人教A版高中数学必修四第三章三角恒等变换《3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式》同步测试题

2019-2020年高考数学一轮复习 6.1 两角和、差的正弦、余弦、正切教案 新课标一、知识回顾（一）两角和与差公式()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=± ()βαβαβαsin sin cos cos cos μ=± ()βαβαβαtan tan 1tan tan tan μ±=± （二）倍角公式 ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=注：倍角公式揭示了具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律，可实现函数式的降幂的变化。

注：（1）两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型：求值题，化简题，证明题。

（2）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使用”。

（3）掌握“角的演变”规律，如()()()αβαββαβαα-+=-++=,2（4）将公式和其它知识衔接起来使用。

二、例题选讲例1．（1）计算的值；（=）（2）设若则=（ B ）A ．B ．C ．D ．4 例2．已知()(),43tan tan tan tan tan =+⋅--+βααβαβα且求 分析：涉及与及的正切和差与积，通常用正切公式的变形公式。

解：由已知()()βααβαβα+⋅--+tan tan tan tan tan =()()()()43tan tan tan tan tan 1tan tan ==+⋅⋅-+-+ββααβαβαβα 又所以为第三象限角，所以例3．求值：)45tan 1)(44tan 1()2tan 1)(1tan 1(0000++⋅⋅⋅++ 解：由144tan 1tan 44tan 1tan 44tan 1tan 144tan 1tan )441tan(45tan 100000000000=++⇒-+=+==得；21144tan 1tan 44tan 1tan 1)44tan 1)(1tan 1(000000=+=+++=++同理可得；2)43tan 1)(2tan 1(00=++，2)23tan 1)(22tan 1(00=++⋅⋅⋅， 故原式例4．已知),2,4(,41)24sin()24sin(ππααπαπ∈=-⋅+ 1cot tan sin 22--+ααα求的值. 解：法一：直接展开可得；414cos 2141)24sin()24sin(===-⋅+ααπαπ， 又.125),2,4(παππα=∈所以 于是 ααααααααααα2sin 2cos 22cos cos sin cos sin 2cos 1cot tan sin 2222-+-=-+-=--+ .325)3223()65cot 265(cos )2cot 22(cos =---=+-=+-=ππαα 法二：由)24cos()24sin()24sin()24sin(απαπαπαπ+⋅+=-⋅+ ,414cos 21)42sin(21==+=ααπ得 以下同解法一； 例5．设,322sin ,912cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαβα的值； 分析：观察已知角和所求角，可作出⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+βαβαβα222，然后利用余弦的倍角公式求解。

3. 1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教材分析本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章的兴趣，理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。

二、教学目标⒈掌握两角和与差公式的推导过程；⒉培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力； ⒊发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质。

三、教学重点难点重点：两角和与差公式的应用和旋转变换公式；难点：两角和与差公式变aSina ＋bCosa 为一个角的三角函数的形式。

四、学情分析 五、教学方法1．温故、推新，循序渐进，以学生为主体逐步掌握本节知识要点 2．学案导学：见后面的学案。

3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备 多媒体课件七、课时安排：1课时 八、教学过程（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦ 让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-． 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-．注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．（二）例题讲解例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===，3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ，于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 44455πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两结果一样，我们能否用第一章知识证明？3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、sin 72cos 42cos72sin 42-oooo；（2）、cos 20cos70sin 20sin 70-oooo；（3）、1tan151tan15+-oo． 解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.（1）、()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==ooooo oo； （2）、()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==o o o o o o o ；（3）、()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 601tan151tan 45tan15++==+==--o o oo o o o o o．例3x x解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)()1cos sin 30cos cos30sin 3022x x x x x x x ⎫-=-=-=-⎪⎪⎭o o o思考：=余弦分别等于12和2的.（三）反思总结，当堂检测。

第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式一、教材分析《两角差的余弦公式》是人教A 版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。

本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。

二、教学目标1、知识与技能：.引导学生建立两角差的余弦公式。

通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。

2、过程与办法：在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。

3、情感，态度与价值观：通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。

三、教学重点难点重点： 两角差余弦公式的探索和简单应用。

难点： 探索过程的组织和引导。

四、学情分析之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，在此基础上，要考虑如何利用任意角αβ，的正弦余弦值来表示cos()αβ-，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。

五、教学方法1.自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式。

2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程。

3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距 六、课前准备1.学生准备：预习《两角差的余弦公式》，理解两种方法的推理过程。

2.教师准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

七、课时安排：1课时 八、教学过程（一）创设情景，揭示课题以学校教学楼为背景素材（见课件）引入问题。

并针对问题中的0cos15用计算器或不用计算器计算求值，以激趣激疑，导入课题。

教师问：想一想: 学校因某次活动的需要,需从楼顶的C 点处往该点正对的地面上的A 点处拉一条钢绳,为了在购买钢绳时不至于浪费,你能算一算到底需要多长钢绳吗?(要求在地面上测量,测量工具:皮尺,测角器)问题：（1）能不能不用计算器求值 ：0cos 45 ，0cos30 ，0cos15 （2）0cos(4530)cos 45cos30-=-是否成立？设计意图：由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的兴趣，和抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。

两角和与差的正弦、余弦、正切公式考纲要求：① 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．② 能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．③ 能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．知识梳理)_____(__________)cos()_____(__________)cos(.1φαβαβαβα+-=+=-C C ，)_____(__________)sin()_____(__________)sin(.φαβαβαβα+-=+=-S S ，)_____(__________)tan()_____(__________)tan(.φαβαβαβα+-=+=-T T ，前面4个公式对任意的αβ都成立，而后面的两个公式成立的条件是,,2,Z k k ∈+≠ππβα且满足）（βαππβα+∈+≠+T Z k k ,,2，满足）（βαππβα-∈+≠-T Z k k ,,2否则不成立,当βαtan tan 、)tan(βα±的值不存在时，不能用)(βα±T 处理有关的问题应改用诱导公式或其它方法来解决。

2.要辩证的看待和角与差角，根据需要，可以进行适当的变换：)()(2,)(βαβααββαα-++=-+=)()(2αββαα--+=等等3.在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等如)(βα±T 可变形为：1)tan(tan tan )tan(tan tan 1tan tan ),tan tan 1)(tan(tan tan ---=++-=±=±βαβαβαβαβαβαβαβα 4.222222sin ,cos ,)(sin(cos sin b a b ba ab a x b a x b x a y +=+=++=+=θθθ为常数）其中典型例题：题型一、求值问题 例1.设12cos(),sin(),,0292322βαππαβαπβ-=--=<<<<且， 求cos()2αβ+的值。