2019年山东省中考数学精编精练：三角形(教师卷)

【备考 2020】2019 年山东省中考数学精编精练：圆姓名： __________班级： __________考号： __________基础篇1.（ 2019 年山东省枣庄市）如图，在边长为4 的正方形 ABCD中，以点 B 为圆心， AB为半径画弧，交对角线 BD于点 E，则图中暗影部分的面积是（结果保存π ）（）A． 8﹣πB． 16﹣ 2πC． 8﹣ 2πD． 8﹣π【考点】正方形的性质，扇形面积的计算【剖析】依据S 阴＝S△ABD﹣ S 扇形BAE计算即可．解： S阴＝S△ABD﹣ S 扇形BAE×4× 4﹣＝ 8﹣2π，＝应选： C．【评论】本题考察扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的重点是学会用切割法求暗影部分面积．2.（ 2019 年山东省滨州市（ a 卷））如图， AB为⊙ O的直径， C， D 为⊙ O上两点，若∠ BCD＝ 40°，则∠ ABD的大小为（）A． 60°B． 50°C． 40°D． 20°【考点】圆周角定理【剖析】连结AD，先依据圆周角定理得出∠ A 及∠ ADB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．解：连结AD，∵AB为⊙ O的直径，∴∠ ADB＝ 90°．∵∠BCD＝ 40°，∴∠ A＝∠ BCD＝40°，∴∠ ABD＝ 90°﹣ 40°＝50°．应选： B．【评论】本题考察的是圆周角定理，依据题意作出协助线，结构出圆周角是解答本题的重点．ABD，AD分3. （ 2019 年山东省菏泽市）如图，AB 是⊙ O的直径，C，D 是⊙ O上的两点，且BC均分∠E， F，则以下结论不必定建立的是（）别与BC， OC订交于点A． OC∥ BD B． AD⊥ OC C．△ CEF≌△ BED D． AF＝FD【考点】垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角均分线的性质，全等三角形的判断，圆周角定理【剖析】由圆周角定理和角均分线得出∠ADB＝ 90°，∠ OBC＝∠ DBC，由等腰三角形的性质得出∠OCB＝∠ OBC，得出∠ DBC＝∠ OCB，证出 OC∥ BD，选项 A 建立，由平行线的性质得出 AD⊥ OC，选项 B 建立，由垂径定理得出 AF＝ FD，选项 D建立，△ CEF和△ BED中，没有相等的边，△ CEF与△ BED不全等，选项 C 不建立，即可得出答案．解：∵ AB是⊙ O的直径， BC均分∠ ABD，∴∠ ADB＝ 90°，∠ OBC＝∠DBC，∴ AD⊥BD，∵ OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠ DBC＝∠ OCB，∴OC∥BD，选项 A 建立，∴AD⊥OC，选项 B 建立，∴AF＝FD，选项 D建立，∵△ CEF和△ BED中，没有相等的边，∴△ CEF与△ BED不全等，选项C不建立，应选： C．【评论】本题主要考察了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角均分线的性质，解本题的重点是娴熟掌圆周角定理和垂径定理．4. （ 2019 年山东省聊城市）如图，BC是半圆 O的直径， D， E 是上两点，连结BD， CE并延伸交于点 A，连结 OD，OE．假如∠ A＝ 70°，那么∠ DOE的度数为（）A． 35°B． 38°C． 40°D． 42°【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理【剖析】连结 CD，由圆周角定理得出∠ BDC＝90°，求出∠ ACD＝ 90°﹣∠ A＝20°，再由圆周角定理得出∠ DOE＝ 2∠ ACD＝ 40°即可，解：连结CD，如下图：∵BC是半圆 O的直径，∴∠ BDC＝90°，∴∠ ADC＝90°，∴∠ ACD＝ 90°﹣∠ A＝20°，∴∠ DOE＝ 2∠ ACD＝40°，应选： C．【评论】本题考察了圆周角定理、直角三角形的性质，娴熟掌握圆周角定理是解题的重点．5. （ 2019 年山东省青岛市）如图，线段AB经过⊙ O的圆心， AC，BD分别与⊙ O相切于点C，D．若 AC＝ BD＝4，∠ A＝45°，则的长度为（）A．πB． 2πC． 2πD． 4π【考点】等腰直角三角形的判断和性质，切线的性质，弧长的计算【剖析】连结 OC、 OD，依据切线性质和∠ A＝45°，易证得△ AOC和△ BOD是等腰直角三角形，从而求得 OC＝ OD＝ 4，∠ COD＝ 90°，依据弧长公式求得即可．解：连结 OC、 OD，∵AC，BD分别与⊙ O相切于点 C， D．∴ OC⊥AC， OD⊥BD，∵∠ A＝ 45°，∴∠ AOC＝ 45°，∴ AC＝OC＝ 4，∵AC＝BD＝ 4， OC＝ OD＝ 4，∴OD＝BD，∴∠ BOD＝ 45°，∴∠ COD＝ 180°﹣ 45°﹣ 45°＝ 90°，∴的长度为：＝2π ，应选： B．【评论】本题考察了切线的性质，等腰直角三角形的判断和性质，弧长的计算等，证得∠ COD＝90°是解题的重点．6. （2019 年山东省泰安市）如图，将⊙ O沿弦 AB折叠，恰巧经过圆心O，若⊙ O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC． 2πD． 3π【考点】垂径定理，弧长的计算，翻折变换（折叠问题）【剖析】连结OA． OB，作 OC⊥AB于 C，依据翻转变换的性质获得OC＝OA，依据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，依据弧长公式计算即可．解：连结OA． OB，作 OC⊥ AB 于 C，由题意得， OC＝OA，∴∠ OAC＝ 30°，∵OA＝OB，∴∠ OBA＝∠ OAC＝ 30°，∴∠ AOB＝ 120°，∴的长＝＝2π，应选： C．【评论】本题考察的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的重点．B 出7. （ 2019 年山东省东营市）如下图是一个几何体的三视图，假如一只蚂蚁从这个几何体的点发，沿表面爬到AC的中点 D 处，则最短路线长为（）A．3B．C．3D．3【考点】平面睁开﹣最短路径问题，由三视图判断几何体，圆锥的计算【剖析】将圆锥的侧面睁开，设极点为B' ，连结 BB' ， AE．线段 AC与 BB' 的交点为 F，线段 BF 是最短行程．解：如图将圆锥侧面睁开，获得扇形ABB′，则线段BF为所求的最短行程．设∠ BAB′＝ n°．∵＝ 4π，∴n＝ 120 即∠ BAB′＝120°．∵ E 为弧 BB′中点，∴∠ AFB＝ 90°，∠ BAF＝60°，∴BF＝AB?sin ∠BAF＝ 6×＝3，∴最短路线长为3．应选： D．【评论】本题考察了平面睁开﹣最短路径问题，解题时注意把立体图形转变为平面图形的思想．8. （ 2019 年山东省滨州市（ a 卷））若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为．【考点】等边三角形的判断与性质，正多边形和圆【剖析】依据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质和三角函数求解即可．解：如图，连结OA． OB，作 OG⊥AB于 G，则 OG＝ 2，∵六边形ABCDEF正六边形，∴△ OAB是等边三角形，∴∠ OAB＝ 60°，∴OA＝＝＝，∴正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为．故答案为：．【评论】本题考察了正六边形和圆、等边三角形的判断与性质，娴熟掌握正多边形的性质，证明△OAB是等边三角形是解决问题的重点．9.（ 2019 年山东省德州市）如图， O 为 Rt △ABC直角边 AC上一点，以 OC为半径的⊙ O与斜边 AB 相切于点 D，交 OA于点 E，已知 BC＝，AC＝3．则图中暗影部分的面积是．【考点】勾股定理，切线的性质，扇形面积的计算【剖析】第一利用勾股定理求出AB 的长，再证明 BD＝ BC，从而由 AD＝ AB﹣BD可求出 AD的长度，利用特别角的锐角三角函数可求出∠ A 的度数，则圆心角∠ DOA的度数可求出，在直角三角形 ODA 中求出 OD的长，最后利用扇形的面积公式即可求出暗影部分的面积．解：在 Rt △ ABC中，∵ BC＝，AC＝3．∴AB＝＝2，∵BC⊥OC，∴ BC是圆的切线，∵⊙ O与斜边 AB相切于点 D，∴ BD＝BC，∴ AD＝AB﹣ BD＝2﹣＝，在 Rt△ ABC中，∵ sinA ＝＝＝，∴∠ A＝ 30°，∵⊙ O与斜边 AB相切于点 D，∴ OD⊥AB，∴∠ AOD＝ 90°﹣∠ A＝ 60°，∵＝ tanA ＝tan30 °，∴＝∴OD＝1，∴S 暗影＝故答案是：，＝．．【评论】本题考察了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，熟记和圆相关的各样性质定理是解题的重点．10.（ 2019 年山东省东营市）如图， AC是⊙ O的弦， AC＝5，点 B 是⊙ O上的一个动点，且∠ ABC＝ 45°，若点 M、 N分别是 AC、 BC的中点，则M N的最大值是．【考点】三角形中位线定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质【剖析】依据中位线定理获得 MN的长最大时， AB 最大，当 AB 最大时是直径，从而求得直径后就能够求得最大值．解：∵点M， N分别是 BC， AC的中点，∴MN＝ AB，∴当 AB获得最大值时， MN就获得最大值，当 AB 是直径时， AB最大，连结 AO并延伸交⊙ O于点 B′，连结 CB′，∵AB′是⊙ O的直径，∴∠ ACB′＝90°．∵∠ ABC＝ 45 °， AC＝ 5，∴∠ AB′ C＝45°，∴ AB′＝＝＝ 5 ，∴ MN最大＝．故答案为：．【评论】本题考察了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及解直角三角形的综合运用，解题的重点是认识当什么时候 MN的值最大，难度不大．11.（ 2019 年山东省青岛市）如图，五边形ABCDE是⊙ O的内接正五边形， AF 是⊙ O的直径，则∠ BDF的度数是°．【考点】圆周角定理，正多边形和圆【剖析】连结AD，依据圆周角定理获得∠ADF＝ 90°，依据五边形的内角和获得∠ABC＝∠ C＝108°，求得∠ ABD＝72°，由圆周角定理获得∠F＝∠ ABD＝ 72°，求得∠ FAD＝ 18°，于是获得结论．解：连结AD，∵AF 是⊙ O的直径，∴∠ ADF＝90°，∵五边形 ABCDE是⊙ O的内接正五边形，∴∠ ABC＝∠ C＝108°，∴∠ ABD＝ 72°，∴∠ F＝∠ ABD＝72°，∴∠ FAD＝ 18°，∴∠ CDF＝∠ DAF＝ 18°，∴∠ BDF＝ 36° +18°＝ 54°，故答案为： 54．【评论】本题考察正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的重点灵巧运用所学知识解决问题，12.属于中考常考题型．（ 2019 年山东省聊城市）如图是一个圆锥的主视图，依据图中标出的数据（单位：个圆锥侧面睁开图圆心角的度数为．cm），计算这【考点】圆锥的计算，由三视图判断几何体【剖析】依据圆锥的底面半径获得圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面睁开图的弧长，依据勾股定理获得圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面睁开图中扇形的圆心角．解：∵圆锥的底面半径为1，∴圆锥的底面周长为2π，∵圆锥的高是 2 ，∴圆锥的母线长为3，设扇形的圆心角为n°，∴＝ 2π，解得 n＝ 120．即圆锥的侧面睁开图中扇形的圆心角为120°．故答案为： 120°．【评论】本题考察了圆锥的计算，圆锥的侧面睁开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．能力提升篇13.（ 2019 年山东省临沂市）如图，⊙ O中，＝，∠ ACB＝75°，BC＝2，则暗影部分的面积是（）A． 2+πB． 2++πC． 4+πD． 2+π【考点】垂径定理，圆周角定理，扇形面积的计算【剖析】连结 OB、OC，先利用同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半，求出扇形的圆心角为 60 度，即可求出半径的长 2，利用三角形和扇形的面积公式即可求解，解：∵＝，∴AB＝AC，∵∠ ACB＝ 75°，∴∠ ABC＝∠ ACB＝ 75°，∴∠ BAC＝ 30°，∴∠ BOC＝ 60°，∵OB＝OC，∴△ BOC是等边三角形，∴OA＝OB＝ OC＝BC＝2，作 AD⊥ BC，∵ AB＝AC，∴BD＝CD，∴AD经过圆心 O，∴OD＝OB＝，∴AD＝2+ ，∴ S△ABC＝BC?AD＝ 2+，S△BOC＝∴ S 暗影＝ S△ABC+S 扇形BOC﹣ S△BOC＝ 2+BC?OD＝+，﹣＝ 2+ π ，应选： A．14.【评论】本题主要考察了扇形的面积公式，圆周角定理，垂径定理等，明确S 暗影＝S△ABC+S 扇形BOC ﹣ S△BOC是解题的重点．（ 2019 年山东省泰安市）如图，△ABC是⊙ O 的内接三角形，∠A＝ 119°，过点 C 的圆的切线交BO于点P，则∠ P 的度数为（）A．32° B ． 31° C．29° D ．61°【考点】等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，切线的性质【剖析】连结 OC、CD，由切线的性质得出∠ OCP＝ 90°，由圆内接四边形的性质得出∠ ODC＝180°﹣∠ A＝ 61°，由等腰三角形的性质得出∠ OCD＝∠ ODC＝ 61°，求出∠ DOC＝ 58°，由直角三角形的性质即可得出结果．解：如下图：连结OC、 CD，∵PC是⊙ O的切线，∴ PC⊥OC，∴∠ OCP＝ 90°，∵∠ A＝ 119°，∴∠ ODC＝ 180°﹣∠ A＝ 61°，∵OC＝OD，∴∠ OCD＝∠ ODC＝ 61°，∴∠ DOC＝ 180°﹣ 2× 61°＝ 58°，∴∠ P＝ 90°﹣∠ DOC＝ 32°，应选： A．【评论】本题考察了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理，娴熟掌握切线的性质是解题的重点．15.（ 2019 年山东省威海市）如图，⊙ P 与 x 轴交于点 A（﹣ 5， 0）， B（ 1， 0），与 y 轴的正半轴交于点 C．若∠ ACB＝ 60°，则点C的纵坐标为（）A．+ B ． 2 + C． 4 D ． 2 +2【考点】坐标与图形性质，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理【剖析】连结 PA，PB，PC，过 P 作 PD⊥AB 于 D，PE⊥BC于 E，依据圆周角定理获得∠APB＝120°，依据等腰三角形的性质获得∠ PAB＝∠ PBA＝ 30°，由垂径定理获得 AD＝BD＝ 3，解直角三角形获得PD＝， PA＝ PB＝ PC＝ 2 ，依据勾股定理获得 CE＝＝＝ 2 ，于是获得结论．解：连结PA， PB， PC，过 P 作 PD⊥ AB于 D， PE⊥ BC于 E，∵∠ ACB＝ 60°，∴∠ APB＝ 120°，∵PA＝PB，∴∠ PAB＝∠ PBA＝ 30°，∵A（﹣ 5， 0）， B（ 1，0），∴ AB＝6，∴ AD＝BD＝ 3，∴ PD＝， PA＝ PB＝ PC＝ 2 ，∵PD⊥AB， PE⊥BC，∠ AOC＝90°，∴四边形 PEOD是矩形，∴ OE＝PD＝， PE＝ OD＝ 2，∴CE＝＝＝2，∴OC＝CE+OE＝ 2 + ，∴点 C的纵坐标为 2 + ，应选： B．16.【评论】本题考察了圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出协助线是解题的重点．（ 2019 年山东省烟台市）如图，AB 是⊙ O的直径，直线DE与⊙ O相切于点 C，过 A， B 分别作⊥ DE，BE⊥ DE，垂足为点D， E，连结 AC，BC，若 AD＝，CE＝3，则的长为（）ADA．B．πC．πD．π【考点】圆周角定理，切线的性质，弧长的计算，相像三角形的判断与性质，含30°角的直角三角形【剖析】依据圆周角定理求得∠ ACB＝ 90°，从而证得△ ADC∽△ CEB，求得∠线的性质求得∠ ACD＝ 30°，解直角三角形求得半径，依据圆周角定理求得∠ABC＝30°，依据切AOC＝ 60°，依据弧长公式求得即可．解：连结OC，∵ AB是⊙ O的直径，∴∠ ACB＝ 90°，∴∠ ACD+∠ BCE＝ 90°，∵ AD⊥DE， BE⊥DE，∴∠ DAC+∠ ACD＝ 90°，∴∠ DAC＝∠ ECB，∵∠ ADC＝∠ CEB＝ 90°，∴△ ADC∽△ CEB，∴＝，即＝，∵ tan ∠ ABC＝＝，∴∠ ABC＝ 30°，∴AB＝2AC，∠ AOC＝ 60°，∵直线 DE与⊙ O相切于点 C，∴∠ ACD＝∠ ABC＝ 30°，∴ AC＝2AD＝ 2，∴ AB＝4，∴⊙ O的半径为2，∴的长为：＝π ，应选： D．30°角的直角三角形的性质等，【评论】本题考察了切线的性质，圆周角定理，直角三角函数，求得∠ ABC＝ 30°是解题的重点．17.（ 2019 年山东省泰安市）如图，∠ AOB＝ 90°，∠ B＝ 30°，以点 O 为圆心， OA为半径作弧交 AB于点 A、点 C，交 OB于点 D，若 OA＝ 3，则暗影都分的面积为．【考点】等边三角形的判断和性质，含30 度角的直角三角形，扇形面积的计算【剖析】连结OC，作 CH⊥ OB于 H，依据直角三角形的性质求出AB，依据勾股定理求出BD，证明△AOC为等边三角形，获得∠ AOC＝ 60°，∠ COB＝ 30°，依据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．解：连结 OC，作 CH⊥ OB于 H，∵∠ AOB＝ 90°，∠ B＝ 30°，∴∠ OAB＝ 60°， AB＝ 2OA＝ 6，由勾股定理得，OB＝＝3，∵OA＝OC，∠ OAB＝60°，∴△ AOC为等边三角形，∴∠ AOC＝ 60°，∴∠ COB＝ 30°，∴ CO＝CB， CH＝OC，＝∴暗影都分的面积＝﹣×3× 3×+ ×3 ×﹣＝π ，故答案为：π ．【评论】本题考察的是扇形面积计算、等边三角形的判断和性质，掌握扇形面积公式、三角形的面积公式是解题的重点．18. （ 2019 年山东省东营市）如图， AB是⊙ O的直径，点 D 是 AB延伸线上的一点，点 C 在⊙ O上，且AC＝ CD，∠ ACD＝ 120°．（1）求证： CD是⊙ O的切线，（2）若⊙ O的半径为 3，求图中暗影部分的面积．【考点】等腰三角形的性质，圆周角定理，切线的判断与性质，扇形面积的计算【剖析】（ 1）连结 OC．只需证明∠ OCD＝ 90°．依据等腰三角形的性质即可证明，（2）暗影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形 COB的面积．（1）证明：连结 OC．∵AC＝CD，∠ ACD＝120°，∴∠ A＝∠ D＝ 30°．∵OA＝OC，∴∠ ACO＝∠ A＝30°．∴∠ OCD＝∠ ACD﹣∠ ACO＝ 90°．即 OC⊥ CD，∴ CD是⊙ O的切线．（ 2）解：∵∠ A＝ 30°，∴∠ COB＝ 2∠ A＝ 60°．∴S 扇形BOC＝，在 Rt△ OCD中， CD＝ OC∴∴，∴图中暗影部分的面积为．，，【评论】本题综合考察了等腰三角形的性质、切线的判断方法、扇形的面积计算方法．19. （ 2019 年山东省临沂市）如图，AB是⊙ O的直径， C 是⊙ O上一点，过点 O作 OD⊥ AB，交 BC的延伸线于 D，交 AC于点 E，F 是 DE的中点，连结 CF．（1）求证： CF是⊙ O的切线．（2）若∠ A＝ 22.5 °，求证： AC＝ DC．【考点】等腰三角形的判断和性质，等腰直角三角形的判断和性质，圆周角定理，切线的判断与性质【剖析】（ 1）依据圆周角定理获得∠ACB＝∠ ACD＝90°，依据直角三角形的性质获得CF＝ EF＝DF，求得∠ AEO＝∠ FEC＝∠ FCE，依据等腰三角形的性质获得∠OCA＝∠ OAC，于是获得结论，（ 2）依据三角形的内角和获得∠OAE＝∠ CDE＝ 22.5 °，依据等腰三角形的性质获得∠CAD＝∠ ADC ＝ 45°，于是获得结论．（ 1）证明：∵ AB是⊙ O的直径，∴∠ ACB＝∠ ACD＝ 90°，∵点 F 是 ED的中点，∴ CF＝EF＝ DF，∴∠ AEO＝∠ FEC＝∠ FCE，∵OA＝OC，∴∠ OCA＝∠ OAC，∵OD⊥AB，∴∠ OAC+∠ AEO＝ 90°，∴∠ OCA+∠ FCE＝ 90°，即 OC⊥ FC，∴ CF与⊙ O相切，（2）解：∵ OD⊥ AB， AC⊥BD，∴∠ AOE＝∠ ACD＝90°，∵∠ AEO＝∠ DEC，∴∠ OAE＝∠ CDE＝22.5 °，∵ AO＝BO，∴ AD＝BD，∴∠ ADO＝∠ BDO＝22.5 °，∴∠ ADB＝ 45°，∴∠ CAD＝∠ ADC＝45°，∴ AC＝CD．【评论】本题考察了切线的判断，等腰三角形的判断和性质，等腰直角三角形的判断和性质，直角三角形的性质，正确的辨别图形是解题的重点．20.（ 2019 年山东省枣庄市）如图，在 Rt △ ABC中，∠ ABC＝ 90°，以 AB为直径作⊙ O，点 D 为⊙ O上一点，且CD＝ CB，连结 DO并延伸交CB的延伸线于点E．（1）判断直线 CD与⊙ O的地点关系，并说明原因，（2）若 BE＝ 2， DE＝ 4，求圆的半径及 AC的长．【考点】直线与圆的地点关系，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数【剖析】（ 1）欲证明 CD是切线，只需证明OD⊥ CD，利用全等三角形的性质即可证明，（ 2）设⊙ O的半径为2 2 2 2 2 2，r ．在 Rt △OBE中，依据 OE＝ EB+OB，可得（ 4﹣ r ）＝ r +2 ，推出 r ＝由 tan ∠ E＝＝，推出＝，可得 CD＝ BC＝ 3，再利用勾股定理即可解决问题，（ 1）证明：连结 OC．∵CB＝CD， CO＝CO， OB＝OD，∴△ OCB≌△ OCD（ SSS），∴∠ODC＝∠ OBC＝ 90°，∴ OD⊥DC，∴ DC是⊙ O的切线，（ 2）解：设⊙ O的半径为 r ．22 2在 Rt△ OBE中，∵ OE＝ EB+OB，∴（ 4﹣ r ）2＝ r 2+22，∴ r ＝ 1.5 ，∵ tan ∠ E＝＝，∴＝，∴ CD＝BC＝ 3，在 Rt△ ABC中， AC＝＝＝ 3 ．∴圆的半径为 1.5 ， AC的长为 3 ．【评论】本题考察直线与圆的地点关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的重点是学会增添常用协助线，属于中考常考题型．拔高拓展篇21. （ 2019 年山东省潍坊市）如下图，在平面直角坐标系xoy 中，一组齐心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2， 3， ，依据“加 1”挨次递加，一组平行线，x 轴垂直，相邻两直线的间距为l ，此中 l 0 与 y 轴重合若半径为2 的圆与P 1，半径为 3 的圆与 l 2 在第一象限内交于点P 2 ， ，半径为 n+1 的圆与l 0，l 1， l 2， l 3， 都与l 1 在第一象限内交于点 ln 在第一象限内交于点P n ，则点P n 的坐标为．（ n 为正整数）【考点】规律型：点的坐标，勾股定理，垂径定理【剖析】连 OP ， OP ， OP ， l 、l 、 l 3与 x 轴分别交于 A 、 A 、 A ，在 Rt △ OAP 中， OA ＝1， OP123121231 111＝ 2，由勾股定理得出 A P ＝＝，同理： AP ＝，AP ＝， ，得出P1 12 23 31的坐标为（ 1 ， ）， P 2 的坐标为（ 2 ，）， P 3 的坐标为（ 3，）， ，得出规律，即可得出结果．解：连结 OP ， OP ，OP ， l 、 l 、l3与 x 轴分别交于 A 、A 、A ，如下图：12312123在 Rt △ OA 1P 1 中， OA 1＝1， OP 1＝ 2，∴A 1P 1＝＝ ＝，同理： A 2P 2＝＝， A 3P 3＝＝， ，∴ P 1 的坐标为（ 1 ，）， P 2 的坐标为（ 2 ， ）， P 3 的坐标为（ 3， ）， ，依据此规律可得点P n 的坐标是（ n ，），即（ n ，）故答案为：（ n ，）．【评论】本题考察了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考察了勾股定理，由题意得出规律是解题的重点．22.（ 2019 年山东省威海市）（ 1）方法选择如图①，四边形 ABCD是⊙ O的内接四边形，连结 AC， BD， AB＝BC＝ AC．求证： BD＝AD+CD．小颖以为可用截长法证明：在 DB上截取 DM＝AD，连结 AM小军以为可用补短法证明：延伸 CD至点 N，使得 DN＝ AD 请你选择一种方法证明．（2）类比研究【研究 1】如图②，四边形 ABCD是⊙ O的内接四边形，连结 AC， BD， BC是⊙ O的直径， AB＝AC．试用等式表示线段 AD， BD， CD之间的数目关系，井证明你的结论．【研究 2】如图③，四边形ABCD是⊙ O 的内接四边形，连结则线段 AD， BD， CD之间的等量关系式是（ 3）拓展猜想如图④，四边形ABCD是⊙ O的内接四边形，连结b： c，则线段 AD， BD， CD之间的等量关系式是AC， BD．若．AC， BD．若．BC是⊙ O 的直径，∠ ABC＝ 30°，BC是⊙ O的直径， BC： AC： AB＝a：【考点】圆的综合题【剖析】（ 1）方法选择：依据等边三角形的性质获得∠ACB＝∠ ABC＝ 60°，如图①，在BD上截取 DEMAD，连结 AM，由圆周角定理获得∠ ADB＝∠ ACB＝ 60°，获得 AM＝ AD，依据全等三角形的性质获得 BM＝ CD，于是获得结论，（ 2）类比研究：如图②，由BC 是⊙ O 的直径，获得∠ BAC＝ 90°，依据等腰直角三角形的性质获得∠ ABC＝∠ ACB＝ 45°，过 A 作 AM⊥AD交 BD于 M，推出△ ADM是等腰直角三角形，求得DM＝AD依据全等三角形的性质获得结论，【研究 2】如图③，依据圆周角定理和三角形的内角和获得∠ BAC＝ 90°，∠ ACB＝ 60°，过 A 作AM⊥ AD交 BD于 M，求得∠ AMD＝ 30°，依据直角三角形的性质获得 MD＝ 2AD，依据相像三角形的性质获得BM＝CD，于是获得结论，（ 3）如图④，由BC是⊙ O的直径，获得∠BAC＝ 90°，过 A 作AM⊥ AD交BD于M，求得∠MAD＝90°，依据相像三角形的性质获得BM＝CD， DM＝AD，于是获得结论．解：（ 1）方法选择：∵AB＝ BC＝AC，∴∠ ACB＝∠ ABC＝ 60°，如图①，在BD上截取 DEMAD，连结 AM，∵∠ ADB＝∠ ACB＝ 60°，∴△ ADM是等边三角形，∴AM＝AD，∵∠ ABM＝∠ ACD，∵∠ AMB＝∠ ADC＝ 120°，∴△ ABM≌△ ACD（ AAS），∴BM＝CD，∴BD＝BM+DM＝ CD+AD，（ 2）类比研究：如图②，∵ BC是⊙ O的直径，∴∠ BAC＝ 90°，∵ AB＝AC，∴∠ ABC＝∠ ACB＝ 45°，过 A 作 AM⊥ AD交 BD于M，∵∠ ADB＝∠ ACB＝45°，∴△ ADM是等腰直角三角形，∴ AM＝AD，∠AMD＝ 45°，∴ DM＝ AD，∴∠ AMB＝∠ ADC＝ 135°，∵∠ ABM＝∠ ACD，∴△ ABM≌△ ACD（ AAS），∴BM＝CD，∴BD＝BM+DM＝ CD+ AD，【研究 2】如图③，∵若BC是⊙ O的直径，∠ ABC＝30°，∴∠ BAC＝ 90°，∠ ACB＝60°，过 A 作 AM⊥ AD交 BD于M，∵∠ ADB＝∠ ACB＝60°，∴∠ AMD＝ 30°，∴MD＝2AD，∵∠ ABD＝∠ ACD，∠ AMB＝∠ ADC＝150°，∴△ ABM∽△ ACD，∴＝，∴ BM＝CD，∴BD＝BM+DM＝ CD+2AD，故答案为： BD＝ CD+2AD，（ 3）拓展猜想： BD＝ BM+DM＝ CD+ AD，原因：如图④，∵若BC是⊙ O的直径，∴∠ BAC＝ 90°，过 A 作 AM⊥ AD交 BD于 M，∴∠ MAD＝ 90°，∴∠ BAM＝∠ DAC，∴△ ABM∽△ ACD，∴＝，∴BM＝ CD，∵∠ ADB＝∠ ACB，∠ BAC＝∠ NAD＝90°，∴△ ADM∽△ ACB，∴＝＝，∴DM＝ AD，∴BD＝BM+DM＝ CD+ AD．故答案为： BD＝ CD+ AD【评论】本题考察了圆周角定理，圆内接四边形的性质，相像三角形的判断和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，正确的作出协助线是解题的重点．。

山东省2019年中考数学试题及答案pdf一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是无理数？A. 3.14B. √2C. 0.5D. 1/3答案：B2. 一个数的平方根是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：A3. 以下哪个函数是一次函数？A. y = x^2B. y = 3x + 2C. y = 1/xD. y = x^3答案：B4. 解方程2x - 3 = 7，x的值为：A. 5B. 3C. 2D. 45. 一个圆的直径是10cm，那么它的半径是：A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm答案：A6. 以下哪个选项是二次方程？A. x + 3 = 0B. x^2 + 3x + 2 = 0C. 2x = 5D. x^3 - 4x = 0答案：B7. 一个三角形的内角和是：A. 90度B. 180度C. 360度D. 270度答案：B8. 一个数的绝对值是它本身，这个数是：A. 负数B. 非负数C. 正数D. 非正数答案：B9. 以下哪个选项是不等式？B. 2x + 3 > 5C. 4x - 6 = 0D. 5x - 3 = 2答案：B10. 一个正数的倒数是：A. 它本身B. 它的平方C. 1除以它D. 0答案：C二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的立方根是3，这个数是______。

答案：272. 如果一个角是直角的一半，那么这个角是______度。

答案：453. 一个等腰三角形的底角是50度，那么顶角是______度。

答案：804. 一个数的相反数是-7，那么这个数是______。

答案：75. 一个数的绝对值是5，那么这个数可以是______或______。

答案：5或-5三、解答题（每题10分，共50分）1. 解方程：4x - 6 = 10答案：x = 42. 计算：(3x^2 - 2x + 1) - (2x^2 + 3x - 4)答案：x^2 - 5x + 53. 已知一个矩形的长为8cm，宽为6cm，求它的面积。

A. 3
B.2 C.2 2 D. 1 0
2
答案 B ∵AD⊥CE,BE⊥CE,∴∠ADC=∠CEB=90°,∠DAC+∠DCA=90°,∵∠ACB=90°,∴
∠ECB+∠DCA=90°,∴∠DAC=∠ECB,∵AC=CB,∴△ACD≌△CBE,∴AD=CE=3,CD=BE=1,
∴DE=CE-CD=3-1=2. 思路分析 通过证明△ACD与△CBE全等,得到AD=CE,CD=BE,然后利用线段的和差计算DE
BC 2
C.△ABE≌△ACD
D.S△ADH=S△CEG
h
9
答案 A ∵∠B=∠C=36°,∴AB=AC,∠BAC=108°, ∵DH垂直平分AB,EG垂直平分AC, ∴DB=DA,EA=EC, ∴∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°,∴∠BAD=∠BCA, 又∵∠B=∠B,∴△BDA∽△BAC,
h
5
4.(2015青岛,4,3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足 为E,DE=1,则BC= ( )
A. 3 B.2 C.3 D. +32
答案 C ∵DE⊥AB,∠B=30°,∴BD=2DE=2, ∵DC⊥AC,DE⊥AB,AD是∠BAC的平分线, ∴DC=DE=1, ∴BC=BD+DC=2+1=3.故选C.
h
3
答案 A ∵BD平分∠A 1 ∠ABC,∠DCE=1
2
2
∠A= 1 ×30°=15°,故选择A.
2
∠ACE,又∵∠DCE-∠DBE=∠D,∠ACE-∠ABC=∠A,∴∠D=1
2
审题技巧 在求与三角形有关的角度问题时,常常要用到三角形的内角和等于180°,或三角形

专题04 三角形一、选择题1．（2019山东枣庄）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．85°【答案】C ．【解析】解：如图，∵∠ACD ＝90°、∠F ＝45°，∴∠CGF ＝∠DGB ＝45°，则∠α＝∠D +∠DGB ＝30°+45°＝75°，故选：C ．2．（2019山东淄博）如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上的一点，且∠CAD ＝∠B ．若△ADC的面积为a ，则△ABD 的面积为（ ）A ．2aB ．52aC ．3aD ．72a 【答案】C ．【解析】解：∵∠CAD ＝∠B ，∠ACD ＝∠BCA ，∴△ACD ∽△BCA ， ∴2()ACD BCA SAC S AB =，即14BCA a S =， 解得，△BCA 的面积为4a ，∴△ABD的面积为：4a﹣a＝3a，故选：C．3．（2019山东青岛）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°【答案】A．【解析】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，∴∠ABD＝∠EBD，∠AFB＝∠EFB，∵BF＝BF，∴△ABF∽△EBF（ASA），∴AF＝EF，AB＝BE，∴AD＝DE，∵∠ABC＝35°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝95°，∴△ABD≌△EAD（SSS），∴∠BED＝∠BAD＝95°，∴∠ADE＝360°﹣95°﹣95°﹣35°＝145°，∴∠CDE＝180°﹣∠ADE＝35°，故选：A．4．（2019山东临沂）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是（）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B．【解析】解：∵CF∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，∴△ADE ≌△CFE （AAS ），∴AD ＝CF ＝3，∵AB ＝4，∴DB ＝AB ﹣AD ＝4﹣3＝1．故选：B ．5．（2019山东枣庄）如图，将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A ′B ′C ′的位置．已知△ABC 的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA ′＝1，则A ′D 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．32 【答案】B ．【解析】解：∵S △ABC ＝16、S △A ′EF ＝9，且AD 为BC 边的中线，∴S △A ′DE ＝12S △A ′EF ＝92，S △ABD ＝12S △ABC ＝8， ∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移得到△A 'B 'C '，∴A ′E ∥AB ，∴△DA ′E ∽△DAB ， 则2()A DE ABD S A D AD S ''=，即2992()1816A D A D '=='+， 解得A ′D ＝3或A ′D ＝﹣37（舍）， 故选：B ． 6．（2019山东泰安）如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行2km 至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东20°方向，则A ，C 两港之间的距离为（ ）km ．A．3B．3C．3D．3【答案】B．【解析】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝2，如图，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝2，∴AE＝BE＝22AB＝30km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE＝33BE＝3，∴AC＝AE+CE＝3∴A，C两港之间的距离为（3km，故选：B．7．（2019山东聊城）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，下列结论中错误的是（）A．AE+AF＝AC B．∠BEO+∠OFC＝180°C．OE+OF 2BC D．S四边形AEOF＝12S△ABC【答案】C．【解析】解：连接AO，如图所示．∵△ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∠BAO＝∠ACO＝45°．∵∠EOA+∠AOF＝∠EOF＝90°，∠AOF+∠FOC＝∠AOC＝90°，∴∠EOA＝∠FOC．∴△EOA≌△FOC（ASA），∴EA＝FC，∴AE+AF＝AF+FC＝AC，选项A正确；∵∠B+∠BEO+∠EOB＝∠FOC+∠C+∠OFC＝180°，∠B+∠C＝90°，∠EOB+∠FOC＝180°﹣∠EOF＝90°，∴∠BEO+∠OFC＝180°，选项B正确；∵△EOA≌△FOC，∴S△EOA＝S△FOC，∴S四边形AEOF＝S△EOA+S△AOF＝S△FOC+S△AOF＝S△AOC＝12S△ABC，选项D正确．故选：C．8．（2019山东淄博）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．如图1，当CD ＝12AC 时，tan α1＝34； 如图2，当CD ＝13AC 时，tan α2＝512； 如图3，当CD ＝14AC 时，tan α3＝724；…… 依此类推，当CD ＝11n +AC （n 为正整数）时，tan αn ＝ ． 【答案】22122n n n ++． 【解答】解：观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，2n +1，分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，2n +1，2(21)12n +-，2(21)12n ++中的中间一个． ∴tan αn ＝221(21)12n n ++-＝22122n n n++． 故答案为：22122n n n ++． 9．（2019山东滨州）如图，在△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，OA ＞OC ，∠AOB ＝∠COD ＝40°，连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC ＝BD ；②∠AMB ＝40°；③OM 平分∠BOC ；④MO 平分∠BMC ．其中正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B ．【解析】解：∵∠AOB ＝∠COD ＝40°，∴∠AOB +∠AOD ＝∠COD +∠AOD ，即∠AOC ＝∠BOD ，∴△AOC ≌△BOD （SAS ），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；∴∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG＝OH，∴MO平分∠BMC，④正确；正确的个数有3个；故选：B．二、填空题10．（2019山东枣庄）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【答案】9.5．【解析】解：过D作DE⊥AB，∵在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为53°，∴∠ADE ＝53°，∵BC ＝DE ＝6m ，∴AE ＝DE •tan53°≈6×1.33≈7.98m ，∴AB ＝AE +BE ＝AE +CD ＝7.98+1.5＝9.48m ≈9.5m ，故答案为：9.511．（2019山东德州）如图，一架长为6米的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时测得∠ABO =70°，如果梯子的底端B 外移到D ，则梯子顶端A 下移到C ，这时又测得∠CDO =50°，那么AC 的长度约为 米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）【答案】1.02．【解析】解：由题意可得：∵∠ABO =70°，AB =6m ，∴sin70°=6AO AO AB ≈0.94， 解得：AO =5.64（m ），∵∠CDO =50°，DC =6m ，∴sin50°=6CO ≈0.77， 解得：CO =4.62（m ），则AC =5.64-4.62=1.02（m ），答：AC 的长度约为1.02米．故答案为：1.02．12．（2019山东临沂）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝120°，BC ＝4，D 为AB 的中点，DC ⊥BC ，则△ABC的面积是 ．【答案】3【解析】解：∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，延长CD到H使DH＝CD，∵D为AB的中点，∴AD＝BD，∴△ADH≌△BCD（SAS），∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，∵∠ACH＝30°，∴CH3＝3，∴CD＝3，∴△ABC的面积＝2S△BCD＝2×12×4×3＝3，故答案为：313．（2019山东枣庄）把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝．62．【解析】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B＝45°，∴BC AB ＝，BF ＝AF ＝AB ，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD ＝BC ＝2，在Rt △ADF 中，根据勾股定理得，DF 226AD AF -∴CD ＝BF +DF ﹣BC 26﹣262， 62．14．（2019山东聊城）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，DE 为△ABC 的中位线，延长BC 至F ，使CF ＝12BC ，连接FE 并延长交AB 于点M ．若BC ＝a ，则△FMB 的周长为 ．【答案】92a ． 【解析】解：在Rt △ABC 中，∠B ＝60°，∴∠A ＝30°，∴AB ＝2a ，AC 3．∵DE 是中位线，∴CE ＝32a ． 在Rt △FEC 中，利用勾股定理求出FE ＝a ，∴∠FEC ＝30°．∴∠A ＝∠AEM ＝30°，∴EM ＝AM ．△FMB 周长＝BF +FE +EM +BM ＝BF +FE +AM +MB ＝BF +FE +AB ＝92a ． 故答案为92a ． 三、解答题15．（2019山东淄博）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAE ＝∠DAC ．求证：∠E ＝∠C ．【答案】见解析【解析】证明：∵∠BAE ＝∠DAC∴∠BAE +∠CAE ＝∠DAC +∠CAE∴∠CAB ＝∠EAD ，且AB ＝AD ，AC ＝AE∴△ABC ≌△ADE （SAS ）．∴∠C ＝∠E ．16．（2019山东菏泽）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A 处时，测得小岛B 位于它的北偏东30°方向，且与航母相距80海里再航行一段时间后到达C 处，测得小岛B 位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC 的长．【答案】（2﹣6）海里．【解析】解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，由题意，得：∠BAD ＝60°，∠BCD ＝45°，AC ＝80，在Rt △ADB 中，∠BAD ＝60°，∴tan60°＝BD AD，∴AD在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，∴BD＝CD，BD＝80，∴AC＝AD+CD3∴BD＝120﹣3∴BC2BC＝2﹣6，答：BC的距离是（26）海里．17．（2019山东聊城）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示，CD部分），在起点A 处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45°，底端D点的仰角为30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4°（如图②所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.002 1.41，3≈1.73）【答案】17米．【解析】解：设楼高CE为x米，∵在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，∴AE＝CE＝x，∵AB＝20，∴BE＝x﹣20，在Rt△CEB中，CE＝BE•tan63.4°≈2（x﹣20），∴2（x﹣20）＝x，解得：x＝40（米），在Rt△DAE中，DE＝AE tan30°＝40∴CD＝CE﹣DE＝40﹣4033≈17（米），答：大楼部分楼体CD的高度约为17米．18．（2019山东临沂）鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A、C、D共线）处同时施工．测得∠CAB＝30°，AB＝4km，∠ABD＝105°，求BD的长．【答案】2km．【解析】解：作BE⊥AD于点E，∵∠CAB＝30°，AB＝4km，∴∠ABE＝60°，BE＝2km，∵∠ABD＝105°，∴∠EBD＝45°，∴∠EDB＝45°，∴BE＝DE＝2km，∴BD＝2km，即BD的长是2km．19．（2019山东潍坊）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB ＝200米，坡度为13；将斜坡AB 的高度AE 降低AC ＝20米后，斜坡AB 改造为斜坡CD ，其坡度为1：4．求斜坡CD 的长．（结果保留根号）【答案】8017【解析】解：∵∠AEB ＝90°，AB ＝200，坡度为13∴tan ∠ABE 333=， ∴∠ABE ＝30°，∴AE ＝12AB ＝100， ∵AC ＝20，∴CE ＝80，∵∠CED ＝90°，斜坡CD 的坡度为1：4， ∴14CE DE =，即8014ED =， 解得，ED ＝320，∴CD 22803208017+=答：斜坡CD 的长是801720．（2019山东青岛）如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB ，栈道AB 与景区道路CD 平行．在C 处测得栈道一端A 位于北偏西42°方向，在D 处测得栈道另一端B 位于北偏西32°方向．已知CD＝120m，BD＝80m，求木栈道AB的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin32°≈1732，cos32°≈1720，tan32°≈58，sin42°≈2740，co s42°≈34，tan42°≈9 10）【答案】134米．【解析】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB交AB的延长线于F，则CE∥DF，∵AB∥CD，∴四边形CDFE是矩形，∴EF＝CD＝120，DF＝CE，在Rt△BDF中，∵∠BDF＝32°，BD＝80，∴DF＝cos32°•BD＝80×1720≈68，BF＝sin32°•BD＝80×1732≈852，∴BE＝EF﹣BF＝1552，在Rt△ACE中，∵∠ACE＝42°，CE＝DF＝68，∴AE＝CE•tan42°＝68×910＝3065，∴AB＝AE+BE＝1552+3065≈134m，答：木栈道AB的长度约为134m．21．（2019山东威海）如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG＝2米，货厢底面距地面的高度BH＝0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH＝α，木箱的长（FC）为2米，高（EF）和宽都是1.6米．通过计算判断：当sinα＝35，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部．【答案】不会触碰到汽车货厢顶部，理由见解析．【解析】解：∵BH＝0.6米，sinα＝35，∴AB＝0.613sin5BHα==米，∴AH＝0.8米，∵AF＝FC＝2米，∴BF＝1米，作FJ⊥BG于点J，作EK⊥FJ于点K，∵EF＝FB＝AB＝1米，∠EKF＝∠FJB＝∠AHB＝90°，∠EFK＝∠FBJ＝∠ABH，∴△EFK≌△FBJ≌△ABH，∴EK＝FJ＝AH，BJ＝BH，∴BJ+EK＝0.6+0.8＝1.4＜2，∴木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部．22．（2019山东菏泽）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）如图1，连接BE，CD，BE的廷长线交AC于点F，交CD于点P，求证：BP⊥CD；（2）如图2，把△ADE绕点A顺时针旋转，当点D落在AB上时，连接BE，CD，CD的延长线交BE于点P，若BC＝，AD＝3，求△PDE的面积．【答案】（1）见解析；（2）910． 【解析】解：（1）∵△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE＝90°．∴AD ＝AE ，AB ＝AC ，∠BAC ﹣∠EAF ＝∠EAD ﹣∠EAF ，即∠BAE ＝∠DAC ，∴△ABE ≌△ADC （SAS ），∴∠ABE ＝∠ACD ，∵∠ABE +∠AFB ＝∠ABE +∠CFP ＝90°，∴∠CPF ＝90°，∴BP ⊥CD ；（2）在△ABE 与△ACD 中，90AE AD EAB CAB AB AC =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴∠ABE ＝∠ACD ，BE ＝CD ，∵∠PDB ＝∠ADC ，∴∠BPD ＝∠CAB ＝90°，∴∠EPD ＝90°，∵BC ＝2，AD ＝3，∴DE ＝2，AB ＝6，∴BD ＝6﹣3＝3，CD 2235AD AC += ∵△BDP ∽△CDA ， ∴BD PD PB CD AD AC==， 3635PD PB ==， ∴PDPB∴PE＝，∴△PDE的面积＝1559 25510⨯⨯=．23．（2019山东枣庄）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB+AN2AM．【答案】（1223；（2）证明见解析；（3）见解析．【解析】（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD＝BD＝DC，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，∵AB＝2，∴AD＝BD＝DC2，∵∠AMN＝30°，∴∠BMD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠MBD＝30°，∴BM＝2DM，由勾股定理得，BM2﹣DM2＝BD2，即（2DM）2﹣DM22）2，解得，DM＝33，∴AM＝AD﹣DM2﹣33；（2）证明：∵AD⊥BC，∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，∴△BDE≌△ADF（ASA）∴BE＝AF；（3）证明：过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，∴∠AME＝90°，则AE2AM，∠E＝45°，∴ME＝MA，∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°，∴∠BME＝∠AMN，∴△BME≌△AMN（ASA），∴BE＝AN，∴AB+AN＝AB+BE＝AE2AM．。