2-1第1讲 集合、复数、常用逻辑用语

第一章集合与常用逻辑用语第一章集合与常用逻辑用语§1.1集合的概念与运算一、知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若则），则称集合A为集合B的子集，记为AB或BA；如果AB，并且AB，这时集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA.4.集合的相等：如果集合A、B同时满足AB、BA，则A=B.5.补集：设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为.6.全集：如果集合S包含所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.7.交集：一般地，由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作AB.8.并集：一般地，由所有属于集合A或者属于B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作AB.9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作.10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）.13.常用数集的记法：自然数集记作N，正整数集记作N+或N，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R.二、疑难知识导析1.符号，，，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“”包括“”和“=”两种情况，同样“”包括“”和“=”两种情况.符号，表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B=易漏掉的情况.5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来.8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.9.含有n个元素的集合的所有子集个数为：，所有真子集个数为：-1三、经典例题导讲[例1] 已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y =x＋1,x∈R}，则M∩N=（）A．（0，1），（1，2）B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2}D．{y|y≥1}错解：求M∩N及解方程组得或∴选B错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是实数对(x,y)，因此M、N是数集而不是点集,M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．正解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1},∴应选D．注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x ∈R}，这三个集合是不同的．[例2] 已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，求实数a组成的集合C．错解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．当x=1时，a=2，当x=2时，a=1．错因：上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A.当a=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．正解：∵A∪B=A ∴BA又A={x|x2－3x＋2=0}={1，2}∴B=或∴C={0，1，2}[例3]已知mA,nB, 且集合A=，B=，又C=，则有：（）A．m+nA B. m+nB C.m+nC D.m+n不属于A，B，C中任意一个错解：∵mA，∴m=2a,a,同理n=2a+1,aZ,∴m+n=4a+1,故选C错因是上述解法缩小了m+n的取值范围.正解：∵mA,∴设m=2a1,a1Z, 又∵n,∴n=2a2+1,a2 Z ,∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 Z , ∴m+nB, 故选B.[例4］已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，求实数p的取值范围．错解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．欲使BA，只须∴p的取值范围是－3≤p≤3.错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设．正解：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2.由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5.由－3≤p≤3.∴2≤p≤3②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2.由①、②得：p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．[例5] 已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac2}．若A=B，求c的值．分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2－2ac=0，a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0，∵a≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－．点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.[例6] 设A是实数集，满足若a∈A，则A，且1?A.⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素.⑵A能否为单元素集合？请说明理由.⑶若a∈A，证明：1－∈A.⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A ? －1∈A ? ∈A ? 2∈A∴A中至少还有两个元素：－1和⑵如果A为单元素集合，则a＝即＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集⑶a∈A ? ∈A ? ∈A?A，即1－∈A⑷由⑶知a∈A时，∈A，1－∈A.现在证明a,1－, 三数互不相等.①若a=,即a2-a+1=0，方程无解，∴a≠②若a=1－，即a2-a+1=0，方程无解∴a≠1－③若1－=，即a2-a+1=0，方程无解∴1－≠.综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨. [例7] 设集合A={|=,∈N+}，集合B={|=,∈N+}，试证：AB．证明：任设∈A，则==(＋2)2－4(＋2)＋5(∈N+),∵n∈N*，∴n＋2∈N*∴a∈B故①显然，1，而由B={|=,∈N+}={|=，∈N+}知1∈B，于是A≠B②由①、②得AB．点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系．（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义．四、典型习题导练1．集合A={x|x2－3x－10≤0，x∈Z}，B={x|2x2－x－6＞0，x∈Z}，则A∩B的非空真子集的个数为（）A．16B．14C．15 D．322．数集{1，2，x2－3}中的x不能取的数值的集合是（）A．{2，-2 } B．{－2，－}C．{±2，±} D．{，－}3.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（）A．P B．QC．D．不知道4. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（）A．P∩Q=B．P Q C．P=QD．P Q5．若集合M＝｛｝，N＝{|≤}，则MN＝（）A．B．C．D．6.已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R＋=，则实数m的取值范围是_________．7.（06高考全国II卷）设，函数若的解集为A，，求实数的取值范围.8.已知集合A=和B=满足A∩B=，A∩B=，I=R，求实数a,b的值.§1.2．常用逻辑用语一、知识导学1．逻辑联结词：“且”、“或”、“非”分别用符号“”“”“”表示.2．命题：能够判断真假的陈述句．3．简单命题：不含逻辑联结词的命题4．复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：p或q；p且q；非p5．四种命题的构成：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p.6．原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若p则q”“若q 则p ”.7．反证法：欲证“若p则q”，从“非q”出发，导出矛盾，从而知“若p则非q”为假，即“若p则q”为真.8．充分条件与必要条件：①pq：p是q的充分条件；q是p的必要条件；②pq：p是q的充要条件.9．常用的全称量词：“对所有的”、“对任意一个”“对一切”“对每一个”“任给”等；并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.10．常用的存在量词：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“有的”、“对某个”；并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.二、疑难知识导析1．基本题型及其方法（1）由给定的复合命题指出它的形式及其构成；（2）给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假；（3）给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四种命题的相互关系，特别是互为逆否命题的等价性判断命题的真假.注意：否命题与命题的否定是不同的. （4）判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；方法：利用定义（5）证明的充要条件是；方法：分别证明充分性和必要性（6）反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论.反证法是通过证明命题的结论的反面不成立而肯定命题的一种数学证明方法，是间接证法之一.注：常见关键词的否定：关键词是都是（全是）（）至少有一个至多有一个任意存在否定不是不都是（全是）（）一个也没有至少有两个存在任意。

一．知识归纳：1．集合的有关概念。

1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互异性（若a?A，b?A，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3）集合的分类：有限集，无限集，空集。

4）常用数集：N，Z，Q，R，N*2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1）子集：若对x∈A都有x∈B，则A B（或A B）；2）真子集：A B且存在x0∈B但x0 A；记为A B（或，且）3）交集：A∩B={x| x∈A且x∈B}4）并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}5）补集：CUA={x| x A但x∈U}注意：①? A，若A≠?，则? A ；②若，，则；③若且，则A=B（等集）3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1）与、?的区别；（2）与的区别；（3）与的区别。

4．有关子集的几个等价关系①A∩B=A A B；②A∪B=B A B；③A B C uA C uB；④A∩CuB = 空集CuA B；⑤CuA∪B=I A B。

5．交、并集运算的性质①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪? = A，A∪B=B∪A；③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB；6．有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2 n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。

二．例题讲解：【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P= {x|x= ,p∈Z}，则M,N,P满足关系A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M分析一：从判断元素的共性与区别入手。

第一章 集合与常用逻辑用语第一节 集 合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (4)五个特定的集合及其关系图：N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A .A B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A .(3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B .两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A.二、常用结论(1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.(2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.(4)补集的性质：A∪∁U A＝U，A∩∁U A＝∅，∁U(∁U A)＝A，∁A A＝∅，∁A∅＝A.(5)含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集．(6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.第二节命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．(2)命题真值表：命题真假的判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与非p→真假相反.2．全称量词与存在量词3.全称命题与特称命题4．全称命题与特称命题的否定二、常用结论含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(非p)∧(非q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(非p)∧(非q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(非p)∨(非q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(非p)∨(非q)真．。

查补易混易错点01 集合、复数、常用逻辑用语与不等式1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如{x |y ＝lg x }——函数的定义域；{y |y ＝lg x }——函数的值域；{(x ，y )|y ＝lg x }——函数图象上的点集．2．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．3．空集是任何集合的子集．解题时勿漏∅的情况．4．判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．5．解形如ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的一元二次不等式时，易忽视对系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论．6．求解分式不等式时应正确进行同解变形，不能把()0()f x g x 直接转化为f (x )·g (x )≤0，而忽视g (x )≠0.7．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f (x )x 2＋2＋1x 2＋2的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函数y ＝x ＋3x (x <0)的最值时应先转化为正数再求解．8．复数z 为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0(z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R )．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．9．复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i 2＝－1化简合并同类项．10.由目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)，得y ＝－a b x ＋z b .直线y ＝－a b x ＋z b 在y 轴上的截距为z b.当b >0时，目标函数值与直线在y 轴上的截距同步达到最大值和最小值；当b <0时，情形正好相反。

求最优整数解时，要结合可行域，对所有可能的整数解逐一检验，不要漏掉解.8．（山东省聊城市2023届高三第三次学业质量联合检测数学试题）已知实数，则“2abb a +≥”是“0a >，b A ．充分不必要条件C ．充要条件。

1．(点集与交集运算)已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝e x ，x ∈N ，y ∈N}，B ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋1，x ∈N ，y ∈N}，则A ∩B 等于( ) A ．(0,1) B ．{0,1} C ．{(0,1)}D ．∅解析：A ＝{(0,1)}，而(0,1)∈B ，所以A ∩B ＝{(0,1)}，故选C. 答案：C2．(复数概念与除法)复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，其中a ∈R ，则a －i 2＋a i 的实部为( ) A ．－15B ．－35C.15D.35解析：根据z ＝a 2－1＋(a ＋1)i 为纯虚数，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0.解得a ＝1，则a －i2＋a i ＝1－i2＋i ＝(1－i )(2－i )5＝2－3i ＋i 25＝15－35i ，所以其实部是15，故选C. 答案：C3．(交集与子集)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )x 24＋y 23＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：作出椭圆x 24＋y 23＝1与函数y ＝3x 的图象(图略)可知，共有两个交点，即A ∩B 中有两个元素，其子集有22＝4个．故选D.答案：D4．(复数运算与新定义)欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由著名数学家欧拉发明的，它将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，若将e π2i 表示的复数记为z ，则z (1＋2i)为( ) A ．－2＋i B ．－2－i C ．2＋iD ．2－i解析：由题意得z ＝e π2i ＝cos π2＋isin π2＝i ，所以z (1＋2i)＝i(1＋2i)＝－2＋i ，故选A. 答案：A5．(交集运算与空集、参数)若集合M ＝{x |x 2＋5x －14＜0}，N ＝{x |m ＜x ＜m ＋3}，且M ∩N ＝∅，则m 的取值范围为( ) A ．(－10,2)B ．(－∞，－10)∪(2，＋∞)C ．[－10,2]D ．(－∞，－10]∪[2，＋∞)解析：由题意，得M ＝{x |－7＜x ＜2}， 因为M ∩N ＝∅，所以m ＋3≤－7或m ≥2，得m ≤－10或m ≥2.故选D. 答案：D6．(复数乘方与复数概念)设复数z ＝1＋b i(b ∈R)且z 2＝－3＋4i ，则z 的共轭复数z 的虚部为( ) A ．－2 B ．－2i C ．2D ．2i解析：由题z 2＝(1＋b i)2＝1－b 2＋2b i ＝－3＋4i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－3，2b ＝4.所以b ＝2，故z ＝1＋2i ，z ＝1－2i.故选A.答案：A7．(复数运算、模、几何意义与命题)已知i 2 018(m ＋n i)＝5－4i(m ，n ∈R)，则关于复数z ＝m ＋n i 的说法，正确的是( ) A ．复数z 的虚部为－4 B ．|z |＝41 C.z ＝－5＋4iD ．复数z 所对应的点位于复平面的第四象限解析：依题意i 2 018(m ＋n i)＝5－4i ，则－m －n i ＝5－4i ，故m ＝－5，n ＝4，故z ＝－5＋4i ，故复数z 的虚部为4，|z |＝41，z ＝－5－4i ，复数z 所对应的点(－5,4)位于复平面的第二象限．故选B. 答案：B8．(命题真假与充分、必要条件)给出下列四个命题：①“若x 0为y ＝f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0”的逆命题为真命题； ②“平面向量a ，b 的夹角是钝角”的充分不必要条件是a·b ＜0； ③若命题p ：1x －1＞0，则綈p ：1x －1≤0；④命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1≤0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”． 其中不正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：①中逆命题为：若f ′(x 0)＝0，则x 0为y ＝f (x )的极值点，举反例，如函数f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但0不是函数f (x )＝x 3的极值点，①错误； ②中〈a ，b 〉是钝角⇒a·b ＜0，a·b ＜0⇒〈a ，b 〉是钝角，故〈a ，b 〉是钝角的必要不充分条件是a·b ＜0，②错误；③中1x －1＞0⇒x ＞1，即命题p ：x ＞1；1x －1≤0⇒x ＜1，即命题綈p ：x ＜1；显然③错误；④中否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1＞0”，④错误．故选D. 答案：D9．(命题真假判定)下列命题正确的个数是( )①“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的充分不必要条件是“a ＝1”．②设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为－1,1,3.③已知函数f (x )＝2x ＋a ln x 在定义域上为增函数，则a ≥0. A ．1 B ．2 C ．3D ．0解析：y ＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos 2ax 最小正周期为π，所以2π|2a |＝π，所以a ＝±1， 反过来a ＝1，y ＝cos 2ax ，最小正周期为π，故①正确； α＝－1时，函数y ＝x α，即y ＝x －1定义域不是R ，故②错误； f (x )＝2x ＋a ln x 在定义域上为增函数，所以f ′(x )＝2＋ax ≥0恒成立，对∀x ∈(0，＋∞)， 所以a ≥－2x 恒成立，所以a ≥0，故③正确． 总之①③正确．故选B. 答案：B10．(命题真假判定与函数性质)下列命题中： (1)“x ＞1”是“x 2＞1”的充分不必要条件；(2)定义在[a ，b ]上的偶函数f (x )＝x 2＋(a ＋5)x ＋b 的最小值为5；(3)命题“∀x ＞0，都有x ＋1x ≥2”的否定是“∃x 0≤0，使得x 0＋1x 0＜2”；(4)已知函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋8－2x 的定义域为[0,1]．其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：(1)x 2＞1⇒x ＞1或x ＜－1，所以“x ＞1”是“x 2＞1”的充分不必要条件； (2)因为f (x )为偶函数，所以a ＝－5， 因为定义区间为[a ，b ]，所以b ＝5， 因此f (x )＝x 2＋5最小值为5；(3)命题“∀x ＞0，都有x ＋1x ≥2”的否定是“∃x 0＞0，使得x 0＋1x 0＜2”；(4)由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤2x ≤2，8－2x ≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，x ≤3，所以x ∈[0,1]；因此正确命题为(1)(2)(4)，故选C. 答案：C11．(复数代数运算)已知i 是虚数单位，复数z 满足z －2i ＝1＋z i ，则z ＝________. 解析：由题意可得z －z i ＝1＋2i ，则z ＝1＋2i1－i ＝(1＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋3i 2＝－12＋32i.答案：－12＋32i12．(命题的否定)命题p ：∃x 0≥1，x 20－2x 0－3＜0的否定为________．解析：命题p ：∃x 0≥1，x 20－2x 0－3＜0的否定为綈p ：∀x ≥1，x 2－2x －3≥0.答案：∀x ≥1，x 2－2x －3≥013．(特称命题与参数)命题“∃x 0∈R ，x 20－(m －1)x 0＋1＜0”为假命题，则实数m 的取值范围为________．解析：命题“∃x 0∈R ，x 20－(m －1)x 0＋1＜0”是假命题，则命题的否定“∀x ∈R ，x 2－(m －1)x ＋1≥0”是真命题，则Δ＝(m －1)2－4≤0，解得－1≤m ≤3.答案：[－1,3]14．(命题真假判定)给出下列命题：①已知a，b都是正数，且a＋1b＋1＞ab，则a＜b；②已知f′(x)是f(x)的导函数，若∀x∈R，f′(x)≥0，则f(1)＜f(2)一定成立；③命题“∃x0∈R，使得x20－2x0＋1＜0”的否定是真命题；④“x≤1且y≤1”是“x＋y≤2”的充要条件；⑤若实数x，y∈[－1,1]，则满足x2＋y2≥1的概率为1－π4.其中正确的命题的序号是________(把你认为正确的序号都填上)．解析：已知a，b都是正数，a＋1b＋1＞ab，ab＋b＞ab＋a，则a＜b，故①正确；若f(x)是常函数，则f(1)＜f(2)不成立，故②不正确；命题“∃x0∈R，使得x20－2x0＋1＜0”是假命题，则它的否定是真命题，故③正确；x≤1且y≤1⇒x＋y≤2，反之不成立，则“x≤1且y≤1”是“x＋y≤2”的充分不必要条件，故④不正确；若实数x，y∈[－1,1]，则满足x2＋y2≥1的概率为P＝4－π4＝1－π4，故⑤正确．答案：①③⑤。

复数一、复数的单位为i ，它的平方等于1-，即12-=i .二、复数及其相关概念：Ⅰ、复数：形如bi a z +=的数（其中R b a ∈,）；Ⅱ、实数：当0=b 时的复数bi a +，即a ；Ⅲ、虚数：当0≠b 时的复数bi a +；Ⅳ、纯虚数：当0=a 且0≠b 时的复数bi a +，即bi .Ⅴ、复数bi a +的实部与虚部：a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部（注意b a ,都是实数） Ⅵ、复数集C ：全体复数的集合，一般用字母C 表示.Ⅶ、复数bi a z +=的模：22||||b a bi a z +=+=.三、两个复数相等的定义：di c bi a +=+⇔c a =且d b =(其中，R d c b a ∈,,,)，特别地，0=+bi a ⇔0==b a .四、一般说来，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。

即：若两个复数都是实数，则可以比较大小；否则，不能比较大小。

五、共轭复数的概念：实部相等，虚部互为相反数的两个复数是共轭复数。

),(R b a bi a z ∈+=的共轭复数为：),(R b a bi a z ∈-=六、复数的运算Ⅰ、复数代数形式的加法、减法运算法则：()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±Ⅱ、复数代数形式的乘法运算运算法则：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++Ⅲ、复数代数形式的除法运算运算法则：i dc ad bc d c bd ac d c i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a 222222)())(())((+-+++=+-++=-+-+=++ 七、复数bi a z +=与复平面内的一点),(b a Z 对应，复平面内的任意一点),(b a Z 又可以与以原点为起点，点),(b a Z 为终点的向量OZ 对应，这些对应都是一一对应.八、常用的结论：Ⅰ、i i =1，12-=i ，i i -=3，14=i ；i i =5，16-=i ，i i -=7，18=i .Ⅱ、4=T ，i i n =+14，124-=+n i ，i i n -=+34，144=+n i .常用逻辑用语一、命题、真命题、假命题：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.二、命题的形式：数学中的命题大都可以表示成以下形式：若p，则q.这里，p是命题的条件，q是命题的结论.三、四种命题：原命题、逆命题、否命题和逆否命题.若原命题为：“若p，则q”，则它的逆命题为：“若q，则p”，它的否命题为：“若p⌝，则p⌝”.⌝”，它的逆否命题为：“若q⌝，则q四、四种命题间的相互关系：Ⅰ、原命题与逆否命题互为逆否命题；逆命题与否命题互为逆否命题.Ⅱ、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性.例如，原命题与逆否命题逻辑等价；逆命题与否命题逻辑等价.Ⅲ、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.Ⅳ、由于原命题和它的逆否命题等价，具有相同的真假性，因为在直接证明原命题有困难时，可以考虑证明与它等价的逆否命题.五、充分条件、必要条件、充要条件Ⅰ、若qp⇒，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.Ⅱ、若既有qp⇒，又有pp⇔，则p与q互为充要条件.q⇒，即qⅢ、形如“若p，则q”的命题中，存在以下四种关系：（1）若qq⇒/，则p是q的充分不必要条件.p⇒且p（2）若qp⇒/且pq⇒，则p是q的必要不充分条件.（3）若qq⇒，则p是q的充要条件.p⇒且p（4）若qq⇒/，则p是q的既不充分也不必要条件.p⇒/且p六、简单的逻辑联结词Ⅰ、且（and）（1）用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作：qp∧，读作：“p且q”.（2）当qp∧是真命题；p,都是真命题时，q当q p ,两个命题中有一个命题是假命题时，q p ∧是假命题.Ⅱ、或（or ）（1）用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作：q p ∨，读作：“p 或q ”.（2）当q p ,两个命题中有一个命题是真命题时，q p ∨是真命题；当q p ,两个命题都是假命题时，q p ∨是假命题.Ⅲ、非（not ）（1）对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作：p ⌝，读作：“非p ”或“p 的否定”.（2）若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题.七、“命题的否定”与“否命题”的区别：（1）“命题的否定”只否定该命题的结论；而“否命题”既否定条件，又否定结论. 例如：命题p ：正方形的四条边相等；命题p ⌝：正方形的四条边不相等；p 的否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等.（2）一个命题与它的否定形式是完全对立的，两者之间有且只有一个成立；而对于否命题，它是否成立和原命题是否成立没有直接关系.八、全称量词与存在量词：Ⅰ、全称量词、全称命题：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示； 含有全称量词的命题，叫做全称命题.Ⅱ、存在量词、特称命题：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示； 含有存在量词的命题，叫做特称命题.九、含有一个量词的命题的否定：Ⅰ、全称命题的否定是特称命题.全称命题p ：)(,x p M x ∈∀， 它的否定p ⌝：)(,00x p M x ⌝∈∃.Ⅱ、特称命题的否定是全称命题.特称命题p ：)(,00x p M x ∈∃， 它的否定p ⌝：)(,x p M x ⌝∈∀.复数1．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则 ( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－12．已知复数z 满足(12)z i i ⋅-=，则复数对应的点在复平面对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下面是关于复数21z i =- 的四个命题：1p :2z =, 2:p 22z i = 3:p z 的共轭复数为1i -+ 4:p z 的虚部为1其中真命题为（ ）A ．23,p p B ．12,p p C ．24,p p D ．34,p p4．在复平面内，复数i iz 212+-=的共轭复数的虚部为 （ ）A ．25- B ．25 C ．25i D ．25i -5．复数)()2(2为虚数单位i i i z -=，则=||z （ ）A ．5B ．5C ．41D ．256．i 为虚数单位，若)i z i =，则||z =（ ）A ．1BCD ．27．已知11abi i =-+，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -=（ ）A ．3B ．2C ．5 D8．已知复数i z -=1（i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，则z 1的值为（ ）A ．1B ．22C ．21D ．29．复数2(1)z i =+的实部是（ ）A ．2 B ．1 C ．0 D ．1-10．设复数i 满足i i z 21)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的虚部是________11．若复数2a iz i +=（i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a 等于（ ）A ．1B ．﹣1C ．21D ．21-12．已知集合{}iz A ,3,1=（其中i 为虚数单位），{4}B =，A B A =U ，则复数z 为（）A ．i 2-B ．i 2C ．i 4-D ．i 413．若1m ii i +=+（i 为虚数单位），则实数m = .14．已知i 为虚数单位，则232015i i i i ++++=L ．15．如果复数1z ai =+，满足条件2z <,那么实数a 的取值范围是（ ）A ．(- B ．（-2，2） C ．（-1，1） D ．(16．设i 是虚数单位,若复数10()3a a R i-∈-是纯虚数,则a 的值为（ ） A ．-3 B ．-1 C ．3 D ．117．已知C z ∈，且122=--i z ，i 是虚数单位，则i z 22-+的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．518．已知i 是虚数单位，则311i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭ =（ ）A ．1 B ．i C ．i - D ．1-19. 求当a 为何实数时，复数i a a a a z )12()32(22-++--=满足：（Ⅰ）z 为实数； （Ⅱ）z 为纯虚数； （Ⅲ）z 位于第四象限。