专训2 列一元一次方程解应用题的设元技巧(2)

一元一次方程是初等数学中最基本的概念之一，解一元一次方程应用题则是数学中常见的问题类型之一。

本文将带领读者深入了解解一元一次方程应用题的方法与技巧，帮助读者更好地掌握这一知识点。

一、了解一元一次方程的概念在解一元一次方程应用题之前，我们首先需要了解一元一次方程的概念。

一元一次方程是指方程中只含有一个未知数，并且该未知数的最高次数为一。

一元一次方程的一般形式为ax+b=c，其中a、b、c为已知数，x为未知数。

解一元一次方程就是要找到使得该方程成立的未知数的值。

二、掌握解一元一次方程的基本方法在解一元一次方程应用题时，我们可以通过以下基本方法来求解。

1. 移项当方程中含有未知数的项和已知数的项时，我们可以通过移项的方法将未知数的项移到一个侧，以便进行下一步计算。

对于方程2x+3=7，我们可以通过移项将3移到等号的右侧，得到2x=7-3。

2. 消元如果方程中包含多个未知数的项，我们可以通过消元的方法化简方程。

消元的方法通常是通过加减乘除的运算，将未知数的系数相消，从而得到一个简化的方程。

对于方程3x-2y=5和2x+y=7，我们可以通过消元的方法将y的系数相消，从而仅含有一个未知数x的方程。

3. 求解通过移项和消元的方法，我们最终可以得到一个只含有一个未知数的简单方程，然后可以通过解方程的方法求解未知数的值。

解方程的方法包括凑平方、分式法、代入法等。

通过这些方法，我们可以得出未知数的值，从而求解一元一次方程。

三、应用题解题技巧在解一元一次方程应用题时，我们常常面临各种实际问题，而这些问题往往可以用一元一次方程来进行建模和求解。

以下是一些解一元一次方程应用题的常用技巧。

1. 建立方程在解题时，我们首先需要根据实际问题建立方程。

这就需要我们理解问题，将问题中的已知条件和未知量用数学符号表示出来，建立起方程模型。

2. 明确未知数在建立方程时，我们需要明确未知数代表的是什么，只有明确了未知数，才能建立准确的方程模型。

初一数学一元一次方程解应用题答题技巧初一数学一元一次方程解应用题答题技巧导语：一元一次方程内容比较复杂，我们完全可以打破常规，灵活、巧妙地变通解题步骤，避繁就简，使解题过程简捷明了，下面就由小编为大家带来初一数学一元一次方程解应用题答题技巧，大家一起去看看怎么做吧！一般在解决问题时第一步就是要设出未知数,未知数的设法主要有以下几种:1,有比较关系时,如甲比乙多8,我们一般设较小的为X,这样计算时主要用的是加法不易出错;2,有倍数关系时,如数学小组人数是英语小组的5倍,我们设一倍量为X,用乘法表示其余量利于计算;3,在分数应用题中,我们设单位'1'为X,4,在有比的问题中,我们设一份数为X,5,在有和的问题中,我们设其中任意一个为X都可以,比如说两个班共有50人.解应用题的基本步骤有:1,依据题目要求设出合适的未知数;2,根据题目实际情况找出等量关系,用文字关系式表示出来;3,依据等量关系,把关系式中的每一项用数或者未知数表示出来列出方程;4,解方程,依据题目问题计算;5,把方程的解代入原题目检验.其中的难点是第二步,找出等量关系,有些题目中的关系是比较明显的,而有的则是隐含的',需要大家去用心体会,下面我给大家示例两题: 1: 爷爷与孙子下棋,爷爷赢一盘记1分,孙子赢一盘记3分,两人下了12盘(未出现和棋)后,得分相同,他们各赢了多少盘?分析:属于和的问题,所以任意设一个为X,设爷爷赢了X题,则孙子赢了(12-X)盘,题目中的等量关系是爷爷得分=孙子得分,爷爷得分用X 表示,孙子得分用3(12-X)表示,所以本题方程为 X=3(12-X),解之得X=9,则12-X=12-9=3,所以爷爷赢9盘,孙子赢3盘.2:在一只底面直径为30cm,高为8cm,的圆锥形容器中倒满水,然后将水倒入一只底面直径为10cm的圆柱形空容器里,圆柱形容器中的水有多高?分析:本题没有明显类型所以直接设问题,设圆柱形容器中的水有X 厘米,题目中的等量关系是隐含的,是圆锥形容器中的水的体积=圆柱形容器中水的体积,分别表示后有方程1/3*3.14*(30/2)(30/2)*8=3.14(10/2)(10/2)X,解之得X=24.。

一元一次方程应用题解题方法和技巧一元一次方程应用题解题方法和技巧如下：方法：（1）和差倍分问题：①倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长，公率......”来体现。

②多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。

③基本数量关系：增长量=原有量×增长率，现在量=原有量+增长量。

（2）行程问题：基本数量关系：路程=速度×时间，时间=路程÷速度，速度=路程÷时间。

路程=速度×时间。

①相遇问题：快行距+慢行距=原距。

②追及问题：快行距-慢行距=原距。

③航行问题：顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度。

逆水（风）速度=静水（风）速度-水流（风）速度。

技巧：1、注意语言与解析式的互化：如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为(到)”、“同时”、“扩大为(到)”、“扩大了”等。

2、注意从语言叙述中写出相等关系：如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。

3、注意单位换算：如，“小时”、“分钟”的换算；s、v、t单位的一致等。

一元一次方程：一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式。

一元一次方程只有一个根。

一元一次方程最早见于约公元前1600年的古埃及时期。

公元820年左右，数学家花拉子米在《对消与还原》一书中提出了“合并同类项”、“移项”的一元一次方程思想。

16世纪，数学家韦达创立符号代数之后，提出了方程的移项与同除命题。

1859年，数学家李善兰正式将这类等式译为一元一次方程。

用一元一次方程解决实际问题之设元技巧众所周知，用一元一次方程解决实际问题首先要设元，用华东师大版教材的七年级学生学同章的解一元一次方程可能更轻松，但很可能对列方程解应用题无所适从。

据笔者观察，问题出在学生不能准确设元，设元有两种方法：直接、间接。

一、直接设元有明显和需多加分析两种1. 明显的直接设元例1 天平的A 、B 盘内分别盛有砝码20g 、50g ，应从盘B 中拿出多少砝码放到A 盘中，才能使天平平衡？分析两盘所盛的祛码质量相等，使天平平衡。

盘A 盘B 原有砝码（g ）20 50 现有砝码（g ） 20x + 50x −解设应从盘B 中拿出x g 砝码放到盘A 中。

依题意可列方程2050x x +=−解得15x =。

答：应从盘B 中拿出15g 砝码放到盘A 中。

例2 学校田径队的小刚在400米跑测试时，先以6m/s 的平均速度跑了大部分路程，最后以8 m/s 的速度冲刺到达终点，成绩为1分零5秒，问（1）小刚在冲刺阶段花了多少时间？（2）小刚在离终点多远处开始冲刺?解（1）设小刚在冲刺阶段花了t 秒。

可列方程6(65)8400t t −+=6。

解得：5t =。

（2）设小刚在离终点x 米处开始冲刺。

可列方程4006568x x −+=。

解得：40x =。

答：（1）小刚在冲刺阶段花了5秒。

（2）小刚在离终点40米处开始冲刺。

例3 小王每天去体育场晨练，都见到一位田径队的叔叔也在锻炼。

两人沿400米环形跑道跑步。

每天总是小王跑2圈，叔叔跑3圈。

（1）一天，两人同时同地出发，反向而跑，小王看了一下计时表，发现隔了32秒钟两人第一次相遇，求两人的速度；（2）第二天小王打算和叔叔同时同地出发，同向而跑，看叔叔隔多少时间再次与他相遇。

你能先给小王预测一下吗？解（1）设小王的速度为x 米/秒，则叔叔的速度为32x 米/秒。

依题意可列方程332()4002x x +=。

解得5x =，37.52x =。

（2）设叔叔隔Y 秒再次与小王相遇，可列方程(7.55)400y −=。

一元一次方程应用题设元的四种方法及如何找等量关系解应用题时，首要任务是选设未知数，如何准确恰当地设未知数呢？没有固定的方法，但有一点是肯定的，那就是设未知数要有助于表示相关量，有助于简化解题过程。

设什么元需要根据具体问题的条件确定，常见的设元方法有:直接设元法、间接设元法、整体设元法、辅助设元法等。

那么在做题时又如何找等量关系呢？抓住几个原则:(一).分析题中的不变量原则，利用不变量来列方程(二).用不同的方式表示同一个量原则，以此得到相等关系，从而列出方程(三)利用'总量等于各个分量之和”原则列方程具体方法上可以利用平时掌握的一些公式等基本数量关系，也可以抓住问题中的和、差、倍、分关系中的关键词来寻找相等关系。

以上所说，并不单指一元一次方程，所说的方法不可能全面，要学会每一部分知识仍需要同学们自己辛苦，多归纳，多总结，会用了才是你的方法。

一.直接设元法1.某停车场的收费标准如下:中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆？【分析】这道题我们抓住'小型车的车费十中型车的车费=总车费'这一关系列方程，具体设谁为未知数，哪种都可以.解:设中型汽车有x辆，则小型汽车有(50一x)辆.根据题意，得12x+8(50一x)=480解得，x=20则50一x=50一20=30.答:中型汽车有20辆，小型汽车有30辆.(1)和、差、倍、分问题基本数量关系:增长量=原有量×增长率，现有量=原有量+增长量，现有量=原有量-降低量.抓住关键性的词语，多、少、倍、几分之几以及原有量、现有量之间的关系导出相等关系.2.男、女生人数有若干人，男生与女生人数之比为4:3，后来走了12名女生，这时男生人数恰好是女生人数的2倍，求原来男生和女生的人数.【分析】抓住关键词'男生人数恰好是女生人数的2倍”，也可以理解为女生人数恰好是男生人数的一半，等量关系是:男生人数=2(女生原有人数一走了的人数)或女生原来的人数一走了的人数=男生人数的一半.一般看见有比例关系的条件时，未知数设为一份数，所以.解:设原来男生人数为4x人，则女生人数为3x人，根据题意，得3x一12=(4x)/2解得×=12.原来男生人数为4x=48原来女生人数为3x=36答:原来男生人数为x人，原来女生人数为36人.(2)体积变化问题基本数量关系，常见几何图形的面积、周长、体积计算公式.等量关系有，形变体不变，即变形前的体积=变形后的体积;形变体积也变，但质量不变，即变形前的质量=变形后的质量.3.用直径为4厘米的圆柱形钢材，铸造3个直径为2厘米，高为16厘米的圆柱形零件，问需要截取多长的圓柱形钢材？【分析】等量关系是:铸造前圆柱形钢材的体积=铸造后三个圆柱的体积.解:设需截取x厘米的圆柱形钢材，根据题意得π(4/2)²x=3×π×(2/2)²×16解得x=12.答:需要截取12厘米的圓柱形钢材.(3)行程问题这类问题比较复杂，基本数量关系为，路程=速度×时间.①相向问题的等量关系为:甲走的路程+乙走的路程=两地距离.②追及问题的等量关系为:第一，同地不同时出发，前者走的路程=追者走的路程;第二，同时不同地出发，前者所走的路程+两地距离=追者所走的路程.③航行问题基本数量关系:路程=速度×时间，顺水速度=静水速度十水流速度，逆水速度=静水速度一水流速度，静水速度=(顺水速度十逆水速度)/2，水流速度=(顺水速度一逆水速度)/2.寻等量关系时，抓住两码头之间距离不变，水流速度不变，船在静水中的速度不变的特点来考虑.注意:行程问题，关注出发的时间、地点及行走的方式，往往画路线图，帮助分析等量关系，同时注意相遇和追击的区别.4.小红骑车以每小时10km的速度从甲地到乙地，返回时因事绕路而行，比去时多走了8km，虽然速度增加到每小时12km，但比去时还是多用了10min，水甲、乙两地之间的距离.【分析】注意单位统一，10min=1/6h.设甲、乙两地之间距离为xkm，则去时的时间为x/10，回来的时间为(x十8)/12，根据回来时间比去时多用了1/6h，可列方程解:设甲、乙两地之间的距离为xkm，根据题意可得x/10+1/6=(x十8)/12解得x=30答:甲、乙两地之间的距离为30km.5.一艘轮船从A港到B港顺水航行需要4.5小时，从B港到A港逆水航行需要6小时，已知水流速度为每小时2千米，求船在静水中的速度.【分析】抓住，从A港到B港顺水航行的路程=从B港到A港逆水航行的速程不变.解:船在静水中的速度为x千米/时，则船在逆水航行的速度为(x一2)千米/时，船在顺水航行的速度为(x+2)千米/时，依题意得4.5(x+2)=6(x一2)解得x=14.答:船在静水中的速度为14千米/时.(4).劳动力调配问题将一处的人员调往另一处，一处的人数减少多少，另一处的人数会增加多少，两处的人数之间往往存在着倍分关系，可从题意中的关键性词语找等量关系6.铸造车间共有工人86人，若每人每天加工A种零件15个或B 种零件12个或C种零件9个，应怎样按排加工三种零件的人数，才能使加工后的零件按3个A种零件，2个B种零件和1个C种零件配套？【分析】等量关系是:加工A种零件的人数十加工B种零件的人数+加工C种零件的人数=86.设有x人加工A种零件，因为3个A零件，2个B零件和1个C零件配套，所以最后A种零件:B种零件:C种零件=3:2:1，也就是15x:(12×加工B种零件的人数):(9×加工C种零件的人数)=3:2:1.所以加工B种零件的人数为5x/6人，加工C种零件的人数为5x/9人.(必须学会这种用未知数表示相关的量).解:设按排加工A种零件为x人，根据题意得，x十5x/6+5x/9=86 解得x=36加工B种零件人数为:5x/6=30加工C种零件人数为:5x/9=20答:安排36人加工A种零件，30人加工B种零件，20人加工C 种零件.(5).利润问题基本数量关系为:商品利润=商品售价一商品进价，利润率=利润/进价×100%，销售额=成本(进价)×(1+利润率).7.某商场以每件80元的价格购进了某种品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？【分析】等量关系为:销售额=进价×(1十利润率)解:设每件衬衫降价x元，依题意得400×120+(500-400)(120-x)=500×80×(1+45℅)解得x=20答:每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45℅的预期目标.(6)储蓄问题基本量的关系为:利息=本金×利率×期数，税后利息=本金×利率×期数×(1一利息税)，本息和=本金【1十利率×期数×(1十利息税)】8.小明买了一年期债券150元，一年到期后小明用本息和正好买了一个价格是162元的书包，问小明买的债券的年利率是多少？(无利息税)【分析】等量关系是:本息和=本金×(1十利率×期数)解:设年利率是x，依题意得150×(1十x)=162解得x=8℅答:小明买的债券的年利率是8℅.(7)工程问题基本数量关系是，工作量=工作效率×工作时间，各部分工作量之和等于工作总量(单位1).9.一项工程，甲队独做10小时完成，乙队独做15小时完成，丙队独做20小时完成，开始时三队合作，中途甲队另有任务，由乙、丙二队完成，从开始到工程完成共用了6小时，问甲队实际做了几小时？【分析】甲队做的时间，也是三队合作的时间，等量关系是，甲、乙、丙合作的工作量+乙、丙合作的工作量=1.解:设甲队实际做了x小时，依题意得(1/10+1/15十1/20)x十(1/15十1/20)(6一x)=1解得x=3.答:甲队实际工作了3小时.二.间接设元法(8)数字问题.关键是掌握多位数的表示法，若一个多位数，个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，则这个三位数为100c+10b+a.抓住新数与原数之间的关系列方程.10.有一个两位数，它的十位数字比个位数字大5，且这个两位数比它的两个数位上的数字之和的8倍还要大5，求这个两位数.解:设个位数字为x，则十位数字为(x+5)，这个两位数为10(x+5)十x.依题意得10(x+5)十x一8(x十5十x)=5解得x=1，x十5=6，这个两位数为61答:这个两位数是61.三.整体设元法11.一个五位数的个位上的数为4，这个五位数加上6120后所得的新五位数的万位、千位、百位、十位、个位上的数恰巧分别为原五位数的个位、万位、千位、百位、十位上的数，求原五位数.【分析】此题各数位上数字之间没有明确的数量关系，只是位置发生了改变，所以整体设未知数.解:设原五位数去掉个位数后的四位数为x，则原五位数为10x+4，依题意得(10x+4)十6120=4×10000+x解得x=3764，10x+4=37644答:原五位数是37644.四.辅助设元法当题中直接设未知数，不好表示其他量的关系，或一个未知数也不能满足需要，这时不妨再设一个未知数来列方程.12.某公司只生产普通汽车和新能源汽车，该公司在去年的汽车产量中，新能源汽车占总量的10℅，今年由于国家能源政策的导向和油价上涨的影响，计划将普通汽车的产量减少10℅，为保持总产量与去年相等，则今年新能源汽车的产量应增加的百分数是多少？【分析】此题汽车的总产量未知，知道所占的百分数也不好表示量的关系，所以多设一个辅助未知数，则关系就明朗.解:设去年的总产量为a，今年新能源汽车的产量应增加的百分数为x，则去年普通汽车的产量为90℅a，新能源汽车的产量为10℅a，今年普遍汽车的产量为90a(1一10℅)，新能源汽车的产量为10%a(1+x)，根据题意得90%a(1一10℅)+10℅a(1十x)=a解得x=0.9=90℅答:今年新能源汽车的产量应增加的百分数为90℅.【总结】以上只是几种常见的题型，还有很多没有列举出来，同学们要活学活用，根据问题的特点，灵活地设未知数，切不可生搬硬套，多总结，多归纳，形成自己的一套设元法。

设元是解决应用题的关键步骤之一，通过合理地选择变量，可以简化问题并找到解决方案。

以下是一些常用的设元技巧：
1.直接设元：根据问题描述，直接定义变量，例如：
1.设总价为x 元
2.设速度为v 千米/小时
3.设时间为t 分钟
2.间接设元：对于某些问题，直接设元可能不直观或复杂，因此可以选择间接设元。

例如：
1.设工作效率为x，则工作时间为1/x
2.设某数为x，则它的平方为x^2
3.参数设元：在某些问题中，需要使用参数方程来表示变量之间的关系。

例如：
1.设椭圆上的点为(x, y)，其中x = acos(θ)，y = bsin(θ)
2.设抛物线上的点为(x, y)，其中x = 2t, y = 1 + t^2
4.整体设元：对于某些问题，可以将整个问题作为一个整体进行设元。

例如：
1.设一个矩形的长和宽分别为a 和b，则它的面积为a ×b
2.设一个三角形的三边分别为a, b 和c，则它的周长为a + b + c
总之，在解决应用题时，合理地选择变量并设元可以帮助我们更轻松地解决问题。

1元一次方程求解题技巧解一元一次方程是我们在初中数学学习中经常遇到的一个问题，也是我们在实际问题中常常需要解决的计算问题。

下面我将从几个角度来介绍一元一次方程的求解技巧。

一、理解一元一次方程首先，我们需要理解什么是一元一次方程。

一元一次方程是指只有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。

例如，2x + 3 = 7就是一个典型的一元一次方程。

其次，我们需要理解一元一次方程的解的含义。

解即使满足方程式，即将未知数代入方程式后两端相等。

例如，若x = 2，则2x + 3 = 7方程式成立。

二、解一元一次方程的步骤1.整理方程：将含有未知数的项移到等号的另一边，将常数项移到等号的另一边。

例如，对于方程2x + 3 = 7，可以将3移到等号右边，得到2x = 7 - 3。

2.化简方程：将方程进一步简化。

例如，将2x = 7 - 3化简为2x = 4。

3.求解方程：将化简后的一元一次方程求解得到未知数的值。

例如，对于2x = 4，我们将方程两边都除以2得到x = 2。

所以，方程的解为x = 2。

三、常见问题的解法1.常见问题一：解方程式3x - 5 = 1。

解法：首先将-5移到等号的另一边，得到3x = 1 + 5 = 6。

然后将方程两边都除以3，得到x = 2。

所以，方程的解为x = 2。

2.常见问题二：解方程式2(x + 1) = 5。

解法：首先将2(x + 1)展开，得到2x + 2 = 5。

然后将2移到等号的另一边，得到2x = 5 - 2 = 3。

最后将方程两边都除以2，得到x = 3/2。

所以，方程的解为x = 3/2。

3.常见问题三：解方程式3x + 4 = 10 - 2x。

解法：首先将10移到等号的另一边，得到3x + 2x = 10 - 4。

然后将方程两边合并同类项，得到5x = 6。

最后将方程两边都除以5，得到x = 6/5。

所以，方程的解为x = 6/5。

四、注意事项在解一元一次方程时，我们需要注意以下几点：1.方程两边的运算要保持等式成立。

§8.解一元一次方程应用题的设元技巧一、知识要点 解应用题的设元技巧 1.直接设元法； 2.间接设元法； 3.设辅助元法； 4.整体设元法. 二、考点演练 题型一：直接设元法1.甲、乙两名打字员，甲每页打500字，乙每页打600字.已知甲每完成8页，乙恰好能完成7页.若甲打完2页后乙开始打字，则当甲、乙打的字数相同时，乙打了多少页？2.某人乘船由A 地顺流到B 地，然后又逆流而上到C 地，共乘船4小时，已知船在静水中的速度为h km /5.7，水流速度为h km /5.2，若A 、C 两地间的距离为km 10，求A 、B 两地间的距离.题型二：间接设元法3.自行车轮胎安装在后轮上，行驶km 3000就要报废；安装在前轮上，行驶km 5000才报废.为了使一对新轮胎尽可能行驶多的路程才报废，在自行车行驶一定路程后就要将前后轮胎调换，则自行车的一对新轮胎最多可行驶多少千米？4.某大型超市元旦假期举行促销活动.规定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300元时，按该次购物金额的9折优惠；超过300元时，其中的300元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠.小美两次购物分别用了94.5元和282.8元，现小丽决定一次购买小美两次所购买的物品，则小丽应付款多少元？题型三：设辅助元法5.某车站在检票前若干分钟就开始排队，排队的人数按一定速度增加.如果开放一个检票口，则检票口前的队伍要20分钟才消失；如果同时开放两个检票口，则检票口前的队伍8分钟消失.设检票的速度一定，求同时开放三个检票口时队伍要多少分钟才消失？6.小王沿公路行走，发现每隔12分钟有一辆公共汽车从背后追上；每隔4分钟有一辆公共汽车迎面开来，若小王和公共汽车都是匀速前进，求公共汽车站每隔多少分钟发一趟车？题型四：整体设元法7.一个六位数__________2abcde的3倍等于__________9abcde，求这个六位数.8. 如图，在下面的算式中，每个汉字代表1个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”=3，求被乘数.专题演练一、选择题1.如图，足球是由黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长相等，若黑皮有12块，则白皮有（）A.32块B.20块C.12块D.10块2.一片牧场上的草长得一样快，如果60头牛吃，24天可以将草吃完；如果30头牛吃，60天可以将草吃完；如果要在120天里将草吃完，则需要（）头牛.A.16B.18C.20D.22二、填空题3. 某编辑用0~9这10个数字给一本书的各页标上页码，若共写了636个数字，求该书共有________页.4.植树节时，某班平均每人植树6棵，如果只由女生完成，则每人应植树15棵，如果只由男生完成，则每人应植树________棵.三、解答题5.停电时，小明同时点燃了两支蜡烛，这两支蜡烛一样长，但不一样粗，粗蜡烛可点4小时，细蜡烛可点2小时，来电后，小明吹灭了两支蜡烛，发现此时粗蜡烛的长度是细蜡烛的2倍，求停电多久？6.某音乐厅月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的32，若提前购票，则给予不同程度的优惠.在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票数的53；零售票每张16元，共售出零售票数的一半.在六月份内，如果团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价，才能使这两个月的票款收入持平？§8.解一元一次方程应用题的设元技巧一、知识要点 解应用题的设元技巧 1.直接设元法； 2.间接设元法； 3.设辅助元法； 4.整体设元法. 二、考点演练 题型一：直接设元法1.甲、乙两名打字员，甲每页打500字，乙每页打600字.已知甲每完成8页，乙恰好能完成7页.若甲打完2页后乙开始打字，则当甲、乙打的字数相同时，乙打了多少页？【解析】设当甲、乙打的字数相同时，乙打了x 页. 则x x 600785002500=⨯+⨯. 解之得35=x .答：当甲、乙打的字数相同时，乙打了35页.2.某人乘船由A 地顺流到B 地，然后又逆流而上到C 地，共乘船4小时，已知船在静水中的速度为h km /5.7，水流速度为h km /5.2，若A 、C 两地间的距离为km 10，求A 、B 两地间的距离.【解析】设A 、B 两地间的距离为xkm . （1）当C 在A 、B 之间时.则45.25.7105.25.7=--++x x .解之得20=x ，即A 、B 两地间的距离为20km.（2）当C 在BA 的延长线上时. 则45.25.7105.25.7=-+++x x .解之得320=x ，A 、B 两地间的距离为km 320. 综上得A 、B 两地间的距离为20km or km 320.题型二：间接设元法3.自行车轮胎安装在后轮上，行驶km 3000就要报废；安装在前轮上，行驶km 5000才报废.为了使一对新轮胎尽可能行驶多的路程才报废，在自行车行驶一定路程后就要将前后轮胎调换，则自行车的一对新轮胎最多可行驶多少千米？【解析】设自行车行驶了x 千米调换前后轮胎.则35)3000(53)5000(⨯-=⨯-x x . 解之得1875=x .即行驶了1875千米后调换前后轮胎，则还可行驶187553)18755000(=⨯-. 于是最多可行驶375018751875=+千米.4.某大型超市元旦假期举行促销活动.规定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300元时，按该次购物金额的9折优惠；超过300元时，其中的300元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠.小美两次购物分别用了94.5元和282.8元，现小丽决定一次购买小美两次所购买的物品，则小丽应付款多少元？【解析】小美第一次购物用了94.5元，因为1005.94909.0100<<=⨯，所以小美第一次购物的原价有未满100元和超过100元两种情况. 又因为小美第二次购物用了282.8元，而8.2822709.0300<=⨯，所以小美第二次购物的原价超过了300元.设小美第二次购物的原价为x 元. 则8.2828.0)300(9.0300=⨯-+⨯x .解之得316=x ，即小美第二次购物的原价为316元.则小丽应付的款分以下两种情况讨论： （1）当小美第一次购物原价没有超过100元时. 则4.3589.03008.0)3003165.94(=⨯+⨯-+元. （2）当小美第一次购物原价超过100元时. 小美第一次购物原价为1059.05.94=÷元. 则8.3669.03008.0)300316105(=⨯+⨯-+元. 综上，小丽应付款358.4元或366.8元.题型三：设辅助元法5.某车站在检票前若干分钟就开始排队，排队的人数按一定速度增加.如果开放一个检票口，则检票口前的队伍要20分钟才消失；如果同时开放两个检票口，则检票口前的队伍8分钟消失.设检票的速度一定，求同时开放三个检票口时队伍要多少分钟才消失？【解析】设检票开始时已有a 人在排队等候，每个检票口每分钟检票x 人，队伍每分钟增加y 人.则⎩⎨⎧⨯=+=+x y a xy a 8282020，解之得y a y x 40,3==.设同时开放三个检票口时队伍消失的时间为t 分钟. 则tx ty a 3=+，即ty ty y 940=+，所以5=t . 即同时开放三个检票口时队伍要5分钟才消失.6.小王沿公路行走，发现每隔12分钟有一辆公共汽车从背后追上；每隔4分钟有一辆公共汽车迎面开来，若小王和公共汽车都是匀速前进，求公共汽车站每隔多少分钟发一趟车？【解析】设公共汽车的速度为v ，小王的速度为x ，公共汽车站每隔t 分钟发一趟车，那么相邻两辆车之间的距离为vt . 则⎩⎨⎧=+=-vtx v vtx v 441212，解之得6=t .即公共汽车站每隔6分钟发一趟车.题型四：整体设元法7.一个六位数__________2abcde 的3倍等于__________9abcde ，求这个六位数.【解析】设x abcde =________.则910)200000(3+=+x x ，解之得85713=x . 所以这个六位数是285713.8. 如图，在下面的算式中，每个汉字代表1个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”=3，求被乘数.【解析】设“神舟五号”=A ，“飞天”=B. 则A B B A +=+10000)100(3. 解之得B A 76923=.因为1)769,23(=，所以令n B n A 23,769==. 因为42≤≤n ，且n 为自然数，所以4=n . 于是A=3076，B=92. 所以被乘数是307692.专题演练一、选择题1.如图，足球是由黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长相等，若黑皮有12块，则白皮有（ ）【答案】B A.32块 B.20块 C.12块 D.10块【解析】设有x 块白皮. 则512621⨯=⨯x ，解之得20=x . 2.一片牧场上的草长得一样快，如果60头牛吃，24天可以将草吃完；如果30头牛吃，60天可以将草吃完；如果要在120天里将草吃完，则需要（ ）头牛.【答案】DA.16B.18C.20D.22 二、填空题3. 某编辑用0~9这10个数字给一本书的各页标上页码，若共写了636个数字，求该书共有________页. 【答案】248 【解析】设该书有x 页.则636)99(32909=-+⨯+x ，解之得248=x . 4.植树节时，某班平均每人植树6棵，如果只由女生完成，则每人应植树15棵，如果只由男生完成，则每人应植树________棵. 【答案】10 【解析】共应植树x 棵，那么全班共有6x人，其中女生有15x 人，则男生人数为10156xx x =-人. 于是男生每人植树1010=÷xx 棵. 三、解答题5.停电时，小明同时点燃了两支蜡烛，这两支蜡烛一样长，但不一样粗，粗蜡烛可点4小时，细蜡烛可点2小时，来电后，小明吹灭了两支蜡烛，发现此时粗蜡烛的长度是细蜡烛的2倍，求停电多久？ 【解析】设停电x 小时，原蜡烛长为a .则)2(24x a a x a a -=-，解之得34=x . 答：停电34小时.6.某音乐厅月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的32，若提前购票，则给予不同程度的优惠.在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票数的53；零售票每张16元，共售出零售票数的一半.在六月份内，如果团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价，才能使这两个月的票款收入持平？ 【解析】设总票数为a 张，六月份售票应按每张x 元定价.五月份：团体票售出票数为a a 523253=⨯，票款收入为a a 5245212=⨯；零售票售出票数为a a 613121=⨯，票款收入为a a 386116=⨯. 六月份：团体票所剩票数为a a 1543252=⨯，可收入为a a 15645416=⨯；零售票所剩票数为a a 613121=⨯，可收入为ax 61. 则ax a a a 61156438524+=+，解之得2.19=x . 所以零售票应按每张19.2元定价才能使这两个月的票款收入持平.。

一元一次方程实际问题解题方法我们在做一元一次方程实际应用题时，所设的未知数直接影响到我们后续的解题的繁易程度。

所设的未知数不一样，列出的方程也不一样，解题思路也会受影响。

我们常用的设元方法有三种，在具体做题目时，需要我们能够灵活的运用。

1.直接设元法当实际问题的已知条件中的数量关系能用所求未知数表示时，一般实际问题求什么，就直接设什么为未知数的方法叫做直接设元法。

这也是解方程时最常用的一种方法。

分析：（1）明确已知量与未知量，找出数量关系式。

两人登山的速度与相差的时间已知，要求的是登山的高度，也就是相当于路程未知。

那么，用到的等量关系式有两个：登山时间=登山高度÷登山速度。

通过“王东比吴童早18分钟，最后两人同时到达山顶”可得：王东登山时间-吴童登山时间=18。

（2）设未知数，确定使用直接设元法。

因为两个人的登山时间=登山高度÷登山速度，登山高度未知，登山速度已知，可以直接设登山高度为x。

（3）根据数量关系式列方程、解方程、检验、答。

分析：由于四月份的电费平均每度0.5元，所以已经超过140度．设该用户四月份用电x度，则应交电费0.5x元，然后再根据用电不超过140度，按每度0.43元收费；如果超过140度，超过部分按每度0.57元收费即可列出方程解题．2.间接设元法当实际问题的已知条件中的数量关系不能用所求未知数表示时，通过设等量关系式中的其它未知量列方程求解，再根据方程的解与所求未知量的关系求出该未知量的方法叫做间接设元法。

分析：（1）未知量有两个，一个是长木的长度，另外一个是绳长。

等量关系式：绳长-4.5尺=长木的长度；绳长的一半+1尺=长木的长度（2）设未知数，确定使用间接设元法。

因为长木的长度和绳长都是未知数，通过等量关系式可以发现：绳长+4.5尺=绳长的一半+1尺，也就是说长木的长度可以看成中间变量，那么我们可以设绳长为x。

如果直接设未知数显得解题麻烦，我们可以选择间接设未知数来解题。