运用导数解决三次函数问题课件

3a 3a
知识点2 切线条数 切点的个数
数学思想方法 数形结合，特殊与一般，化归转化
思考
一般情形的证明
对于对称问题，在函数中讲到了很 多，你能用所学知识证明一般三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0) 的对称中心 是 ( b , f ( b ))的这个结论吗？
3a 3a
g(x) x3 3x2 2x 1 (1,1)
x y20
过对称中心的切线只有1条
上下区域 1条
左右区域 3条
切线上（除对称中心） 2条
曲线上（除对称中心） 2条
一般情形
小结
知识点1 对称中心
三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横 坐标与其导函数顶点的横坐标相同. ( b , f ( b ))
应用导数研究三次函数
图像的对称性及切线条数
湖北省黄冈中学 袁小幼
函数 y x3图像的对称性
函数 y 的x3图像关于（0，0）对称.
三次函数的图像有唯一的对称中心，对称中 心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.
一般三次函数图像的对称性
三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)图像 的对称中心是什么?
f (x) 3ax2 2bx c 3a(x b )2 c b2
3a
3a
( b , f ( b )) 3a 3a
三次函数在对称中心处的切线
函数 g(x) x3 3x2 2x 1 过对称中心 (1,数图像切线条数的探究
同样的，你能证明切线条数的一般 性结论吗？
谢 谢！

3.函数不等式的类型与解法
(1)∀x∈D,f(x)≤k⇔f(x)max≤k;∃x∈D,f(x)≤k⇔f(x)min≤k;
(2)∀x∈D,f(x)≤g(x) ⇔f(x)max≤g(x)min;∃x∈D,f(x)≤g(x) ⇔ f(x)min≤g(x)max.
4.含两个未知数的不等式(函数)问题的常见题型及具体转化策略
(+1)ln
H(x)=
,则
-1
1
=
--2ln
(-1)
2
,
2 -2+1
K'(x)= 2 >0,于是

K(x)在(1,+∞)上单调递增,
所以 K(x)>K(1)=0,于是 H'(x)>0,从而 H(x)在(1,+∞)上单调递增.由洛必达法
(x+1)x
则,可得 lim+
x-1
→1
取值范围是(-∞,2].
第三章
高考大题专项(一) 导数的综合应用
内
容
索
引
01
突破1
利用导数研究与不等式有关的问题
必备知识预案自诊
关键能力学案突破
02
突破2
利用导数研究与函数零点有关的问题
必备知识预案自诊
关键能力学案突破
【考情分析】
从近五年的高考试题来看,对导数在函数中的应用的考查常常是一大一小
两个题目,其中解答题的命题特点是:以三次函数、对数函数、指数函数及
(1)∀x1∈[a,b],x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最小值>g(x)在[c,d]上的
最大值.
(2)∃x1∈[a,b],x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最大值>g(x)在[c,d]上的

①当a=0时，g(x)=-(x-1)2，此时g(x)与x轴只有一个交点.
②当a<0时， >0 <x<1； <0 或x>1，
∴g(x)极大值为g(1)=- >0，
g(x)极小值为g( )= Байду номын сангаас0.
∴当a<0时，g(x)的图像与x轴有三个不同的交点.
如图3.4—21.
③当0<a 1时， <0 <x<1； >0 或x>1，
(注： =0在x M是否有解，应由 的具体的解析式而定)
例3.已知函数f(x)=x3-ax2+(3-2a)x+b在为增函数，求a的最大整数值.
解:∵f(x)为(0，+ )上的增函数，∴ =3x2-2ax+3-2a 0，对x>0恒成立，
只需a min.∵ =
.当且仅当x= 时取等号.∴ min= .
则a 1.242.∴满足条件的a的最大整数值为1.
说明:
(1)当函数f(x)在x=x0处的导数值等于零，则称x=x0f(x)的一个驻点.
(2)当a<0时，可类似研究f(x)=ax3+bx2+cx+d与其导函数 =3ax2+2bx+c的关系.
例1.已知函数f(x)=ax3+2x2+ax+1(a 0)的图像上存在极值点，则a的取值范围.
解:由 =3ax2+4x+a与f(x)的图像的关系知，f(x)的图像上存在极值点对应着 的判别式
g(x)的极大值为g(1)=- <0，
g(x)极小值为g( )= >0.
∴当0<a≤1时，g(x)的图像与x轴只有一个交点图3.4—22.

运用导数解决三次函数问题作者：陈志国来源：《理科考试研究·高中》2014年第01期三次函数及其相关的问题，近年来在各级各类考查试卷中经常出现，其中大部分题型都可利用导数法来求解.本文介绍几种常见类型的求解方法，供参考.一、三次函数的切线例1 已知函数f（x）=x3-x+2，试求过点P（1，2）的曲线y=f（x）的切线方程.解析设切点P0（x0，y0），由f ′（x）=3x2-1，则f ′（x0）=3x20-1，过点P0的方程为y-y0=f ′（x0）（x-x0），即y-（x30-x0+2）=（3x20-1）（x-x0）. 又切线过点P（1，2），则2-（x30-x0+2）=（3x20-1）（1-x0），分解因式得（x0-1）2（2x0+1）=0，解之得x0=1或x0=-12.则f ′（-12）=-14，f ′（1）=2.故所求的切线方程为y-2=-14（x-1）和y-2=2 （x-1）.二、三次函数的单调性例2 已知函数f（x）=x3-ax+b，①若f（x）在实数集R上单调递增，求a的取值范围；②若f（x）在（-1，1）上单调递减，求a的取值范围.解析f ′（x）=3x2-a.①依题意，有3x2-a>0在R上恒成立，即a三、三次函数的极值例3 已知函数f（x）=13x3+12ax2+2bx+c，若当x ∈（0，1）时，f（x）取得极大值；x ∈（1，2）时，f（x）取得极小值；求b-2a-1的取值范围.解析f ′（x）=x2+ax+2b，令f ′（x）=0，由题意知，上述方程应满足：一根在（0，1）内，另一根在（1，2）内.由y=f ′（x）的图象知f ′（0）>0，f ′（1）f ′（2）>0b>0，a+2b+1a+b+2>0.图1在aOb坐标系中作出上述区域（如图1所示）.而b-2a-1的几何意义是：过两点P （a，b）与D（1，2）的直线斜率.而P（a，b）在区域内，由a+2b+1=0，a+b+2=0得A（-3，1），由b=0，a+b+2=0得B（-2，0），由b=0，a+2b+1=0得C（-1，0）.由图知kDA四、三次方程根的判定例4 设a∈R，试讨论关于x的三次方程x3-3x2-a=0有相异实根的个数.解析将方程变形为x3-3x2=a（*），令y= f（x）=x3-3x2，则y′=3x（x-2），令y′=0得x=0或x=2.当x∈（-∞，0）时，y′>0；图2当x∈（0，2）时，y′当x∈（2，+∞）时，y′>0.故f（x）的极大值是f（0）=0，极小值是f（2）=-4.于是函数y=f（x）=x3-3x2的大致图象如图2.因为方程（*）的相异实根的个数，是y= f（x）的图象和直线y=a的交点的个数，所以相异实根个数为：（1）当a0时，有1个；（2）当a=-4或a=0时，有2个；（3）当-4五、与三次函数有关的应用题例5 某工厂生产某种产品，已知该产品月产量x（吨）与每吨产品的价格P（元/吨）之间的关系为P=24200-15x2，且生产x吨的成本为R=50000+200x元，问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？解析每月生产x吨时的利润为f（x）= （24200-15x2）x-（50000+200x）=-15x3+24000 x-50000（x≥0）. 由f ′（x）=-35x2+24000=0解得x1=200， x2=-200（舍去）.因f（x）在[0，+∞）内只有一个极值点x=200，且x∈（0，200）时，f ′（x） >0，x∈（200，+∞）时，f ′（x）六、与三次函数有关的不等式问题例6 已知函数f（x）=x3+ax+b定义在区间[0，1]上，且f（0）=f（1），若x1，x2∈[0，1]，求证：|f（x1）-f（x2）|解析由f（0）=f（1），得1+a+b=ba=-1，所以f（x）=x3-x+b.f ′（x）=3x2-1，令f ′（x）=3x2-1=0，得x=±33.又x∈[0，1]，而x∈（0，33）时，f ′（x） 0.所以当x=33时，f （x）有最小值f（33）=b-239.又当x=0或1时，f（x）取最大值b.故|f（x1）-f（x2）|≤[f （x）]max- [f（x）]min=239。

f '(x)
f '(x)
f '(x)
o
x
3k 0 0
k 1
o
不符合题意
k 1
导数在三次函数中的运用
例3 函数 f (x) kx3 3x2 3x 1(k 0) 在R上是增函数,
求实数k的取值范围.
分析 f (x) 3kx2 6x 3
Q k 0, f (x)图象是一条过定点(0,3)的抛物线
极值 点个
数
单 调 性
a>0
Δ>0
Δ≤0
a<0
Δ>0
Δ≤0
2
0
2
0
在(, x1),(x2, )上
在(, x1),(x2, )上
是增函数;
在R上是 是减函数;
在R上是
在 (x1, x2)上是减 增函数 在 (x1, x2)上是增 减函数
函数
函数
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)
其导数为f´(x)=3ax2+2bx+c(a≠0)
分析 (1) f (x) 3x2 3， 令 f (x) 0,得x=±1. f(x)随x变化：
(2)f(0)=0,f(3)=18, 则f(x)min=-2，f(x)max=18
导数在三次函数中的运用
例1 已知函数 f (x) x3 3x, x R
变式一二 若关于xx的的不方等程式f f(x(x) )ak有在3[个0互,3不]上相恒等成的立实，
根，求求实实数数ak的取值范围。
分析 (1) f (x) 3x2 3， 令 f (x) 0,得x=±1. f(x)随x变化：
(2)f(0)=0,f(3)=18, 则f(x)min=-2，f(x)max=18

２ 口 ＋８ ０的 图 象 经 过 ４个 象 限 ， 试求 ： ｎ 的取 值 范 围．
与极 小值 ．
析
本题 是课 本 教材 改 编 的基 础 性 试 题 ， 三次 函 数极 值 问题 的根 题 ， 利 用 导数 解 决 该 类 试 题
◇ 解 析 根 据 题 意 三 次 函 数厂 （ ｚ ） 的 图 象 经 过４ 个象
在 ２个 不 等 的零 点 之 间的等 价 关 系是 解 题 关键 之 处 ，
和 感 觉头疼 的方 面 ， 这 就 要 求 一 线数 学教 师在 平 时教
学 中应 该 注重 分类 讨论 思 想方 法 的渗透 ， 注 重 学 生能 力 的培 养． 总 而言 之 ， 导数 是处 理 三次 函数极 值 问题 的一把
１ ２ ａ － ４（ 口 ∈Ｒ） ， 若 － 厂 （ ｚ ） 在 ｚ — 。 处 取 得极 小 值 且满
三次 函数 极 值 问题 的“ 根源” 出发 ， 进 行 合 理 的 引 申与
拓展 ， 让 学生 创新 思 维 的“ 活水 ” 不断 涌 出．
∞ Ｊ ■ ０
例 １ 试求函数 厂 （ ｚ ） 一詈 。 一８ ｘ ＋６的极大值
Ｊ
变式３ 已知函数 － 厂 （ ｚ ） 一÷ｎ ＋寺口 ｚ － ２ ａ ｘ ＠
ｆ （ ） 一厂 （ 一２ ） 一 ； 一 ２时 （ ） ＝ ： ＝ ， （ ２ ） 一一 １ ４
．
或 ｚ 一１ ， 则
｛ ｆ 。 ’
解 得 厂 （ ｚ ） 一 。 ＋口 ＿ ｚ ＋ｂ ｘ＋ｎ 在 一１ 处 存在 极值 为 １ ０ ， 试求 ： ａ ＋ｂ的值．
限， 说 明三次 函 数不 能纯 粹 的 单 调 递增 或 者
是 常见 的解 题方 法 ． 由题 意 得 ｆ （ ） 一２ ｘ 。 一８ ＝０ ， 即

课题：运用导数解决三次函数问题（教案）一．教学目标引导学生归纳反思运用导数工具研究三次函数的有关问题，进一步体会导数在研究函数性质中的重要作用。

二、教学重点：运用导数工具认识三次函数图像及与其有关的切线、极值等有关问题三、教学难点：灵活解决三次函数中含参数以及与坐标轴的交点问题。

课前准备：学生阅读教材并完成本节学案四、教学过程：引例1：画一画：如何画出下面函数函数的图像133123+--=x x x y 动画演示：（几何画板） （一）想一想:三次函数与其导函数图象之间的关系a>0 a<0 f′(x )= 3ax 2+ 2bx+c 判判别式△>0 △=0 △<0 △>0 △=0 △<0 图图象f (x )=ax 3+bx 2+cx +d单单调性图图象引例2：练一练：方程x 3－6x 2+9x －10=0的实根个数是（二）探一探：三次函数图像与x 轴交点有哪几种可能性？回顾三次函数的图像情况：结论：1. 三次函数没有极值或极大值小于零或极小值大于零时图像与x 轴交点只有一个；2. 三次函数极大值等于零或极小值等于零时图像与x 轴交点有二个；3. 三次函数极大值大于零且极小值小于零时图像与x 轴交点有三个.（三）与三次函数有关问题：例1：（2009北京文）设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点))2(,2(f 处与直线8y =相切，求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）()'233f x x a =-,∵曲线()y f x =在点))2(,2(f 处与直线8y =相切，∴()()()'203404,24.86828f a a b a b f ⎧=-=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-+==⎪⎩⎪⎩⎩ （Ⅱ）∵()()()'230f x x aa =-≠, 当0a <时，()'0f x >，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，此时函数()f x 没有极值点.当0a >时，由()'0f x x =⇒=当(,x ∈-∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，当(x ∈时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当)x ∈+∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，∴此时x =()f x的极大值点，x =()f x 的极小值点.小结1：（1） 切线问题处理（2） 单调性、极值问题例2：设函数329()62f x x x x a =-+-,若方程 f (x )=0 有且仅有一个实根，求 a 取值范围． 解：'2()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--, 因为 当1x <时, '()0f x >;当12x <<时, '()0f x <;当2x >时, '()0f x >; 所以 当1x =时,()f x 取极大值 5(1)2f a =-; 当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-;故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或52a >. 变式：(1）若方程 f (x )=0 有三个不同的实根，求 a 的取值范围（2）若函数y=f (x )图象与直线y =4 有三个不同的实根，求 a 的取值范围（3）设函数 g (x )=2x+b-a .若f (x )、g (x )图像只有一 个公共点，求b 的取值范围.小结2：方程根的情况与相应函数图像与x 轴交点之间的关系。

导数法解“三次”函数问题新教材中导数内容的介入，为研究函数的性质提供了新的活力，通过求导可以研究函数的单调性和极值，其操作的步骤学生易掌握，判别的方法也不难。

特别地，当f(x)为三次函数时，通过求导得到的f /(x)为二次函数，且原函数的极值点就是二次函数的零点；同时利用导数的几何意义：曲线在某一点P （00,y x ）处的切线的斜率)(0/x f k =，可得到斜率 k 为关于0x 的二次函数。

根据这些特点，一般三次函数问题，往往可通过求导，转化为二次函数或二次方程问题，然后结合导数的基本知识及二次函数的性质来解决。

下面笔者从课堂或试卷上出现的这一类型题目中选择几例，同时结合学生产生的问题，略作说明。

例1：已知f(x)=d cx bx x +++23在（—∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f(x)=0有三个根，它们分别为α、2、β.（1） 求c 的值；（2） 求证：f(1)≥2（3） 求｜α-β｜的取值范围。

解：（1）,23)(2/c bx x x f ++=由题意可得：x=0为f(x)的极值点，∴0,0)0(/=∴=c f（2）令023)(2/=+=bx x x f ，得32,021b x x -== ∵f(x)在（—∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数， ∴232≥-b ，即3-≤b 又∵b d d b f 48,048,0)2(--=∴=++∴=∴.2371)1(≥--=++=b d b f（3）∵方程f(x)=0有三个根α、2、β.∴设),)(2()(223n mx x x d cx bx x x f ++-=+++= 由待定系数法得2,2d n b m -=+= ∴α、β为方程02)2(2=-++d x b x 的两根， ∴ α+β=-（b+2），αβ=-d/2；∴｜α-β｜2=16)2(1242)2(222--=--=++b b b d b∵3-≤b ，∴｜α-β｜2≥9，∴｜α-β｜ ≥3一般地，若已知三次函数f(x)=)0(23>+++a d cx bx ax 在（—∞，m ）上是增函数，在[m ，n]上是减函数，在（n,+∞）上是增函数,则二次方程f /(x)=0即0232=++c bx ax 的两个根为m ，n ；且当),(),(+∞⋃-∞∈n m x 时f /(x)>0，当),(n m x ∈时f /(x)<0，反之亦然。

或者三条？
THANK YOU
(
).
. > 0, < 0, > 0, > 0
√
. > 0, < 0, < 0, > 0
. < 0, < 0, > 0, > 0
. > 0, > 0, > 0, < 0
y
P
x2
O
x1
x
【点拨】当三次函数有两个极值点 Δ > 0 时，若a > 0，则三次函数曲线形状为
单减， x1, x2 单增
极小值 f (x1)
极大值 f (x2)
Байду номын сангаас
0
y
o
y
x o
在上单调递减
无极值
f ( x) 的图像
对称中心
b
3a
(− ,f −
b
3a
x
)（即拐点，其横坐标为二阶导函数零点）
总结：
1.三次函数的单调性由a来决定； Δ > 0
若a > 0，则三次函数曲线形状为“N字型”；
若a < 0，则三次函数曲线形状为“反N字型”
2 + =0
∆= 4 2 −
f ( x)的单调性
12
f ( x) 的极值
a0
a0
0
0
y
y
0
y
y
x1
x
o x1
x2
o x
−∞, x1 ， x2,+∞
o
在上单调递增
单增， x1, x2 单减
极大值 f (x1)
极小值 f (x2)

-6 -6
-8 -8
5
10
18
结论:
1. 三次函数没有极值或极大值小于零或 极小值大于零时图象与x轴交点只有一个；
2. 三次函数极大值等于零或极小值等于 零时图象与x轴交点有二个；
3. 三次函数极大值大于零且极小值小于 零时图象与x轴交点有三个.
19
例 2：已知函数 a R, f (x) 2x3 3(a 1)x2 6ax.
14
(3)当 a1时， x( ,a)(1, ),f'(x)0 x(a,1)f'(x)0 f(x)单调增(区 ,a)和 间 (1, )， f(x)单调减 (a,区 1)
注意：含参数三次函数单调区间分类的讨论标准 其导函数二次函数对应的方程是否有实根， 若有实根比较两实根的大小
分类整合， 转化与化归
9
三次函数与其导函数图象之间的关系
减区间:(-∞, x1), (x2, +∞)
增区间:(x1, x2)
减区间: (-∞, +∞)
减区间: (-∞, +∞)
10
思考根据上表三次函数的单调性与极值有哪 些重要的结论？
11
热身训练：已知函数 f (x) x3 3x2 ax 2 （1）函数 f(x)在 R 上单调函数，求实数 a 的取值范围
第4章 4.3.3 三次函数的性质： 单调区间和极值
莆田华侨中学数学组 何高萍 高二（6）班
1
引例：指出下列函数的单调区间和极值点, 并画出函数及对应导函数的草图 (1) f (x) 2x3 3x2; (2) f (x) 3x3 6x2 4x 5; (3) f (x) x3 2x2 2x 7; (4) f (x) x3 3x2 9x

三次函数的导数问题在微积分学中，导数被用于研究函数的变化率。

在下面的文章中，我们将研究三次函数的导数问题。

三次函数的定义三次函数是指具有一次、二次和三次项的函数，可以表示为：f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d其中a、b、c和d是常数。

三次函数的图像通常是一个“S”形的曲线，其形状取决于函数的系数。

具体来说，当a>0时，曲线呈现“下凸”，当a<0时，曲线则呈现“上凸”。

三次函数的导数三次函数的导数通常表示为f'(x)，它是指在某个点x处的切线斜率，也是函数在该点处的变化率。

为了求出三次函数的导数，我们可以使用微积分理论中的求导法则。

具体来说，我们需要求出三次函数的每一项的导数，然后将它们相加。

因此，三次函数的导数可以表示为：f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c其中3a、2b和c是三次函数的一次导数项的系数。

三次函数的导数图像三次函数的导数图像通常是一个二次函数，并且其形状与三次函数本身的形状有很大的关系。

当三次函数的a>0时，它的导数图像呈现“上凸”的U形；当a<0时，导数图像则呈现“下凸”的n形。

如果三次函数有其导数为0的点，则该点是函数的临界点，也是函数的最值点之一。

应用三次函数的导数在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，三次函数可以用来描述物体的加速度变化；在经济学中，三次函数可以用来描述收入和消费之间的关系；在工程学中，三次函数可以用来描述材料的强度和韧性之间的关系等等。

结论通过本文，我们学习了三次函数的导数问题。

我们发现，三次函数的导数是函数变化率的表示，它可以帮助我们更好地理解和使用这些函数。

同时，我们也了解到了三次函数和导数图像的形状及其应用。

谈谈导数在解决三次函数问题中的应用福建福州第四十中学陈永星函数是贯穿中学数学的一条主线是高考命题的源泉每年的高考中函数都占有较大的比例
从而知不等式 (1) 成立 . 由(4)、 (5)及排序不等式原理, 得 A A B cos sin sin ∑ 2 2 2 A B C ≤∑ cos sin sin . 2 2 2 A A 由 2cos sin = sin A , 得 2 2 B sin Asin ∑ 2 A B C ≤2∑ cos sin sin . 2 2 2 A B C 而 2∑ cos sin sin 2 2 2
3ax +2bx +c = 0 无解,故函数 f ( x) 没有极值点. 1.3 一元三次函数的单调性 当 a > 0, Δ= 4( b2 3ac ) > 0 时 , 由 导函 数 f '( x) = 3ax2 + 2bx + c 的图象可知 ,在区间 ( ∞ , 17
x1 ) 和 区 间 ( x2 , +∞ ) 上 f '( x) > 0 , 故 函数 y = f ( x) 在区间 ( ∞ , x1 ) 和区间 ( x2 , +∞ ) 上单调 递增 ; 在区间 ( x1 , x2 ) 上 f '( x) < 0 , 故函数 y = f ( x) 在区间 ( x1 , x2 ) 上单调递减 . 同理可得到如下结论: 当 a < 0, Δ= 4(b 2 3ac ) > 0 时 , 函数 y = f ( x) 在区间 ( ∞ ,x ) 上单调递 1 ) 和区间 ( x 2 , +∞ 减, 在区间 ( x1 , x2 ) 上单调递增; 当 a > 0, Δ= 4(b 2 3ac ) ≤ 0 时 , 函数 y = f ( x) 在 R 上单调递增 ; 当 a < 0, Δ= 4(b 2 3ac ) ≤ 0 时 , 函数 y = f ( x) 在 R 上单调递减 . 1.4 一元三次函数的最值 (1)当 a > 0, Δ> 0 时, 一元三次函数 f ( x) = 3 ax + bx2 + cx + d ( a ≠ 0) 在闭区间 [αβ , ] ( α≤ x1 < x2 ≤ β)上的最大值为{ f (α), f ( x1), f (β )}max , 最小值为 { f (α ), f ( x2 ), f ( β )}min ; (2)当 a < 0, Δ> 0 时, 一元三次函数 f ( x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) 在闭区间 [α ,β ] (α ≤ x1 < x2 ≤β ) 上 的 最 大 值 为 { f (α ), f ( x2 ), f (β )}max , 最小值为 { f (α ), f ( x1 ), f (β )}min ; (3)当 a > 0, Δ≤ 0 时, 一元三次函数 f ( x) 3 2 = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) 在闭 区间 [α ,β ]上 的最大值为 f ( β ) , 最小值为 f (α ); (4)当 a < 0, Δ≤ 0 时, 一元三次函数 f ( x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) 在 闭区 间 [α ,β ]上 的最大值为 f (α ) , 最小值为 f ( β ). 2 一元三次函数问题归类解析 2.1 根据三次函数的解析式研究其性质 此类问题多在客观题中出现 , 主要考查学 生应用导数的知识解决三次函数在某点处的 切线方程, 单调区间,极值、最值等问题的能力. 例 1 (2004 年重庆文科 )已知曲线 y = x3 / 3 + 4/3, 则过点 P (2,4) 的切线方程是 _____. 点评 此题要先判断点 P(2,4)在曲线上. 例 2 (2005 年广东卷理科第 19 题 )函数 f ( x) = x3 3x2 +1 是减函数的区间为 ( ). (A) (2, +∞ ) (B) ( ∞ , 2) (C) ( ∞ ,0) (D) (0, 2) 18

y=(x)的图象最有可能的是( )
y
y
y
O1
2
x
y (A)
2
1
x
(C)
1
2
x
y (B)
O
1
2
x
(D)
3,(00春)已知函数(x)=ax3+bx2+cx+d的
图象如右图,则(
)
y
（A）b,0（B）b0,1
（C）b1,2 （D）b2, O 1 2 x
4,方程x3－6x2+9x－10=0的实根
作业：整理导数知识
；https:///cn-zh 地热采暖地板 ；
在の境界还是差了壹些,他不像咱们,都有先祖の庇护,只要到了那个时间点了,咱们就可以壹飞冲天,他需要自己不断の努力进取争取到更高の境界去.""是呀,他要是现在有绝强者の境界の话,就没有什么可愁の了,现在还是弱了壹些."欧奕也感慨道："不过这小子体质特别,而且身怀赤子 之心,以他の天赋,早晚会独步天下,问鼎最强境界の,这里不是他の极限.""恩,他の机缘造化确实是令人惊羡,咱们一些师兄弟当中,就属他最特别,拍马也赶不上."金娃娃也感慨."出来了."这时候神光消退了不少,大概只有方圆三四万里大小了,只见神光圈の中间,有壹片金色の云彩从中升 腾了起来.这片金云之中,有壹个身高巨型の人类,正从中爬了出来,全身虽然有壹些血窟窿,但是却依旧有精神."他突破了!""好家伙,壹下子就是好几重境界!""到高阶圣境中阶了,这小子果然没让咱们失望!"远处根汉の变化,也令南天冰云震撼不已,她见到全身金色,身高千米之巨,从金云 中爬了出来."嘶."根汉身处金云之中,大嘴壹吸,将方圆万里内の金云,瞬间便吸进了体内,然后身形也缓缓の变小了,又回到了本来の面目."根汉!"南天冰云心中壹激动,立即飞向了根汉,因为根汉变小了,她隔了这么远,根本就了,所以就冲了过去."你们都别过来."而身在十万里开外の根汉, 突然猛の大喝壹声,好像都能听到十万里外の声音似の.在傲仙谷の上空,升起了壹道至强の金色光圈,光圈将那里给笼罩起来了,外人根本就进不去了,有恐怖の威能在那里压制着天地.（正文贰6捌5至尊之战）贰6捌6金色根汉贰6捌6"你们都别过来."而身在十万里开外の根汉,突然猛の大 喝壹声,好像都能听到十万里外の声音似の.在傲仙谷の上空,升起了壹道至强の金色光圈,光圈将那里给笼罩起来了,外人根本就进不去了,有恐怖の威能在那里压制着天地.恐怖の光圈发出壹阵强大の气浪,将正奔过去の南天冰云都给震退了几十里,在虚空中飞速の倒退,不过好在没有受伤, 只是壹阵柔和の气浪."小子还要突破."金娃娃咧嘴笑道,他和欧奕壹道出现在了南天冰云の身后,将这南天冰云给挡了下来."不要你们管."南天冰云还在生气.金娃娃咧嘴笑道："你这丫头片子,怎么就不识好人心呢,咱和帅神这是在帮你哦,其实咱们小师弟还是很不错の哦.""就是,小丫头 片子,你既然跟了咱们小师弟壹段时间,咱逃不出他の手掌心了."欧奕也哈哈笑道."去你们の."南天冰云站稳了,调整了壹下气息,正眼远处の光圈："你们是不是早就知道,他会没事の?""呵呵,本帅不是和你说过了嘛,咱们小师弟天赋异禀,无数女人喜欢,这样の坏人怎么可能就死呢."欧奕 哈哈笑道.金娃娃也在这里起哄："就是哦,根汉这家伙虽然没有本神帅,不过倒也还算可以了,跟着他可是壹件好事.""净胡扯."南天冰云有些无语,这两家伙净扯些有の没の,她问金娃娃："刚刚你说他要突破了,为什么这么讲?""呃,妹子,难道你还没吗?"金娃娃有些无语,"就这样の架势,要 是还不突破,那他可以去吃屎了.""你才去吃屎呢,真恶心."南天冰云气极.都说无心峰の人是疯子,真不假,这么壹比,根汉比他们这两人要正常太多了,这两家伙才是真正の疯子,有精神病呢."呵呵,护夫心切嘛妹子."金娃娃笑了笑,并不放在心上.女人越骂他,他越爽呢,人就是这么贱呀."这 到底是怎么回事?"南天冰云又问他们,"你们两个也不清楚吗?"金娃娃眼睛壹翻："咱们哪里知道呢,咱们又不是他肚子里の虫,在外面等着吧,既然他没死早晚会出来の.""死胖子,刚刚好险,咱们也算是在生死关走了壹遭,咱们先下去喝壹杯."欧奕说."好好,是要好好喝壹杯压压惊,好怕怕 呀."这两人の语气,哪像是受了惊の样子.欧奕又问南天冰云："妹子,你不过来喝点尔?""哼!"虽然嘴上是有些生气,可却还是跟着他们壹起下去了,她这些天也挺累の,而且她还想知道壹下,那光影阵中到底发生了什么.这回の重铸天宫の路上,到底又发生了什么事情.三人很快便降到了下面 の壹座山峰之上,这里环境还算不错,只是上面有些风大了."砰砰砰."金娃娃拿出了壹块大金砖,照着下面の山巅便是壹阵砸,没壹会尔就砸出了壹座宫殿了."死胖子,别弄成金子做の阁楼,不然咱们走了."眼就要完工了,欧奕赶紧提醒他.壹旁の南天冰云,则是有些诧异,不知道这两人在做什 么鬼,玩什么鬼飞机."你个帅神,太不厚道了."金娃娃哼道："你知道本神,没有金子吃不下东西の."说完他便要装饰面前の石宫了,不过还是被欧奕给拦住了："死胖子,你也不怕晃瞎咱们の眼睛,要是不吃你就去别处.""你.""罢了,本神今天就将就壹回."金娃娃还是妥协了,壹旁の南天冰云 则是壹头の黑线,这两人の对话实在是没有半点营养.三人落到了这个石宫中,其实也就是中间掏空了,上面还留有壹层石壁,挡风遮雨の,外观是粗糙了壹些,不过好在还是挺有用の.欧奕取出了壹个银色の大炉子,往炉子下面丢了壹颗火珠,火珠立即燃起了炽热の火焰,而且似乎烧不停."定 火珠."壹旁の南天冰云睁大了眼睛,没想到这家伙竟然拿定火珠这样の神物,当作烤肉の火用,实在是有些狗血.而金娃娃,则是取出了壹枚铁质の储物戒子,从里面取出了壹条体长超过百米の大鱼,直接就架在了这火炉子上."这两家伙."南天冰云心中暗骂,这两人真是无良,这条大鱼也是壹 条灵鱼,其修为应该也达到了法则境了,人家辛苦不知道多少年才能修行到这个地步,却被这两家伙给宰了烤了吃了.不过这鱼肉应该挺好吃の,灵鱼の肉当然好吃,她也不拒绝.没壹会尔就飘开了阵阵扑鼻の鱼肉香味,令人口水狂吞.南天冰云问金娃娃："死胖子,你们是怎么到の天府?""咦?" 金娃娃笑了笑："只有咱们无心峰の自己人,才能叫咱死胖子,你要是也这样喊本神,就说明你是根汉の女人哦,要不然本神可是要对你施以极刑の.""是就是了,你真是烦不胜烦耶!"南天冰云有些无语了,这两家伙壹直在催自己和根汉の好事,管他是不是呢,现在先不要听到这种话了,烦の要 死."哈哈,那本神就告诉你."金娃娃哈哈笑了笑,从鱼身上,划下了壹块鱼腹上面の鲜肉,递给了南天冰云："这肉最先熟,也是最鲜の,你尝尝.""好."南天冰云美目转了转,心想这承认自己是根汉の女人,是有好处の嘛,管他是不是呢,有便宜不占白不占.她立即吃了起来,感觉味道确实是很不 错,入口即化,甘醇香甜,还有壹丝淡淡の香味.金娃娃说："其实天府很了不起呢,咱们都是被传送阵同壹时间传送过来の.""同壹时间传送过去?怎么可能?"南天冰云有些诧异.这时候欧奕也划了两块肉下来,丢给了金娃娃说.金娃娃甩了欧奕壹个眼神,欧奕接过话茬说："恐怕与天府外面の 这些法阵有关系吧,大概是连接了外面の大量法阵,壹共有上万座法阵,都与天府相连.""他们用了壹些特别の手段,就可以将分散在天南界外面の十余万人都传送过来了."欧奕说."对了,你们有没有见过根汉の女人们?"南天冰云问道,"他壹直在担心她们会出事,要不然也出此下策,控制这里 の法阵,他为此可是付出了不小の代价の.""应该没有吧."欧奕想了想说："死胖子,咱们刚刚冲上来の时候,你有没有见到她们?""好像没有."金娃娃皱眉说："如果她们真の有来の话,刚刚根汉那家伙肯定第壹个把她们给救出来了,哪里还顾得上咱们两个大老男人.""那她们难道没有来吗?" 南天冰云有些诧异,"咱听根汉说,他这回来主要是想夺回你们大师兄の元灵碎片,你们来这里也是为了这个吗?""当然是了."金娃娃点了点头,提到这个面色也正经了不少："那架势,不知道那小子是杀了那天府府主,还是将天府府主给击退了,咱们应该有机会进入里面去寻找大师兄の元灵碎 片了.""刚刚那么恐怖の战斗,你们大师兄の元灵碎片,不会被毁了吧?"南天冰云有些担忧.欧奕和金娃娃面色都有些难奕说："希望不会发生这样の事情.""咱想�

用导数研究三次函数一、知识点解析 1、定义：定义1、形如32(0)y ax bx cx d a =+++¹的函数，称为“三次函数”。

定义2、三次函数的导函数为二次函数、三次函数的导函数为二次函数::)0(23)(2/¹++=a c bx ax x f ，我们把)3412422ac b ac b -=-=D （,叫做三次函数导函数的判别式。

叫做三次函数导函数的判别式。

2、三次函数图象与性质的探究：1、单调性、单调性一般地，当032£-ac b 时，三次函数)0(23¹+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数；当032>-ac b 时，三次函数)0(23¹+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。

上有三个单调区间。

2、对称中心、对称中心三次函数)0()(23¹+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称，且对称中心为点))3(,3(a b f a b --，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。

，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。

y ＝f(x)f(x)图象的对称中心在导函数图象的对称中心在导函数y ＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。

同时也是二阶导为零的点。

3、三次方程根的问题、三次方程根的问题（1）当032£-=D ac b 时，由于不等式0)(³¢x f 恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。

程仅有一个实根。

（2）当△=032>-ac b 时，由于方程0)(=¢x f 有两个不同的实根21,x x ，不妨设21x x <，可知，))(,(11x f x 为函数的极大值点，))(,(22x f x 为极小值点，且函数)(x f y =在),(1x -¥和),(2+¥x 上单调递增，在[]21,x x 上单调递减。

[, ]上恒成立，可得 ≤ + ， + ≥ ⋅ = ，当且仅当 = 时取等号，可
得 ≤ .故选D.
2
3
（2）已知函数 = 3 + 2 + + 在 = − 与 = 1处都取得极值.
①求,的值与函数 的单调区间；
解 = 3 + 2 + + ，′ = 3 2 + 2 + ，由
−
−
> ,

−

< ,

即


−

−

−
−

+ > ,
解得 < −.故选B.
−
−
+
+ < ,


（2）(2023扬州校考)设为实数，函数 = − 3 + 3 + .
①求 的极值.
解 ′ = −3 2 + 3，令′ = 0，得 = −1或 = 1.当 ∈ −∞, −1 时，′ < 0；

− ,
3

−
3
和极小值点三等分，类似地，对极小值也有类似结论.
自测诊断
1.已知三次函数 =
1 3

3
− 4 − 1 2 + 152 − 2 − 7 + 2在上是增函数，
则实数的取值范围是() D
A. < 2或 > 4B.−4 < < −2C.2 < < 4D.2 ≤ ≤ 4
为
1 ，2
1 ，2

第07讲（三次函数的导数问题）【目标导航】运用三次函数的图像研究零点问题, 三次函数的单调性问题, 三次函数的极值与最值问题。

【例题导读】例1、若13x 3－x 2＋ax －a ＝0只有一个实数根，求实数a 的取值范围．【解析】 令f (x )＝13x 3－x 2＋ax －a ，则f ′(x )＝x 2－2x ＋a .∵f (x )＝0有一个实数根，∴f ′(x )＝0的Δ≤0或者f (x )极大值＜0或者f (x )极小值＞0. ①f ′(x )＝0的Δ≤0，解得a ≥1；②当a ＜1时，设x 1，x 2为f ′(x )＝x 2－2x ＋a ＝0的两个根(x 1＜x 2)，x 1＝1－1－a ，x 2＝1＋1－a ，f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减．1° 若f (x )极大值＜0，即f (x 1)＜0，∴f (x 1)＝13x 31－x 21＋ax 1－a ＝13x 1(2x 1－a )－(2x 1－a )＋ax 1－a ＝23x 21＋⎝⎛⎭⎫23a －2x 1＝23(2x 1－a )＋⎝⎛⎭⎫23a －2x 1＝⎝⎛⎭⎫23a －23x 1－23a ＝23[(a －1)x 1－a ]＜0， ∴x 1＞a a －1，即1－1－a ＞aa －1，解得(1－a )1－a ＜1，即(1－a )3＜1，得0＜a ＜1；2° 若f (x )极小值＞0，即f (x 2)＞0，同理f (x 2)＝23[(a －1)x 2－a ]＞0.∴x 2＜a a －1，即1＋1－a ＜aa －1，解得－(1－a )1－a ＞1，即(1－a )3＜－1，无解．综上所述，实数a 的取值范围是(0，＋∞)．另解：令f (x )＝13x 3－x 2＋ax －a ，则f ′(x )＝x 2－2x ＋a .∵f (x )＝0有一个实数根，∴f ′(x )＝0的Δ≤0或者f (x 1)·f (x 2)＞0(x 1，x 2是f (x )的极值点)． ①f ′(x )＝0的Δ≤0，解得a ≥1；②由x 1，x 2为f ′(x )＝0的两个根，得⎩⎨⎧x 21－2x 1＋a ＝0⇒x 21＝2x 1－a ，x 22－2x 2＋a ＝0⇒x 22＝2x 2－a ，(a ＜1)于是f (x 1)＝13x 31－x 21＋ax 1－a ＝13x 1(2x 1－a )－(2x 1－a )＋ax 1－a ＝23x 21＋⎝⎛⎭⎫23a －2x 1＝23(2x 1－a )＝⎝⎛⎭⎫23a －2x 1＝⎝⎛⎭⎫23a －23x 1－23a ， 同理可得f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫23a －23x 2－23a ，于是有f (x 1)·f (x 2)＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23a －23x 1－23a ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23a －23x 2－23a ＞0.当a ＜1时，⎝⎛⎭⎫x 1－a a －1⎝⎛⎭⎫x 2－a a －1＞0⇒x 1x 2－a a －1(x 1＋x 2)＋⎝⎛⎭⎫a a －12＞0，又∵x 1，x 2是方程x 2－2x ＋a ＝0的根，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝a ，化简可得a (a 2－3a ＋3)＞0，解得0＜a ＜1； 综上所述，实数a 的取值范围是(0，＋∞).例2、 已知函数f (x )＝13x 3－k ＋12x 2，g (x )＝13－kx ，若函数f (x )与g (x )的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．【解析】 ∵f (x )与g (x )的图象有三个不同的交点，∴f (x )＝g (x )有三个不等实根．令h (x )＝f (x )－g (x )＝13x 3－k ＋12x 2＋kx －13，则h ′(x )＝x 2－(k ＋1)x ＋k ＝(x －k )(x －1)，根据题意得k ≠1且h (1)·h (k )＜0，化简可得k －12⎝⎛ －16k 3＋12k 2－⎭⎫13＜0， 即－k －112(k －1)(k 2－2k －2)＜0，∴k 2－2k －2＞0，解得k ＞1＋3或k ＜1－3，∴实数k 的取值范围是(－∞，1－3)∪(1＋3，＋∞).例3、设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋1，其中a ＞0，若过点(0,2)可作曲线y ＝f (x )的三条不同切线，求实数a 的取值范围．【解析】∵f ′(x )＝x 2－ax ，设切点为(t ，f (t ))，切线方程为y ＝(t 2－at )(x －t )＋13t 3－a 2t 2＋1，代入(0,2)化简可得23t 3－a 2t 2＋1＝0，设g (t )＝23t 3－a 2t 2＋1，令g ′(t )＝0，有t 1＝0，t 2＝a2＞0.∵过点(0,2)可以作曲线y ＝f (x )的三条切线，∴g (t )＝0有三个不同的根，故⎩⎪⎨⎪⎧g 0＞0，g ⎝⎛⎭⎫a 2＜0，解得a ＞324，∴实数a 的取值范围是(324，＋∞)．例4、已知函数f (x )＝14x 3－x 2＋x .(1)求曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程； (2)当x ∈[－2,4]时，求证：x －6≤f (x )≤x ；(3)设F (x )＝|f (x )－(x ＋a )|(a ∈R )，记F (x )在区间[－2,4]上的最大值为M (a )．当M (a )最小时，求a 的值．【解析】(1)由f (x )＝14x 3－x 2＋x 得f ′(x )＝34x 2－2x ＋1.令f ′(x )＝1，即34x 2－2x ＋1＝1，得x ＝0或x ＝83.又f (0)＝0，f (83)＝827，所以曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程是y ＝x 与y －827＝x －83即y ＝x 与y ＝x －6427.(2)证明：令g (x )＝f (x )－x ，x ∈[－2,4]．由g (x )＝14x 3－x 2得g ′(x )＝34x 2－2x .令g ′(x )＝0得x ＝0或x ＝83.g ′(x )，g (x )的情况如表7-1所示.x －2 (－2,0) 0 (0，83) 83 (83，4)4 g ′(x ) ＋ －＋g (x )－6－6427所以g (x )的最小值为－6，最大值为0.故－6≤g (x )≤0，即x －6≤f (x )≤x . (3)由(2)知，当a ＜－3时，M (a )≥F (0)＝|g (0)－a |＝－a ＞3；当a ＞－3时，M (a )≥F (－2)＝|g (－2)－a |＝6＋a ＞3； 当a ＝－3时，M (a )＝3综上，当M (a )最小时，a ＝－3.例5、已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x<0，e x －ax ，x≥0，其中常数a ∈R .(1) 当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2) 若方程f (－x )＋f (x )＝e x －3在区间(0，＋∞)上有实数解，求实数a 的取值范围；【解析】(1) 当a ＝2时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x<0，e x－2x ，x≥0.①当x<0时，f′(x)＝－3x 2＋2x<0恒成立，所以f(x)在(－∞，0)上递减；(2分) ②当x≥0时，f′(x)＝e x －2，可得f(x)在[0，ln 2]上递减，在[ln 2，＋∞)上递增．(4分)因为f(0)＝1>0，所以f(x)的单调递减区间是(－∞，0)和[0，ln 2]，单调递增区间是[ln 2，＋∞)．(5分) (2) 当x>0时，f(x)＝e x －ax ，此时－x<0，f(－x)＝－(－x)3＋(－x)2＝x 3＋x 2. 所以可化为a ＝x 2＋x ＋3x 在区间(0，＋∞)上有实数解．(6分)记g(x)＝x 2＋x ＋3x ，x ∈(0，＋∞)，则g′(x)＝2x ＋1－3x 2＝（x －1）（2x 2＋3x ＋3）x 2.(7分) 可得g(x)在(0，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，且g(1)＝5，当x→＋∞时，g(x)→＋∞.(9分) 所以g(x)的值域是[5，＋∞)，即实数a 的取值范围是[5，＋∞)．(10分)例6、已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． （1）若20a b +=，① 当0a >时，求函数()f x 的极值（用a 表示）；② 若()f x 有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由；【解析】 （1）①由2()32f x x ax b '=++及02=+b a ， 得22()32f x x ax a '=+-， 令()0f x '=，解得3ax =或a x -=. 由0>a 知，(,)()0x a f x '∈-∞->，，)(x f 单调递增，(,)()03a x a f x '∈-<，，)(x f 单调递减，(,)()03ax f x '∈+∞>，，)(x f 单调递增，因此，)(x f 的极大值为3()1f a a -=+，)(x f 的极小值为35()1327a a f =-.② 当0a =时，0b =，此时3()1f x x =+不存在三个相异零点；当0a <时，与①同理可得)(x f 的极小值为3()1f a a -=+，)(x f 的极大值为35()1327a a f =-.要使)(x f 有三个不同零点，则必须有335(1)(1)027a a +-<，即332715a a <->或. 不妨设)(x f 的三个零点为321,,x x x ，且321x x x <<， 则123()()()0f x f x f x ===，3221111()10f x x ax a x =+-+=， ① 3222222()10f x x ax a x =+-+=， ② 3223333()10f x x ax a x =+-+=， ③②-①得222212121212121()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x -+++-+--=， 因为210x x ->，所以222212121()0x x x x a x x a ++++-=， ④ 同理222332232()0x x x x a x x a ++++-=， ⑤ ⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x -+-++-=， 因为310x x ->，所以2310x x x a +++=， 又1322x x x +=，所以23ax =-. 所以()03af -=，即22239a a a +=-，即327111a =-<-，因此，存在这样实数a =满足条件.例7、已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：33b a >；（3）若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．【解析】（1）2'()32f x x ax b =++有零点，24120a b ∆=->，即23a b >，又''()620f x x a =+=，解得3a x =-，根据题意，()03a f -=，即3210333a a a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得2239b a a =+，又203a a b >⎧⎨>⎩，所以3a >，即223(3)9b a a a=+>； （2）设2433224591()3(427)(27)81381g a b a a a a a a a=-=-+=--，而3a >，故()0g a >，即23b a >； （3）设12,x x 为()f x 的两个极值点，令'()0f x =得12122,33b ax x x x =+=-，法一：332212121212()()()()2f x f x x x a x x b x x +=++++++22121212121212()[()3][()2]()2x x x x x x a x x x x b x x =++-++-+++3324242232()202732739a ab a a a a=-+=-++=． 记()f x ,()f x '所有极值之和为()S a ，12()()0f x f x +=，2'()33a a fb -=-，则221237()()()'()3392a a a S a f x f x fb a =++-=-=--≥，而23()()3a S a a =-在(3,)a ∈+∞上单调递减且7(6)2S =-，故36a <≤．法二：下面证明()f x 的图像关于(,())33a af --中心对称，233232()1()()()1333327a a a ab a f x x ax bx x b x =+++=++-++-+23()()()()3333a a a a x b x f =++-++-， 所以()()2()0333a a af x f x f --+-+=-=，所以12()()0f x f x +=，下同法一．例8、已知函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，a ∈R .(1) 曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值；(2) 若对于任意x ∈(0，＋∞)，f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围；(3) 若a ＞1，设函数f (x )在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M (a )，m (a )，记h (a )＝M (a )－m (a )，求h (a )的最小值．【解析】 (1) 因为f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ，所以曲线y ＝f(x)在x ＝0处的切线的斜率k ＝f′(0)＝6a ，所以6a ＝3，所以a ＝12.(2) f(x)＋f(－x)＝－6(a ＋1)x 2≥12ln x 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，所以－(a ＋1)≥2ln xx 2.令g(x)＝2ln xx 2，x ＞0，则g′(x)＝2（1－2ln x ）x 3.令g′(x)＝0，解得x ＝e .当x ∈(0，e )时，g′(x)＞0，所以g(x)在(0，e )上单调递增； 当x ∈(e ，＋∞)时，g′(x)＜0，所以g(x)在(e ，＋∞)上单调递减． 所以g(x)max ＝g(e )＝1e ，所以－(a ＋1)≥1e ，即a≤－1－1e，所以a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－1－1e . (3) 因为f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a)，令f′(x)＝0，则x ＝1或x ＝a.f(1)＝3a －1，f(2)＝4.由f(1)＝f(2)得到分类的节点a ＝53.①当1＜a≤53时，当x ∈(1，a)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减； 当x ∈(a ，2)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(a ，2)上单调递增．又因为f(1)≤f(2)，所以M(a)＝f(2)＝4，m(a)＝f(a)＝－a 3＋3a 2，所以h(a)＝M(a)－m(a)＝4－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋4.因为h′(a)＝3a 2－6a ＝3a(a －2)＜0，所以h(a)在⎝⎛⎦⎤1，53上单调递减， 所以当a ∈⎝⎛⎦⎤1，53时，h(a)的最小值为h ⎝⎛⎭⎫53＝827. ②当53＜a ＜2时，当x ∈(1，a)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减； 当x ∈(a ，2)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(a ，2)上单调递增．又因为f(1)＞f(2)，所以M(a)＝f(1)＝3a －1，m(a)＝f(a)＝－a 3＋3a 2，所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a －1－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋3a －1.因为h′(a)＝3a 2－6a ＋3＝3(a －1)2>0.所以h(a)在⎝⎛⎭⎫53，2上单调递增， 所以当a ∈⎝⎛⎭⎫53，2时，h(a)＞h ⎝⎛⎭⎫53＝827. ③当a≥2时，当x ∈(1，2)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(1，2)上单调递减，所以M(a)＝f(1)＝3a －1，m(a)＝f(2)＝4， 所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a －1－4＝3a －5， 所以h(a)在[2，＋∞)上的最小值为h(2)＝1. 综上，h(a)的最小值为827.【反馈练习】1、若函数f (x )＝23x 3－2ax 2－3x 在(－1,1)内有且只有一个极值点，则实数a 的取值范围是________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫－∞，－14∪⎝⎛⎭⎫14，＋∞【解析】∵f ′(x )＝2x 2－4ax －3，∴根据题意f ′(－1)·f ′(1)＜0，解得a ＞14或a ＜－14. 2、已知函数f (x )＝14x 4＋a 3x 3＋12x 2(a ∈R ，a ≠0)有且仅有3个极值点，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (－∞，－2)∪(2，＋∞) 【解析】可转化为f ′(x )＝x 3＋ax 2＋x 有三个不同的零点，从而x 2＋ax ＋1＝0有两个不等的非零实根，故Δ＝a 2－4＞0，∴a ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．3、若函数f (x )＝a 3x 3－12(a ＋1)x 2＋x －13(a ＞0)在[0,2]上有两个零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】 ⎝⎛⎦⎤0，12 【解析】f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)， ①当1a ＞1，即0＜a ＜1时，f (0)＝－13＜0，f (1)＝－16(a －1)＞0，做表7-2如下：x (－∞，1) 1 ⎝⎛⎭⎫1，1a 1a ⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) 增 极大值 减 极小值 增表7-2 (ⅰ)当2a ≤1，即0＜a ≤12时，1a ≥2，f (2)＝13(2a －1)≤0，因为f (x )在区间[0,1]上为增函数，在[1,2]上为减函数，∴f (x )在区间[0,1]和(1,2]上各有一个零点，即在[0,2]上有两个零点；(ⅱ)当2a ＞1，即12＜a ＜1时，1＜1a＜2，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－2a 2＋3a －16a 2＝－2a －1a －16a 2＞0，f (2)＝13(2a －1)＞0，∴x ∈[1,2]，f (x )＞0.∵f (x )在[0,1)上为增函数，∴f (x )在区间(0,1)有一个零点，即在[0,2]上有一个零点，不满足题设； ②当a ＝1时，f ′(x )＝(x －1)2，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (x )在[0,2]上不可能有两个零点；③当1a ＜1，即a ＞1时，f (0)＝－13＜0，f (1)＝－16(a －1)＜0，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－2a －1a －16a 2＜0，f (2)＝13(2a －1)＞0， 做表7-3如下：x ⎝⎛⎭⎫－∞，1a 1a⎝⎛⎭⎫1a ，1 1 (1，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) 增 极大值 减 极小值 增∴x ∈[0,1]，f (x )＜0，∵f (x )在[1,2]上为增函数，∴f (x )在区间(1,2]有一个零点，即在[0,2]上有一个零点，不满足题设．综上，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12.4、设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求实数m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求实数a 的取值范围．【答案】 (1)－34；(2)(－∞，2)∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 【解析】 (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)，∵x ∈R ，∴f ′(x )≥m 即3x 2－9x ＋6－m ≥0恒成立，∴Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34. (2)∵当x ＜1或x ＞2时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，1)和(2，＋∞)上递增； 当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0，f (x )在(1,2)上递减；∴当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ，当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a ，故当f (1)＜0或f (2)＞0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a ＜2或a ＞52.(或由f (1)f (2)＞0，亦可解得a ＜2或a ＞52.5、已知函数f (x )＝ax 3＋|x －a |，a ∈R .(1)若函数g (x )＝x 4，试讨论方程f (x )＝g (x )的实数解的个数；(2)当a ＞0时，若对于任意的x 1∈[a ，a ＋2]，都存在x 2∈[a ＋2，＋∞)，使得f (x 1)f (x 2)＝1 024，求满足条件的正整数a 的取值集合．【答案】(1)当a ≥1时，有两个解；当－1＜a ＜1时，有三个解；当a ≤－1时，有两个解；(2){1}． 【解析】 (1)f (x )＝g (x )即为ax 3＋|x －a |＝x 4，∴x 4－ax 3＝|x －a |，∴x 3(x －a )＝|x －a |，即x ＝a 或{ x ＞a ，x ＝1或{ x ＜a ，x ＝－1， ①当a ≥1时，方程f (x )＝g (x )有两个不同的解a ，－1；②当－1＜a ＜1时，方程f (x )＝g (x )有三个不同的解a ，－1,1； ③当a ≤－1时，方程f (x )＝g (x )有两个不同的解a,1.(2)当a ＞0时，x ∈(a ，＋∞)时，f (x )＝ax 3＋x －a ，f ′(x )＝3ax 2＋1＞0，∴函数f (x )在(a ，＋∞)上是增函数，且f (x )＞f (a )＝a 4＞0，∴当x ∈[a ，a ＋2]时，f (x )∈[f (a )，f (a ＋2)]，1 024f x ∈⎣⎡⎦⎤1 024f a ＋2，1 024f a ，当x ∈[a ＋2，＋∞)时，f (x )∈[f (a ＋2)，＋∞)．∵对任意的x 1∈[a ，a ＋2]，都存在x 2∈[a ＋2，＋∞)， 使得f (x 1)f (x 2)＝1 024，∴⎣⎡⎦⎤1 024f a ＋2，1 024f a ⊆[f (a ＋2)，＋∞)， ∴ 1 024f a ＋2≥f (a ＋2)， ∴f 2(a ＋2)≤1 024，即f (a ＋2)≤32，也即a (a ＋2)3＋2≤32，∵a ＞0，显然a ＝1满足，而a ≥2时，均不满足． ∴满足条件的正整数a 的取值的集合为{1}． 6、已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－4a(a ，b ∈R )． (1) 当a ＝b ＝1时，求f (x )的单调增区间；(2) 当a ≠0时，若函数f (x )恰有两个不同的零点，求ba的值；(3) 当a ＝0时，若f (x )<ln x 的解集为(m ，n )，且(m ，n )中有且仅有一个整数，求实数b 的取值范围．解后反思 在第(2)题中，也可转化为b a ＝4x2－x 恰有两个不同的实数解．另外，由g(x)＝x 3＋kx 2－4恰有两个不同的零点，可设g(x)＝(x －s)(x －t)2.展开，得x 3－(s ＋2t)x 2＋(2st ＋t 2)x －st 2＝x 3＋kx 2－4，所以⎩⎪⎨⎪⎧－（s ＋2t ）＝k ，2st ＋t 2＝0，－st 2＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1，t ＝－2，k ＝3.解：(1)当a ＝b ＝1时，f(x)＝x 3＋x 2－4，f′(x)＝3x 2＋2x. 令f′(x)>0，解得x>0或x<－23，所以f(x)的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(0，＋∞)． (2)法一：f′(x)＝3ax 2＋2bx ，令f′(x)＝0，得x ＝0或x ＝－2b3a ，因为函数f(x)有两个不同的零点，所以f(0)＝0或f ⎝⎛⎭⎫－2b3a ＝0. 当f(0)＝0时，得a ＝0，不合题意，舍去；当f ⎝⎛⎭⎫－2b 3a ＝0时，代入得a ⎝⎛⎭⎫－2b 3a ＋b ⎝⎛⎭⎫－2b3a 2－4a ＝0， 即－827⎝⎛⎭⎫b a 3＋49⎝⎛⎭⎫b a 3－4＝0，所以b a ＝3.法二：由于a≠0，所以f(0)≠0， 由f(x)＝0得，b a ＝4－x 3x 2＝4x2－x(x≠0)．设h(x)＝4x 2－x ，h′(x)＝－8x3－1，令h′(x)＝0，得x ＝－2，当x ∈(－∞，－2)时，h′(x)<0，h(x)递减；当x ∈(－2，0)时，h′(x)>0，h(x)递增， 当x ∈(0，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增， 当x>0时，h(x)的值域为R ，故不论b a 取何值，方程b a ＝4－x 3x 2＝4x 2－x 恰有一个根－2，此时函数f (x )＝a (x ＋2)2(x －1)恰有两个零点－2和1. (3)当a ＝0时，因为f (x )<ln x ，所以bx 2<ln x ， 设g (x )＝ln x －bx 2，则g ′(x )＝1x －2bx ＝1－2bx 2x(x >0)，当b ≤0时，因为g ′(x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上递增，且g (1)＝－b ≥0， 所以在(1，＋∞)上，g (x )＝ln x －bx 2≥0，不合题意；当b >0时，令g ′(x )＝1－2bx 2x ＝0，得x ＝12b， 所以g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12b 递增，在⎝⎛⎭⎫12b ，＋∞递减， 所以g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12b ＝ln 12b －12， 要使g (x )>0有解，首先要满足ln12b －12>0，解得b <12e. ① 又因为g (1)＝－b <0，g (e 12)＝12－b e>0，要使f (x )<ln x 的解集(m ，n )中只有一个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧g （2）>0，g （3）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ln2－4b >0，ln3－9b ≤0，解得ln39≤b <ln24. ②设h (x )＝ln xx ，则h ′(x )＝1－ln x x2，当x ∈(0，e)时，h ′(x )>0，h (x )递增；当x ∈(e ，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )递减． 所以h (x )max ＝h (e)＝1e >h (2)＝ln22，所以12e >ln24，所以由①和②得，ln39≤b ＜ln24.7、若函数y ＝f(x)在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f(x)的极值点． 设函数f(x)＝x 3－tx 2＋1(t ∈R )．(1) 若函数f (x )在(0，1)上无极值点，求t 的取值范围；(2) 求证：对任意实数t ，函数f (x )的图像总存在两条切线相互平行；(3) 当t ＝3时，函数f (x )的图像存在的两条平行切线之间的距离为4，求满足此条件的平行线共有几组． 规范解答 (1)由函数f(x)＝x 3－tx 2＋1，得f′(x)＝3x 2－2tx.由f′(x)＝0，得x ＝0，或x ＝23t.因为函数f(x)在(0，1)上无极值点，所以23t≤0或23t≥1，解得t≤0或t≥32.(2)令f′(x)＝3x 2－2tx ＝p ，即3x 2－2tx －p ＝0，Δ＝4t 2＋12p.当p ＞－t 23时，Δ＞0，此时3x 2－2tx －p ＝0存在不同的两个解x 1，x 2.设这两条切线方程为分别为y ＝(3x 21－2tx 1)x －2x 31＋tx 21＋1和y ＝(3x 22－2tx 2)x －2x 32＋tx 22＋1. 若两切线重合，则－2x 31＋tx 21＋1＝－2x 32＋tx 22＋1， 即2(x 21＋x 1x 2＋x 22)＝t(x 1＋x 2)，即2＝t(x 1＋x 2)．而x 1＋x 2＝2t 3，化简得x 1·x 2＝t 29，此时(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4t 29－4t 29＝0，与x 1≠x 2矛盾，所以，这两条切线不重合．综上，对任意实数t ，函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行． (3)当t ＝3时f(x)＝x 3－3x 2＋1，f′(x)＝3x 2－6x. 由(2)知x 1＋x 2＝2时，两切线平行．设A(x 1，x 31－3x 21＋1)，B(x 2，x 32－3x 22＋1)，不妨设x 1＞x 2，则x 1＞1.过点A 的切线方程为y ＝(3x 21－6x 1)x －2x 31＋3x 21＋1.所以，两条平行线间的距离d ＝|2x 32－2x 31－3（x 22－x 21）|1＋9（x 21－2x 1）2＝|（x 2－x 1）|1＋9（x 21－2x 1）2＝4， 化简得(x 1－1)6＝1＋92，令(x 1－1)2＝λ(λ＞0)，则λ3－1＝9(λ－1)2，即(λ－1)( λ2＋λ＋1)＝9(λ－1)2，即(λ－1)( λ2－8λ＋10)＝0.显然λ＝1为一解，λ2－8λ＋10＝0有两个异于1的正根，所以这样的λ有3解． 因为x 1－1＞0，所以x 1有3解， 所以满足此条件的平行切线共有3组．8、已知函数g(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a ，b ∈R )有极值，且函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点是g (x )的极值点，其中e 是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值) (1) 求b 关于a 的函数关系式；(2) 当a >0时，若函数F (x )＝f (x )－g (x )的最小值为M (a )，证明：M (a )<－73.规范解答 (1) 因为f′(x)＝e x ＋(x ＋a)e x ＝(x ＋a ＋1)e x ，令f′(x)＝0，解得x ＝－a －1. 列表如下：所以x ＝－a －1时，f(x)取得极小值． 因为g′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意可知g′(－a －1)＝0，且Δ＝4a 2－12b>0， 所以3(－a －1)2＋2a(－a －1)＋b ＝0， 化简得b ＝－a 2－4a －3.由Δ＝4a 2－12b ＝4a 2＋12(a ＋1)(a ＋3)>0，得a≠－32.所以b ＝－a 2－4a －3⎝⎛⎭⎫a≠－32. (2) 因为F(x)＝f(x)－g(x)＝(x ＋a)e x －(x 3＋ax 2＋bx)，所以 F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝(x ＋a ＋1)e x －[3x 2＋2ax －(a ＋1)(a ＋3)] ＝(x ＋a ＋1)e x －(x ＋a ＋1)(3x －a －3) ＝(x ＋a ＋1)(e x －3x ＋a ＋3)．记h(x)＝e x －3x ＋a ＋3，则h′(x)＝e x －3，令h′(x)＝0，解得x ＝ln 3. 列表如下：所以x ＝ln 3时，h(x)取得极小值，也是最小值， 此时，h(ln 3)＝e ln 3－3ln 3＋a ＋3＝6－3ln 3＋a ＝3(2－ln 3)＋a ＝3ln e 23＋a>a>0.所以h(x)＝e x －3x ＋a ＋3≥h(ln 3)>0， 令F′(x)＝0，解得x ＝－a －1. 列表如下：所以x ＝－a －1时，F(x)取得极小值，也是最小值． 所以M(a)＝F(－a －1)＝(－a －1＋a)e －a －1－[(－a －1)3＋a(－a －1)2＋b(－a －1)]＝－e－a －1－(a ＋1)2(a ＋2)．令t ＝－a －1，则t<－1，记m(t)＝－e t －t 2(1－t)＝－e t ＋t 3－t 2，t<－1， 则m′(t)＝－e t ＋3t 2－2t ，t<－1. 因为－e －1<－e t <0，3t 2－2t>5， 所以m′(t)>0，所以m(t)单调递增． 所以m(t)<－e －1－2<－13－2＝－73，即M(a)<－73.。