全等三角形(学生)

华师大版数学八年级上册第13章《全等三角形》教学设计一. 教材分析华师大版数学八年级上册第13章《全等三角形》是学生在学习了平面几何基本概念、三角形、四边形等知识后，进一步研究全等三角形的性质和判定方法。

全等三角形是几何中的重要概念，是解决几何问题的基础。

本章内容主要包括全等三角形的定义、性质、判定方法以及全等三角形的应用。

通过本章的学习，使学生掌握全等三角形的性质和判定方法，培养学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了平面几何基本概念、三角形、四边形等知识，具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。

但全等三角形的学习对于学生来说是一个新的挑战，因为全等三角形的性质和判定方法较为抽象，需要学生能够理解和运用。

此外，学生对于实际问题的解决能力也有待提高。

三. 教学目标1.理解全等三角形的定义和性质，掌握全等三角形的判定方法。

2.能够运用全等三角形的性质和判定方法解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力和解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.全等三角形的定义和性质。

2.全等三角形的判定方法。

3.全等三角形在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探索全等三角形的性质和判定方法。

2.运用多媒体辅助教学，直观展示全等三角形的性质和判定方法。

3.采用小组合作学习，培养学生团队合作精神。

4.注重实践操作，让学生在动手实践中掌握全等三角形的性质和判定方法。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.全等三角形的教学课件。

3.全等三角形的练习题。

4.三角板、直尺、圆规等绘图工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示全等三角形的图片，引导学生思考：什么是全等三角形？全等三角形有哪些性质？2.呈现（10分钟）讲解全等三角形的定义和性质，通过示例演示全等三角形的判定方法。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，运用全等三角形的性质和判定方法解决实际问题。

11.2.1《三角形全等的判定(SSS)》今天我讲课的题目是《三角形全等的判定》（SSS）。

本节课是人教版《义务教育课程标准实验教科书》八年级上册第十一章第二节第一课时的内容。

1.教材的地位与作用：三角形全等的判定是中学教学重要内容之一，是空间与图形的基础知识。

本节内容是学生在认识三角形的基础上，学习了全等三角形的概念、全等三角形的性质后展开的，是证明线段相等、角相等的重要方法，是今后学习多边形等知识的基础。

本节课是三角形全等的判定的第1课时，将为下节课探索三角形全等的其它判定方法打下坚实的基础；同时为今后探索三角形相似的条件提供很好的模式和方法。

2.教学重点难点2.1教学重点：通过探索三角形全等的“边边边”条件，可以让学生经历和体验知识的形成过程，了解数学研究问题的方法，领会数学思想，获得数学活动的经验。

同时提高探究、发现和创新的能力，因此本节课的教学重点为掌握三角形全等的“边边边”的条件。

2.2教学难点：八年级学生年龄、生理及心理特征还不具备独立系统地推理论证几何问题的能力，思维有局限性，考虑问题还不够全面；在此基础上我确定本节课的教学难点为“三角形全等判定的探索过程”和“三角形全等判定的应用”。

3.教学目标（四维目标）1.知识与技能：掌握三角形全等的"边边边"条件, 能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等。

2.数学思考：经历探索三角形全等判定的过程,体验分类讨论的数学思想,体验用操作、归纳得出数学结论的过程。

3.问题解决：通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生合作交流的意识以及发现问题的能力。

让学生学会思考、并注重书写格式的养成。

4.情感态度：通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质。

4.学情分析本节课以全等三角形定义和性质为载体，逐步探究出三角形全等“SSS”的判定方法，它是两个三角形间最简单、最常见的关系。

我所面对的学生是八年级的学生，他们的接受能力比七年级学生强，思维也更加的开阔，但独立解题能力比较差，需要在课堂上进一步的加强与引导，特制订了以下的教法和学法。

模型介绍全等三角形的模型种类多，其中有关中点的模型与垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复.模型一、截长补短模型①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。

如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°，∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。

如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS），可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，又知∠FGC=45°，可证BN∥FG，于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG，所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.模型二、平移全等模型模型三、对称全等模型模型四、旋转全等模型模型五、手拉手全等模型例题精讲模型一、截长补短模型【例1】.如图，AD⊥BC，AB+BD＝DC，∠B＝54°，则∠C＝．变式训练【变式1-1】．如图，点P是△ABC三个内角的角平分线的交点，连接AP、BP、CP，∠ACB＝60°，且CA+AP＝BC，则∠CAB的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．90°【变式1-2】．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．【变式1-3】．如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段AB上，连接CD，∠ADC＝60°，AD＝2，过C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交BC于F．（1）求△CDE的面积；（2）证明：DF+CF＝EF．模型二、平移全等模型【例2】．如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED＝∠B．（1）求证：△AED≌△EBC．（2）当AB＝6时，求CD的长．变式训练【变式2-1】．如图1，A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求证：△AFC≌△DEB．如果将BD 沿着AD边的方向平行移动，如图2，3时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．【变式2-2】．如图，AD，BF O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）求证：点O为BF的中点．【变式2-3】．如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，D在AB上．（1）求证：△AOC≌△BOD；（2）若AD＝1，∠ADC＝60°，求CD的长．模型三、对称全等模型【例3】．如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且D，P，C 在同一条直线上．（1）求∠PAD的度数；（2）求证：P是线段CD的中点．变式训练【变式3-1】．如图，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，AM⊥CD于M，AN⊥BE干N．求证：AM＝AN．【变式3-2】．如图，已知点E、F分别是正方形ABCD中边AB、BC上的点，且AB＝12，AE＝6，将正方形分别沿DE、DF向内折叠，此时DA与DC重合为DG，求CF的长度．【变式3-3】．如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．模型四、旋转全等模型【例4】．如图，已知：AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想线段CD与BE之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想．变式训练【变式4-1】．已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．（1）如图1，点E在BC上，求证：BC＝BD+BE；（2）如图2，点E在CB的延长线上，求证：BC＝BD﹣BE．【变式4-2】．如图所示，已知P是正方形ABCD外一点，且PA＝3，PB＝4，则PC的最大值是3+4．模型五、手拉手全等模型【例5】．如图，△ABC与△ADE是以点A为公共顶点的两个三角形，且AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠CAB＝90°，且线段BD、CE交于F．（1）求证：△AEC≌△ADB．（2）猜想CE与DB之间的关系，并说明理由．变式训练【变式5-1】．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③DE＝DP；④∠AOB＝60°．恒成立的结论有几个（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式5-2】．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．【变式5-3】．（1）如图1，等腰△ABC与等腰△DEC有公共点C，且∠BCA＝∠ECD，连接BE、AD，若BC＝AC，EC＝DC，求证：BE＝AD．（2）若将△DEC绕点C旋转至图2、图3、图4情形时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？实战演练1.如图，已知AB AD =，BC DE =，且10CAD ∠=︒，25B D ∠=∠=︒，120EAB ∠=︒，则EGF ∠的度数为（）A．120︒B．135︒C．115︒D．125︒2．如图，在△AOB 和△COD 中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD 交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM 平分∠AOD，④MO 平分∠AMD．其中正确的结论个数有（）个．A．4B．3C．2D．13．如图，在△ABC 中，∠BAC＝30°，且AB＝AC，P 是△ABC 内一点，若AP+BP+CP 的最小值为4，则BC 2＝．4．正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，CE＝2DE，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，＝6；③EG＝DE+BG；④BG＝GC．其中正确的有（填序号）．CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②S△FGC5．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在D′处．（1）求证：AF＝CF（2）求AF的长度．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延长AB至点D，使DB＝AB，连接CD，以CD为直角边作等腰三角形CDE，其中∠DCE＝90°，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）若AB＝3cm，则BE＝cm．（3）BE与AD有何位置关系？请说明理由．7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是AB的中点，连接CD，过B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，连接AE，过A作AF⊥AE交CD于点F．（1）求证：AE＝AF；（2）求证：CD＝2BE+DE．8．如图：在等腰直角三角形中，AB＝AC，点D是斜边BC上的中点，点E、F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF．（1）若设BE＝a，CF＝b，满足+|b﹣5|＝+，求BE及CF的长．（2）求证：BE2+CF2＝EF2．（3）在（1）的条件下，求△DEF的面积．9．如图1，点C为线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝30°，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP．（1）线段AE与DB的数量关系为；请直接写出∠APD＝；（2）将△BCE绕点C旋转到如图2所示的位置，其他条件不变，探究线段AE与DB的数量关系，并说明理由；求出此时∠APD的度数；（3）在（2）的条件下求证：∠APC＝∠BPC．10．阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如图），怎样证明∠C＞∠B呢？分析：把AC沿∠A的角平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C'处，即AC＝AC'，据以上操作，易证明△ACD≌△AC'D，所以∠AC'D＝∠C，又因为∠AC'D＞∠B，所以∠C＞∠B．感悟与应用：（1）如图（a），在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD平分∠ACB，试判断AC和AD、BC之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b），在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC＝16，AD＝8，DC＝BC＝12，①求证：∠B+∠D＝180°；②求AB的长．11．如图甲，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．（1）李明同学作了如图乙的辅助线，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，如图乙所示，连接PP'，可说明△APP'是直角三角形从而问题得到解决．请你说明其中理由并完成问题解答．（2）如图丙，在正方形ABCD内有一点P，且AP＝，BP＝，PC＝1：类比第一小题的方法求∠BPC的度数，并直接写出正方形ABCD的面积．12．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，∠ADE的度数为．（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若AB＝12，求CF的最大值．。

全等三角形模型（十七）——胖瘦模型（SSA）【条件】如图，AB=AC，点P 在线段BC 上（P 不是线段BC 的中点）胖瘦模型——两条边对应相等，一组角对应相等，两个角互补分析：△APB 与△APC 并不全等AB＝AC 2条边对应相等AP＝AP 1个角相等胖瘦模型∠B＝∠C 2个角互补∠APC＋∠APC＝180°◎结论1：（变胖）如图，△ABQ≌△ACP,AP=AQ思路：取CQ＝BP,△ABP≌△ACQ，AP＝AQ,△ABQ≌△ACP,相当于△ABP(加了△APQ）变胖了，进而△ABQ≌△ACP ○巧○记○口○诀1、变胖（加等腰）2、变瘦（减等腰）3、找中间（加减后得直角三角形）◎结论2：（变瘦）如图，△ABP≌△ACQ,AP=AQ思路：取CQ＝BP,△ABP≌△ACQ，AP＝AQ,相当于△ACP(减了△APQ）变瘦了，进而△ABP≌△ACQ◎结论3：（找中间状态）如图，△ABM≌△ACM思路：过A 作AM⊥BC，垂足为M，则△ABM≌△ACM相当于△ABP（加了△APM）变胖了，相当于△ACP（减了△APM）变瘦了胖的比瘦的多一个等腰三角形，瘦的加了一个直角三角形，胖的减了一个直角三角形【总结】满足的条件为SSA.○巧○记○口○诀见胖瘦，变胖加等腰，变瘦减等腰，中间状态加、减直角三角形。

1．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABE 中，D 、C 分别在AE 、BE 上且CD ＝CB ，AC 平分∠EAB ，CH ⊥AB 于点H ．(1)求证：180ADC B ∠+∠=︒；(2)若AD ＝3，AB ＝8，求AH 的长．2．（2022·江西吉安·八年级期末）如图，AD 平分∠MAN ，DB AM ⊥，DC AN ⊥，垂足分别为B ，C ，E 为线段AB 上一点，在射线AN 上有一点F ，并使得CDF 与BDE 全等，若3BE =，则线段AE 与AF 的有怎样的数量关系，并说明理由．3．（2022·江西抚州·八年级期中）如图，已知点C 是MAN ∠的平分线上一点，CE AB ⊥于E ，B 、D 分别在AM 、AN 上，且2AE AD AB =+．问：1∠和2∠有何数量关系？并说明理由．1．（2022·江苏·八年级单元测试）已知：如图，△ABC 中∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线交于点D ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 的延长线于点F ．(1)求证：BE ＝CF ；(2)若AB=16，CF=2，求AC 的长．2．（2022·江苏·八年级单元测试）在△ABC 中，AB=AC ，过点C 作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB （点B′与点B 在直线AC 的异侧）点D 是射线CB′上一动点（不与点C 重合），点E 在线段BC 上，且∠DAE+∠ACD=90°．(1)如图1，当点E 与点C 重合时，AD 与CB '的位置关系是______，若BC a =，则CD 的长为______；（用含a 的式子表示）(2)如图2，当点E 与点C 不重合时，连接DE ．①用等式表示BAC ∠与DAE ∠之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE ，CD ，DE 之间的数量关系，并证明．3．（2022·吉林四平·八年级期末）如图，已知BN 平分∠ABC ，P 为BN 上的一点，PF ⊥BC 于F ，PA=PC ．(1)求证：∠PCB+∠BAP=180°；(2)线段BF 、BC 、AB 之间有怎样的数量关系？请直接写出你探究的结论：_____________________．1．如图，△ABC 中，AD 平分BAC ∠，DG BC ⊥且平分BC ，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ．(1)证明：BE CF =；(2)如果5AB =，3AC =，求AE 、BE 的长．2．如图，在ABC ∆中，ABC ∠的平分线与ABC ∆的外角ACE ∠的平分线交于点P ，PD AC ⊥于点D ，PH BA ⊥，交BA 的延长线于点H ．(1)若点P 到直线BA 的距离为5cm ，求点P 到直线BC 的距离；(2)求证：点P 在HAC ∠的平分线上．3．如图，在四边形ABCD 中，,AD CD BD =平分,ABC DF BC ∠⊥于F ，DE BA ⊥，交BA 的延长线于点E ．(1)求证：180DAB C ∠+∠=︒；(2)猜想BF 与AB BC 、存在的的数量关系并证明；(3)若,ABD BDC S m S n ==△△，请用含有m ，n 的式子直接写出DFC S 的值．。