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高二数学平面向量数量积的物理背景及含义4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：两个非零向量夹角的概念：已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ叫ａ与ｂ的夹角.说明：当θ＝０时，ａ与ｂ同向；当θ＝π时，ａ与ｂ反向；当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0180两向量共线的判定练习若a=，b=，且a∥b，则y=A.6B.5c.7D.8若A，B，c三点共线，则xA.-3B.-1c.1D.3力做的功：=|F||s|cos F与s的夹角.二、讲解新课：．平面向量数量积的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos a b，即有a b=|a||b|cos.并规定0向量与任何向量的数量积为0.1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos.两个向量的数量积称为内积，写成a b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“•”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.在实数中，若a0，且a b=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且a b=0，不能推出b=0.因为其中cos0.已知实数a、b、c，则ab=bc a=c.但是a b=b ca=c 如右图：a b=|a||b|cos=|b||oA|，b c=|b||c|cos =|b||oA|a b=b c但a c在实数中，有c=a，但是c a显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a与c不共线.．“投影”的概念：作图定义：|b|cos b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；0；=0|b|=180|b|.．向量的数量积的几何意义：数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos .探究：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，a b a b=0当a与b同向时，a b=|a||b|；当a与b反向时，a b=|a||b|.特别的a a=|a|2或|a b|≤|a||b|cos=探究：平面向量数量积的运算律．交换律：a b=b a证：设a，b a b=|a||b|cos ba=|b||a|cos a b=b ab==a证：若>0b=|a||b|cos=|a||b|cos a=|a||b|cos若<0b=|a||b|cos=|a||b|=|a||b|cos=|a||b|cosa=|a||b|cos=|a||b|=|a||b|cos.．c=a c+b c在平面内取一点o，作=a，=b，=c，∵a+b在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即|a+b|cos=|a|cos 1+|b|cos 2∴|c||a+b|cos=|c||a|cos1+|c||b|cos2，∴c=c a+c b c=a c+b c说明：一般地，с≠ａａ•с＝ｂ•с，с≠0ａ＝ｂ有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，＝ａ•с＋ａ•ｄ＋ｂ•с＋ｂ•ｄ三、讲解范例：例1．证明：２＝ａ２＋２ａ•ｂ＋ｂ２例2．已知|a|=12，|b|=9，，求与的夹角。
平面向量数量积的物理背景及其含义一、教材分析本节课选自人教版高中数学必修4第二章、第4节第1课时。
以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知识联系起来；向量数量积与向量的长度及夹角的关系；进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律。
它是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。
二、学情分析学生作为初学者不清楚向量数量积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然，以及对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用。
利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量学生容易混淆。
由向量的线性运算迁移、引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任务，激发学生的学习兴趣和求知欲望。
三、教材重点和难点重点：平面向量的数量积的概念和性质；平面向量数量积的运算律的探究及应用。
难点：平面向量的数量积的定义及对运算律的探究、理解；平面向量数量积的灵活应用。
四、教学目标知识与技能目标：（1）阐明平面向量数量积的含义及其物理意义；（2）概述向量数量积的性质和运算律，会求平面向量数量积的运算；（3）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系。
过程与方法目标：通过体验数量积定义的形成过程，体会从特殊到一般的数学思想。
借助实数积的运算律推算出数量积的运算律，体会了类比的思想。
情感态度与价值观目标：通过本节课的学习，获得了从特殊到一般的能力，形成了学习的主动性和合作交流的学习习惯。
六、教学过程[情景1]问题 回忆物理中“功”的计算，它的大小与哪些量有关？结合向量的学习你有什么想法？若一个物体在力F 的作用下产生的位移为S ，那么力F 所做的功W 等于多少？[设计意图]以物理问题为背景，初步认识向量的数量积，为引入向量的数量积的概念做铺垫。
平面向量数量积的物理背景及其含义在我们的日常生活中，有些东西就像水和空气，虽然看不见，但却无时无刻不在影响着我们。
就拿平面向量的数量积来说吧，听起来可能有点儿复杂，其实它就是一种简单又有趣的概念，来，咱们一起聊聊这件事。
想象一下，你在操场上跟朋友打篮球。
你投篮的时候，用力的角度、力量的大小，都会影响到篮球的飞行轨迹。
数量积就像是你在这场游戏里的秘密武器，能帮助你理解这股力量和方向的结合。
简单点说，数量积就是把两个向量结合在一起，得出一个数值，告诉你这两个向量之间的关系。
比如，力的方向和移动的方向，如果你力气大但方向错了，那球就算飞得再快，也未必能进篮。
这就好比你走路的时候，前面有个障碍，你必须调整自己的方向，不然就撞上去了。
再举个例子，你在海边晒太阳，风在吹，你的沙滩椅子被风推得摇摇晃晃。
这个时候，你得考虑风的方向和力量，才能舒服地躺在那里。
如果你朝着风的方向靠，就算风再大，也不会把你推倒。
数量积就像是这个时候的指南针，告诉你该如何调整自己，才能迎风而行。
这种感觉真的是妙不可言，恰如其分。
说到这里，你可能会想，这个数量积到底有什么用呢？嘿，别小看它。
它在物理学、工程学和计算机科学中，都起着至关重要的作用。
拿物理来说，力和位移的数量积，能直接帮我们算出做功的大小。
这就意味着，咱们可以通过简单的计算，明白做事情的效率。
想想看，如果你在搬家，要搬一个重重的箱子，你使出的力气和箱子移动的方向正好一致，结果就是一口气就能把它搬上车。
但要是你使力的方向偏了，可能搬半天也没动，这可就太尴尬了。
再看看工程领域，设计师们在绘制建筑图纸的时候，数量积也能大显身手。
想要确保建筑的稳定性和安全性，设计师得考虑每一个结构的受力情况。
而数量积恰好能帮助他们判断，哪个方向的力量最大，从而做出最好的设计选择。
这就像是在搭积木，搭得越稳，玩得越开心。
再说计算机科学，这可是个神奇的领域。
机器学习、计算机图形学中，数量积用得相当频繁。
《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学设计说明
一、本课内容的本质、地位、作用分析
本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书A版必修4，第二章《平面向量》的第4节《平面向量的数量积》的第一课时《平面向量数量积的物理背景及其含义》。
数量积是继向量的线性运算（加法、减法、向量的数乘）后的又一种新的运算，它的内容很丰富，包括定义、几何意义、性质与运算律，而且在物理和几何中具有广泛的应用。
它与向量的线性运算有着本质的区别，运算结果是一个数量。
数量积为解决有关几何问题提供了方便，可以利用平面向量的数量积求解向量的模及向量的夹角，解决线段的垂直问题。
二、教学目标分析
《普通高中课程标准（实验）》对本节课确立的目标有三条：
（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系；
（3）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
由此可看出，数量积的概念是本节课的重点。
为了让学生能够接受并理解重点内容，首先，让学生回忆所熟悉的物理中的做功问题，启发、引导学生将其看做两个向量的运算，从而引入平面向量的数量积的定义。
其次，数量积是一种向量间的新的运算，学习它的性质及运算律，不仅能够让学生更加深刻理解概念，同时也是进行相关计算和判断的理论依据。
第三，学习一种新的运算，不仅要理解概念，还要运用它解决数学问题。
最后，本节课是一节双语课，双语教学是我校的外语特色，体现了教育要面向世界，面向未来的理念，双语教学培养学生的跨文化意识与双思维，有助于学生理解该学科的新理念，接受世界文化的熏陶，使学生的综合素质全方面的提高，成为双语复合型人材。
综上所述，结合“课标”要求和我对本节课的认识，将教学目标确定为：
1.理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义；
2.掌握平面向量数量积的性质与运算律；
3.会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角，会用数量积判断两个
平面向量的垂直关系；
4. 以数学知识的教学为载体，为学生创造学习数学英语知识的环境，进而了解数学专业术语的英语表示，能用英语进行数学方面的交流，培养学生的跨文化意识与双思维，提高英语理解能力。
三、 教学问题诊断及解决策略
课堂教学要充分考虑到课堂可能出现的问题，即备课很重要的一点就是"备学生"。
本节课是第二章的第4节内容，在此之前学生们已经理解了向量的概念，对向量的加法、减法与向量的数乘运算应该比较熟练，并且熟知物理中的“功”的内容。
因此由做功问题引入平面向量的数量积有利于学生接受这一新的概念。
在本节课的学习过程中，我分析学生可能会在以下几方面存在问题或困难：
1.投影的概念部分学生可以明白，但在具体计算投影时会分不清楚用哪个向量的模乘以夹角的余弦值，因此在课件中展示“灯光照射”的图片，便于学生理解记忆；
2.数量积的性质的最后一条⑤a b a b ⋅≤（等号什么时候取得？）学生可能
会把左边部分读作模，因此我在点评时会突出数量积的结果是一个数量，要读作绝对值，而右边对于向量而言读作模。
3.数量积的运算律是在学生的合作探究活动中完成，①a b
b a ⋅=⋅较容易证
明；但②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅，③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅的证明有难度，我在
巡视中会对学生进行引导，让学生联系本节课所学的新知识（数量积的定义与它的几何意义）。
活动后由学生讲解完成①②的证明，③由师生共同完成。
4.在例题学习后的合作探究活动中，部分同学会想不出求解的方法，我在巡视过程中可以给学生提示并引导，由学生讲解，然后我点评时会归纳这一类问题的求解方法。
四、 教法特点及预期效果分析
教法特点：数学教学是数学活动的教学，是师生之间，学生之间交流互动与共同发展的过程。
本节课我不断设置问题，步步推进教学过程，使学生在有效问题的驱动下进行积极思考、探究，调动了学生的积极性。
学生在自主探究与合作探究中动手动脑，获取知识，感悟数学，充分体现学生的主体地位，教师成为课
堂活动的组织者、引导者与合作者。
课堂教学中，我制作了课件，合理地利用多媒体，及实物投影仪，提高了教学的效率与质量。
预期效果分析：通过本节课的学习，学生理解了数量积的定义、投影的定义与数量积的几何意义，并掌握数量积的性质与运算律，能够利用数量积求解向量的模与夹角问题，并会利用数量积判断向量或线段的垂直。
同时，本节课是一节双语课，在学生学会数学知识的同时，了解了相关的英语专业词汇，并且在新知学习的过程中使用，学生的英语理解能力得到提高。
