“三法”破解三项式

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“三法”破解三项式
对于二项式问题,一般可用二项式定理或通项公式求解,但对于三项展开式问题如何求解,一些同学感到比较困难,下面介绍三种方法,希望同学们能够学会如何破解三项式问题。

问题:5
212⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+χ+χ的展开式的常数项为_____________ .
1.反复利用二项展开式
先把三项式中的某两项视为一项,用二项式定理展开,然后运用二项展开式求解。

解法1:由二项式定理得=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+χ+χ5
212
⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛χ+χ⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛χ+χ1
55
055
C 12C 212
()()
()()
5
55
4
45
3
2
3
5
23
2542C 212C 212C
212C 212⋅+⋅
⎪⎪⎭

⎝⎛χ+χ⋅+⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛χ+χ⋅
+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛χ+χ⋅+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛χ+χ
其中为常数项的有:
212C 4
15⋅⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛χ+χ⋅中的第3项:221C C 2
2415⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅; ()3
2
35212C ⋅
⎪⎪⎭

⎝⎛χ+χ⋅中的第2项:()3
12
3
5
22
1C
C ⋅⋅;
()5
552C ⋅
.
综上可知,常数项为⋅+⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅1
2
352
2415C C 221C C ()
()
2
2
632C 2215
55
3
=

+⋅. [点评]将三项式中的某两项作为整体来处理,是整体策略的体现,也是把三项式向二项
式转化的有效途径。

2.转化为二项式
转化为二项式常见的有两种形式:三项式恰好是二项式的平方,则可转化为二项式问题求解;三项式可分解因式,则转化为两个二项式的积的形式。

解法2:[]
5
1055
2
5
25
)
2()2()2()2(2222212χ+χ=χ+χ=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛χ+χ+χ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+χ+χ. 因此本题可以转化为二项式问题,即将求原来式子的常数项,转化为求分子10
)2(+
χ中含5
χ的项的系数,而分子中含5
χ的项为()5
5
5
1062C T ⋅
χ⋅=。

所以常数项为
()
2
2
6322
C 55
5
10=
⋅。

[点评]本题中的三项式恰好是二项式的平方,故可转化为二项式问题。

3.组合思想法
利用组合思想,根据分类计数原理与分步计数原理,可以简捷地求一些三项式系数问题。

解法3:5
212⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+χ+χ可以看作是5个因式⎪
⎪⎭

⎝⎛+χ+χ212的乘积。

要得到常数项,有三种情况: (1) 5个因式中都取2;
(2) 5个因式中,3个取2,1个取2
χ
,1个取χ1;
(3) 5个因式中,1个取2,2个取2
χ
,2个取χ1。

由此得到的常数项为()
()
2263221C C 221C C 2C 2
24
153
12355
55=⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅+⋅⋅
+⋅。

[点评]对于求三项展开式指定的系数问题,一般都可以根据因式连乘的规律,结合组合思想求解,但要注意适当地运用分类讨论以避免重复或遗漏。