初中数学专题——方程汇编

新初中数学方程与不等式之分式方程难题汇编及答案解析一、选择题1．解分式方程221112x x x x --=--时，去分母后所得的方程正确的是（ ） A ．220x x -+= B ．4241x x x -+=-C ．4241x x x +-=-D ．221x x x +-=- 【答案】C【解析】【分析】根据等式的性质，方程两边同时乘以最简公分母2（x-1），整理即可得答案．【详解】 ∵221112x x x x --=--， ∴221112x x x x -+=--， 方程两边同时乘以最简公分母2（x-1）得：4x+2(x-2)=x-1，去括号得：4x+2x-4=x-1，故选：C ．【点睛】本题考查解分式方程，正确得出最简公分母是解题关键．2．若数a 使关于x 的不等式组()3x a 2x 11x 2x 2⎧-≥--⎪⎨--≥⎪⎩有解且所有解都是2x+6＞0的解，且使关于y 的分式方程y 51y --+3=a y 1-有整数解，则满足条件的所有整数a 的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】D【解析】【分析】由不等式组有解且满足已知不等式，以及分式方程有整数解，确定出满足题意整数a 的值即可．【详解】 不等式组整理得：13x a x ≥-⎧⎨≤⎩， 由不等式组有解且都是2x+6＞0，即x ＞-3的解，得到-3＜a-1≤3，即-2＜a≤4，即a=-1，0，1，2，3，4，分式方程去分母得：5-y+3y-3=a ，即y=22a -， 由分式方程有整数解，得到a=0，2，共2个，故选：D ．【点睛】 本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同．设原计划平均每天生产x 个零件，根据题意可列方程为（ ）A ．60045025x x=- B ．60045025x x =- C ．60045025x x =+ D ．60045025x x =+ 【答案】C【解析】【分析】 原计划平均每天生产x 个零件，现在每天生产（x+25）个，根据现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同即可列出方程.【详解】由题意得：现在每天生产（x+25）个， ∴60045025x x=+， 故选：C.【点睛】 此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是列方程的关键.4．若关于x 的分式方程2x x -﹣12m x--=3的解为正整数，且关于y 的不等式组2()522126m y y y ⎧-≤⎪⎪⎨+⎪+>⎪⎩至多有六个整数解，则符合条件的所有整数m 的取值之和为（ ） A ．1B ．0C ．5D ．6【答案】A【解析】【分析】先求出一元一次不等式组的解集，根据“不等式组的解至多有六个整数解”确定m 的取值范围，再解分式方程，依据“解为正整数”进一步确定m 的值，最后求和即可．【详解】解：化简不等式组为25632y my y-≤⎧⎨+>+⎩，解得：﹣2＜y≤52m+，∵不等式组至多有六个整数解，∴52m+≤4，∴m≤3，将分式方程的两边同时乘以x﹣2，得x+m﹣1=3（x﹣2），解得：x=52m+，∵分式方程的解为正整数，∴m+5是2的倍数，∵m≤3，∴m=﹣3或m=﹣1或m=1或m=3，∵x≠2，∴52m+≠2，∴m≠﹣1，∴m=﹣3或m=1或m=3，∴符合条件的所有整数m的取值之和为1，故选：A．【点睛】本题考查分式方程的解法、解一元一次不等式组；熟练掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，是解题关键，分式方程切勿遗漏增根的情况是本题易错点．5．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与做60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（）A．90606x x=-B．90606x x=+C．90606x x=-D．90606x x=+【答案】A 【解析】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x﹣6）个零件，由题意得：90606x x=-．故选A．6．对于非零实数a、b，规定a⊗b＝21ab a-．若x⊗（2x﹣1）＝1，则x的值为（）A ．1B ．13C ．﹣1D ．-13【答案】A【解析】【分析】【详解】 解：根据题中的新定义可得：()21x x ⊗-=21121x x x-=-， 解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解，故选A ．【点睛】 本题考查了新定义、解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．7．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别一点M N 、为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P . 若点P 的坐标为11,423a a ⎛⎫ ⎪-+⎝⎭，则a 的值为( )A ．1a =-B ．7a =-C ．1a =D ．13a = 【答案】D【解析】【分析】 根据作图过程可得P 在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得11=423a a -+，再根据P 点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a 的数量关系．【详解】根据作图方法可得点P 在第二象限角平分线上，则P 点横纵坐标的和为0，故11+423a a -+=0， 解得：a=13. 故答案选：D.【点睛】本题考查的知识点是作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质.8．若关于x 的方程244x a x x =+--有增根，则a 的值为（ ） A ．-4B ．2C ．0D ．4 【答案】D【解析】【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．让最简公分母x-4=0，得到x=4．再将x=4代入去分母后的方程即可求出a=4.【详解】解：由分式方程的最简公分母是x-4，∵关于x 的方程244x a x x =+--有增根， ∴x-4=0，∴分式方程的增根是x=4． 关于x 的方程244x a x x =+--去分母得x=2(x-4)+a, 代入x=4得a=4故选D ．【点睛】 本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．9．解分式方程11222x x x -+=--的结果是（ ） A ．x="2"B ．x="3"C ．x="4"D ．无解【答案】D【解析】【分析】【详解】解：去分母得：1﹣x+2x ﹣4=﹣1，解得：x=2，经检验x=2是增根，分式方程无解．故选D ．考点：解分式方程．10．“绿水青山就是金山银山”某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原来计划提高了25%，结果提前30天完成了这任务，设原计划工作时每天绿化面积为x 万平方米，则下面所到方程中正确的是（ ）A ．()006060-30x 125x =+B ．()6060-30125%x x=+ C ．()60125%60-30x x⨯+= D ．()60125%60-30x x ⨯+= 【答案】A【解析】【分析】 根据实际工作时每天的工作效率比原来计划提高了25%，结果提前30天完成了这任务，可列出方程．【详解】 解：设原计划工作时每天绿化面积为x 万平方米，则根据题意可得：()00606030125x x-=+， 故答案为：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程．11．从4-，1-，0，2，5，8这六个数中，随机抽一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩无解，且关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解，则符合条件的a 的值的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】由不等式组无解确定出a 的一个取值范围、由分式方程其解为非负数确定a 的一个取值范围，综上可确定a 的最终取值范围，根据其取值范围即可判定出满足题意的值．【详解】 解：0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩①②解①得，x a <解②得，2x ≥∵不等式组无解∴2a ≤ ∵2233y a y y-+=-- ∴83a y -= ∵关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解 ∴803a y -=≥且833a -≠ ∴8a ≤且a≠-1∴综上所述，2a ≤且1a ≠-∴符合条件的a 的值有4-、0、2共三个．故选：C【点睛】本题考查了不等式（组）的解法、分式方程的解法，能根据已知条件确定a 的取值范围是解决问题的关键．12．已知A 、C 两地相距40千米，B 、C 两地相距50千米，甲乙两车分别从A 、B 两地同时出发到C 地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C 地．设乙车的速度为x 千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）A ．405012x x =- B ．405012x x =- C ．405012x x =+ D ．405012x x=+ 【答案】B【解析】 试题解析：设乙车的速度为x 千米/小时，则甲车的速度为（x-12）千米/小时， 由题意得，405012x x=-． 故选B ．13．若分式方程2+1kxx2--＝12x-有增根，则k的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【答案】C【解析】【分析】根据分式方程有增根得到x=2，将其代入化简后的整式方程中求出k即可.【详解】解：分式方程去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx＝﹣1，由题意将x＝2代入得：1﹣2k＝﹣1，解得：k＝1．故选：C．【点睛】此题考查分式方程的增根，由增根求方程中其他未知数的值，根据增根的定义得到方程的解是解题的关键.14．已知甲车行驶35千米与乙车行驶45千米所用时间相同，且乙车每小时比甲车多行驶15 千米，设甲车的速度为x千米/小时，依据题意列方程正确的是A．354515x x=-B．3545+15x x=C．3545-15x x=D．3545+15x x=【答案】D【解析】【分析】首先根据甲车的速度为x千米/小时，表示出乙车的速度为（x+15）千米/小时，再根据关键是语句“甲车行驶35千米与乙车行驶45千米所用时间相同”列出方程即可．【详解】解：设甲车的速度为x千米/小时，则乙车的速度为（x+15）千米/小时，由题意得：3545+15x x=，故选D．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，表示出甲乙两车的速度，再根据关键是语句列出方程即可．此题用到的公式是：路程÷速度=时间．15．如果关于x的分式方程有负数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．﹣2 B．0 C．1 D．3【答案】B【解析】【分析】解关于y的不等式组，结合解集无解，确定a的范围，再由分式方程有负数解，且a为整数，即可确定符合条件的所有整数a的值，最后求所有符合条件的值之和即可．【详解】由关于y的不等式组，可整理得∵该不等式组解集无解，∴2a+4≥﹣2即a≥﹣3又∵得x＝而关于x的分式方程有负数解∴a﹣4＜0∴a＜4于是﹣3≤a＜4，且a为整数∴a＝﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3则符合条件的所有整数a的和为0．故选B．【点睛】本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．16．若关于x的分式方程3222x m mx x++=--有增根，则m的值为（）A．1-B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程，满足即可．【详解】解：方程两边都乘x﹣2，得x+m﹣3m＝2（x﹣2），∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣2＝0，解得x＝2，当x＝2时，2+m﹣3m＝0，∴m＝1，故选：C．【点睛】本题考查了分式方程的增根，难度适中．确定增根可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定可能的增根；②化分式方程为整式方程；③把可能的增根代入整式方程，使整式方程成立的值即为分式方程的增根．17．2017年，全国部分省市实施了“免费校车工程”．小明原来骑自行车上学，现在乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．已知小明家距学校5千米，若校车速度是他骑车速度的2倍，设小明骑车的速度为x千米/时，则下面所列方程正确的为()A．5x＋16＝52xB．5x＝52x＋16C．5x＋10＝52xD．5x－10＝52x【答案】B【解析】【分析】设小明骑车的速度为x千米/小时，校车速度为2x千米/小时，等量关系为：小明骑车所走的时间减去校车所走的时间=10分钟，据此列方程．【详解】设小明骑车的速度为x千米/小时，校车速度为2x千米/小时，由题意得, 5x＝52x＋16所以答案为B.【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是根据实际问题列出分式方程.18．《九章算术》中记录的一道题目译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（）A．900900213x x⨯=+-B．900900213x x=⨯+-C．900900213x x⨯=-+D．900900213x x=⨯-+【答案】A【解析】【分析】设规定时间为x 天，可得到慢马和快马需要的时间，根据快马的速度是慢马的2倍的速度关系即可列出方程．【详解】解：设规定时间为x 天，则慢马需要的时间为（x +1）天，快马的时间为（x -3）天， ∵快马的速度是慢马的2倍 ∴900900213x x ⨯=+- 故选A ．【点睛】 本题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程．19．某农场开挖一条480米的渠道，开工后，实际每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，那么所列方程正确的是（ ）A ．480x ＋480+20x ＝4 B ．480x －480+4x ＝20 C ．480x －480+20x ＝4 D ．4804x -－480x＝20 【答案】C【解析】【分析】根据题意列出方程即可．【详解】由题意得 480x －480+20x ＝4 故答案为：C ．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，掌握解分式方程的方法是解题的关键．20．关于x 的分式方程2x a 1x 1+=+的解为负数，则a 的取值范围是( ) A ．a 1>B ．a 1<C ．a 1<且a 2≠-D ．a 1>且a 2≠ 【答案】D【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于a 的不等式，求出不等式的解集即可确定出a 的范围．【详解】分式方程去分母得：x 12x a +=+，即x 1a =-，因为分式方程解为负数，所以1a 0-<，且1a 1-≠-，解得：a 1>且a 2≠，故选D ．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程的一般步骤及注意事项是解题的关键.注意在任何时候都要考虑分母不为0．。

初中数学方程公式大全1、行程问题：（1）基本公式：路程=速度×时间速度=路程÷时间时间=路程÷速度；（2）相遇问题：快路程+慢路程=原距离速度和×时间=路程；（3）追及问题：快路程-慢路程=原距离（快车先跑又折返遇到慢车时候用）。

行程问题：（1）基本公式：路程=速度×时间速度=路程÷时间时间=路程÷速度（2）相遇问题：快路程+慢路程=原距离速度和×时间=路程（3）追及问题：快路程-慢路程=原距离（快车先跑又折返遇到慢车时候用）速度差×时间=路程（4）航行问题：顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度逆水（风）速度=静水（风）速度-水流（风）速度顺水（风）路程=顺水（风）速度×顺水（风）时间逆水（风）路程=顺水（风）速度×顺水（风）时间水（风）速=（顺水（风）速度-逆风（水）速度）÷2（5）列车过桥问题：（桥长+列车长）÷速度=过桥时间2、工程问题中的：（1）工作效率：单位时间完成的工作量（2）工程问题的基本关系：工作量=工作效率×工作时间（3）总工作量在未知的情况下可以看作“1”（4）合作的效率：各效率之和（5）各部分工作量之和=工作总量3、调配问题（配套问题）：（1）例如课本中：1个螺钉要配2个螺母，即螺钉/螺母=1/2 得到：1×螺母=2×螺钉（2）例如甲乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套。

即甲/乙=3/2得到：2×甲的零件数=3×乙的零件数4、销售中的利润问题：（1）售价、进价、利润的关系是：商品利润=商品售价-商品进价（成本）（2）进价、利润、利润率的关系：利润率=商品利润/商品进价×100%（3）标价、折扣数、商品售价关系：商品售价=标价×（折扣数÷10）（4）商品售价、进价、利润率的关系：商品售价=商品进价×（1+利润率）。

初中数学方程公式大全一、方程解法公式：1. 一元一次方程求解公式：对于形如ax + b = 0的一元一次方程，其解为x = -b/a。

2. 一元二次方程求解公式：对于形如ax^2 + bx + c = 0的一元二次方程，其解为x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/ 2a。

3.二元一次方程组求解公式：对于形如{a1x+b1y=c1{a2x+b2y=c2的二元一次方程组，其解为x=(b2c1-b1c2)/(a1b2-a2b1)，y=(a1c2-a2c1)/(a1b2-a2b1)。

4.消元法求解方程组：对于形如{a1x+b1y=c1{a2x+b2y=c2先通过消去一个未知量的方式，将两个方程化为一个未知量的一元一次方程，然后通过求解一元一次方程的方法得到结果。

5.因式分解法求解方程：对于形如a(x-p)(x-q)=0的一元二次方程，通过对等式进行因式分解，得到(x-p)(x-q)=0，进而得到x=p或x=q。

二、等式变形公式：1.合并同类项公式：对于a+b+c+...的形式，将其中的同类项合并，得到合并后的表达式。

2.移项公式：对于等式a+b=c，可以通过移动项的方式将其中的其中一项移到等式的另一边，得到a=c-b。

3. 分配律公式：对于a(b + c) = ab + ac的形式，将括号中的表达式用a分别与括号内的各个项相乘，然后再将相乘得到的结果相加，得到最终结果。

4. 因式分解公式：对于ab + ac的形式，可以将其因式分解为a(b+ c)的形式。

5.平方差公式：对于(a+b)(a-b)的形式，将其用平方差公式展开，得到a^2-b^2的形式。

三、计算方法公式：1.百分数计算公式：对于a%的百分数，可以将其转化为a/100的形式，然后进行计算。

2.分数计算公式：对于分数的加减乘除运算，可以将分数化简后，按照加减乘除法的规则进行计算。

3.平均数计算公式：对于求一组数据的平均数，可以将所有数据相加，然后除以数据的个数。

新初中数学方程与不等式之分式方程全集汇编含答案解析(1) 一、选择题1．方程31144xx x--=--的解是（）A．－3 B．3 C．4 D．－4【答案】B【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】去分母得：3-x-x+4=1，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．故选：B．【点睛】此题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．2．如果关于x的不等式（a+1）x>2的解集为x<-1，则a的值是（）．A．a=3 B．a≤-3 C．a=-3 D．a>3【答案】C【解析】【分析】根据不等式的解集得出关于a的方程，解方程即可．【详解】解：因为关于x的不等式（a+1）x>2的解集为x<-1，所以a+1＜0，即a＜-1，且21a+=-1，解得：a=-3．经检验a=-3是原方程的根故选：C．【点睛】此题主要考查了不等式的解集，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．3．对于非零实数a、b，规定a⊗b＝21ab a-．若x⊗（2x﹣1）＝1，则x的值为（）A．1 B．13C．﹣1 D．-13【解析】 【分析】 【详解】解：根据题中的新定义可得：()21x x ⊗-=21121x x x-=-， 解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解， 故选A ． 【点睛】本题考查了新定义、解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．4．为有效落实党中央“精准扶贫”战略决策，某市对农村实施“户户通”修路计划，已知该市计划在某村修路5000m ，在修了1000m 后，由于引入新技术，工作效率提高到原来的1.2倍，结果提前5天完成了任务.若设原来每天修路 m x ，则可列方程为( ) A ．50004000100051.2x x x=+- B ．5000100040005 1.2x x x +=+ C ．5000400010005 1.2x x x -=+ D ．5000100040005 1.2x x x-=+ 【答案】D 【解析】 【分析】本题依题意可知等量关系为原计划工作时间-实际工作时间=5，根据等量关系列出方程即可.【详解】设原来每天修路xm ，引入新技术后每天修路1.2xm ，实际工作天数为（100040001.2x x+），原计划工作天数为5000x天，根据题意得， 5000100040005 1.2x x x -=+， 故选D. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意是解答应用题的关键，找出题中的等量关系，列出关系式．5．方程1235x x =+的解为( ). A ．1x =-B ．0x =C ．3x =-D ．1x =【解析】 【分析】方程两边同乘以3x （x+5），化分式方程为整式方程，解整式方程求得x 的值，检验即可求得分式方程的解. 【详解】方程两边同乘以3x （x+5）得， x+5=6x ， 解得x=1，经检验，x=1是原分式方程的解. 故选D. 【点睛】本题考查了分式方程的解法，方程两边同乘以最简公分母化分式方程为整式方程是解决问题的关键.注意，解分式方程一定要验根.6．在阳明山国家森林公园举行中国·阳明山“和”文化旅游节暨杜鹃花会期间,几名同学包租一辆车前去游览,该车的租价为180元,出发时,又增加了两名同学,结果每名同学比原来少分摊了3元车费.设参加游览的学生共有x 人,则可列方程为（ ）A ．18018032x x +=- B ．18018032x x -=- C ．18018032x x +=- D ．18018032x x -=- 【答案】D 【解析】 【分析】设参加游览的同学共x 人，则原有的几名同学每人分担的车费为：1802x -元，出发时每名同学分担的车费为：180x元，根据每个同学比原来少摊了3元钱车费即可得到等量关系． 【详解】设参加游览的同学共x 人，根据题意得：1801802x x -=-3． 故选：D ． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系；易错点是得到出发前后的人数．7．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的吋间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间. 设规定时间为x 天，则可列方程为（ ）.A．900900213x x⨯=+-B．900900213x x=⨯+-C．900900213x x⨯=-+D．900900213x x=⨯++【答案】A【解析】【分析】设规定时间为x天，得到慢马和快马所需要的时间，根据速度关系即可列出方程.【详解】设规定时间为x天，则慢马的时间为（x+1）天，快马的时间是（x-3）天，∵快马的速度是慢马的2倍，∴900900213 x x⨯=+-，故选：A.【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程.8．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）A．10x-102x=20 B．102x-10x=20 C．10x-102x=13D．102x-10x=13【答案】C【解析】【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．【详解】由题意可得，10 x -102x=13，故选：C．【点睛】此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．9．解分式方程11222xx x-+=--的结果是（）A．x="2" B．x="3" C．x="4" D．无解【答案】D【解析】【分析】【详解】解：去分母得：1﹣x+2x﹣4=﹣1，解得：x=2，经检验x=2是增根，分式方程无解．故选D．考点：解分式方程．10．已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（）A．405012x x=-B．405012x x=-C．405012x x=+D．405012x x=+【答案】B【解析】试题解析：设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x-12）千米/小时，由题意得，405012x x=-．故选B．11．施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（）A．1000100030x x-+=2 B．1000100030x x-+=2C．1000100030x x--=2 D．1000100030x x--=2【答案】A【解析】分析：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间=2，列出方程即可．详解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据题意，可列方程：1000100030x x-+=2，故选A．点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．12．已知甲车行驶35千米与乙车行驶45千米所用时间相同，且乙车每小时比甲车多行驶 15 千米，设甲车的速度为x 千米/小时，依据题意列方程正确的是A ．354515x x =- B ．3545+15x x= C ．3545-15x x = D ．3545+15x x = 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据甲车的速度为x 千米/小时，表示出乙车的速度为（x+15）千米/小时，再根据关键是语句“甲车行驶35千米与乙车行驶45千米所用时间相同”列出方程即可． 【详解】解：设甲车的速度为x 千米/小时，则乙车的速度为（x+15）千米/小时，由题意得：3545+15x x =， 故选D ． 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，表示出甲乙两车的速度，再根据关键是语句列出方程即可．此题用到的公式是：路程÷速度=时间．13．已知关于x 的分式方程21m x -+=1的解是负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m≤3 B ．m≤3且m≠2C ．m ＜3D ．m ＜3且m≠2【答案】D 【解析】 【分析】解方程得到方程的解，再根据解为负数得到关于m 的不等式结合分式的分母不为零，即可求得m 的取值范围. 【详解】21m x -+=1， 解得：x=m ﹣3， ∵关于x 的分式方程21m x -+=1的解是负数， ∴m ﹣3＜0， 解得：m ＜3，当x=m ﹣3=﹣1时，方程无解， 则m≠2，故m 的取值范围是：m ＜3且m≠2， 故选D ．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及分式方程的分母不为零是解题关键．14．若关于x 的分式方程2233x mx x -=--有增根，则m 的值为（ ）．A ．3B ．CD ．【答案】D 【解析】解关于x 的方程2233x mx x -=--得：26x m =-， ∵原方程有增根，∴30x -=，即2630m --=，解得：m = 故选D.点睛：解这类题时，分两步完成：（1）按解一般分式方程的步骤解方程，用含待定字母的式子表示出方程的根；（2）方程有增根，则把（1）中所得的结果代入最简公分母中，最简公分母的值为0，由此即可求得待定字母的值.15．衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x 万千克，根据题意，列方程为( ) A ．3036101.5x x-= B ．3030101.5x x-= C ．3630101.5x x -= D ．3036101.5x x+= 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数-改良后种植的亩数10=亩，根据等量关系列出方程即可． 【详解】设原计划每亩平均产量x 万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x 万千克， 根据题意列方程为：3036101.5x x-=． 故选：A ． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．16．学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（）A．10000x﹣90005x-=100 B．90005x-﹣10000x=100C．100005x-﹣9000x=100 D．9000x﹣100005x-=100【答案】B【解析】【分析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案．【详解】科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：9000 x5 -﹣10000x=100，故选B．【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.17．若关于x的分式方程3222x m mx x++=--有增根，则m的值为（）A．1-B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程，满足即可．【详解】解：方程两边都乘x﹣2，得x+m﹣3m＝2（x﹣2），∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣2＝0，解得x＝2，当x＝2时，2+m﹣3m＝0，∴m＝1，故选：C．【点睛】本题考查了分式方程的增根，难度适中．确定增根可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定可能的增根；②化分式方程为整式方程；③把可能的增根代入整式方程，使整式方程成立的值即为分式方程的增根．18．从4-，1-，0，2，5，8这六个数中，随机抽一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组0331016x ax -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩无解，且关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解，则符合条件的a 的值的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】由不等式组无解确定出a 的一个取值范围、由分式方程其解为非负数确定a 的一个取值范围，综上可确定a 的最终取值范围，根据其取值范围即可判定出满足题意的值． 【详解】解：0331016x ax -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩①②解①得，x a <解②得，2x ≥ ∵不等式组无解 ∴2a ≤∵2233y ay y-+=-- ∴83ay -=∵关于y 的分式方程2233y ay y-+=--有非负数解 ∴803a y -=≥且833a-≠ ∴8a ≤且a≠-1∴综上所述，2a ≤且1a ≠-∴符合条件的a 的值有4-、0、2共三个． 故选：C 【点睛】本题考查了不等式（组）的解法、分式方程的解法，能根据已知条件确定a 的取值范围是解决问题的关键．19．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（）A．1201508x x=-B．1201508x x=+C．1201508x x=-D．1201508x x=+【答案】D【解析】【分析】首先用x表示甲和乙每小时做的零件个数，再根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等即可列出一元一次方程.【详解】解：∵甲每小时做x个零件，∴乙每小时做（x+8）个零件，∵甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，∴1201508x x=+，故选D.【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，熟练掌握是解题的关键.20．为保证某高速公路在2019年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务．已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用30天，如果甲乙两队合作，可比规定时间提前20天完成任务．若设规定的时间为x 天，由题意可以列出的方程是（）A．111103020+=--+x x xB．111103020+=++-x x xC．111103020-=++-x x xD．111102030+=-+-x x x【答案】B【解析】【分析】设规定的时间为x天．则甲队单独完成这项工程所需时间是（x+10）天，乙队单独完成这项工程所需时间是（x+30）天．根据甲、乙两队合作，可比规定时间提前20天完成任务，列方程为111103020+=++-x x x.【详解】设规定时间为x天，则甲队单独一天完成这项工程的110 +x，乙队单独一天完成这项工程的130x+，甲、乙两队合作一天完成这项工程的120 x-.则111103020+=++-x x x.故选B.【点睛】此题考查分式方程，解题关键在于由实际问题抽象出分式方程.。

（专题精选）初中数学方程与不等式之分式方程真题汇编含答案解析一、选择题1．分式方程22111x x x -=--，解的情况是（ ） A ．x ＝1 B ．x ＝2C ．x ＝﹣1D ．无解【答案】D 【解析】 【分析】观察式子确定最简公分母为（x+1）（x ﹣1），再进一步求解可得． 【详解】方程两边同乘以（x+1）（x ﹣1），得： x （x+1）﹣（x 2﹣1）＝2， 解方程得：x ＝﹣1，检验：把x ＝﹣1代入x+1＝0， 所以x ＝﹣1不是方程的解． 故选：D ． 【点睛】此题考查分式方程的解，掌握运算法则是解题关键2．关于x 的方程m 3+=1x 11x--解为正数，则m 的范围为（ ） A ．m 2m 3≥≠且 B ． 2 B 3m m >≠C ．m<2m 3≠且D ．m>2【答案】B 【解析】 【分析】首先解分式方程，然后令其大于0即可，注意还有1x ≠. 【详解】方程两边同乘以()1x -，得2x m =-∴210x m x =-⎧⎨-≠⎩解得2m >且3m ≠ 故选：B. 【点睛】此题主要考查根据分式方程的解求参数的取值范围，熟练掌握，即可解题.3．如果关于x 的分式方程11222a x x-+=--有整数解，且关于x 的不等式组43(1)211(1)22x x x x a ≥-⎧⎪⎨-+<-⎪⎩有且只有四个整数解，那么符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．4 B ．-2C ．-3D ．2【答案】A 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整数方程的解，不等式组整理后，由解只有四个整数解，确定出a 的值，求出之和即可． 【详解】解：分式方程去分母得：1-a+2x-4=-1， 解得：22a x +=，且222a +≠，a 为偶数， 即2a ≠，a 为偶数，不等式组整理得：34x a x ≥-⎧⎪⎨⎪⎩＜，由不等式组只有四个整数解，得到x=-3，-2，-1，0，可得0＜4a≤1，即0＜a≤4，即a=1，2，3，4， 经检验a=4， 则和为4， 故选：A ． 【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路x 公里，根据题意列出的方程正确的是（ ） A ．60(125%)6060x x ⨯+-=B ．6060(125%)60x x ⨯+-=C ．606060(125%)x x-=+D ．606060(125%)x x-=+ 【答案】D 【解析】 【分析】设原计划每天修路x 公里，则实际每天的工作效率为(125%)x +公里，根据题意即可列出分式方程.【详解】解：设原计划每天修路x 公里，则实际每天的工作效率为(125%)x +公里， 依题意得：606060(125%)x x-=+． 故选：D ． 【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程.5．某医疗器械公司接到400件医疗器械的订单，由于生产线系统升级，实际每月生产能力比原计划提高了30%，结果比原计划提前4个月完成交货．设每月原计划生产的医疗器械有x 件，则下列方程正确的是（ ）A ．400400(130%)x x -+＝4 B ．400400(130%)x x -+＝4C ．400400(130%)x x--＝4 D ．4004004(130%)x x-=- 【答案】A 【解析】 【分析】根据“原计划所用时间-实际所用时间=4”可得方程． 【详解】设每月原计划生产的医疗器械有x 件，根据题意，得：()4004004130%x x -=+ 故选A ． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．6．风筝会期间,几名同学租一辆面包车前去观看开幕式,面包车的租价为180元,出发时又增加两名同学,结果每人比原来少摊了3元钱车费，设前去观看开幕式的同学共x 人，则所列方程为（ ） A ．18018032x x -=+ B ．18018032x x -=+ C ．18018032x x -=- D ．18018032x x-=- 【答案】D 【解析】 【分析】先用x 表示出增加2名同学前和增加后每人分摊的车费钱，再根据增加后每人比原来少摊了3元钱车费列出方程即可. 【详解】解：设前去观看开幕式的同学共x 人，根据题意，得：18018032x x-=-. 故选：D. 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是弄清题意、找准等量关系，易错点是容易弄错增加前后的人数.7．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别一点M N 、为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P . 若点P 的坐标为11,423a a ⎛⎫⎪-+⎝⎭，则a 的值为( )A ．1a =-B ．7a =-C ．1a =D ．13a =【答案】D 【解析】 【分析】根据作图过程可得P 在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得11=423a a -+，再根据P 点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a 的数量关系． 【详解】根据作图方法可得点P 在第二象限角平分线上， 则P 点横纵坐标的和为0， 故11+423a a -+=0， 解得：a=13. 故答案选：D. 【点睛】本题考查的知识点是作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质.8．若关于x 的方程244x a x x =+--有增根，则a 的值为（ ） A ．-4 B ．2C ．0D ．4【答案】D 【解析】 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．让最简公分母x-4=0，得到x=4．再将x=4代入去分母后的方程即可求出a=4. 【详解】解：由分式方程的最简公分母是x-4， ∵关于x 的方程244x a x x =+--有增根， ∴x-4=0，∴分式方程的增根是x=4．关于x 的方程244x a x x =+--去分母得x=2(x-4)+a, 代入x=4得a=4 故选D ． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．9．某一景点改造工程要限期完成，甲工程队独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期6天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，若设工程期限为x 天，则下面所列方程正确的是( ) A ．4116x x x +=+- B ．416x x x =-+ C ．4116x x x +=-- D ．4116x x x +=-+ 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据工程期限为x 天，结合题意得出甲每天完成总工程的11x -，而乙每天完成总工程的16x +，据此根据题意最终如期完成了工程进一步列出方程即可. 【详解】∵工程期限为x 天，∴甲每天完成总工程的11x -，乙每天完成总工程的16x +， ∵由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成， ∴可列方程为：4116x x x +=-+， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，根据题意正确找出等量关系是解题关键.10．关于x 的分式方程230+=-x x a解为4x =，则常数a 的值为( ) A ．1a = B ．2a =C ．4a =D ．10a =【答案】D 【解析】 【分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a 的一次方程，解得a 的值即可． 【详解】解：把x=4代入方程230+=-x x a，得 23044a +=-， 解得a=10．经检验，a=10是原方程的解 故选D ．点睛：此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为0．11．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x 个零件，下列方程正确的是（ ）A ．1201508x x =- B ．1201508x x=+ C ．1201508x x=- D ．1201508x x =+ 【答案】D 【解析】【分析】首先用x 表示甲和乙每小时做的零件个数，再根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等即可列出一元一次方程. 【详解】解：∵甲每小时做x 个零件，∴乙每小时做（x+8）个零件， ∵甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，∴1201508x x =+， 故选D. 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，熟练掌握是解题的关键.12．在阳明山国家森林公园举行中国·阳明山“和”文化旅游节暨杜鹃花会期间,几名同学包租一辆车前去游览,该车的租价为180元,出发时,又增加了两名同学,结果每名同学比原来少分摊了3元车费.设参加游览的学生共有x 人,则可列方程为（ ）A ．18018032x x +=- B ．18018032x x -=- C ．18018032x x +=- D ．18018032x x -=- 【答案】D 【解析】 【分析】设参加游览的同学共x 人，则原有的几名同学每人分担的车费为：1802x -元，出发时每名同学分担的车费为：180x元，根据每个同学比原来少摊了3元钱车费即可得到等量关系． 【详解】设参加游览的同学共x 人，根据题意得：1801802x x -=-3． 故选：D ． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系；易错点是得到出发前后的人数．13．“绿水青山就是金山银山”某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原来计划提高了25%，结果提前30天完成了这任务，设原计划工作时每天绿化面积为x 万平方米，则下面所到方程中正确的是（ ）A ．()006060-30x 125x =+ B ．()6060-30125%x x =+C ．()60125%60-30x x⨯+=D ．()60125%60-30x x⨯+= 【答案】A 【解析】 【分析】根据实际工作时每天的工作效率比原来计划提高了25%，结果提前30天完成了这任务，可列出方程． 【详解】解：设原计划工作时每天绿化面积为x 万平方米，则根据题意可得：()00606030125x x-=+，故答案为：A ． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程．14．若分式方程2+1kx x 2--＝12x-有增根，则k 的值为（ ） A ．﹣2 B ．﹣1C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据分式方程有增根得到x=2，将其代入化简后的整式方程中求出k 即可. 【详解】解：分式方程去分母得：2（x ﹣2）+1﹣kx ＝﹣1， 由题意将x ＝2代入得：1﹣2k ＝﹣1， 解得：k ＝1． 故选：C ． 【点睛】此题考查分式方程的增根，由增根求方程中其他未知数的值，根据增根的定义得到方程的解是解题的关键.15．已知甲车行驶35千米与乙车行驶45千米所用时间相同，且乙车每小时比甲车多行驶 15 千米，设甲车的速度为x 千米/小时，依据题意列方程正确的是A ．354515x x =- B ．3545+15x x= C ．3545-15x x = D ．3545+15x x = 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据甲车的速度为x千米/小时，表示出乙车的速度为（x+15）千米/小时，再根据关键是语句“甲车行驶35千米与乙车行驶45千米所用时间相同”列出方程即可．【详解】解：设甲车的速度为x千米/小时，则乙车的速度为（x+15）千米/小时，由题意得：3545+15x x=，故选D．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，表示出甲乙两车的速度，再根据关键是语句列出方程即可．此题用到的公式是：路程÷速度=时间．16．若整数a使得关于x的方程3222ax x-=--的解为非负数，且使得关于y的不等式组3221223y yy a--⎧+>⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩至少有四个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（）．A．17 B．18 C．22 D．25【答案】C【解析】【分析】表示出不等式组的解集，由不等式至少有四个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和．【详解】解：3221223y yy a--⎧+>⎪⎪⎨-⎪⎪⎩„，不等式组整理得：1 yy a>-⎧⎨⎩„，由不等式组至少有四个整数解，得到－1＜y≤a，解得：a≥3，即整数a＝3，4，5，6，…，2－322ax x=--，去分母得：2（x－2）－3＝－a，解得：x＝72a -，∵72a-≥0，且72a-≠2，∴a ≤7，且a ≠3，由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到a 为4，5，6，7，之和为22． 故选：C ． 【点睛】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x 台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A ．60048040x x =- B ．60048040x x =+ C ．60048040x x =+ D ．60048040x x =- 【答案】B 【解析】 【分析】由题意分别表达出原来生产480台机器所需时间和现在生产600台机器所需时间，然后根据两者相等即可列出方程，再进行判断即可． 【详解】解：设原计划每天生产x 台机器，根据题意得：48060040x x =+. 故选B ． 【点睛】读懂题意，用含x 的代数式表达出原来生产480台机器所需时间为480x天和现在生产600台机器所需时间为60040x +天是解答本题的关键．18．从4-，1-，0，2，5，8这六个数中，随机抽一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组0331016x ax -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩无解，且关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解，则符合条件的a 的值的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】由不等式组无解确定出a 的一个取值范围、由分式方程其解为非负数确定a 的一个取值范围，综上可确定a 的最终取值范围，根据其取值范围即可判定出满足题意的值．【详解】 解：0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩①②解①得，x a <解②得，2x ≥∵不等式组无解∴2a ≤ ∵2233y a y y-+=-- ∴83a y -= ∵关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解 ∴803a y -=≥且833a -≠ ∴8a ≤且a≠-1∴综上所述，2a ≤且1a ≠-∴符合条件的a 的值有4-、0、2共三个．故选：C【点睛】本题考查了不等式（组）的解法、分式方程的解法，能根据已知条件确定a 的取值范围是解决问题的关键．19．初二18班为课外体育活动购买了实心球和跳绳．已知跳绳的单价比实心球的单价贵40元，购买实心球总花费为1610元，购买跳绳总花费为1650元，购买实心球的数量比跳绳的数量多8个，求实心球的单价．设实心球单价为x 元，所列方程正确的是（ ） A ．16501610840x x -=+ B ．16501610840x x -=+ C ．16101650840x x -=+ D ．16101650840x x -=+ 【答案】C【解析】【分析】设实心球单价为x 元，则跳绳单价为()40x +元，根据“购买实心球的数量比跳绳的数量多8个”即可得到方程．【详解】解：设实心球单价为x 元，则跳绳单价为()40x +元，根据题意得，16101650840x x -=+． 故选：C【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解答本题的关键是审清题意，找到等量关系即可得解．20．春节期间嘉嘉去距家10千米的电影院看电影，计划骑自行车和坐公交车两种方式，已知汽车的速度是骑车速度的2倍，若坐公交车可以从家晚15分钟出发恰好赶上公交车，结果与骑自行车同时到达，设骑车学生的速度为x 千米/小时，则所列方程正确的是( ) A ．1010152x x -= B ．1010152x x -= C ．1010124x x -= D ．1010124x x -= 【答案】C【解析】【分析】设骑车的速度为x 千米/小时，则坐公交车的速度为2x 千米/小时，根据“汽车所用时间-坐公交车所用时间15=分钟”列出方程即可得．【详解】设骑车的速度为x 千米/小时，则坐公交车的速度为2x 千米/小时，∴所列方程正确的是：1010124x x -=， 故选：C ．【点睛】此题考查由实际问题列分式方程，根据题意找到题目蕴含的相等关系是列方程的关键．。

（专题精选）初中数学方程与不等式之无理方程难题汇编附答案一、选择题1．2k=无实数根，那么k的取值范围是______________．【答案】k＜2【解析】【分析】=b，b≥0，得关于k的不等式，解得即可．【详解】2k=,k=,-2∴k-2＜0，解得：k＜2．故答案是：k＜2．【点睛】本题考查了无理方程根的情况，解题的关键是了解二次根式成立的条件．2．方程_____．【答案】x=2【解析】【分析】无理方程两边平方转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到无理方程的解．【详解】两边平方得：（x+1）2=2x+5，即x2=4，开方得：x=2或x=-2，经检验x=-2是增根，无理方程的解为x=2．故答案为x=23．如果关于x x=有实数根2，那么k=________．-【答案】1【解析】【分析】把x=2代入方程中进行求解即可得.【详解】，2-2k=4，解得：k=-1，经检验k=-1符合题意，所以k=-1，故答案为-1.【点睛】本题考查了方程的解，熟练掌握方程解的定义是解题的关键.4．14+⋅⋅⋅=的解是______． 【答案】9【解析】【分析】设()11111y y y y =-++可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案. 【详解】设()()()()()1111112894y y y y y y ++=+++++L ， ∴1111111112894y y y y y y -+-++-=+++++L ， 即11194y y -=+， ∴4y+36-4y=y(y+9)，即y 2+9y-36=0，∴y=-12或y=3，，，∴x=9，故答案为：9.【点睛】本题考查了解无理方程，解题的关键是利用换元法，还要注意()11111y y y y =-++的应用.5．=x 的解是______．【答案】x=1【解析】【分析】将无理方程化为一元二次方程，然后求解即可．【详解】原方程变形为 4-3x=x 2，整理得 x 2+3x-4=0，∴（x+4）（x-1）=0，∴x+4=0或x-1=0，∴x 1=-4（舍去），x 2=1．故答案为x=1．【点睛】本题考查了无理方程，将无理方程化为一元二次方程是解题的关键．6．方程320x x -⋅-=的解是_______________【答案】x=2【解析】【分析】由题意可知3-x=0或2-x=0，再结合二次根式有意义的条件即可求得答案.【详解】∵3x 2x 0-⋅-=，∴3x -=0或2x 0-=，∴x=3或x=2，检验：当x=3时，2-x<0，2x -无意义，故x=3舍去，∴x=2，故答案为x=2.【点睛】本题考查了解无理方程，熟练掌握解方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.7．方程=0的解为__________． 【答案】【解析】【分析】将原方程两边平方得出关于x 的整式方程，解之求得x 的值，再由二次根式有意义的条件可确定x 的最终结果．【详解】解：将原方程两边平方得（x−5）（x−4）＝0，则x−5＝0或x−4＝0，解得：x ＝5或x ＝4，∵x −5≥0，x−4≥0，解得：x≥5，∴x ＝5，故答案为：x ＝5．【点睛】本题主要考查解无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．8．方程21x +=___________。

中考数学真题专项汇编解析—一元二次方程一．选择题1．（2022·四川乐山）关于x 的一元二次方程2320x x m -+=有两根，其中一根为1x =，则这两根之积为（ ）A ．13B ．23C ．1D ．13- 【答案】D【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：关于x 的一元二次方程2320x x m -+=有两根，其中一根为1x =， 设另一根为2x ，则223x x +=，213x ∴=-，213xx ∴=-，故选：D【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．2．（2022·天津）方程2430x x ++=的两个根为（ ）A ．121,3x x ==B ．121,3x x =-=C ．121,3x x ==-D ．121,3x x =-=- 【答案】D【分析】将243x x ++进行因式分解，243=(1)(3)x x x x ++++，计算出答案．【详解】∵243=(1)(3)x x x x ++++∵(1)(3)=0x x ++∵1213x x =-=-，故选：D ．【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程．3．（2022·湖南怀化）下列一元二次方程有实数解的是（ ）A ．2x 2﹣x +1＝0B ．x 2﹣2x +2＝0C ．x 2+3x ﹣2＝0D ．x 2+2＝0 【答案】C【分析】判断一元二次方程实数根的情况用根的判别式进行判断．【详解】A 选项中，224(1)42170b ac =-=--⋅⋅=-<△，故方程无实数根； B 选项中，2(2)41240=--⋅⋅=-<△，故方程无实数根；C 选项中，2341(2)170=-⋅⋅-=>△，故方程有两个不相等的实数根；D 选项中，80=-<△，故方程无实数根；故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程实数根情况的判定方法是解题的关键．4．（2022·甘肃武威）用配方法解方程x 2-2x =2时，配方后正确的是（ ） A ．()213x +=B ．()216x +=C ．()213x -=D ．()216x -= 【答案】C【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．【详解】解：x 2-2x =2，x 2-2x +1=2+1，即（x -1）2=3．故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．5．（2022·浙江温州）若关于x 的方程260x x c ++=有两个相等的实数根，则c 的值是（ ）A ．36B ．36-C ．9D ．9- 【答案】C【分析】根据判别式的意义得到2640c ∆=-=，然后解关于c 的一次方程即可．【详解】解：∵方程260x x c ++=有两个相等的实数根∵26410c ∆=-⨯⨯= 解得9c = 故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的跟与24b ac ∆=-的关系，关键是分清楚以下三种情况：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程无实数根． 6．（2022·四川遂宁）已知m 为方程2320220x x +-=的根，那么32220252022m m m +-+的值为（ ）A ．2022-B ．0C ．2022D ．4044【答案】B 【分析】根据题意有2320220m m +-=，即有32320220m m m +-=，据此即可作答．【详解】∵m 为2320220x x +-=的根据，∵2320220m m +-=，且m ≠0，∵32320220m m m +-=，则有原式=322(32022)(32022)000m m m m m +--+-=-=，故选：B ．【点睛】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m 为2320220x x +-=得到2320220m m +-=是解答本题的关键．7．（2022·浙江绍兴）已知抛物线2y x mx =+的对称轴为直线2x =，则关于x 的方程25x mx +=的根是（ ）A ．0，4B ．1，5C ．1，－5D ．－1，5【答案】D【分析】根据抛物线2y x mx =+的对称轴为直线2x =可求出m 的值，然后解方程即可． 【详解】抛物线2y x mx =+的对称轴为直线2x =，221m ∴-=⨯，解得4m =-， ∴关于x 的方程25x mx +=为2450x x --=，(5)(1)0x x ∴-+=，解得125,1x x ==-，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质及解一元二次方程，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．8．（2022·重庆）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x ，根据题意，下列方程正确的是（ ）A ．2625(1)400x -=B ．2400(1)625x +=C ．2625400x =D ．2400625x =【答案】B【分析】第一年共植树400棵，第二年植树400（1+x ）棵，第三年植树400（1+x ）²棵，再根据题意列出方程即可．【详解】第一年植树为400棵，第二年植树为400（1+x ）棵，第三年400（1+x ）²棵，根据题意列出方程：2400(1)625x +=．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，属于增长率的常规应用题，解决此类题目要多理解、练习增长率相关问题．9．（2022·山东滨州）一元二次方程22560x x -+=的根的情况为（ ） A ．无实数根 B ．有两个不等的实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．不能判定【答案】A【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】解：∵Δ＝（−5）2−4×2×6＝-23＜0，∵方程无实数根．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式Δ＝b 2−4ac ：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．10．（2022·四川泸州）已知关于x 的方程()22210x m x m --+=的两实数根为1x ，2x ，若()()12113++=x x ，则m 的值为（ ）A ．3-B ．1-C ．3-或3D ．1-或3【答案】A【分析】利用根与系数的关系以及()22=2140∆--≥m m 求解即可．【详解】解：由题意可知：1221221x x m x x m +=-⎧⎨⋅=⎩，且()22=2140∆--≥m m ∵()()121212111=3++=⋅+++x x x x x x ，∵()22113+-+=m m ，解得：3m =-或1m =， ∵()22=2140∆--≥m m ，即14m ≤，∵3m =-，故选：A【点睛】本题考查根与系数的关系以及根据方程根的情况确定参数范围，解题的关键是求出14m ≤，再利用根与系数的关系求出3m =-或1m =（舍去）． 11．（2022·重庆）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A ．()22001242x += B ．()22001242x -= C ．()20012242x += D ．()20012242x -= 【答案】A【分析】平均增长率为x ，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可．【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，∵可列方程为：()22001242x +=，故选：A ．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．12．（2022·湖南常德）关于x 的一元二次方程240x x k -+=无实数解，则k 的取值范围是（ ）A ．4k >B ．4k <C ．4k <-D ．1k >【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的判别式小于0即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k -+=无实数解，∵1640k ∆=-<解得：4k >故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=-，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程没有实数根．13．（2022·新疆）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x ，则根据题意，可列方程为（ ）A ．8(12)11.52x +=B ．28(1)11.52x ⨯+=C ．28(1)11.52x +=D ．()28111.52x +=【答案】C【分析】设这两个月销售额的月平均增长率为x ，则第二个月的销售额是8(1+)x 万元，第三个月的销售额为28(1+)x 万元，即可得．【详解】解：设这两个月销售额的月平均增长率为x ，则第二个月的销售额是8(1+)x 万元，第三个月的销售额为28(1+)x 万元，∵28(1+)=11.52x 故选C ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能够求出第二个月的销售额和第三个月的销售额．14．（2022·新疆）若关于x 的一元二次方程20x x k +-=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．14k >-B ．14k ≥-C ．14k <-D ．14k ≤- 【答案】B 【分析】根据关于x 的一元二次方程x 2+x -k =0有两个实数根，得出Δ=b 2-4ac ≥0，即1+4k ≥0，从而求出k 的取值范围．【详解】解：∵x 2+x -k =0有两个实数根，∵Δ=b 2-4ac ≥0，即1+4k ≥0，解得：k ≥-14，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握Δ＞0∵方程有两个不相等的实数根；Δ=0∵方程有两个相等的实数根；Δ＜0∵方程没有实数根是本题的关键． 15．（2022·山东泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株楼后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（ ）A ．()316210x x -=B ．()316210x -=C ．()316210x x -=D ．36210x =【答案】A【分析】设这批椽的数量为x 株，则一株椽的价钱为3（x −1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：∵这批椽的数量为x 株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，∵一株椽的价钱为3（x −1）文，依题意得：3（x −1）x ＝6210，故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16．（2022·河南）一元二次方程210x x +-=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．只有一个实数根【答案】A【分析】计算一元二次方程根的判别式进而即可求解．【详解】解：241450b ac ∆=-=+=>∴一元二次方程210x x +-=的根的情况是有两个不相等的实数根，故选：A. 【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=-，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程没有实数根．17．（2022·四川宜宾）已知m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，则22m mn m ++的值为（ ）A ．0B ．－10C ．3D ．10【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn =－5，把x =m 代入方程得m 2+2m -5=0，即m 2+2m =5，代入即可求解．【详解】解：∵m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，∵mn =－5，m 2+2m -5=0，∵m 2+2m =5，∵22m mn m ++=5－5=10，故选：A ．【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn =-5，m 2+2m =5是解题的关键．18．（2022·四川宜宾）若关于x的一元二次方程2210ax x有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．0a≠D．1a>-a≥-且0a≠B．1a>-且0a≠C．1【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a ＞0，再求出即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根，∵a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，解得：a＞-1且a≠0，故选：B．【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac ＜0时，方程没有实数根．19．（2022·湖北荆州）关于x的方程2320x kx--=实数根的情况，下列判断正确的是（）A．有两个相等实数根B．有两个不相等实数根C．没有实数根D．有一个实数根【答案】B【分析】根据根的判别式直接判断即可得出答案．【详解】解：对于关于x的方程2320--=，x kx∵()22∆=--⨯⨯-=+>，341(2)980k k∵此方程有两个不相等的实数根．故选B ．【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式∵的关系：（1）∵＞0∵方程有两个不相等的实数根；（2）∵=0∵方程有两个相等的实数根；（3）∵＜0∵方程没有实数根．20．（2022·湖南湘潭·中考真题）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tan α=（ ）A ．2B ．32C ．12 D【答案】A 【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为a ，则较长的直角边为a +1，再接着利用勾股定理得到关于a 的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出tan α的值即可．【详解】∵小正方形与每个直角三角形面积均为1，∵大正方形的面积为5，∵小正方形的边长为1设直角三角形短的直角边为a ，则较长的直角边为a +1，其中a >0，∵a 2+(a +1)2=5，其中a >0，解得：a 1=1，a 2=-2(不符合题意，舍去)，tan α=1a a +=111+=2，故选：A ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．二、填空题21．（2022·江苏扬州）请填写一个常数，使得关于x 的方程22+-x x ____________0=有两个不相等的实数根．【答案】0（答案不唯一）【分析】设这个常数为a ，利用一元二次方程根的判别式求出a 的取值范围即可得到答案．【详解】解：设这个常数为a ，∵要使原方程有两个不同的实数根，∵()2=240a ∆-->，∵1a <，∵满足题意的常数可以为0，故答案为：0（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．22．（2022·云南）方程2x 2+1=3x 的解为________． 【答案】1211,2x x ==【分析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解．【详解】解：移项得：22310x x -+=，∵()()2110x x --=，∵210x -=或10x -=，解得：1211,2x x ==，故答案为：1211,2x x ==．【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．23．（2022·安徽）若一元二次方程2240x x m -+=有两个相等的实数根，则m =________．【答案】2【分析】由方程有两个相等的实数根可知，利用根的判别式等于0即可求m 的值，【详解】解：由题意可知：2a =，4b =-，c m = 240b ac =-=，∵16420m -⨯⨯=，解得：2m =． 故答案为：2．【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式24b ac =-△求参数：方程有两个不相等的实数根时，0＞；方程有两个相等的实数根时，0=；方程无实数根时，△＜0等知识．会运用根的判别式和准确的计算是解决本题的关键． 24．（2022·四川成都）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程2640x x -+=的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________．【答案】【分析】由题意解一元二次方程2640x x -+=得到3x =3x =再根据勾股定理得到直角三角形斜边的长是【详解】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程2640x x -+=的两个实数根，∴由公式法解一元二次方程2640x x -+=可得3x ===±∴故答案为：【点睛】本题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关键．25．（2022·江西）已知关于x 的方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则k 的值是______．【答案】1【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案．【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，可得判别式0=，∵440k -=，解得：1k =．故答案为：1.【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键．26．（2022·湖北荆州）一元二次方程2430x x -+=配方为()22x k -=，则k 的值是______．【答案】１【分析】将原方程2430x x -+=变形成与()22x k -=相同的形式，即可求解．【详解】解：2430x x -+=243101x x -++=+2441x x -+= ()221x -=∵1k =故答案为：1．【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键．27．（2022·湖北黄冈）已知一元二次方程x 2﹣4x +3＝0的两根为x 1、x 2，则x 1•x 2＝_____．【答案】3【分析】直接根据一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵一元二次方程x 2﹣4x +3＝0的两根为x 1、x 2，∵x 1•x 2＝31＝3．故答案为3．【点睛】此题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系，解题关键在于掌握若方程的两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=-12•cx x b a a =，．28．（2022·江苏宿迁）若关于x 的一元二次方程220x x k -+=有实数根，则实数k 的取值范围是_____．【答案】1k ≤【分析】由关于x 的一元二次方程220x x k -+=有实数根，可得440,k 再解不等式可得答案． 【详解】解： 关于x 的一元二次方程220x x k -+=有实数根，∵()22410k ∆=--⨯⨯≥， 即440,k 解得：1k ≤ ．故答案为：1k ≤． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与Δ=b 2-4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 29．（2022·湖南娄底）已知实数12,x x 是方程210x x +-=的两根，则12x x =______．【答案】1-【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系直接可得答案．【详解】解： 实数12,x x 是方程210x x +-=的两根，1211,1x x 故答案为：1-【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握“12c x x a=”是解本题的关键．30．（2022·浙江杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x （0x >），则x =_________（用百分数表示）．【答案】30%【分析】由题意：2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，即可列出关于x 的一元二次方程，解方程即可．【详解】解：设新注册用户数的年平均增长率为x （0x >），则2020年新注册用户数为100（1+x ）万，2021年的新注册用户数为100（1+x ）2万户，依题意得100（1+x ）2=169，解得：x 1=0.3，x 2=-2.3（不合题意舍去），∵x =0.3=30%，故答案为：30%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．31．（2022·四川眉山）设1x ，2x 是方程2230x x +-=的两个实数根，则2212x x +的值为________．【答案】10【分析】由根与系数的关系，得到122x x +=-，123x x =-，然后根据完全平方公式变形求值，即可得到答案．【详解】解：根据题意，∵1x ，2x 是方程2230x x +-=的两个实数根，∵122x x +=-，123x x =-，∵2212122212()2(2)2(3)10x x x x x x =+-=--⨯-=+；故答案为：10． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值，解题的关键是掌握得到122x x +=-，123x x =-．32．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB ＝20cm ，底面直径BC ＝12cm ，球的最高点到瓶底面的距离为32cm ，则球的半径为______cm （玻璃瓶厚度忽略不计）．【答案】7.5【分析】如详解中图所示，将题中主视图做出来，用垂径定理、勾股定理计算即可.【详解】如下图所示，设球的半径为r cm ，则OG =EG -r =EF -GF -r =EF -AB -r =32-20-r =（12-r ）cm ，∵EG 过圆心，且垂直于AD ，∵G 为AD 的中点，则AG =0.5AD =0.5×12=6cm ， 在Rt OAG 中，由勾股定理可得，222OA OG AG =+，即222(12)6r r =-+，解方程得r =7.5，则球的半径为7.5cm ．【点睛】本题考查主视图、垂径定理和勾股定理的运用，准确做出立体图形的主视图是解题的关键．33．（2022·湖南岳阳·中考真题）已知关于x 的一元二次方程220x x m ++=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是______．【答案】1m <【分析】根据判别式的意义得到22410m ∆=-⨯⨯>，然后解不等式求出m 的取值即可．【详解】解：根据题意得22410m ∆=-⨯⨯>，解得1m <，所以实数m 的取值范围是1m <．故答案为：1m <．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程无实数根．34．（2022·四川宜宾·中考真题）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为______．【答案】289【分析】设直角三角形的三边分别为,,a b c ，较长的直角边为,a 较短的直角边为,b c 为斜边，由切线长定理可得，直角三角形的内切圆的半径等于2a b c +-，即6a b c +-=，根据小正方的面积为49，可得()249a b -=，进而计算2c 即22a b +即可求解．【详解】解：设四个全等的直角三角形的三边分别为,,a b c ，较长的直角边为,a 较短的直角边为,b c 为斜边，直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49， ∴()23492a b c a b +-=-=，，∴6a b c +-=∵，7a b -=∵， 131,22c c a b +-∴==，222a b c +=∵， 22213122c c c +-⎛⎫⎛⎫∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得=17c 或5c =-（舍去）， 大正方形的面积为2217289c ==，故答案为：289．【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程组，掌握直角三角形的内切圆的半径等于2a b c +-是解题的关键． 35．（2022·四川凉山）已知实数a 、b 满足a －b 2＝4，则代数式a 2－3b 2＋a －14的最小值是________．【答案】6【分析】根据a －b 2＝4得出24b a =-，代入代数式a 2－3b 2＋a －14中，通过计算即可得到答案．【详解】∵a －b 2＝4∵24b a =-将24b a =-代入a 2－3b 2＋a －14中得：()2222341423142a a a b a a a a =--+-=--－＋－()2222221313a a a a a --=-+-=-- ∵240b a =-≥ ∵4a ≥ 当a=4时，()213a --取得最小值为6 ∵222a a --的最小值为6∵22231422a a a b a --=－＋－∵22314a b a －＋－的最小值6答案为：6．【点睛】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．三、解答题36．（2022·四川凉山）解方程：x 2－2x －3＝0【答案】121,3x x =-=【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．【详解】解：2230x x --=，(1)(3)0x x +-=， 10x +=或30x -=，1x =-或3x =，故方程的解为121,3x x =-=．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键．37．（2022·四川南充）已知关于x 的一元二次方程2320x x k ++-=有实数根．(1)求实数k 的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为12,x x ，若()()12111x x ++=-，求k 的值．【答案】(1)k 174≤；(2)k =3 【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k -2）≥0，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到12123,2x x x x k -+==-，将等式左侧展开代入计算即可得到k 值．【解析】 (1)解：∵一元二次方程2320x x k ++-=有实数根．∵∆≥0，即32-4（k -2）≥0，解得k 174≤ (2)∵方程的两个实数根分别为12,x x ，∵12123,2x x x x k -+==-，∵()()12111x x ++=-，∵121211x x x x +++=-，∵2311k --+=-，解得k =3．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．38．（2022·四川眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？【答案】(1)20% (2)18个【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x ，根据2019年投入资金2(1)x ⨯+=2021年投入的总资金，列出方程求解即可；（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可． 【解析】(1)解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x ， 根据题意得：21000(1)1440x +=，解这个方程得，10.2x =，2 2.2x =-， 经检验，0.220%x ==符合本题要求．答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%． (2)设该市在2022年可以改造y 个老旧小区， 由题意得：80(115%)1440(120%)y ⨯+≤⨯+，解得181823y ≤． ∵y 为正整数，∵最多可以改造18个小区． 答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式． 39．（2022·四川凉山）阅读材料：材料1：若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝ba-，x 1x 2＝c a材料2：已知一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根分别为m ，n ，求m 2n ＋mn 2的值．解：∵一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根分别为m ，n ， ∵m ＋n ＝1，mn ＝－1，则m 2n ＋mn 2＝mn （m ＋n ）＝－1×1＝－1根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x 2－3x －1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝ ；x 1x 2＝ ．(2)类比应用：已知一元二次方程2x 2－3x －1＝0的两根分别为m 、n ，求n m m n+的值．(3)思维拓展：已知实数s 、t 满足2s 2－3s －1＝0，2t 2－3t －1＝0，且s ≠t ，求11s t-的值．【答案】(1)32；12-(2)132-【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；（2）根据根与系数的关系先求出32m n +=，12mn =-，然后将n mm n+进行变形求解即可；（3）根据根与系数的关系先求出32s t +=，12st =-，然后求出s -t 的值，然后将11s t-进行变形求解即可．【解析】 (1)解：∵一元二次方程2x 2-3x -1＝0的两个根为x 1，x 2， ∵123322b x x a-+=-=-=，1212c x x a ⋅==-．故答案为：32；12-． (2)∵一元二次方程2x 2-3x -1＝0的两根分别为m 、n ， ∵3322bm n a-+=-=-=，12c mn a ==-，∵22n m m n m n mn ++=()22m n mn mn +-=23122212⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-132=-(3)∵实数s 、t 满足2s 2-3s -1＝0，2t 2-3t -1＝0， ∵s 、t 可以看作方程2x 2-3x -1＝0的两个根，∵3322b s t a -+=-=-=，12c st a ==-，∵()()224t s t s st -=+-231422⎛⎫⎛⎫=-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭924=+174=∵t s -=t s -=，当t s -=时，11212t s s t st --===-当t s -=时，11212t s s t st --===-综上分析可知，11s t -或 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出t s -=或t s -=，是解答本题的关键．40．（2022·湖北宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．(1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加%m ．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%2m，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m 的值；(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？ 【答案】(1)4月份再生纸的产量为500吨(2)m 的值20(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元【分析】（1）设3月份再生纸产量为x 吨，则4月份的再生纸产量为()2100x -吨，然后根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，列出方程求解即可；（2）根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y ，5月份再生纸的产量为a 吨，根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；【解析】(1)解：设3月份再生纸产量为x 吨，则4月份的再生纸产量为()2100x -吨，由题意得：()2100800x x +-=，解得：300x =，∵2100500x -=， 答：4月份再生纸的产量为500吨； (2)解：由题意得：500(1%)10001%6600002m m ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭， 解得：%20%m =或% 3.2m =-（不合题意，舍去） ∵20m =，∵m 的值20；(3)解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y ，5月份再生纸的产量为a 吨，21200(1)(1)(125%)1200(1)y a y y a +⋅+=+⨯+⋅∵()2120011500y +=答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键．41．（2022·湖北随州）已知关于x 的一元二次方程()222110x k x k ++++=有两个不等实数根1x ，2x ．(1)求k 的取值范围；(2)若125x x =，求k 的值． 【答案】(1)34k >(2)2【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得；（2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得21215x x k =+=，再结合（1）的结论即可得．【解析】(1)解：关于x 的一元二次方程()222110x k x k ++++=有两个不等实数根， ∴此方程根的判别式()()2221410k k ∆=+-+>，解得34k >． (2)解：由题意得：21215x x k =+=，解得2k =-或2k =， 由（1）已得：34k >，则k 的值为2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题关键．42．（2022·湖北十堰）已知关于x 的一元二次方程22230x x m --=． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为α，β，且25αβ+=，求m 的值． 【答案】(1)见解析 (2)1m =±【分析】（1）根据根的判别式24b ac ∆=-，即可判断；（2）利用根与系数关系求出2αβ+=，由25αβ+=即可解出α，β，再根据23m αβ⋅=-，即可得到m 的值．【解析】(1)()22224241(3)412b ac m m ∆=-=--⨯⋅-=+，∵2120m ≥，∵241240m +≥>，∴该方程总有两个不相等的实数根； (2)方程的两个实数根α，β，由根与系数关系可知，2αβ+=，23m αβ⋅=-， ∵25αβ+=，∵52αβ=-，∵522ββ-+=， 解得：3β=，1α=-，。

初中方程公式大全
初中阶段学习的方程公式包括一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等。

以下是初中阶段常见的方程公式大全：
1. 一元一次方程：ax + b = c
- 解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，化简，求解得到方程的解。

2. 一元二次方程：ax^2 + bx + c = 0
- 解一元二次方程的步骤：可以通过公式求根法，配方法或者因式分解法来求解一元二次方程。

3. 两角和与差的三角函数关系：sin(A±B) 、cos(A±B)、tan(A ±B)
4. 二元一次方程组：
- ax + by = c
- dx + ey = f
- 解二元一次方程组的步骤：可以通过代入法、消元法、加减法等方法进行解答。

5. 实际问题联立方程：通过实际问题进行建立方程，然后求解方程。

以上是初中阶段常见的方程公式大全。

通过学习这些方程公式，可以帮助学生理解和解决相关的数学问题，为日后的学习和生活打下扎实的数学基础。

最新初中数学方程与不等式之分式方程难题汇编及解析一.选择题X （11.若关于X的方程—- = 2 + —有增根，则a的值为（）x-4 x-4A.-4B. 2C. 0D. 4【答案】D【解析】【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根.让最简公分母x-4=0,得到x=4.再将x=4代入去分母后的方程即可求出a=4.【详解】解：由分式方程的最简公分母是x-4,X a•••关于x的方程— = 2 + —有增根.x — 4 x — 4:.x-4=0,・•・分式方程的增根是x=4.Y a关于x的方程一=2 + ——去分母得x=2（x-4）+a,x-4 x-4代入x=4得a=4故选D.【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即町求得相关字母的值.2.解分式方程—+2 = —的结果是（）x—2 2 —xA.x="2"B. x="3"C. x="4"D.无解【答案】D【解析】【分析】【详解】解：去分母得：1 - x+2x - 4= - 1,解得：x=2,经检验x=2是增根，分式方程无解.故选D.考点：解分式方程.3. 某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨小丽家去年12月份 的水费是15元，而今年5月的水费则是30元，已知小丽家今年5月的用水量比去年12月【答案】A 【解析】【分析】 利用总水费斗单价=用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5口弓得 出方程即可.【详解】 解：设去年居民用水价格为久元/加‘,3015 _ _根据题意得：「匚一3丿故选：A. 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽彖出分式方程，正确表示出用水量是解题关键・4・某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计 划生产450个零件所需时间相同.设原计划平均每天生产X 个零件，根据题意可列方程为（）【答案】C 【解析】 【分析】原计划平均每天生产x 个零件，现在每天生产（X+25）个，根据现在生产600个零件所需 时间与原计划生产450个零件所需时间相同即可列出方程. 【详解】 由题意得：现在每天生产（x+25）个,600 450 • ____ — _ ，x+25 x的用水量多5〃『・求该市今年居民用水的价格. 设去年居民用水价格为X 元/“F ，根据题意列方程，正确的是（）30 15 一------ : ------- =5A. 1、 X1 + - IX3丿 3015 30XX< 3一=3D.15X30=5600 450A. ------------ =——x-25 x600 450B. --------------------- ——= --------------------x x-25600 450C. ----------- = --------x + 25 x600 450D. -------------------- ——= --------------------B.XC.故选：C. 【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是列方程的关键.5. 体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1・25倍，小进比小 俊少用了 40秒，设小俊的速度是X 米/秒，则所列方程正确的是（）800 800 “C. -------------------- = 40x 1.25%【答案】C 【解析】【分析】 先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了 40秒列出方程即 可.【详解】 小进跑8。

初中数学方程公式大全一、一元一次方程一元一次方程（简称一次方程）是一个未知数的一次多项式等于一个已知数。

形如：ax + b = 0，其中a、b为已知数，x为未知数。

解一元一次方程的两大基本原则是等式两边同时加减一个数等于0和等式两边同时乘除一个非零数等于0。

通过这两个原则可以得到方程的解。

二、一元二次方程一元二次方程（简称二次方程）是一个未知数的平方项与一次项相加等于一个已知数。

形如：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。

解一元二次方程的方法有配方法、公式法和图解法。

配方法即通过将方程变形为(a±b)²的形式来求解；公式法是利用二次方程的求根公式来求解；图解法是通过图形的方法来求解。

三、二元一次方程二元一次方程即含有两个未知数和一次项的方程。

形如：ax + by = c，dx + ey = f，其中a、b、c、d、e、f为已知数，x、y为未知数。

解二元一次方程的方法有代入法、消元法和加减消法。

代入法即将一个未知数的值代入到另一个方程中，等式两边相等来求解；消元法是通过消去一些未知数的系数，将方程简化为一元一次方程来求解；加减消法是将两个方程相加或相减，消去一个未知数从而得到另一个未知数的值。

四、无穷解和无解方程无穷解方程是指方程有无数个解，解方程时将变量消去后得到一个恒等式。

比如2x+4=2(x+2)，该方程的解是整个数轴上的所有点。

无解方程是指方程没有解，解方程时将变量消去后得到一个矛盾式。

比如2x+3=2x+4，该方程没有解。

五、绝对值方程绝对值方程是指方程中含有绝对值符号的方程。

解绝对值方程时，需要分情况讨论，将绝对值拆解为正负两个条件，分别求解并取交集，得到方程的解。

六、分式方程分式方程是指方程中含有分式的方程。

解分式方程时，需要先将分式化简为通分的形式，再通过消去分母的方法求解方程。

初中数学解方程所有公式大全解一元一次方程：1. 标准形式：ax + b = 0。

解法：x = -b/a。

2. 一元一次方程的基本性质：若a ≠ 0，方程ax = b的解为x = b/a。

3. 移项：ax + b = c。

解法：x = (c - b)/a。

4.分式方程：a/(x+b)=c。

解法：x=a/c-b。

5.小数方程：0.3x-0.2=0.1、解法：x=(0.1+0.2)/0.36.左右两边乘同一个式子：0.1x=0.4、解法：x=0.4/0.17.括号消去：3(x+2)=12、解法：x=(12-2)/38.同时括号消去和移项：2(x+3)=3(2x-1)。

解法：x=(3-6)/(-4)。

解一元二次方程：1. 标准形式：ax² + bx + c = 0。

解法：x = (-b ± √(b² -4ac))/(2a)。

2.二次方程的基本性质：若a≠0，方程a(x-h)²+k=0的解为x=h±√(-k/a)。

3. 相等根条件：若b² - 4ac = 0，则二次方程ax² + bx + c = 0有相等的实根。

4.平方完成法：x²-2x-3=0。

解法：x=(-(-2)±√((-2)²-4(1)(-3)))/(2(1))。

5.移项与配方法结合：2x²+7x-3=0。

解法：x=(-7±√((7)²-4(2)(-3)))/(2(2))。

6.积零因数法：(x-1)(x+5)=0。

解法：x=1,-5解一元一次不等式：1.开区间：2x-3<5、解法：x<42.闭区间：3-2x≤7、解法：x≥-23.绝对值不等式：，2x-1，>3、解法：x<-1或x>24.一次不等式的综合运用：-4<5-2x<8、解法：-1<x<1.5解一元二次不等式：1.开区间：x²-2x-8>0。

（专题精选）初中数学方程与不等式之分式方程难题汇编附解析一、选择题1．解分式方程221112x x x x --=--时，去分母后所得的方程正确的是（ ） A ．220x x -+= B ．4241x x x -+=-C ．4241x x x +-=-D ．221x x x +-=- 【答案】C【解析】【分析】根据等式的性质，方程两边同时乘以最简公分母2（x-1），整理即可得答案．【详解】 ∵221112x x x x --=--， ∴221112x x x x -+=--， 方程两边同时乘以最简公分母2（x-1）得：4x+2(x-2)=x-1，去括号得：4x+2x-4=x-1，故选：C ．【点睛】本题考查解分式方程，正确得出最简公分母是解题关键．2．解分式方程11222x x x -+=--的结果是（ ） A ．x="2"B ．x="3"C ．x="4"D ．无解【答案】D【解析】【分析】【详解】解：去分母得：1﹣x+2x ﹣4=﹣1，解得：x=2，经检验x=2是增根，分式方程无解．故选D ．考点：解分式方程．3．某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨13，小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元，已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多35m ．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x 元/3m ，根据题意列方程，正确的是（）A．30155113xx-=⎛⎫+⎪⎝⎭B．30155113xx-=⎛⎫-⎪⎝⎭C．15305113xx-=⎛⎫+⎪⎝⎭D．15305113xx-=⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A【解析】【分析】利用总水费÷单价＝用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3得出方程即可．【详解】解：设去年居民用水价格为x元/3m，根据题意得：30155113xx-=⎛⎫+⎪⎝⎭，故选：A．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出用水量是解题关键．4．甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg，甲搬运5000kg所用的时间与乙搬运8000kg所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少千克货物．设甲每小时搬运xkg货物，则可列方程为A．B．C．D．【答案】B【解析】甲种机器人每小时搬运x千克，则乙种机器人每小时搬运（x+600）千克，由题意得：，故选B.【点睛】本题考查了列分时方程解实际问题的运用，解答时根据甲搬运5000kg所用时间与乙搬运8000kg所用时间相等建立方程是关键．5．某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同．设原计划平均每天生产x个零件，根据题意可列方程为（）A ．60045025x x=- B ．60045025x x =- C ．60045025x x =+ D ．60045025x x =+ 【答案】C【解析】【分析】 原计划平均每天生产x 个零件，现在每天生产（x+25）个，根据现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同即可列出方程.【详解】由题意得：现在每天生产（x+25）个， ∴60045025x x=+， 故选：C.【点睛】 此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是列方程的关键.6．方程24222x x x x =-+-- 的解为（ ） A ．2B ．2或4C ．4D ．无解 【答案】C【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】去分母得：2x=（x ﹣2）2+4，分解因式得：（x ﹣2）[2﹣（x ﹣2）]=0，解得：x=2或x=4，经检验x=2是增根，分式方程的解为x=4，故选C ．【点睛】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．已知关于x 的分式方程211x k x x -=--的解为正数，则k 的取值范围为（ ） A ．20k -<<B ．2k >-且1k ≠-C ．2k >-D ．2k <且1k ≠ 【答案】B【解析】【分析】先用k 表示x ，然后根据x 为正数列出不等式，即可求出答案.【详解】 解：211x k x x-=--Q ， 21x k x +∴=-， 2x k ∴=+，Q 该分式方程有解，21k ∴+≠，1k ∴≠-，0x Q >，20k ∴+>，2k ∴>-，2k ∴>-且1k ≠-，故选：B ．【点睛】本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.8．甲、乙两人同时分别从A ，B 两地沿同一条公路骑自行车到C 地．已知A ，C 两地间的距离为110千米，B ，C 两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C 地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（ ）A ．1101002x x=+ B ．1101002x x =+ C ．1101002x x =- D ．1101002x x =- 【答案】A【解析】 设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，根据题意可得等量关系：甲骑110千米所用时间=乙骑100千米所用时间，根据等量关系可列出方程即可．解：设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时，由题意得：1102x +=100x， 故选A ．9．方程10020x +＝6020x-的解为（ ） A ．x ＝10B ．x ＝﹣10C ．x ＝5D ．x ＝﹣5 【答案】C【解析】【分析】方程两边同时乘以（20+x）（20﹣x），解得，x＝5，经检验，x＝5是方程的根．【详解】解：方程两边同时乘以（20+x）（20﹣x），得100（20﹣x）＝60（20+x），整理，得8x＝40，解得，x＝5，经检验，x＝5是方程的根，∴原方程的根是x＝5；故选：C．【点睛】本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏验根是解题的关键．10．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）A．10x-102x=20 B．102x-10x=20 C．10x-102x=13D．102x-10x=13【答案】C【解析】【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．【详解】由题意可得，10 x -102x=13，故选：C．【点睛】此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．11．施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（）A．1000100030x x-+=2 B．1000100030x x-+=2C．1000100030x x--=2 D．1000100030x x--=2【答案】A【解析】分析：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间=2，列出方程即可．详解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据题意，可列方程：1000100030x x-+=2，故选A．点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．12．方程31144xx x--=--的解是（）A．－3 B．3 C．4 D．－4【答案】B【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】去分母得：3-x-x+4=1，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．故选：B．【点睛】此题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．13．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设每个A型包装箱可以装书x本，则每个B型包装箱可以装书（x+15）本，根据单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个，列方程得：，故选C.14．若关于x 的分式方程2233x m x x -=--有增根，则m 的值为（ ）． A ．3B．CD．【答案】D【解析】 解关于x 的方程2233x m x x -=--得：26x m =-， ∵原方程有增根，∴30x -=，即2630m --=，解得：m =故选D.点睛：解这类题时，分两步完成：（1）按解一般分式方程的步骤解方程，用含待定字母的式子表示出方程的根；（2）方程有增根，则把（1）中所得的结果代入最简公分母中，最简公分母的值为0，由此即可求得待定字母的值.15．关于x 的分式方程26344ax x x -+=---的解为正数，且关于x 的不等式组1722x a x x >⎧⎪⎨+≥-⎪⎩有解，则满足上述要求的所有整数a 的绝对值之和为（ ） A ．12B ．14C ．16D ．18【答案】C【解析】【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a ＜2且a≠1，根据不等式组有解，即可得出a ＞-5，找出-5＜a ＜2且a≠1中所有的整数，将其相加即可得出结论．【详解】 解分式方程26344ax x x -+=---得：x=43a -， 因为分式方程的解为正数， 所以43a -＞0且43a-≠4， 解得：a ＜3且a≠2， 解不等式1722x a x x >⎧⎪⎨+≥-⎪⎩，得：x≤a+7， ∵不等式组有解，∴a+7＞1，解得：a ＞-6，综上，-6＜a ＜3，且a≠2，则满足上述要求的所有整数a 的绝对值的和为：|-5|+｜-4｜+｜-3｜+｜-2｜+｜-1｜+｜0｜+｜1｜=16，故选：C ．【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组有解，找出-6＜a ＜3且a≠2是解题的关键．16．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，得 A ．25301018060(%)x x -=+ B ．253010180(%)x x -=+ C ．30251018060(%)x x -=+ D ．302510180(%)x x -=+ 【答案】A【解析】若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程．解：设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，()253010180%60x x -=+ 故选A ．17．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）A ．606030(125%)x x -=+B ．606030(125%)x x-=+ C ．60(125%)6030x x⨯+-= D ．6060(125%)30x x⨯+-= 【答案】C【解析】 分析：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x 的分式方程．详解：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原来每天绿化的面积为125%x +万依题意得：606030125%x x -=+，即()60125%6030x x ⨯+-=． 故选C ．点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．18．八年级（1）班全体师生义务植树300棵.原计划每小时植树x 棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务.则下面所列方程中，正确的是（ ）A ．300300201.2x x -= B ．300300201.260x x =- C ．300300201.260x x x -=+ D ．3002030060 1.2x x -= 【答案】D【解析】【分析】原计划每小时植树x 棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x 棵，原计划植300棵树可用时300x 小时，实际用了3001.2x 小时，根据关键语句“结果提前20分钟完成任务”可得方程．【详解】设原计划每小时植树x 棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x 棵，由题意得：3002030060 1.2x x-=， 故选：D ．【点睛】 此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是弄清题意，表示出原计划植300棵树所用时间与实际所用时间．19．对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：23a b a ab⊗=-，这里等式右边是通常的四则运算．若32x x ⊗⊗（﹣）＝，则x 的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2 【答案】B【解析】【分析】利用题中的新定义变形已知等式，然后解方程即可．根据题中的新定义化简得：339342x x=+-，去分母得：12﹣6x =27+9x ，解得：x =﹣1，经检验x =﹣1是分式方程的解．故选B ．【点睛】本题考查了新定义和解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．20．已知关于x 的分式方程13222mx x x -+=--有解,则m 应满足的条件是（ ） A ． 1 2m m ≠≠且B ．2m ≠C ．1m =或2m =D ．1m ≠或2m ≠ 【答案】A【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程(m-2)x=-2，由分式方程有解可知m-2≠0，最简公分母x-2≠0，求出x 的值，进一步求出m 的取值即可.【详解】 13222mx x x-+=--， 去分母得，1-（3-mx ）=2(x-2)整理得，（m-2）x=-2 ∵分式方程13222mx x x-+=--有解， ∴m-2≠0，即m≠2， ∴22x m -=- ∵分式方程13222mx x x-+=--有解， ∴x-2≠0，即x≠2， ∴222m -≠-，解得，m≠1， 所以，m 的取值为： 1 m ≠且2m ≠故选：A.【点睛】 此题主要考查了分式方程的求解，关键是会解出方程的解，注意隐含条件.。

一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的整式方程，叫做一元一次方程．一元一次方程的标准形式是：ax＋b=0(其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）．一元一次方程的最简形式是：ax=b(a≠0)．不定方程:一个代数方程，含有两个或两个以上未知数时，叫做不定方程，不定方程一般有无穷多解。

代数方程: 代数方程通常指整式方程。

有时也泛指方程两边都是代数式的情形，因而也包括分式方程和无理方程。

等式: 用符号“=”来表示相等关系的式子，叫做等式．在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．性质：两边同加同减一个数或等式仍为等式; 两边同乘同除一个数或等式（除数不能是0）仍为等式。

方程的根：只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根。

解一元一次方程的一般步骤：1．去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数；2．去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；3．移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；4．合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0）的形式；5．系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解。

矛盾方程：一个方程，如果不存在使其左边与右边的值相等的未知数的值，这样的方程叫矛盾方程．知识点2：二元一次方程有两个未知数并且未知项的次数是1，这样的方程，叫做二元一次方程．二元一次方程组：含有相同的两个未知数的两个一次方程所组成的方程组，叫做二元一次方程组．解：使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．二元一次方程组的两种解法：（1）代入消元法，简称代入法．①把方程组里的任何一个未知数化成用另一个未知数的代数式表示．②把这个代数式代入另一个方程里，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，然后再求另一个未知数的值．④把求得两个未知数的值写在一起，就是原方程组的解．2）加减消元法，简称加减法．①把一个方程或两个方程的两边都乘以适当的数，使同一个未知数的系数的绝对值相等．②把所得的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，然后再求另一个未知数的值．④把求得的两个未知数的值写在一起，就是原方程组的解．二元一次方程组解的情况：一元一次不等式（组）：不等号有＞、≥、＜、≤或≠等等．用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式．如ax<b或ax>b(a≠0)几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组不等式基本性质：(1)不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．(2)不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．(3)不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．一元一次不等式的解法步骤：(1)去分母(2)去括号(3)移项(4)合并同类项(5)系数化成1(如果乘数和除数是负数，要把不等号改变方向)一元一次不等式组的解法步骤：(1)分别求出不等式组中所有一元一次不等式的解集．（2)在数轴上表示各个不等式的解集．(3)写出不等式组的解集．一元一次不等式组的四种情况：知识点4一元二次方程基本概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程3x2+5x-2=0的常数项是-2（任意）.一次项系数为5（任意），二次项是3（任意不为0）. 一元二次方程的求根公式：一元二次方程的解法：1．解一元二次方程的直接开平方法如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，则根据平方根的概念可以用直接开平方法来解．2．解一元二次方程的配方法先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，可通过直接开平方法来求方程的解，也就是先配方再求解．3．解一元二次方程的公式法利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．4．解一元二次方程的因式分解法在一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，可先将一边分解成两个一次因式的积，再分别令每个因式为零，通过解一元一次方程，可求得原方程的解．一元二次方程的解1．方程042=-x 的根为 .A ．x=2B ．x=-2C ．x1=2,x2=-2D ．x=42．方程x2-1=0的两根为 .A ．x=1B ．x=-1C ．x1=1,x2=-1D ．x=23．方程（x-3）（x+4）=0的两根为 .A.x1=-3,x2=4B.x1=-3,x2=-4C.x1=3,x2=4D.x1=3,x2=-44．方程x(x-2)=0的两根为 .A ．x1=0,x2=2B ．x1=1,x2=2C ．x1=0,x2=-2D ．x1=1,x2=-25．方程x2-9=0的两根为 .A ．x=3B ．x=-3C ．x1=3,x2=-3D ．x1=+3,x2=-3方程解的情况及换元法1．一元二次方程02342=-+x x 的根的情况是 .A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根2．不解方程,判别方程3x2-5x+3=0的根的情况是 .A.有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D. 没有实数根3．不解方程,判别方程3x2+4x+2=0的根的情况是 .A.有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D. 没有实数根4．不解方程,判别方程4x2+4x-1=0的根的情况是 .A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根5．不解方程,判别方程5x2-7x+5=0的根的情况是 .A.有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D. 没有实数根6．不解方程,判别方程5x2+7x=-5的根的情况是 .A.有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D. 没有实数根7．不解方程,判别方程x 2+4x+2=0的根的情况是 .A.有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D. 没有实数根8. 不解方程,判断方程5y 2+1=25y 的根的情况是A.有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D. 没有实数根9. 用 换 元 法 解方 程 4)3(5322=---xx x x 时, 令 32-x x = y ,于是原方程变为 . A.y 2-5y+4=0 B.y 2-5y-4=0 C.y 2-4y-5=0 D.y 2+4y-5=010. 用换元法解方程4)3(5322=---xx x x 时,令23x x -= y ,于是原方程变为 . A.5y 2-4y+1=0 B.5y 2-4y-1=0 C.-5y 2-4y-1=0 D. -5y 2-4y-1=011. 用换元法解方程(1+x x )2-5(1+x x )+6=0时，设1+x x =y ，则原方程化为关于y 的方程是 . A.y 2+5y+6=0 B.y 2-5y+6=0 C.y 2+5y-6=0 D.y 2-5y-6=0知识点5：直角坐标系与点的位置1．直角坐标系中，点A （3，0）在y 轴上。

新初中数学方程与不等式之分式方程全集汇编及答案解析(1)一、选择题1．已知A 、C 两地相距40千米，B 、C 两地相距50千米，甲乙两车分别从A 、B 两地同时出发到C 地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C 地．设乙车的速度为x 千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）A ．405012x x =- B ．405012x x =- C ．405012x x =+ D ．405012x x=+ 【答案】B【解析】 试题解析：设乙车的速度为x 千米/小时，则甲车的速度为（x-12）千米/小时， 由题意得，405012x x=-． 故选B ．2．若数a 使关于x 的分式方程2311a x x x--=--有正数解，且使关于y 的不等式组21142y a y y a ->-⎧⎪⎨+⎪⎩…有解，则所有符合条件的整数a 的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a>-1且a ≠1，根据不等式组有解，即可得：a<3，找出所有的整数a 的个数为2．【详解】 解方程2311a x x x--=--，得： 12a x +=， ∵分式方程的解为正数，∴1a +>0，即a>-1，又1x ≠， ∴12a +≠1，a ≠1， ∴a>-1且a ≠1，∵关于y的不等式组21142y a yy a->-⎧⎪⎨+⎪⎩…有解，∴a-1<y≤8-2a，即a-1<8-2a，解得：a<3，综上所述，a的取值范围是-1<a<3，且a≠1，则符合题意的整数a的值有0、2，有2个，故选：B．【点睛】本题考查了根据分式方程解的范围求参数的取值范围，不等式组的求解，找到整数解的个数，掌握分式方程的解法和不等式组的解法是解题的关键．3．某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨13，小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元，已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多35m．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x元/3m，根据题意列方程，正确的是（）A．30155113xx-=⎛⎫+⎪⎝⎭B．30155113xx-=⎛⎫-⎪⎝⎭C．15305113xx-=⎛⎫+⎪⎝⎭D．15305113xx-=⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A【解析】【分析】利用总水费÷单价＝用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3得出方程即可．【详解】解：设去年居民用水价格为x元/3m，根据题意得：30155113xx-=⎛⎫+⎪⎝⎭，故选：A．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出用水量是解题关键．4．方程24222x x x x =-+-- 的解为（ ） A ．2 B ．2或4 C ．4 D ．无解【答案】C【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】去分母得：2x=（x ﹣2）2+4，分解因式得：（x ﹣2）[2﹣（x ﹣2）]=0，解得：x=2或x=4，经检验x=2是增根，分式方程的解为x=4，故选C ．【点睛】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．已知关于x 的分式方程211x k x x -=--的解为正数，则k 的取值范围为（ ） A ．20k -<<B ．2k >-且1k ≠-C ．2k >-D ．2k <且1k ≠ 【答案】B【解析】【分析】先用k 表示x ，然后根据x 为正数列出不等式，即可求出答案.【详解】 解：211x k x x-=--Q ， 21x k x +∴=-， 2x k ∴=+，Q 该分式方程有解，21k ∴+≠，1k ∴≠-，0x Q >，20k ∴+>，2k ∴>-，2k ∴>-且1k ≠-，故选：B ．【点睛】本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.6．新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱.各种品牌相继投放市场.一汽贸公司经销某品牌新能源汽车.去年销售总额为5000万元，今年1~5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元.销售数量与去年一整年的相同.销售总额比去年一整年的少20%，今年1~5月份每辆车的销售价格是多少万元?设今年1~5月份每辆车的销售价格为x万元.根据题意，列方程正确的是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】首先根据所设今年每辆车的价格，可表示出去年的价格，同样根据销售总额的关系可表示出今年的销售总额，然后再根据去年和今年1~5月份销售汽车的数量相同建立方程即可得解.【详解】∵今年1~5月份每辆车的销售价格为x万元，∴去年每辆车的销售价格为（x+1）万元，则有故选A.【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是找出题中去年和今年的关系.7．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的吋间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间. 设规定时间为x天，则可列方程为（）.A．900900213x x⨯=+-B．900900213x x=⨯+-C．900900213x x⨯=-+D．900900213x x=⨯++【答案】A【解析】【分析】设规定时间为x天，得到慢马和快马所需要的时间，根据速度关系即可列出方程.【详解】设规定时间为x天，则慢马的时间为（x+1）天，快马的时间是（x-3）天，∵快马的速度是慢马的2倍，∴900900213 x x⨯=+-，故选：A.【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程.8．为保证某高速公路在2019年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务．已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用30天，如果甲乙两队合作，可比规定时间提前20天完成任务．若设规定的时间为x 天，由题意可以列出的方程是（）A．111103020+=--+x x xB．111103020+=++-x x xC．111103020-=++-x x xD．111102030+=-+-x x x【答案】B【解析】【分析】设规定的时间为x天．则甲队单独完成这项工程所需时间是（x+10）天，乙队单独完成这项工程所需时间是（x+30）天．根据甲、乙两队合作，可比规定时间提前20天完成任务，列方程为111103020+=++-x x x.【详解】设规定时间为x天，则甲队单独一天完成这项工程的110 +x，乙队单独一天完成这项工程的130x+，甲、乙两队合作一天完成这项工程的120 x-.则111103020+=++-x x x.故选B.【点睛】此题考查分式方程，解题关键在于由实际问题抽象出分式方程.9．中秋节是我国的传统节日，人们素有吃月饼的习俗．汾阳月饼不仅汾阳人爱吃，而且风靡省城市场．省城某商场在中秋节来临之际购进A、B两种汾阳月饼共1500个，已知购进A种月饼和B种月饼的费用分别为3000元和2000元，且A种月饼的单价比B种月饼单价多1元．求A、B两种月饼的单价各是多少？设A种月饼单价为x元，根据题意，列方程正确的是( )A ．3000200015001x x +=+ B ．2000300015001x x +=+ C ．3000200015001x x +=- D ．2000300015001x x +=- 【答案】C【解析】【分析】设A 种月饼单价为x 元，再分别表示出A 种月饼和B 种月饼的个数，根据“购进A 、B 两种汾阳月饼共1500个”，列出方程即可.【详解】设A 种月饼单价为x 元，则B 种月饼单价为(x -1)元， 根据题意可列出方程3000200015001x x +=-， 故选C.【点睛】本题考查分式方程的应用，读懂题意是解题关键.10．某车间加工12个零件后，采用新工艺，工效比原来提高了50%，这样加工同样多的零件就少用1小时，那么采用新工艺前每小时加工的零件数为 （ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】B【解析】【分析】根据题意，找出题目的等量关系，列出方程，解方程即可得到答案．【详解】解：根据题意，得： 12121(150%)x x -=+， 解得：4x =；经检验，4x =是原分式方程的解.∴那么采用新工艺前每小时加工的零件数为4个；故选：B ．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，其中找出方程的关键语，找出数量关系是解题的关键．注意解分式方程需要检验．11．施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x 米，所列方程正确的是（ ）A ．1000100030x x -+=2 B ．1000100030x x -+=2 C ．1000100030x x --=2 D ．1000100030x x --=2 【答案】A【解析】分析：设原计划每天施工x 米，则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间=2，列出方程即可． 详解：设原计划每天施工x 米，则实际每天施工（x+30）米， 根据题意，可列方程：1000100030x x -+=2， 故选A ．点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．12．若数k 使关于x 的不等式组301132x k x x +≤⎧⎪-⎨-≤⎪⎩只有4个整数解，且使关于y 的分式方程1k y -+1＝1y k y ++的解为正数，则符合条件的所有整数k 的积为（ ） A ．2B ．0C ．﹣3D ．﹣6【答案】A【解析】【分析】解不等式组求得其解集，根据不等式组只有4个整数解得出k 的取值范围，解分式方程得出y=-2k+1，由方程的解为整数且分式有意义得出k 的取值范围，综合两者所求最终确定k 的范围，据此可得答案．【详解】 解：解不等式组301132x k x x +≤⎧⎪-⎨-≤⎪⎩得：﹣3≤x ≤﹣3k ， ∵不等式组只有4个整数解，∴0≤﹣3k ＜1，解得：﹣3＜k ≤0， 解分式方程1k y -+1＝1y k y ++得：y ＝﹣2k +1， ∵分式方程的解为正数，∴﹣2k +1＞0且﹣2k +1≠1，解得：k ＜12且k ≠0， 综上，k 的取值范围为﹣3＜k ＜0，则符合条件的所有整数k 的积为﹣2×（﹣1）＝2，故选A ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、分式方程的解，有难度，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．13．方程31144x x x --=--的解是（ ） A ．－3B ．3C ．4D ．－4【答案】B【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】去分母得：3-x-x+4=1，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．故选：B ．【点睛】此题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．14．如果解关于x 的分式方程2122m x x x -=--时出现增根，那么m 的值为 A ．-2B ．2C ．4D ．-4【答案】D【解析】【详解】 2122m x x x-=--，去分母，方程两边同时乘以(x ﹣2)，得：m +2x =x ﹣2，由分母可知，分式方程的增根可能是2．当x =2时，m +4=2﹣2，m =﹣4，故选D ．15．已知关于x 的分式方程213x m x -=-的解是非正数，则m 的取值范围是（ ） A ．3m ≤B ．3m <C ．3m >-D ．3m ≥- 【答案】A【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m 的范围即可【详解】 213x m x -=-， 方程两边同乘以3x -，得23x m x -=-，移项及合并同类项，得3x m =-，Q 分式方程213x m x -=-的解是非正数，30x -≠， 30(3)30m m -≤⎧∴⎨--≠⎩， 解得，3m ≤，故选：A ．【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则求出m 的值16．九年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了25分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍．设骑车学生的速度为x 千米/小时，则所列方程正确的是（ ）A ．1010253x x-= B ．1010253x x -= C ．10105312x x -= D ．10105312x x -= 【答案】D【解析】【分析】 设骑车学生的速度为x 千米/小时，则汽车的速度为3x,先分别表示出骑自行车学生和乘汽车学生所用时间，然后根据题中所给的等量关系,即可列出方程．【详解】解：设骑车学生的速度为x 千米/小时，则汽车的速度为3x由题意得：10105312x x -= 故答案为D ．【点睛】 本题考查了出分式方程的应用，明确题意、确定等量关系是解答本题的关键．17．若分式方程2+1kx x 2--＝12x -有增根，则k 的值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】根据分式方程有增根得到x=2，将其代入化简后的整式方程中求出k 即可.【详解】解：分式方程去分母得：2（x ﹣2）+1﹣kx ＝﹣1，由题意将x ＝2代入得：1﹣2k ＝﹣1，解得：k ＝1．故选：C ．【点睛】此题考查分式方程的增根，由增根求方程中其他未知数的值，根据增根的定义得到方程的解是解题的关键.18．某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x 台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A ．60048040x x=- B ．60048040x x =+ C ．60048040x x =+ D ．60048040x x =- 【答案】B【解析】【分析】 由题意分别表达出原来生产480台机器所需时间和现在生产600台机器所需时间，然后根据两者相等即可列出方程，再进行判断即可．【详解】解：设原计划每天生产x 台机器，根据题意得：48060040x x =+. 故选B ．【点睛】读懂题意，用含x 的代数式表达出原来生产480台机器所需时间为480x 天和现在生产600台机器所需时间为60040x +天是解答本题的关键．19．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x 个零件，下列方程正确的是（ ）A ．1201508x x =- B ．1201508x x =+ C ．1201508x x =- D ．1201508x x =+ 【答案】D【解析】【分析】 首先用x 表示甲和乙每小时做的零件个数，再根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等即可列出一元一次方程.【详解】解：∵甲每小时做x 个零件，∴乙每小时做（x+8）个零件，∵甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，∴1201508x x =+， 故选D.【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，熟练掌握是解题的关键.20．“绿水青山就是金山银山”某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原来计划提高了25%，结果提前30天完成了这任务，设原计划工作时每天绿化面积为x 万平方米，则下面所到方程中正确的是（ ） A ．()006060-30x 125x =+ B ．()6060-30125%x x =+ C ．()60125%60-30x x⨯+= D ．()60125%60-30x x ⨯+= 【答案】A【解析】【分析】根据实际工作时每天的工作效率比原来计划提高了25%，结果提前30天完成了这任务，可列出方程．【详解】 解：设原计划工作时每天绿化面积为x 万平方米，则根据题意可得：()00606030125x x-=+， 故答案为：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程．。

初中数学解方程所有公式大全详解一、引言在初中数学中，解方程是一个非常重要的知识点。

无论是线性方程、二次方程还是其他类型的方程，掌握解方程的公式和方法都是至关重要的。

本文将详细介绍初中数学中解方程的所有公式和方法，帮助同学们更好地掌握这一知识点。

二、一元一次方程一元一次方程是最基础的方程类型，其一般形式为ax+b=0。

解一元一次方程的公式为：x=-b/a。

在实际解题过程中，需要先对方程进行化简，使其符合一般形式，然后代入公式求解。

三、二元一次方程组二元一次方程组是由两个一元一次方程组成的方程组。

其一般形式为：{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2}解二元一次方程组的公式为：{x=(c1b2-c2b1)/(a1b2-a2b1)y=(c1a2-c2a1)/(a1b2-a2b1)}这个公式也叫做克拉默法则。

同样地，在实际解题过程中，需要先对方程组进行化简，使其符合一般形式，然后代入公式求解。

四、一元二次方程一元二次方程是初中数学中的一个重要知识点，其一般形式为ax^2+bx+c=0。

解一元二次方程的公式为：x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a。

这个公式也叫做求根公式。

同样地，在实际解题过程中，需要先对方程进行化简，使其符合一般形式，然后代入公式求解。

需要注意的是，当判别式b^2-4ac小于0时，方程无实数解。

五、分式方程分式方程是一种比较特殊的方程类型，其一般形式为f(x)/g(x)=0。

解分式方程的公式和方法比较灵活，通常需要先对方程进行变形和化简，消去分母，然后求解。

常用的方法有去分母法、换元法等。

在实际解题过程中，需要根据具体情况选择合适的方法。

六、无理方程无理方程是一种含有根号等无理式的方程类型。

其解法通常需要将无理式转化为有理式，然后利用已知的方法进行求解。

常用的方法有平方差公式法、换元法等。

在实际解题过程中，需要根据具体情况选择合适的方法。

七、高次方程和方程组高次方程和方程组是指次数高于2的方程和方程组。

初中所有数学方程式总汇本文档总结了初中阶段中常见的数学方程式，供学生们研究和巩固数学知识之用。

一元一次方程式一元一次方程式是一个未知数的一次方程，常见的形式为ax+b=0。

其中，a和b是已知数。

常见解法包括：1. 移项法：将方程式中的未知项和已知项分别移到方程式两侧。

2. 因式分解法：将方程式进行因式分解，求出未知数的值。

3. 系数法：将方程式两侧乘以适当的数，使得未知数的系数变为整数。

一元二次方程式一元二次方程式是一个未知数的二次方程，常见的形式为ax^2+bx+c=0。

其中，a、b和c是已知数且a不为0。

常见解法包括：1. 因式分解法：将方程式进行因式分解，求出未知数的值。

2. 公式法：利用求根公式(-b±√(b^2-4ac))/(2a)计算未知数的值。

3. 完全平方法：将方程式进行完全平方，再利用解一元一次方程式的方法求解。

百分比方程式百分比方程式用于求解百分数、百分比的量、基数和百分比之间的关系。

常见问题包括：1. 求百分数：已知基数和相应的百分比量，求百分数。

2. 求百分比量：已知基数和相应的百分数，求百分比量。

3. 求基数：已知百分数和相应的百分比量，求基数。

利率方程式利率方程式用于计算贷款、利息和存款之间的关系。

常见问题包括：1. 计算利息：已知存款金额、年利率和存款时间，求利息。

2. 计算存款金额：已知利息、年利率和存款时间，求存款金额。

3. 计算年利率：已知存款金额、利息和存款时间，求年利率。

以上是初中阶段常见的数学方程式总汇，希望对学生们的学习和复习有所帮助。

初中数学方程与不等式之一元一次方程全集汇编附答案解析一、选择题1．已知今年甲的年龄比乙的年龄多12岁，4年后甲的年龄恰好是乙的年龄的2倍，则甲今年的年龄是（ ） A ．20岁 B ．16岁C ．15岁D ．12岁【答案】A 【解析】 【分析】设乙今年的年龄是x 岁，则甲今年的年龄是（x+12）岁．根据等量关系：4年后甲的年龄恰好是乙的年龄的2倍，列出方程进行求解即可. 【详解】设乙今年的年龄是x 岁，根据题意得：（x+12）+4=2（x+4）， 解得：x=8， 则：x+12=20，即甲今年的年龄是20岁， 故选A. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．2．关于x 的方程50x a -=的解比关于y 的方程30y a +=的解小2，则a 的值为（ ） A ．415B ．415-C ．154D ．154-【答案】D 【解析】 【分析】把a 当做已知数分别表示出x 与y 的值，根据关于x 的方程5x-a=0的解比关于y 的方程3y+a=0的解小2，得到关于a 的一元一次方程，求出方程的解即可得到a 的值． 【详解】 解：∵5x-a=0， ∴x=5a ， ∵3y+a=0， ∴y= 3a -， ∴a 3--a5=2， 去分母得：-5a-3a=30，合并得：-8a=30，解得：a=154 -．故选：D．【点睛】此题考查了一元一次方程的解，用a表示出x与y的值是解本题的关键．3．某种商品的进价为每件180元，按标价的九折销售时，利润率为20%，这种商品每件的标价为（）元．A．200 B．240 C．245 D．255【答案】B【解析】【分析】设这种商品的标价是x元，根据某种商品每件的进价为180元，按标价的九折销售时，利润率为20%可列方程求解．【详解】设这种商品的标价是x元，90%x﹣180＝180×20%x＝240这种商品的标价是240元．故选：B．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键知道利润＝售价﹣进价，根据此可列方程求解．4．8×200=x+40解得：x=120答：商品进价为120元．故选：B．【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握销售问题的数量关系利润=售价-进价，建立方程是关键．5．关于x的方程1514()2323mx x-=-有负整数解，则所有符合条件的整数m的和为（）A．5 B．4 C．1 D．－1【答案】D【解析】【分析】先解方程，再利用关于x的方程15142323mx x⎛⎫-=-⎪⎝⎭有负整数解，求整数m即可．【详解】解方程1514 2323 mx x⎛⎫-=-⎪⎝⎭去括号得，1512 2323 mx x-=-移项得，1152 2233 mx x-=-，合并同类项得111 22m x⎛⎫-=⎪⎝⎭，系数化为1，2(1)1x mm=≠-，∵关于x的方程15142323mx x⎛⎫-=-⎪⎝⎭有负整数解，∴整数m为0，-1．∴它们的和为：0+（-1）=-1.故选：D．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解题的关键是用m表示出x的值．6．一个书包的标价为a元，按八折出售仍可获利20%，该书包的进价为（）A．23a B．34a C．45a D．56a【答案】A 【解析】【分析】设进价为x元，根据题意可得820%10=-x a x，解得23x a=，即为所求．【详解】设进价为x元根据题意得：8 20%10=-x a x∴4 1.25=x a∴23 x a =故选：A 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，分清已知量和未知量，根据题目中的等量关系列出需要的代数式，进而列出方程，解所列的方程，求出未知数的值，检验所得的解是否符合实际问题的意义．7．若关于x 的不等式组12246x k x k k -⎧≥⎪⎨⎪-≤+⎩有解，且关于x 的方程()()2232kx x x =--+有非负整数．．．．解，则符合条件的所有整数k 的和为( ) A ．-5 B ．-9 C ．-12 D ．-16【答案】B 【解析】 【分析】先根据不等式组有解得k 的取值，利用方程有非负整数解，将k 的取值代入，找出符合条件的k 值，并相加． 【详解】12246x k x k k -⎧≥⎪⎨⎪-≤+⎩①②， 解①得：x≥1+4k ， 解②得：x≤6+5k ，∴不等式组的解集为：1+4k≤x≤6+5k ， 1+4k≤6+5k ， k≥-5，解关于x 的方程kx=2（x-2）-（3x+2）得，x=-61k +， 因为关于x 的方程kx=2（x-2）-（3x+2）有非负整数解， 当k=-4时，x=2， 当k=-3时，x=3， 当k=-2时，x=6， ∴-4-3-2=-9； 故选B ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、方程的解，有难度，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．8．如图，平行四边形ABCD 中，AB=8cm ，AD=12cm ，点P 在AD 边上以每秒1cm 的速度从点A 向点D 运动，点Q 在BC 边上，以每秒4cm 的速度从点C 出发，在CB 间往返运动，两个点同时出发，当点P 到达点D 时停止(同时点Q 也停止)，在运动以后，以P 、D 、Q 、B 四点组成平行四边形的次数有( )A ．4次B ．3次C ．2次D ．1次【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】试题解析：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC=AD=12，AD ∥BC ， ∵四边形PDQB 是平行四边形， ∴PD=BQ ，∵P 的速度是1cm/秒， ∴两点运动的时间为12÷1=12s ， ∴Q 运动的路程为12×4=48cm ， ∴在BC 上运动的次数为48÷12=4次，第一次PD=QB 时，12-t=12-4t ，解得t=0，不合题意，舍去； 第二次PD=QB 时，Q 从B 到C 的过程中，12-t=4t-12，解得t=4.8； 第三次PD=QB 时，Q 运动一个来回后从C 到B ，12-t=36-4t ，解得t=8； 第四次PD=QB 时，Q 在BC 上运动3次后从B 到C ，12-t=4t-36，解得t=9.6． ∴在运动以后，以P 、D 、Q 、B 四点组成平行四边形的次数有3次， 故选：B ．考点：平行四边形的判定与性质9．关于x 的方程243x m +=和1x m -=有相同的解，则m 的值是（ ） A ．6 B ．5C ．52D ．23-【答案】A 【解析】分析：根据同解方程，可得关于m 的方程，根据解方程，可得答案． 详解：由题意，得：x =m +1，2（m +1）+4=3m ， 解得：m =6． 故选A ．点睛：本题考查了同解方程，利用同解方程得出关于m 的方程是解题的关键．10．商家出售的一种自行车的标价比进价高45%，实际销售这种自行车时按标价八折优惠，每辆获利80元，设这种自行车的进价是每辆x 元，下列方程正确的是（ ） A ．45%（1+80%）x ﹣x=80 B ．x+45%﹣80%=80C ．80%（1+45%）x ﹣x=80D ．（1+80%）（1+45%）x ﹣x=80【解析】【分析】设这种自行车的进价是每辆x元，根据利润=卖价-进价，列方程即可．【详解】设这种自行车的进价是每辆x元，由题意得，80%（1+45%）x-x=80．故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用-销售问题，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．11．某药店经营的抗病毒药品，在市场紧缺的情况下提价100%，物价部门查处后，•限定其提价的幅度只能是原价的10%，则该药品现在降价的幅度是（）A．45% B．50% C．90% D．95%【答案】A【解析】试题分析：设药品的原价为a元，药品现在降价x，则根据题意可得：a（1+100%）（1-x）=a（1+10%），解得x=45%，故选;A．考点：一元一次方程的应用．12．某公园门票的收费标准如下：有两个家庭分别去该公园游玩，每个家庭都有5名成员，且他们都选择了最省钱的方案购买门票，结果一家比另一家少花40元，则花费较少的一家花了（）元.A．300 B．260 C．240 D．220【答案】B【解析】【分析】根据题意，分情况讨论：若花费较少的一家的购票方案为5人团购，则另一家花费340元，据此组合验证是否能凑成整数张成人票和儿童票；若花费较少的一家的购票方案是成人票和儿童票分开购买，则可根据题意设未知数，列方程求解并验证．若花费较少的一家是60×5=300（元），则花费较多的一家为340元，经检验可知，成人和儿童共5张票无法组合成340元．设花费较少的一家花了x 元，则另一家花了40x +元，根据题意得：40=605x +⨯解得：260x =检验可知，该家庭有1个成人，4个儿童，共花费100+40×4=260（元）； 故选：B ． 【点睛】本题考查一元一次方程应用，理清题意，找准等量关系，正确列出方程是解题关键．13．下列等式的变形中，正确的有（ ） ①由53x =得53x =；②由a=b 得，-a=-b ；③由a b c c =得a b =；④由m n =得m 1n = A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B 【解析】 【分析】本题需先根据等式的性质对每一选项灵活分析，即可得出正确答案. 【详解】①若53x =，则35x =故本选项错误 ②若由a=b 得，-a=-b ，则-a=-b 故本选项正确 ③由a bc c=，说明c ≠0，得a b =故本选项正确 ④若m n =≠0时，则m1n=故本选项错误 故选:B 【点睛】本题考查了等式的基本性质，在已知等式等号两边同时加减或乘除等式是否仍然成立.14．已知∠1：∠2：∠3=2：3：6，且∠3比∠1大60°，则∠2=（ ） A ．10° B ．60°C ．45°D ．80°【答案】C 【解析】 【分析】根据∠1：∠2：∠3=2：3：6，则设∠1=2x ，∠2=3x ，∠3=6x ，再根据∠3比∠1大60°，列出方程解出x 即可. 【详解】解：∵∠1：∠2：∠3=2：3：6， 设∠1=2x ，∠2=3x ，∠3=6x ， ∵∠3比∠1大60°， ∴6x-2x=60， 解得：x=15， ∴∠2=45°， 故选C. 【点睛】本题是对一元一次方程的考查，准确根据题意列出方程是解决本题的关键.15．若代数式x ＋2的值为1，则x 等于( ) A ．1 B ．－1C ．3D ．－3【答案】B 【解析】 【分析】 列方程求解． 【详解】解：由题意可知x+2=1，解得x=-1， 故选B ． 【点睛】本题考查解一元一次方程，题目简单．16．将方程247236x x ---= 去分母得 ( ) A ．2﹣2(2x-4)= - (x-7) B ．12﹣2(2x ﹣4)=﹣x ﹣7 C ．12﹣4x ﹣8= - (x-7) D ．12﹣2(2x ﹣4)= x ﹣7【答案】D 【解析】 【分析】根据原方程可知将其两边同时乘以各分母的最小公倍数6即可求得相应的答案. 【详解】∵原方程分母的最小公倍数为6，∴原方程两边同时乘以6可得：()122247x x --=-， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了一元一次方程中去分母的运算，熟练掌握相关方法是解题关键17．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（ ） A ．24里 B ．12里C ．6里D ．3里【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：设第一天走了x 里，则根据题意知234511111137822222x ⎛⎫+++++= ⎪⎝⎭，解得x=192，故最后一天的路程为5119262⨯=里. 故选C18．某车间有22名工人每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套 ，设有x 名工人生产螺钉，其他工人生产螺母，根据题意列出方程（ ） A ．20001200(22)x x =- B ．212002000(22)x x ⨯=- C ．220001200(22)x x ⨯=- D ．12002000(22)x x =-【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题目中已经设出每天安排x 个工人生产螺钉，则（22-x ）个工人生产螺母，由1个螺钉需要配2个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程 【详解】设每天安排x 个工人生产螺钉，则（22-x ）个工人生产螺母，利用一个螺钉配两个螺母． 由题意得：2×1200x=2000（22-x ）， 故选：B ． 【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键在于根据题意列出方程．19．已知方程3x –2y=5，把它变形为用含x 的代数式表示y ，正确的是（ ）A ．y=352x - B ．y=352x + C ．y=352-+x D ．y=352--x 【答案】A 【解析】 【分析】根据等式的性质，把x 看做已知数求出y 即可.【详解】解：方程3x –2y=5 解得：y=352x - 故选：A. 【点睛】本题主要考查了等式的性质，解题的关键是将x 看做已知数求出y.20．某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25％，求这种服装的成本价．设这种服装的成本价为x 元，则得到方程（ ） A ．0150250x =⨯B ．0251500x ⋅=C ．0015025xx -= D ．0150250x -= 【答案】C 【解析】 【分析】等量关系为：成本×（1+利润率）=售价，把相关数值代入即可 【详解】解：设这种服装的成本价为x 元，那么根据利润=售价-成本价， 可得出方程：150-x=25%x ；15025%xx-= 故应选C。

方程复习一、一元一次方程归纳1：有关概念一元一次方程的概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程．2、方程的解：能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解．3、一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项．基本方法归纳：判断一元一次方程时只需看未知数的个数及未知数的次数为1即可；方程的解只需带入方程看等式是否成立即可．注意问题归纳：未知数的系数必须不能为零．【例1】（2017湖南省永州市）x=1是关于x的方程2x﹣a=0的解，则a的值是（）A．﹣2B．2C．﹣1D．1归纳2：一元一次方程的解法1、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式．2、解一元一次方程的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．基本方法归纳：根据解一元一次方程的步骤计算即可．注意问题归纳：利用等式的性质2时注意：除数不能是零；解方程去分母时应该每项都乘；去括号时注意应该变号．【例2】解方程：305 64x x--=．归纳3：一元一次方程的应用1、列一元一次方程解应用题的一般步骤：（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．（4）解方程．（5）检验，看方程的解是否符合题意．（6）写出答案．2、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．【例3】（2017湖南省常德市）收发微信红包已成为各类人群进行交流联系，增强感情的一部分，下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．请问：（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？（2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？练习题：1．（2017浙江省杭州市）设x ，y ，c 是实数，（ ）A ．若x =y ，则x +c =y ﹣cB ．若x =y ，则xc =ycC ．若x =y ，则cy c x = D ．若c y c x 32=，则2x =3y 2．（2016内蒙古包头市）若2（a +3）的值与4互为相反数，则a 的值为（ ） A ．﹣1 B ．72-C ．﹣5D ．12 3.（2017丽水）若关于x 的一元一次方程x ﹣m +2=0的解是负数，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≥2B ．m ＞2C ．m ＜2D ．m ≤24.（2017云南省）已知关于x 的方程2x +a +5=0的解是x =1，则a 的值为 ．5.（2016内蒙古赤峰市）甲乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向运动．若甲的速度是乙的速度的2倍，则甲运动2周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度3倍，则甲运动32周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度4倍，则甲运动43周，甲、乙第一次相遇，…，以此探究正常走时的时钟，时针和分针从0点（12点）同时出发，分针旋转 周，时针和分针第一次相遇．6.（2017安徽省）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物、人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？二、二元一次方程归纳1：二元一次方程的有关概念1、二元一次方程：含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程．2、二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解．3、二元一次方程组：两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．4二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．基本方法归纳：判断一个方程是不是二元一次方程关键看未知数的个数和未知项的最高次数；判断方程组的解只需带入方程组组看是不是成立即可．注意问题归纳：判断一个方程是不是二元一次方程特别注意是：未知项的最高次数而不是未知数的次数．【例1】（2017四川省眉山市）已知关于x，y的二元一次方程组231ax byax by+=⎧⎨-=⎩的解为11xy=⎧⎨=-⎩，则a﹣2b的值是（）A．﹣2B．2C．3D．﹣3归纳2：二元一次方程的解法基础知识归纳：解一元二次方程组的方法（1）代入法（2）加减法基本方法归纳：解一元二次方程组的方法关键是消元．当一个未知数能很好的表示出另一个未知数时，一般采用代入法；当两个方程中的同一个未知数的系数相等或互为相反数时，或者系数均不为2时，一般采用加减消元．注意问题归纳：根据题意选择适当的方法快速求解，注意计算中的错误．【例2】（2017广东省广州市）解方程组：5 2311x yx y+=⎧⎨+=⎩．归纳3：二元一次方程组的应用基础知识归纳：1、列二元一次方程组解应用题的一般步骤：（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．（3）列方程组，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程组．（4）解方程组．（5）检验，看方程组的解是否符合题意．（6）写出答案．2、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程组→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程组再解方程组最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．【例3】上网流量、语音通话是手机通信消费的两大主体，目前，某通信公司推出消费优惠新招﹣﹣“定制套餐”，消费者可根据实际情况自由定制每月上网流量与语音通话时间，并按照二者的阶梯资费标准缴纳通信【小提示：阶梯定价收费计算方法，如600分钟语音通话费=0.15×500+0.12×（600﹣500）=87元】（1）甲定制了600MB 的月流量，花费48元；乙定制了2GB 的月流量，花费120.4元，求a ，b 的值．（注：1GB =1024MB ）（2）甲的套餐费用为199元，其中含600MB 的月流量；丙的套餐费用为244.2元，其中包含1GB 的月流量，二人均定制了超过1000分钟的每月通话时间，并且丙的语音通话时间比甲多300分钟，求m 的值．【例4】（2017四川省遂宁市）2017年遂宁市吹响了全国文明城市创建决胜“集结号”．为了加快创建步伐，某运输公司承担了某标段的土方运输任务，公司已派出大小两种型号的渣土运输车运输土方．已知一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次共运15吨；3辆大型渣土运输车和8辆小型渣土运输车每次共运70吨．（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次各运土方多少吨？（2）该渣土运输公司决定派出大小两种型号渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于148吨，且小型渣土运输车至少派出7辆，问该渣土运输公司有几种派出方案？（3）在（2）的条件下，已知一辆大型渣土运输车运输话费500元/次，一辆小型渣土运输车运输花费300元/次，为了节约开支，该公司应选择哪种方案划算？练习题：1．（2016贵州省毕节市）已知关于x ，y 的方程22146m n m n x y --+++=是二元一次方程，则m ，n 的值为（ ）A ．m =1，n =﹣1B ．m =﹣1，n =1C ．m =13，n =43-D ．m =13-，n =432．（2017浙江省嘉兴市）若二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+4533y x y x 的解为⎩⎨⎧==b y a x ，则a ﹣b =（ ） A ．1 B ．3 C ． 41-D ．47 3.（2017内蒙古包头市）若关于x 、y 的二元一次方程组325x y x ay +=⎧⎨-=⎩的解是1x b y =⎧⎨=⎩，则b a 的值为 ．4.（2016广西钦州市）若x ，y 为实数，且满足2(2)0x y +=，则y x 的值是 ．5.（2016四川省达州市）已知x ，y 满足方程组52251x y x y -=-⎧⎨+=-⎩，求代数式2()(2)(2)x y x y x y --+-的值． 6.（2017四川省乐山市）二元一次方程组2322+=-=+x y x y x 的解是 7.（2017内蒙古呼和浩特市）某专卖店有A ，B 两种商品，已知在打折前，买60件A 商品和30件B 商品用了1080元，买50件A 商品和10件B 商品用了840元，A ，B 两种商品打相同折以后，某人买500件A 商品和450件B 商品一共比不打折少花1960元，计算打了多少折？8.（2017四川省南充市）学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人，已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元．（1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？（2）学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，送330名师生集体外出活动，最节省的租车费用是多少？9.（2016湖南省长沙市）2016年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线正式开通运营，该路线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨．（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？（2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不少于148吨，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？三、分式方程☞考点归纳归纳 1：分式方程 的有关概念1、分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．2、分式方程的增根：分式方程化成整式方程解得的未知数的值，如果这个值令最简公分母为零则为增根． 基本方法归纳：判断分式方程时只需看分母中必须有未知数；分式方程的解只需带入方程看等式是否成立即可．注意问题归纳： 未知数的系数必须不能为零；判断一个数增根的条件缺一不可：1、这个数是解化成的整式方程的根，2、使最简公分母为零．【例1】（2017四川省成都市）已知x =3是分式方程2121kx k x x--=-的解，那么实数k 的值为（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．2【例2】（2017四川省泸州市）若关于x 的分式方程2322x m m x x++=--的解为正实数，则实数m 的取值范围是 ．归纳 2：分式方程的解法 1、解分式方程的步骤：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”．它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根．基本方法归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最小公倍数、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．注意问题归纳： 解完方程后一定要注意验根．【例3】（2017上海市）解方程：231133x x x -=--．归纳 3：分式方程的应用 1、分式方程解应用题的一般步骤：（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．（4）解方程．（5）检验，看方程的解是否符合题意．（6）写出答案．2、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．【例4】（2017内蒙古通辽市）一汽车从甲地出发开往相距240km 的乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后比原来的速度加快14，比原计划提前24min 到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度．练习题：1.（2017四川省凉山州）若关于x 的方程2230x x +-=与213x x a=+-有一个解相同，则a 的值为（ ） A ．1 B ．1或﹣3 C ．﹣1 D ．﹣1或32．（2017山东省聊城市）如果解关于x 的分式方程2122m x x x-=--时出现增根，那么m 的值为（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．4 D ．﹣43．（2017黑龙江省龙东地区）已知关于x 的分式方程3133x a x -=-的解是非负数，那么a 的取值范围是（ ） A ．a ＞1 B ．a ≥1 C ．a ≥1且a ≠9 D ．a ≤14.（2017重庆）若数a 使关于x 的分式方程2411a x x +=--的解为正数，且使关于y 的不等式组21322()0y y y a +⎧->⎪⎨⎪-≤⎩的解集为y ＜﹣2，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．165.（2016重庆市）如果关于x 的分式方程1131+-=-+x x x a 有负分数解，且关于x 的不等式组2()43412a x x x x -≥--⎧⎪⎨+<+⎪⎩的解集为x ＜﹣2，那么符合条件的所有整数a 的积是（ ）A ．﹣3B ．0C ．3D ．96.（2017内蒙古赤峰市）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．四、一元二次方程五、一元一次不等式（组）归纳 1：有关概念1．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解．对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集．求不等式的解集的过程，叫做解不等式．3．用数轴表示不等式的方法4．一元一次不等式：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式．5．一元一次不等式组：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集．求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．基本方法归纳：判断不等式（组）时只需看未知数的个数及未知数的次数为1即可；不等式的解只需带入不等式是否成立即可；不等式（组）的解集是所有解得集合．注意问题归纳：不等式组的解集是所有解得公共部分．【例1】如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x y（用“＞”或“＜”填空）．归纳2：不等式基本性质1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．基本方法归纳：观察不等式的变化再选择应用那个性质．注意问题归纳：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．【例2】（2017江苏省常州市）若3x＞﹣3y，则下列不等式中一定成立的是（）A．x+y＞0B．x﹣y＞0C．x+y＜0D．x﹣y＜0归纳3：一元一次不等式（组）的解法1．解一元一次不等式的步骤①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．2．一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集．基本方法归纳：根据解一元一次不等式（组）的步骤计算即可．注意问题归纳：不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．【例3】（2017四川省乐山市）求不等式组21312052x x x x +<⎧⎪+-⎨-≥⎪⎩的所有整数解． 【例4】已知关于x 的不等式组523(1)138222x x x x a +>-⎧⎪⎨≤-+⎪⎩有四个整数解，求实数a 的取值范围． 归纳 4：一元一次不等式（组）的应用1．列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤：（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找不等关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．（3）列一元一次不等式（组） （4）解一元一次不等式（组）．（5）检验，看解集是否符合题意．（6）写出答案．2．解应用题的书写格式：设→根据题意→解一元一次不等式（组）→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到不等关系列出一元一次不等式（组）求解最后检验即可．注意问题归纳：找对不等关系最后一定要检验．【例5】（2017四川省凉山州）为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？（2）设商店所获利润为y （单位：元），购进篮球的个数为x （单位：个），请写出y 与x 之间的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？练习题：1.（2017湖南省株洲市）已知实数a ，b 满足a +1＞b +1，则下列选项错误的为（ ）A ．a ＞bB ．a +2＞b +2C ．﹣a ＜﹣bD ．2a ＞3b篮球 排球 进价（元/个） 80 50 售价（元/个）105 702．（2017山东省泰安市）不等式组29611x x x k +>+⎧⎨-<⎩的解集为x ＜2，则k 的取值范围为（ ） A ．k ＞1 B ．k ＜1 C ．k ≥1 D ．k ≤13.（2017黑龙江省龙东地区）已知关于x 的分式方程3133x a x -=-的解是非负数，那么a 的取值范围是（ ） A ．a ＞1 B ．a ≥1 C ．a ≥1且a ≠9 D ．a ≤14.（2017辽宁省鞍山市）在平面直角坐标系中，点P （m +1，2﹣m ）在第二象限，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＜﹣1B ．m ＜2C ．m ＞2D ．﹣1＜m ＜25.（2016内蒙古包头市）不等式1123x x --≤的解集是（ ） A ．x ≤4 B ．x ≥4 C ．x ≤﹣1 D ．x ≥﹣16.（2016内蒙古巴彦淖尔市）如图，直线l 经过第一、二、四象限，l 的解析式是y =（m ﹣3）x +m +2，则m 的取值范围在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．7.（2017内蒙古通辽市）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥-->+1312112x x x 的整数解是 ． 8.（2017内蒙古呼和浩特市）已知关于x 的不等式21122m mx x ->-． （1）当m =1时，求该不等式的解集；（2）m 取何值时，该不等式有解，并求出解集．。

初中数学解方程所有公式大全解方程是数学中的重要内容之一，主要是通过运用各种方法，求取未知量满足方程条件的值。

下面是初中数学解方程常用的公式：一、一次方程1.二元一次方程的解法：设方程为ax + by = c，求解x和y-当a=0，b=0时，方程无解；-当a=0，b≠0时，方程只有一个解x=c/b，y为任意实数；- 当a≠0，b≠0时，方程有唯一解x=(bc-ad)/(ae-bd)，y=(ce-af)/(ae-bd)2.关于一次方程的常用等价变形：-去括号法则：将等式两边的括号去掉-合并同类项：将等式两边的同类项合并-移项法则：将含有未知量的项移到一个方程的一边，常数项移到另一边-约去常数法则：若方程两边有相同的因数，则可以约去-整理法则：对方程进行化简二、二次方程1. 二次方程的求根公式：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0，它的解为：- 当Δ = b² - 4ac > 0，解为x₁ = (-b + √Δ) / (2a) 和 x₂ = (-b - √Δ) / (2a)- 当Δ = b² - 4ac = 0，解为x₁ = x₂ = -b / (2a)- 当Δ = b² - 4ac < 0，无实数解，解为以√(-Δ) / (2a)为半径的圆的方程2.求解一元二次方程的方法：-因式分解法：将方程变形为二元一次方程，然后利用一次方程的解法求解-完全平方式：将方程变形为(a±b)²=c，然后开方求解三、分式方程1.积和商之和的分式方程：- a/x + b/y = (ax + by) / (xy)- a/x - b/y = (ay - bx) / (xy)- a/x + b/(x+y) = (ax + bx + ay) / (xy)- a/x - b/(x-y) = (ax - bx + ay) / (xy)2.积和商之商的分式方程：- (a/x + b) / (c/x + d) = (ad + bc) / (cd)- (a/x - b) / (c/x - d) = (ad - bc) / (cd)四、根式方程1.求解一元含有根式的方程：-第一步，去除方程中的根式，即将含根式的项移到方程的一边；-第二步，对方程进行整理，使方程中只含有根式的项；-第三步，分别平方得到一个二次方程；-第四步，求解二次方程，得到解；-第五步，验证解是否满足原方程。