2018届高中数学 苏教版 垂直关系 单元测试 word版(含参考答案)

2018-2019数学苏教版必修2 第1章1.2.4第二课时两平面垂直作业[学业水平训练]1.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，如图所示，图中互相垂直的平面有________对．解析：∵DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA＝A，∴DA⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB，AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD，∴平面AC⊥平面PAD，平面AC⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PDC⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD，共5对．答案：52.如图，四面体P-ABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.解析：取AB的中点E，连结PE，PA＝PB，∴PE⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，连结CE，所以PE⊥CE.∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，答案：面面垂直的判定定理5.平面四边形ABCD ，其中AB ＝AD ＝1，BC ＝CD ＝2，AB ⊥AD ，沿BD 将△ABD 折起，使得AC ＝1，则二面角A -BD -C 的平面角的正弦值为________． 解析：取BD 中点E ，连结AE ，CE .∵AB ＝AD ，BC ＝CD ，∴AE ⊥BD ，CE ⊥BD ，∴∠AEC 为二面角A -BD -C 的平面角． △DAB 中，AB ＝AD ＝1，AB ⊥AD ，∴AE ＝22. △BCD 中，BC ＝CD ＝2， BD ＝2，∴CE ＝62.又AC ＝1， ∴△AEC 中，AE 2＋AC 2＝CE 2，∠EAC ＝90°.∴sin ∠AEC ＝AC EC ＝26＝63. 答案：636．如图，把边长为a 的正三角形ABC 沿高线AD 折成60°的二面角，这时顶点A 到BC 的距离是________．解析：在翻折后的图形中，∠BDC 为二面角B －AD －C 的平面角，即∠BDC ＝60°，AD ⊥平面BDC .过D 作DE ⊥BC 于E ，连结AE ，则E 为BC 的中点，且AE ⊥BC ，所以AE 即为点A 到BC 的距离．易知，AD ＝32a ，△BCD 是边长为a 2的等边三角形，所以DE ＝34a ，AE ＝AD 2＋DE 2＝154a . 答案：154a 7．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，直线SC ⊥平面ABCD ，E 是SA 的中点，求证：平面EDB ⊥平面ABCD .证明：连结AC ，交BD 于点F ，连结EF ， ∴EF 是△SAC 的中位线，∴EF ∥SC .∵SC ⊥平面ABCD ，∴EF⊥平面ABCD.又EF⊂平面EDB，∴平面EDB⊥平面ABCD.8.如图：三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.证明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB.∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.[高考水平训练]1．如图所示，沿直角三角形ABC的中位线DE 将平面ADE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A-BCDE.则平面ABC与平面ACD的关系是________．解析：∵AD⊥DE，平面ADE⊥平面BCDE，且平面ADE∩平面BCDE＝DE，∴AD⊥平面BCDE.又BC⊂平面BCDE，∴AD⊥BC.又BC⊥CD，CD∩AD＝D，∴BC⊥平面ACD，又BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD.答案：垂直2.如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．解析：如图，过点A作AC⊥l，垂足为C，AD⊥β，垂足为D，连结CD、BD.由题意知∠ACD＝60°，∠ABC＝30°，∠ABD即为AB与平面β所成的角．设AC ＝a，则AB＝2a，AD＝32a，∴sin∠ABD＝32a2a＝34.答案：3 43．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起．(1)如果二面角A-DE-C是直二面角，求证：AB ＝AC；(2)如果AB＝AC，求证：平面ADE⊥平面BCDE. 证明：(1)过点A作AM⊥DE于点M，则AM⊥平面BCDE，∴AM⊥BC.又AD＝AE，∴M是DE的中点，取BC中点N，连结MN，AN，则MN⊥BC.又AM⊥BC，AM∩MN＝M，∴BC⊥平面AMN，∴AN⊥BC.又∵N是BC的中点，∴AB＝AC.(2)取BC的中点N，连结AN，∵AB＝AC，∴AN⊥BC.取DE的中点M，连结MN，AM，∴MN⊥BC.又AN∩MN＝N，∴BC⊥平面AMN，∴AM⊥BC.又M是DE的中点，AD＝AE，∴AM⊥DE.又∵DE与BC是平面BCDE内的相交直线，∴AM⊥平面BCDE.∵AM⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCDE.4.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边的中点，能否在棱上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．解：(1)证明：如图所示，设G为AD的中点，连接PG，BG，∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD. 在菱形ABCD中，∵∠BAD＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD.又∵BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB.∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.设F为PC的中点，则在△PBC中，FE∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE.∵FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，∴平面DEF∥平面PGB.由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.。

（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题8 立体几何与空间向量第51练 垂直的判定与性质练习 理BC ＝8，DF ＝5.求证：(1)直线PA ∥平面DEF ；(2)平面BDE ⊥平面ABC .2．(2016·福州质检)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AA 1的中点，O 为底面正方形对角线B 1D 1与A 1C 1的交点．(1)求证：AC 1⊥平面B 1D 1C ；(2)过E 构造一条线段与平面B 1D 1C 垂直，并证明你的结论．3．(2016·张掖第二次诊断)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，且△ABC 为正三角形，AA 1＝AB ＝6，D 为AC 的中点．(1)求证：直线AB 1∥平面BC 1D ；(2)求证：平面BC 1D ⊥平面ACC 1A 1；(3)求三棱锥C －BC 1D 的体积．4．(2016·山东省实验中学质检)如图所示，ABC－A1B1C1是底面边长为2，高为32的正三棱柱，经过AB的截面与上底面相交于PQ，设C1P＝λC1A1(0＜λ＜1)．(1)证明：PQ∥A1B1；(2)是否存在λ，使得平面CPQ⊥截面APQB？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．答案精析1．证明 (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥PA .又因为PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以直线PA ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，PA ＝6，BC ＝8，所以DE ∥PA ，DE ＝12PA ＝3， EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF .又PA ⊥AC ，DE ∥PA ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC .又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .2．(1)证明 ∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1， B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴AA 1⊥B 1D 1，∵A 1C 1⊥B 1D 1，且AA 1∩A 1C 1＝A 1，AA 1⊂平面AA 1C 1，A 1C 1⊂平面AA 1C 1，∴B 1D 1⊥平面AA 1C 1，∵AC 1⊂平面AA 1C 1，∴B 1D 1⊥AC 1.同理可得B 1C ⊥平面ABC 1，B 1C ⊥AC 1，∵B 1D 1∩B 1C ＝B 1，B 1D 1⊂平面B 1D 1C ，B 1C ⊂平面B 1D 1C ，∴AC 1⊥平面B 1D 1C .(2)解连结EO，则线段EO与平面B1D1C垂直．证明如下：∵E是AA1的中点，O是A1C1的中点，∴EO∥AC1.∵AC1⊥平面B1D1C，∴EO⊥平面B1D1C.3．(1)证明连结B1C交BC1于点O，连结OD，如图，则点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴AB1∥OD.∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴直线AB1∥平面BC1D.(2)证明∵AA1⊥底面ABC，BD⊂底面ABC，∴AA1⊥BD.∵△ABC是正三角形，D是AC的中点，∴BD⊥AC.∵AA1∩AC＝A，AA1⊂平面ACC1A，AC⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1.∵BD⊂平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A1.(3)解由(2)知，在△ABC中，BD⊥AC，BD＝BC sin 60°＝33，∴S △BCD ＝12×3×33＝932， ∴V 三棱锥C －BC 1D ＝V 三棱锥C 1－BCD ＝13×932×6＝9 3. 4．(1)证明 由正三棱柱的性质可知，平面A 1B 1C 1∥平面ABC ，又因为平面APQB ∩平面A 1B 1C 1＝PQ ，平面APQB ∩平面ABC ＝AB ，所以PQ ∥AB .又因为AB ∥A 1B 1，所以PQ ∥A 1B 1.(2)解 假设存在这样的λ满足题意，分别取AB 的中点D ，PQ 的中点E ，连结CE ，DE ，CD .由(1)及正三棱柱的性质可知△CPQ 为等腰三角形，APQB 为等腰梯形，所以CE ⊥PQ ，DE ⊥PQ ，所以∠CED 为二面角A －PQ －C 的平面角．连结C 1E 并延长交A 1B 1于点F ，连结DF .因为C 1P C 1A 1＝C 1E C 1F＝λ， C 1A 1＝2，C 1F ＝3， 所以C 1E ＝3λ，EF ＝3(1－λ)．在Rt△CC 1E 中可求得CE 2＝34＋3λ2， 在Rt△DFE 中可求得DE 2＝34＋3(1－λ)2. 若平面CPQ ⊥截面APQB ，则∠CED ＝90°，所以CE 2＋DE 2＝CD 2，代入数据整理得3λ2－3λ＋34＝0，解得λ＝12，即存在满足题意的λ，λ＝12.。

第3讲线面垂直与面面垂直考试要求 1.空间中线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，B级要求；2.运用线面垂直、面面垂直的判定定理及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题，B级要求．知识梳理1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与一个平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)判定定理与性质定理(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( )(2)垂直于同一个平面的两平面平行．( )(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( )(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( )解析(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则有l⊥α或l与α斜交或l⊂α或l∥α，故(1)错误．(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误．(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误．(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线，则α⊥β，故(4)错误．答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．给出下列命题：①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β；③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ；④如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β.其中错误的命题是________(填序号)．解析对于④，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他命题易知均是正确的．答案④3．(2016·浙江卷改编)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，给出下列结论：①m∥l；②m∥n；③n⊥l；④m⊥n.其中正确的是________(填序号)．解析因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l.答案③4．(2017·盐城模拟)设α，β，γ为互不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直；④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析借助于正方体易知①②正确；对于③，若平面α内与直线l垂直的无数条直线都平行，则直线l可能与平面α不垂直，所以③错；④中的不共线的三点有可能是在平面β的两侧，所以两个平面可能相交或平行．故填①②.答案①②5．(必修2P42习题16)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．图1 图2(2)如图2，∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB的高．同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．答案(1)外(2)垂考点一线面垂直的判定与性质【例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明 (1)在四棱锥P －ABCD 中， ∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥CD ，又∵AC ⊥CD ，且PA ∩AC ＝A ， ∴CD ⊥平面PAC .而AE ⊂平面PAC ， ∴CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA . ∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC . 由(1)知AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ， ∴AE ⊥平面PCD .而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD . ∵PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥AB .又∵AB ⊥AD ，且PA ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面PAD ，而PD ⊂平面PAD ， ∴AB ⊥PD .又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .规律方法 (1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a ，l ⊥a ，l ⊂β⇒l ⊥α)． (2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．【训练1】 (2017·泰州期末)如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且AD ＝13DB ，点C 为圆O 上一点，且BC ＝3AC ，PD ⊥平面ABC ，PD ＝DB .求证：PA ⊥CD .证明 因为AB 为圆O 的直径，所以AC ⊥CB . 在Rt △ABC 中，由3AC ＝BC 得，∠ABC ＝30°. 设AD ＝1，由3AD ＝DB 得，DB ＝3，BC ＝2 3.由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC cos 30°＝3，所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AB.因为PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AB＝D得，CD⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以PA⊥CD.考点二面面垂直的判定与性质【例2】(2015·山东卷)如图，三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.证明(1)连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G为AC中点，可得DF∥GC，且DF＝GC，则四边形DFCG为平行四边形．从而M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD，又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，故BD∥平面FGH.(2)连接HE，因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.规律方法(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理．(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．【训练2】如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA 的中点．(1)求证：PB∥平面MNC；(2)若AC＝BC，求证：PA⊥平面MNC.证明(1)因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MN∥PB.又因为MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，所以PB∥平面MNC.(2)因为PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN.因为AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.因为平面PAB⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB.所以CM⊥平面PAB.因为PA⊂平面PAB，所以CM⊥PA.又MN∩CM＝M，所以PA⊥平面MNC.考点三平行与垂直的综合问题(多维探究)命题角度一平行与垂直关系的证明【例3－1】(2016·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1. 因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F. 因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.规律方法(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．(2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．命题角度二平行垂直中探索性问题【例3－2】如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点．(1)证明：AE∥平面BDF；(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．(1)证明连接AC交BD于O，连接OF，如图①.∵四边形ABCD是矩形，∴O为AC的中点，又F为EC的中点，∴OF为△ACE的中位线，∴OF∥AE，又OF⊂平面BDF，AE⊄平面BDF，∴AE∥平面BDF.(2)解当P为AE中点时，有PM⊥BE，证明如下：取BE中点H，连接DP，PH，CH，∵P为AE的中点，H为BE的中点，∴PH∥AB，又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四点共面．∵平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD⊂平面ABCD，CD⊥BC.∴CD⊥平面BCE，又BE⊂平面BCE，∴CD⊥BE，∵BC＝CE，H为BE的中点，∴CH⊥BE，又CD∩CH＝C，∴BE⊥平面DPHC，又PM⊂平面DPHC，∴BE⊥PM，即PM⊥BE.规律方法(1)求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．【训练3】(2017·南通调研)在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC＝3，AB＝2BC＝2，AC⊥FB.(1)求证：AC⊥平面FBC；(2)求四面体FBCD的体积；(3)线段AC上是否存在点M，使EA∥平面FDM？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．(1)证明在△ABC中，因为AC＝3，AB＝2，BC＝1，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.又因为AC⊥FB，BC∩FB＝B，所以AC ⊥平面FBC .(2)解 因为AC ⊥平面FBC ，FC ⊂平面FBC ，所以AC ⊥FC . 因为CD ⊥FC ，AC ∩CD ＝C ，所以FC ⊥平面ABCD . 在等腰梯形ABCD 中可得CB ＝DC ＝1，所以FC ＝1. 所以△BCD 的面积为S ＝34. 所以四面体FBCD 的体积为V F －BCD ＝13S ·FC ＝312.(3)解 线段AC 上存在点M ，且点M 为AC 中点时，有EA ∥平面FDM .证明如下：连接CE ，与DF 交于点N ，取AC 的中点M ，连接MN . 因为四边形CDEF 是正方形，所以点N 为CE 的中点． 所以EA ∥MN .因为MN ⊂平面FDM ，EA ⊄平面FDM ， 所以EA ∥平面FDM .所以线段AC 上存在点M ，且M 为AC 的中点，使得EA ∥平面FDM 成立.[思想方法]1．证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α； (2)判定定理1：⎭⎪⎬⎪⎫m ，n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n⇒l ⊥α；(3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；(4)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β； 2．证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β. 3．转化思想：垂直关系的转化[易错防范]1．证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件．2．面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视．3．面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误．4．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2017·南京调研)对于直线l，m，平面α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填一个)．解析若m⊂α，l⊥m，则直线l与平面α垂直、相交、平行或直线l在平面α内都有可能，充分性不成立；若m⊂α，l⊥α，则l⊥m，必要性成立，所以“l⊥m”是“l⊥α”成立的必要不充分条件．答案必要不充分2．(2017·深圳四校联考)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，给出下列命题：①过点P垂直于平面α的直线平行于平面β；②过点P垂直于直线l的直线在平面α内；③过点P垂直于平面β的直线在平面α内；④过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β.其中假命题为________(填序号)．解析由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此也平行于平面β，因此①正确．过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此②不正确．根据面面垂直的性质定理知，③，④正确．答案②3．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．解析∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．答案 44．在正三棱锥(底面为正三角形且侧棱相等)P－ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________．解析如图，∵P－ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC；又∵DE∥AC，DE⊂平面PDE，AC⊄平面PDE，∴AC∥平面PDE.故①②正确．答案①②5．(2017·苏北四市联考)已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l⊥α，m⊂β.给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③m∥α⇒l⊥β；④l⊥β⇒m∥α.其中正确的命题是________(填序号)．解析若l⊥α，α∥β，则l⊥β，又m⊂β，则l⊥m，故①正确；若l⊥α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，又m⊂β，则l与m可能平行、相交或异面，故②错误；若l⊥α，m∥α，则l⊥m，又m⊂β，则l与β可能平行、相交或l⊂β，故③错误；若l⊥α，l⊥β，则α∥β，又m⊂β，则m∥α，故④正确．综上，正确的命题是①④.答案①④6．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)．解析由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD.又PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)7．(2017·徐州检测)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD 和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D－ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是________(填序号)．解析由题意知，BD⊥平面ADC，且AC⊂平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错．答案①②③8．(2016·全国Ⅱ卷改编)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________(填序号)．解析对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l⊂α，n∥l，m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m⊂α，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n 与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．答案②③④二、解答题9．(2017·苏州调研)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC ＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D －BCG 的体积． (1)证明 由已知得△ABC ≌△DBC ， 因此AC ＝DC .又G 为AD 的中点，所以CG ⊥AD .同理BG ⊥AD ，又BG ∩CG ＝G ，因此AD ⊥平面BCG . 又EF ∥AD ，所以EF ⊥平面BCG . (2)解 在平面ABC 内，作AO ⊥BC ，交CB 的延长线于O ，如图由平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，AO ⊂平面ABC ，知AO ⊥平面BDC .又G 为AD 中点，因此G 到平面BDC 的距离h 是AO 长度的一半． 在△AOB 中，AO ＝AB ·sin 60°＝3， 所以V D －BCG ＝V G －BCD ＝13S △DBC ·h ＝13×12BD ·BC ·sin 120°·32＝12. 10．(2017·盐城模拟)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为棱AB ，PC 的中点．(1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：平面PDE ⊥平面PEC .证明 (1)如图1，取PD 的中点G ，连接AG ，FG . 因为F ，G 分别是PC ，PD 的中点， 所以GF ∥DC ，且GF ＝12DC .又E 是AB 的中点，所以AE ∥DC ，且AE ＝12DC ，所以GF ∥AE ，且GF ＝AE ，所以四边形AEFG 是平行四边形，故EF ∥AG .又AG⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.图1(2)因为PD⊥底面ABCD，CE⊂底面ABCD，所以CE⊥PD.如图2，取DC中点H，连接EH.因为四边形ABCD是矩形，且AB＝2AD，所以四边形ADHE，四边形BCHE都是正方形，所以∠DEH＝∠CEH＝45°，即CE⊥DE.又PD∩DE＝D，PD⊂平面PDE，DE⊂平面PDE，所以CE⊥平面PDE.又CE⊂平面PEC，所以平面PDE⊥平面PEC.图2能力提升题组(建议用时：20分钟)11．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面：①若m⊥n，n∥α，则m⊥α；②若m∥β，β⊥α，则m⊥α；③若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α；④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.上述命题中为真命题的是________(填序号)．解析①中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；②中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；③中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n ⊥α，所以m⊥α，正确；④中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m ⊂α，错误．答案③12．(2017·南京师大模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF 内的射影为O，给出下列结论：①O是△AEF的垂心；②O是△AEF的内心；③O是△AEF的外心；④O是△AEF的重心．其中结论正确的是________(填序号)．解析由题意可知PA，PE，PF两两垂直，所以PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，所以EF⊥平面PAO，∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，∴O为△AEF的垂心．答案①13．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(填序号)．解析由PA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，得PA⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴AE⊥PB，①正确；又平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；由正六边形的性质得BC ∥AD ，又AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ，∴BC ∥平面PAD ，∴直线BC ∥平面PAE 也不成立，③错；在Rt △PAD 中，PA ＝AD ＝2AB ，∴∠PDA ＝45°，∴④正确． 答案 ①④14．(2016·四川卷)如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由． (2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .(1)解 取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点，理由如下：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD .所以BC ∥AM ，且BC ＝AM .所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM ∥AB . 又AB ⊂平面PAB .CM ⊄平面PAB . 所以CM ∥平面PAB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)证明 由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面ABCD .又BD ⊂平面ABCD ， 从而PA ⊥BD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，M 为AD 的中点，连接BM ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD . 所以四边形BCDM 是平行四边形， 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB .又BD⊂平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.。

1.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，给出以下四个结论：(1)直线D1C∥平面A1ABB1；(2)直线A1D1与平面BCD1相交；(3)直线AD⊥平面D1DB；(4)平面BCD1⊥平面A1ABB1 .上述结论中，所有正确结论的序号为__________．2.在所有棱长都相等的三棱锥P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下列四个命题：(1)BC∥平面PDF；(2)DF∥平面PAE；(3)平面PDF⊥平面ABC; (4)平面PDF⊥平面PAE.其中正确命题的序号为__________．解析：由条件可证BC∥DF ，则BC∥平面PDF ，从而(1)正确；因为DF 与AE相交，所以(2)错误；取DF 中点M(如图)，则PM⊥DF ，且可证PM与AE不垂直，所以(3)错误；而DM⊥PM，DM⊥AM，则DM⊥平面PAE.又DM⊂平面PDF ，故平面PDF ⊥平面PAE，所以(4)正确．综上所述，正确命题的序号为(1)(4)．3.如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，其中正确命题的序号为__________．①|BM|是定值；②点M在圆上运动；③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE.解析：取DC中点N，连接MN，NB，则MN∥A1D，NB∥DE，所以平面MNB∥平面A1DE，4.(2017·苏锡常镇二模)如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，AC＝BC，∠ACD＝90°.(1)求证：AB⊥平面EDC；(2)若P为FG上任一点，证明：EP∥平面BCD.解析：(1)因为平面ABC⊥平面ACD，∠ACD＝90°，即CD⊥AC，平面ABC∩平面ACD＝AC，CD⊂平面ACD，所以CD⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，所以CD⊥AB，因为AC＝BC，E为AB的中点，所以CE⊥AB，又CE∩CD＝C，CD⊂平面EDC，CE⊂平面EDC，所以AB⊥平面EDC.(2)连EF ，EG，因为E，F 分别为AB，AD的中点，所以EF ∥BD，又BD⊂平面BCD，EF ⊄平面BCD，所以EF ∥平面BCD，同理可证EG∥平面BCD，且EF ∩EG＝E，EF ⊂平面BCD，EG⊂平面BCD，所以平面EF G∥平面BCD，又P为F G上任一点，所以EP∥平面EF G，所以EP∥平面BCD.5.(2017·南京二模)如图，四棱锥P­ABCD中， AD⊥平面PAB，AP⊥AB.(1)求证：CD⊥AP；(2)若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB.解析：(1)因为AD⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，所以AD⊥AP.又因为AP⊥AB，AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD.因为CD⊂平面ABCD，所以CD⊥AP.6. (2017·江苏卷)如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D 不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.解析：(1)在平面ABC内，因为AB⊥AD，EF ⊥AD，所以EF ∥AB，又因为EF ⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF ∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD，因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD，又因为AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC，又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.7.如图，在三棱锥S­ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝AB＝AC＝33BC，D是边BC的中点，E是线段AD上一点，且AE＝4DE，M是线段SD上一点．(1)求证：BC⊥AM；(2)若AM⊥平面SBC，求证：EM∥平面ABS.解析：(1)因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC. 又SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以SA⊥BC.又AD∩SA＝A，所以BC⊥平面SAD.又AM⊂平面SAD，所以BC⊥AM.8.如图，四棱锥P ­ABCD 的底面为矩形，且AB ＝2BC ，E ，F 分别为棱AB ，PC 的中点．(1)求证：EF ∥平面PAD ；(2)若点P 在平面ABCD 内的正投影O 在直线AC 上，求证：平面PAC ⊥平面PDE .解析：(1)证法1 如图1，取线段PD 的中点M ，连结F M ，AM .图1因为F 为PC 的中点，所以F M ∥CD ，且F M ＝12CD . 因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，所以EA ∥CD ，且EA ＝12CD .所以F M∥EA，且F M＝EA.所以四边形AEF M为平行四边形．所以EF ∥AM.又AM⊂平面PAD，EF ⊄平面PAD，所以EF ∥平面PAD.证法2 如图2，连结CE并延长交DA的延长线于点N，连结PN.图2因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC.所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE.又AE＝EB，所以△CEB≌△NEA.所以CE＝NE.又F 为PC的中点，所以EF ∥NP.又NP⊂平面PAD，EF ⊄平面PAD，所以EF ∥平面PAD.证法3 如图3，取CD的中点Q，连结F Q，EQ.图3因为Q ，F 分别为CD ，CP 的中点，所以F Q ∥PD .又PD ⊂平面PAD ，F Q ⊄平面PAD ，所以F Q ∥平面PAD .又F Q ，EQ ⊂平面EQF ，F Q ∩EQ ＝Q ，所以平面EQF ∥平面 PAD .因为EF ⊂平面EQF ，所以EF ∥平面PAD .(2)设AC ，DE 相交于点G (如图 4)．图4在矩形ABCD 中，因为AB ＝2BC ，E 为AB 的中点．所以DA AE ＝CD DA ＝ 2.又∠DAE ＝∠CDA ，所以△DAE ∽△CDA ，所以∠ADE ＝∠DCA .又∠ADE ＋∠CDE ＝∠ADC ＝90°，所以∠DCA ＋∠CDE ＝90°.由△DGC 的内角和为180°，得∠DGC ＝90°.即DE ⊥AC .因为点P 在平面ABCD 内的正投影O 在直线AC 上，所以PO ⊥平面ABCD .因为DE ⊂平面 ABCD ，所以PO ⊥DE .因为PO ∩AC ＝O ，PO ，AC ⊂平面PAC ，所以DE ⊥平面PAC ，又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE .9.在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AA 1＝2AB ，点D 是BC 的中点，点M 在CC 1上，且CM ＝18CC 1. 求证：(1)AC 1∥平面AB 1D ；(2)平面AB1D⊥平面ABM.解析：(1) 记A1B∩AB1＝O，连接OD.因为四边形AA1B1B为矩形，所以O是A1B的中点，又因为D是BC的中点，所以A1C∥OD.又因为A1C⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D.(2)因为△ABC是正三角形，D是BC的中点，所以AD⊥BC.10.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD 沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是__________．解析：如图所示，在矩形ABCD 中，过点D 作DG ⊥AF ，垂足为点G ，且交AB 于点H ，将△AF D 沿AF 翻折后，形成二面角 D ­AF ­B .因为∠DGH 为二面角D ­AF ­B 的平面角，所以点D 在平面ABCD 上的射影在直线GH 上，又因为平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ，所以点D 在平面ABC 上的射影在直线AB 上，从而点D 在平面ABC 上的射影就是直线AB 与直线GH 的交点H ，又已知点D 在平面ABC 上的射影为点 K ，所以点H 与点K 重合，在矩形ABCD 中，因为△DAH ∽△F DA ，所以AH DA ＝DA FD ，又AD ＝BC ＝1，所以AH ＝1DF，因为DF ∈(1,2)，所以t ＝AH ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 11.如图所示，在三棱台ABC ­DEF 中， CF ⊥平面DEF ，AB ⊥BC .(1)设平面ACE ∩平面DEF ＝a ，求证：DF ∥a ；(2)若EF ＝CF ＝2BC ，试问在线段BE 上是否存在点G ，使得平面DFG ⊥平面CDE ？若存在请确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．(2)线段BE 上存在点G ，且BG ＝13BE ，使得平面DF G ⊥平面CDE . 证明如下：如图所示，取CE 的中点O ，连接F O 并延长交BE 于点G ，连接GD ，因为CF ＝EF ，所以GF ⊥CE .在三棱台ABC ­DEF 中，AB ⊥BC ⇒DE ⊥EF ，由CF ⊥平面DEF ⇒CF ⊥DE ，又CF ∩EF ＝F ，所以DE ⊥平面CBEF ，所以DE ⊥GF .⎭⎪⎫GF ⊥CEGF ⊥DE CE ∩DE ＝E ⇒GF ⊥平面CDE ，又GF ⊂平面DF G ，所以平面DF G ⊥平面CDE ，此时，侧面BCF E 的平面图如图所示，延长F G ，交CB 的延长线于点H ，因为O 是CE 的中点，EF ＝CF ＝2BC ，由平面几何知识可证得△HOC ≌△F OE ，所以HB ＝BC ＝12EF ， 由△HGB ∽△F GE ，可知BG GE ＝12， 即BG ＝13BE . 12.如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝BB 1，点D ，E 分别为BC ，CC 1的中点．(1)求证：B 1D ⊥平面ABE ；(2)若点P 是线段B 1D 上一点且满足B 1P PD ＝12，求证：A 1P ∥平面ADE .解析：(1)在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，BB 1⊥面ABC ，AB ⊂面ABC ，所以BB 1⊥AB ，因为∠ABC ＝90°，所以BC ⊥AB ，又BC ∩BB 1＝B ，所以AB ⊥面BCC 1B 1，因为DB 1⊂面BCC 1B 1，所以AB ⊥DB 1，因为在平面BCC 1B 1中，BC ＝BB 1，所以四边形BCC 1B 1为正方形，因为点D ，E 分别为BC ，CC 1的中点，所以△BCE ∽△B 1BD ，所以∠CBE ＝∠BB 1D ，所以∠CBE ＋∠B 1DB ＝π2，即B 1D ⊥BE ，又因为BA ∩BE ＝B ，所以B 1D ⊥面ABE .。