2019版高考数学一轮复习第11章算法初步复数推理与证明第3讲合情推理与演绎推理学案

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第3讲合情推理与演绎推理一、选择题1．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7,a5＋b5＝11,…，则a10＋b10＝（)A．121 B．123C．231 D．211解析：选B．法一：令a n＝a n＋b n，则a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝7，…，得a n＋2＝a n＋a n＋1，从而a6＝18，a7＝29，a8＝47,a9＝76，a10＝123．法二:由a＋b＝1，a2＋b2＝3,得ab＝－1，代入后三个等式中符合，则a10＋b10＝（a5＋b5）2－2a5b5＝123．2．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1,2，3，5，则预计第10年树的分枝数为（)A．21 B．34C．52 D．55解析：选D．因为2＝1＋1，3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和,所以第10年树的分枝数为21＋34＝55．3．已知“整数对”按如下规律排成一列:（1,1），（1,2),（2，1），(1，3），(2，2），(3，1)，(1,4)，(2，3)，(3，2），（4,1)，…，则第60个“整数对”是( )A．(7,5) B．(5，7）C．（2，10）D．（10，2）解析：选B．依题意，把“整数对”的和相同的分为一组,不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n＋1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有错误!个“整数对”，注意到错误!<60<错误!，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组）的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为:(1，11），(2，10)，（3，9)，（4，8),（5,7），…，因此第60个“整数对”是(5,7）．4．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,AB＝a，CD＝b(a>b)．若EF∥AB，EF 到CD与AB的距离之比为m∶n，则可推算出:EF＝错误!，用类比的方法，推想出下面问题的结果．在上面的梯形ABCD中,分别延长梯形的两腰AD和BC 交于O点，设△OAB，△ODC的面积分别为S1，S2，则△OEF的面积S0与S1，S的关系是( ）2A．S0＝错误!B．S0＝错误!C．错误!＝错误!D．错误!＝错误!解析：选C．在平面几何中类比几何性质时，一般是由平面几何点的性质类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质类比推理面积的性质．故由EF＝错误!类比到关于△OEF的面积S与S1，S2的关系是错误!＝错误!，故选C．5．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格"“不合格"．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好"．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )A．2人B．3人C．4人D．5人解析：选B．假设满足条件的学生有4位及4位以上，设其中4位同学分别为甲、乙、丙、丁，则4位同学中必有两个人语文成绩一样，且这两个人数学成绩不一样,那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好，故满足条件的学生不能超过3人．当有3位学生时，用A，B，C表示“优秀"“合格”“不合格"，则满足题意的有AC，CA，BB，所以最多有3人．6．已知数列｛a n｝：错误!,错误!,错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，…，依它的前10项的规律，则a99＋a100的值为（) A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：选A．通过将数列的前10项分组得到第一组有一个数：错误!，分子、分母之和为2;第二组有两个数：错误!，错误!，分子、分母之和为3；第三组有三个数：错误!，错误!,错误!，分子、分母之和为4；第四组有四个数，以此类推，a99,a100分别是第十四组的第8个数和第9个数，分子、分母之和为15,所以a99＝错误!,a100＝错误!．故a99＋a100＝错误!．二、填空题7．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时,甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．解析：由题意可推断:甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”,说明甲去过A，C城市,而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A．答案:A8．(2018·沧州联考）在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任"；丙说:“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任"．四个人中只有一个人说的是真话,则该事故中需要负主要责任的人是________．解析：若负主要责任的人是甲，则甲、乙、丙说的都是假话，只有丁说的是真话，符合题意；若负主要责任的人是乙,则甲、丙、丁说的都是真话，不符合题意;若负主要责任的人是丙，则乙、丁说的都是真话,不合题意;若负主要责任的人是丁,则甲、乙、丙、丁说的都是假话，不合题意．故该事故中需要负主要责任的人是甲．答案：甲9．设A 和B 是抛物线上的两个动点，且在A 和B 处的抛物线的切线相互垂直,已知由A 、B 及抛物线的顶点所组成的三角形重心的轨迹也是一抛物线,记为L 1，对L 1重复以上过程，又得一抛物线L 2，依此类推．设如此得到抛物线的序列为L 1,L 2，L 3,L 4,…，L n ，若抛物线的方程为y 2＝6x ，经专家计算得,L 1：y 2＝2(x －1)，L 2:y 2＝错误!（x －1－错误!)＝错误!(x －错误!)，L 3：y 2＝错误!（x－1－13－错误!)＝错误!（x －错误!），L 4:y 2＝错误!(x －1－错误!－错误!－错误!)＝227(x －错误!)，…，L n ：y 2＝错误!（x －错误!)，则2T n －3S n ＝________． 解析：由题意知T 1＝1，T 2＝4，T 3＝13，T 4＝40，…，分析得1，4,13,40，…组成一个数列，数列的前后两项之差是一个等比数列，即T n －T n －1＝3n －1,… T 3－T 2＝32,T 2－T 1＝3，把上述式子相加得到T n －1＝3＋32＋…＋3n －1, 所以T n ＝错误!，由题意知S 1＝1,S 2＝3，S 3＝9,S 4＝27，…，分析得1，3，9，27，…组成的数列｛S n }的通项是S n ＝3n －1，所以2T n －3S n ＝2×错误!－3×3n －1＝－1．答案：－1 10．如图所示,将正整数从小到大沿三角形的边成螺旋状排列起来，2在第一个拐弯处，4在第二个拐弯处，7在第三个拐弯处，……，则在第二十个拐弯处的正整数是________．解析：观察题图可知，第一个拐弯处2＝1＋1,第二个拐弯处4＝1＋1＋2,第三个拐弯处7＝1＋1＋2＋3，第四个拐弯处11＝1＋1＋2＋3＋4，第五个拐弯处16＝1＋1＋2＋3＋4＋5，发现规律:拐弯处的数是从1开始的一串连续正整数相加之和再加1,在第几个拐弯处，就加到第几个正整数，所以第二十个拐弯处的正整数就是1＋1＋2＋3＋…＋20＝211．答案：211三、解答题11．已知函数f（x）＝－错误!(a＞0，且a≠1）．（1）证明：函数y＝f（x)的图象关于点错误!对称；（2)求f(－2）＋f（－1)＋f（0）＋f（1）＋f(2)＋f（3)的值．解：（1)证明：函数f(x）的定义域为全体实数，任取一点(x,y），它关于点错误!对称的点的坐标为(1－x，－1－y）．由已知y＝－错误!，则－1－y＝－1＋错误!＝－错误!，f(1－x)＝－错误!＝－错误!＝－错误!＝－错误!,所以－1－y＝f（1－x），即函数y＝f（x)的图象关于点错误!对称．(2)由（1）知－1－f(x)＝f（1－x)，即f（x)＋f（1－x)＝－1．所以f（－2）＋f（3)＝－1，f（－1)＋f(2）＝－1,f(0）＋f（1）＝－1．故f（－2）＋f（－1）＋f(0)＋f（1)＋f（2）＋f（3）＝－3．12．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°;③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；④sin2（－18°）＋cos248°－sin(－18°）cos 48°;⑤sin2(－25°）＋cos255°－sin（－25°）cos 55°．（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数;(2）根据（1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解:（1）选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－错误!sin 30°＝1－错误!＝错误!．（2)三角恒等式为sin2α＋cos2（30°－α）－sin α·cos（30°－α）＝错误!．证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos（30°－α）＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α）2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋错误!cos2α＋错误!sin αcos α＋错误!sin2α－错误!sin αcos α－错误!sin2α＝错误!sin2α＋错误!cos2α＝错误!．。

第3讲合情推理与演绎推理[考纲解读] 1.了解合情推理和演绎推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理．(重点)2．掌握演绎推理的三段论，并能运用三段论进行一些简单的推理．3．弄清推理的一般步骤：①实验、观察、比较；②概括、联想、类推、推广；③猜想新结论．[考向预测]从近三年高考情况来看，演绎推理贯穿于整个高考试卷的始末，而合情推理时有考查．预测2021年将会考查归纳猜想及类比推理的应用．题型为客观题，试题具有一定的综合性，属中等难度试题.1.推理(1)定义：根据一个或几个□01的判断来确定一个新的判断的□02思维过程就是推理．(2)分类：推理一般分为□03合情推理和□04演绎推理．2．合情推理(1)定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行□01归纳、类比，然后提出□02猜想的推理叫做合情推理．(2)分类：数学中常用的合情推理有□03归纳推理和□04类比推理．(3)归纳和类比推理的定义、特征名称归纳推理类比推理定义由某类事物的□05部分对象具有某些特征，推出该类事物的□06全部由两类对象具有□07某些类似特征和其中一类对象的某些特征，推对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，叫做归纳推理出另一类对象也具有这些特征的推理，叫做类比推理特征由□08部分到□09整体、由□10个别到□11一般的推理由□12特殊到□13特殊的推理3．演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到□01特殊的推理．(2)“三段论〞是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．1．概念辨析(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．()(3)把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，那么有sin(x＋y)＝sin x＋sin y，此推理是正确的．()(4)演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．小题热身(1)①a是三角形一边的长，h是该边上的高，那么三角形的面积是12ah，如果把扇形的弧长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为12lr；②由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，那么①②两个推理过程分别属于()A．类比推理、归纳推理 B.类比推理、演绎推理C．归纳推理、类比推理 D.归纳推理、演绎推理答案 A解析①由三角形的面积公式得到扇形的面积公式有相似之处，此种推理为类比推理；②由特殊到一般，此种推理为归纳推理．(2)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确 B.大前提不正确C．小前提不正确 D.全不正确答案 C解析f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数．(3)数列{a n}中，a1＝1，n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是()A．a n＝3n－1 B.a n＝4n－3C．a n＝n2 D.a n＝3n－1答案 C解析a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想a n＝n2.(4)在平面上，假设两个正三角形的边长的比为1∶2，那么它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，假设两个正四面体的棱长的比为1∶2，那么它们的体积比为________．答案1∶8解析V1V2＝13S1h113S2h2＝⎝⎛⎭⎪⎫S1S2·h1h2＝14×12＝18.题型 一 类比推理1．等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，公差为d2.类似地，假设各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，那么等比数列{nT n }的公比为( )A.q 2B.q 2C.qD.n q答案 C解析 ∵在等差数列{a n }中前n 项的和为S n 的通项，且可写成S n n ＝a 1＋(n －1)×d2.所以在等比数列{b n }中应研究前n 项的积为T n 的开n 次方的形式．类比可得nT n ＝b 1(q )n －1，其公比为q .2．(2019·揭阳模拟)结论：“在△ABC 中，各边和它所对角的正弦比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C 〞，假设把该结论推广到空间，那么有结论：“在三棱锥A －BCD 中，侧棱AB 与平面ACD ，平面BCD 所成的角为α，β〞，那么有( )A.BC sin α＝AD sin βB.AD sin α＝BC sin βC.S △BCD sin α＝S △ACD sin βD.S △ACD sin α＝S △BCD sin β 答案 C解析 分别过B ，A 作平面ACD 、平面BCD 的垂线，垂足分别为E ，F ，那么∠BAE ＝α，∠ABF ＝β，V B －ACD ＝13S △ACD ·BE ＝13S △ACD ·AB ·sin α，V A －BCD ＝13S △BCD ·AF ＝13S △BCD ·AB ·sin β，又13S △ACD ·AB ·sin α＝13S △BCD ·AB ·sin β，即S △BCD sin α＝S △ACD sin β.1．类比推理的四个角度和四个原那么 (1)四个角度类比推理是由特殊到特殊的推理，可以从以下几个方面考虑类比： ①类比的定义：如等差、等比数列的定义，见举例说明1； ②类比的性质：如椭圆、双曲线的性质； ③类比的方法：如基本不等式与柯西不等式； ④类比的结构：如三角形的内切圆与三棱锥的内切球． (2)四个原那么 ①长度类比面积； ②面积类比体积；③平面类比空间见举例说明2； ④和类比积，差类比商． 2．类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)． 3．常见的类比推理题型的求解策略在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：(1)找两类对象的对应元素，如三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；(2)找对应元素的对应关系，如两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．(2019·某某一模)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量．在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－2,3)且法向量为n＝(4，－1)的直线(点法式)方程为4×(x＋2)＋(－1)×(y－3)＝0，化简得4x－y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点B(2,3,4)且法向量为m＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为________．答案x＋2y－z－4＝0解析将平面中的运算类比到空间中的运算有：经过点B(2,3,4)且法向量为m ＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为(－1)×(x－2)＋(－2)×(y－3)＋1×(z－4)＝0，化简得x＋2y－z－4＝0.题型二归纳推理角度1与数字有关的归纳推理1．(2019·某某模拟)观察以下各式110×248＝248,11×248＝2728,112×248＝30008,113×248＝330088,114×248＝3630968，…，那么1199×248的十位数是() A．2 B.4C．6 D.8答案 C解析 记11n ×248的十位数为a n ，经观察易得：a 0＝4，a 1＝2，a 2＝0，a 3＝8，a 4＝6，a 5＝4，a 6＝2，…，那么可归纳出{a n }的周期为5，那么a 99＝a 4＝6.角度2 与式子有关的归纳推理2．(2019·某某模拟)有以下一组不等式：13＋14>12，14＋15＋16>12，15＋16＋17＋18>12，16＋17＋18＋19＋110>12，…，根据这一规律，假设第19个不等式为1m ＋1m ＋1＋1m ＋2＋…＋1n >12，那么m ＋n ＝________.答案 61解析 因为由13＋14>12，14＋15＋16>12，15＋16＋17＋18>12，16＋17＋18＋19＋110>12，…，根据这一规律，那么第k 个不等式为1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋2>12，假设第19个不等式为1m ＋1m ＋1＋1m ＋2＋…＋1n >12，即m ＝k ＋2＝21，n ＝2k ＋2＝40，所以m ＝21，n ＝40，即m ＋n ＝61.角度3 与图形有关的归纳推理3．(2019·马某某模拟)毕达哥拉斯学派在世界数学史上首次建立了数和形之间的联系，讨论了各种平面数(包括三角形数、正方形数、长方形数、五边形数等)，甚至将平面数推广到了立体数，如下图：其中三棱锥数依次为1,4,10，…，那么第20个三棱锥数为________． ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫附：∑k ＝1nk 2＝12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)答案 1540解析 由棱锥数依次为1,1＋3,1＋3＋6,1＋3＋6＋10,1＋3＋6＋10＋15， 那么S 1＝1，S 2＝3，S 3＝6，S 4＝10，S 5＝15， S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2＝12(n 2＋n )， 那么T n ＝S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n＝12×(12＋1＋22＋2＋32＋3＋…＋n 2＋n )， ＝12×[(12＋22＋32＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n )] ＝112n (n ＋1)(2n ＋1)＋14n (n ＋1) ＝16n (n ＋1)(n ＋2)，∴T 20＝16×20×21×22＝1540.归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．见举例说明1.(2)与式子有关的归纳推理①与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．见举例说明2.②与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊项，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(3)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．见举例说明3.1．(2019·某某一模)对于大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如图方式的“分裂〞．仿此，52的“分裂〞中最大的数是________，假设m 3的“分裂〞中最小的数是211，那么m 的值为________．答案 9 15解析 根据所给的数据，不难发现：在n 2中所分解的最大的数是2n －1；在n 3中，所分解的最小数是n 2－n ＋1. 根据发现的规律可求52分裂中，最大数是5×2－1＝9；假设m 3的“分裂〞中最小数是211，那么n 2－n ＋1＝211，解得n ＝15或－14(舍去)．2．(2019·某某省实验中学模拟)观察以下式子，ln 2>13，ln 3>13＋15，ln 4>13＋15＋17，….根据上述规律，第n 个不等式应为________．答案 ln (n ＋1)>13＋15＋17＋…＋12n ＋1(n ∈N *) 解析 由ln 2>13，ln 3>13＋15，ln 4>13＋15＋17，…，归纳得到ln (n ＋1)>13＋15＋17＋…＋12n ＋1(n ∈N *)．3．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图．假设记图(2)中第n 行黑圈的个数为a n ，那么a 2020＝________.答案32019－12解析 根据题图(1)所示的分形规律，可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，把题图(2)中的树形图的第1行记为(1,0)，第2行记为(2,1)，第3行记为(5,4)，第4行的白圈数为2×5＋4＝14，黑圈数为5＋2×4＝13，所以第4行的“坐标〞为(14,13)，同理可得第5行的“坐标〞为(41,40)，第6行的“坐标〞为(122,121)，….各行黑圈数乘2，分别是0,2,8,26,80，…，即1－1，3－1，9－1,27－1,81－1，…，所以可以归纳出第n 行的黑圈数a n ＝3n －1－12(n ∈N *)，所以a 2020＝32019－12.题型 三 演绎推理1．(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路〞知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )A ．甲、乙、丙B.乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D.甲、丙、乙答案 A 解析 由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．假设甲预测正确，那么乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；假设甲预测错误，那么甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，那么乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；假设甲、丙预测错误，那么可推出乙的预测也错误．综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．应选A.2．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1 ＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提)∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的条件)1．推理案例问题比类问题条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索〞，找准突破点，从而使问题得到解决．见举例说明1.2．三段论的应用(1)三段论推理的依据是：如果集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的子集，那么S 中所有元素都具有性质P .(2)应用三段论的注意点：解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论．见举例说明2.提醒：合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确.1．(2019·某某平罗中学模拟)2018年4月4日，中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规那么：本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测： 爸爸：冠军是乙或丁； 妈妈：冠军一定不是丙和丁； 孩子：冠军是甲或戊．比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是________． 答案 丁解析 假设冠军是甲或戊，孩子与妈妈判断都正确，不符合题意；假设冠军是乙，爸爸与妈妈判断都正确，不符合题意；假设冠军是丙，三个人判断都不正确，不符合题意；假设冠军是丁，只有爸爸判断正确，符合题意，故答案为丁．2．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立．证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期．证明 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，且f (－x )＝ －f (x )，知f (3＋x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．组 基础关1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的选项是( )A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数答案 B解析 对于A ，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B ，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C ，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D ，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式．2．13＋23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622,13＋23＋33＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1222,13＋23＋33＋43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2022，…，假设13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝3025，那么n ＝( )A ．8B.9 C ．10D.11答案 C解析 观察所提供的式子可知，等号左边最后一个数是n 3时，等号右边的数为⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22，因此，令⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22＝3025，那么n (n ＋1)2＝55，n ＝10或n ＝－11(舍去)．3．我们知道：在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x ＋2y ＋2z ＋3＝0的距离为( )A ．3B.5C.5217D.3 5 答案 B解析 利用类比的方法，在空间中，点(x 0，y 0，z 0)到直线Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离d ′＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C2，所以点(2,4,1)到平面x ＋2y ＋2z ＋3＝0的距离d ＝2＋8＋2＋31＋4＋4＝153＝5. 4．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，那么r ＝2S a ＋b ＋c，类比这个结论可知，四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S －ABC 的体积为V ，那么R 等于( )A.V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 答案 C解析 设四面体的内切球的球心为O ，那么球心O 到四个面的距离都是R ，由平面图形中r 的求解过程类比空间图形中R的求解过程可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，那么四面体的体积为V ＝V四面体S －ABC ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，所以R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4.应选C. 5．数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，试归纳猜想出S n 的表达式为( )A ．S n ＝2n n ＋1B.S n ＝2n －1n ＋1 C ．S n ＝2n ＋1n ＋1 D.S n ＝2n n ＋2答案 A解析 ∵S n ＝n 2a n ＝n 2(S n －S n －1)，∴S n ＝n 2n 2－1·S n －1，又S 1＝a 1＝1，那么S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85.∴猜想得S n ＝2n n ＋1，应选A. 6．假设数列{a n }是等差数列，对于b n ＝1n (a 1＋a 2＋…＋a n )，那么数列{b n }也是等差数列．类比上述性质，假设数列{}是各项都为正数的等比数列，对于d n >0，那么d n ＝________时，数列{d n }也是等比数列．答案 n c 1c 2·…·解析 在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以由数列{a n }是等差数列，那么当b n ＝1n (a 1＋a 2＋…＋a n )时，数列{b n }也是等差数列．类比推断：假设数列{}是各项均为正数的等比数列，那么当d n ＝n c 1c 2·…·时，数列{d n }也是等比数列．7．甲、乙、丙三人各从图书馆借来一本书，他们约定读完后互相交换．三人都读完了这三本书之后，甲说：“我最后读的书与丙读的第二本书相同．〞乙说：“我读的第二本书与甲读的第一本书相同．〞根据以上说法，推断乙读的最后一本书是________读的第一本书．答案 丙解析 因为共有三本书，而乙读的第一本书与第二本书已经明确，只有丙读的第一本书乙还没有读，所以乙读的最后一本书是丙读的第一本书．8．点A (x 1，ax 1)，B (x 2，ax 2)是函数y ＝a x 的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有ax 1＋ax 22>a x 1＋x 22成立．运用类比思想方法可知，假设点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))图象上任意不同的两点，那么类似地有______________成立．答案 sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22解析 由题意知，点A ，B 是函数y ＝a x 的图象上任意不同的两点，该函数是一个变化率逐渐变大的函数，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有ax 1＋ax 22>a x 1＋x 22成立；而函数y ＝sin x (x ∈(0，π))，其变化率逐渐变小，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的下方，故可类比得到结论sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22.组 能力关1．f (x )＝2x 2－x，设f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝ f n －1[f n －1(x )](n >1，n ∈N *)，假设f m (x )＝x 1－256x (m ∈N *)，那么m ＝( ) A ．9B.10 C ．11D.126答案 B 解析 由题意可得f 2(x )＝f 1[f 1(x )]＝f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－x ＝2×2x 2－x 2－2x 2－x＝x 1－x，同理可得，f 3(x )＝x 1－2x ，f 4(x )＝x 1－4x ，f 5(x )＝x 1－8x ，…，f n (x )＝x 1－2n －2x ，由f m (x )＝x 1－256x (m ∈N *)恒成立，可得2m －2＝256＝28，即有m －2＝8，即m ＝10.2．如图，平面上，点A ，C 为射线PM 上的两点，点B ，D 为射线PN 上的两点，那么有S △P AB S △PCD＝P A ·PB PC ·PD (其中S △P AB ，S △PCD 分别为△P AB ，△PCD 的面积)；空间中，点A ，C 为射线PM 上的两点，点B ，D 为射线PN 上的两点，点E ，F 为射线PL 上的两点，那么有V P －ABE V P －CDF＝________(其中V P －ABE ，V P －CDF 分别为四面体P －ABE ，P －CDF 的体积)．答案 P A ·PB ·PE PC ·PD ·PF 解析 设PM 与平面PDF 所成的角为α，那么A 到平面PDF 的距离h 1＝P A sin α，C 到平面PDF 的距离h 2＝PC sin α，∴V P －ABE ＝V A －PBE ＝13S △PBE ·h 1，V P －CDF ＝V C －PDF ＝13S △PDF ·h 2， ∴V P －ABE V P －CDF ＝13S △PBE ·h 113S △PDF ·h 2＝13PB ·PE ·P A sin α13PD ·PF ·PC sin α＝P A ·PB ·PE PC ·PD ·PF . 3．(2019·某某三模)在《九章算术》方田章“圆田术〞(X 徽注)中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，那么与圆周合体而无所失矣〞，注述中所用的剖圆术所表达的是一种无限与有限转化的思想比如在2＋ 2＋2＋…中“…〞即代表无限次重复，但原数却是个定数x ，这可以通过2＋x ＝x 确定出来x ＝2，类似地可得到1＋132＋134＋…＋132n －2＋…＝________. 答案 98解析类比算式，1＋132＋134＋…＋132n－2＋…＝1＋132×⎩⎨⎧⎦⎥⎤1＋132×1＋132×(…).可令1＋132＋134＋…＋132n－2＋ (x)那么1＋132x＝x，解得x＝98.。

第3讲 合情推理与演绎推理[考纲解读] 1.了解合情推理和演绎推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理．(重点) 2.掌握演绎推理的三段论，并能运用三段论进行一些简单的推理．3.弄清推理的一般步骤：①实验、观察、比较；②概括、联想、类推、推广；③猜想新结论．[考向预测] 从近三年高考情况来看，演绎推理贯穿于整个高考试卷的始末，而合情推理时有考查. 预测2020年将会考查归纳猜想及类比推理的应用. 题型为客观题，试题具有一定的综合性，属中等难度试题.1．推理(1)定义：根据一个或几个□01已知的判断来确定一个新的判断的□02思维过程就是推理． (2)分类：推理一般分为□03合情推理和□04演绎推理． 2．合情推理(1)定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行□01归纳类比，然后提出□02猜想的推理叫做合情推理． (2)分类：数学中常用的合情推理有□03归纳推理和□04类比推理． (3)归纳和类比推理的定义、特征3．演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到□01特殊的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．1．概念辨析(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( ) (3)ax ＋y＝a x ·a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin α·sin β.( )(4)演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．小题热身(1)①已知a 是三角形一边的长，h 是该边上的高，则三角形的面积是12ah ，如果把扇形的弧长l ，半径r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为12lr ；②由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，则①②两个推理过程分别属于( )A ．类比推理、归纳推理B ．类比推理、演绎推理C ．归纳推理、类比推理D ．归纳推理、演绎推理 答案 A解析 ①由三角形的面积公式得到扇形的面积公式有相似之处，此种推理为类比推理；②由特殊到一般，此种推理为归纳推理．(2)正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确 答案 C解析 f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数．(3)已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝4n －3C ．a n ＝n 2D ．a n ＝3n －1答案 C解析 a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2.(4)对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“__________________________”，这个类比命题的真假性是________．答案 夹在两个平行平面间的平行线段相等 真命题 解析 由类比推理可知．题型 一 类比推理1．等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，公差为d2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则等比数列{nT n }的公比为( )A.q2 B ．q 2C.qD.nq 答案 C解析 ∵在等差数列{a n }中前n 项的和为S n 的通项，且可写成S n n ＝a 1＋(n －1)×d2.所以在等比数列{b n }中应研究前n 项的积为T n 的开n 次方的形式．类比可得nT n ＝b 1(q )n －1，其公比为q .2．在平面几何中，△ABC 的∠C 的平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AEBE.把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图)，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是________．答案AE EB ＝S △ACDS △BCD解析 由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACDS △BCD.1．类比推理的四个角度和四个原则 (1)四个角度类比推理是由特殊到特殊的推理，可以从以下几个方面考虑类比： ①类比的定义：如等差、等比数列的定义； ②类比的性质：如椭圆、双曲线的性质； ③类比的方法：如基本不等式与柯西不等式； ④类比的结构：如三角形的内切圆与三棱锥的内切球． (2)四个原则①长度类比面积； ②面积类比体积； ③平面类比空间；④和类比积，差类比商．见举例说明． 2．类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)． 3．常见的类比推理题型的求解策略在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：(1)找两类对象的对应元素，如三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；(2)找对应元素的对应关系，如两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．(2018·某某模拟)已知圆：x 2＋y 2＝r 2上任意一点(x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比以上结论，有双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上任意一点(x 0，y 0)处的切线方程为________．答案x 0x a 2－y 0y b 2＝1 解析 设圆上任一点为(x 0，y 0)，把圆的方程中的x 2，y 2替换为x 0x ，y 0y ，则得到圆的切线方程；类比这种方式，设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上任一点为(x 0，y 0)，则切线方程为x 0x a 2－y 0yb2＝1(这个结论是正确的，证明略)．题型 二 归纳推理角度1 与数字有关的归纳推理1．从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为( )A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021 答案 D解析 根据题干图所示的规则排列，设最上层的一个数为a ，则第二层的三个数为a ＋7，a ＋8，a ＋9，第三层的五个数为a ＋14，a ＋15，a ＋16，a ＋17，a ＋18，这九个数之和为a＋3a ＋24＋5a ＋80＝9aa ＋104＝2021，得a ＝213，是自然数，故选D.角度2 与式子有关的归纳推理 2．(2016·某某高考)观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2 ＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2 ＝43×4×5； …… 照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________. 答案4n n ＋13解析 观察前4个等式，由归纳推理可知⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2 ＝43×n ×(n ＋1)＝4n n ＋13.角度3 与图形有关的归纳推理3．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图．若记图(2)中第n 行黑圈的个数为a n ，则a 2019＝________.答案32018－12解析 根据题图(1)所示的分形规律，可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，把题图(2)中的树形图的第1行记为(1,0)，第2行记为(2,1)，第3行记为(5,4)，第4行的白圈数为2×5＋4＝14，黑圈数为5＋2×4＝13，所以第4行的“坐标”为(14,13)，同理可得第5行的“坐标”为(41,40)，第6行的“坐标”为(122,121)，….各行黑圈数乘2，分别是0,2,8,26,80，…，即1－1，3－1，9－1,27－1,81－1，…，所以可以归纳出第n 行的黑圈数a n ＝3n －1－12(n ∈N *)，所以a 2019＝32018－12.归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．见举例说明1.(2)与式子有关的归纳推理①与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解． ②与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊项，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(3)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．见举例说明3.1．观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625,59＝1953125，…，则52019的末四位数字为( )A．3125 B．5625 C．0625 D．8125答案 D解析∵55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625,59＝1953125，可以看出这些幂的最后4位是以4为周期变化的，∵2019÷4＝504余3，∴52019的末四位数字与57的后四位数相同，是8125.2．观察下列不等式：1＋3＋3<π2，1＋3×2＋3×22<π4，1＋3×3＋3×32<π6，……照此规律，第n－1(n≥2，n∈N*)个不等式是________．答案1＋3(n－1)＋3(n－1)2<π2n－2解析根据所给不等式易归纳推理出第n(n∈N*)个不等式是1＋3n＋3n2<π2n，所以可以归纳推测出第n－1(n≥2，n∈N*)个不等式是1＋3(n－1)＋3(n－1)2<π2n－2.3．地震后需搭建简易帐篷，搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要________根钢管．答案83解析由题意可知，图①的单顶帐篷需要(17＋0×11)根钢管，图②的帐篷需要(17＋1×11)根钢管，图③的帐篷需要(17＋2×11)根钢管，…所以串7顶这样的帐篷需要17＋6×11＝83(根)钢管．题型 三 演绎推理数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1 ＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)三段论的应用(1)三段论推理的依据是：如果集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的子集，那么S 中所有元素都具有性质P .(2)应用三段论的注意点：解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论．提醒：合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立． 证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期．证明 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．。

第3讲　合情推理与演绎推理板块一　知识梳理·自主学习[必备知识]考点1　合情推理考点2　演绎推理1．定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．2．特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．3．模式：“三段论”是演绎推理的一般模式：[必会结论]1．合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．2．合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( )(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( )(3)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( )(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( )答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√答案　A3．[课本改编]下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是________．答案　n (n ＋1)2解析　由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为1＋2，第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，则第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n ＝.n (n ＋1)24．[课本改编]在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．答案　1∶8解析　因为两个正三角形是相似的三角形，所以它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方．所以它们的体积比为1∶8.5．[2015·陕西高考]观察下列等式1－＝12121－＋－＝＋12131413141－＋－＋－＝＋＋1213141516141516…据此规律，第n 个等式可为________．答案　1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋12131412n －112n 1n ＋11n ＋212n解析　观察所给等式的左右可以归纳出1－＋－＋…＋121314－＝＋＋…＋.12n －112n 1n ＋11n ＋212n 6．[2018·东北三省模拟]在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀”；乙说：“我得了优秀”；甲说：“丙说的是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是________．答案　丙解析　分析题意只有一人说假话可知，甲与丙必定说的都是真话，故说假话的只有乙，即乙没有得优秀，甲也没有得优秀，得优秀的是丙．板块二　典例探究·考向突破考向　归纳推理命题角度1　数字的归纳例　1　[2018·浙江模拟]“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．如图是杨辉三角数阵，记a n 为图中第n 行各个数之和，则a 5＋a 11的值为( )A ．528B ．1020C ．1038D ．1040答案　D解析　第一行数字之和为a 1＝1＝21－1，第二行数字之和为a 2＝2＝22－1，第三行数字之和为a 3＝4＝23－1，第四行数字之和为a 4＝8＝24－1，……第n 行数字之和为a n ＝2n －1，∴a 5＋a n ＝24＋210＝1040.故选D.命题角度2　式子的归纳例　2　设函数f (x )＝(x >0)，观察：xx ＋2f 1(x )＝f (x )＝，xx ＋2f 2(x )＝f [f 1(x )]＝，x3x ＋4f 3(x )＝f [f 2(x )]＝，x7x ＋8f 4(x )＝f [f 3(x )]＝，x15x ＋16……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f [f n －1(x )]＝________.答案　x(2n －1)x ＋2n解析　根据题意知，各式中分子都是x ，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…，可知f n (x )的分母中常数项为2n ，分母中x 的系数为2n －1，故f n (x )＝f [f n －1(x )]＝.x(2n －1)x ＋2n 命题角度3　图形的归纳例　3　如图，在平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)处：点(1,0)处标b 1，点(1，－1)处标b 2，点(0，－1)处标b 3，点(－1，－1)处标b 4，点(－1,0)处标b 5，点(－1,1)处标b 6，点(0,1)处标b 7，…，以此类推，则b 963处的格点的坐标为________．答案　(16,13)解析　观察已知点(1,0)处标b 1，即b 1×1，点(2,1)处标b 9，即b 3×3，点(3,2)处标b 25，即b 5×5，…，由此推断点(n ，n －1)处标b (2n －1)×(2n －1)，因为961＝31×31时，n ＝16，故b 961处的格点的坐标为(16,15)，从而b 963处的格点的坐标为(16,13)．触类旁通归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．(2)与式子有关的归纳推理①与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．②与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(3)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．【变式训练1】　[2018·泉州模拟]已知如下等式：2＋4＝6；8＋10＋12＝14＋16；18＋20＋22＋24＝26＋28＋30；…以此类推，则2020会出现在第________个等式中( )A ．30B ．31C ．32D ．33答案　B解析　①2＋4＝6；②8＋10＋12＝14＋16；③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30，…其规律为：各等式首项分别为2×1,2(1＋3)，2(1＋3＋5)，…，所以第n 个等式的首项为2[1＋3＋…＋(2n －1)]＝2×＝2n 2，n (1＋2n －1)2当n ＝31时，等式的首项为2×312＝1922，当n ＝32时，等式的首项为2×322＝2048，所以2020在第31个等式中．故选B.考向　类比推理例　4　[2018·抚顺模拟]若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }也为等差数列．类比这一性质可知，若正项(bn ＝a 1＋a 2＋…＋an n )数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝B ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋cn nc 1·c 2·…·cn n C ．d n ＝D ．d n ＝n cn 1＋cn 2＋…＋cn n n n c 1·c 2·…·cn 答案　D解析　若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋d ，n (n －1)2所以b n ＝a 1＋d ＝n ＋a 1－，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比n －12d 2d 2数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c ·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c ·q ，所以d n ＝n1n 1 ＝c 1·q ，即{d n }为等比数列．故选D.n c 1·c 2·…·cn 触类旁通类比推理的分类类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法．(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．【变式训练2】　如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股定理c 2＝a 2＋b 2.空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，截面面积为S ，类比平面的结论有________．答案　S 2＝S ＋S ＋S 21223解析　三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：S 2＝S ＋S ＋S .21223考向　演绎推理例　5　[2018·山东调研]数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝S n (n ∈N *)．证明：n ＋2n (1)数列是等比数列；{Sn n }(2)S n ＋1＝4a n .证明　(1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n ，n ＋2n ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .∴＝2·，(小前提)Sn ＋1n ＋1Sn n 故是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论){Sn n }(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知＝4·(n ≥2)，Sn ＋1n ＋1Sn －1n －1∴S n ＋1＝4(n ＋1)·＝4··S n －1Sn －1n －1n －1＋2n －1＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提)∴对于任意正整数n，都有S n＋1＝4a n.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)触类旁通演绎推理的结构特点(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提．一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．【变式训练3】　某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是( )A．今天是周六B．今天是周四C．A车周三限行D．C车周五限行答案　B解析　因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路，E车周四限行，所以今天不是周三；因为B车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四，选B.核心规律1.合情推理的过程概括为从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比―→―→―→提出猜想2.演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．满分策略1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．2.演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．3.合情推理中运用猜想不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.板块三　启智培优·破译高考创新交汇系列9——演绎推理中的创新问题[2015·福建高考]一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…x n(n∈N*)，其中x k(k＝1,2，…，n)称为第k位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：Error!其中运算⊕定义为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于________．解题视点　求解此类问题的关键是读懂新定义，在领会新定义的基础上，明晰新定义的内涵和外延，将其转化并运用到新情境中，进而判断参数k的值．解析　因为x4⊕x5⊕x6⊕x7＝1⊕1⊕0⊕1＝0⊕0⊕1＝0⊕1＝1≠0，所以二元码1101101的前3位码元都是对的；因为x2⊕x3⊕x6⊕x7＝1⊕0⊕0⊕1＝1⊕0⊕1＝1⊕1＝0，所以二元码1101101的第6、7位码元也是对的；因为x1⊕x3⊕x5⊕x7＝1⊕0⊕1⊕1＝1⊕1⊕1＝0⊕1＝1≠0，所以二元码1101101的第5位码元是错误的，所以k＝5.答案　5答题启示　与演绎推理有关的新定义问题是高考命制创新型试题的一个热点，解决此类问题时，一定要读懂新定义的本质含义及符号语言，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当的转化，注意推理过程的严密性.跟踪训练在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中的△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数，若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝________(用数值作答)．答案　(1)3,1,6　(2)79解析　(1)由定义知，四边形DEFG由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成，其内部格点有1个，边界上格点有6个，四边形DEFG 的面积为3，所以S ＝3，N ＝1，L ＝6.(2)由待定系数法可得Error!⇒Error!当N ＝71，L ＝18时，S ＝1×71＋×18－1＝79.12板块四　模拟演练·提能增分[A 级　基础达标]1．(1)已知a 是三角形一边的长，h 是该边上的高，则三角形的面积是ah ，如果把扇形的弧长l ，半径r 分别看成三角形的底边长12和高，可得到扇形的面积为lr ；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，12可得到1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，则(1)(2)两个推理过程分别属于( )A ．类比推理、归纳推理B ．类比推理、演绎推理C ．归纳推理、类比推理D ．归纳推理、演绎推理答案　A解析　(1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理．故选A.2．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30答案　B解析　观察归纳可知第n 个三角形数为1＋2＋3＋4＋…＋n ＝，n (n ＋1)2∴第七个三角形数为＝28.7×(7＋1)23．[2018·太原模拟]观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．121B ．123C ．231D ．211答案　B解析　令a n ＝a n ＋b n ，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…，得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123.4．[2018·临沂期末]已知n ≥2且n ∈N *，对n 2进行“分拆”：22→(1,3)，32→(1,3,5)，42→(1,3,5,7)，…，那么289的“分拆”所得的中位数是( )A ．29B ．21C ．19D ．17答案　D解析　自然数n 2的分裂数中最大的数是2n －1.289分裂的数中最大的数是2×17－1＝33，∴289的“分拆”所得的数的中位数是＝17.故选D.1＋3325．[2018·南昌模拟]已知13＋23＝2,13＋23＋33＝2,13＋23＋33＋43＝2，…，若(62)(122)(202)13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝3025，则n ＝( )A ．8B ．9C ．10D ．11答案　C解析　∵13＋23＝2＝2，(62)(2×32)13＋23＋33＝2＝2，(122)(3×42)13＋23＋33＋43＝2＝2，(202)(4×52)…∴13＋23＋33＋…＋n 3＝2＝，[n (n ＋1)2]n 2(n ＋1)24∵13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝3025，∴＝3025，n 2(n ＋1)24∴n 2(n ＋1)2＝(2×55)2，∴n (n ＋1)＝110，解得n ＝10.6．若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列为等差数列，公差为.类似，若各项均为正数的等比数列{b n }的{Sn n }d 2公比为q ，前n 项的积为T n ，则等比数列{}的公比为( )nTn A. B ．q 2 C. D.q2q n q 答案　C解析　由题设有，T n ＝b 1·b 2·b 3·…·b n ＝b 1·b 1q ·b 1q 2·…·b 1q n －1＝b q 1＋2＋…＋(n －1)＝b q .n1n 1 ∴ ＝b 1q ，∴等比数列{}的公比为，故选C.nTn nTn q 7．[2018·南通模拟]将自然数0,1,2，…按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从2016到2018的箭头方向是( )答案　A解析　从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，箭头垂直指下，4→5，箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2016＝4×504，所以2016→2017也是箭头垂直指下，之后2017→2018的箭头是水平向右．故选A.8．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是，则5288用算筹可表示为________．答案　解析　根据题意知，5288用算筹表示，从左到右依次是横式的5，纵式的2，横式的8，纵式的8，即.9．[2018·常州模拟]36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为________．答案　465解析　类比求36的所有正约数之和的方法，200的所有正约数之和可按如下方法求得：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)(1＋5＋52)＝465.10．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有≤f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (xn )n f .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在(x 1＋x 2＋…＋xn n)△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．答案　332解析　由题意知，凸函数满足≤f ，又y ＝sin x 在区间f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (xn )n (x 1＋x 2＋…＋xn n )(0，π)上是凸函数，则sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin＝3sin ＝.A ＋B ＋C 3π3332[B 级　知能提升]1．[2018·徐州模拟]观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92答案　B解析　由|x |＋|y |＝1的不同整数解的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x |＋|y |＝n 的不同整数解的个数为4n ，故|x |＋|y |＝20的不同整数解的个数为80.故选B.2．[2018·中山模拟]古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1024C ．1225D ．1378答案　C解析　观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，…a n ＝a n －1＋n .∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )，∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝，n (n ＋1)2观察正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{b n }，则b n ＝n 2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n 都为正整数的只有1225.3．[2018·洛阳期末]设x >0，由不等式x ＋≥2，x ＋≥3，x ＋1x 4x 2≥4，…，推广到x ＋≥n ＋1，则a ＝( )27x 3a xn A ．2n B ．2n C ．n 2 D ．n n答案　D解析　设x >0，由不等式x ＋≥2，x ＋≥3，x ＋≥4，…，1x 4x 227x 3推广到x ＋≥n ＋1，所以a ＝n n ，故选D.a xn 4．在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C .证明　∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B >，∴A >－B ，π2π2∵y ＝sin x 在上是增函数，(0，π2)∴sin A >sin ＝cos B ，(π2－B)同理可得sin B >cos C ，sin C >cos A ，∴sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C .5．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：＝1AD 2＋，那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎1AB 21AC 2样的猜想，并说明理由．解　如图，由射影定理得AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝DC ·BC ，故＋＝＋＝＝＝.1AB 21AC 21BD ·BC 1DC ·BC DC ＋BD BD ·DC ·BC 1BD ·DC 1AD 2在四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AH ⊥底面BCD ，垂足为H .则＝＋＋.1AH 21AB 21AC 21AD 2证明：连接BH 并延长交CD 于E ，连接AE .∵AB ，AC ，AD 两两垂直，∴AB ⊥平面ACD ，又∵AE ⊂平面ACD，∴AB ⊥AE ，在Rt △ABE 中，＝＋①1AH 21AB 21AE 2又易证CD ⊥AE ，故在Rt △ACD 中，＝＋②1AE 21AC 21AD 2把②式代入①式，得＝＋＋.1AH 21AB 21AC 21AD 2。