「精品」全国版高考数学一轮复习第5章数列第2讲等差数列及其前n项和学案

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1．在等差数列{an}中，a1＝x－2，a2＝x，a3＝2x＋1，则 x ＝____1____． [解析] 由等差数列定义知 2x＝x－2＋2x＋1，解得 x＝1.
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2．在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于 1 的正整数 n， an－ an－1＝ 3，则 an＝__3_n_2____．
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4．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn＝n2＋n＋1.问数列{an}是否 是等差数列？说明你的理由． [解] 当 n＝1 时，a1＝S1＝3.当 n≥2 时， an＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝2n. 所以 an＝32，n，n＝n≥1，2. 所以{an}从第二项起是以 4 为首项，公差为 2 的等差数列．但 对于整个数列不是等差数列．
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(2) 因为 {an}，{bn}为等差数列， 所以b5＋a9 b7＋b8＋a3 b4＝2ab96＋2ab36＝a92＋b6a3＝22ab66＝ab66. 因为 TS1111＝ab11＋ ＋ab1111＝22ab66＝24× ×1111－ －33＝1491， 所以ab66＝4119.
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应用等差数列的性质应注意的两点 (1)在等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q＝2k(m、n、p、q、k∈N*)， 则 am＋an＝ap＋aq＝2ak 是常用的性质． (2)掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应 用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的 突破口．
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第2讲等差数列及其前n项和[最新考纲]1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.知识梳理1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学语言表达式：a n＋1－a n＝d(n∈N*)，d为常数．2．等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为a n＝a1＋(n－1)d. 若等差数列{a n}的第m项为a m，则其第n项a n可以表示为a n＝a m＋(n－m)d. (2)等差数列的前n项和公式S n ＝n a1＋a n2＝na1＋n n－2d.(其中n∈N*，a1为首项，d为公差，a n为第n项)3．等差数列及前n项和的性质(1)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝a＋b 2.(2)若{a n}为等差数列，当m＋n＝p＋q，a m＋a n＝a p＋a q(m，n，p，q∈N*)．(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)a n.(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝nd 2；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．4．等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的区别与联系(2)等差数列前n项和公式可变形为S n＝2n2＋⎝⎛⎭⎪⎫a1－2n，当d≠0时，它是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝d2x2＋⎝⎛⎭⎪⎫a1－d2x上横坐标为正整数的均匀分布的一群孤立的点．辨析感悟1．对等差数列概念的理解(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)(2)等差数列的公差是相邻两项的差．(×)(3)(教材习题改编)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(×)2．等差数列的通项公式与前n项和(4)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.(√)(5)等差数列{a n}的单调性是由公差d决定的．(√)(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(×)3．等差数列性质的活用(7)(2013·广东卷改编)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝20.(√) (8)(2013·辽宁卷改编)已知关于d ＞0的等差数列{a n }，则数列{a n }，{na n }，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n ，{a n ＋3nd }都是递增数列．(×) [感悟·提升]一点注意 等差数列概念中的“从第2项起”与“同一个常数”的重要性，如(1)、(2)．等差数列与函数的区别 一是当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数，当公差d ＝0时，a n 为常数，如(3)；二是公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数，且常数项为0；三是等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的，如(8)中若a n ＝3n －12，则满足已知，但na n ＝3n 2－12n 并非递增；若a n ＝n ＋1，则满足已知，但a n n ＝1＋1n 是递减数列；设a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋m ，则a n ＋3nd ＝4dn ＋m 是递增数列.学生用书第82页考点一 等差数列的基本量的求解【例1】 在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3.解得d ＝－2.从而，a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n . 所以S n ＝n [1＋－2n2＝2n －n 2.进而由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35. 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或－5.又k ∈N *，故k ＝7为所求．规律方法 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．【训练1】 (1)(2013·浙江五校联考)已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10＝( )． A ．85 B ．135 C ．95 D ．23(2)(2013·新课标全国Ⅰ卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．6 解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 则⎩⎨⎧2a 1＋4d ＝4，2a 1＋6d ＝10，解得⎩⎨⎧a 1＝－4，d ＝3.∴S 10＝10×(－4)＋10×92×3＝95. (2)法一 ∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3， ∴a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S n ＝na 1＋n n －2d ＝na 1＋n n －2，得⎩⎪⎨⎪⎧ma 1＋m m －2＝0， ①m －a 1＋m －m －2＝－2， ②由①得a 1＝1－m2，代入②可得m ＝5. 法二 ∵数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 也为等差数列．∴S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0，解得m ＝5.经检验为原方程的解．故选C. 答案 (1)C (2)C考点二 等差数列的判定与证明【例2】 (2014·梅州调研改编)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．审题路线 (1)利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为关于S n 与S n －1的式子⇒同除S n ·S n－1⇒利用定义证明⇒得出结论．(2)由(1)求1S n⇒再求S n ⇒再代入条件a n ＝－2S n S n －1，求a n ⇒验证n ＝1的情况⇒得出结论．(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列．(2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝12n－1n －＝n －1－n 2n n －＝－12n n －.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n n －，n ≥2.规律方法 证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)；二是等差中项法，证明2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．【训练2】已知数列{a n}满足：a1＝2，a n＋1＝3a n＋3n＋1－2n.设b n＝an－2n3n.证明：数列{b n}为等差数列，并求{a n}的通项公式．证明∵b n＋1－b n＝an＋1－2n＋13n＋1－an－2n3n＝3a n＋3n＋1－2n－2n＋13n＋1－3a n－3·2n3n＋1＝1，∴{b n}为等差数列，又b1＝a1－23＝0.∴b n＝n－1，∴a n＝(n－1)·3n＋2n.学生用书第83页【例3】 (1)设S n为等差数列{a n}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝( )．A．－6 B．－4 C．－2 D．2(2)在等差数列{a n}中，前m项的和为30，前2m项的和为100，则前3m项的和为________．解析(1)S 8＝4a3⇒a1＋a82＝4a3⇒a3＋a6＝a3，∴a6＝0，∴d＝－2，∴a9＝a7＋2d＝－2－4＝－6.(2)记数列{a n}的前n项和为S n，由等差数列前n项和的性质知S m，S2m－S m，S3m －S2m成等差数列，则2(S2m－S m)＝S m＋(S3m－S2m)，又S m＝30，S2m＝100，S2m－S m＝100－30＝70，所以S3m－S2m＝2(S2m－S m)－S m＝110，所以S3m＝110＋100＝210. 答案(1)A (2)210规律方法巧妙运用等差数列的性质，可化繁为简；若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a－d，a，a＋d；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．【训练3】 (1)在等差数列{a n}中．若共有n项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n项和S n＝286，则n＝________.(2)已知等差数列{a n}中，S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝________.解析(1)依题意知a1＋a2＋a3＋a4＝21，a n＋a n－1＋a n－2＋a n－3＝67.由等差数列的性质知a1＋a n＝a2＋a n－1＝a3＋a n－2＝a4＋a n－3，∴4(a1＋a n)＝88，∴a1＋a n＝22.又S n＝n a1＋a n2，即286＝n×222，∴n＝26.(2)∵{a n}为等差数列，∴S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，∴2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)．∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2(S6－S3)－S3＝2(36－9)－9＝45.答案(1)26 (2)451．等差数列的判断方法(1)定义法：a n＋1－a n＝d(d是常数)⇔{a n}是等差数列．(2)等差中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(3)通项公式：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列．(4)前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{a n}是等差数列．2．方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解．方法优化4——整体代入法(整体相消法)在数列解题中的应用【典例】(1)(2012·辽宁卷)在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )．A ．58B ．88C ．143D ．176(2)(2013·北京卷)若等比数列{a n }满足：a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.[一般解法] (1)设数列{a n }的公差为d ，则a 4＋a 8＝16，即a 1＋3d ＋a 1＋7d ＝16，即a 1＝8－5d ，所以S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(8－5d )＋55d ＝88－55d ＋55d ＝88.(2)由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，得⎩⎨⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＋a 1q 4＝40，即⎩⎨⎧a 1q ＋q 2＝20，a 1q2＋q 2＝40，解得q ＝2，a 1＝2， ∴S n ＝a 1－q n 1－q＝－2n 1－2＝2n ＋1－2.[优美解法] (1)由a 1＋a 11＝a 4＋a 8＝16，得S 11＝a 1＋a 112＝a 4＋a 82＝11×162＝88.(2)由已知，得a 3＋a 5a 2＋a 4＝q a 2＋a 4a 2＋a 4＝q ＝2， 又a 1＝2，所以S n ＝a 1－q n1－q＝2n ＋1－2.[反思感悟] 整体代入法是一种重要的解题方法和技巧，简化了解题过程，节省了时间，这就要求学生要掌握公式，理解其结构特征． 【自主体验】在等差数列{a n }中，已知S n ＝m ，S m ＝n (m ≠n )，则S m ＋n ＝________. 解析 设{a n }的公差为d ，则由S n ＝m ，S m ＝n ，得⎩⎪⎨⎪⎧S n＝na 1＋nn －2d ＝m ，S m ＝ma 1＋mm －2d ＝n .①②②－①得(m －n )a 1＋m －nm ＋n －2·d ＝n －m ，∵m ≠n ，∴a 1＋m ＋n －12d ＝－1.∴S m ＋n ＝(m ＋n )a 1＋m ＋nm ＋n －2d＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋m ＋n －12d ＝－(m ＋n )． 答案 －(m ＋n )对应学生用书P287基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2013·温州二模)记S n 为等差数列{a n }前n 项和，若S 33－S 22＝1，则其公差d＝( )．A.12B ．2C ．3D ．4 解析 由S 33－S 22＝1，得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝1，即a 1＋d －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋d 2＝1，∴d ＝2.答案 B2．(2014·潍坊期末考试)在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＋a 7＝15，那么a 3＋a 4＋…＋a 9等于( )．A ．21B ．30C ．35D ．40解析由题意得3a6＝15，a6＝5.所以a3＋a4＋…＋a9＝7a6＝7×5＝35.答案 C3．(2013·揭阳二模)在等差数列{a n}中，首项a1＝0，公差d≠0，若a m＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为( )．A．37 B．36 C．20 D．19解析由a m＝a1＋a2＋…＋a9，得(m－1)d＝9a5＝36d⇒m＝37.答案 A4．(2014·郑州模拟){a n}为等差数列，S n为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则S10＝( )．A．40 B．35 C．30 D．28解析设公差为d，则由已知得S 7＝a1＋a72，即21＝a1＋2，解得a1＝1，所以a7＝a1＋6d，所以d＝23.所以S10＝10a1＋10×92d＝10＋10×92×23＝40.答案 A5．(2013·淄博二模)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，满足a13＝S13＝13，则a1＝( )．A．－14 B．－13C．－12 D．－11解析在等差数列中，S 13＝a1＋a132＝13，所以a1＋a13＝2，即a1＝2－a13＝2－13＝－11.答案 D二、填空题6．(2013·肇庆二模)在等差数列{a n}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________. 解析a25－a15＝10d＝66－33＝33，∴a35＝a25＋10d＝66＋33＝99.答案997．(2014·成都模拟)已知等差数列{a n}的首项a1＝1，前三项之和S3＝9，则{a n}的通项a n＝________.解析由a1＝1，S3＝9，得a1＋a2＋a3＝9，即3a1＋3d＝9，解得d＝2，∴a n＝1＋(n－1)×2＝2n－1.答案2n－18．(2013·浙江五校联考)若等差数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*)，若a2∶a3＝5∶2，则S3∶S5＝________.解析S3S5＝a1＋a3a1＋a5＝3a25a3＝35×52＝32.答案3∶2三、解答题9．已知等差数列{a n}的公差d＝1，前n项和为S n.(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；(2)若S5＞a1a9，求a1的取值范围．解(1)因为数列{a n}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列，所以a21＝1×(a1＋2)，即a21－a1－2＝0，解得a1＝－1或2.(2)因为数列{a n}的公差d＝1，且S5＞a1a9，所以5a1＋10＞a21＋8a1，即a21＋3a1－10＜0，解得－5＜a1＜2.故a1的取值范围是(－5,2)．10．设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n＝Snn＋2(n－1)(n∈N*)．(1)求证：数列{a n}为等差数列，并求a n与S n.(2)是否存在自然数n，使得S1＋S22＋S33＋…＋Snn－(n－1)2＝2 015？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．证明(1)由a n＝Snn＋2(n－1)，得S n＝na n－2n(n－1)(n∈N*)．当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝na n－(n－1)a n－1－4(n－1)，即a n－a n－1＝4，故数列{a n}是以1为首项，4为公差的等差数列．于是，a n＝4n－3，S n＝a1＋a n n2＝2n2－n(n∈N*)．(2)由(1)，得Snn＝2n－1(n∈N*)，又S1＋S22＋S33＋…＋Snn－(n－1)2＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)－(n－1)2＝n2－(n－1)2＝2n－1.令2n－1＝2 015，得n＝1 008，即存在满足条件的自然数n＝1 008.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·咸阳模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S4＝40，S n＝210，S n－4＝130，则n＝( )．A．12 B．14 C．16 D．18解析S n－S n－4＝a n＋a n－1＋a n－2＋a n－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋a n)＝120，a1＋a n＝30，由S n＝n a1＋a n2＝210，得n＝14.答案 B2．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝13，S3＝S11，当S n最大时，n的值是( )．A．5 B．6 C．7 D．8解析法一由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7＞0，a8＜0，故n ＝7时，S n最大．法二由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故S n ＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n，根据二次函数的性质，知当n＝7时，S n最大．法三根据a1＝13，S3＝S11，则这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，得只有当n＝3＋112＝7时，S n取得最大值．答案 C二、填空题3．(2014·九江一模)正项数列{a n}满足：a1＝1，a2＝2,2a2n＝a2n＋1＋a2n－1(n∈N*，n≥2)，则a7＝________.解析因为2a2n＝a2n＋1＋a2n－1(n∈N*，n≥2)，所以数列{a2n}是以a21＝1为首项，以d＝a22－a21＝4－1＝3为公差的等差数列，所以a2n＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以a n＝3n－2，n≥1.所以a7＝3×7－2＝19.答案19三、解答题4．(2013·西安模拟)已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n＝Snn＋c，是否存在非零实数c使得{b n}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．解(1)设等差数列{a n}的公差为d，且d＞0，由等差数列的性质，得a2＋a5＝a3＋a4＝22，所以a3，a4是关于x的方程x2－22x＋117＝0的解，所以a3＝9，a4＝13，易知a1＝1，d＝4，故通项为a n＝1＋(n－1)×4＝4n－3.(2)由(1)知S n＝n＋4n－2＝2n2－n，所以b n＝Snn＋c＝2n2－nn＋c.法一所以b1＝11＋c，b2＝62＋c，b3＝153＋c(c≠0)．令2b2＝b1＋b3，解得c＝－1 2 .当c＝－12时，b n＝2n2－nn－12＝2n，当n≥2时，b n－b n－1＝2.故当c＝－12时，数列{b n}为等差数列．法二由b n＝Snn＋c＝n＋4n －2n＋c＝2n⎝⎛⎭⎪⎫n－12n＋c，∵c≠0，∴可令c＝－12，得到b n＝2n.∵b n＋1－b n＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)，∴数列{b n}是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c＝－12，使数列{b n}也为等差数列.学生用书第84页。

第二节 等差数列及其前n 项和1．等差数列的有关概念 (1)定义：①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数． ②符号语言：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2 ，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ． (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2 d ＝n （a 1＋a n ）2． 3．等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．1．两个重要技巧(1)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d .(2)若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．2．三个必备结论(1)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；②S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶 ＝a na n ＋1.(2)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；②S 奇S 偶＝n ＋1n .(3)在等差数列{a n }中，若a 1＞0，d ＜0，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0 的项数m 使得S n 取得最大值S m ；若a 1＜0，d ＞0，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .3．两个函数等差数列{a n }，当d ≠0时，a n ＝dn ＋(a 1－d )，是关于n 的一次函数； S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2 n 是无常数项的二次函数．1．(基础知识：求项数)已知数列{a n }中，a n ＝3n ＋4，若a n ＝13，则n 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6〖答 案〗A2．(基本方法：求公差)已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4〖答 案〗B3．(基本能力：求等差数列的前n 项和)已知等差数列5，427 ，347 ，…，则前n 项和S n＝________．〖答 案〗514(15n －n 2)4．(基本方法：等差中项)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________．〖答 案〗1805．(基本应用：现实生活中的应用)一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面．〖答 案〗20题型一 等差数列的基本能力〖典例剖析〗〖典例〗 (1)(2018·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12 〖解 析〗设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 1＋3×（3－1）2d ＝2a 1＋2×（2－1）2 d ＋4a 1＋4×（4－1）2 d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10. 〖答 案〗B(2)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8〖解 析〗a 4＋a 5＝a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，S 6＝6a 1＋6×52d ＝48，联立⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24， ①6a 1＋15d ＝48， ②①×3－②，得6d ＝24，∴d ＝4. 〖答 案〗C(3)已知等差数列{a n }的各项都为整数，且a 1＝－5，a 3a 4＝－1，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝( )A ．70B ．58C ．51D ．40〖解 析〗设等差数列{a n }的公差为d ， 由各项都为整数得d ∈Z ，因为a 1＝－5，所以a 3a 4＝(－5＋2d )(－5＋3d )＝－1，化简得6d 2－25d ＋26＝0，解得d ＝2或d ＝136(舍去)，所以a n ＝2n －7，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋13＝9＋7×（1＋13）2＝58.〖答 案〗B 方法总结等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．〖对点训练〗1．已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A ．172B ．192C ．10D ．12〖解 析〗设等差数列的首项为a 1，则S 8＝8a 1＋8×（8－1）×12 ＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋4×（4－1）×12＝4a 1＋6，因为S 8＝4S 4，即8a 1＋28＝16a 1＋24，所以a 1＝12 ，则a 10＝a 1＋(10－1)·d ＝12 ＋9＝192 .〖答 案〗B2．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝S 18，则S 22等于( ) A ．0 B ．12 C ．－1D ．－12〖解 析〗设等差数列的公差为d ，由S 4＝S 18得 4a 1＋4×32 d ＝18a 1＋18×172 d ，a 1＝－212d ，所以S 22＝22a 1＋22×212 d ＝22×⎝⎛⎭⎫－212d ＋22×212 d ＝0. 〖答 案〗A题型二 等差数列的判定与证明〖典例剖析〗 类型 1 定义法〖例1〗 (2021·江苏南京模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求a n 的解析式．〖解 析〗(1)证明：因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1，所以S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，又S n ≠0.因此1S n －1S n －1＝2(n ≥2).故由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1 ＝1a 1 ＝2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n ＝1S 1 ＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即S n ＝12n.由于当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1＝－12n （n －1），又因为a 1＝12不适合上式，所以a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12（n ＝1），－12n （n －1）（n ≥2）. 类型 2 等差中项法〖例2〗 已知等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n . 若S 3，S 9，S 6成等差数列，求证：a 2，a 8，a 5成等差数列． 证明：由S 3，S 9，S 6成等差数列，得S 3＋S 6＝2S 9.若q ＝1，则3a 1＋6a 1＝18a 1，解得a 1＝0，这与{a n }是等比数列矛盾，所以q ≠1， 于是有a 1（1－q 3）1－q ＋a 1（1－q 6）1－q ＝2a 1（1－q 9）1－q ，整理得q 3＋q 6＝2q 9.因为q ≠0且q ≠1，所以q 3＝－12 ，a 8＝a 2q 6＝14 a 2，a 5＝a 2q 3＝－12a 2，所以2a 8＝a 2＋a 5，即a 8－a 2＝a 5－a 8，故a 2，a 8，a 5成等差数列． 类型 3 归纳法〖例3〗 (2020·高考全国卷Ⅲ节选)设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n .计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明．〖解 析〗a 2＝5，a 3＝7.猜想a n ＝2n ＋1.证明：由已知可得a n ＋1－(2n ＋3)＝3〖a n －(2n ＋1)〗， a n －(2n ＋1)＝3〖a n －1－(2n －1)〗， …，a 2－5＝3(a 1－3).因为a 1＝3，所以a n ＝2n ＋1.方法总结判定数列{a n }是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n ∈N *，a n ＋1－a n 是同一个常数．(证明用) (2)等差中项法：对任意n ≥2，n ∈N *，满足2a n ＝a n ＋1＋a n －1.(证明用) (3)通项公式法：数列的通项公式a n 是n 的一次函数．(4)前n 项和公式法：数列的前n 项和公式S n 是n 的二次函数，且常数项为0. 提醒 判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断．〖题组突破〗1．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12 ，2a n ＋1 ＝1a n ＋1a n ＋2 (n ∈N *)，则该数列的通项为( )A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n〖解 析〗由2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2 (n ∈N *)可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．首项为1a 1 ＝1，1a 2 ＝2，∴公差d ＝1，∴1a n ＝1＋(n －1)·1＝n ，∴a n ＝1n . 〖答 案〗A2．如果a ，b ，c 成等差数列且不全相等，1a ，1b ，1c 能构成等差数列吗？用函数图象解释一下．〖解 析〗a ，b ，c 成等差数列，通项公式为y ＝pn ＋q 的形式，且a ，b ，c 位于同一直线上，而1a ，1b ，1c 的通项公式为y ＝1pn ＋q 的形式． 其图象不是直线，故1a ，1b ，1c不是等差数列．题型三 等差数列的性质及综合应用〖典例剖析〗 类型 1 通项性质〖例1〗 (1)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8〖解 析〗S 6＝6·（a 1＋a 6）2 ＝3(a 1＋a 6)＝3(a 3＋a 4)＝48，∴a 3＋a 4＝16. 又∵a 4＋a 5＝24， ∴(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)＝8， ∴2d ＝8，∴d ＝4. 〖答 案〗C(2)已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于 ( ) A ．7 B ．3 C ．－1D ．1〖解 析〗由{a n }是等差数列及a 1＋a 3＋a 5＝105， 得3a 3＝105，即a 3＝35，由{a n }是等差数列及a 2＋a 4＋a 6＝99，得3a 4＝99，即a 4＝33， 则公差d ＝a 4－a 3＝－2， 则a 20＝a 3＋(20－3)d ＝35－34＝1. 〖答 案〗D 类型 2 和的性质〖例2〗 (1)一个正项等差数列前n 项的和为3，前3n 项的和为21，则前2n 项的和为( ) A ．18 B ．12 C ．10D ．6〖解 析〗∵{a n }是等差数列， ∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列， 即2(S 2n －S n )＝S n ＋(S 3n －S 2n ). ∵S n ＝3，S 3n ＝21，∴2(S 2n －3)＝3＋21－S 2n ，解得S 2n ＝10. 〖答 案〗C(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. ①求{a n }的通项公式； ②求S n ，并求S n 的最小值．〖解 析〗①设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15. 由a 1＝－7得d ＝2，所以{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －9. ②由①得S n ＝a 1＋a n 2 ·n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16，所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16. 方法总结1．巧用性质，减少运算量是等差数列中计算的重要方法．利用等差数列的性质解题，就是从等差数列的本质特征入手去思考、分析题意，这样做会事半功倍．2．等差数列{a n }的前n 项和S n 存在最值的情况：如果a 1＞0，d ＜0时，数列的项先正(或0)后负，将所有正项(或0)相加，则S n 最大，或者S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2 n 表示开口向下的抛物线，S n 存在最大值． 如果a 1＜0，d ＞0，数列的项先负(或0)后正，将所有的负项(或0)相加，则S n 最小，或者S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2 n 表示开口向上的抛物线，S n 存在最小值． 3．借用通项的邻项变号法：a 1>0，d <0，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0， S n 取得最大值S m ；a 1<0，d >0，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0，S n 取得最小值S m .〖题组突破〗1．(2021·湖北黄冈模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等差数列{b n }的前n 项和为T n ，若S n T n ＝2 018n －13n ＋4，则a 3b 3 ＝( ) A ．528 B ．529 C ．530D ．531〖解 析〗根据等差数列的性质：a n b n ＝S 2n －1T 2n －1 得a 3b 3 ＝S 5T 5 ＝2 018×5－13×5＋4 ＝531.〖答 案〗D2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝________． 〖解 析〗S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列， 即9，27，S 9－S 6成等差数列， ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2×27－9＝45. 〖答 案〗453．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．〖解 析〗由题意，当且仅当n ＝8时S n有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧d ＜0，a 8＞0，a 9＜0， 即⎩⎪⎨⎪⎧d ＜0，7＋7d ＞0，7＋8d ＜0，解得－1＜d ＜－78 .〖答 案〗⎝⎛⎭⎫－1，－78再研高考回归定义与基本公式1．(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n〖解 析〗设首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2，所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5， S n ＝n ·(－3)＋n （n －1）2 ·2＝n 2－4n .〖答 案〗A2．(2020·高考山东卷)将数列{2n －1}与{3n －2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________．〖解 析〗法一(观察归纳法)：数列{2n －1}的各项为1，3，5，7，9，11，13，…；数列{3n －2}的各项为1，4，7，10，13，….观察归纳可知，两个数列的公共项为1，7，13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则a n ＝1＋6(n －1)＝6n －5，故前n 项和为S n ＝n （a 1＋a n ）2 ＝n （1＋6n －5）2＝3n 2－2n .法二(引入参变量法)：令b n ＝2n －1，c m ＝3m －2，b n ＝c m ，则2n －1＝3m －2，即3m ＝2n ＋1，m 必为奇数．令m ＝2t －1，则n ＝3t －2(t ＝1，2，3，…).a t ＝b 3t －2＝c 2t －1＝6t －5，即a n ＝6n －5.以下同法一．〖答 案〗3n 2－2n3．(2020·高考全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝________．〖解 析〗设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＋a 6＝2a 1＋6d ＝2.因为a 1＝－2，所以d ＝1，所以S 10＝10×()－2 ＋10×92 ×1＝25. 〖答 案〗254．(2019·高考全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________.〖解 析〗由a 1≠0，a 2＝3a 1，可得d ＝2a 1，所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝100a 1， S 5＝5a 1＋5×42 d ＝25a 1，所以S 10S 5＝4. 〖答 案〗4素养升华数学文化1．中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( )A ．174斤B ．184斤C ．191斤D ．201斤〖解 析〗用a 1，a 2，…，a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a 1，a 2，…，a 8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴8a 1＋8×72×17＝996，解得a 1＝65，∴a 8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤．〖答 案〗B2．《九章算术》之后，人们学会了用等差数列知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织多少尺布( )A ．12B ．815C ．1631D ．1629〖解 析〗设从第2天起每天比前一天多织d 尺布，则由题意知30×5＋30×292 d ＝390，解得d ＝1629. 〖答 案〗D。

((12))通 前项n 公项式和：公a式n＝：Sa1n＋＝(nn－a1＋1)dnn－2. 1d
na1＋an ＝2 .
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋ (n－m)d (n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)， 则 ak＋al＝am＋an ．
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[规律方法] 等差数列的四个判定方法 (1)定义法：证明对任意正整数 n 都有 an＋1－an 等于同一个常数． (2)等差中项法：证明对任意正整数 n 都有 2an＋1＝an＋an＋2 后， 可递推得出 an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－ a1，根据定义得出数列{an}为等差数列． (3)通项公式法：得出 an＝pn＋q 后，得 an＋1－an＝p 对任意正整 数 n 恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列． (4)前 n 项和公式法：得出 Sn＝An2＋Bn 后，根据 Sn，an 的关系， 得出 an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．
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5．(教材改编)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，S2＝S6，a4＝1， 则 a5＝________.
－1 [由 S2＝S6 得 a3＋a4＋a5＋a6＝0，即 a4＋a5＝0，又 a4＝1， 则 a5＝－1.]
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2．(教材改编)等差数列 11,8,5，…，中－49 是它的第几项( )
A．第 19 项
B．第 20 项
C．第 21 项
D．第 22 项
C [由题意知 an＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14，令－3n＋14 ＝－49 得 n＝21，故选 C．]