2022届江苏省扬州中学高三下学期3月月考数学试题一、单选题1．设全集{}0U x x =≥，{}20M x x x =-<，{}2,0xN y y x ==≥，则()UMN （ ）A ．[)0,∞+B ．()1,+∞C ．[)0,1D ．()0,1【答案】D【分析】解一元二次不等式求出集合M ，根据指数函数的单调性求出结合N ，进而求出UN ，根据集合的交集运算即可求出结果.【详解】因为{}{}2001M x x x x x =-<=<<，{}{}2,01xN y y x y y ==≥=≥所以{}1UN y y =<所以(){}01=Ux MN x <<.故选：D.2．“1a =”是“直线2(1)(1)30a x a y ++-+=的斜率不存在”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先求直线斜率不存在时的a 的值，然后再验证即可得到答案. 【详解】直线2(1)(1)30a x a y ++-+=的斜率不存在，则210a -=，10a +≠， 解得1a =．∴ “1a =”是“直线2(1)(1)30a x a y ++-+=的斜率不存在”的充要条件， 故选：C ．3．由直线1y x =+上的点向圆()2231x y -+=作切线，则切线长的最小值为（ ）A ．1BC ．D ．3【答案】B【分析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值．【详解】切线长的最小值是当直线1y x =+上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d =圆的半径为1，=故选：B ．【点睛】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题．4．车马理论也称霍姆斯马车理论，是指各种资源都得到最合理配置和使用充分均匀的一种理论．管理学家经常将霍姆斯马车理论引申为：一个富有效率的团队，不需要每一个人都是最有能力的，而在于每个人的能力都能得到最合理的发挥．某班一小队共10名同学，编号分别为1，2，…，9，10，要均分成两个学习小组（学习小组没有区别），其中1，2号同学必须组合在一起，3，4号同学也必须组合在一起，其余同学可以随意搭配，就能达到最佳效果，那么不同的分组方式的种数为（ ） A ．26 B ．46 C ．52 D ．126【答案】A【分析】根据题意分为两类：（1）当1，2号同学与3，4号同学在同一个小组，（2）当1，2号同学与3，4号同学在不同的小组，即可求解. 【详解】由题意，可分为两类：（1）若1，2号与3，4号在同一个小组，那么该小组还差1人，有16C 6=种分组方式；（2）若1，2号与3，4号在不同的小组，则这两个小组均还差3人，有36C 20=种分组方式，所以共有62026+=种分组方式． 故选：A ．5．关于函数y =sin （2x +φ）（R ϕ∈）有如下四个命题： 甲：该函数在,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；乙：该函数图象向右平移12π个单位长度得到一个奇函数； 丙：该函数图象的一条对称轴方程为65x π=-； 丁：该函数图像的一个对称中心为(,0)12π.如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D【分析】根据题意首先求出函数的增区间，平移后的解析式，对称轴和对称中心，进而分别讨论甲、乙、丙、丁为错误时其它命题的正误，进而得到答案. 【详解】令222,Z 22k x k k πππϕπ-+≤+≤+∈，则函数的增区间为(),Z 4242k k k πϕπϕππ⎡⎤--+-∈⎢⎥⎣⎦…①； 函数图象向右平移12π个单位长度得到sin 2sin 2126y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦…②； 令2,Z 2242k x k x k πππϕϕπ+=+⇒=+-∈…③； 令2,Z 22k x k x k πϕϕπ+=⇒=-∈…④. 若甲错误，则乙丙丁正确，由②，由函数的奇偶性性，令6π=ϕ，由①，函数的增区间为(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，则甲正确，矛盾.令76πϕ=，由①，函数的增区间为()5,Z 63k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，则甲错误，满足题意.由③，函数的对称轴方程为,Z 23k x k ππ=-∈，1k =-时，65x π=-，则丙正确.由④，函数的对称中心为()7,0Z 212k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，令74212123k k πππ-=⇒=，丁错误.不合题意； 若乙错误，则甲丙丁正确，易知函数增区间的的两个端点的中点为对称中心，由①，令424222k k x k πϕπϕππϕπ--++-==-，结合④，令()2Z 2126k k k ϕπππϕπ-=⇒=-∈，由函数的奇偶性，取k =0，6πϕ=-，由③，,Z 241223k k x k πππππ=++=+∈，令572363k k πππ+=-⇒=-，则丙错误.不合题意； 若丙错误，则甲乙丁正确，由②，由函数的奇偶性，令76πϕ=，由①，函数的增区间为()5,Z 63k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，则甲错误，不合题意.令6π=ϕ，由①，函数的增区间为(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，甲正确.取区间中点()36Z 212k k x k k ππππππ-++==-+∈，则丁错误.不合题意；若丁错误，则甲乙丙正确. 由②，由函数的奇偶性，令76πϕ=，由①，函数的增区间为()5,Z 63k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，则甲错误，不合题意.令6π=ϕ，，由①，函数的增区间为(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，甲正确.由③，,Z 241226k k x k πππππ=+-=+∈.k =-2时，65x π=-，则丙正确.由④，,Z 212k x k ππ=-∈，令1212123k k πππ-=⇒=，④错误.满足题意.综上：该命题是丁. 故选：D.6．已知数列{an }的通项公式21021n a n n =-+-，前n 项和为Sn ，若m ＞n ，则Sm ﹣Sn 的最大值是（ ） A ．5 B ．10 C ．15 D ．20【答案】B【分析】由题可得要使m n S S -的值最大，则12n n m a a a ++++⋯⋯+包含所有的正项，求出0n a >即可得出.【详解】解：依题意，12m n n n m S S a a a ++-=++⋯⋯+，所以要使m n S S -的值最大，则12n n m a a a ++++⋯⋯+包含所有的正项，令210210n a n n =-+->，得46n ≤≤，代入得()456max 34310m n S S a a a -=++=++=. 故选：B ．7．已知点P 是抛物线22(0)y px p =>上一点，且点P 到点(0,2)A -的距离与到y 轴的距离之和的最小值为2322-，则p =（ ） A ．22 B ．4C ．32D ．42【答案】D【分析】如图所示，点P 到点(0,2)A -的距离与到y 轴的距离之和为||||||22p p PA PF AF +-≥-，再解方程24232242p p +-=-，即得解. 【详解】如图所示，由题得准线方程为2px =-，点P 到点(0,2)A -的距离与到y 轴的距离之和为||||||22p p PA PF AF +-≥-， （当点P 在线段AF 与抛物线的交点时取等）||AF =2p=解之得p =故选：D【点睛】方法点睛：圆锥曲线的最值问题常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.8．已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()2xf x xe f x '=+，若()1f e =，则函数()()4g x f x =-的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【分析】由()()2xf x xe f x '=+，构造函数()xf x e ，根据()1f e =，求得()2xf x x e =，进而得到()24xg x x e =-，利用导数法求解.【详解】因为()()2xf x xe f x '=+，所以()()2xf x f x xe '-=，则()()()2x xf x f x f x x e e ''-⎛⎫== ⎪⎝⎭， 所以()2xf x x c e=+，即()()2x f x x c e =+， 因为()1f e =，所以()()11f c e e =+=，解得0c ，所以()2xf x x e =，则()24xg x x e =-，所以()()2xg x e x x '=+，当2x <-或0x >时，()0g x '>，当20x -<<时，()0g x '<，所以当2x =-时，函数()g x 取得极大值()2410e --<，当0x =时，函数()g x 取得极小值40-<， 又当x →+∞时，()g x →+∞，所以函数()()4g x f x =-的零点个数为1， 故选：B 二、多选题9．以下命题正确的是（ ）A ．若直线的倾斜角为α，则其斜率为tan αB ．已知A ，B ，C 三点不共线，对于空间任意一点O ，若212555OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．不经过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示D ．若点(),P x y 在线段26y x =-+（12x ≤≤）上运动，则211y x ++的最大值为92【答案】BD【分析】根据斜率和倾斜角的关系判断A ，根据空间向量基本定理判断B ，根据截距式方程判断C ，根据反比例函数的性质判断D ；【详解】对于A ：因为倾斜角的取值范围为[0,)π，当2πα=，斜率不存在，故A 错误；对于B ：由A ，B ，C 三点不共线，对于空间任意一点O ，若212555OP OA OB OC =++，则()()2255OP OB OA OB OC OB -=-+-，即2255BP BA BC =+，则P ，A ，B ，C 四点共面，故B 正确；对于C ：平行于x 轴或y 轴的直线不能用方程1x ya b+=表示，故C 错误；对于D ：因为点(),P x y 在线段()2612y x x =-+≤≤上运动，所以()()22614117211741111x x y x x x x -++-+++===-+++++，因为12x ≤≤，所以213≤+≤x ，111312x ≤≤+，所以51794312x ≤-+≤+，故211y x ++的最大值为92，故D 正确； 故选：BD10．已知向量(3a =，1)，(cos ,sin )b θθ=，则下列说法正确的是（ ）A ．存在(0,)2πθ∈，使得a b ⊥B ．存在(0,)2πθ∈，使得//a bC ．对于任意(0,)2πθ∈，(1a b ⋅∈，2]D ．对于任意(0,)2πθ∈，||[1a b -∈【答案】BCD【分析】A 垂直的数量积为0，列出等式，看解出的θ是否在(0,)2π上；B 由平行的坐标表示列出等式，看解出的θ是否在(0,)2π上；C 先由向量数量积的坐标运算，列出和三角函数有关的式子，再求其值域即可；D 先表示出模，转化为三角函数求值域问题求解.【详解】解：对A ：3cos sin 2sin()3a b πθθθ⋅=+=+，若a b ⊥，则2sin()03πθ+=，因为(0,)2πθ∈，此时θ无解，故A 错误；对B ：若//a b cos 0θθ-=，因为(0,)2πθ∈，所以6πθ=，故B 正确；对C ：2sin()3a b πθ⋅=+，因为(0,)2πθ∈，所以(33ππθ+∈，5)6π，则1sin()(32πθ+∈，1]，所以2sin()(13a b πθ⋅=+∈，2]，故C 正确；对D ：||(3a b -=-=(0,)2πθ∈，则(66ππθ-∈-，)3π，所以1cos (2θ∈-，1]，则||[1a b -∈，故D 正确；故选：BCD ．11．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，M ，N 分别为棱1CC ，CB ，CD 上的动点（点P 不与点C ，1C 重合），若CP CM CN ==，则下列说法正确的是( )A ．存在点P ，使得点1A 到平面PMN 的距离为43B ．用过P ，M ，1D 三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形C ．1//BD 平面PMND ．用平行于平面PMN 的平面α去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为32【答案】ABD【分析】连接11A C ，1BC ，1A B ，BD ，1C D ，1A D ，1B C ，根据线线平行，面面平行求出1A C ⊥平面1BC D ，得到1A 到平面PMN 的距离，判断A ；连接1D P 并延长交DC 的延长线于点Q ，连接QM 并将其延长与AD 相交于点A '，根据比例关系得到四边形1AD PM 为梯形，判断B ；连接1BD ，由A 可知平面//MNP 平面1BC D ，根据线面关系判断C ；在1BB 上取点1P ，过点1P 作12//PP MP 交11B C 于点2P ，过2P 作21//P N MN 交11C D 于1N ，以此类推截面为六边形，求出六边形的周长判断D 即可．【详解】对于A ：连接11A C ，1BC ，1A B ，BD ，1C D ，1A D ，1B C ，如图示：CP CM CN ==，//MN BD ∴，1//NP C D ，1//MP BC ，且平面//MNP 平面1BC D ，又已知三棱锥11A BC D -各条棱长均为2，则三棱锥11A BC D -为正四面体， 故1A 到平面1BC D 的距离为：222223(2)(3)23-⨯⨯=， 11A B ⊥平面11BCC B ，111A B BC ∴⊥，又11BC B C ⊥，且1111A B B C B =，1BC ∴⊥平面11A B C ，又1AC ⊂平面11A B C ，11B AC ∴⊥， 同理可得11C D AC ⊥，且111BC C D C =，1A C ∴⊥平面1BC D ， 又13A C =，1A ∴到平面PMN 的距离23(∈，3)，且23433<<，故A 正确；对于B ：连接1D P 并延长交DC 的延长线于点Q ，连接QM 并将其延长与AD 相交于点A '，如图示：CP CM =，且1//CP DD ，//CM AD ，则1CP CM CQDD DA DQ=='，1DA DD ∴'=，故A '即为A ，连接1AD ，∴过点P ，M ，1D 的截面为四边形1AD PM ， 由条件可知1//MP BC ，11//BC AD ，且1||||MP AD ≠，∴四边形1AD PM 为梯形，故B 正确；对于C ：连接1BD ，由A 可知平面//MNP 平面1BC D ，如图示：又B ∈平面1BC D ，1D ∈平面1BC D ，故1BD 不平行于平面1BC D ， 故1//BD 平面PMN 不成立，故C 错误；对于D ：在1BB 上取点1P ，过点1P 作12//PP MP 交11B C 于点2P ， 过2P 作21//P N MN 交11C D 于1N ，以此类推，如图示：依次可得点2N ，1M ，2M ，此时截面为六边形， 根据题意可知：平面121212//PP N N M M 平面MNP ， 不妨设1BP x =，则1221212PM P N N M x ==，故1212122(1)PP N N M M x ===-， 故六边形的周长为：3[22(1)]32x x -=D 正确； 故选：ABD ．12．已知双曲线E ：()222210x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为()13,0F -，()23,0F ，两条渐近线的夹角正切值为22直线l ：30kx y k --=与双曲线E 的右支交于A ，B 两点，设1F AB 的内心为I ，则（ ） A ．双曲线E 的标准方程为22163x y -=B ．满足6AB =l 有2条C ．2IF AB ⊥D ．1F AB 与IAB △的面积的比值的取值范围是(]2,6【答案】ACD【分析】A :设其中一条渐近线的倾斜角为θ，02πθ<<，由题干条件可知tan 2θ=从而解出tan θ=b a =,a b ，从而求出双曲线方程；B ：直线过焦点，判断过焦点弦的最短弦可判断B ；C ：由双曲线的定义和切线的性质进行转化可判断；D ：将三角形的面积用内切圆的半径和边长计算，结合定义，可得到12F AB IABS S △△△，由AB 的范围可求出比值的范围. 【详解】A 选项，设双曲线E 的一条渐近线的倾斜角为θ，02πθ<<，因为a b >，所以022πθ<<，从而22tan tan 21tan θθθ==-tan θ=tan θ=，所以2b a =，又229a b +=，所以26a =，23b =，所以双曲线E 的标准方程为22163x y -=，故A 正确；B 选项，直线l 的方程kx -30y k -=，即()30k x y --=，则直线l 恒过右焦点2F ，又过焦点2F的弦最短为22b a ==AB =l 只有1条，B 错误；C选项，由双曲线的定义可知，121AF AF BF -==-2BF ，即1122AF BF AF BF -=-，因此2F 是1F AB 的内切圆在AB 边上的切点，因此2IF AB ⊥，C 正确；D 选项，由题知()121121212F AB IABIF AF BF AB S S IF AB ⋅++==⋅△△△2，因为AB (]12,6F AB IABS S ∈△△，D 正确.【点睛】知识点点睛：（1）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴所在的直线的弦），其长度为22b a；异支的弦中最短的为实轴，其长度为2a .（2）由圆外一点引圆的切线，切线长相等. 三、填空题13．写出一个虚数z ，使得23z +为纯虚数，则z =___________. 【答案】12i +（答案不唯一）．【分析】设i z a b =+（a ，b ∈R ，0b ≠），代入计算后由复数的定义求解．【详解】设i z a b =+（a ，b ∈R ，0b ≠），则222332i z a b ab +=-++，因为23z +为纯虚数，所以223a b -=-且0ab ≠.任取不为零的实数a ，求出b 即可得，答案不确定，如12z i =+， 故答案为：12i +．14．100的展开式中有理项的个数为_____． 【答案】17【分析】先写出通项公式，然后让506r-为整数即可求解.【详解】通项公式(10050611001002r rrrr rr T CC x--+==，有理项只需要保证506r -为整数即可，又,0100r Z r ∈≤≤，故0,6,12,96r =，共17个.故答案为：17.15．已知定义在R 上的函数()f x ，若函数()2f x +为偶函数，且()f x 对任意1x ，[)22,x ∈+∞（12x x ≠），都有()()12120f x f x x x -<-，若()()31f a f a ≤+，则实数a 的取值范围是______.【答案】13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由函数()2f x +为偶函数，故函数()f x 的图象关于直线x =2对称，再根据条件可知，所以函数()f x 在[2,+∞)上单调递减，在(－∞,2]上单调递增，由()()31f a f a ≤+得|2||312|a a -≥+-，解之即可求出结果.【详解】由于函数()2f x +为偶函数，故函数()f x 的图象关于直线x =2对称， 又“()f x 对任意1x ，[)22,x ∈+∞（12x x ≠），都有()()12120f x f x x x -<-”，所以函数()f x 在[2,+ ∞)上单调递减，在(－∞,2]上单调递增， 由()()31f a f a ≤+得|2||312|a a -≥+-，解得1324a -. 故答案为13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生分析问题和解决问题的能力，要求学生掌握数形结合的思想运用，属中档题. 四、双空题16．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AP =，点M 是矩形ABCD 内（含边界）的动点，且1AB =，3AD =，直线PM 与平面ABCD 所成的角为4π.记点M 的轨迹长度为α，则tan α=______；当三棱锥P ABM -的体积最小时，三棱锥P ABM -的外接球的表面积为______. 【答案】 3 8π【解析】先根据已知条件判断出点M 的轨迹为圆弧，再求此时的α，即可求出tan 3α=；判断三棱锥P ABM -的体积最小时即点M 位于F 时，此时三棱锥P ABM -的外接球球心为PF 的中点，所以半径为PF 的一半，从而可得外接球的表面积. 【详解】如图，因为PA ⊥平面ABCD ，垂足为A ， 则PMA ∠为直线PM 与平面ABCD 所成的角， 所以4PMA π∠=.因为2AP =，所以2AM =，所以点M 位于底面矩形ABCD 内的以点A 为圆心，2为半径的圆上， 记点M 的轨迹为圆弧EF .连接AF ，则2AF =. 因为1AB =，3AD =，所以6AFB FAE π∠=∠=，则弧EF 的长度263ππα=⨯=，所以tan 3α=.当点M 位于F 时，三棱锥P ABM -的体积最小， 又2PAF PBF π∠=∠=，∴三棱锥P ABM -的外接球球心为PF 的中点. 因为222222PF =+=，所以三棱锥P ABM -的外接球的表面积()2428S ππ==.38π【点睛】本题考查了由线面垂直得到线面角，判断出动点轨迹，外接球的半径及表面积的计算，属于较难题. 五、解答题17．已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足14a =，12b =，212n n n b b b ++=+，332a b =+．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)对于集合A 、B ，定义集合{A B x x A -=∈且}x B ∉，设数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A 、B ，将集合A B -的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的前30项和30S ．【答案】(1)31n a n =+，2nn b =(2)301632S =【分析】（1）设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 的公比为()0q q >，根据已知条件求出q 的值，结合等比数列的通项公式可求得n b ，求出3a 的值，可求得d ，利用等差数列的通项公式可求得n a ；（2）分析可知，所以{}n c 前30项由{}n a 的前33项去掉{}n b 的24b =，416b =，664b =这3项构成，利用等差数列的求和公式可求得30S 的值.【详解】(1)解：设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 的公比为()0q q >， 212n n n b b b ++=+，22q q ∴=+，解得2q或10q =-<（舍去）.又12b =，所以1222n nn b -=⨯=.所以33210a b =+=，311043312a a d --===-， 所以，()()33103331n a a n d n n =+-=+-=+.(2)解：3091a =，33100a =，又6764121128b b =<<=， 所以30S 中要去掉数列{}n b 的项最多6项，数列{}n b 的前6项分别为2、4、8、16、32、64，其中4、16、64三项是数列{}n a 和数列{}n b 的公共项，所以{}n c 前30项由{}n a 的前33项去掉{}n b 的24b =，416b =，664b =这3项构成. ()()()()3012332463341004166416322S a a a b b b ⨯+=+++-++=-++=.18．已知四边形ABCD ，A ，B ，C ，D 四点共圆，5AB =，2BC =，4cos 5ABC ∠=-．(1)若sin ACD ∠AD 的长； (2)求四边形ABCD 周长的最大值． 【答案】(1)5(2)7【分析】（1）先通过余弦定理求出AC ，再借助正弦定理求AD 即可；（2）直接表示出周长，借助余弦定理求出DC DA +的最大值，即可求出周长的最大值. 【详解】(1)在ABC 中，由余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠22452252()455=+-⨯⨯⨯-=，得AC =因为4cos ,05ABC ABC π∠=-<∠<，所以3sin 5ABC ∠=.因为,,,A B C D 四点共圆，所以ABC ∠与角ADC ∠互补， 所以3sin 5ADC ∠=，4cos 5ADC ∠=，在ACD △，由正弦定理得：sin sin AD ACACD ADC=∠∠，所以sin 553sin 5AC ACDAD ADC⋅∠===∠.(2)因为四边形ABCD 的周长为7DC DA BC BA DC DA +++=++， 在ACD △中，由余弦定理得：2222cos AC DA DC DA DC ADC =+-⋅⋅∠， 即22281845()55DA DC DA DC DA DC DA DC =+-⋅=+-⋅222181()()()5210DA DC DA DC DA DC +≥+-=+2()450,DA DC DA DC ∴+≤∴+≤当且仅当2DA DC ==时，max ()DA DC += 所以四边形ABCD周长的最大值为7.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，22AB AD ==，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点.（1）若1PA =，求证：AE ⊥平面PCD ；（2）当直线PC 与平面ACE 所成角最大时，求三棱锥E ABC -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（22. 【分析】（1）分别证明AE CD ⊥和AE PD ⊥，再由线面垂直的判定定理即证明； （2）设()0AP a a =>，建立空间直角坐标系，找出平面ACE 的法向量，把直线PC 与平面ACE 所成角的正弦表示成a 的函数，再用均值不等式，即可算出a ，从而求得三棱锥E ABC -的体积.【详解】（1）证明：PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCDPA CD ∴⊥四边形ABCD 为矩形AD CD ∴⊥又AD PA A ⋂=，,AD PA ⊂平面PADCD 平面PADAE ⊂平面PADCD AE ∴⊥在PAD △中，1PA AD ==，E 为PD 中点AE PD ∴⊥又PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCDAE ∴⊥平面PCD（2）以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设()0AP a a =>，则()2,1,0C ，()0,0,P a ，10,,22a E ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,1,0AC ∴=，10,,22a AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2,1,PC a =-，设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z =，则 00AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩201022x y ay z +=⎧⎪∴⎨+=⎪⎩ 令y a =-，解得21a x z ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ,,12a n a ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭设直线PC 与平面ACE 所成角为θ，则||sin cos ,||||n PC n PC n PC θα⋅=<>=225154a a =++222720295a a=≤++ 当且仅当2a =∴三棱锥E ABC -的体积1122213226E ABC V -=⨯⨯⨯⨯=【点睛】方法点睛：对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(),0F c0y +-上，且离心率为12． (1)求椭圆C 的方程；(2)设(),0A a -，(),0B a ，过点A 的直线与椭圆C 交于另一点P （异于点B ），与直线x a =交于一点M ，PFB ∠的角平分线与直线x a =交于点N ，是否存在常数λ，使得BN BM λ=若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2211612x y +=； (2)存在，12λ=，理由见解析【分析】（1）先把(c,0)F 代入直线方程，求出c ，根据离心率和,,a b c 求出椭圆方程；（2）设出直线AP 的方程，联立椭圆方程，求出点P 的坐标，表达出直线AP 的斜率，再使用二倍角公式及直线NF 的斜率表达出直线AP 的斜率，从而得到等式，求出2112(2)(8)0y y y y -+=，得到21,y y 的关系，得到λ的值.【详解】(1)因为右焦点(c,0)F0y +-0,-2c ∴= 221,4,16412.2c e a b a a ===∴=∴=-= 所以椭圆C 的方程为221.1612x y(2)存在，12λ=，理由如下：因为(4,0),(4,0),(2,0)A B F -，设1200(4,),(4,),(,)M y N y P x y . 显然120y y >. 可设直线AP 的方程为4(0)x my m =-≠， 因为点M 在这条直线上，则1188,.my m y ==联立2243448x my x y =-⎧⎨+=⎩，得()2234240m y my +-=的两根为00y 和， 200022241216,4.3434m m y x my m m -∴=∴=-=++2012222012248434,.121624162234PFNFmy y y m m k k m x m y m +=====-----+ 设,BFN θ∠= 则2,PFB θ∠=2222222242tan 4tan 2.1tan 441()2y y m y y m θθθ∴====----122112221284(2)(8)0164y y y y y y y y ∴=∴-+=--，， 因为120y y >，所以2121120,2y y y y -=∴=. 故存在常数12λ=，使得.BN BM λ=【点睛】对于圆锥曲线定值问题，一般要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，进行求解，本题中由于一点是已知得，所以可以通过韦达定理求出另外一个交点的坐标，通过两种方法表达同一条直线的斜率得到等量关系，从而得到答案. 21．某商城玩具柜台元旦期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送元旦礼品．而每个甲系列盲盒可以开出玩偶1A ，2A ，3A 中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶1B ，2B 中的一个．（1）记事件n E ：一次性购买n 个甲系列盲盒后集齐1A ，2A ，3A 玩偶；事件n F ：一次性购买n 个乙系列盲盒后集齐1B ，2B 玩偶；求概率()6P E 及()5P F ；（2）礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为15，购买乙系列的概率为45；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为14，购买乙系列的概率为34；前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为12，购买乙系列的概率为12；如此往复，记某人第n 次购买甲系列的概率为n Q ． ①n Q ；②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．【答案】（1）()62027P E =，()51516P F =；（2）①1151245n n Q -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭；②应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个．【分析】（1）根据题意，集齐1A ，2A ，3A 玩偶的个数可以分三类情况：1A ，2A ， 3A 玩偶中，每个均有出现两次、1A ，2A ， 3A 玩偶中，一个出现一次，一个出现两次，一个出现三次、1A ，2A ， 3A 玩偶中，两个出现一次，另一个出现四次讨论计算，并根据古典概率计算即可；对于()5P F ，先考虑一次性购买n 个乙系列盲盒没有集齐1B ，2B 玩偶的概率再求解.（2）①根据题意，115Q =，当2n ≥时，()1111124n n n Q Q Q --=-+，再根据数列知识计算n Q 即可；②由①得购买甲系列的概率近似于25，故用ξ表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则2100,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据二项分布的期望计算即可.【详解】解：（1）由题意基本事件共有：63种情况， 其中集齐1A ，2A ，3A 玩偶的个数可以分三类情况，1A ，2A ， 3A 玩偶中，每个均有出现两次，共222642C C C 种；1A ，2A ， 3A 玩偶中，一个出现一次，一个出现两次，一个出现三次，共32136313C C C A 种；1A ，2A ， 3A 玩偶中，两个出现一次，另一个出现四次，共142362C C A 种；故()22232134264263136266320327C C C C C C A C A P E ++==. 根据题意，先考虑一次性购买n 个乙系列盲盒没有集齐1B ，2B 玩偶的概率，即5112P +=， 所以()5511151216P F +=-=. （2）①由题意可知：115Q =，当2n ≥时，()1111124n n n Q Q Q --=-+，∴1221545n n Q Q -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 所以25n Q ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以15-为首项，14-为公比的等比数列，∴1151245n n Q -⎛⎫=--+⎪⎝⎭， ②因为每天购买盲盒的100人都已购买过很多次，所以，对于每一个人来说，某天来购买盲盒时，可以看作n 趋向无穷大， 所以购买甲系列的概率近似于25，假设用ξ表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则2100,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()2100405E ξ=⨯=，即购买甲系列的人数的期望为40， 所以礼品店应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个．【点睛】本题考查排列组合，数列递推关系，二项分布的数学期望等，考查运算求解能力，是中档题.本题第一问解题的关键在于根据题意，分类计数，注意考虑全面，避免重漏，第二问解题的关键在于根据题意得关于n Q 的递推关系()1111124n n n Q Q Q --=-+，进而利用数列知识求解.22．已知函数()()212ln 2f x x m x =-+，m R ∈，若函数()f x 在定义域上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <.(1)求实数m 的取值范围；(2)证明：()()2112f x f x x x <. 【答案】(1)01m <<(2)证明见解析【分析】（1）求出导函数，由()0f x '=转化为2=02x x m -+在(0,)+∞上有两个不相等的正根1x ，2x ，列出不等式组，求出实数m 的取值范围；（2）先得到12122x x x x m +=⎧⎨=⎩，化简得到211111112()()1(2)ln(2)ln f x f x x x x x x x x -=-+---，构造新函数()1(2)ln(2)ln g x x x x x x =-+---（01x <<），二次求导后利用单调性和极值证明出不等式.【详解】(1)函数()f x 的定义域是(0,)+∞，22()(2)m x x m f x x x x-+'=-+=. 令()0f x '=，得2=02x x m -+在(0,)+∞上有两个不相等的正根1x ，2x ，Δ4400m m =->⎧⎨>⎩，解得01m <<，经验证，符合要求.(2)由（1）可知，1x ，2x （12x x <）是方程2=02x x m -+在(0,)+∞上的两个不等实根，所以12122x x x x m +=⎧⎨=⎩，其中01m <<，12012x x <<<<. 22222122211111(2)ln (2)ln ()22x m x x x x x f x x x x -+-+== 2222222221(2)(2)ln 12(2)ln 22x x x x x x x x -+-==-+-. 同理，11112()1(2)ln 2f x x x x x =-+. 2122211112()()11(2)ln (2)ln 22f x f x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤-=-+--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 122211111111()ln ln 1(2)ln(2)ln 2x x x x x x x x x x x =-+-=-+---.令()1(2)ln(2)ln g x x x x x x =-+---（01x <<），则[]()1ln(2)ln 1ln (2)g x x x x x '=----=-+-，再令()1ln (2)h x x x =+-，（01x <<），则22'()0(2)x h x x x -=>-在()0,1上恒成立，则 函数()h x 在()0,1上单调递增，()()(1)2ln1120h x h <=-+=-<，从而()0g x '>在区间()0,1上恒成立，于是函数()g x 在()0,1上单调递增，()(1)0g x g <=. 所以2112()()0f x f x x x -<，即2112()()f x f x x x <. 【点睛】利用导函数研究函数单调性是非常重要的，这道题目就是含有多元的不等式证明问题，消去一个未知量，变为一个新函数，通过研究新函数的单调性和极值等性质进行不等式的证明.。
