > 60B ∴<︒ 30B ∴=︒故选C. 【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.7．已知函数(),()f x g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“(),()f x g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ） A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件【答案】B试卷第4页，总19页【解析】 【分析】由函数()f x ，()g x 均为偶函数，推得()()h x h x -=，证得的充分性成立，再举例说明必要性不成立，即可得到答案． 【详解】由函数()f x ，()g x 均为偶函数，则()()()(),f x f x g x g x -=-=， 又由()()()()()()h x f x g x f x g x h x -=-+-=+=，即()()h x h x -=， 所以()()()h x f x g x =+为偶函数，例如：函数()()22,2f x x x g x x =+=-，此时2()()()h x f x g x x =+=为偶数，而函数()(),f x g x 都不是偶函数，所以()f x ，()g x 均为偶函数是()h x 为偶函数的充分而不必要的条件． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及函数的奇偶性的判定及应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义和判定方法，以及合理利用举例说明是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 8．设,,D E F 分别为ABC ∆的三边BC,CA,AB 的中点，则{|2},{|x M y y P y y ====（ ）A ．12AD B ．AD C ．BCD ．12BC 【答案】B 【解析】 【分析】利用基底表示出向量求和即可 【详解】()12EB BC BA =-+，()12FC CB CA =-+，()()111222EB FC BC BA CB CA AB AC AD +=-+-+=+=，故选B【点睛】本题考查向量的加法的几何意义。

一中2021-2021学年第一学期高三年级阶段性检测〔一〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日数学学科一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共70分．，，那么___________．【答案】【解析】【分析】此题是集合A与集合B取交集。

【详解】因为，所以【点睛】交集是取两集合都有的元素。

是虚数单位)是纯虚数，那么实数的值是___________．【答案】-2【解析】【分析】此题考察的是复数的运算，可以先将复数化简，在通过复数是纯虚数得出结果。

【详解】，因为是纯虚数，所以。

【点睛】假如复数是纯虚数，那么。

3.“〞是“直线与直线互相垂直〞的___________条件〔填“必要不充分〞“充分不必要〞“充要〞或者“既不充分又不必要〞〕．【答案】充分不必要【解析】【分析】可以先通过“直线与直线互相垂直〞解得的取值范围，再通过与“〞进展比照得出结论。

【详解】因为直线与直线互相垂直，所以两直线斜率乘积为或者者一条直线与轴平行、一条与轴平行，所以或者者，解得或者者，由“〞可以推出“或者者〞，但是由“或者者〞推不出“〞，所以为充分不必要条件。

【点睛】在判断充要条件的时候，可以先将“假设A那么B〞中的A和B化为最简单的数集形式，在进展判断。

的递增区间是___________．【答案】【解析】【分析】此题可以先通过的取值范围来将函数分为两段函数，再依次进展讨论。

【详解】当时，，开口向下，对称轴为，所以递增区间是，当时，，开口向上，对称轴是，所以在定义域内无递增区间。

综上所述，递增区间是。

【点睛】在遇到带有绝对值的函数的时候，可以根据的取值范围来将函数分为数段函数，在依次求解。

5.按如下图的程序框图运行后，输出的结果是63，那么判断框中的整数的值是___________．【答案】5【解析】【分析】此题中，，可根据这几个式子依次推导出每一个A所对应的S的值，最后得出结果。

【详解】因为当时输出结果，所以【点睛】在计算程序框图时，理清每一个字母之间的关系，假如次数较少的话可以依次罗列出每一步的运算结果，最后得出答案。

2024-2025学年高一上学期第一次月考模拟（提升卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（23-24高一上·安徽合肥·月考）已知集合A B ､均是Z 的子集，若A B ⊆，则()Z A B ∩= （ ） A ．∅ B ．AC ．BD ．Z B【答案】A【解析】因为Z A B ⊆⊆，所以()Z A B =∅ 故选：A . 2．（23-24高一上·湖北·月考）下列命题中不正确的是（ ） A ．对于任意实数a ，二次函数2y x a =+图象关于y 轴对称 B ．点P 到圆心O 距离大于半径是P 在O 外的充要条件C ．存在正整数x 、y 使245x y +=D ．两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件 【答案】C【解析】对于A 选项，对于任意实数a ，二次函数2y x a =+的对称轴为y 轴，A 对； 对于B 选项，点P 到圆心O 距离大于半径是P 在O 外的充要条件，B 对；对于C 选项，对任意的x 、y ∗∈N ，()2224x y x y +=+为偶数，即245x y +≠，C 错； 对于D 选项，“两个三角形面积相等”不能推出“两个三角形全等”， “两个三角形全等”可推出“两个三角形面积相等”，所以，两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件，D 对.故选：C.3．（23-24高一上·辽宁鞍山·月考）若x ，R y ∈，则“x y >”的一个充分不必要条件可以是（ ） A ．x y > B ．22x y > C ．1xy>D ．1−>x y【答案】D【解析】对A ，由x y >，取2,1x y =−=，则x y <， 由x y >，取1,2x y ==−，则x y <，所以x y >是x y >的既不充分也不必要条件，A 错误； 对B ，由22x y >取2,1x y =−=，则x y <， 由x y >，取1,2x y ==−，则22x y <，所以22x y >是x y >的既不充分也不必要条件，B 错误； 对C ，由1xy >，取2,1x y =−=−，则x y <，由x y >，取1,2x y ==−，则1xy<， 所以1xy >是x y >的既不充分也不必要条件，C 错误； 对D ，因为1−>x y ，所以1x y y >+>，即x y >， 当x y >时，取 2.5,2xy =，则1x y −<， 所以1−>x y 是“x y >”的一个充分不必要条件，D 正确；故选:D.4．（23-24高一上·山东日照·月考）已知集合A 满足{}0,1A ⊆⫋{}0,1,2,3，则集合A 的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由题可知，集合A 可以为：{}{}{}0,1,0,1,2,0,1,3,共3个，故选：C.5．（23-24高一上·天津·月考）已知实数x ，y 满足−4≤xx −yy ≤−1，−1≤4xx −yy ≤5，则3x y +的最大值为（ ） A ．8 B ．9C ．16D ．18【答案】C【解析】令,4,s x y t x y =−=−则4,33t s t sx y −−=， 则44733333t s t s t sx y −−−+=×+=， 又41s −≤≤−，15t −≤≤，所以7728333s ≤−≤，42033−≤，所以471163t s−≤≤， 所以3x y +的最大值为16.故选：C.6．（23-24高一上·吉林·月考）已知集合12|2,Z ,|,Z 33M x x m m N x x n n==+∈==−∈ ，1|,Z 3P x x p p==+∈，则,,M N P 的关系（ ） A ．M N ⫋P B ．M ⫋N P =C ．M ⫋N ⫋PD ．N ⫋P ⫋M【答案】B【解析】由|(21)2,Z 3M x x m m ==+−∈ ，|(1),Z 32P x x p p==+−∈，而21m +为奇数，1p +为整数，又2|,Z 3N x x n n==−∈， 所以M ⫋N P =.故选：B7．（23-24高一上·山西朔州·月考）关于x 的一元二次不等式()()()2120x a x a −−+−> ，当01a <<时，该不等式的解集为（ ）A ．2|21a x x x a −>< − 或B ．2|21a x x a −<< −C ．2|21a x x x a −<> −或D ．2|21a x x a − << −【答案】B【解析】由01a <<，则10a −<，原不等式等价于不等式()2201a x x a −−−< −的解集，又由01a <<，则方程()2201a x x a −−−=−的两根分别为1222,1a x x a −==−， 当01a <<时，221a a −<−，故原不等式的解集为2|21a x x a −<< −.故选：B8．（23-24高一上·河北沧州·月考）若存在正实数x ，y 满足于411y x +=，且使不等式234y x m m +<−有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,1− B ．()1,4− C ．()(),41,−∞−+∞ D ．()(),14,−∞−∪+∞【答案】D【解析】因为0x >，0y >且411y x+=，所以414224444x y y x y x y y x x +=++≥+= +=+⋅ ． 当且仅当44x yy x=，即48y x ==时等号成立， 所以234m m −>，即()()410m m −+>，解得1m <−或4m >， 所以m 的取值范围是()(),14,−∞−∪+∞．故选：D ．二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（23-24高一上·广东佛山·月考）已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}260A xx x m =−+=∣，A U ⊆且U A 中有6个元素，则实数m 的值可以是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】AD【解析】对于A 中，当5m =时，{}{}26501,5∣A xx x =−+==，满足A U ⊆且{}2,3,4,6,7,8U A = 中有6个元素，所以A 正确；对于B 中，当6m =时，{}2660A xx x =−+=∣，集合A 中无整数解，不符合题意；对于C 中，当7m =时，{}2670A x x x =−+=∣，集合A 中无整数解，不符合题意； 对于D 中，当8m =时，{}{}26802,4A xx x −+∣，满足A U ⊆且{}1,3,5,6,7,8U A = 中有6个元素，所以D 正确.故选：AD.10．（23-24高一上·福建厦门·月考）已知1m n >>，则下列不等式正确的是（ ）A ．22n nm m+<+ B ．11m n m n+>+ C ．2m n mn +> D ．11+>+m n n m【答案】BD【解析】对于选项A ，因为1m n >>，所以22m n >，又0mn >，所以22mn m mn n +>+，即(2)(2)m n n m +>+，得到22n nm m+>+，所以选项A 错误； 对于选项B ，因为11111()()()n m mn m n m n m n m n m n m n mn mn−−+−+=−+−=−+=−， 又1m n >>，所以0,1m n mn −>>，得到11()0m n m n +−+>，即11m n m n+>+，所以选项B 正确； 对于选项C ，取3,2m n ==，满足1m n >>，但523212m n +=<××=，所以选项C 错误； 对于选项D ，因为11111()()()m n mn m n m n m n m n n n m mnm mn −++−+=−+−=−+=−，又1m n >>，所以0m n −>，得到11()0m m n n +−+>，即11+>+m n n m，所以选项D 正确，故选：BD.11．（23-24高一上·安徽合肥·月考）已知0,0a b >>，且33a b +=，则（ ） A ．ab 的最大值为34B ．113a b +的最大值是43C ．2219a b +的最小值是8 D ．12a b a b+++的最小值是3− 【答案】AC【解析】对于A ，0,0a b >> ，所以33a b +=≥34ab ∴≤， 当且仅当332a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，()1111113143223333333b a a b a b a b a b+=++=++≥×=， 当且仅当33b aa b =，即332a b ==时，等号成立，故B 错误；对于C ，34ab ≤ ，221964683a b ab ∴+≥≥≥×=， 当且仅当2219a b =且3a b =，即332a b ==时，等号成立，故C 正确；对于D ，由33a b +=，得33b a =−，由0330a b a > =−>，得01a <<，()()11113332233223333a b a a a a a b a a a a ++=++−=+−=+−−++−−−33≥=，当且仅当()1233a a =−−，即3a =时，等号成立，此时31±>，矛盾，故等号取不到，故D 错误，故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（23-24高一上·山西朔州·月考）命题“R x ∀∈，20x x −≤”的否定是 ． 【答案】R x ∃∈，20x x −>【解析】命题“R x ∀∈，20x x −≤”的否定是“R x ∃∈，20x x −>”,故答案为：R x ∃∈，20x x −>13．（23-24高一上·江苏·月考）已知集合2{|280}A x x x =+−=，2{|560}B x x x =−+=，22{|130}C x x mx m =−+−=，若B C ≠∅ ，A C ∩=∅，则m = ． 【答案】4【解析】{}2{|280}4,2A x x x =+−==−，{}2{|560}2,3B x x x =−+==，因为B C ≠∅ ，A C ∩=∅，所以3C ∈，2,4C C ∉−∉， 由3C ∈得293130m m −+−=，即2340m m −−=，解得1m =−或4m =， 当1m =−时，解2120x x +−=得{}4,3C =−，此时{}4A C ∩=−，不满足题意； 当4m =时，解2430x x −+=得{}1,3C =，满足题意. 所以4m =.故答案为：414．（23-24高一上·河南郑州·月考）若关于x 的不等式()2010ax bx c a ≤++≤>的解集为{}1|2x x −≤≤，则32a b c ++的取值范围是 ． 【答案】5[,1)9【解析】若不等式20(0)ax bx c a ++≥>的解集不是R ，不妨设20ax bx c ++=的根为3434,()x x x x <，则20ax bx c ++≥的解集为(][)34,,x x −∞∪+∞，依题意，不等式210ax bx c ++−≤的解集非空，且方程210ax bx c ++−=有两不等实根1212,()x x x x <，则210ax bx c ++−≤的解集为12[,]x x ，即有1234bx x x x a+=+=−，而1234x x x x ≠ 从而1234,,,x x x x 的大小关系只有两种：3124x x x x <<<，此时原不等式组解集为空集，不符合题意； 或者1342x x x x <<<，此时不等式的解集为1342[,][,]x x x x ∪，不符合题意， 因此20(0)ax bx c a ++≥>的解集是R ，210ax bx c ++−≤的解集是[1,2]−，于是240∆=−≤b ac ，且12112b a c a−+=−− −⋅=，即21b a c a =− =−+ ， 从而()()2Δ4210a a a =−−⋅−+≤，即2940a a −≤，而0a >，解得409a <≤， 所以()53232211[,1)9a b c a a a a ++=+−−+=−+∈，即32a b c ++的取值范围是5[,1)9.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高一上·天津·期中）已知全集R U =，集合{}4A x x =>，{}66B x x =−<<.(1)求A B ∩，A B ； (2)求()U A B ∩ ； (3)若集合{}C x x a =>，且A C ⊆，则实数a 的取值范围.【答案】(1){}46A Bx x ∩=<<{}6A B x x ∪=>−；(2){}6x x ≥；(3)(],4∞− 【解析】（1）{}46A Bx x ∩=<<；{}6A B x x ∪=>− （2）U {|6B x x =≥ 或6}x ≤−，(){}U 6A B x x ∩=≥ （3）因为{}C x x a =>，且A C ⊆，则实数a 的取值范围(],4∞−16．（23-24高一上·福建泉州·月考）已知集合{}2R320,R A x ax x a =∈−+=∈∣.(1)若A 是空集，求a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来； (3)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围.【答案】(1)9,8+∞ ；(2)a 的值为0或98，当0a =时，元素为23，当98a =时，元素为43；(3)9(,]8−∞【解析】（1）A 是空集，0a ∴≠且0∆<，980a ∴−<，解得98a >，a ∴的取值范围为：98+∞（，）；（2）当0a =时，集合2{|320}3A x x=−+==，当0a ≠时，0∆=，980a ∴−=，解得98a =，此时集合43A=， 综上所求，a 的值为0或98，当0a =时，元素为23，当98a =时，元素为43；（3）当0a =时，23A=，符合题意；当0a ≠时，要使关于x 的方程2320ax x −+=有实数根，则980a ∆−≥，得98a ≤.综上，若集合A 中至少有一个元素，则实数a 的取值范围为9,8−∞.17．（23-24高一上·广东珠海·月考）已知命题：“0x ∃∈R ，使得2002430x mx m −+−≤”为真命题．(1)求实数m 的取值的集合A ；(2)设不等式()(3)0x a x a −−−≤的解集为B ，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(1){1A m m =≤或}3m ≥；(2)(,2][3,)−∞−∪+∞．【解析】（1）命题“0x ∃∈R ，使得2002430x mx m −+−≤”为真命题，所以2(2)4(43)0m m ∆=−−−≥，即2430m m −+≥，解之得1m ≤或3m ≥， 所以实数m 的取值的集合{1A m m =≤或}3m ≥；；（2）不等式()(3)0x a x a −−−≤的解集为{}3Bx a x a =≤≤+，因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，所以B A ， 则3a ≥或31a +≤， 所以3a ≥或2a ≤−，故实数a 的取值范围为(,2][3,)−∞−∪+∞．18．（23-24高一上·山东青岛·月考）某厂家拟定在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用()0m m ≥万元满足32kx m =−+（k 为常数）．如果不举行促销活动，该产品的年销量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入将为10万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元（再投入费用不包含促销费用），厂家将每件产品的销售价格定为“平均每件产品的固定投入与再投入”的32倍．(1)求k 的值；(2)将2023年该产品的利润y （万元）表示为年促销费用m （万元）的函数；(3)该厂家2023 1.414=，结果保留1位小数）．【答案】(1)4k =；(2)3229(0)2y m m m =−−≥+；(3)当促销费用为3.7万元时，利润最大为19.7万元． 【解析】（1）由已知，当0m =时，1x =，∴312k−=，解得：4k =， （2）由（1）知432x m =−+， 故1016310162x y x x m x +=⋅⋅−−−5832548x m m m=+−+−− +，化简得：3229(0)2y m m m =−−≥+． （3）3232292231222y m m m m=−+++=−++++，∵0m ≥，∴20m +>，即3222m m ++≥+31y ≤−当且仅当3222m m =++即2m =时等号成立，此时max 31318 1.41419.7y −≈−×≈，4 1.4142 3.7m ≈×−≈， 答：当促销费用约为3.7万元时，利润最大为19.7万元．19．（23-24高一上·湖北孝感·月考）设A 是正整数集的非空子集，称集合{|||,B u v u v A =−∈，且}u v ≠为集合A 的生成集．(1)当{}1,3,6A =时，写出集合A 的生成集B ；(2)若A 是由5个正整数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；(3)判断是否存在4个正整数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由． 【答案】(1){}2,3,5B =；(2)4；(3)不存在，理由见解析.【解析】（1）因为{}1,3,6A =，所以132,165,363−=−=−=，所以{}2,3,5B =；（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为21314151a a a a a a a a <<<−−−−， 所以B 中元素个数大于等于4个，又{}1,2,3,4,5A =，则{}1,2,3,4B =，此时B 中元素个数等于4个， 所以生成集B 中元素个数的最小值为4； （3）不存在，理由如下：假设存在4个正整数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =， 不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集B 由,,,,,b a c a d a c b d b d c −−−−−−组成， 又,,d a c a b a d a d b d c c a c b −>−>−−>−>−−>−，所以16d a −=， 若2b a −=，又16d a −=，则14d b B −=∉，故2b a −≠， 若2d c −=，又16d a −=，则14c a B −=∉，故2d c −≠， 所以2c b −=，又16d a −=，则18d b c a −+−=，而{},3,5,6,10d b c a −−∈， 所以18d b c a −+−=不成立， 所以假设不成立，故不存在4个正整数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =.。

2019-2020学年河北省邯郸市第一中学高一下学期第一次网上月考数学试题一、单选题 1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】因为，所以，应选答案D 。

2．函数()y f x =的定义域为[]1,2-，则函数()()11y f x f x =++-的定义域为（ ） A ．[]1,3- B ．[]0,2C ．[]1,1-D ．[]22-,【答案】C【解析】根据抽象函数定义域的求法,可得关于x 的不等式组,解不等式组即可求得函数()()11y f x f x =++-的定义域.【详解】函数()y f x =的定义域为[]1,2-,即12x -≤≤ 所以函数()()11y f x f x =++-的定义域满足112112x x -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩解不等式组可得11x -≤≤即函数()()11y f x f x =++-的定义域为[]1,1- 故选:C 【点睛】本题考查了抽象函数定义域的求法,关键在于对定义域概念的理解,属于中档题.3．已知向量(1,2)a =v ，(0,2)b =-v ， (1,)c λ=-v，若()2//a b c -v v v，则实数λ=( )A ．3-B ．13C ．1D ．3【答案】A【解析】因为向量()1,2a =v ，()0,2b =-v ， ()1,c λ=-v ，所以22,6a b -=vv （），又因为()2//a b c -v v v，所以260λ+=，解得3λ=-,故选A.4．在等差数列 {}n a 中，若12015,a a 为方程 210160x x -+= 的两根，则210082014++=a a a （ ）A ．10B ．15C ．20D ．40【答案】B【解析】分析：根据题意和韦达定理求出12015a a +，由等差数列的性质求出210082014a a a ++的值.详解：Q 12015,a a 为方程 210160x x -+= 的两根，1201510a a ∴+=，由等差数列的性质得1008210a =，即10085a =，2100820141008315a a a a ∴++==.故选：B.点睛：本题考查等差数列的性质以及韦达定理，属基础题.5．已知ln0.5a =，0.23b =，0.50.3c =，则实数a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c b a >> B ．b a c >>C ．a b c >>D ．b c a >>【答案】D【解析】本题首先可以结合指数函数与对数函数性质得出0a <、1b >以及0.31c <<，然后通过对比即可得出结果。

2024-2025学年高一数学上学期第一次月考卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式。

5．难度系数：0.65。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U =Z ，集合A =x ∈Z x ≤-3或x >3 ，B =0,3 ，则∁U A ∩B =()A.1,2B.1,2,3C.0,1,3D.1,2【答案】D【详解】由已知可得∁U A =-2,-1,0,1,2,3 ，又B =0,3 ，∴∁U A ∩B =1,2 ．故选：D .2.在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b =ab +2a +b ，则满足x ⊙(x -2)<0的实数x 的取值范围是()A.(0,2)B.(-2,1)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-1,2)【答案】B【详解】根据给出在R 上定义运算x ⊙(x -2)=x (x -2)+2x +(x -2)=x 2+x -2=(x +2)(x -1)，由x ⊙(x -2)<0得(x +2)(x -1)<0，解之得-2<x <1，故该不等式的解集是(-2,1)．故选：B3.若两个正实数x ,y 满足4x +y =xy ，且存在这样的x ,y 使不等式x +y4<m 2+3m 有解，则实数m 的取值范围是()A.-1,4B.-4,1C.-∞,-4 ∪1,+∞D.-∞,-3 ∪0,+∞【答案】C【详解】由4x +y =xy ，x ,y >0，可得4y +1x=1，所以x +y 4=x +y 4 ⋅4y +1x=2+4xy +y 4x≥2+24x y ⋅y 4x =4，当且仅当4x y =y 4x，即y =4x =8时等号成立．所以m 2+3m >4,m 2+3m -4=m +4 m -1 >0，解得m <-4或m >1，所以实数m 的取值范围是-∞,-4 ∪1,+∞ ．故选：C ．4.对于∀x ∈R ，用x 表示不大于x 的最大整数，例如：π =3，-2.1 =-3，则“x >y ”是“x >y ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【详解】当x >y 时，如x =3.2，y =3.1，不能得到x >y ，由x >y ，则x >y ≥y ，又x ≥x ，所以一定能得到x >y ，所以“x >y ”是“x >y ”成立的充分不必要条件.故选：A .5.已知全集为U ，集合M ，N 满足M ÜN ÜU ，则下列运算结果为U 的是( )．A.M ∪NB.∁U N ∪∁U MC.M ∪∁U ND.N ∪∁U M【答案】D 【详解】如图，因为M ÜN ÜU ，所以M ∪N =N ≠U ，故A 错误；因为∁U N ∪∁U M =∁U M ∩N =∁U M ≠U ，故B 错误；因为M ÜN ÜU ，所以M ∪∁U N ≠U ，故C 错误；因为M ÜN ÜU ，所以N ∪∁U M =U ，故D 正确.故选：D6.关于x 的一元二次方程x 2+x +m =0有实数解的一个必要不充分条件的是()A.m <12B.m ≤14C.m <-12D.m <14【答案】A【详解】因为一元二次方程x 2+x +m =0有实根，所以Δ=1-4m ≥0，解得m ≤14.又-∞,14 是-∞,12的真子集，所以“-∞,12 ”是“-∞,14”的必要不充分条件.故选：A7.不等式ax +1x +b >1的解集为x x <-1 或x >4 ，则x +abx -1≥0的解集为()A.x -6≤x <-14B.x -1≤x <1C.x -6≤x ≤-14D.x -14≤x ≤1 【答案】A 【详解】不等式ax +1x +b>1可转化为a -1 x -b +1 x +b >0，其解集为x x <-1 或x >4 ，所以a >1，且方程ax -x -b +1 x +b =0的两个根为x 1=-1，x 2=4，则-a +1-b +1=04+b =0或4a -4-b +1=0-1+b =0 ，解得a =6b =-4 或a =1b =1 (舍去)，即有x +6-4x -1≥0，即x +6 -4x -1 ≥0-4x -1≠0 ，解得-6≤x <-14.所以不等式的解集为x -6≤x <-14.故选：A .8.已知x +y =1x +4y+8(x ,y >0)，则x +y 的最小值为()A.53B.9C.4+26D.10【答案】B【详解】x +y =1x +4y +8⇒x +y -8=1x +4y，两边同时乘以“x +y ”得：(x +y -8)(x +y )=1x +4y(x +y )，所以(x +y -8)(x +y )=1x +4y(x +y )=5+y x +4xy ≥9，当且仅当y =2x 时等号成立，令t =x +y ，所以(t -8)⋅t ≥9，解得t ≤-1或t ≥9，因为x +y >0，所以x +y ≥9，即(x +y )min =9，故选：B .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下面命题正确的是()A.若x ,y ∈R 且x +y >2，则x ，y 至少有一个大于1B.“任意x <1，则x ²<1”的否定是“存在x <1，则x 2≥1”C.设x ,y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是x ²+y ²≥4的必要而不充分条件D.设a ,b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件【答案】ABD【详解】对于A ，假设x ,y 都不大于1，即x ≤1，y ≤1，则x +y ≤2与已知矛盾，假设是错的，原命题为真命题，A 正确；对于B ，“任意x <1，则x 2<1”的否定为“存在x <1，则x 2≥1”，B 正确；对于C ，x ≥2则x 2≥4，y ≥2则y 2≥4，x 2+y 2≥8，则x 2+y 2≥4成立，满足充分性，C 错误；对于D ，当a ≠0时，ab 可能为零，当ab ≠0时，a 一定不等于零，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件，D 正确.故选：ABD .10.若a >b >0，则下列不等式成立的是()A.b a >abB.ab >b 2C.b a <b +1a +1D.a +1b>b +1a 【答案】BCD【解析】对A ，若a >b >0，则a 2>b 2，两边同时除以ab ，所以a b>ba ，A 错误；对B ，由a >b >0可得ab >b 2，B 正确；对C ，因为a (b +1)-b (a +1)=a -b >0，所以a (b +1)>b (a +1)>0，即b +1a +1>ba，C 正确；对D ，由a >b >0可得，1b >1a >0，所以a +1b>b +1a ，D 正确．故选：BCD .11.已知关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +c >0的解集为M ，则下列说法正确的是()A.若M =∅，则a <0且b 2-4ac ≤0B.若a a =b b =c c，则关于x 的不等式a x 2+b x +c>0的解集也为M C.若M ={x |-1<x <2}，则关于x 的不等式a (x 2+1)+b (x -1)+c <2ax 的解集为N ={x |x <0,或x >3}D.若M ={x |x ≠x 0,x 0为常数}，且a <b ，则a +3b +4cb -a的最小值为5+25【答案】ACD【详解】A 选项，若M =∅，即一元二次不等式ax 2+bx +c >0无解，则一元二次不等式ax 2+bx +c ≤0恒成立，∴a <0且b 2-4ac ≤0，故A 正确；B 选项，令a a =b b =c c=t (t ≠0)，则a =a t 、b =b t 、c =ct ，∴a x 2+b x +c >0可化为1t(ax 2+bx +c )>0，当t <0时，1t(ax 2+bx +c )>0可化为ax 2+bx +c <0，其解集不等于M ，故B 错误；C 选项，若M ={x |-1<x <2}，则a <0，且-1和2是一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根，∴-1+2=-b a ，且-1×2=ca，∴b =-a ，c =-2a ，∴关于x 的不等式a (x 2+1)+b (x -1)+c <2ax 可化为a (x 2+1)-a (x -1)-2a <2ax ，可化为a (x 2-3x )<0，∵a <0，∴x 2-3x >0，解得x <0或x >3，即不等式a (x 2+1)+b (x -1)+c <2ax 的解集为N ={x |x <0,或x >3}，故C 正确；D 选项，∵M ={x |x ≠x 0,x 0为常数}，∴a>0且b2-4ac=0，∴a+3b+4cb-a =a+3b+b2ab-a，∵b>a>0，∴b-a>0，令b-a=t>0，则b=a+t，∴a+3b+b2ab-a=a+3(a+t)+(a+t)2at=5at+ta+5≥25a t⋅t a+5=25+5，当且仅当t=5a，则b=(1+5)a,c=3+5a2，且a为正数时，等号成立，所以a+3b+4cb-a的最小值为5+25，故D正确.故选：ACD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，则4a-2b的取值范围为.【答案】-2,10【详解】解：设4a-2b=x a+b+y a-b=x+ya+x-yb，所以x+y=4x-y=-2，解得x=1y=3，因为1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，则-3≤3a-b≤6，因此，-2≤4a-2b≤10.故答案为：-2,10.13.已知关于x的不等式组-x2+4x+5<02x2+5x<-2x+5k的解集中存在整数解且只有一个整数解，则k的取值范围为.【答案】-6,2∪3,4【详解】由x2-4x-5=x-5x+1>0，得x<-1或x>5，所以2x2+2k+5x+5k=2x+5x+k<0的解集与{x∣x<-1或x>5}的交集中存在整数解，且只有一个整数解.当k<52时，2x2+2k+5x+5k<0的解集为x-52<x<-k，此时-2<-k≤6，即-6≤k<2，满足要求；当k=52时，2x2+2k+5x+5k<0的解集为∅，此时不满足题设；当k>52时，2x2+2k+5x+5k<0的解集为x-k<x<-52，此时-4≤-k<-3，即3<k≤4，满足要求.综上，k的取值范围为-6,2∪3,4.故答案为：-6,2∪3,414.定义集合P={x|a≤x≤b}的“长度”是b-a，其中a，b∈R．已如集合M={x m≤x≤m+12，N={x n-35≤x≤n，且M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，则集合M∩N的“长度”的最小值是；若m =65，集合M ∪N 的“长度”大于35，则n 的取值范围是.【答案】110/0.185,1710 ∪95,2【详解】集合M ={x m ≤x ≤m +12，N ={x n -35≤x ≤n ，且M ，N 都是集合{x |1≤x ≤2}的子集，由m ≥1m +12≤2 ，可得1≤m ≤32，由n -35≥1n ≤2，可得85≤n ≤2．要使M ∩N 的“长度”最小，只有当m 取最小值、n 取最大或m 取最大、n 取最小时才成立.当m =1，n =2，M ∩N =x 75≤x ≤32 ，“长度”为32-75=110，当m =32，n =85，M ∩N =x 32≤x ≤85 ，“长度”为85-32=110，故集合M ∩N 的“长度”的最小值是110；若m =65，M =x 65≤x ≤1710，要使集合M ∪N 的“长度”大于35，故n -35<1710-35或n >65+35,即n <1710或n >95,又85≤n ≤2，故n ∈85,1710 ∪95,2.故答案为：110；85,1710 ∪95,2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(13分)已知集合A ={x |-2≤x -1≤5}、集合B ={x |m +1≤x ≤2m -1}(m ∈R ).(1)若A ∩B =∅，求实数m 的取值范围；(2)设命题p ：x ∈A ；命题q ：x ∈B ，若命题p 是命题q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【详解】(1)由题意可知A ={x |-2≤x -1≤5}={x |-1≤x ≤6}，又A ∩B =∅，当B =∅时，m +1>2m -1，解得m <2，当B ≠∅时，m +1≤2m -1，m +1>6或2m -1<-1，解得m >5，综上所述，实数m 的取值范围为-∞,2 ∪5,+∞ ；............................6分(2)∵命题p 是命题q 的必要不充分条件，∴集合B 是集合A 的真子集，当B =∅时，m +1>2m -1，解得m <2，当B ≠∅时，m +1≤2m -1m +1≥-12m -1≤6(等号不能同时成立)，解得2≤m ≤72，综上所述，实数m 的取值范围为-∞,72.............................13分16.(15分)甲、乙两位同学参加一个游戏，规则如下：每人在A 、B 、C 、D 四个长方体容器中取两个盛满水，盛水体积多者为胜.甲先取两个容器，余下的两个容器给乙.已知A 、B 的底面积均为x 2，高分别为x 、y ;C 、D 的底面积均为y 2，高分别为x 、y (其中x ≠y ).在未能确定x 与y 大小的情况下，请给出一个让甲必胜的方案(即指出甲取哪两个容器可以获胜)，并说明此方案必胜的理由.【详解】设A，B，C，D的体积分别为V A，V B，V C，V D，则V A=x3,V B=x2y,V C=xy2,V D=y3，甲从A，B，C，D中任选2个，有AB,AC,AD,BC,BD,CD，共6种可能，............................4分当x>y时，则x3>x2y>xy2>y3，即V A>V B>V C>V D，则V A+V B>V C+V D，V A+V C>V B+V D，即甲取BD,CD均不能够稳操胜券；..........................7分当x<y时，则y3>y2x>yx2>x3，即V D>V C>V B>V A，则V D+V C>V B+V A，V D+V B>V C+V A，即甲取AC,AB均不能够稳操胜券；............................10分若甲先取AD，则V A+V D-V B+V C=x3+y3-xy2+x2y=(x-y)2(x+y)>0，即V A+V D>V B+V C，即甲先取AD能够稳操胜券，选BC不能够稳操胜券；综上所述：甲必胜的方案：甲选AD.............................15分17.(15分)已知实数a、b满足：9a2+b2+4ab=10.(1)求ab和3a+b的最大值；(2)求9a2+b2的最小值和最大值.【详解】(1)∵9a2+b2+4ab=10，∴9a2+b2=10-4ab，∵9a2+b2≥6ab，∴10-4ab≥6ab，∴ab≤1，当且仅当a=33、b=3或a=-33、b=-3时等号成立，∴ab的最大值为1，∵9a2+b2+4ab=10，∴(3a+b)2-10=2ab，∵2ab=23×3a×b≤23×3a+b22=(3a+b)26，∴(3a+b)2-10≤(3a+b)26，∴(3a+b)2≤12，∴3a+b≤23，当且仅当a=33、b=3时等号成立，∴3a+b的最大值为23；............7分(2)∵9a2+b2+4ab=10，∴ab=10-9a2-b24，∵9a2+b2≥6ab，∴9a2+b2≥6×10-9a2-b24，即9a2+b2≥6，当且仅当a=33、b=3或a=-33、b=-3时等号成立，∴9a2+b2的最小值为6，又9a2+b2≥-6ab，∴9a2+b2≥-6×10-9a2-b24，即9a2+b2≤30，当且仅当a=153、b=-15或a=-153、b=15时等号成立，∴9a2+b2的最大值为30.............................15分18.(17分)已知函数y=m+1x2-m-1x+m-1．(1)若不等式m+1x2-m-1x+m-1<1的解集为R，求m的取值范围；(2)解关于x的不等式m+1x2-2mx+m-1≥0；(3)若不等式m+1x2-m-1x+m-1≥0对一切x∈x-12≤x≤12恒成立，求m的取值范围．【详解】(1)由题意，当m +1=0,即m =-1时,2x -2<1,解集不为R ,不合题意;当m +1≠0,即m ≠-1时,(m +1)x 2-(m -1)x +m -2<0的解集为R ,∴m +1<0Δ=(m -1)2-4(m +1)(m -2)<0 ，即m <-13m 2-2m -9>0故m <-1时,m <1-273.综上，m <1-273.............................6分(2)由题意得,在(m +1)x 2-2mx +m -1≥0,即[(m +1)x -(m -1)](x -1)≥0,当m +1=0,即m =-1时,解集为x x ≥1 ;当m +1>0,即m >-1时,x -m -1m +1(x -1)≥0,即m -1m +1=1-2m +1<1，解集为x x ≤m -1m +1或x ≥1 ；当m +1<0,即m <-1时,x -m -1m +1(x -1)≤0,∵m -1m +1=1-2m +1>1,∴解集为x 1≤x ≤m -1m +1.综上，当m <-1时,解集为x 1≤x ≤m -1m +1;当m =-1时,解集为x x ≥1 ;当m >-1时,解集为x x ≤m -1m +1或x ≥1 .............................11分(3)由题意，(m +1)x 2-(m -1)x +m -1≥0,即m x 2-x +1 ≥-x 2-x +1,∵x 2-x +1>0恒成立,∴m ≥-x 2-x +1x 2-x +1=-1+2(1-x )x 2-x +1,设1-x =t ,则12≤t ≤32,x =1-t∴1-x x 2-x +1=t (1-t )2-(1-t )+1=t t 2-t +1=1t +1t -1,∵t +1t ≥2,当且仅当t =1时取等号,∴1-x x 2-x +1≤1,当且仅当x =0时取等号,∴当x =0时,-x 2-x +1x 2-x +1max=1,∴m ≥1，∴m 的取值范围为1,+∞ ...........................17分19.(17分)已知S n =1,2,⋯,n n ≥3 ，A =a 1,a 2,⋯,a k k ≥2 是S n 的子集，定义集合A *=a i -a j a i ,a j ∈A 且a i >a j ，若A *∪n =S n ，则称集合A 是S n 的恰当子集．用X 表示有限集合X 的元素个数．(1)若n =5，A =1,2,3,5 ，求A *并判断集合A 是否为S 5的恰当子集；(2)已知A =1,a ,b ,7 a <b 是S 7的恰当子集，求a ，b 的值并说明理由；(3)若存在A 是S n 的恰当子集，并且A =5，求n 的最大值．【解析】(1)若n =5，有S 5=1,2,3,4,5 ，由A =1,2,3,5 ，则A *=1,2,3,4 ，满足A *∪5 =S 5，集合A 是S 5的恰当子集；-------------------------3分(2)A =1,a ,b ,7 a <b 是S 7的恰当子集，则A *=1,2,3,4,5,6 ，7-1=6∈A *，由5∈A *则7-a =5或b -1=5，7-a =5时，a =2，此时b =5，A =1,2,5,7 ，满足题意；b -1=5时，b =6，此时a =3，A =1,3,6,7 ，满足题意；a =2，b =5或a =3，b =6.-------------------8分(3)若存在A 是S n 的恰当子集，并且A =5，当n =10时，A =1,2,3,7,10 ，有A *=1,2,3,4,5,6,7,8,9 ，满足A *∪10 =S 10，所以A =1,2,3,7,10 是S 10的恰当子集，---------------------11分当n =11时，若存在A 是S 11的恰当子集，并且A =5，则需满足A *=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ，由10∈A *，则有1∈A 且11∈A ；由9∈A *，则有2∈A 或10∈A ，-----------------------13分2∈A 时，设A =1,2,a ,b ,11 3≤a <b ≤10 ，经检验没有这样的a ,b 满足A *=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ；当10∈A 时，设A =1,a ,b ,10,11 2≤a <b ≤9 ，经检验没有这样的a ,b 满足A *=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ，----------------------------16分因此不存在A 是S 11的恰当子集，并且A =5，所以存在A 是S n 的恰当子集，并且A =5的n 的最大值为10.-------------17分。

2023届高三一轮复习收官考试三数学试题一、单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数(1−i 1+i)2023=A ．1−B ．1C ．i −D ．i2.已知集合A ={x||x −1|>1},集合{}10B x mx =+<,若A B A ⋃=,则m 的取值范围是 A ．[−12,0]B ．1,13⎡⎤−⎢⎥⎣⎦C ．[−12,+∞)D ．1,0(0,1]3⎡⎫−⎪⎢⎣⎭3.已知()sin ,14cos 2a αα=−,()1,3sin 2b α=−,α∈(π2,π),若//a b ,则tan 4πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭A ．17B ．17−C ．7D ．-74.2022年北京冬奥会开幕式中,当《雪花》这个节目开始后,一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央,十分壮观．理论上,一片雪花的周长可以无限长,围成雪花的曲线称作“雪花曲线”,又称“科赫曲线”,是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始,把每条边分成三等份,然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边,重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6,则图③中OM ON ⋅的值为A ．12√3B ．24C ．24√3D ．12√25.在甲、乙、丙三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为5:6:9,现从这三个地区中任意选取一人,则这个人患流感的概率为 0.5150.04950.0485,C ．2127m πD ．2136m π7.已知()21cos 2=+f x x x ,若3 44(),(ln )5a f e b f −==,(2c f =−,则a ,b ,c 的大小关系为A ．c b a <<B ．c a b <<C ．<<b a cD ．a c b <<8.如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,已知点()1,0A −,点P 是圆22:5+=O x y 上的任意一点,过点()1,0B 作直线BT 垂直AP 于点T ,则23+PA PT 的最小值是 A．B． C．D．二、多选题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要10.设双曲线的两个焦点分别是1F ,2F ,以线段12F F 为直径的圆交渐近线于A ,B ,C ,D 四点,若A ,B ,C ,D ,1F ,2F 恰为正六边形的六个顶点,则下列说法正确的是 A. 122F BF π∠=B. 四边形ABCD 22)a b +C. 双曲线的离心率为1+D. 双曲线的渐近线方程为y =±√3x11.在正方体1111ABCD A B C D −中,1AB =,点P 满足1CP CD CC λμ=+,其中[][]0,1,0,1λμ∈∈,则下列结论正确的是A ．当1//B P平面1A BD 时,存在P 点使得11B P CD ⊥B ．若1B P 与平面11CCD D 所成角为π4,则点P 的轨迹长度为π4C ．当1λ=时,正方体经过点1A 、P 、C 的截面面积的取值范围为]D ．当λμ=时,1||||DP A P +12.已知函数()e xf x x =−,()lng x x x=−,则下列说法正确的是A ．()e xg 在()0,∞+上是减函数B ．1x ∀>,不等式()()2ln f ax f x ≥恒成立,则正实数a 的最小值为2e22221(0,0)x y a b a b−=>>C ．若方程()f x t =有两个根12,x x ,则120x x +>D ．若()()()122f x g x t t ==>,且210x x >>,则21ln t x x −的最大值为1e三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13．已知n的展开式中,仅有第5项的二项式系数最大,则展开式中有理项的个数为_________．14.定义在R 上的函数()f x 满足(1)(1)(2022)f x f x f ++−=,(2)(22)f x f x −=+,则(2022)f =__________15数列{}n a 满足12a =,()()1221n n n a a n n *++=∈+N ,则2023122022a a a a =++⋅⋅⋅+_____________ 16.已知抛物线y x M 4:2=,圆1)2(:22=−+y x C ,在抛物线M 上任取一点P ,向圆C 作两条切线PA 和PB ,切点为A ,B ,设t CA CB =⋅,则t 的取值范围是____________.(结果用不等式表示)18.已知各项为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,若.,1111n n n S S a a +==++且 (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设12n n n b a a +=,且数列{}n b 的前n 项和为n T ,若n T ≤λ恒成立,求λ的取值范围．已知锐角ABC 的内角________求ABC 的周长．注：若选不同的组合分别解答则按第一个解答计分．20.如图,边长为2的正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直,AN BM ∥ ,24==BM AN ,CN =(1)判断平面BCN 与平面CMN 的位置关系并证明；(2)在线段CM 上是否存在一点E ,使得二面角E BN M −−的 正弦值为3若存在,求出E 的位置,若不存在,说明理由.。

2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知，，则“，”是“”的（ ）0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为()mg /L N t （为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要（ ）64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为，则的取值范围是（）()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上，设，(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =，，则，，的大小关系为（ ）()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为，则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为（ ）A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数，的零点分别为，，则（ ）()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知，，，且，则的最小值为（ ）0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ）A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数，则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若，且，则下列说法正确的是（）0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增，则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点，且，其中，则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________；当时，的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数，若，则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知全集，集合，.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<（1）若，求和；8a =-A B ⋂A B ⋃（2）若，求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.（本小题满分15分）已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<（1）求，的值；a b （2）若，，且，求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.（本小题满分15分）已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R （1）讨论的单调性；()f x （2）若对任意的恒成立，求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.（本小题满分17分）已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R（1）求的值，并证明：在上单调递增；a ()f x R （2）求不等式的解集；()()23540f x x f x -+->（3）若在区间上的最小值为，求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.（本小题满分17分）已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R （1）若，求的图像在处的切线方程；1a =()f x 1x =（2）若恰有两个极值点，.()f x 1x ()212x x x <（i ）求的取值范围；a （ii ）证明：.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案､提示及评分细则1.A 由题意知，又，所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---，所以的元素个数为3，真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若，则，所以“”是“”的充分条件；若，满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==，但是，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得，解得，令，可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得，所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意，函数的值域为，所以，解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或，即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数，所以，解得，又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上，所以，解得，所以，易得函数在上单调递增，又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+，所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知，当时，；当时，；当时，(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时，，结合图象知；当时，，当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时，显然成立；当时，，令，所以，令，解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得，令0，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+，所以，解得综上，的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得，即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象，如图所示：由图象可知，所以，即，所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为，所以，所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得，所以，由，解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -，所以的定义域为，又，故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数，故A 正确；，()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解，等号不成立，故B 错误；函数=2169x +=在定义域上为奇函数，则，即，即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅，即，整理得，即，()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以，解得.当时，，该函数定义域为，满足，210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意；当时，，由可得，此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠，满足，符合题意.综上，，故C 错误；由，得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-，所以的定义域为，故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为，且，所以，所以，即，故A 正确；0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为，所以，故В错误；因为，所以，0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得，所以，故C 正确；因为当，此时，故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增，则在上佰成立，所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+，解得，即的取值范围是，故A 错误；因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-，所以，又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+，所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心，故B 正确；由题意知，所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-，设切点为，所以切线的斜率，所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-，所以，整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记，所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-，令，解得或，当时，取得极大值，当时，1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得，即的取值范围是，故C 正确；由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--，当在上单调递增，不符合题意；当，()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令，解得，令，解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增，在上单调递堿，在上单调递增，因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点，所以.由，得，令，所以，()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又，所以，又，()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以，又，所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=，化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------，又，所以，故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.（2分）（3分） 因为，所以，解得，又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数，表示不超过的最大整数，所以，即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时，，此时；当时，，此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ，当且仅当3时等号成立.综上可得，当时，的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知：的定义域为，令，解得令，解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若，当时，可知，此时，不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意；若，当时，可知，此时，不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意；若，当时，可知，此时；当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时，可知，此时，可知若，符合题意；若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-，当时，可知，此时，不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述：，即.所以，令，所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+，令，然得，令，解得，所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿，在上单调递增，所以，所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解：（1）由题意知，{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若，则，8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以，()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时，此时，符合题意；B =∅0a 当时，此时，所以，B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又，U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上，的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解：（1）因为关于的不等式的解集为，x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根，且，所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==（2）由（1）知，所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当，即时等号成立，所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解：（1）由题意知，()()e e x x f x x ax x a=-=-'若，令.解得，令，解得，所以在上单调递琙，在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若，当，即时，，所以在上单调递增；0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+（2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令，所以，所以在上单调递增，当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+，即时，，所以在上单调递增，所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+，符合题意；()()00g x g = 当，即时，令，解得，令，解得，所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减，()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时，，不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上，的取值范围是.a (],2∞-18.（1）证明：因为是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()010f a =-=解得，所以，1a =()22x xf x -=-此时，满足题意，所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取，所以12x x <，()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又，所以，即，又，12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以，即，所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R （2）解：因为，所以，()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增，所以，()f x R 2354x x x ->-+解得或，即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭（3）解：由题意知，令，()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以，所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时，在上单调递增，所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，解得，符合题意；2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时，在上单调递减，在上单调递增，32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以，解得或（舍）.222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上，的值为或2.m 2512-19.（1）解：若，则，所以，1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以，又，()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为，即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=（2）（i ）解：由题意知，()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点，所以在上有两个不等实根，()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令，所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得，即的取值范围是.04a <<a ()0,4（ii ）证明：由（i ）知，，且，12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-，()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证，即证，只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令，所以，()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令，所以，所以即在上单调递减，()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又，所以，使得，即，()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减，所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令，所以，所以在上单调递增，所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2，所以，即，得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。

河北省邯郸市一中2021届高三上学期10月份月考数学〔理〕试题第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．{,}23A a =，集合{,,}01B b a =-，且{}1A B ⋂=，那么A B ⋃=A ．{,,}013B ．{,,}124C ．{,,,}0123D ．{,,,,}012341sin()43πθ+=,那么sin 2θ= A.79- B.19- C.19 D.79{}n a 满足32=a ，)3( 513>=--n S S n n ，100=n S ，那么n 的值为A ．8B ．9C ．10D ．11122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩ 那么满足()2f x ≤的x 的取值范围是 A. []1,2- B. []0,2 C. [1,)+∞ D. [0,)+∞ 5. 在等差数列{}n a 中12100,a 30,na a a >+++=且那么56a a ⋅的最大值等于A. 3B. 6C.9D. 366. 设()x f 是定义在正整数集上的函数,且()x f 满足:“当()2k k f ≥成立时，总可推出 ()()211+≥+k k f 成立〞，那么，以下命题总成立的是()11<f 成立，那么()10010<f 成立 B. 假设()93≥f 成立，那么当1≥k 时，均有()2k k f ≥成立()42<f 成立，那么()11≥f ()416f ≥成立，那么当4≥k 时，均有()2k k f ≥成立7. 设等比数列{}n a 各项均为正数，且564718a a a a +=，那么3132310log log log a a a +++=A ． 12B ． 10C ． 8D ． 32log 5+8．定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在[0,2]上是增函数,那么A.(25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<< 9. 将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，所得图像的函数解析式是A.sin(2)10y x π=-B.sin(2)5y x π=-C.1sin()210y x π=-D.1sin()220y x π=-10.现有四个函数①sin y x x =⋅ ②cos y x x =⋅ ③|cos |x x y ⋅= ④x x y 2⋅=的局部图象如下，但顺序被打乱，那么按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是A.①④②③B. ①④③②C. ④①②③D. ③④②①11. 0ω>，函数()cos()4f x x πω=+在(,)2ππω的取值范围是A.15[,]24B. 13[,]24C. 3(0,]4 D.(0,2]12．方程|sin |(0)x k k x=>有且仅有两个不同的实数解,()θϕθϕ>，那么以下有关两根关系的结论正确的选项是A ．sin cos ϕϕθ=B ．sin cos ϕϕθ=-C ．cos sin ϕθθ=D ．sin sin θθϕ=-第二卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．答案填在题中横线上． 13. 函数211tan )(x x x f -+-=的定义域为________.14.如图，由两条曲线224,x y x y -=-=及直线1-=y 所围成的图形的面积为15. 函数()ϕω+=x y cos [))2,0,0(πϕω∈>的局部图象如右图所示，那么ϕ的值为________.16．正项数列{}n a 满足:1111,()2n n na S a a ==+,其中n S 为其前n 项和,那么n S =____________三、解答题：本大题共6题，共70分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.〔此题总分值10分〕函数()4cos sin()16f x x x π=⋅+-。

邯郸市一中高三年级第一次模拟考试数学试卷（文）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2430A x x x =-+<，{}2|,R B y y x x ==∈，则B A ⋂=A ．∅B ．[)()0,13,+∞UC ．AD ．B 2．若复数a iia 为纯虚数，则实数+-1的值为 A ．i B ．0 C ．1 D ．－13．设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 2a 、4a 是方程220x x --=的两个根，则5S =A ．52-B ．5-C ．5D ．524．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待时间不多于10分钟的概率为 A ．16 B ．13 C ．12 D ．145．函数cos(4)3y x π=+的图象的相邻两个对称中心间的距离为A ．8π B ． 4π C ．2πD.．π 6．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为 A ．34π B ．π3C ．π23 D ．π7．函数2()ln f x x e x =-的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．38．设椭圆12222=+ny m x ，双曲线12222=-n y m x ，（其中0>>n m ）的离心率分别为12e ,e ，则A ．121e ,e >B ．121e ,e <C ．121e ,e =D ．12e ,e 与1大小不确定9．程序框图如下：如果上述程序运行的结果S 的值比2016小，若使输出的S 最大，那么判断框中应填入 A ．10k ≤ ? B ．10k ≥ ? C ．9k ≤ ? D ．9k ≥?10． 已知函数的定义域为)(x f ),2[+∞-，且1)2()4(=-=f f ，)()(x f x f 为'的导函数，函数)(x f y '=的图象如图所示.则平面区域⎪⎩⎪⎨⎧<+≥≥1)2(00b a f b a 所围成的面积是 A ．2 B ．4 C ．5 D ．811．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为3，以顶点A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于( ) A ．65πB ．32πC ．πD ．67π12．平面向量的集合A 到A 的映射f 由()2()x x x a a f =-⋅确定，其中a 为常向量．若映射f 满足()()x y x y f f ⋅=⋅对任意x 、A ∈y 恒成立，则a 的坐标可能是A ．51(,)2- B ．22(,) C ．31(,)44D ．13(,)2- 第II 卷（非选择题，共90分）二、选择题： 本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若3cos cos 5a B b A c -=，则tan tan AB的值为 ． 14．已知0,0x y >>，1221x y +=+，则2x y +的最小值为 .15．如图，在直角梯形ABCD 中，AB//CD ，AB=2，AD=DC=1，P 是线段BC 上一动点，Q 是线xyo-2第10小题图段DC 上一动点，,(1)DQ DC CP CB λλ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AP AQ ⋅u u u r u u u r的取值范围是 ．16．已知函数()()R f x x ∈满足()()()4f x f x f x -=-=-，当()0,2x ∈时，()()2ln f x x x b =-+．若函数()f x 在区间[]2,2-上有5个零点，则实数b 的取值范围是 ．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知向量)cos ,(sin A A m =→，)sin ,(cos B B n =→，C n m 2sin =•→→，且A ，B ，C 分别为△ABC 的三边,,a b c 所对的角． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若sin A ，sin C ，sin B 成等比数列，且18)(=-⋅AC AB CA ， 求边c 的值． 18．（本小题满分12分）某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表：喜欢 不喜欢 合计 大于40岁 20 5 25 20岁至40岁 10 20 30 合计302555（1）判断是否有99.5％的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？（2）用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6位市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民的概率． 下面的临界值表供参考：2()P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++） 19．（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥ ， 12AB AA =，M 是AB 的中点，△11A MC 是等腰三角形，D 为1CC 的中点，E 为BC 上一点． （1）若DE ∥平面11A MC ，求CEEB； （2）平面11A MC 将三棱柱111ABC A B C -分成两个部分，求较小部分与较大部分的体积之比．20．（本小题满分12分）如图，已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 斜率大于零的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且与其准线交于点D ． （Ⅰ）若线段AB 的长为5，求直线l 的方程； （Ⅱ）在C 上是否存在点M ，使得对任意直线l ， 直线MA ，MD ，MB 的斜率始终成等差数列， 若存在求点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 21．（本小题满分12分）已知函数()11xaxf x e x =--- （Ⅰ）若曲线()y f x =在()()2,2f 处的切线过()0,1-，求a 的值；（Ⅱ）求证：当1a ≤-时，不等式()ln 0f x x ⋅≥在()()0,11,+∞U 上恒成立． 请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则 按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知AP 是圆O 的切线，P 为切点，AC 是圆O 的割线，与圆O 交于B ，C 两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点． （Ⅰ）证明A ，P ，O ，M 四点共圆； （Ⅱ）求OAM APM ∠+∠的大小．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 42a πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线2C 的参数方程为1cos 1sin x y θθ=-+⎧⎨=-+⎩，（θ为参数，0θπ≤≤）．（Ⅰ）求1C 的直角坐标方程；（Ⅱ）当1C 与2C 有两个公共点时，求实数a 取值范围． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()2log 15f x x x a =-+--．（Ⅰ）当5a =时，求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）当函数()f x 的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．邯郸市一中高三年级第一次模拟考试数学（文）答案一、选择题：1.C ．2.C ．3.D ．4.A ．5.B ．6.C ．7.A ．8.B ．9.C ．10B ．11.A ．12.D ． 二、选择题：13．4 14． 3 15.[]0,2 16．114b <≤或54b = 三、解答题：17．（本小题满分12分）解： (Ⅰ) ∵),cos ,(sin A A = )sin ,(cos B B =，⋅ C 2sin =，∴sin A cos B +cos A sin B =sin2C ………………1分 即 sin C =sin2C ………………3分 ∴ cos C =21………………4分 又C 为三角形的内角， ∴ 3π=C ………………6分(Ⅱ) ∵sin A ,sin C ,sin B 成等比数列，∴ sin 2C =sin A sin B ………………7分 ∴ c 2=ab ………………8分又18)(=-⋅,即 18=⋅………………9分 ∴ abcosC =18 ………………10分∴ ab =36 故 c 2=36 ∴ c =6 ………………12分18．（本小题满分12分）解：（1）由公式879.7978.1130252530)5102020(5522>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=K所以有%5.99的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关 5分（2）设所抽样本中有m 个“大于40岁”市民，则30620=m ，得4=m 人所以样本中有4个“大于40岁”的市民，2个“20岁至40岁”的市民，分别记作214321,,,,,C C B B B B ，从中任选2人的基本事件有),,(21B B ),,(31B B ),,(41B B ),,(11C B ),,(21C B ),,(32B B ),,(42B B ),,(12C B ),,(22C B ),,(43B B ),,(13C B ),,(23C B ),,(14C B ),,(24C B ),,(21C C 共15个9分其中恰有1名“大于40岁”和1名“20岁至40岁”之间的市民的事件有),,(11C B ),,(21C B ),,(12C B ),,(22C B ),,(13C B ),,(23C B ),,(24C B 共8个所以恰有1名“大于40岁”和1名“20岁至40岁”之间的市民的概率为158=P 12分19．（本小题满分12分）解：取BC 中点为N ，连结1,MN C N ， 1分 ∵,M N 分别为,AB CB 中点∴MN ∥AC ∥11A C ，∴11,,,A M N C 四点共面， 3分 且平面11BCC B I 平面11A MNC 1C N = 又DE Ì平面11BCC B ，且DE ∥平面11A MC ∴DE ∥1C N ∵D 为1CC 的中点，∴E 是CN 的中点， 5分 ∴13CE EB =． 6分（2）因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1AA ^平面ABC ，又AC AB ⊥，则AC ⊥平面11ABB A设122AB AA ==，又三角形11A MC是等腰三角形，所以111A M AC ==如图，将几何体11AA M CC N -补成三棱柱11AA M CC F - ∴几何体11AA M CC N -的体积为：1111111111111232232212V AM AA AC CF CC NF =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=9分又直三棱柱111ABC A B C -体积为：1212V =⨯=分 故剩余的几何体棱台111BMN B AC -的体积为：2112V V V =-=∴较小部分的体积与较大部分体积之比为：1257V V =． 12分 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）焦点(1,0)F ∵直线l 的斜率不为0，所以设:1l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y 由214x my y x=+⎧⎨=⎩得2440y my --=， 124y y m +=，124y y =-，21212()242x x m y y m +=++=+，2221212(4)14416y y x x -=⋅==，∴212||2445AB x x m =++=+=， ∴214m =． ∴直线l 的斜率24k =， ∵0k >，∴2k =， ∴直线l 的方程为220x y --=． （Ⅱ）设2(,2)M a a ，1122211122424MA y a y a k y a x a y a --===+--，同理242MB k y a=+，2221MDa m k a +=+， ∵直线MA ，MD ，MB 的斜率始终成等差数列， ∴2MD MA MB k k k =+恒成立，即2124444221a m y a y a a +=++++恒成立． ∴212111221a m y a y a a +=++++122212121412()4a y y a m a y y a y y a +++⇒=++++，把124y y m +=，124y y =-代入上式，得21(1)()0a m m-+=恒成立，1a ∴=±． ∴存在点(1,2)M 或(1,2)M -，使得对任意直线l ， 直线MA ，MD ，MB 的斜率始终成等差数列． 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）定义域为()(),11,x ∈-∞+∞U ()2212f e a =--()()()()2111x x a x axaf x e e x x 2--'=-=+--()22f e a '=+∴切线()()()22122y e a e a x ---=+-将()0,1-代入，得()2211222e a e a ----=--24e a ⇒=-（Ⅱ）()ln 1ln 1x ax f x x e x x ⎛⎫⋅=--⋅ ⎪-⎝⎭只需证：()()1ln 1101xx x e ax x ⎡⎤⋅⋅---≥⎣⎦-在()()0,11,+∞U 上恒成立 ()()0,11,x ∈+∞Q U 时，1ln 01x x ⋅>-恒成立，∴只需证：()()110x x e ax ---≥在()0,+∞恒成立设()()()11x g x x e ax =---，[)0,x ∈+∞ ()00g =Q 恒成立∴只需证：()0gx ≥在[)0,+∞恒成立()1x g x x e a '=⋅--()()10x g x x e ''=+⋅>恒成立()g x '∴单调递增，()()010g x g a ''≥=--≥ ()g x ∴单调递增，()()00g x g ≥= ()0g x ∴≥在[)0,+∞恒成立即()()1ln ln 01f x x xg x x ⋅=⋅⋅≥-在()()0,11,+∞U 上恒成立． 请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则 按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲（Ⅰ）证明：连结OP ，OM ．因为AP 与O e 相切于点P ，所以OP AP ⊥． 因为M 是O e 的弦BC 的中点，所以OM BC ⊥． 于是180OPA OMA ∠+∠=︒． 由圆心O 在PAC ∠的内部， 可知四边形APOM 的对角互补， 所以A ，P ，O ，M 四点共圆．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A ，P ，O ，M 四点共圆，所以OAM OPM ∠=∠． 由（Ⅰ）得OP AP ⊥．由圆心O 在PAC ∠的内部，可知90OPM APM ∠+∠=︒． 所以90OAM APM ∠+∠=︒．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）曲线1C的极坐标方程为cos 222a ρθθ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴曲线1C 的直角坐标方程为0x y a +-=.（Ⅱ）曲线2C 的直角坐标方程为()()()2211110x y y +++=-≤≤，为半圆弧，如图所示，曲线1C 为一族平行于直线0x y +=的直线， 当直线1C 与曲线2C 相切时，2a =- 当直线1C 过点A 、B 两点时，1a =-，∴由图可知，当12a -≤<-+1C 与曲线2C 有两个公共点．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）当5a =时，要使函数()f x 有意义， 有不等式1550x x -+-->①成立， 当1x ≤时，不等式①等价于210x -+>，即12x <，12x ∴<；当15x <≤时，不等式①等价于10->，∴无解； 当5x >时，不等式①等价于2110x ->，即112x >，112x ∴>；& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷 综上，函数()f x 的定义域为111,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U . （Ⅱ）∵函数()f x 的定义域为R ，∴不等式150x x a -+-->恒成立， ∴只要()min 15a x x <-++即可， 又∵()()1515154x x x x x x -+-=-+-≥-+-=（当且仅当()()150x x --≥时取等号） 即()min 154,4a x x a <-+-=∴<. a 的取值范围是(),4-∞.。