喀兴林高等量子力学EX3、4、5

EX1.矢量空间练习 1.1 试只用条件（1）~（8）证明2ψψψ+=，0ψ=O 和1ψψ-=-（）。

（完成人：梁立欢 审核人：高思泽） 证明：由条件（5）、（7）得 11112ψψψψψψ+=+=+=（）只需证明O =0ψ和ψψ-=-)1(这两式互相等价 根据条件（7）00)00(0ψψψψ+=+= 现在等式两边加上)0(ψ-，得)0()00()0(0ψψψψψ-++=-+ 根据条件（4）， 上式左O =-+=)0(0ψψ 根据条件（4）、（2）上式右00)00(0ψψψψψ=O +=-+= O =∴0ψ由O =0ψ，根据条件（4）、（7）得ψψψψψψ-=O =-+=-=)1()11(0 ψψ-=-⇒)1( #练习 1.2 证明在内积空间中若()()ϕψϕψ,,21=对任意ϕ成立，则必有21ψψ=。

（完成人：谷巍 审核人：肖钰斐）证明 由题意可知，在内积空间中若()()ϕψϕψ,,21=对任意ϕ成立，则有(1ψ,)ϕ－(2ψ,)ϕ=0(1) 于是有()0,21=-ϕψψ(2)由于在内积空间中()()ϕψϕψ,,21=对任意ϕ成立，则可取21ψψϕ-=,则有()2121,ψψψψ--=0 成立 （3）根据数乘的条件（12）可知，则必有021=-ψψ（4） 即21ψψ=故命题成立，即必有21ψψ=. #练习1.3 矢量空间运算的12个条件是不是独立的？有没有一条或两条是其余各条的逻辑推论？如有，试证明之。

（完成人：赵中亮 审核人：张伟） 解：矢量空间运算的12个条件是独立的。

#练习 1.4 （1）在第二个例子中若将加法的规定改为：和矢量的长度为二矢量长度之和，方向为二矢量所夹角()︒〈180的分角线方向，空间是否仍为内积空间？ （2）在第二个例子中若将二矢量B A 和内积的定义改为θ或θ，空间是否仍为内积空间？ （3）在第三个例子的空间中，若将内积的定义改为 ()4*43*32*21*1432,m l m l m l m l m l +++=空间是否仍为内积空间？（4）在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为()()⎰⎰==baba dxx x g x f x g x f xdx x g x f x g x f 2**)()()(),()()()(),(或空间是否仍为内积空间？（完成人：张伟 审核人：赵中亮）解：（1）在第二个例子中若将加法的规定改变之后，空间不是内积空间。

练习 12.1. 一维谐振子受微扰21X H ε=的问题，使有严格解的，试仿照正文中的方法，在薛定谔绘景中用近似的方法讨论这一问题，并将结果与严格解比较。

（解答人：李泽超 核对人：熊凯） 解：由题意得：受微扰的一维谐振子的哈密顿量是：()1......................................................................10H H H += ()()2.......21212212220⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=+++AA A A AA X m P m H ωωω ()()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=-=+=+++A A m i P A A m X iP X m m A iP X m m A 222121 ωωωωωω()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=+==+++++ωεττωεεm AA AA A A A A A A m X H 23.........2221谐振子从0=t 时刻起其状态满足薛定谔方程：()()()4.......................................:,10H H H t H t ti +==∂∂其中ψψ0H 的含时本征矢量的展开为：()()()5...........................................21exp ∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=jj t a t j i j t ωψ ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t m i t mt a m ωψ21exp微扰1H 的矩阵元为j H i ，具体的形式为：j AA AA A A A A i j H i +++=++++ τ利用算符A A 和+对本征矢量函数的；上升和下降的性质，得：()()()()()()6..................2121,2,,2j i j i j i i i i i i j H +-+++++-=δδδτ 采用微扰方法近似解薛定谔方程时，薛定谔方程可一化为下式： ()()()()7......................................exp 1t a j H t E E i t a t i j S jj i i ∑⎪⎭⎫⎝⎛-=∂∂将（6）式带入（7）式可得到在题意条件下的微扰方程的表达形式如下：()()()()()()()()()8..21121exp ,2,,2t a i i i i i t E E i t a t i j jj i j i j i j i i ∑+-+++++-⎪⎭⎫⎝⎛-=∂∂δδδτ经化简得：()()()()()()()()()()()()9...212exp 122exp 122t a i i t i t a i t a t i i i i t a dtdi i i i +-++-++--=⇒ωωτ将()t a i 的已知的低级的近似()()t a n i 代入方程的右边，即可以解出高一级的近似()()t a n i 1+。

关于原⼦的电⼦组态、谱项和精细结构\def\vec#1{\boldsymbol{#1}}\def\t#1{\text{#1}}\def\bra#1{\langle#1|}\def\ket#1{|#1\rangle}\def\dirac#1#2{\langle#1|#2\rangle}参考了《原⼦结构理论》(黄时中), 《⾼等量⼦⼒学》(喀兴林), 《物理学中的群论》(Joshi), 《原⼦结构的量⼦理论II》(Slater)。

第⼀本书推导⼗分⼗分详细, 但不提群论。

⽤群论会很直观简洁, 在最后⼀本书第19章有。

可能有错, 姑妄⾔之。

2019-09-30修改。

补充了j-j耦合。

对于单个具有n个电⼦的原⼦, 如果把原⼦核视为⼀个电荷Z的点电荷且不考虑⾃旋(忽略旋-轨耦合和超精细结构), 则⾮相对论的 Schrodinger ⽅程写为\left[\sum_{i=1}^n\left(-\frac{1}{2}\nabla^2_i-\frac{Z}{r_i}\right)+\frac{1}{2}\sum_{i\neq j}\frac{1}{r_{ij}}\right]\Psi(x_1,\cdots,x_N)=E\Psi(x_1,\cdots,x_n)上式左边为系统哈密顿, x_i包含了i电⼦的空间坐标和⾃旋坐标。

Hartree ⽅程和 Hartree-Fock ⽅程Hartree⽅程可以从直觉得到。

先假设多电⼦态写为\Psi=\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)\cdots\psi_n(x_n), 现在要得出各个电⼦的态所满⾜的⽅程。

考虑两电⼦之间的库仑排斥能, 则可以写出各个单电⼦态满⾜的⽅程(组)\left[-\frac{1}{2}\nabla^2_i-\frac{Z}{r_i}+\sum_{i\neq j}\int\frac{|u_j(\vec{r}_j)|^2}{r_{ij}}\text{d}^3\vec{r}_j\right]u_i(\vec{r}_i)=\lambdau_i(\vec{r}_i)其中u_i(x_i)是\psi_i(x_i)的空间部分, 或者说\psi_j(x_i)=u_j(\vec{r}_i)\chi_{j}(\sigma_i), ⽽\chi是⾃旋部分, 这⾥j是态编号, i是电⼦编号。

科普：《定性与半定量物理学》赵凯华《边缘奇迹：相变和临界现象》于渌《QED: A Strange Theory about Light and Matter》Feynman《大宇之形》丘成桐《Gauge Fields, Knots and Gravity》Baez《趣味力学》别莱利曼《趣味刚体力学》刘延柱（小书，挺有意思）考研习题集用超星图书里的那本清华大学编写的普通物理学考研辅导教材(大约这个名字)数学分析：书目：《数学分析教程》常庚哲《数学分析新讲》张筑生《数学分析》卓里奇《数学分析八讲》辛钦《数学分析讲义》陈天权《数学分析习题课讲义》谢惠民等《数学分析习题集》北大版《特殊函数概论》王竹溪线性代数Linear Algebra内容：行列式、矩阵代数、线性方程组、线性空间、线性变换、欧几里得空间、n元实二次型等。

书目：《高等代数简明教程》蓝以中《Linear Algebra and Its Applications》Gilbert Strang《Linear Algebra and Its Applications》Peter D. Lax《Linear Algebra and Its Applications》David C. Lay力学Mechanics先修课程：高等数学内容：质点运动学、质点动力学、动量定理和动量守恒定律、功和能及碰撞问题、角动量、刚体力学、固体的弹性、振动、波动和声、流体力学、相对论简介。

书目：《力学》赵凯华《力学》舒幼生《经典力学》朗道《An Introduction To Mechanics》Daniel Kleppner、Robert Kolenkow狭义相对论：《狭义相对论》刘辽《The Principle of Relativity》Einstein广义相对论：《Einstein Gravity in a Nutshell》Zee《Spacetime and Geometry》Carroll热学Thermology先修课程：力学、高等数学内容：主要包括三部分，以实验为依据、以热力学第零定律、热力学第一定律、热力学第二定律为基本理论的宏观的热力学理论，研究物质宏观热现象和宏观状态变化规律；以气体分子统计物理学，研究大量分子热运动统计规律和热现象的微观实质；以Van der Waals方程和Clapeyron方程，研究气体状态变化及相变规律；以非平衡态理论的分子动理论，研究输运现象的宏观规律。

《探究高等量子力学教材：以喀兴林（sakurai）为例》一、引言在物理学习的道路上，量子力学可谓是一道坎。

它的复杂性和抽象性，常常让学习者望而生畏。

然而，高等量子力学教材的选择对于学习者来说至关重要。

本文将以喀兴林（sakurai）为例，探讨高等量子力学教材的特点和价值。

二、丰富多彩的量子世界喀兴林以其严谨的逻辑和深度的物理内涵而著称，其中所阐释的量子理论更是广为学者所推崇。

在量子理论的世界中，我们能够领略到电子、光子、原子核及其它微观粒子的奇妙世界。

而喀兴林教材娴熟地展现了这一世界的精巧和美妙。

三、探究喀兴林教材的深度喀兴林教材以数学严谨而著称，其中不乏对于量子力学相关数学工具的深入探讨。

从线性代数到泛函分析，在阅读喀兴林教材的过程中，我们不仅能够更好地理解量子力学的物理内涵，而且还能够感受到数学在物理中的重要性。

四、喀兴林教材的广度与实用性除了深度之外，喀兴林教材在广度上也别具特色。

它不仅囊括了量子力学的基本原理和基础知识，还涵盖了许多前沿领域的最新进展。

这为学习者提供了一个更为完整的量子力学知识体系，能够更好地拓展学习者的视野和思维方式。

五、喀兴林教材的个人理解与观点在喀兴林教材的阅读和学习过程中，我迷恋于其中所蕴含的严密逻辑和博大精深的物理内涵。

我深信，只有通过深入学习这样一本高质量、深度和广度兼具的教材，才能够更好地领略量子力学的奥妙。

六、总结与回顾通过对喀兴林教材的全面评估和探究，我们更加全面、深刻地理解了量子力学这一高深领域。

喀兴林教材的独特特色，无疑为学习者提供了一个深入学习量子力学的重要途径。

总结：喀兴林教材作为高等量子力学教材的代表，在深度和广度上都有着突出的表现。

通过深入学习这样一本教材，我们能够更好地理解量子力学的奥秘，提升自己的物理素养和思维方式。

相信在未来的学习和研究中，喀兴林教材将为我们指引新的方向，开启新的视野。

七、喀兴林教材对量子力学学习者的启发喀兴林教材所展现的深度和广度，对于量子力学学习者而言，无疑是一种极大的启发和激励。

量子力学该怎么学?我想对于考物理的同学来说量子是必须的。

我一直在想可能是国内流行的一些教材的失误造成了大多数人对着门学科的难以掌握，就算你能解题，也基本上是概念茫然，当然，有时连题目都不知道什么意思，更不知如何下手，有时，算着算着突然不知道意思了，……其实这些都不是咱们的错。

想起当年本人上课时，量子老师（老牛人）说，“现在教量子的那些人那里懂量子呀！”哥们当时只是笑。

现在才明白果然不错。

其实，目前而言，在下对量子也是刚入点门而已，不过，对于国内的考研量子力学题我现在是把握全部搞定的，要是当初就这么猛就好了.我把一些想法写下来算是抛砖引玉了！正文（一）选书的建议对于量子力学最重要的是概念的清晰把握，只有明白了量子力学的形式体系和核心概念才会觉得的量子好神秘啊！才会在解题时不至于找不到北。

真正的掌握它的概念需要学习Hilbert 空间的知识和Dirac符号体系，又以后者最为重要。

愚蒙认为：第一，优秀的量子力学书的最重要的标准是：深入浅出的讲解Hilbert空间和大量篇幅，透彻的讲授Dirac符号.第二，应该明确指出量子力学的5到6 条基本原理或假设。

第三，关键性的步骤或概念一定要指出。

下面就以上原则分析一下国内的流行教科书1 曾谨言《量子力学导论》2 周世洵《量子力学》3 尹鸿钧《量子力学》4 苏汝铿《量子力学》首先，我想说得是国内没有一本面向初等量子力学的教科书把概念说明白的，尤其，以北大的曾谨言先生《量子力学导论》为首，此书发行量巨大，我上本科时就是用它的。

坦白说。

它的错误很少,但这决不是好书的标准，对于Dirac符号就写了两页，而且语焉不详，关键地方几乎没有说。

我想，就算P A M.Dirac亲临也估计看不太明白。

：），至于曾老师的《量子力学》第一。

二卷，的确详细，不过缺点仍然一样，作为研究生教材，没有完整的理论体系，当字典用到行，可以作参考书，不适合当教材。

复旦的周世洵先生写的《量子力学》相比而言比曾谨言的强了不少，虽然年代久了点，但讲解较为透彻，步骤也详细点，。

高等量子力学喀兴林答案【篇一：量子力学】03 1309050325 吴富贤摘要:给出了不同学者关于量子力学态叠加原理的几种表述,分析比较了关于该原理的有关观点的争议,并对其中的原因进行了讨论，与此同时，也对量子力学在其它方面的应用进行了表述。

关键词:量子态;态叠加原理;量子力学基本问题；量子力学的应用。

一．引言：量子态的叠加原理是量子力学中一个重要的原理.但是在目前量子力学的一些专著和教科书中对这一原理的表述方式却是多种多样的,其中存在不少有争议的问题。

对一些有关的问题进行讨论,并提出一种新的关于这一原理的表述方式的建议。

同时量子力学是现代物理学的两大支柱之一,是20 世纪基础物理学取得的两大成就之一,是反映微观粒子运动规律的理论.量子力学态叠加原理(以下简称态叠加原理)是量子力学的一个基本原理,在量子力学理论体系中占有相当重要的地位.虽然量子力学诞生至今已近80年了,叠加原理也得到了一系列实验的证明,如电子衍射实验、中子干涉实验、电子共振俘获等,但时至今日,人们对态叠加原理的认识却仁者见仁、智者见智.本文对这个问题进行了比较、分析和讨论还对量子力学的应用和发展进行了一些研究。

二．正文：原理的表述在量子力学发展史上,尤其是现行的量子力学专著或教材里,不同的学者对态叠加原理进行了不同的描述.我们选择国内外3种比较典型的说法作一下简单介绍.（1）狄拉克的表述据说,狄拉克1930年在《量子力学原理》一书的初版里,首次系统地论述了量子力学里的态叠加原理.他在此书第一章“态叠加原理”里[4],先是正确地强调了态叠加原理的物理意义:“量子力学的叠加的一般原理,应用于任何一个动力学系统的态.”“把一个态表示成为一些其他态的叠加的结果,那是一种数学运算,总是可以允许的,??然而,这种运算是否有用,取决于所研究问题的特殊物理条件.” 可是,狄拉克接着是这样讲解“叠加过程的非经典本性”的:“我们考虑两个态a和b的叠加,这两个态的性质是??当观察处在态a的系统时,肯定得出一个特定的结果,比方说是a;而当观察处在态b的系统时,则肯定得出一个不同的结果,比方说是b.当观察处在叠加态的系统时??所得到的结果将有时是a,有时是b??而决不会既不是a,又不是b.”然而,狄拉克在这里讲的,不正是对于所有普通统计学都适用的规则吗?例如,一个年级有两个班,a班的年龄分布是集合{a},b班的年龄分布是另一个集合{b}.那么全年级的年龄分布不就是{a}与{b}这两个集合的和集吗?亦即是说,全年级任何一位同学的年龄,都决不会既不属于{a},又不属于{b}.这哪里是什么“非经典本性”呢?由于狄拉克在这里没有把握住量子力学里的态叠加原理的要领,在接下来的一句关于“由叠加而成的态的中间性质”的论断里,就难免出了点毛病[5,6].他自己也不得不为此加了一处脚注,承认他的结论没有普遍性,它的成立是“有一些限制”的.总而言之,在狄拉克书中的第一章里,还没有引入概率幅这个概念,因而不可能讲清楚量子力学里的态叠加原理.可以这样说,在这一章里,还没有进入到量子力学（2）朗道的表述（3）喀兴林的表述态叠加原理对态叠加原理的表述我们还可以列出许多.从这些不同表述中可以看出学者们关于以下几个方面的观点是一致的（1）关于态和态函数的表述基本上大多数人们都认为体系的态(运动状态或状态的简称)是指一个体系的每一种可能的运动方式,即在受到独立的、互不矛盾和完全的条件限制下而确定的每一种运动方式.与宏观体系的运动状态的确定是决定性的相对立,微观体系的运动状态的确定是非决定性的、统计性的,称微观体系的态为量子态.量子态由希尔伯特空间中的矢量表征,称为态矢量.希尔伯特空间又称为态矢量空间或态空间（2）态叠加原理的基本内容（3）量子叠加与经典、数学叠加的区别经典物理中也有叠加原理,例如波的叠加、矢量的叠加等,它们与量子力学里的态叠加原理形式上有相似之处,但实质内容不同.首先经典矢量叠加是物理量的叠加,遵循平行四边形法则;而态矢量无明显的物理意义,且完全由希尔伯特空间中的矢量方向决定,与矢量长度无关.经典波的叠加是两列或多列波的叠加,量子态叠加则是同一体系的两个或多个同时可能的运动状态的叠加.其次,量子态叠加也不同于数学上将体系的一个波函数按一个基函数完备组展开.后者要求基函数完备,但量子叠加不需要相叠加的波函数完备。

凝聚态物理（070205）● 培养方案（一）培养目标和要求1、努力学习马列主义、毛泽东思想和邓小平理论，坚持党的基本路线，热爱祖国，遵纪守法，品德良好，学风严谨，具有较强的事业心和献身精神，积极为社会主义现代化建设服务。

2、掌握坚实宽广的理论基础和系统深入的专门知识，能将物理理论与实际问题关联起来的、具有理论与实践相结合能力的研究与应用性专业人才。

3、积极参加体育锻炼，身体健康。

4、硕士应达到的要求：(1)掌握本学科的基础理论和相关学科的基础知识，有较强的自学能力，及时跟踪学科发展动态。

(2)具有项目组织综合能力和团队工作精神，具有一定的公关能力及和谐的人际关系。

(3)具有强烈的责任心和敬业精神。

(4)广泛获取各类相关知识，对科技发展具有敏感性。

(5)有扎实的英语基础知识，能流利阅读专业文献，有较好的听说写译综合技能。

5、本专业的主要学习内容有：高等量子力学，群论，统计物理和多体理论，量子场论，固体物理，光电子物理，计算机应用，专业英语等课程，另外还要参加教学实习，全国性学术交流会议，撰写毕业论文等实践环节。

硕士生毕业可以继续深造攻读博士学位，或在相关企事业任职。

（二）研究方向1、光电子物理，主要导师：石旺舟教授，杜国平教授，黄磊教授, 谢东珠副教授，秦晓梅副教授2、计算凝聚态理论，主要导师：叶翔副教授3、极化材料与器件，主要导师：刘爱云副教授, 林方婷副教授（三）学制三年（特殊情况下可以适当延长或缩短）（四）课程设置与学分要求1、必修课程：（1）学位公共课程：（每门课程2学分）科学社会主义理论与实践Theory and Practice of Scientific Socialism自然辩证法Dialectics of Nature第一外国语First Foreign Language（2）学位基础课：（每门课程3学分，选四门）高等量子力学Advanced Quantum Mechanics群论Group Theory统计物理与多体理论Statistical Physics and Multibody Theory高等固体物理Solid State Physics量子场论Quantum Field Theory（3）学位专业课：（除专业外语2学分外，其他每门课程3学分）专业外语Specialized Foreign Language微电子器件物理Microelectronic Device Physics光电子学Optoelectronics半导体物理Semiconductor Physics专业计算机编程Computer Programming【注】专业外语为必选课程。

兴林高等量子力学习题EX2.算符EX2.算符2.1证明下列常用公式 （陈玉辉解答 项鹏核对 ） （1）C B A C A B BC A ],[],[],[+= 证明： CB AC A B C BA AB CA AC B BAC ABC BCA BAC BCAABC BC A ],[],[][][],[+=-+-=-+-=-= （2）B C A C B A C AB ],[],[],[+= 证明：BC A C B A B CA AC CB BC A CAB ACB ACB ABC CABABC C AB ],[],[][][],[+=-+-=-+-=-=2.2 若算符B 与],[B A 对易，证明： （陈玉辉解答 项鹏核对 ）],[],[1B A nB B A n n -=证明：],[],[],[],[111---+=⋅=n n n n B A B B B A B B A B A 将n 换成（n-1）,就有],[],[],[221---+=n n n B A B B B A B A],[],[2],[],[],[],[2212211-----+=++=⇒n n n n n n B A B B B A B A B B B A B B A B A重复这种递推过程（n-1）次，即得],[],[],)[1(],[],)[1(],[111)1(11B A nB B A B B B A n B A B B B A n B A n n n n n n n n -------=+-=+-=#练习2.3 证明： （输入人：杜花伟 核对人：王俊美）（1）若A 有逆，a ≠0，则aA 也有逆，且111)(--=A a aA ；（2）若A,B 都有逆，则AB 也有逆，且111)(---=A B AB ； （3）})(1{)(111---+-=+B A B A B A ；（4）⋅⋅⋅+++=--------11121111)(BA BA A BA A A B A λλλ.(λ为复数); 证明：（1）若A 有逆，a ≠0，满足1,111==--aa AA ，则 11111==----AA aa A aAa 所以aA 有逆,且111)(--=A aaA . (2) 若A,B 都有逆,满足1,111==--BB AA ,则 1111==---AA A ABB 所以AB 有逆,且111)(---=A B AB . (3)})(1{})())({(}))({(})({)()(111111111111------------+-=+-++=+-+=+=+=+B A B A B A B B A B A A B A B B A A B A A A B A A A B A(4) 由于1)1(--χ（x 极小,即x →0时）展为级数: ⋅⋅⋅++++=--3211)1(χχχχ故(⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅+++=-=-=----------------111211*********11)1()1()]1([)(BA BA A BA A A BA BA BA A BA A BA A B A λλλλλλλ#2.4 若线性算符A 有逆，{|μ>}（i=1,2,3,…，n ）是A 的有限维的定义域的中的一组完全集。

练习31.1 证明)(b a 与)'(b a 的对易关系（31.4）和)(b a 与)'(b a +的对易关系（31.6）式。

0)()'()'()(=-b a b a b a b a ε （31.4）0)()'()'()(=-++b a b a b a b a ε （31.6）（解答：熊凯 ； 校对：李泽超）证明：将)'()(b a b a 和)()'(b a b a 分别作用在n 粒子基左矢νγβαb b b b n ....;上νγβανγβανγβαεbb b b bb n n n b b b bb b n n n b a b a b b b b n ....';2)2)(1(....';2)2)(1()'()(....;+++=+++= (1)νγβανγβαb b b b bb n n n b a b a b b b b n ....';2)2)(1()'()(....;+++= (2)由)2()1(ε-得：0)()'()'()(=-b a b a b a b a ε（2）将)'()(b a b a +与)()'(b a b a +分别作用在右矢νγβαb b b b n ....;上μγβανγαβνγβανγβανγβανγβαδεδεεδδb b b b b n b b b b b b n b b b b b b n b b b b b b n b b b b b b b n b a n b b b b n b a b a v n ....';)(........';)(....';)(....;)'(....';1)(1....;)'()(2-++-+-+-=++=+ （3）μγβανγαβνγβαμγβνβαγνγαβνγβανγβαδεεδδδεδεεδδb b b b b n b b b b b b n b b b b b b n b b b b b n b b b b b n b b b b b n b b b b b n b b nb a b b b b n b a b a v n v n ....';)(........';)(....';)(]....;1)(........;1)(....;1)(....;1)([1)'(....;)()'(112-++-+-=--++--+--+--=--++ （4）由)4()3(ε-得：)'()()'()'()(b b b a b a b a b a -=-++δε □练习31.2 计算下列对易关系：)]()'()'()(),()([b a b a b a b a b a b a +++ )]()'()'()(),'()'([b a b a b a b a b a b a +++（解答：熊凯 ； 校对：李泽超）解：（1）令)()()(b a b a b N +=为处于b 态的占有数算符由（31.10）、（31.11）两式可得：)'()()](),([b b b a b a b N -=++δ （31.10） )'()()](),([b b b a b a b N --=δ （31.11）)'()]()'()'()([)'()'()()'()()'()'()]'(),([)]'(),()['()]'()'(),([)]'(),([=--=-+--=+==+++++++b b b a b a b a b a b b b a b a b b b a b a b a b a b N b a b N b a b a b a b N b N b N δδδ从上式可以看出当'b b =时中括号为0，'b b ≠时δ函数为0，所以上式为零 因为：)()]'(),()[()()]'()'(),()()[()()]'()'(1),()(1)[()()]'()'(),()()[()()]()()'()'()'()'()()()[()()()()'()'()()()'()'()()()()]()'()'()(),()([22===++==-=-=++++++++++++++++++++++++b a b N b N b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a εεεε上式中第四步计算用到了（31.6）式∴ 0)]()'()'()(),()([=+++b a b a b a b a b a b a(2))}'()'()()()'()'(){'()}'()'()()'()()'()'()'({)}'()'()'()()()'()'()'({)]}(),'()['()()()'()](),'({[)]}()'(),'()[()()'()](),'({[)]()'()(),'([)]()'()'()(),'([)]()'()'()()(),'([)]()'()'()()()(),'([)]())'()'(1)((),'([)]())'()'()''()((),'([)]()'()'()(),'()'([b a b N b a b a b N b a b b b a b N b a b b b a b N b a b b b b b a b N b a b a b N b b b a b a b N b N b a b a b N b a b N b a b N b N b a b a b N b a b N b a b N b a b N b a b a b a b a b N b a b a b a b a b N b N b a b a b a b a b a b a b N b a b a b a b a b N b a b a b a b b b a b N b a b a b a b a b a b a +++++++++++++++++++++++++--=---=---=+=+===+=+=+=+-=εδδδεδδεεεεεεεεεδ从上式可以看出：当'b b =时括号为0，'b b ≠时δ函数为0，所以上式为0∴0)]()'()'()(),'()'([=+++b a b a b a b a b a b a□练习31.3 讨论全同粒子的自旋态，设自旋为1/2的粒子的单粒子z S 的本征矢量为>>βα||和，相应的本征值为2/2/ -+和；ββααa a a a ,,++和分别是α态和β态的产生和消灭算符。

3.1 （做题人：韩丽芳校对人：胡相英）(好)幺正算符也有本征矢量。

证明幺正算符的本征值都是绝对值是1的复数；幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。

证明：设算符U为幺正算符，ψ为其任意本征矢量，u为对应的本征值。

即ψψuU=则ψψψψψψψψuuUUUU*+===因0≠ψψ，所以1=*uu即1=u即证得幺正算符的本征值都是绝对值是1的复数。

设算符U为幺正算符的两个本征值为1u、2u，对应的矢量分别为1ψ、2ψ，且21uu≠。

则111ψψuU=11111ψψuU=-222ψψuU=22211ψψuU=-因为幺正算符1-+=UU则有21212121ψψψψψψuuUU*+==2121211ψψψψuuUU*+==所以1212121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-**ψψuuuu因为012121≠-**uuuu，故021=ψψ，即1ψ和2ψ正交。

即证得幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。

3.2 投影于某一子空间的投影算符P，既然是厄米算符，它的本征值是什么？有无简并？本证子空间是什么？(好)解：投影于某一子空间的投影算符∑==mi iP 1，设全空间是n 维的，且n m <。

则本征值方程ψλψψ==∑=mi iP 1⑴其中λ为本征值， ψ为相应的本征态。

则ψλψλψ22==P P ⑵ 由幺正算符等幂性P P =2得ψψP P=2⑶由⑴、⑵和⑶式得λλ=2，所以1=λ或0=λ。

即求得投影算符的本征值是1或0。

当1=λ时，本征失量是i ，其中m i ,2,1=。

所以是简并的，本征子空间S 是由这m 个基矢构成的矢量空间。

当0=λ时，本征矢量是与i 正交的矢量。

所以也是简并的，本征子空间是S 空间的补空间。

#练习3.3 证明若算符的本征值谱中有零本征值，则这个算符肯定没有逆。

证明：假设算符A 有逆，则在值域中取一任意|φ>，则定义域有|ψ>存在 即ψφφ-==AA 1已知A的全部本征值和相应的本征矢量：i i i a A ψφ= i=1，2，3…，∴()ψψφ--==A a AA算符A 存在零本征值，即00=⇒=φa a∴对于任意本征矢量()ψφa A -≠与()ψφ-=A a 矛盾∴假设不成立，即算符的本征值谱中有零本征值，这个算符肯定没有逆。

高等量子力学总结理论物理张四平学号：220120922061第一章希尔伯特空间1、矢量空间，同类的许多数学对象（实数，复数，数组）在满足一定的要求下构成的系统. 三种运算：加法，数乘，内积。

例: 0 + 2 = 2 + 0 ;2 + 0 =0 即：2 =- 0 （存在逆元）（2 a）b=2（ab）2 （a+b）=2 a+ 2 b （2 ， 0 ）=（ 0 ， 2 ）* （2 ， 0 a）=（ 2 ，0 ）a 矢量的空间性质：零矢量唯一；逆元唯一； 2 （-1 ）=- 2 ；（0 +2 x）=0 x+2 x；2、正交矢量：（2 ，0 ）=0；模方：| 2 || 2 |= （2 ，2）；schwarts 不等式：| （2, 2 ）| 弓2 II 2 | ; 三角不等式：| 2 + 0 I弓2 I+I 0 I;3、基矢n 维空间中有限个矢量集合；一个线性无关的矢量的集合（完全集）；正交归一的完全集；对于同一矢量,左右因子不同, dirac 符号：<2 I0 >=（2 , 0）右矢量满足：I2 >+I0 >=I0 >+I 2 >；I2 >+I0>=I 2 >;I2 >*1=I 2 >；（I2 >+I 0 >）*a=I 2 >a+I 0 >a< 2 I 0 > 为；4、算符：I2>=AI2 >；A（I2>+I0 >）=AI 2 >+AI 0 >；线性算符的性质：定义域是个右矢空间,值域也是个右矢空间；定义域是有限维,值域也是小于等于这个维数；零算符：0I 2 >=I0> ；单位算符：II 2>=I2>；-1算符：AI 2 >=I 0 >；逆算符：A I 0 >=I 2 >；<0 I=<A 2 I=< 2 IA+ （A+为A勺伴算符）；若A有逆，则（A+）-1 =（A-1）+ ;5、等距算符：定义：U+U=l;性质：U+U=l;<U 0 IU 2 >=<0 I 2 > ；IU 2 I=I 2 I；6、幺正算符：定义：U+U=UU+=I或U+=U-1;投影算符：I 2 ><2 I （厄米算符）；7、本证矢和本证值：AI 2 i>=aI 2 i> （i=1，…s ）{I 2 i>}（本证子空间，s重简并）；厄米算符A的本证矢量：不简并的正交，S重简并的本证矢量构成一个s维的子空间，与其他的本证矢量正交；完全性；正交性；定理：有限维空间中,厄米算符的全部本证矢量构成一个完全集；定理：当且仅当两个厄米算符对易时,他们有一组共同的本证矢量完全集；8、表象理论：基矢：厄米算符完备组K={P, H, ... , }. 基矢选他们共同的本证矢, KIi>=kiIi> ；-1相似变换：存在幺正矩阵U: B=UAU, A, B相似.trA=trB , detB=detU+detA , detA=detB ；任何厄米矩阵都可以通过相似变换变成对角矩阵；L 表象：{| & i>} E| & i>< & i|=1K 表象：{| v a>} 爼v a>< v a|=1| v a>=爼£i>Ui a-1| £i>= L| v 0>Uai-1Ya = E U«i 2 iW i = D Ji a 2 a-1A a = EZ U a i AijUj 3Aij= XT Ui a A a U 3一第二章 量子力学基本原理1、 基本原理：原理1:描写微观系统状态的数学量是希尔伯特空间中的矢量，相差一个复数因子的两个矢 量描写同一状态.原理2:1.描写微观系统物理量的是希尔伯特空间中的厄米算符 .2.物理量所能取得值是相应 的本征值.3.物理量A 在状态| “ >中取各值ai 的概率，与态矢量| “ >安人的归一化本证矢量 {|ai>} 的展开式|ai>的系数复平方成正比.原理3.微观系统中的每个粒子的直角坐标下的位置算符 Xi (i=1.2.3 )与相应正则动量有下 列对易关系：[Xi,Xj]=O [Pi,Pj]=O [Xi,Pj]=i(h/2 nZ ij而不同粒子间的所有算符均相互对易 .原理4.微观状态| “ (t)>随时间变化的规律是薛定谔方程 .原理5.描写全同粒子系统的态矢量，对于任意一对粒子的对调，是对称的，或是反对称的，服从前者的粒子是波色子，服从后者的粒子是费米子2、 哈密顿算符不显含时间t 是能量算符.I “(t)>=| “ >f(t).H| 2 i>=Ei| 2 i>定态薛定谔方程能量值确定 .态矢量为：| 2 i(t)>=|i>exp (-iEit/h ).含时间的H 对应薛定谔方程的解为：| 2 (t)>= E |i> Ci exp (-iEit/h ).为各定态矢量的叠加.若已知初态| 2 0>=爼i> Ci则 | 2 (t)>= E |i><i| 2 0>exp (-iEOt/h ).第三章量子力学的基本概念和方法1、一个电子具有自旋角动量 S, s 沿着空间中某一固定方向，只有两个可能的投影值： Sz=< /2 或 Sz=- /2 ;电子磁矩：u=-g (e/2mc ) s电子在外磁场中B 中又相互作用能量：H=-u*B电子的自旋态只能有两个(朝上或朝下)3、相继stern-Gerlach 实验说明：一般的说，测量必定要改变微观客体状态，当加第二个装置Gx 测量Sx 时，原来关于Sz 的信息消失，一个电子的自旋要么按 Sx 分解，要么按Sz 分解，电2、自旋的矩阵表示：Sz=+ ' /2 -> Sz=- ' /2 ->电子的自旋态：| 2 (t)>| < 3= 1 I I _0【0] 2 (t)>=C1(t) a +C2(t) 32 (t)|=C1 (t) a -1 +C2 (t)『子不能同时具有Sz 和Sx.4、 pauli 矩阵 算符z x 和Z y 之间不对易，S= ( ' /2 ) Z0门Z x = I Z y = J 0 一 对易关系：Z * Z =Z 或S*S=S极化矢量：< z >=p=<e (t) I z | “(t)P A 2=Px A 2+Py A 2+Pz A 2=1 ;< Z p>=Px<Z x>+Py< Z y>+Pz<Z z>;P 标志了自旋S 的指向；电子自旋的量子本质表现与 P 矢量始终存在着起伏，用均方偏差度量：<(AZ j )A2> = <( Z j- Z i )A2> = 1-< Z j >A25、 分离谱：A| a =a| a >; < a a >= Sa a ' E | a >< a|=1；连续谱：E I E ‘>= y > ； ‘> = S (匕乂 ‘)； j d t ‘i t ‘><E ' = i ；6、 sxhrodinger 图景：态矢 | ® (t)>含t ，基矢|x>不含t ; Heisenberg 图景：态矢| ® (t)>不含t ，基矢|x>含t ; 一般：H=pA2/2m+V;<x|V|x ' > = V (x ) <x|x ' > = V(x) S (x-x '); <x|pA2/2m|x ' > = dp<x|p>(pA2/2m)<p|x ' >态矢：跟表象无关，跟图景有关；包函数：与表象有关，与图景无关(此为态矢在基矢上的投影) ；7、 基态|0> :基态波函数： 2 0 (x ) = <x|0> ；第一激发态 |1> = a+|0>: 2 1 (x ) = <x ' |1> ；第n 激发态： 2 n (x ) = <x ' |n> ;8、 <( A AA2 )><( A BA2) >》1/4|<[A,B]>|A2 ;对于任意的态矢：| a >= A A|>13>= A B |> ；<(A AA2 )><( A BA2) > >| ( A A , AB ) |人2 ;9、 谐振子不确定关系：基态： <(A xA2)><( A pA2) > = A2/4 ；激发态：<(A xA2 )><( A pA2)> = (n+1/2 ) Q 一 A ?；10、 相干态：也是谐振子的量子态与经典粒子运动最为接近相干态不是N 的本正态，但有确定的粒子数； 不同本证值的相干态一般不正交； 虽不正交，但有完备性； 全部的相干态，过完备性；11、 压缩态：算符：S(r)为幺正算符；在正则变换下：保持了对易关系： [b,b+]=[a,a+]=1;真空态：|0,r>= S(r)|0> ;一般压缩态：|z,r>= D (z ) S (r ) |0> ;12、 经典力学到量子力学： 薛定谔表述形成(波动力学)，重视描述粒子的波粒二象性运动的波 函数，服从薛定谔方程；heisenberg 矩阵力学，重视可观测量，算符；dirac 和feyman 路径积分，着眼于经典作用量和量子力学中相位之间的关系， 重视传播函数 或传播子的作用•基本思想：一个粒子在某一时刻的运动情况决定于他们的过去或一切历史；在复Z 平面上，半经为1/2的圆，面积为1*pi/4，相干态；在复z 平面上的椭圆，面积1*pi/4 测量精度在I 上提高了，在另一个方向降低了，压缩态；第四章对称性和角动量0-1 1 o_ 0 Sz=mz-i1、力学量成算符：{A,B}--->1/i ' [A,B]；[F ，H]--->F为守恒量；F的一个守恒性必与体系的不可观测量的对称性变换直接联系；定态间的跃迁定则；分离对称性；每个定态波函数必有严格的对称性；无限自由度的量子场论：H中某一连续对称性在真空有破坏，真空存在简并，但实际上对称也存在，表现为一个无质量的标量粒子；2、F(r, p)的平均值:<F> = < “ (r) |F I “ (「)>；3、态的无限小转动：自旋为零：| ' (r)> = | “ (R r)>= W (x+y S 別-x S 忆)R(n, S ) = 1-i S *L*n/ 一；L是标量场无穷小生成元；自旋为1/2的粒子波函数：波函数为二分量的旋量：丄(吩)、蚣)=I®2；门=0(x1/2) + ®2(x —1/2)；①'(r)=(1-i S ( /2 Z z+Lz))①(r)/ 一转动算符：(1-i S 0一/2 Z z+Lz))/ '；任意轴：R ( n, S ) = 1- (i S / ) n(( /2 ) S+I)；粒子的总角动量：J= ' /2 S+L, J是旋量场的无限小生成元；4、角动量算符的一般性质：j A2=jx A2+jy A2+jz A2;[j A2,ji] = 0；[jz,j]=i ' j；[j+,j-] = 2 %5、标量算符：F=RFR -- 转动不变；6、若态丨“ >在只乙的作用下不变，贝V Rz| “ > = exp (-i S) | “ >；假定体系在变换Q下具有对称性，| W >=Q| W >，则保持几率不变，运动规律不变；总之：量子力学中一个不可观测量的对称性变换往往联系于一个可观测量的守恒性；7、将体系沿x轴平移一无限小距离，体系具有平移不变性：[Px (s), H] = 0 ；W ' (x) = Dx ( s ) W (x)= W (x- s )；体系沿时间平移一无限小量n :I W ' (t)> = D ( n ) I W (x)>=| W (t+ n )> ； W (x,t)= W (x)exp(-iEt);8、本证态：W (-x) = W (x) 偶宇称态W (-x) = - W (x) 奇宇称态宇称本征值：pi= (-1 ) 1变换方式：主动式：坐标系不动，算符动；被动式，算符不动，坐标系反向；P*X ---> 标量P*S ---> 赝标量9、支配运动的H在空间反演中是标量，可能含有的项是：PA2, L*S,P*X ；不可有的项：P*S(赝标量)；宇称守恒在强相互作用下，电磁相互作用中有充分的实验支持；则在弱相互作用下有赝标量项，宇称不再守恒；原子核自旋S 在低温下沿外磁场固定方向排列，测量这种“极化核” 方向存在一定角分布；10、实算符，时间反演不变：THT -1=T -1 TXT -1=X ；虚算符：-1 -1 TPT 1= - PTJT 1= - J ； 第五章 量子力学中的相位exp (—^ A dx )；才为描述电磁场最恰当的量，在物理上既不丢失信息，也不会附加非物理(不确定)信息， 称此因子为规范场的不可积相位因子e 总的波函数： ■:(x ，W^i 0)(x ,) - exp 代• A(x')d x')，相位差改变了上-, 卉cB 衰变时放出电子对S 1、 经典物理中：H , A, 0 (四维矢量)，代替E,B (二阶反对称张量)； 量子物理中：A, 0，代替E,B 为本质上的需求；规范变换：A ' =A + V A ( x )；若要要求薛定谔方程在此变换下不变，否则物理规律就变了， 『(x ) = ¥ (x ) exp[ (x ) iq/ c]；薛定谔方程在定域规范变化下的不变性， 是一种对称性， 不影响可观测量；2、 A --B 效应--->A 比B 更基本；因为表达了量子力学的相位差； 而是相位因子：就要求波函数做相应变化:根据波函数的几率解释，这一变换 确切的说不是相位,在磁场中: 称：S AB —■■ (AB 相)； c总的波函数：「(x,t)二(0)(x,t) exp(-^ (A 02(x,t)-A 01(x,t))dt') 20)(x, t),eS AB --- 规范不变AB 相不依赖于速度等力学量，属于几何相，也是拓扑相； 舟C，后来，N.Byers 和杨指出这是超导 2e 体内形成copper 对的结果；copper 对波函数是单值的，有：「s ds = 2二n ，即相角沿-走一圈回到原处，值只能变化 2二n •4、Berry 相：量子力学的量可分为两类：随时间变化的快变量；随时间变化的慢变量；方法：现将慢变量固定，解决快变量，然后让慢变量变化，得到正确的解；(t )= expQ 0」(t')dt')| n,R(t) J ⑴其中，e j '①为Berry 相因子; 在电场中: 3、在超导体圆柱磁通量是量子化的，且磁通量的值为。

练习 在ψ按A 的本征矢量{ia 展开的（）式中，证明若ψ是归一化的，则1=∑*iii cc ，即A 取各值的概率也是归一化的。

（杜花伟）证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。

根据式∑=ii ic aψ, ψi i a c =可得1===∑∑*ψψψψi ii i ii a a c c即A 取各值的概率是归一化的。

#练习 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变.(2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美）(1)证明：在定态中i E i H i = , Λ3,2,1=i 则()t E i i i i t η-=ψ所以i A i e i A e A t E i t E i i i ==-ηηψψ.即所有物理量的平均值不随时间变化.(2)两个定态的叠加不一定是定态.例如()()()t E i t E i ex v ex u t x 21,ηη--+=ψ当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. #证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立：)(]),([)()](,[X f X i P X f P f Pi P f X ∂∂=∂∂=ηη（解答：陈玉辉 核对：项朋）证明：（1）)()()()()()()()()](,[P f Pi P i P f P i P f P f P i Pi P f P f P i X P f P Xf P f X ∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂=-=ηηηηηηψψψψψψψψψ所以 )()](,[P f Pi P f X ∂∂=η（2）)()()())(())(()()())(()()(]),([X f Xi X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ∂∂=∂∂--∂∂--∂∂-=∂∂--∂∂-=-=ηηηηηηψψψψψψψψψ所以 )(]),([X f Xi P X f ∂∂=η#练习 下面公式是否正确？（解答：陈玉辉 核对：项朋） ),()],(,[P X f Pi P X f X ∂∂=η 解：不正确。

高等量子力学喀兴林答案【篇一：量子力学】03 1309050325 吴富贤摘要:给出了不同学者关于量子力学态叠加原理的几种表述,分析比较了关于该原理的有关观点的争议,并对其中的原因进行了讨论，与此同时，也对量子力学在其它方面的应用进行了表述。

关键词:量子态;态叠加原理;量子力学基本问题；量子力学的应用。

一．引言：量子态的叠加原理是量子力学中一个重要的原理.但是在目前量子力学的一些专著和教科书中对这一原理的表述方式却是多种多样的,其中存在不少有争议的问题。

对一些有关的问题进行讨论,并提出一种新的关于这一原理的表述方式的建议。

同时量子力学是现代物理学的两大支柱之一,是20 世纪基础物理学取得的两大成就之一,是反映微观粒子运动规律的理论.量子力学态叠加原理(以下简称态叠加原理)是量子力学的一个基本原理,在量子力学理论体系中占有相当重要的地位.虽然量子力学诞生至今已近80年了,叠加原理也得到了一系列实验的证明,如电子衍射实验、中子干涉实验、电子共振俘获等,但时至今日,人们对态叠加原理的认识却仁者见仁、智者见智.本文对这个问题进行了比较、分析和讨论还对量子力学的应用和发展进行了一些研究。

二．正文：原理的表述在量子力学发展史上,尤其是现行的量子力学专著或教材里,不同的学者对态叠加原理进行了不同的描述.我们选择国内外3种比较典型的说法作一下简单介绍.（1）狄拉克的表述据说,狄拉克1930年在《量子力学原理》一书的初版里,首次系统地论述了量子力学里的态叠加原理.他在此书第一章“态叠加原理”里[4],先是正确地强调了态叠加原理的物理意义:“量子力学的叠加的一般原理,应用于任何一个动力学系统的态.”“把一个态表示成为一些其他态的叠加的结果,那是一种数学运算,总是可以允许的,??然而,这种运算是否有用,取决于所研究问题的特殊物理条件.” 可是,狄拉克接着是这样讲解“叠加过程的非经典本性”的:“我们考虑两个态a和b的叠加,这两个态的性质是??当观察处在态a的系统时,肯定得出一个特定的结果,比方说是a;而当观察处在态b的系统时,则肯定得出一个不同的结果,比方说是b.当观察处在叠加态的系统时??所得到的结果将有时是a,有时是b??而决不会既不是a,又不是b.”然而,狄拉克在这里讲的,不正是对于所有普通统计学都适用的规则吗?例如,一个年级有两个班,a班的年龄分布是集合{a},b班的年龄分布是另一个集合{b}.那么全年级的年龄分布不就是{a}与{b}这两个集合的和集吗?亦即是说,全年级任何一位同学的年龄,都决不会既不属于{a},又不属于{b}.这哪里是什么“非经典本性”呢?由于狄拉克在这里没有把握住量子力学里的态叠加原理的要领,在接下来的一句关于“由叠加而成的态的中间性质”的论断里,就难免出了点毛病[5,6].他自己也不得不为此加了一处脚注,承认他的结论没有普遍性,它的成立是“有一些限制”的.总而言之,在狄拉克书中的第一章里,还没有引入概率幅这个概念,因而不可能讲清楚量子力学里的态叠加原理.可以这样说,在这一章里,还没有进入到量子力学（2）朗道的表述（3）喀兴林的表述态叠加原理对态叠加原理的表述我们还可以列出许多.从这些不同表述中可以看出学者们关于以下几个方面的观点是一致的（1）关于态和态函数的表述基本上大多数人们都认为体系的态(运动状态或状态的简称)是指一个体系的每一种可能的运动方式,即在受到独立的、互不矛盾和完全的条件限制下而确定的每一种运动方式.与宏观体系的运动状态的确定是决定性的相对立,微观体系的运动状态的确定是非决定性的、统计性的,称微观体系的态为量子态.量子态由希尔伯特空间中的矢量表征,称为态矢量.希尔伯特空间又称为态矢量空间或态空间（2）态叠加原理的基本内容（3）量子叠加与经典、数学叠加的区别经典物理中也有叠加原理,例如波的叠加、矢量的叠加等,它们与量子力学里的态叠加原理形式上有相似之处,但实质内容不同.首先经典矢量叠加是物理量的叠加,遵循平行四边形法则;而态矢量无明显的物理意义,且完全由希尔伯特空间中的矢量方向决定,与矢量长度无关.经典波的叠加是两列或多列波的叠加,量子态叠加则是同一体系的两个或多个同时可能的运动状态的叠加.其次,量子态叠加也不同于数学上将体系的一个波函数按一个基函数完备组展开.后者要求基函数完备,但量子叠加不需要相叠加的波函数完备。

喀兴林高等量子力学习题EX51. 问题描述在量子力学中，我们经常需要求解不同自由度的粒子的能量本征值和本征函数。

在这个练习中，我们将研究一个简化的模型：一维势阱中的粒子。

具体而言，我们将考虑一个无限深势阱，其势能函数为：$$ V(x) = \\begin{cases} 0, & 0 < x < L \\\\ +\\infty, &\\text{其他} \\end{cases} $$我们的任务是求解该体系的能量本征值和本征函数。

2. 解析解对于一维无限深势阱，我们可以通过解薛定谔方程来求解其能量本征值和本征函数。

薛定谔方程为：$$\\hat{H}\\psi(x) = E\\psi(x)$$其中，$\\hat{H}$ 是哈密顿算符，$\\psi(x)$ 是波函数，E 是能量本征值。

在一维无限深势阱中，势能函数为E(E)=0，因此薛定谔方程可以简化为：$$\\frac{{d^2\\psi}}{{dx^2}} = -\\frac{{2m}}{{\\hbar^2}}E\\psi(x)$$在边界条件$\\psi(0) = \\psi(L) = 0$下，我们可以得到解析解：$$\\psi_n(x) =\\sqrt{\\frac{{2}}{{L}}}\\sin\\left(\\frac{{n\\pi}}{{L}}x\\rig ht), \\quad n = 1, 2, 3, \\ldots$$对应的能量本征值为：$$E_n = \\frac{{n^2\\pi^2\\hbar^2}}{{2mL^2}}, \\quad n = 1, 2, 3, \\ldots$$3. 数值解除了解析解外，我们还可以使用数值方法来求解一维无限深势阱的能量本征值和本征函数。

在量子力学中，我们通常使用波函数的离散形式来表示一个粒子的状态。

在一维势阱中，我们可以通过离散化空间来得到一个离散的网格，然后使用差分法来近似薛定谔方程。