向量代数与空间解析几何复习题

向量代数与空间解析几何试题A一．选择题1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ ）（A ）5 （ B ） 3 （ C ） 6 （ D ）92. 设234,5=+-=-+a i j k b i j k ，则向量2=-c a b 在y 轴上的分向量是（ ）．（A ） 7 （B ）7j （ C ）–1； （D ）-9k3．平面1234x y z ++=与平面2341x y z +-=的位置关系是( )．(A) 相交但不垂直 (B) 互相垂直 (C) 平行但不重合 (D) 互相重合4．两直线182511 :1+=--=-z y x L 与⎩⎨⎧=+=-.32,6 :2z y y x L 的夹角为（ ）.（A ） 6 π； （B ） 4 π； （C ） 2 π；（D ） 3π。

5. 母线平行于x 轴且通过曲线2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩的柱面方程是( )．(A) 223216x z += (B) 22316y z -= (C) 22216x y += (D) 2316y z -= ６.已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是 （ ） A. ；5 B. ；3 C. 6； D. 9.二．填空题1． 设向量2a i j k =-+，42b i j k λ=-+，则当=λ__ ____时，a 与b 垂直.2.已知2a =，2b =，且2a b ⋅=，则a b ⨯= .3．设一平面过原点及)2 ,3 ,6(-A ，且与平面824=+-z y x 垂直，则此平面方程为 。

4．曲线L :⎩⎨⎧-==+1222x z z y x ，关于平面xoy 的投影柱面的方程为 。

5．平面xoy 上的双曲线369422=-y x 绕x 轴旋转而成的旋转曲面的方程为 。

6. 已知2a =，2b =，且2a b ⋅=，则a 与b的夹角θ= ；7. 平面0523=-+z y x 的法向量=n ．三．判断题1. 任何向量都有确定的方向.（ ）2. 与非零向量a 同向的单位向量a 只有1个. （ ）3. 设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有 +=-a b a b .（ ）4. 若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有0⋅a b =（ ）．5. 若两向量,a b 满足关系a b a b +=+，则,a b 同向。

第八章一、填空题8.1.1.1、点)1,3,2(-M 关于xoy 面的对称点是)1,3,2(-- .8.1.2.3、向量)2,20(),1,4,2(-=-=b a ϖϖ，则同时垂直于b a ϖϖ,的单位向量为)1,1,1(31--±. 8.1.3.1、向量=⊥-=-=c ,),,2,1(),1,1,3(　则：　且　b a c b a ϖϖϖϖ 1 . 8.1.41、点)1,2,1(M 到平面01022=-++z y x 的距离为 1 .8.1.51、. 过点02)1,2,1(=+-z y x 与平面 平行的平面方程为12=+-z y x 8.1.6.2、平面3=y 在坐标系中的位置特点是 平行xoz 面 .8.1.7.2、过三点A （2，0，0），B （0，3，0），C （0，0，4）的平面方程为1432=++z y x . 8.1.8.2、过两点）（，（2,0,1),1,2321--M M 的直线方程是12241-==-+z y x . 8.1.9.3、过点)4,2,0(且与平面2312=-=+z y z x 及都平行的直线是14322-=-=-z y x . 8.1.10.3、曲面z y x =-22在xoz 面上的截痕的曲线方程为⎩⎨⎧==02y z x . 二、选择题8.2.1.2、点)3,0,4(在空间直角坐标的位置是 （ C ）A ．y 轴上； B. xoy 平面上； C. xoz 平面上； D. 第一卦限内。

8.2.2.2、设AB 与u 轴交角为α，则AB 在u 轴上的投影AB j u Pr = （C ）A ．αcos ； B. αsin ； C. α ； D. α.8.2.3.2、两个非零向量b a ρρ与互相垂直，则 （ B ）A ．其必要不充分条件是0=⋅b a ϖϖ； B. 充分必要条件是0=⋅b a ϖϖ；C ．充分不必要条件是0=⋅b a ϖϖ； D. 充分必要条件是0=⨯b a ϖϖ.8.2.4.2、向量),,(z y x a a a a =ϖ, ),,(z y x b b b b =ϖ 且 0=++z z y y x x b a b a b a 则 （ C ）A. b a ϖϖ//；B. λλ(b a ϖϖ=为非零常数) ；C. b a ϖϖ⊥ ；D. 0ϖϖϖ=+b a .8.2.5.2、平面0633=--y x 的位置是 （ B ）A ．平行xoy 面；B . 平行z 轴 ； C. 垂直z 轴； D. 通过z 轴.8.2.6.2、过点131111)1,1,1(--=+=-z y x 与直线 垂直的平面方程为 （ A ） A. 1=-+z y x ； B. 2=-+z y x ；C. 3=-+z y x ；D. 0=-+z y x .8.2.7.2、直线37423L z y x =-+=-+：与平面3224=--z y x 的位置关系是（ A ） A ．平行； B. 直线在平面上； C. 垂直相交； D. 相交但不垂直.8.2.8.2、xoy 面上曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周，所得曲面方程是（ C ）A ．369)4222=-+y z x （； B. 36)(9)42222=+-+z y z x （; C. 36)(94222=+-z y x ; D. 369422=-y x .8.2.9.2、球面2222R z y x =++与平面a z x =+交线在xoy 平面上投影曲线方程是（ D ）A ．2222)R z y z a =++-（； B. ⎩⎨⎧==++-0)(2222z R z y z a ； C. 2222)(R x a y x =-++； D. ⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 8.2.10.3、方程⎩⎨⎧==++13694222y z y x 表示 （ B ）A ．椭球面； B. 1=y 平面上椭圆；C. 椭圆柱面；D. 椭圆柱面在平面0=y 上的投影曲线.三、计算题8.3.1.2、 一平面过点)1,0,1(-，且平行于向量)0,1,1()1,1,2(-==b a ϖϖ和，求这个平面。

考研数学一-向量代数和空间解析几何(总分：110.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：11，分数：22.00)1.设a，b为非零向量，且a⊥b，则必有（分数：2.00）A.(A) |a+b|=|a|+|b|．B.(B) |a-b|=|a|-|b|．C.(C) |a+b|=|a-b|．√D.(D) a+b=a-b．解析：[分析] 由“非零向量a，b满足|a+b|=|a|+|b|的充要条件是a与b方向相同”可知，(A)不对．由“非零向量a，b满足|a-b|=|a|-|b|的充要条件是a与b方向相反”可知，(B)也不对．对于(C)：非零向量a、b垂直时，以a，b为两邻的平行四边形是矩形，而矩阵的对角线长度相等，故必有|a+b|="a-b|，即(C)正确．至于(D)，显然不对．综上分析，应选(C)．2.直线与平面6x+15y-10z+31=0的夹角ψ为（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[分析] 直线方向向量为故选(A)．3.下列曲面中，不是旋转曲面的是（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[分析] (A)是绕x轴旋转而成； (B)是绕y旋转而成； (D)是绕z轴旋转而成． (A)，(B)，(D)都应排除，故应选(C)．4.下列直线对，不共面的是（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[分析] 对于(A)：两条直线分别过点M1(-1，0，0)与M2(1，0，2)，方向向量分别为对三个向量，由于所以(A)中二直线不共面，故应选(A)．5.若单位向量a，b，c满足a+b+c=0，则a·b+b·c+c·a=（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[分析] 由，从而．故选(A)．6.已知平面∏：x+2y-z+1=0，曲面z=xy上点P处的法线与平面∏垂直，则点P的坐标为（分数：2.00）A.(A) (1，2，2)．B.(B) (2，1，2)．√C.(C) (-1，-2，2)．D.(D) (-2，-1，2)．解析：[分析] z=xy的法向量n={y，x，-1}，法线与平面H垂直，从而与平面∏的法向量{1，2，-1}平行，故有，即点P的坐标为(2，1，2)．故应选(B)．7.设曲面z2-xy=8(z＞0)上某点的切平面平行于已知平面x-y+2z-1=0，则该点的坐标为（分数：2.00）A.(A) (-2，2，2)．B.(B) (1，-4，2)．C.(C) (2，-2，2)．√D.(D) (4，-1，2)．解析：[分析] 记F(x，y，z)=z2-xy-8，曲面在任意点的法向量n={F'x，F'y，F'z}：{-y，-x，2x}．已知平面的法向量n1={1，-1，2}，令n∥n1，即，得x=z=t，y=-t，代入曲面方程F=0，得，因为z=t＞0，舍去负值，得切点坐标为(2，-2，2)，故应选(C)．8.设曲线在点(1，3，4)处的法平面为∏，则原点到∏的距离为（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[分析一] 因在点(1，3，4)处解得dx=4dz，，即，故曲线在点(1，3,4)法平面的法向量，法平面∏的方程为12(x-1)-4(y-3)+3(z-4)=0，即12x-4y+3z-12=0，于是原点到∏的距离故应选(B)．[分析二] 曲线在点(1，3，4)处法平面的法向量下同[分析一]．9.设非零向量a与b不平行，c=(a×b)×a，则（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[分析] 如下图所示．因，故应选(B)．评注若a⊥b，则(a×b)×a=λb，=0．10.过点M0(1，-1，1)与平面x=y+2z=1平行且与相交的的直线方程为（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[分析一]于是[分析二] 过B的直线方程为L：过A与L垂直的平面方程为∏：6(x-3)+6(y-4)+7(z-2)=0，即6x+6y+7z-56=0。

考研数学二（向量代数和空间解析几何）-试卷1(总分：44.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.过点(一1，2，3)且垂直于直线并平行于平面7x+8y+9z+10=0的直线方程是（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：解析：设所求直线的方向向量为s，直线的方向向量为s 1=(4，5，6)，平面7x+8y+9z+10=0的法向量为n=(7，8，9)，故由点法式方程知，所求直线为整理得，应选(A)．3.设有直线则L 1与L 2的夹角为（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：由已知条件，L 1的方向向量为s 1 =(1，一2，1)．4.设有直线Lπ：4x一2y+z一2=0，则直线L( )（分数：2.00）A.平行于π．B.在π上．C.垂直于π．√D.与π斜交．解析：解析：L一28，14，一7)=7(一4，2，一1)．π的法向量n=(4，一2，1)．显然s∥n，所以选(C)．5.如果直线L 1：相交，则λ（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：解析：由已知，L 1的方向向量s 1 =(1，2，λ)，且过点A(1，一1，1)；L 2的方向向量s 2 =(1，1，1)，且过点B(一1，1，0)．若L 1与L 2相交，则s 1，s 2，共面，即6.π：2x+7y+4z一1=0，则( )（分数：2.00）A.L 1∥π．√B.L 1⊥πC.L 2∥π．D.L 1⊥L 2．解析：解析：L 1的方向向量s 1=(一1，2，一3)．L 2的方向向量s 2=(3，1，2)．π的法向量n=(2，7，4)，由于s 1 .n=一1×2+2×7—3×4=0，故L 1∥π，从而应选(A)．二、填空题(总题数：1，分数：2.00)7.已知|a|=2，|b|=5，a和b A=λa+17b与B=3a一b垂直，则系数λ= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：40）解析：解析：由已知，A.B=0，于是(λa+17b).(3a—b)=0，即3λ|a| 2 +(51一λ)a.b一17|b| 2 =0，亦即12λ+(51一λ一425=0，解得λ=40．三、解答题(总题数：15，分数：30.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第七章 向量与空间解析几何复习题一、选择题1. 向量}6,3,2{-=a ，则与a 同向的单位向量为（ ）（A ） }6,3,2{- （B ）}6,3,2{71-- （C ） }6,3,2{71-± （D ） }6,3,2{71- 2. 平面243=-z x （ ）(A)平行于zox 平面 (B)平行于y 轴 (C)垂直于y 轴 (D)垂直于x 轴3. 设向量c b a ,,满足0)(=-⨯c b a 则必有（ ）(A)0 =a (B) c b = (C)b a //且c a // (D) )//(c b a -4. 平面0=+++D Cz By Ax 过x 轴，则( )（A ）0==D A （B ）0,0≠=C B （C ）0,0=≠C B （D ）0==C B5. 在空间直角坐标系中，点（1，-2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）(A) （1，-2，-3） (B) （-1，2，-3） (C) （-1，-2，-3） (D) （1，-2，-3）6. 设向量a ={4,-3,4},b={2,2,1},则向量a 和b 的夹角为（ ） (A) 412arcsin (B) 0 (C) 412arccos (D) 4π 7．平面4y-7z=0的位置特点是（ ）(A) 通过oz 轴 (B) 通过oy 轴 (C) 通过ox 轴，且过点（0，7，4）(D) 平行于oyz 面8．平面x+y+2z=0的位置特点是（ ）(A) 通过原点 (B) 不通过原点 (C) 平行于向量a={1，1，2} (D)过x 轴 9．向量k j i k j i a 22432-+=+-=β与的夹角为（ ） (A)2π (B) 0 (C) π (D) 4π 10. 平面3510x z -+= ( )(A) 平行于zox 平面 （B) 平行于y 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 垂直于x 轴 11. 下列平面中，与平面012=++-z y x 垂直的平面是( )(A)052=++-z y x (B) 0532=++-z y x(C) 0103=+--z y x (D) 0653=-+-z y x12．设向量{}1,2,3-=，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=k ,34,2b .已知b a ⊥，则=k （ ）. (A) 32 (B) 326 (C) 27(D) 113．在空间直角坐标系中,方程1222=+y x 表示的曲面是（ ）.(A) 球面 (B) 圆柱面 (C) 圆锥面 (D)椭圆柱面14．设向量{}2,1,1-=，{}4,0,3=，则向量在向量上的投影为（ ）. (A) 65 (B) 65- (C) 1 (D) -115．下列曲面方程中表示圆锥面的是（ ）.(A)22y x z += (B)22y x z += (C)1222=++z y x (D) 1222=+y x16．设平面截x ，y ，z 轴的截距分别为a ，b ，c （a 、b 、c 均不为0）则这个平面的方程为() (A)1xyza b c ++= (B)1xyza b c ++=- (C) 1=++cz by ax (D) 0=++cz by ax17. 设空间直线 210zyx== ，则该直线过原点，且（ ）(A) 与X 轴垂直 (B) 垂直于Y 轴，但不平行X 轴(C) 与X 轴平行 (D) 垂直于Z 轴，但不平行X 轴18. 直线42z 31y 21x -=+=-与平面x-2y+z=5的位置关系是（ ）.(A) 垂直 (B) 平行 (C) 重合 (D) 斜交19．向量b a ⨯与二向量a 及b 的位置关系是（ ）(A) 共面 (B) 共线 (C) 垂直 (D) 斜交20. 在空间直角坐标系中，点(1,3,1)P -关于y 轴对称的点的坐标是（ ）(A) （1，3，1） (B) （-1，3，-1） (C) （-1，-3，1） (D) （-1，3，1）21．点（1,2,1）到平面032=++-z y x 的距离=d （ ).(A) 0 (B) 2 (C)36(D) 36222.在空间直角坐标系中，仅有点（ ）是在第三卦限内.（A ）(1,-1,2) （B ）(-1,-1,2) （C ）(1,1,-2) （D ）(-1,1,-2)23. 同时垂直于向量(2,1,4)a =和z 轴的向量的单位向量是（ ）（A ）(55- （B ）(55- （C ）(55- （D ）(5524．过点（２，－３，0）且以)3,2,1(-=→n 为法向量的平面方程为( )(A) 13231)2(=+-++-z y x (B) 13231)2(-=+-++-z y x (C) 13)3(2)2(=++--z y x (D) 03)3(2)2(=++--z y x25．yoz 平面内的直线14=+z y 绕y 轴旋转一周所得的曲面方程为（ ）.(A) )(16)1(222z x y +=- (B) 116)(222=++z x y(C) 1)(4=++z x y (D) 11622=+z y二、填空题1．设a b k a },1,2,0{},,1,1{-=-=⊥,b 则常数k = .2．已知112,(2,0,1)a b =-=（，，） ，则a b ⨯= .3.设},4,2,1{},1,0,2{==b a 则a 与b 的夹角=)^(b a .4.过空间两点)2,1,0(-和)1,4,3(-的直线方程为 .5.已知3=a ，26=b ，72=⨯b a ，则=⋅b a .6. 点)0,2,1(M 到平面02543=++-z y x 的距离为 .7. 过点)3,1,2(-且与平面2240x y z +--=垂直的直线方程为 .8．设k j i a 23-+=，k j i b --=32，则b a ⋅= .9．点(0,1,3)-到平面2380x y z -+-=的距离为____________________.10．设(2,3,5),(2,4,),a b c ==-且a b ⊥，则常数c =___________．11.直线1139412-=-=-z y x 与平面0253=--+z y x 的交点为 12．设(2,1,1),(1,1,2),a b a b →→→→=-=-⨯=则________________.13．在空间直角坐标系中，点)3,2,1(-关于x 轴的对称点为 _____________.14．已知点)2,1,3(-A 和向量}1,3,4{-=AB ，则B 点的坐标为______________.15．过点0(3,4,4)P -且方向角为2,,343πππ的直线方程为___________________. 16．已知向量}2,3,2{},0,1,3{-=-=b a ，则a 与b 的夹角余弦为 .17．过点)3,1,2(-且垂直于直线11211-+==-z y x 的平面方程为 . 18．若向量b 与向量k j i a 22+-=平行且满足18-=⋅k b ,则b = . 19．向量}1,2,2{-=a 在y 轴上的投影等于 .20．已知向量 {}{}2,3,2b , 0,1,3-=-=→→a , 则模→→⨯b a = .21. 过（1，1，-1）、（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程是 .22．求过定点)2,1,1(-且与直线111122-=-+=-z y x 垂直的平面方程为____________. 23.曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧==-01422z x y 绕x 轴旋转一周，所得的旋转曲面的方程为 .24.已知)2,1,2(),1,2,2(),1,1,1(C B A ，则与,同时垂直的向量是 .25.xOz 平面内的抛物线122+=x z 绕z 轴旋转一周所得曲面方程 .26. 过空间两点)0,1,1(),2,1,0(-B A 的直线方程为 .27．过空间两点)5,2,1(),2,0,1(--的直线方程为 ..28.过点)1,1,2(-且与直线12431:-==-z y x l 平行的直线方程为 .29．已知向量{}1,0,1a -=，{}3,2,0b -=，则a 在b 上的投影为 . 30．xoy 平面上的曲线y x 22=绕y 轴旋转后得到的旋转曲面方程 .31．过点（1,－2,0）且垂直于向量}1,3,2{-=a 的平面方程是 .32．设向量{}4,3-,4=，{}1,2,2=，则_____________),(cos =. 33. 设}1,2,1{},3,1,0{=-=b a ，则与a 和b 同时垂直的单位向量为 .34. 直线1139412-=-=-z y x 与平面0253=--+z y x 的交点为 .35. 点M （1，2，1）到平面：02543=++-z y x 的距离为36．在空间直角坐标系中，点)3,2,1(-关于原点的对称点是 __________.37. xoy 平面内双曲线12y 3x 22=-绕y 轴旋转所得曲面方程是 . 38．过空间两点)1,3,0(),2,1,0(B A -的直线方程为 .39．设空间三点)3,1,2(),0,1,1(),2,1,0(C B A -,则=⋅AC AB .三、解答题1．求过空间三点(1,0,2),(-1,1,1),(3,1,0)的平面方程.2．试把空间直线⎩⎨⎧=++-=+++043201z y x z y x 化成参数方程形式.3.求过点)1,2,1(-且同时平行于两平面012:1=--+z y x π与012:2=+-+z y x π的直线方程.4. 求过P 0129(,,)-与平面π:3250x y z +--=垂直的直线方程，并求出直线与平面的交点.6．求平行于x 轴是过点)2,1,3(1-M 和)0,1,0(2M 的平面方程.9．试写出直线⎩⎨⎧=-+-=+++022301z y x z y x 的点向式方程和参数方程. 10.求过点)4,2,0(且与平面12=+z x 平行的平面方程.12. 已知平面通过)2,7,4(),1,3,8(21P P -且垂直于平面021753=+-+z y x ，求这个平面的方程.13. 已知A （1，1，1），B （2，2，1），C （2，1，2），求与AB →，AC →同时垂直的单位向量.14. 设平面经过原点及点（6，-3，2），且与平面824=+-z y x 垂直，求此平面方程.15. 求过点)0,1,2(且与两平面0152084=---=+-z y x z x 和都平行的直线的方程。

第七章 向量代数与空间解析几何（一） 空间直角坐标系、向量及其线性运算一、判断题1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。

（ ） 2． 任何向量都有确定的方向。

（ ） 3． 任二向量b a ,=.则=同向。

( ) 4． 若二向量,+,则,同向。

（ ） 5． 若+=+,则= ( ) 6． 向量,,同向。

（ ）7．若={z y x a a a ,,}，则平行于向量的单位向量为||a x ||a a ||a z }。

（ ）8．若一向量在另一向量上的投影为零，则此二向量共线。

( ）二、填空题1． 点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是2． 点（4，3，-5）在 坐标面上的投影点是M （0，3，-5） 3． 点（5，-3，2）关于 的对称点是M （5，-3，-2）。

4． 设向量与有共同的始点，则与,共面且平分与的夹角的向量为 5． 已知向量与方向相反，且|2|a b =，则由表示为= 。

6．，与轴l 的夹角为6π，则al prj =7． 已知平行四边形ABCD 的两个顶点A （2，-3，-5）、B （-1，3，2）。

以及它的对角线交点E （4，-1，7），则顶点C 的坐标为 ，则顶点D 的坐标为 。

8． 设向量与坐标轴正向的夹角为α、β、γ，且已知α =60，β=120。

则γ= 9． 设的方向角为α、β、γ，满足cos α=1时，垂直于 坐标面。

三、选择题1．点（4，-3，5）到oy 轴的距离为 （A ）2225)3(4+-+ （B ）225)3(+-（C ）22)3(4-+ （D ）2254+ 2．已知梯形OABC 、CB //OA 且21，=，则= （A ）21- （B ）21- （C ）-21 （D ）21-3．设有非零向量,，若a ⊥ b ，则必有（A +（B +-（C +<- （D +>-四、试证明以三点A （4，1，9）、B （10，-1，6）、C （2，4，3）为顶点的三角形为等腰直角三角形。

考研数学一-一元函数积分学、向量代数和空间解析几何(总分100,考试时间90分钟)一、选择题1. 设，则______A．I1＞I2＞1． B．1＞I1＞I2．C．I2＞I1>1． D．1＞I2＞I1．2. 如下图所示，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)=，则下列结论正确的是______A．F(3)=F(-2)． B．F(3)=F(2)．C．F(-3)=F(2)． D．F(-3)=F(-2)．3. 设函数f(x)=，则f'(x)的零点个数______A．0． B．1．C．2． D．3．4. 设Ik=，其中k=1，2，3，则有______A．I1＜I2＜I3． B．I3＜I2＜I1．C．I2＜I3＜I1． D．I2＜I1＜I3．5. 使不等式成立的x的范围是______A．(0，1)． B．(1，)．C．(，π)． D．(π，+∞)．6. 设I=，则I，J，K的大小关系是______A．I＜J＜K． B．I＜K＜J．C．J＜I＜K． D．K＜J＜I．7. 由曲线y=(0≤x≤π)与x轴围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积为______A．． B．．C．． D．．8. 曲线y=x(x-1)(2-x)与x轴所围成图形面积可表示为______A．．B．．C．．D．．9. 半圆形闸门半径为R(米)，将其垂直放入水中，且直径与水面齐，设水密度ρ=1．若坐标原点取在圆心，x轴正向朝下，则闸门所受压力P为______A．．B．．C．． D．．10. 已知两条直线L1：，L2：平面∏：2x+7y+4z-1=0，则______A．L1∥∏． B．L1⊥∏．C．L2∥∏． D．L1⊥L2．11. 设有直线L1：和L2：，则L1与L2______A．相交于一点． B．平行但不重合．C．重合． D．异面．12. 设有直线L：及平面∏：4x-2y+z-2=0，则直线L______A．平行于平面∏． B．在平面∏上．C．垂直于平面∏． D．与平面∏斜交．13. 设a，b为非零向量，满足|a-b|=|a+b|，则必有______．A．a-b=a+b． B．a=b．C．a×b=0． D．a·b=0．14. 直线L1：与直线L2：之间的关系是______A．L1⊥L2． B．L1∥L2．C．L1与L2相交但不垂直． D．L1与L2为异面直线．二、填空题1. 反常积分=______．2. 设F(x)=，其中x＞0，则F(x)=______．3. 设，则=______．4. 设f(x)连续可导，导数不为0，且f(x)存在反函数f-1(x)，又F(x)是f(x)的一个原函数，则不定积分∫f-1(x)dx=______．5. 设a＞0，则=______．6. =______．7. =______．8. =______．9. 设，则a=______，b=______，c=______．10. 曲线y=(0≤x≤)的弧长s=______．11. 曲线ρθ=1相应于的一段弧长s=______．12. 设直线l过点M(1，2，0)且与两条直线l1：和l2：垂直，则l的参数方程为______．13. 曲面x2+2y2+3z2=21在点(1，-2，2)处的法线方程为______．14. 空间曲线Γ：的参数方程为______．15. 过点(2，0，-3)且与直线垂直的平面方程为______．16. 曲线x=t，y=-t2，z=t3与平面x+2y+z=4平行的切线方程______．17. 设z=z(x，y)由z-ez+2xy=3确定，则曲面z=z(x，y)在点P0(1，2，0)处的平面方程为______．三、解答题设f(x)在[-e，e]上连续，在x=0处可导，且f'(0)≠0．1. 证明：对于任意x∈(0，e)，至少存在一个θ∈(0，1)，使得．2. 求极限3. 计算．4. 求函数f(x)=的单调区间与极值．5. 设f(x)在[0，π]上连续，且=0，证明：f(x)在(0，π)内至少有两个零点．6. 设两曲线y=(a＞0)与y=在(x0，y0)处有公切线，求这两曲线与x轴围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转的体积V．7. 设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，且F(x)=，证明：(Ⅰ)若f(x)是偶函数，则F(x)也是偶函数．(Ⅱ)若f(x)是单调减函数，则F(x)也是单调减函数．8. 证明：当x≥0时，．9. 设f(x)在[0，1]上具有连续导数，且f(0)+f(1)=0．证明：10. 设f(x)在区间[2，4]上具有二阶连续导数f"(x)，且f(3)=0，证明：存在一点ξ∈(2，4)，使得．11. 计算∫arcsinxdx．12. 设f(x)在[0，π]上连续，证明．某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层．汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功．设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k，k＞0)．汽锤第一次击打将桩打进地下am．根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0＜r＜1)．(注：m表示长度单位米)问13. 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深?14. 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?椭球面S1是椭圆=1绕x轴旋转而成，圆锥面S2是过点(4，0)且与椭圆=1相切的直线绕x 轴旋转而成．15. 求S1及S2的方程16. 求S1与S2之间的立体体积设曲线y=ax2(x≥0，常数a＞0)与曲线y=1-x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形D．17. 求D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积V(a)18. 求a的值，使V(a)为最大过坐标原点作曲线y=ex的切线，该切线与曲线y=ex以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形，记为D，求19. D的面积A20. D绕直线x=1所成的旋转体的体积V计算下列反常积分(广义积分)的值．21.22.23. 试确定过M1(2，3，0)，M2(-2，-3，4)及M3(0，6，0)三点的平面方程．24. 求过点A(-1，2，3)垂直于L：且与平面∏：7x+8y+9z+10=0平行的直线方程．25. 求直线L1：和直线L2：间的夹角．26. 求直线L：绕z轴旋转所得的旋转曲面方程．27. 判断直线L1：和直线L2：x+1=y-1=z是否相交．如果相交求其交点，如果不相交求两直线间距离．28. 求两曲面x2+y2=z与-2(x2+y2)+z2=3的交线在xOy平面上的投影曲线方程．29. 圆柱面的轴线是L：，点P0(1，-1，0)是圆柱面上一点，求圆柱面方程．。

第六章向量代数与空间解析几何（424）.第六章向量代数与空间解析几何习题A一、选择题1、向量a 与三坐标轴的夹角分别为 ,,，则();A cos cos cos 1B cos 2c o s 2 cos 2 1 C cos 2cos 2cos 21 D cos 2cos 2cos 2b 的夹角 =(b a 2,0,22,0, 24、平面x 2y 5 0的位置是 )；A 平行Z 轴B 通过Z 轴垂直Z 轴 D 平行XOY 平面 5、过点 A 3,0,2 ,B 4,1,6 且平行于Y 轴的平面的法向量 n ()；1,1,4 0,1,11,1,4 1,0,0 C 1,1,4 0,1,0 D 1,1,4 0,0,16、向量 a 1,1,2,0, 2，则同时垂直a 及b 的单位向量为n 0()；2、两个非零向量a 和b 平行，贝U ();r r rr rA 其必要条件是a b 0 B其必要条件是a b 0r rr r C 充分必要条件是 a b 0 D充分必要条件是a b,(a 4b)(7a 2b)，则2,0,2,0,3、设a , b 为非零向量，且满足 (a 3b)(7 a 5b)r o9、过点A 3,0,2 ,B 4,1,6且平行于Y 轴的平面的法向量 n ();4、过点M 1,2,0与平面3x y 2z 7 0垂直的直线方程________________________________5、 xoy 平面上的曲线x 2 3y 2 5绕x 轴旋转一周形成的旋转曲面方程为 _________________6、直线口上Z 3与平面x y z 70的位置关系为；2 1 3x 1 y 1 z 27、过点M 1,2, 2且与直线垂直的平面方程为 _________________ ;23 18、平面xoy 上的曲线y 2 z 2绕轴旋转一周而成的旋转面方程为_____________________ ； 9、方程x 24 y 1 20表示 _______________ ；Ax 1 y z 3 31 1C - x 1 y z 33 118、平面x 2y 5 0的位置是(A 平行 Z 轴B 通过 Z 轴7、过点M 1,0,3且与两平面B 3 x 1 1 y 0 1 z 30 D - 3 x 1 1 y 0 1 z 3 0; C垂直 Z 轴 D 平行XOY 平面 (); A (az)2 4y 2 2z 4B(a x)2 4y 2 x 24z 0x 0-(a z)24y 2 2x 4D/ 、2 ,2 2 ,C(a z)4y z 4x 0二、填空题r r r r1、平仃于向量a 3i4j 5k 的单位向量;10、曲面 x 2 4y 2z 2 4与平面xz a 的交线在yOz 上的投影方程是(2、点 p 3, 1,6 至U 平面 x 2y 2z 1 0的距离为1 ：X y 2Z 1 0都平行的直线方程为2:x 2y z 1A 1,1,4 0,1,1B 1,1,4 1,0,0C 1,1,40,1,0D 1,1,40,0,13、设平面x 2y Kz 6与平面 Mx4y z 2平行，则K210、由a 1,2,3 ,b 1,2,4为邻边组成的平行四边形的面积三、计算题1、设a 3, b 5，试确定k 使a kb 垂直于a kb 。

军教院第八章空间解析几何测试题一、填空题(共7题，2分/空，共20分)1. 四点O(0,0,0) , A(1,0,0) , B(0,1,1), C(0,0,1)组成的四面体的体积是2. ____________________________________________________________ 已知向量 a (1,1,1), b (1,2,3), c (0,0,1),则(a b) c =__(-2,-1,0) _________________3. ------------------------------------------------------------------------------- 点(1,0,1)到直线3x X z y 0的距离是一晋 ---------------------------------------- 4•点(1,0,2)到平面3x y 2z 1的距离是3皿_75.曲线C: 0对xoy坐标面的射影柱面是对yoz坐标面的射影柱面是—(z 1)2 y2 z 0 ________________ ,对xoz坐标面的射影柱面是____ z x 1 0 _____________ .26.曲线C: x y绕x轴旋转后产生的曲面方程是x4 4(y2 z2) ，曲线z 0 —C绕y轴旋转后产生的曲面方程是_x2 z2 2y ______________________ .2 2 27.椭球面—— 1的体积是？?????9 4 25 —二、计算题(共4题,第1题10分，第2题15分，第3题20分，第4题10分, 共55分)1.过点P(a,b,c)作3个坐标平面的射影点，求过这3个射影点的平面方程.这里a,b,c是3个非零实数.解：设点P(a,b, c)在平面z 0上的射影点为M1(a,b,0)，在平面x 0上的射影ujujmr f点为M2(0, a,b)，在平面y 0上的射影点为M3(a,0, c)，贝U M1M2 ( a,0,c)，lULULUM1M3 (0, b,c)3.求曲线2y绕x 轴旋转产生的曲面方面1解：设皿1(为，丫1,乙)是母线x 22y上任意一点则过皿1(为』1, z ,)的纬圆方程是⑵由于 V 1 V 2(0,0, 2)， V 1 V 2uuJuuuuuuuulr 阿皿2,川2)11和12间的距离d ----------------------V 1 v 2uuuuuir 于是 IVh , M,M 2 , uuuuuuM 側3所确定的平面方程是 即 bc(x a) ac(yb) abz 0 .2-已知空间两条直线'1::y0 o ,l 2：(1)证明11和12是异面直线;(2)求11和12间的距离；(3) 求公垂线方程.证明：(1)11的标准方程是-1片今，h 经过点艸1，方向向量 V 1 {1, 1,0} I 2的标准方程是，12经过点M 2(0,0, 2)，方 向向量V 2{1,1,0}，于uujuir(M 1M 2M V 2)0，所以11和12是异面直线。

第七章 空间解析几何一、选择题1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限2.方程2222=+y x 在空间解析几何中表示的图形为[ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3.直线312141:1+=+=-z y x l 与⎩⎨⎧=-++=-+-0201:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ] A.4π B. 3π C. 2πD. 0 4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3)5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42=绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ] A. )(42y x z += B. 2224y x z +±=C. x z y 422=+ D. x z y 422±=+6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是[B ] A. 13- B.13 C. 23- D. 237. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ]A. (-1,2,3)B. (1,-2,3)C. (-1,-2,3)D. (1,2,-3)8.方程22222x y z a b+=表示的是 [ B ]A.椭圆抛物面B.椭圆锥面C. 椭球面D. 球面9. 已知a ϖ={0, 3, 4}, b ϖ={2, 1, -2},则=b proj a ϖρ[ C ]A. 3B.31-C. -1D.1 10．已知,a b 为不共线向量，则以下各式成立的是 DA. 222()a b a b =• B. 222()a b a b ⨯=⨯C. 22()()a b a b •=⨯D. 2222()()a b a b a b •+⨯=11．直线1l 的方程为03130290x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，直线2l 的方程为03031300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，则1l 与2l 的位置关系是 DA.异面B.相交C.平行D.重合12．已知A 点与B 点关于XOY 平面对称，B 点与C 点关于Z 轴对称，那么A 点与C 点是 CA.关于XOZ 平面对称B.关于YOZ 平面对称C.关于原点对称D.关于直线x y z ==对称13．已知A 点与B 点关于YOZ 平面对称，B 点与C 点关于X 轴对称，那么A 点与C 点 C A.关于XOZ 平面对称 B.关于XOY 平面对称 C.关于原点对称 D.关于直线x y z ==对称 14. 下列那个曲面不是曲线绕坐标轴旋转而成的 CA.2221x y z ++= B.221x y z ++= C.21x y z ++= D.221x y z ++=15. 已知,a b 为不共线向量,则下列等式正确的是 CA.2a a a = B. 2()a a b a b ••= C. 2()a b b ab ••= D. 222()a b a b =•16．已知向量(1,2,1)a =，(3,4,3)b =--，那么以,a b 为两边的平行四边形的面积是 B A.20B. C.10D.17．已知直线l 方程2303450x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩与平面π方程20x z -++=，那么l 与π的位置关系是CA. l 在π内B. l 垂直于πC. l 平行于πD.不能确定18．两向量,a b 所在直线夹角4π，0ab <，那么下列说法正确的是 B A. ,a b 夹角4πB. ,a b 夹角34πC. ,a b 夹角可能34π或4π D.以上都不对19.已知||1=a，||=b ¶(,)4π=a b ，则||+=a b （D ）. (A) 1(B) 1+ (C) 2(D) 20.设有直线3210:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （ C ）。

高等数学A(2)复习题第八章 空间解析几何与向量代数一、填空题1、空间坐标系中)1,1,2(),0,1,2(),0,0,0(B A O ，则向量AB 与OB 的夹角为__________.2、平面-2-60x y z +=和2-50x y z ++=的夹角θ= ．3、设1,2,2a =-r （），1,1,4b =-r （），则夹角(,)a b ∧r r =_______.5、向量k j i k j i a ϖϖϖϖϖϖϖϖ22432-+=+-=β与的夹角为_____________．6、设点A 位于第I 卦限，向径OA u u u r 与x 轴，y 轴的夹角依次为π3和π4，且OA 6=u u u r ，则点A 的坐标为 .7、设0,1,2,1,1,3a b ==--r r （）（），则同时垂直于a ρ和b ρ的单位向量为 .8、向量2,3,6a =-r （），则与a ρ同向的单位向量为______________.9、设空间点A(1,-2,3),则与点A 关于原点对称的点的坐标为__________.10、设向量a ρ与2,1,2b =-r （）平行，18-=⋅b a ρρ，则向量a ρ＝ .11、设向量(3,2,1)a =-r ，4(2,,)3b k =r .已知a b ⊥r r ，则k =_____________． 14、设两向量分别为-a =r （1，2，2）和-b =r （1，1，4），则数量积a b ⋅r r =_______.15、设向量 1 , -1, k a =r （）与向量 2 , 4, 2b =r （） 垂直，则k =_______．16、过点)3,1,2(-且垂直于直线11211-+==-z y x 的平面方程为 ． 17、设一平面通过z 轴和点(3,1,2)-，则其方程为_____________________.18、直线22112z y x =-+=-与平面2342=+-z y x 的位置关系为 （填平行、垂直或斜交）.19、将xOz 坐标面上的抛物线2z 20x y ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转一周，所生成的面方程为 . 20、曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧==-01422z x y 绕x 轴旋转一周，所得的旋转曲面的方程为 . 21、xOy 坐标面上的曲线20x y -=绕x 轴旋转一周,所得的旋转曲面方程为 .22、点（1,2,1）到平面0253=--+z y x 的距离为 .23、点(1,2,1)到平面1x y z ++=的距离为____________.24、 直线 310x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩与平面 10x y z --+=的夹角为 . 二、解答题1、求平行于x 轴，且过点)2,1,3(-M 及)0,1,0(N 的平面方程.2、求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.3、求通过点P （1，2，3）且垂直于两平面012, 02=++-=-+z y x z y x 的平面方程.4、求平行于xoz 坐标面且经过点(2,-5,3)的平面方程.5、求过点()2,0,3-且与直线-24-7035-210x y z x y z +=⎧⎨++=⎩垂直的平面方程．6、求过点)0,4,2(0M 且与直线 ⎩⎨⎧=--=-+023017:1x y z x l 平行的直线方程． 7、求过点)3,1,0(-且与平面0122:=--+z y x π垂直的直线方程，并求出直线与平面的交点坐标.8、求过点()2,1,3且与直线11321x y z +-==-垂直相交的直线的方程． 9、求过点)2,0,1(0-M 且与平面0643=+-+z y x 平行，又与直线14213:z y x L =+=- 垂直的直线方程. 三、综合题1、验证两直线12z 25y 1x :L 1-=-=与12z 14y 32x :L 2-=-=-相交，并求出它们所在的平面方程. 2、求过点A(1,1-1),B(-2,-2,2)和C(1,-1,2)三点的平面方程.。

填空题1. 过点(3,-2,2)垂直于平面5x-2y+6z-7=0和3x-y+2z+1=0的平面方程为____________.2．轴的正向的夹与轴的正向的夹角为与的模为已知向量y x OM ,45.100OM则向量角为,600_________________.3. 过3,1,2点且平行于向量3,2,2a 和5,3,1b的平面方程为__________.4.则互相垂直和若两向量,,2,12,3,b a ______________.5.向量决定的平面垂直的单位与三点)3,1,3(),1,3,3(,2,1,1321M M M 0a _______6.上的投影等于在向量向量1,2,24,1,1a b ___________________.7.的模等于则向量已知n m anm nm3260,,2,50____________.8.垂直的平面方程是且与平面过点012530742)3,0,2(z yx z y x _____________.9. 设a b c ,,两两互相垂直,且abc121,,,则向量s a b c 的模等于_____________.10.过点(0,2,4)且与平面x+2z=1,y-3z=2都平行的直线是________________.D x zyxD z y x 则轴有交点与若直线,06222032___________________.选择题1．表示方程13694222yzy x ;1)(;)(平面上的椭圆椭球面y B A :.0)(;)(答上的投影曲线椭圆柱面在椭圆柱面yD C 2．:,轴的单位向量是且垂直于则垂直于已知向量oy a k jiakj i B k j i A 33)(33)(:22)(22)答k i D k i C 3.ba ba b a则且已知,4,,2,1:.5)(;2)(;21)(;1)(答D C B A 4. 平面3x-3y-6=0的位置是(A)平行xoy 平面 (B)平行z 轴,但不通过z 轴; (C)垂直于z 轴; (D)通过z 轴. 答:( )5．则有且但方向相反互相平行设向量,0,,,bab a ba b a B b a b a A )(;)(:)()(答b a b a A ba b a C 6．是旋转曲面1222zy x 轴旋转所得平面上的双曲线绕x xoy A)(轴旋转所得平面上的双曲线绕z xoz B)(轴旋转所得平面上的椭圆绕x xoy C )(:)(答轴旋转所得平面上的椭圆绕x xoz D 7.:,0,0结论指出以下结论中的正确设向量ba;0)(垂直的充要条件与是b a b a A ;0)(平行的充要条件与是b a ba B ;)(平行的充要条件与的对应分量成比例是与b a b a C :.0),()(答则是数若ba b aD 8.cba cb a 则为三个任意向量设,,,bcacBbccaA)()(:)()(答cbacDcbcaC9.方程x yy224912在空间解析几何中表示(A)椭圆柱面, (B) 椭圆曲线;(C)两个平行平面, (D)两条平行直线. 答:( )10. 对于向量cba,,，有若0ba，则ba,中至少有一个零向量)(cacbcbacbacbababa1 1. 方程y z x22480表示(A)单叶双曲面; (B)双叶双曲面;(C)锥面; (D)旋转抛物面. 答:( )12.双曲抛物面(马鞍面)xpyqz p q22200,与xoy平面交线是(A) 双曲线; (B) 抛物线,(C)平行直线; (D)相交于原点两条直线; 答( ) 计算题1．ABCBACBA求及的坐标分别为设点),3,4,0()1,1,1(),1,3,2(,,.23,,ACABACABAC2.轴上截距轴和中在求平面束yxzyxyx04253.相等的平面3．的平面且垂直于平面试求过点0,,,,,32123211zyxbbbMaaaM.n的法向量4．,2,1,4)3,5,2(ABA及两边的向量已知三角形的一个顶点5,2,3BC和.ACA以及求其余的顶点和向量5．设点为从原点到一平面的垂足求该平面的方程P(,,),.362证明题1.但行中任意两个向量都不平已知三个非零向量,,,cba与ba0,,cbaacbc试证平行与平行答案一、 1. 2x+8y+z+8=0. 2..{,}.5255 3.01747z y x 4.65.117322()i j k 6.43. 7.219. 8. -16(x-2)+14y+11(z+3)=0.9. .2. 10.xy z 22341.6.11二、 1.B2C3D4B5A6A7C8C9D10B11D12D 三、1．},.0,1,3{},2,1,2{},2,2,1{AC AB AC AB2．平面的截距式为xy z 5415435421据题意有541543解得12154,但2不合理舌去(截距式中分母为0).故平面方程为x+3y-5+(x-y-2z+4)=0,即2x+2y-2z-1=0.3.n 垂直于过点M M 12,的直线,故n a b a b a b {,,}112233n 垂直于已知平面的法向量,故n {,,}111所以nij k a b a b b 11221111()()().a b a b ia b a b j a b a b k 223311331122 4.B x y z C x y z (,),(,).111222},3,5,2{111z y x AB },,121212z z y y x x BC由x y z 111245132,,.得x y z 111645,,x x y y z z 212121325,,.得x y z 2229610,,故B(6,-4,5),C(9,-6,10),CA,{,,}717AC {,,}717AC A AB AC AB AC ABAC{,,}(,)arccosarccos .717413231}10,8,1{23ACAB5.},2,6,3{op 且(3,-6,2)在平面上,于是平面方程为3(x-3)-6(y+6)+2(z-2)=0即3x-6y+2z-49=0.四、1.,,)(c b a c b a平行与,,)(a c b a c b 平行与a cc a ac ,()().11由a c ,不平行,故1101,.即a bc b ca abc ,,.。

空间解析几何与向量代数试题学号 姓名 成绩 一、判断题１．222)(b a b a =⋅ ( ) 2．2222)()(b a b a b a ⋅=⋅+⨯ ( ) 3．与ox,oy,oz 三个坐标轴之正向有相等夹角的向量，其方向角必为3,3,3πππ。

（ ）4．直线L ：521321+=-+=-z y x 是平面4x+3y-z+3=0上的直线。

（ ） 5．直线⎪⎩⎪⎨⎧==+b y c za x 0不在曲面1222222=-+c z b y a x 上。

（ ）二、选择题1．下列命题，正确的是 。

（A ）、k j i++是单位向量。

（B ）、j -非单位向量（C ）、2a = （D ）、b a b a a ⋅=⋅2)(2．若直线λ12111-=+=-z y x 和直线z y x =-=+1111相交，则λ= 。

（A ）、1 （B ）、3/2 （C ）、-5/4 （D 、5/43．母线平行于x 轴且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0162222222z y x z y x 的柱面方程是 。

（A ）、 x 2 +2y = 16 (B)、3y 2 - z 2 = 16 (C)、3x 2 + 2z 2 = 16 (D)、-y 2 + 3z 2 = 164.旋转曲面0322222=-+z y x 的旋转轴是 。

（A ）、oz 轴； （B ）、oy 轴； (C)、ox 轴； (D)、直线x = y = z5．曲线{4)1()1(222=++=+-z y x z 的参数方程是 。

（Ａ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=0sin 3cos 31z y x θθ (B)⎪⎩⎪⎨⎧==+=0sin 2cos 21z y x θθ（C ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0sin 3cos 3z y x θθ (D ）⎪⎩⎪⎨⎧===0sin 2cos 2z y x θθ三、填空题1．已知a 与b 垂直，且a =5，b =12，则=+b a ，b a-= 。

1.在三维空间中，向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的点积是多少？o A. 32o B. 24o C. 35o D. 30参考答案: A解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的点积计算为1∗4+2∗5+3∗6=32。

2.向量v⃗=(3,4)的模长是多少？o A. 5o B. 7o C. 12o D. 25参考答案: A解析: 向量v⃗的模长计算为√32+42=5。

3.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的叉积结果是什么？o A. (3,−6,3)o B. (−3,6,−3)o C. (3,−6,−3)o D. (−3,6,3)参考答案: B解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的叉积计算为(2∗6−3∗5,3∗4−1∗6,1∗5−2∗4)=(−3,6,−3)。

4.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的向量积的模长是多少？o A. 7o B. 14o C. 21o D. 42参考答案: A解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的叉积模长计算为√(−3)2+62+(−3)2=7。

5.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的夹角余弦值是多少？o A. 0.9746o B. 0.9971o C. 0.9899o D. 0.9659参考答案: A解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的夹角余弦值计算为a⃗⃗⋅b⃗⃗|a⃗⃗||b⃗⃗|=√14√77≈0.9746。

6.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)是否共线？o A. 是o B. 不是o C. 无法确定o D. 以上都不对参考答案: B解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的分量不成比例，因此它们不共线。

7.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)是否正交？o A. 是o B. 不是o C. 无法确定o D. 以上都不对参考答案: B解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的点积不为0，因此它们不正交。

8.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的向量积是否垂直于这两个向量？o A. 是o B. 不是o C. 无法确定o D. 以上都不对参考答案: A解析: 向量积的结果向量总是垂直于构成叉积的两个向量。

第4章 向量代数与空间解析几何练习题习题4.1一、选择题1．将平行于同一平面的所有单位向量的起点移到同一点， 则这些向量的终点构成的图形是( ）（A ）直线； (B ） 线段； (C ） 圆； (D) 球．2．下列叙述中不是两个向量a 与b 平行的充要条件的是( ）（A)a 与b 的内积等于零; (B)a 与b 的外积等于零;（C)对任意向量c 有混合积0)(=abc ； (D ）a 与b 的坐标对应成比例．3．设向量a 的坐标为313， 则下列叙述中错误的是( ) （A ）向量a 的终点坐标为),,(z y x ； （B ）若O 为原点，且a OA =， 则点A 的坐标为),,(z y x ；（C ）向量a 的模长为222z y x ++;（D ） 向量)2/,2/,2/(z y x 与a 平行．4．行列式213132321的值为（ )（A ） 0 ； （B ） 1 ； （C ） 18 ； (D ） 18-．5．对任意向量a 与b , 下列表达式中错误的是（ )(A ）||||a a -=； （B ）||||||b a b a +>+； （C ） ||||||b a b a ⋅≥⋅； (D ） ||||||b a b a ⨯≥⋅．二、填空题1．设在平行四边形ABCD 中，边BC 和CD 的中点分别为M 和N ，且p AM =，q AN =，则BC =_______________,CD =__________________．2．已知ABC ∆三顶点的坐标分别为A （0，0，2），B(8，0，0），C(0，8，6），则边BC 上的中线长为______________________．3．空间中一动点移动时与点)0,0,2(A 和点)0,0,8(B 的距离相等， 则该点的轨迹方程是_______________________________________．4．设力k j i F 532++=， 则F 将一个质点从)3,1,0(A 移到)1,6,3(,B 所做的功为____________________________．5．已知)2,5,3(A ， )4,7,1(B , )0,8,2(C ， 则=⋅AC AB _____________________;=⨯BA BC ____________________；ABC ∆的面积为_________________．三、计算题与证明题1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c ， 并且0=++c b a ． 计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯．2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a ， 求||||b a ⋅．3．设力k j i F 532++-=作用在点)1,6,3(A ， 求力F 对点)2,7,1(,-B 的力矩的大小．4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线， 且满足3=⋅x a ， 求向量x 的坐标．5．用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平分, 则该四边形为平行四边形．6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程．7．向量a ， b , c , 具有相同的模， 且两两所成的角相等， 若a , b 的坐标分别为)1,1,0()0,1,1(和，求向量c 的坐标．8．已知点)1,6,3(A ， )1,4,2(-B , )3,2,0(-C ， )3,0,2(--D ，(1) 求以AB ， AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积．(2) 求三棱锥BCD A -的体积．(3) 求BCD ∆的面积．(4) 求点A 到平面BCD 的距离．习题4。