动点问题最值

动点问题（最值）1.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒．（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？（2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．2.如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜103）秒．解答如下问题：（1）当t为何值时，PQ∥BO？（2）设△AQP的面积为S，①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．3.如图，在O A B C中，点A在x轴上，∠A O C=60o，O C=4c m．O A=8c m．动点P从点O出发，以1cm／s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时．．从点O出发，以acm／s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒．(1)填空：点C的坐标是(______，______)，对角线OB的长度是_______cm；(2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大?* (3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P 为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．4.如图，⊙C 的内接△AOB 中，AB=AO=4,tan∠AOB=43,抛物线2y ax bx =+经过点A(4，0)与点（-2，6）（1）求抛物线的函数解析式． （2）直线m 与⊙C 相切于点A 交y 轴于点D ，动点P 在线段OB 上，从点O 出发向点B 运动;同时动点Q 在线段DA 上，从点D 出发向点A 运动，点P 的速度为每秒1个单位长，点Q 的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD 时,求运动时间t 的值（3）点R 在抛物线位于x 轴下方部分的图象上，当△ROB 面积最大时，求点R 的坐标.。

与最值有关的几何动点问题一、引言几何动点问题是数学中的一个重要分支，它研究的是在几何图形中，随着某个点的移动，某些量的变化情况。

其中，与最值有关的几何动点问题是其中的一个重要问题，它涉及到了最大值、最小值等数学概念，具有一定的难度和深度。

本文将从不同的角度出发，探讨与最值有关的几何动点问题。

二、与最值有关的几何动点问题1. 最大面积问题在平面直角坐标系中，给定一条直线和一个定点，求以该点为顶点，该直线为一条边的三角形面积的最大值。

解法：设该点坐标为$(x_0,y_0)$，直线方程为$y=kx+b$，则三角形面积为$S=\frac{1}{2}|kx_0-y_0+b|\sqrt{1+k^2}$。

由于$\sqrt{1+k^2}$为常数，因此问题转化为求$|kx_0-y_0+b|$的最大值。

根据绝对值的性质，$|kx_0-y_0+b|$的最大值为该点到直线的距离，即$|kx_0-y_0+b|=\frac{|kx_0-y_0+b|}{\sqrt{k^2+1}}\cdot\sqrt{k^2+1}$。

因此，问题转化为求该点到直线的距离的最大值，即该点到直线的垂线段的长度的最大值。

由于垂线段的长度为$\frac{|kx_0-y_0+b|}{\sqrt{k^2+1}}$，因此问题转化为求该点到直线的垂线段长度的最大值。

根据数学知识可知，该垂线段长度的最大值为该点到直线的垂线段的中点的距离，即$\frac{|kx_0-y_0+b|}{2\sqrt{k^2+1}}$。

因此，三角形面积的最大值为$\frac{1}{2}\cdot\frac{|kx_0-y_0+b|}{2\sqrt{k^2+1}}\cdot\sqrt{1+k^2}=\frac{|kx_0-y_0+b|}{4}$。

2. 最小距离问题在平面直角坐标系中，给定两条不平行的直线，求它们之间的最短距离。

解法：设两条直线的方程分别为$y=k_1x+b_1$和$y=k_2x+b_2$，则它们之间的距离为$\frac{|b_2-b_1|}{\sqrt{k_1^2+1}\sqrt{k_2^2+1}}$。

GFD AEA C BD FBACDB动点问题最值最值问题有四种情形：定点到动点的最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离，和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三边的问题，当两边成一直线最大；几条线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。

一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆的最大或最小距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。

方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的值。

1．如图，△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是（ ） A ．32-B ．13+C ．2D ．13-提示：点M 在以AC 为直径的圆上2．（2015•咸宁）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是边BC 上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG ＞GE ；②AE =BF ；③点G 运动的路径长为π；④CG 的最小值为﹣1．其中正确的说法是 ②③ ．（把你认为正确的说法的序号都填上）提示：G 在以AB 为直径的圆上：正确答案是：②④3、如图，正方形ABCD 的边长为4cm,正方形AEFG 的边长为1cm ，如果正方形AEFG 绕点A旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为 4、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°,M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是 5、如图，等腰直角△ACB ，AC=BC=5，等腰直角△CDP ，且PB=2，将△CDP 绕C 点旋转.（1）求证：AD=PB（2）若∠CPB=135°，求BD ；（3）∠PBC= 时，BD 有最大值，并画图说明； ∠PBC= 时，BD 有最小值，并画图说明.分析：在△ABD 中有：BD ≤AB+AD ，当BD=AB+AD 时BD 最大，此时AB 与AD 在一条直线上，且AD 在BA 的延长线上，又△ACB 是等腰直角三角形，∠CAB=45°，由（1）知∠PBC=∠CAD=180°-45°=135° BD ≥AB-AD ，当BD=AB-AD 时BD 最小，此时，AB 与AD 在一条直线上，且AD 此时∠CAD=45°，所以∠PBC=∠CAD=45°6、如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°,∠BAE=135°,AD=1，2，F 为BE 中点.（1）求CF 的长（2）将△ADE 绕A 旋转一周，求点F 运动的路径长； （3）△ADE 绕点A 旋转一周，求线段CF 的范围.CO ABPE ABC DFD A BC EHGF DAEH G FDA Exy MCM 1M 2A PO B A提示：本题根据中点构造三角形相似，△BOF ∽△BAE,且122OF AE == 7、如图，AB=4，O 为AB 中点，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一动点，以点P 为直角顶点的等腰△PBC （点P ，B ，C 按逆时针方向排列）则线段AC 的取值范围 2≤AP ≤32 提示：发现定等腰直角△AOC 与等腰直角△OBE ，从而得到相似。

动点问题进阶最值微积分1. 引言动点问题是微积分中的重要内容之一。

最简单的动点问题可以描述为一个物体在直线上的运动，而进阶的动点问题则涉及到曲线、平面或者空间中的运动。

本文将介绍动点问题的一些基本概念和方法，并探讨如何利用微积分求解动点问题中的最值。

2. 动点问题基础知识回顾在解决动点问题之前，我们先回顾一下基础知识。

动点是指在一定时间内在空间中运动的一个物体。

我们通常可以用函数来描述动点的位置，该函数称为位置函数。

对于一维情况下的动点，位置函数通常是关于时间的函数，记作x(t)；对于二维或三维情况下的动点，位置函数通常是关于时间的向量函数，记作r(t)。

位置函数的一阶导数表示动点的速度，即v(t)=ddt x(t)或v(t)=ddtr(t)；位置函数的二阶导数表示动点的加速度，即a(t)=d 2dt2x(t)或a(t)=d2dt2r(t)。

3. 动点问题的最值求解方法在动点问题中，我们通常会遇到求解动点轨迹上某一点的最大值或最小值的情况。

这可能涉及到动点的速度、加速度、距离等多个因素。

下面将介绍一些常用的方法来求解这类问题。

3.1 静态分析法静态分析法是最基本的求解最值问题的方法之一。

它通过对位置函数直接进行分析，寻找极值点，并利用极值点附近的性质得出最值点。

静态分析法的基本步骤如下： 1. 找出位置函数在定义域内的导数。

2. 求解导数为零的方程，得到极值点的横坐标。

3. 利用极值点附近的性质判定最值点。

3.2 最值定理最值定理是微积分中的重要定理之一，它给出了连续函数在闭区间上必定存在最值点的条件。

对于动点问题，我们可以利用最值定理来求解最值点的横坐标，然后再通过位置函数得到纵坐标。

最值定理主要有两个版本：费马定理和罗尔定理。

费马定理指出，如果函数f(x)在x=a处取得最值点，则f′(a)=0。

罗尔定理指出，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则存在c∈(a,b)，使得f′(c)=0。

动点问题求最小值的做法思路
1、化动为静：将动点问题转化为静态的几何问题，简化问题，使解题过程更加直观和易于操作。

这种方法适用于多种动点问题，包括但不限于求最值问题。

2、构造比例线段：在某些特定的动点问题中，通过构造比例线段来求解是最直接有效的方法。

这种方法在解决阿氏圆最值模型等题目时尤为常见。

3、利用轴对称性质：初中数学中，利用轴对称的性质可以实现“搬点移线”，从而求解几何图形中的最值问题。

这种方法依赖于基本定理，如两点之间线段最短、三角形任意两边之和大于第三边等。

4、寻找线段的“替身”或“等比替身”：在解决双动点线段问题时，找到一个与原线段长度相等或成比例的线段作为替代，是解题的关键。

这种方法有助于简化问题，找到解决问题的突破口。

5、分类讨论：当动点问题存在多种可能性时，需要进行分类讨论，以确保不遗漏任何可能的情况。

这种方法适用于那些情况复杂、可能存在多种解法的问题。

6、建立直角三角形模型：在某些情况下，通过建立直角三角形模型并利用其性质（如勾股定理）来求解是最有效的策略之一。

这种方法特别适用于涉及圆和直线的问题。

7、动态规划：虽然动态规划主要用于解决算法问题，但其思想也可以应用于某些特定的动点最值问题中。

通过定义状态、计算转移方程和确定终止条件，可以有效地求解这类问题。

动点问题——线段最值动点问题中，经常要求线段的最值。

首先要弄清动点的运动轨迹，从哪里到哪里，是直线还是曲线，有没有特殊位置；然后根据图形特征找解决问题途径。

一般来说，能找到图中求最值的位置，就按特殊位置的特征求最值；若找不到图中最值的特殊位置，最好建立函数，用函数思想解决最值问题。

一、找到特殊位置，求线段最值（或动点路程）1、(2019泰安)如图，矩形ABCD 中，AB =4,AD =2,E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是。

分析：取DE ,DC 中点分别为M ,N .点F 从E 运动到点C ，则点P 从点M 运动到点N .根据“垂线段最短”，当BP 垂直于MN 时，PB 最小。

作BH ⊥MN 垂足为H .当点P 与点H 重合时，PB 最小。

PB =BH∠CEB =∠EBH =045 122PB DE =+ 12222=⨯+ 22=说明：从起点到终点，先找出点P 的运动轨迹，再分析最值。

2、(2019宿迁)如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1,F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边三角形EFG ，连接CG ,则CG 的最小值为 分析：点F 在起点B 处时，作等边'EBB ∆,连接'B G ，得射线''B F ,点G 在其上运动。

∵ 'BE B E =,'''BEB B EF FEG B EF ∠+∠=∠+∠,EF EG =∴△EBF ≌△'EB G∴∠'GB E =∠FBE =090. 当点'B 在EF 上时，CG ⊥'B G ，CG 最小。

（根据“垂线段最短”） 35122CG =+= 3、（2019桂林）如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =3，点P 是AD 边上的一个动点，连接BP ，作点A 关于直线BP 的对称点1A ，连接1A C ,设1A C 的中点为Q ，当点P 从点A 出发，沿边AD 运动到点D 时停止运动，点Q 的运动路径长为。

动点与最值问题解题技巧【实用版4篇】篇1 目录1.动点与最值问题概述2.动点与最值问题的解题技巧3.动点与最值问题的应用篇1正文一、动点与最值问题概述动点与最值问题是数学中的一类常见问题，主要涉及到点在平面直角坐标系中的运动以及函数的最值求解。

这类问题通常需要结合几何知识、函数知识以及代数知识进行求解。

二、动点与最值问题的解题技巧1.理解问题：仔细阅读题目，理解问题的含义和限制条件，明确求解的目标。

2.建立模型：根据问题建立合适的数学模型，可以使用函数、方程、几何图形等方法。

3.求解模型：使用数学工具和方法求解模型，得到结果。

4.验证结果：验证所得结果是否符合问题要求，是否具有实际意义。

三、动点与最值问题的应用动点与最值问题在生活和工程中有着广泛的应用。

例如，在建筑设计、桥梁设计、道路设计等领域中，需要考虑动点的运动和最值问题，以保证设计的合理性和可行性。

篇2 目录1.动点与最值问题概述2.动点与最值问题的解题技巧3.动点与最值问题的应用篇2正文一、动点与最值问题概述动点与最值问题是数学中的常见问题，涉及到的知识点包括几何、函数、导数等。

这类问题具有综合性强、难度较大的特点，需要学生具备扎实的基础知识和灵活的解题技巧。

二、动点与最值问题的解题技巧1.理解问题本质：首先需要仔细阅读题目，理解问题的本质，确定动点的运动方式和约束条件。

2.建立数学模型：根据题目中的几何关系和函数关系，建立数学模型，使用几何或函数的方法描述问题。

3.寻找解题方法：根据具体问题选择合适的方法，如代数方法、几何方法、微积分方法等。

4.优化解题过程：在解题过程中，要善于利用各种技巧，如配方、拆项、代入数值等，使解题过程更加简洁。

三、动点与最值问题的应用动点与最值问题在日常生活和工程中都有广泛的应用，如建筑工程中的最短路径问题、交通规划中的最优路径问题等。

篇3 目录1.动点与最值问题的联系与区别2.动点问题的解题技巧3.最值问题的解题技巧篇3正文一、动点与最值问题的联系与区别动点问题与最值问题都是中学数学中常见的几何问题，它们在解题思路上有许多相似之处，但也有一些区别。

点拨：在 Rt△AOB 中，∵∠ABO＝30°，AO＝1，∴AB＝2，BO ＝ 22－12＝ 3，①当点 P 从 O→B 时，如图 1、图 2 所示，点 Q 运动的 路程为 3；②当点 P 从 B→C 时，如图 3 所示，这时 QC⊥AB，则∠ACQ ＝90°，∵∠ABO＝30°，∴∠BAO＝60°，∴∠OQD＝90°－60°＝ 30°，∴cos30°＝ACQQ，∴AQ＝cosC3Q0°＝2，∴OQ＝2－1＝1，则点 Q 运动的路程为 QO＝1；③当点 P 从 C→A 时，如图 3 所示，点 Q 运动的 路程为 QQ′＝2－ 3；④当点 P 从 A→O 时，点 Q 运动的路程为 AO＝1， ∴点 Q 运动的总路程为 3＋1＋2－ 3＋1＝4，故答案为 4
【点评】 本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定 出点A的对称点，从而确定出AP＋PQ的最小值的位置是解题的关键，利 用条件证明△AA′D是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的 计算．
[对应训练] 2．(1)(2016·贵港)如图，抛物线 y＝－112x2＋32x＋53与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C.若点 P 是线段 AC 上方的抛物线上一动点，当 △ACP 的面积取得最大值时，点 P 的坐标是( B ) A．(4，3) B．(5，3152) C．(4，3152) D．(5，3)
解决最值问题的两种方法： (1)应用几何性质： ①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ②两点间线段最短； ③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ④定圆的所有弦中，直径最长. (2)运用代数证法： ①运用配方法求二次三项式的最值； ② 运用一元二次方程根的判别式．
【例 2】 (2016·雅安)如图，在矩形 ABCD 中，AD＝6，AE⊥BD， 垂足为 E，ED＝3BE，点 P，Q 分别在 BD，AD 上，则 AP＋PQ 的最小 值为( D )

(2)(2016·泸州)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(1－a ，0)，C(1＋a，0)(a＞0)，点P在以D(4，4)为圆心，1为半径的圆上运动 ，且始终满足∠BPC＝90°，则a的最大值是___6_．
专题三 动点或最值问题
动点问题是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点的一类问 题，常见的形式是：点在线段、射线或弧线上运动等．此类题的解题方 法：
1．利用动点(图形)位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题， 然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题．
2．利用函数与方程的思想和方法将要解决图形的性质(或所求图形面 积)直接转化为函数或方程．
点拨：∵点 A，B 的坐标分别为(8，0)，(0，2 3)，∴BO＝2 3，AO ＝8，由 CD⊥BO，C 是 AB 的中点，可得 BD＝DO＝12BO＝ 3＝PE， CD＝21AO＝4，设 DP＝a，则 CP＝4－a，
延长 BP 交 CE 于 F，当 BP 所在直线与 EC 所在直线第一次垂直时， ∠FCP＝∠DBP，又∵EP⊥CP，PD⊥BD，∴∠EPC＝∠PDB＝90°，∴ △EPC∽△PDB，∴DPEP＝DPCB，即 a3＝4－3a，解得 a1＝1，a2＝3(舍去)， ∴DP＝1，又∵PE＝ 3，∴P(1， 3)
【点评】 本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定 出点A的对称点，从而确定出AP＋PQ的最小值的位置是解题的关键，利 用条件证明△AA′D是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的 计算．
[对应训练] 2．(1)(2016·贵港)如图，抛物线 y＝－112x2＋32x＋53与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C.若点 P 是线段 AC 上方的抛物线上一动点，当 △ACP 的面积取得最大值时，点 P 的坐标是( B ) A．(4，3) B．(5，3152) C．(4，3152) D．(5，3)

v1.0 可编辑可修改动点问题最值最值问题有四种情形：定点到动点的最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离，和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三边的问题，当两边成一直线最大；几条线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。

一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆的最大或最小距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。

方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的值。

1．如图，△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）A．33-2-B．13+C．2D．1提示：点M在以AC为直径的圆上2．（2015•咸宁）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD 于点F，垂足为G，连结CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值为﹣1．其中正确的说法是②③．（把你认为正确的说法的序号都填上）提示：G在以AB为直径的圆上：正确答案是：②④3、如图，正方形ABCD的边长为4cm,正方形AEFG的边长为1cm，如果正方形AEFG绕点AAB 旋转，那么C、F两点之间的最小距离为4、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°,M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是5、如图，等腰直角△ACB，AC=BC=5，等腰直角△CDP，且PB=2，将△CDP绕C点旋转.（1）求证：AD=PB（2）若∠CPB=135°，求BD；（3）∠PBC= 时，BD∠PBC= 时，BD分析：在△ABD中有：BD≤AB+AD，当BD=AB+AD时BD最大，此时AB与AD在一条直线上，且AD在BA的延长线上，又△ACB是等腰直角三角形，∠CAB=45°，由（1）知∠PBC=∠CAD=180°-45°=135°CABAACCBD ≥AB-AD ，当BD=AB-AD 时BD 最小，此时，AB 与AD 在一条直线上，且AD 在线段AB 上，此时∠CAD=45°，所以∠PBC=∠CAD=45°6、如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°,∠BAE=135°,AD=1， ，F 为BE 中点. （1）求CF 的长（2）将△ADE 绕A 旋转一周，求点F 运动的路径长； （3）△ADE 绕点A 旋转一周，求线段CF 的范围.提示：本题根据中点构造三角形相似，△BOF ∽△BAE,且227、如图，AB=4，O 为AB 中点，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一动点，以点P 为直角顶点的B ，C 按逆时针方向排列）则线段AC提示：发现定等腰直角△AOC 与等腰直角△OBE ，从而得到相似。

初中动点最值问题题型1. 引言初中数学中的动点最值问题题型是一类常见且重要的题型。

在这类题目中，我们需要通过数学方法找到动点在某个过程中取得的最大值或最小值。

这类问题既考察了学生对函数、方程以及图形的理解与运用，也培养了学生解决实际问题的能力。

2. 常见类型初中动点最值问题题型主要包括以下几种类型：2.1 直线上的动点问题在直线上给定两个固定点A和B，求动点P到A、B两点距离之和的最小值或最大值。

这类问题需要运用到距离公式和函数极值的概念。

例题：已知直线上有两个固定点A(3, 0)和B(9, 0)，求动点P到A、B两点距离之和的最小值。

解答：设动点P的坐标为(x, 0)，则AP = |x - 3|，BP = |x - 9|。

所以P到A、B两点距离之和为：S = AP + BP = |x - 3| + |x - 9|。

对于任意实数x，有：- 当x ≤ 3时，S = (3 - x) + (9 - x) = 12 - 2x； - 当3 < x ≤ 9时，S = (x - 3) + (9 - x) = 6； - 当x > 9时，S = (x - 3) + (x - 9) = 2x - 12。

因此，当3 < x ≤ 9时，P到A、B两点距离之和的最小值为6。

2.2 平面内的动点问题在平面内给定两个固定点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，求动点P(x, y)到A、B两点距离之和的最小值或最大值。

这类问题需要运用到距离公式和函数极值的概念。

例题：已知平面上有两个固定点A(1, 2)和B(4, -1)，求动点P到A、B两点距离之和的最小值。

解答：设动点P的坐标为(x, y)，则AP = √((x - 1)² + (y - 2)²)，BP =√((x - 4)² + (y + 1)²)。

所以P到A、B两点距离之和为：S = AP + BP。

根据三角不等式可得：S ≥ |AP - BP|。

1. 在平行四边形中，对角线，相交于点，若、是上两动点，、分别从、两点同时以的相同的速度向、运动．（1）四边形是平行四边形吗？说明你的理由．（2）若，，当运动时间为多少时，以、、、为顶点的四边形为矩形．2. 在矩形中，点是对角线的中点，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为，运动时间为秒，当其中一个动点到达点后就停止运动．（1）若、分别是、的中点，求证：四边形始终是平行四边形．（2）在的条件下，当为何值时，四边形为矩形．（3）若、分别是折线、上的动点，从出发，从出发，与、以相同的速度同时出发，当为何值时，四边形为菱形．3.如图，在矩形中，，点和点分别从点和点出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点和点的速度分别为和，则最快________后，四边形成为矩形．4.如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点运动，同时，点在线段上从点到点运动．则当与全等时，时间为________．5.如图，在矩形中，，点和点分别从点和点出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点和点的速度分别为和，则最快多少秒后，四边形成为矩形？6. 如图，在菱形中，，．动点、分别从点、同时出发，以的速度向点、运动，连接、，取、的中点、，连接、．设运动的时间为．（1）求证：．（2）当为何值时，四边形为菱形．（3）试探究：是否存在某个时刻，使四边形为矩形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．7. 如图，在菱形中，，．动点、分别从点、同时出发，以的速度向点、运动，连接、，取、的中点、，连接、．设运动的时间为秒．（1）求证：．（2）当为何值时，四边形为菱形．（3）试探究：是否存在某个时刻，使四边形为矩形．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．8.如图，在矩形中，，，是边上一点，于点，于点，求．9. 在矩形中，，、、、分别从、、、出发沿、、、方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止，已知在相同时间内，若，则，，．（1）以、、、为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求的值；如果不能，请说明理由．（2）当为何值时，以，为两边，以矩形的边(或)的一部分为第三边构成一个三角形．（3）当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．10.如图，直线的解析式为，与轴交于点，与轴交于点，点为线段上的一个动点，作轴于点，轴于点，连接，则线段的最小值为________．11.如图，在矩形ABCD中，，点E是AD上一个动点，把沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点恰好落在的平分线上时，的长为多少？12.如图，在中，，，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动；同时，动点从点出发沿方向以每秒的速度向终点运动，将沿翻折，点的对称点为点，设点运动的时间为秒，若四边形为菱形，则的值为________．13.如图，，矩形的顶点、分别在边、上，当在边上运动时，随之在边上运动，矩形的形状保持不变，其中，，求运动过程中，点到点的最大距离．14. 已知，、分别在边，上，当在边上运动时，随之在边上运动，且保持．（1）如图，以为底边向外作等腰，使，、运动过程中三角形的形状保持不变，求在运动过程中，点到点的最大距离．（2）如图，若以为边，向外作矩形，，那么在运动过程中，点到点的最大距离为________．参考答案1.（1）【答案】见解析【解析】四边形是平行四边形．理由：四边形是平行四边形，，，、是上两动点，、分别从、两点同时以的相同的速度向、运动，，，四边形是平行四边形．【知识点】对角线互相平分、对角线互相平分的四边形是平行四边形【来源】2017江苏省苏州市常熟市期中测试下学期261.（2）【答案】见解析【解析】根据题意得：，四边形是平行四边形，当时，四边形为矩形．即或，或，解得：或当运动时间为或时，四边形为矩形．【知识点】对角线相等的平行四边形是矩形、图形与几何分类讨论【来源】2017江苏省苏州市常熟市期中测试下学期262.（1）【答案】见解析【解析】证明：四边形是矩形，，，，，，，，分别是，中点，，，，，，在和中，，，，同理：，四边形始终是平行四边形．【知识点】勾股定理、SAS、对边相等、矩形的定义、两组对边分别相等的四边形是平行四边形【来源】2017浙江省宁波市期中测试下学期252.（2）【答案】见解析【解析】解：由得：，，四边形是平行四边形，，当时，平行四边形是矩形，，解得：．【知识点】矩形的定义、动点问题【来源】2017浙江省宁波市期中测试下学期252.（3）【答案】见解析【解析】解：连接、、，如图所示：四边形为菱形，，，，，，四边形是菱形，，设，则，由勾股定理得：，即，解得：，，，即为时，四边形为菱形．但是由于，运动到点后就停止运动，所以应舍去，所以四边形不能为菱形．【知识点】勾股定理、菱形的四条边相等、动点问题、对角线互相平分的四边形是平行四边形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形【来源】2017浙江省宁波市期中测试下学期253.【答案】4【解析】解：设最快秒后，四边形成为矩形，由得．解得，故答案为：．【知识点】对边相等、矩形的定义、动点问题【来源】2017山东省东营市广饶县月测试题25； 2015江苏省南通市启东市期中测试4.【答案】或【解析】解：$$\text{∵}$$，，，$$\text{∴}$$，，，当时，则有，即，解得，当时，则有，即，解得，故答案为：或．【知识点】全等三角形对应边对应角相等、四个角都是直角、图形与几何分类讨论【来源】2014江苏省无锡市滨湖区期中测试165.【答案】见解析【解析】解；设最快秒，四边形成为矩形，由得．解得，故答案为：秒．【知识点】矩形的定义、动点问题、四个角都是直角【来源】2015河南省周口市太康县； 2015河南省周口市太康县期末测试6.（1）【答案】见解析【解析】证明：动点、同时运动且速度相等，，四边形是菱形，，，，在与中，，，，，，，．【知识点】两直线平行，内错角相等、同位角相等，两直线平行、SAS、全等三角形对应边对应角相等、菱形的定义、菱形的四条边相等6.（2）【答案】见解析【解析】过作于，连接，，，，，四边形是平行四边形，、是、的中点，，四边形是菱形，，，，，，四边形是矩形，，，，，，，．【知识点】30°锐角的直角三角形、两组对边分别平行的四边形是平行四边形、有三个角是直角的四边形是矩形、菱形的定义、菱形的四条边相等、菱形的对角线互相垂直平分6.（3）【答案】见解析【解析】不存在，假设存在某个时刻，使四边形为矩形，四边形为矩形，，，即，解得，，与原题设矛盾，不存在某个时刻，使四边形为矩形．【知识点】勾股定理、矩形的对角线相等、菱形的定义7.（1）【答案】见解析【解析】证明：动点、同时运动且速度相等，，四边形是菱形，，，，在与中，，，，，，，．【知识点】两直线平行，内错角相等、同位角相等，两直线平行、SAS、全等三角形对应边对应角相等、菱形的定义、菱形的四条边相等【来源】2016江苏省苏州市昆山市7.（2）【答案】见解析【解析】如图，过作于，连接，，，，，四边形是平行四边形，、分别是、的中点，，四边形是菱形，，，，，，四边形是矩形，，，，，，，．故时，四边形为菱形．【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、两组对边分别平行的四边形是平行四边形、矩形的定义、有三个角是直角的四边形是矩形、菱形的对角线互相垂直平分【来源】2016江苏省苏州市昆山市7.（3）【答案】见解析【解析】不存在，假设存在某个时刻，使四边形为矩形，四边形为矩形，，，即，解得，，与原题设矛盾，不存在某个时刻，使四边形为矩形．【知识点】勾股定理、矩形的定义、四个角都是直角、矩形的对角线相等【来源】2016江苏省苏州市昆山市8.【答案】见解析【解析】利用面积法，由即可得．【知识点】矩形的定义、四个角都是直角、矩形的对角线相等、用面积求线段长度9.（1）【答案】见解析【解析】分别过、做，，，点一定在点的左侧，若要以、、、为顶点的四边形是等腰梯形，则点一定在点右侧，当、点重合时即，，即在左侧时，如图，当时，四边形为等腰梯形，，，所以，(舍)或(舍)，当时，点到达点，停止运动，当时，即点在点左侧，如图分别过，点作，，同理当时，四边形为等腰梯形，，，(舍)或，由可知，当时，四边形为平行四边形，不能为等腰梯形，综上：以、、、为顶点的四边形不能为等腰梯形．【知识点】动点问题、图形与几何分类讨论、矩形的定义、四个角都是直角、等腰梯形定义【来源】2018广东省广州市越秀区广州市铁一中学（含：亚运城（番禺）校区）24； 2009山东省淄博市中考真题；山东省淄博市；实验班提优训练九年级数学上期中综合提优测试卷9.（2）【答案】见解析【解析】当点与点重合或点与点重合时，以，为两边，以矩形的边(或)的一部分为第三边可能构成一个三角形．①当点与点重合时，由，得，(舍去)．因为，此时点与点不重合．所以符合题意．②当点与点重合时，由，得．此时，不符合题意．故点与点不能重合．所以所求的值为．【知识点】三角形的三边关系定理、勾股定理、矩形的定义、四个角都是直角、动点问题、图形与几何分类讨论、一元二次方程的应用-其它问题【来源】2018广东省广州市越秀区广州市铁一中学（含：亚运城（番禺）校区）24； 2009山东省淄博市中考真题；山东省淄博市；实验班提优训练九年级数学上期中综合提优测试卷9.（3）【答案】见解析【解析】由知，点只能在点的左侧，①当点在点的左侧时，由，解得(舍去)，．当时四边形是平行四边形．②当点在点的右侧时，由，解得(舍去)，．当时四边形是平行四边形．所以当或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．【知识点】对边相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、矩形的定义、四个角都是直角、动点问题、图形与几何分类讨论、两组对边分别相等的四边形是平行四边形【来源】2018广东省广州市越秀区广州市铁一中学（含：亚运城（番禺）校区）24； 2009山东省淄博市中考真题；山东省淄博市；实验班提优训练九年级数学上期中综合提优测试卷10.【答案】【解析】解：一次函数中，令，则，令，则，，．轴于点，轴于点，四边形是矩形，且，为定点，在线段上运动，当时，取得最小值，此时最小，，点坐标为，，，由勾股定理得：，，．故答案为：．【知识点】勾股定理、动点问题、一次函数的实际应用-与几何知识相结合、矩形的定义、有三个角是直角的四边形是矩形【来源】2017浙江省台州市椒江区台州市书生中学期中测试下学期1611.【答案】或【解析】解:过点作，，∴四边形是矩形，平分∴矩形是正方形即或或考点:折叠问题，矩形与正方形的性质【知识点】四个角都是直角、矩形的对角线相等、四条边相等，四个角相等、对角线互相垂直平分且相等、图形翻折【来源】2015江苏省苏州市吴江市吴江市青云中学期中测试上学期2612.【答案】2【解析】解：作于，于，如图，，，，，为等腰直角三角形，，和为等腰直角三角形，，，，四边形为矩形，，，，在中，，在中，，四边形为菱形，，，，(舍去)，的值为．故答案为：．【知识点】勾股定理、直角三角形-等腰直角三角形、矩形的定义、菱形的定义、动点问题【来源】2017浙江省宁波市鄞州区期中测试下学期1913.【答案】见解析【解析】解：如图，取的中点，连接、、，，当、、三点共线时，点到点的距离最大，此时，，，，，的最大值为：．【知识点】三角形的三边关系定理、勾股定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半、矩形的定义、四个角都是直角【来源】2012山东省济南市14.（1）【答案】见解析【解析】解：如图，取的中点，连接．，．点是边中点，，；连接，，有，当、、共线时，有最大值，最大值是，又为直角三角形，为斜边的中点，，，即．故答案为：．【知识点】三角形的三边关系定理、三线合一、勾股定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半、动点问题【来源】2015山东省青岛市14.（2）【答案】【解析】解:如图，取的中点，连接、、，，当、、三点共线时，点到点的距离最大，此时，，，，，的最大值为:．学而思网校——智能题库【知识点】三角形的三边关系定理、勾股定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半、矩形的定义、四个角都是直角【来源】2015山东省青岛市第 21 页，共 21 页。

动点问题中的最值问题动点问题中的最值问题，听起来是不是有点学术范儿？不过，别担心，今天咱们就像聊家常一样，轻松聊聊这个话题。

想象一下，一个小球在一个平面上自由地滚动，嘿，它的轨迹可能像一条蛇，弯弯曲曲的。

这小球一会儿高一会儿低，正是我们要寻找的“最值”。

说到最值，就是在这条曲线上，哪一点是最高的，哪一点又是最低的。

这就像咱们生活中的起起伏伏，有时候高兴得像个小鸟，有时候又低落得像被压扁的饼干。

我们来看看这个“动点”的概念。

动点就像是你我，都是在不断变化的，瞬息万变。

想象一下，你在操场上奔跑，身边的小伙伴们也是四处跑动，谁快谁慢，谁高谁低，哎，动点问题就是要把这种变化给抓住。

这其中有趣的是，动点的位置和速度总是有关系的。

速度快了，位置就变了，正如我们生活中，抓住机遇的时刻总是稍纵即逝。

所以，要想找到最值，就得对这个动点的路径进行深度剖析，像侦探一样，追踪它的每一个动作。

接着咱们聊聊这个最值问题。

最值就像是人生的巅峰，做的每一个选择都可能导致不同的结果。

有时候我们要爬上高峰，想要达到理想的状态；而嘿，低谷也未必是坏事。

回想一下，考试的时候，复习得特别认真，结果出来后，发现自己意外地得了高分，爽呆了。

但有时候明明准备得很充分，却还是不尽如人意。

最值问题在这里就像一根红线，把我们的经历串联起来，让我们明白如何在这条曲线中找到那个闪光点。

不过，要想在这条动点的曲线上找到最值，得掌握一些小窍门。

得会画图。

对，就是简单的画图。

用纸和笔把动点的轨迹给勾勒出来，像艺术家一样把心中的画卷展现出来。

你会发现，有些地方高得让人咋舌，有些地方则低得令人心痛。

就像在生活中，有些事情让人欢喜，另一些则让人唏嘘。

通过这种方式，我们就能在这幅图中，找出那个“最值”所在。

公式也是不可或缺的。

是的，公式听上去有点乏味，但它们就像调味料，给我们的分析添了不少风味。

比如说，导数的概念，简单来说，就是观察动点在某一点的变化率。

利用导数，我们就能找到那些极值点，找到动点在什么时候达到最高或最低的状态。

初二动点最值问题的常用解法
初二动点最值问题是数学中常见的一类问题，常用的解法包括
几何法、代数法和微积分法。

首先，我们来看看几何法。

对于动点最值问题，我们可以通过
几何方法来解决。

例如，如果问题涉及到平面几何中的最短路径或
最大面积等问题，我们可以通过画图、利用几何性质和相似三角形
等方法来求解动点的最值问题。

这种方法相对直观，适用于一些简
单的动点最值问题。

其次，代数法也是常用的解法之一。

对于一些动点问题，我们
可以建立坐标系，引入变量，列方程，然后通过代数运算来求解动
点的最值问题。

例如，对于直线上的动点问题，我们可以设定动点
的坐标，列出相关方程，然后通过代数运算来求解最值。

这种方法
适用于一些需要进行坐标计算的动点最值问题。

最后，微积分法也是解决动点最值问题的常用方法。

通过对动
点轨迹的函数进行微分，找到函数的极值点，可以求得动点的最值。

这种方法适用于一些需要利用导数性质和极值定理的动点最值问题。

综上所述，初二动点最值问题的常用解法包括几何法、代数法和微积分法。

针对不同的问题，我们可以灵活运用这些方法来求解动点的最值问题。

希望这些解法对你有所帮助。

动点求最值方法总结一、引言动点求最值是一类经典数学问题，在各个学科领域中都有广泛的应用。

它可以通过将问题转化为数学模型，通过解析方法或数值计算方法求解。

本文将对动点求最值的方法进行总结和探讨，深入探究这类问题的解决思路和技巧。

二、常见的动点求最值问题2.1 直线上的动点问题在一条直线上，给定两个固定点A和B，求动点P到A点和B点的距离之和的最小值或最大值。

这类问题可以通过求解P点的坐标来实现。

2.2 平面内的动点问题在平面内，给定固定点A、B和C，求动点P到点A、B、C的距离之和的最小值或最大值。

这类问题涉及到平面几何和三角函数的运用。

2.3 空间内的动点问题在三维空间中，给定固定点A、B和C，求动点P到点A、B、C的距离之和的最小值或最大值。

这类问题需要运用空间几何和向量的知识。

三、解决动点求最值问题的方法3.1 几何解法几何解法是通过绘制几何图形，利用几何性质和定理来解决问题。

在直线上的动点问题中，可以通过绘制线段和圆等图形来分析，确定最值点的位置。

在平面内和空间内的动点问题中，可以借助几何图形的相似性和对称性来求解。

3.2 代数解法代数解法是通过建立方程或运用代数方法来求解问题。

在直线上的动点问题中，可以通过设定P点的坐标，利用距离公式建立相应的方程，并通过求导或配方法求解。

在平面内和空间内的动点问题中，可以利用向量运算和三角函数关系建立方程，然后通过求解方程组来得到最值点的坐标。

3.3 数值计算方法如果问题比较复杂，无法通过几何或代数的方法得到解析解，可以使用数值计算方法进行近似求解。

常用的数值计算方法包括最优化算法、数值优化算法和遗传算法等。

这些方法通过迭代计算，逐步逼近最值点的位置。

四、案例分析4.1 直线上的动点问题案例假设直线上有两个点A(1, 2)和B(3, 4)，求动点P到A点和B点的距离之和的最小值。

通过建立P点的坐标(x, y)，利用距离公式可得：d=√(x−1)2+(y−2)2+√(x−3)2+(y−4)2通过求导可以得到最小值点的坐标：∂d=0∂x∂d=0∂y解得最小值点为P(2, 3)。

GFD ABCEA'MCDABNPCB动点问题最值最值问题有四种情形：定点到动点得最值，动点在圆上或直线上，就就是点到圆得最近距离，与点到直线得最近距离；三角形两边之与大于第三边得问题，当两边成一直线最大；几条线段之与构成一条线段最小；还有就就是对称点最小问题。

一、定点到动点所在圆得最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质就是圆外一点到圆得最大或最小距离，就就是定点与圆心所在直线与圆得交点得两个距离。

方法：证明动点在圆上或者去找不变得特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边得值。

1．如图，△ABC 、△EFG 均就是边长为2得等边三角形，点D 就是边BC 、EF 得中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长得最小值就是（ ） A ．32-B ．13+C ．2D ．13-提示：点M 在以AC 为直径得圆上2．（2015•咸宁）如图，已知正方形ABCD 得边长为2，E 就是边BC 上得动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG ＞GE ；②AE =BF ；③点G 运动得路径长为π；④CG 得最小值为﹣1．其中正确得说法就是 ②③ ．（把您认为正确得说法得序号都填上）提示：G 在以AB 为直径得圆上：正确答案就是：②④3、如图，正方形ABCD 得边长为4cm,正方形AEFG 得边长为1cm ，如果正方形AEFG 绕点A旋转，那么C 、F 两点之间得最小距离为 4、如图，在边长为2得菱形ABCD 中，∠A=60°,M 就是AD 边得中点，N 就是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度得最小值就是5、如图，等腰直角△ACB ，AC=BC=5，等腰直角△CDP ，且PB=2，将△CDP 绕C 点旋转、CABAAA GDDA E（1）求证：AD=PB（2）若∠CPB=135°，求BD ；（3）∠PBC= 时，BD 有最大值，并画图说明； ∠PBC= 时，BD 有最小值，并画图说明、PBC=∠AB 上，6、如图，△ABC 与△ADE °,AD=1，，F 为BE 中点、（1）求CF 得长（2）将△ADE 绕A 旋转一周，求点F 运动得路径长； （3）△ADE 绕点A 旋转一周，求线段CF 得范围、提示：本题根据中点构造三角形相似，△BOF ∽△BAE,且7、如图，AB=4，O 为AB 中点，⊙O 得半径为1，点P 得等腰△PBC （点P ，B ，C 按逆时针方向排列）则线段AC AOC 中，AE-CE ≤AC AE ∥BC 交⊙O 于E ADE9、AB=4，E 为形外一点，且∠点，求BF 连AC,取DC 中点中点H ，则△FGH ∽△∴12GH AD ==∠DEA=90°，∴点F 在以GH 小距离。

两条线段求最值PA+K*PB型1.PA+PB型1.1 两定一动（将军饮马）此类在学生学完对称后就可以适当进行讲解了出现一个动点的解题方法这类试题的解决方法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧。

当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之问线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。

引：如图在直线 l 上找一点 P 使 AP＋BP 最短。

解：（1）如果两点在直线异侧，如图（1），连接 AB 交直线 l 于点 P,则点 P 为所示作的点；（2）如果两点在直线同侧，如图（2），可通过轴对称把问题转化为两点在直线异侧的情况。

证明：如下图所示，从 B 出发向河岸引垂线，垂足为 D，在 BD 的延长线上，取 B 关于河岸的对称点 B'，连结 AB'，与河岸线相交于 P，则 P 点就是所求作的点，只要从 A 出发，沿直线到 P,再由 P 沿直线走到 B，所走的路程就是最短的。

如果在河边的另外任一点 C, 则CB=CB’，但是，AC+CB=AC+CB'>AB'=AP+PB'=AP+PB。

可见，在 P 点外任何一点 C，它与 A、B两点的距离和都比 AP＋PB 都长。

本质：两点之间，线段最短。

【牛刀小试】1．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，P 是 AC 上一动点．则PB＋PE 的最小值是____________．2．如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD＋PE 的和最小，则这个最小值为__________．3．如图，MN 是半径为 1 的⊙O 的直径，点 A 在⊙O 上，∠AMN＝30°，B 为AN 弧的中点， P 是直径MN 上一动点，则 PA ＋ PB 的最小值为_________．4．如图，AB 是⊙O 的直径，AB＝8，点 M 在⊙O 上，∠MAB＝20°，N 是弧 MB的中点，P 是直径 AB 上的一动点．若 MN＝1，则△PMN 周长的最小值为________．5．已知 A(－2，3)，B(3，1)，P 点在 x 轴上，若 PA＋PB 长度最小，则最小值为____________．6．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝60°，点 D 是 BC 边上的点，CD＝1，将△ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，若点 P 是直线 AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是__________。