最新自主招生数学解读(二)PPT课件

第十八讲 解析几何II【考点说明】解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分，也是高考与自主招生常见新颖题的板块，各种解题方法在解析几何这里得到了充分的展示，尤其是平面向量与解析几何的融合，提高了综合性，形成了题目多变、解法灵活的特色。

【知识引入】一．椭圆中的经典结论：1.点000()P x y ，在椭圆上22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=． 2.点000()P x y ，在椭圆上22221x y a b+=外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为12P P 、，则切点弦12PP 的直线方程是00221x x y ya b+=． 3.椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左右焦点分别为12F F 、，点P 为椭圆上一点，12F PF α∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan 2F PF S b α∆=．二．双曲线中的经典结论：1.点000()P x y ，在双曲线上22221x y a b-=（0a b＞0，＞）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=． 2点000()P x y ，在双曲线上22221x y a b-=（0a b＞0，＞）外，则过0P 作双曲线的两条切线切点为12P P 、，则切点弦12PP的直线方程是00221x x y ya b-=． 3.双曲线22221x y a b-=（0a b ＞0，＞）的左右焦点分别为12F F 、，点P 为双曲线上一点，12F PF α∠=，则双曲线的焦点三角形的面积为122tan2F PF S b α∆=．三．抛物线：1.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的一条弦AB , 记准线与x 轴交点为E ，AE BE、分别交y 轴于P Q 、两点，则： 0AE BE EF PEQ K K ∠⇔+=线段平分角2.端点坐标积恒定：过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线于1122(,)(,)A x y B x y 、 ，则：(1)2124p x x =，212y y P =- ； (2) p FB FA 211=+ 。

创知路自主招生数学创知路自主招生数学课程标题：创知路自主招生数学课程分类：中考高考关键词创知路自主招生数学• 1.函数的奇偶性与对称性•2.函数的单调性•3.函数的周期性•5.恒成立问题2•4.恒成立问题•6.多项式函数•7.二次函数及其性质•8.函数方程数列•1.等差数列与等比数列•2.线性特征根法•3.分式特征根法•4.求复杂通项公式•5.求复杂通项公式2•6.求复杂通项公式3•7.数列求和裂项法•8.数列求和的具体应用•9.数列求和错项相消三角函数•1.反三角函数•2.和差化积和积化和差•3.三倍角公式•4.点鞭炮公式•5.三角恒等式•6.三角中的线性方程•7.三角函数的化简问题•8.三角函数的最值问题•9.特殊值的代换•10.三角形中的三角函数平面向量与复数•1.向量的定比分点公式•2.复数的基本概念•3.复数的共轭与模•4.复数中的三角不等式•5.棣莫弗公式•7.单位根•6.棣莫弗公式的应用•8.解复数方程-•9.多项式函数复数根•10.复数旋转求坐标•11.复数三角形的应用•12.三角函数对称形式不等式•1.均值不等式-创知路自主招生数学•2.柯西不等式-创知路自主招生数学•3.琴生不等式-创知路自主招生数学•4.排序不等式-创知路自主招生数学•5.绝对值不等式与伯努利不等式-创知路自主招生数学•6.作差作商与图像法-创知路自主招生数学•7.函数法-创知路自主招生数学•8.反证法与二项式法-创知路自主招生数学•9.数学归纳法-创知路自主招生数学•10.调整法-创知路自主招生数学解析几何•1.圆锥曲线第二定义1-创知路自主招生数学•2.圆锥曲线的第二定义2-创知路自主招生数学•3.直线参数方程•4.圆锥曲线参数方程-创知路自主招生数学•韦达定理2-创知路自主招生数学•韦达定理1-创知路自主招生数学•圆锥曲线的切线问题-创知路自主招生数学•5.圆锥曲线的极坐标•6.圆锥曲线的切线•7.解析几何极值问题•8.面积问题1•11.单元最值问题•12.多元最值问题•9.面积问题2•10.定值问题排列组合与概率•1.排列组合基本知识-创知路自主招生数学•2.容斥原理-创知路自主招生数学•3.重复元素排列圆排列-创知路自主招生数学•4.捆绑,插空,定序-创知路自主招生数学•5.隔板法-创知路自主招生数学•6.平均分组问题•7.正难则反问题•8.染色几何问题•9.概率基础知识•10.概率递推初等数论•1.整除-创知路自主招生数学•2.最大公约数与互素-创知路自主招生数学•3.素数-创知路自主招生数学•5.同余-创知路自主招生数学•4.最小公倍数-创知路自主招生数学•6.不定方程-创知路自主招生数学•7.数论综合练习-创知路自主招生数学平面几何•1.割补法构造全等三角形-创知路自主招生数学•2.三角形的五心1-创知路自主招生数学•3.三角形的五心2-创知路自主招生数学•4.塞瓦定理-创知路自主招生数学•5.平面几何解析法-创知路自主招生数学•6.梅涅劳斯定理1-创知路自主招生数学•8.旋转的应用1-创知路自主招生数学•7.梅涅劳斯定理2-创知路自主招生数学•9.旋转的应用2-创知路自主招生数学•10.截长补短1-创知路自主招生数学•11.截长补短2-创知路自主招生数学•12.对称变换1-创知路自主招生数学•13.对称变换2-创知路自主招生数学•14.托勒密定理-创知路自主招生数学•15.托勒密定理的应用-创知路自主招生数学组合数学•1.极端原理-创知路自主招生数学•2.抽屉原理-创知路自主招生数学•3.不变量-创知路自主招生数学•4.算两次-创知路自主招生数学•5.染色与配对•6.组合最值问题•7.组合构造•8.组合奇偶性•9.图论函数与导数1.函数的奇偶性与对称性2.函数的单调性3.函数的周期性5.恒成立问题24.恒成立问题6.多项式函数7.二次函数及其性质8.函数方程数列1.等差数列与等比数列2.线性特征根法3.分式特征根法4.求复杂通项公式5.求复杂通项公式26.求复杂通项公式37.数列求和裂项法8.数列求和的具体应用9.数列求和错项相消三角函数2.和差化积和积化和差1.反三角函数3.三倍角公式4.点鞭炮公式5.三角恒等式6.三角中的线性方程7.三角函数的化简问题8.三角函数的最值问题9.特殊值的代换10.三角形中的三角函数平面向量与复数1.向量的定比分点公式2.复数的基本概念3.复数的共轭与模4.复数中的三角不等式5.棣莫弗公式7.单位根6.棣莫弗公式的应用8.解复数方程-9.多项式函数复数根10.复数旋转求坐标11.复数三角形的应用12.三角函数对称形式不等式1.均值不等式-创知路自主招生数学2.柯西不等式-创知路自主招生数学3.琴生不等式-创知路自主招生数学4.排序不等式-创知路自主招生数学5.绝对值不等式与伯努利不等式-创知路自主招生数学6.作差作商与图像法-创知路自主招生数学7.函数法-创知路自主招生数学8.反证法与二项式法-创知路自主招生数学9.数学归纳法-创知路自主招生数学10.调整法-创知路自主招生数学解析几何1.圆锥曲线第二定义1-创知路自主招生数学2.圆锥曲线的第二定义2-创知路自主招生数学3.直线参数方程4.圆锥曲线参数方程-创知路自主招生数学韦达定理2-创知路自主招生数学韦达定理1-创知路自主招生数学圆锥曲线的切线问题-创知路自主招生数学5.圆锥曲线的极坐标6.圆锥曲线的切线7.解析几何极值问题8.面积问题111.单元最值问题12.多元最值问题9.面积问题210.定值问题排列组合与概率1.排列组合基本知识-创知路自主招生数学2.容斥原理-创知路自主招生数学3.重复元素排列圆排列-创知路自主招生数学4.捆绑,插空,定序-创知路自主招生数学5.隔板法-创知路自主招生数学6.平均分组问题7.正难则反问题8.染色几何问题9.概率基础知识10.概率递推初等数论1.整除-创知路自主招生数学2.最大公约数与互素-创知路自主招生数学3.素数-创知路自主招生数学5.同余-创知路自主招生数学4.最小公倍数-创知路自主招生数学6.不定方程-创知路自主招生数学7.数论综合练习-创知路自主招生数学平面几何1.割补法构造全等三角形-创知路自主招生数学2.三角形的五心1-创知路自主招生数学3.三角形的五心2-创知路自主招生数学4.塞瓦定理-创知路自主招生数学5.平面几何解析法-创知路自主招生数学6.梅涅劳斯定理1-创知路自主招生数学8.旋转的应用1-创知路自主招生数学7.梅涅劳斯定理2-创知路自主招生数学9.旋转的应用2-创知路自主招生数学10.截长补短1-创知路自主招生数学11.截长补短2-创知路自主招生数学12.对称变换1-创知路自主招生数学13.对称变换2-创知路自主招生数学14.托勒密定理-创知路自主招生数学15.托勒密定理的应用-创知路自主招生数学组合数学1.极端原理-创知路自主招生数学2.抽屉原理-创知路自主招生数学3.不变量-创知路自主招生数学4.算两次-创知路自主招生数学5.染色与配对6.组合最值问题7.组合构造8.组合奇偶性9.图论。

第一讲.方程与多项式知识要求1.因式分解方法2.待定系数方法 3．对称参引方法 4.构造方法例题分析1. 解不等式(1)(2)(3)(4)24.x x x x ----≥ （2009年南京大学）2. 3.= （2005年复旦大学保送生试题） 相关习题（1）.已知1x y +=，n 为正整数，求证：22122.nn n xy -+≥ （2009年清华大学）（2）已知a 、b 为非负实数，44M a b =+，且1a b +=，求M 的最值.（2006年清华大学）3.设实数9k ≥，解方程32229270.x kx k x k ++++= （2006年复旦大学保送生） 相关习题（1）.已知方程3210x px qx +++=有3个实根，0p >且0q >.求证：9.pq ≥（2008年南开大学）（2）.设,,a b c ∈R ，使得方程320x ax bx c +++=有3个实根. 证明：如果20a b c -≤++≤，则至少存在一个根在区间[0,2]中.（2013年清华大学夏令营）4.已知方程320x ax bx c +++=的三个根分别为a ，b ，c ，并且,a ，b ，c 是不全为零的有理数，求a ，b ，c 的值. （2005年上海交通大学） 相关习题（1）.是否存在实数x ，使得tan x 和cot x + （2009年北京大学）（2是一个无理数. （2008年复旦大学面试） 5.设实数1a 、2a 、3a 、1b 、2b 、3b 满足123123122331122331123123,,min{,,}min{,,}.a a ab b b a a a a a a b b b b b b a a a b b b ++=++⎧⎪++=++⎨⎪≤⎩求证：123123max{,,}max{,,}.a a a b b b ≤ （2008年北京大学） 6.（1）证明：多项式3()31p x x x =-+有三个实根a b c <<；（2）证明：若x t =为()p x 的一个根，则22x t =-也是()p x 的一个根； （3）定义映射:{,,}{,,}f a b c a b c →，22tt -，求()f a ，()f b ，()f c 的值.（2013年清华大学金秋营）7.给出一个整系数多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，使()0f x =有一个根为（2009年清华大学）相关习题（1）.已知x =42()f x x bx c =++的一个零点，,b c 为整数，则b c +的值是多少？ （2013年清华大学夏令营） （2）.和1n 次方程的最高次数n 的最小值为（ ）A.2B.3C.5D.6 （2013年北约）第二讲．数学逻辑知识要求1.反证法2.数形结合方法3.不动点问题例题分析1. 是否存在四个正实数，它们两两乘积分别为2，3，5，6，10，16.（2011年北约十三校联考）相关习题（1）.是否存在π02x <<，使得sin x ，cos x ，tan x cot x 的某种排列为等差数列？ （2010年北约）（2）是否存在两两不同的实数,,a b c 使平面直角坐标系中的三条直线y ax b =+，y bx c =+，y cx a =+共点. （2013年北京大学保送生）2.已知由正整数组成的无穷等差数列中有3项：13，25，41，求证：2009为其中一项.（2009年北京大学）相关习题（1）. 已知12310,,,,a a a a 为大于零的正实数，且1231030a a a a ++++=，1231021a a a a <.求证：12310,,,,a a a a 这10个数是必有一个数在(0,1)之间.（2012年北京大学保送生）（2）已知正数数列12,,,n a a a .对于大于的整数n ，有1232n a a a n +++=，1212n n a a a +=，试证：12,,,n a a a 中至少有一个小于1. （2000年上海交通大学）（3）已知i a （1,2,,2013i =）为2013个实数，满足：1220130a a a +++=，且122320131|2||2||2|a a a a a a -=-==-，求证：1220130.a a a ==== （2013年北约）3.至多能取多少个两两不同的正整数，使得其中任意三个数的和为质数？证明你的结论.（2013年北约）相关习题（1）在1、2、3、…、2012中任取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，则所取的这组数中最多有多少个数？ （2012年北约） （2）写出由3个质数组成的公差为8的等差数列. （2009年清华大学） 4. 有限多条抛物线（线和线的内部）能够覆盖整个平面吗？证明你的结论.（2009年清华大学特色测试）5. 设p ，q 为实数，函数2()f x x px q =++，如果(())0f f x =只有一个实数根， 求证：p ，0.q ≥ （2011年北京大学保送生试题） 相关习题（1）. 已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且()f x x =没有实数根.那么(())f f x x =是否有实数根？并证明你的结论. （2008年上海交通大学冬令营） （2）.证明：若(())f f x 有唯一的不动点，则()f x 也有唯一的不动点.（2009年上海交通大学）6.已知方程()f x x =的根是函数()f x 的不动点，令().bx cf x x a+=+ （1）若12，3为函数()f x 的不动点，求a ，b ，c 的值； （2）在（1）的条件下，若1(1)3f =，求()f x 的解析式. （2003年同济大学）相关习题（1） .已知a 、b 、c 、d 为非负实数，()ax bf x cx d+=+()x ∈R ，且(19)19f =，(97)97f =，若dx c≠-，对任意的x 均有(())f f x x =，试求出()f x 值域以外的唯一数. （2013年清华大学夏令营）7.求证：一个数列12321,,,,n a a a a +中各数相等的充分必要条件是p ：其中任意2n 个元素中n 个元素之和等于另外n 个元素之和. （2009年清华大学）第三讲．集合与函数知识要求1.注重理解集合的基础知识2.掌握柯西方法及柯西方程的转化3.注意函数性质拓展与深化，注意导数工具的作用4.了解极限的概念典型例题1.已知集合225{(,)(1)(2)}4A x y x y =-+-≤，集合{(,)|1|2|2|}B x y x y a =-+-≤， 且A B ⊆，求实数a 的取值范围. （2008年浙江大学） 相关习题（1）已知集合{(,)|(1)(1)}M x y x x y y =-≤-，22{(,)|}N x y x y k =+≤.若M N ⊂，则实数k 的最小值为 （2009年上海交通大学）2. 设{|()}M x f x x ==，{|(())}.N x f f x x == （1）求证：.M N ⊆（2）当()f x 是一个R 上增函数时，是否有?M N =如果有，请证明.（2010年浙江大学）3. 求有限集合12{,,,}n A a a a =，其中12,,,n a a a 为互不相等的正整数，使得1212.n n a a a a a a =++ （2009年上海交通大学、2006年清华大学）相关习题（1）求所有满足tan tan tan [tan ][tan ][tan ]A B C A B C ++≤++的非直角ABC ∆. 这里[]x 表示不大于x 的最大整数（例如[ 1.62]-=-，[1.6]1=）.（2009年南京大学保送生）（2）方程1111x y z++=的所有正整数解(,,)x y z = （2012年清华大学保送生）（2003年上海交通大学冬令营）4. 对于集合2M R ⊆，称M 为开集，当且仅当0P M ∀∈，0r ∃>，使得20{||}}.P R PP r M ∈<⊆判断集合{(,)4250}x y x y +->与{(,)0,0}x y x y ≥>是否为开集，并证明你的结论. （2007年清华大学） 相关习题（1）. 称{1,2,39}，，的某些非空子集为奇子集，如果其中所有数的和为奇数；则共有多少个奇子集？ （2013年北京大学保送生） 5. 已知当1α>时，函数y x α=（0α>）的图象如图所示.（1）设1α>，试用y x α=（0α>）说明，当10x >，20x >时，不等式1212()22x x x x ααα++≤ ○1 成立. （2）利用（1）中不等式证明：若0s t <<，则对任意的正数1x 、2x ，不等式111212()()22s s t t s tx x x x ++≤ ○2 成立. （3）当0x >、0y >且332216x y +=时，求22x y +的最小值.（2010年华中师范大学）6. （柯西方程）设()f x 在R 上单调，对12,x x R ∈有1212()()()f x x f x f x +=+ ○1 则()(1).f x f x =⋅ 相关习题（1）. 若函数()f x 满足()()()()f x y f x f y xy x y +=+++且(0)1f '=，求函数()f x 的解析式. （2000年上海交通大学）（2） 若对每一个实数x ，y ，函数()f x 满足()()()1f x y f x f y xy +=+++，若(2)2f -=-，试求满足()f a a =的所有整数.a （2013年清华大学夏令营）7.已知函数()f x 满足：对实数a ，b 有()()()f ab af b bf a =+，且|()|1f x ≤， 求证：()0f x ≡.（可用以下结论：若lim ()0x g x →+∞=，|()|f x M ≤，M 为一常数，那么lim ()()0x f x g x →+∞=）（2006年清华大学）相关习题（1）. 设()f x 对一切实数x ，y 满足：222()()()()f x y x f y y f x x y =+-，且2|()| 1.f x x -≤求函数().f x （2007年南京大学）（2）求所有的**:f →N N ，满足22()()()()xf y yf x x y f x y +=++对所有的正整数x ，y 都成立. （2013年中国科技大学夏令营）8.方程e 4xx =-，ln 4x x =-的解分别为1x ，2x ，则12x x +=（ ）A.2B.4C.6D.8 （2013年复旦大学） 相关习题（1）实数a ，b 满足lg 10a a +=，1010bb +=，则a b +=_________（2009年上海交通大学）9.（1）已知函数()f x 不恒为0，且对,x y ∀∈R ，有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=，若存在常数T ，使得()0.f T =求证：4T 是()f x 的一个周期，且1() 1.f x -≤≤（2013年华东师范大学）相关习题（1）已知函数()f x 满足1(1)4f =，4()()()()(,)f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则(2010)f ＝ （2010年高考重庆卷）（2）定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（,x y R ∈），且(1)2f =，则(3)f -=（ ）A.2B.3C.6D.9 （2008年陕西卷） 10. 已知函数()f x 在[0,)+∞上可导，且满足(0)0f =，|()()| 1.f x f x '-≤证明：当[0,)x ∈+∞时，|()|e 1.xf x ≤- (2012山东大学) 11. （1）设函数()|lg |,,f x x a b =为实数，且0a b <<，若,a b 满足：()()2()2a bf a f b f +==，试写出a 与b 的关系，并证明在这一类关系中存在b 满足3 4.b << （2002上海交通大学）相关习题（1）已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若a 、b 、c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ）A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)（2010年全国课标卷）（2）已知函数()|lg |.f x x =若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是（ ）A.)+∞B.)+∞C.(3,)+∞D.[3,)+∞ （2010年全国I 卷） 12.是否存在这样的实数a ，使得()sin f x ax x =+存在两切线相互垂直.（2011年北京大学保送生）13.求证：方程2270x x --=只有5x =一个根. （2008年南开大学） 14. 设0x >，（1）求证：21e 12xx x >++； （2）若21e 1e 2xyx x =++，求证：0.y x << （2013年卓越） 15.已知()(1)e 1.xf x x =-- （1）求证：当0x >时，()0f x <； （2）若数列{}n x 满足1e1n x n x +=-，11x =，求证：数列{}n x 单调递减，且1.2n x > （2013年华约） 相关习题（1）.已知e 1()ln x f x x-=，11a =，1()n n a f a +=.（i ）求证：e e 10xxx -+≥恒成立； （ii ）试求()f x 的单调区间；（iii ）求证：{}n a 为递减数列，且0n a >恒成立. （2012年清华大学保送生）第四讲．三角函数知识要求1.三角公式的灵活运用2.了解布洛卡点3.合理运用平面几何知识解决三角形问题典型例题1. 已知sin(20)cos(10)cos(10)x x x +=++-，求ta n x 的值. （2010年浙江大学） 相关习题（1）. 求值：444sin 10sin 50sin 70.++ （2010年清华大学）（2）. 比较1)sin cos 22x y x y -+与1的大小. （2013年清华大学夏令营） 2.. 在单位圆221x y +=上有三点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y 满足：1230x x x ++=，1230.y y y ++=求证：2222221231233.2x x x y y y ++=++=（2011年北京大学保送生）3. 已知方程sin4sin2sin sin3x x x x a -=在[0,)π有唯一解，求实数a 的值.（2012年北约）相关习题（1）方程2(sin cos )30x x ++=是否有解？若有解，求出所有的解；若无解，说明理由.（2009年清华大学）4.在ABC ∆内存在一点O ，满足BAO CAO CBO ACO ∠=∠=∠=∠，求证：ABC ∆的三边构成等比数列. （2011年北京大学保送生）5.设函数()|sin ||cos |f x x x =+，讨论函数()f x 的性质（有界性、奇偶性、单调性、周期性等），并求出极值. （2007年上海交通大学） 相关习题（1）. .函数()2(sin 2sin3f x x x x =-，且[0,2].x π∈ （i ）求函数()f x 的最大值与最小值；（ii ）求方程()f x =. （2012年清华大学保送生试题）6. 求证：边长为1 （2008年北约）相关习题（1）. 设,,A B C 为边长为1的三角形三边长上各一点，求222AB BC CA ++的最小值.（2013年北约联考）（2）一个圆内接四边形的四个边长依次为1，2，3，4，求这个圆的半径.（2009年北京大学）7.已知ABC ∆不是直角三角形.(1)证明:tan tan tan tan tan tan .A B C A B C ++=⋅⋅(2)若tan tan 1tan B CC A+-=，且sin 2A 、sin 2B 、sin 2C 的倒数成等差数列，求cos2A C-的值. (2011年华约七校联考) 相关习题63 .在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 已知()(sin sin )()sin .a c A C a b B -+=- （1）求角C 的大小；（2）求sin sin A B 的最大值. （2013年卓越） 8. 设,,,a b A B 均为已知实数，对任意x ∈R ，cos2sin2cos sin 1A x B x a x b x +++≤恒成立，求证：222a b +≤且221.A B +≤ （第19届IMO ）（2009年哈尔滨工业大学） 相关习题（1）.已知对任意x 均有cos cos21a x b x +≥-恒成立，求a b ω=+的最大值.（2009年北京大学）第五讲．等式与不等式知识要求1.研究等式成立的条件，并进行求值；2.掌握不等式的解法3.掌握几个重要的不等式，如平均值不等式、柯西不等式、排序不等式、琴生不等式等典型例题1..已知1abc =-，221a bc c+=，222a b b c c a t ++=，求555ab bc ca ++的值. （2013年清华大学保送生试题）相关习题（1）已知225x y =+，225y x =+，求32232x x y y -+的值. （2013年北约）2. 若α、β、π(0,)2γ∈，且222cos cos cos 1.αβγ++=求证：tan tan tan αβγ⋅⋅≥ （2013年中国科技大学夏令营） 相关习题（1）有小于1的正数：12,,,n x x x 满足12 1.n x x x +++=求证：33311221114.n nx x x x x x +++>--- （2010年浙江大学） 3. 求证：对任意的,x y R ∈，不等式223(1)x xy y x y ++≥+-总成立.（2009年中国科技大学）4.. 设12342x x x x ≥≥≥≥，且2341.x x x x ++≥求证：212341234()4.x x x x x x x x +++≤ （2013年清华大学夏令营）相关习题（1）. 已知*n ∈N ， 2.n ≥求证：1(1) 3.nn+< （2013年中国科技大学夏令营）5. （1）求证：对于任何实数a ，b ，三个数||a b +、||a b -、|1|a -中至少有一个不小于1.2（2004年同济大学）（2）若对一切实数x 都有|5||7|x x a -+->，则实数a 的取值范围是（ ） A.12a < B.7a < C.5a < D.2a < （2008年复旦大学） 相关习题（1）. 如图，一条公路的两侧有六个村庄，要建一个车站，要求到六个村庄的路程之和最小，应该选在哪里最合适？如果在P 的地方增加了一个村庄，并且沿着地图的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？（2010年浙江大学）（2）. 求()|1||21||20111|f x x x x =-+-++-的最小值. （2011年北约）3.. 若正数,,a b c 1a b c ++=.求证：1111000()()().27a b c a b c ++++≥（2008年南京大学） 相关习题（1）. 设n 为正整数，求证：111(1)(1).1nn nn ++<++ （2008年山东大学）（2）设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：222111()()()a b c a b c+++++的最小值.（2008年南开大学）4. 设P 为ABC ∆内一点，它到三边,,BC CA AB 的距离分别为123,,,d d d S 为ABC ∆的面积，求证：2123().2a b c a b c d d d S++++≥ （2009年南京大学）（1）.在实数范围内求满足方程组2229,4862439.x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩的实数,,x y z 的值.（2008年同济大学） 1A 2A 3A 4A 5A 6A BCD EFP（2）.设实数,,a b c 222323.2a b c ++=求证：3927 1.a b c ---++>（2008年西安交通大学）（3）求函数1()2f x x =(06)x <<的最大值. （2013年中国科技大学夏令营）5. 已知,,0x y z >，3x y z ++=，求证：3232321.x y zx y z y z x z x y++≤++++++ （2013年北京大学“百年数学” 金秋科学体验营）相关习题（1）.已知,,A B C 是锐角三角形ABC ∆的三个内角，求tan tan tan A B C ++的最小值.（2010年北京科技大学）（2）. 已知A 、B 、π(0,)2C ∈，且222sin sin sin 1A B C ++=.求A B C ++的最大值.（2013年清华大学夏令营）6.求实数k 的最大值，使得对于任意正实数x ，y ，z ，均有3333|()()()|.x y z xyz k x y y z z x ++-≥--- （2013年北京大学单独招生）7. 求证：在ABC ∆中，3cos cos cos .2A B C ++≤ （2013年中国科技大学夏令营）。

第十六讲 解析几何二从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。

自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。

在近年自主招生试题中，解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分，也是高考与自主招生常见新颖题的板块，各种解题方法在解析几何这里得到了充分的展示，尤其是平面向量与解析几何的融合，提高了综合性，形成了题目多变、解法灵活的特色。

一、知识精讲一．椭圆中的经典结论：1.点000()P x y ，在椭圆上22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=． 2.点000()P x y ，在椭圆上22221x y a b+=外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为12P P 、，则切点弦12PP 的直线方程是00221x x y ya b+=． 3.椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞的左右焦点分别为12F F 、，点P 为椭圆上一点，12F PF α∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan2F PF S b α∆=．二．双曲线中的经典结论：1.点000()P x y ，在双曲线上22221x y a b-=（0a b ＞0，＞）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=．2点000()P x y ，在双曲线上22221x y a b-=（0a b ＞0，＞）外，则过0P 作双曲线的两条切线切点为12P P 、，则切点弦12PP的直线方程是00221x x y ya b-=． 3.双曲线22221x y a b-=（0a b ＞0，＞）的左右焦点分别为12F F 、，点P 为双曲线上一点，12F PF α∠=，则双曲线的焦点三角形的面积为122tan 2F PF S b α∆=．三．抛物线：1.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的一条弦AB , 记准线与x 轴交点为E ，AE BE 、分别交y 轴于P Q 、两点，则： 0AE BE EF PEQ K K ∠⇔+=线段平分角2.端点坐标积恒定：过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线于1122(,)(,)A x y B x y 、 ，则：(1)2124p x x =，212y y P =- ； (2) p FB FA 211=+ 。