【金版学案】2015-2016学年高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式讲末检测

第四讲 推理与证明一、选择题1．已知22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为( )A.n n －4＋8－n （8－n ）－4＝2 B.n ＋1（n ＋1）－4＋（n ＋1）＋5（n ＋1）－4＝2C.n n －4＋n ＋4（n ＋1）－4＝2 D.n ＋1（n ＋1）－4＋n ＋5（n ＋5）－4＝2解析：由2＋6＝8，5＋3＝8，7＋1＝8，知选A. 答案：A2．若a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2≠0；②a>b 与a<b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a≠b，b ≠c ，a ≠c 不能同时成立．其中判断正确的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：∵a，b ，c 是不全相等的正数，故①正确．③错误；对任意两个数a ，b ，a ＞b 与a ＜b 及a ＝b 三者必有其一正确，故②正确．答案：C3．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n －1＝3n (n·a －b)＋c 对一切n∈N *成立，那么( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a ，b ，c解析：代入n ＝1，2，3，联立关于a ，b ，c 的方程组可得，也可通过验证法求解． 答案：A4．已知f(x ＋1)＝2f （x ）f （x ）＋2，f(1)＝1 (x∈N *)，猜想f(x)的表达式为( )A ．f(x)＝42x ＋2B ．f(x)＝2x ＋1C ．f(x)＝1x ＋1D ．f(x)＝22x ＋1答案：B5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n＝( )A.2（n ＋1）2B.2n （n ＋1） C.22n－1 D.22n －1解析：由S n ＝n 2a n 知S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ， ∴a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ， ∴a n ＋1＝nn ＋2a n (a≥2)．当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2， ∴a 2＝a 13＝13，a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110.由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110.猜想a n ＝2n （n ＋1）.答案：B二、填空题6. (2014·福建卷)若集合{a ，b ，c ，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d)的个数是________个．解析：由于题意是只有一个是正确的所以①不成立，否则②成立，即可得a≠1，由b≠1即b ＝2，3，4，可得b ＝2，c ＝1，d ＝4，a ＝3；b ＝3，c ＝1，d ＝4，a ＝2，两种情况．由c ＝2，d ＝4，a ＝3，b ＝1，所以有一种情况．由d≠4，即d ＝1，2，3，可得d ＝2，a ＝3，b ＝1，c ＝4；d ＝2，a ＝4，b ＝1，c ＝3；d ＝3，a ＝2，b ＝1，c ＝4，共三种情况．综上共6种． 答案：67．若从点O 所作的两条射线OM ，ON 上分别有点M 1，M 2与点N 1，N 2，则三角形面积之比S △OM 1N 1S △OM 2N 2＝OM 1OM 2·ON 1ON 2.如下图，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP ，OQ 和OR 上分别有点P 1，P 2，点Q 1，Q 2和点R 1，R 2，则类似的结论为________________．解析：考查类比推理问题，由图看出三棱锥P 1－OR 1Q 1及三棱锥P 2－ OR 2Q 2的底面面积比为OQ 1OQ 2·OR 1OR 2，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为OP 1OP 2，故体积之比为VOP 1Q 1R 1VOP 2Q 2R 2＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 2. 答案：VO －P 1Q 1R 1VO －P 2Q 2R 2＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 28. (2014·陕西卷) 观察分析下表中的数据：________．解析：①三棱锥：F＝5，V＝6，E＝9，得F＋V－E＝5＋6－9＝2；②五棱锥：F＝6，V＝6，E＝10，得F＋V－E＝6＋6－10＝2；③立方体：F＝6，V＝8，E＝12，得F＋V－E＝6＋8－12＝2；所以归纳猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式是：F＋V－E＝2.故答案为F＋V －E＝2.答案：F＋V－E＝2三、解答题9．观察下表：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，…问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？(2)此表第n行的各个数之和是多少？(3)2 011是第几行的第几个数？(4)是否存在n∈N*，使得第n行起的连续10行的所有数之和为227－213－120？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)∵第n＋1行的第1个数是2n，∴第n行的最后一个数是2n－1.(2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)＝（2n－1＋2n－1）·2n－12＝3·22n－3－2n－2.(3)∵210＝1 024，211＝2 048，1 024＜2 011＜2 048，∴2 011在第11行，该行第1个数是210＝1 024，由2 011－1 024＋1＝988，知2 011是第11行的第988个数．(4)设第n 行的所有数之和为a n ，第n 行起连续10行的所有数之和为S n . 则a n ＝3·22n －3－2n －2，a n ＋1＝3·22n －1－2n －1，a n ＋2＝3·22n ＋1－2n，…，a n ＋9＝3·22n ＋15－2n ＋7，∴S n ＝3(22n －3＋22n －1＋…＋22n ＋15)－(2n －2＋2n －1＋…＋2n ＋7)＝3·22n －3（410－1）4－1－2n －2（210－1）2－1＝22n ＋17－22n －3－2n ＋8＋2n －2，当n ＝5时，S 5＝227－128－213＋8＝227－213－120.∴存在n ＝5使得第5行起的连续10行的所有数之和为227－213－120.10．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，下图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n 幅图的蜂巢总数．(1)试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式(不要求证明)； (2)证明：1f （1）＋1f （2）＋1f （3）＋…＋1f （n ）＜43.答案：(1)解析：f(4)＝37，f(5)＝61. 由于f(2)－f(1)＝7－1＝6， f(3)－f(2)＝19－7＝2×6， f(4)－f(3)＝37－19＝3×6， f(5)－f(4)＝61－37＝4×6， …因此，当n≥2时，有f(n)－f(n －1)＝6(n －1)，所以f(n)＝[f(n)－f(n －1)]＋[f(n －1)－f(n －2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1.又f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f(n)＝3n 2－3n ＋1(直接给出结果也可)． (2)证明：当n≥2时，1f （n ）＝13n 2－3n ＋1＜13n 2－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n .当n ＝1时，显然结论成立， 当n≥2时，1f （1）＋1f （2）＋1f （3）＋…＋1f （n ）＜1＋13[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )]＝1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＜1＋13＝43. 综上，结论成立．。

第四讲数学归纳法证明不等式
本讲知识概述
1．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题．
2．会用数学归纳法证明贝努利不等式：
(1＋x)n＞1＋nx (x＞－1，x≠0，n为正整数)．
了解当n为实数时贝努利不等式也成立．
3．会用上述不等式证明一些简单问题，能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．
数学归纳法是重要的数学思想方法，同学们应通过对一些简单问题的分析，掌握这种思想方法．在利用数学归纳法解决问题时，常常需要进行一些代数恒等变换．不要做那些代数恒等变换比较复杂或过于技巧化的问题或习题，以免冲淡了对数学归纳法思想的理解．
注意数学归纳法一般步骤的要求，严格按要求表达．两个步骤一个结论都要认真写好．。

第1节数学归纳法[核心必知]1．数学归纳法的概念当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当n＝n0时命题成立；(2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．2．数学归纳法的基本过程[问题思考]1．在数学归纳法中，n0一定等于1吗？提示：不一定．n0是适合命题的正整数中的最小值，有时是n0＝1或n0＝2．有时n0值也比较大，而不一定是从1开始取值．2．数学归纳法的适用范围是什么？提示：数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明．3．数学归纳法中的两步的作用是什么？提示：在数学归纳法中的第一步“验证n＝n0时，命题成立”，是归纳奠基、是推理证明的基础．第二步是归纳递推，保证了推理的延续性，证明了这一步，就可以断定这个命题对于n 取第一个值n0后面的所有正整数也都成立．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n(n∈N＋)．[精讲详析] 本题考查数学归纳法在证明恒等式中的应用，解答本题需要注意等式的左边有2n项，右边有n项，由k到k＋1时，左边增加两项，右边增加一项，而且左、右两边的首项不同，因此由“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”时，要注意项的合并．(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12， 右边＝12，命题成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，且k ∈N ＋)时命题成立，即有1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12). 则当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2， 从而可知，当n ＝k ＋1时，命题亦成立．由(1)(2)可知，命题对一切正整数n 均成立．——————————————————(1)用数学归纳法证明代数恒等式的关键有两点：一是准确表述n ＝n 0时命题的形式，二是准确把握由n ＝k 到n ＝k ＋1时，命题结构的变化特点．(2)应用数学归纳法时的常见问题①第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是n ＝1，有时需验证n ＝2，n ＝3.②对n ＝k ＋1时式子的项数以及n ＝k 与n ＝k ＋1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障．③“假设n ＝k 时命题成立，利用这一假设证明n ＝k ＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范．1．证明12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N ＋)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，∴当n＝1时，等式成立．(2)假设当n＝k时等式成立，就是12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k·(2k＋1)．当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，∴当n＝k＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立．求证：二项式x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．[精讲详析] 本题考查数学归纳法在证明整除问题中的应用，解答本题需要设法将x2n －y2n进行分解因式得出x＋y，由于直接分解有困难，故采用数学归纳法证明．(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，∴能被x＋y整除．(2)假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，x2k－y2k能被x＋y整除，当n＝k＋1时，即x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－x2y2k＋x2y2k－y2·y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)．∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．由(1)(2)可知，对任意的正整数n命题均成立.——————————————————利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式，这就往往要涉及到“添项”与“减项”等变形技巧，例如，在本例中，对x 2k ＋2－y 2k ＋2进行拼凑，即减去x 2y 2k 再加上x 2y 2k ，然后重新组合，目的是拼凑出n ＝k 时的归纳假设，剩余部分仍能被x ＋y 整除．2．求证：n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3能被9整除．证明：(1)当n ＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36，能被9整除，命题成立．(2)假设n ＝k 时，命题成立，即 k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3＝(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋k 3＋3k 2·3＋3k ·32＋33＝k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋9(k 2＋3k ＋3)．由归纳假设，上式中k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，又9(k 2＋3k ＋3)也能被9整除． 故n ＝k ＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N ＋命题成立.平面上有n (n ≥2，且n ∈N ＋)条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条不过同一点，求证：这n 条直线共有f (n )＝n （n －1）2个交点．[精讲详析] 本题考查数学归纳法在证明几何命题中的应用，解答本题应搞清交点随n 的变化而变化的规律，然后采用数学归纳法证明．(1)当n ＝2时，∵两相交直线只有1个交点，又f (2)＝12×2×(2－1)＝1.∴当n ＝2时，命题成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2且k ∈N ＋)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k 条直线的交点个数为f (k )＝12k (k －1)，则当n ＝k ＋1时，任取其中一条直线记为l ，如图，剩下的k 条直线为l 1，l 2，…，l k .由归纳假设知，它们之间的交点个数为f (k )＝k （k －1）2.由于l 与这k 条直线均相交且任意三条不过同一点，所以直线l 与l 1，l 2，l 3，…，l k 的交点共有k 个．∴f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝k （k －1）2＋k ＝k 2＋k 2＝k （k ＋1）2＝（k ＋1）[（k ＋1）－1]2.∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，命题对一切n ∈N ＋且n ≥2成立．——————————————————对于几何问题的证明，可以从有限情形中归纳出一个变化的过程，或者说体会出是怎么变化的，然后再去证明，也可以采用递推的办法，利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时几何图形的变化规律．3．证明：凸n 边形的对角线的条数f (n )＝12n ·(n －3)(n ≥4)． 证明：(1)n ＝4时，f (4)＝12·4·(4－3)＝2， 四边形有两条对角线，命题成立．(2)假设n ＝k 时命题成立，即凸k 边形的对角线的条数f (k )＝12k (k －3)(k ≥4) 当n ＝k ＋1时，凸k ＋1边形是在k 边形基础上增加了一边，增加了一个顶点A k ＋1，增加的对角线条数是顶点A k ＋1与不相邻顶点连线再加上原k 边形的一边A 1A k ，共增加的对角线条数为(k ＋1－3)＋1＝k －1.f (k ＋1)＝12k (k －3)＋k －1＝12(k 2－k －2)＝12(k ＋1)(k －2)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]． 故n ＝k ＋1时由(1)、(2)可知，对于n ≥4，n ∈N ＋公式成立．本课时考点常与数列问题相结合考查数学归纳法的应用，天津高考将数列、数学归纳法相结合，以解答题的形式进行了考查，是高考命题的一个新亮点．[考题印证](天津高考)已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a n b 1＋a n －1b 2＋…＋a 1b n ，n ∈N ＋，证明T n ＋12＝－2a n ＋10b n (n ∈N ＋)．[命题立意] 本题考查数学归纳法在证明数列问题中的应用．[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d .由条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2＋3d ＋2q 3＝27，8＋6d －2q 3＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝2. 所以a n ＝3n －1，b n ＝2n，n ∈N ＋.(2)法一：由(1)得 T n ＝2a n ＋22a n －1＋23a n －2＋…＋2n a 1，①2T n ＝22a n ＋23a n －1＋…＋2n a 2＋2n ＋1a 1.②由②－①，得T n ＝－2(3n －1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n ＋2n ＋2 ＝12（1－2n －1）1－2＋2n ＋2－6n ＋2＝10×2n －6n －10.而－2a n ＋10b n －12＝－2(3n －1)＋10×2n －12＝10×2n －6n －10，故T n ＋12＝－2a n ＋10b n ，n ∈N ＋.法二：(1)当n ＝1时，T 1＋12＝a 1b 1＋12＝16，－2a 1＋10b 1＝16，故等式成立；(2)假设当n ＝k 时等式成立，即T k ＋12＝－2a k ＋10b k ，则当n ＝k ＋1时有T k ＋1＝a k ＋1b 1＋a k b 2＋a k －1b 3＋…＋a 1b k ＋1＝a k ＋1b 1＋q (a k b 1＋a k －1b 2＋…＋a 1b k )＝a k ＋1b 1＋qT k ＝a k ＋1b 1＋q (－2a k ＋10b k －12)＝2a k ＋1－4(a k ＋1－3)＋10b k ＋1－24＝－2a k ＋1＋10b k ＋1－12.即T k ＋1＋12＝－2a k ＋1＋10b k ＋1.因此n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)和(2)，可知对任意n ∈N ＋，T n ＋12＝－2a n ＋10b n 成立．一、选择题1．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a (a ≠1，n ∈N ＋)”时，在验证当n＝1成立时，左边计算所得的结果是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3解析：选C 由于等式左边当n ＝1时，幂指数的最大值为1＋1＝2，∴左边计算结果为1＋a ＋a 2或在等式中左边共有n ＋2项，∴n ＝1时，共有3项．2．用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)·… ·(n ＋n )＝2n×1×3…(2n －1)时，从“k 到k ＋1”左边需增乘的代数式是( )A ．2k ＋1 B.2k ＋1k ＋1C ．2(2k ＋1) D.2k ＋2k ＋1解析：选C 当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)·… ·(k ＋1＋k ＋1)＝(k ＋1)·(k ＋2)·(k ＋3)…(k ＋k )·（2k ＋1）（2k ＋2）k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )·2(2k ＋1)．3．某个命题与正整数n 有关，如果当n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时，命题也成立．现已知当n ＝5时该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题成立C ．当n ＝4时该命题不成立D ．当n ＝4时该命题成立解析：选C 与“如果当n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时命题也成立”等价的命题为“如果当n ＝k ＋1时命题不成立，则当n ＝k (k ∈N ＋)时，命题也不成立”．故知当n ＝5时，该命题不成立，可推得当n ＝4时该命题不成立，故选C.4．用数学归纳法证明“n 2＋n <n ＋1(n ∈N ＋)”的过程中的第二步n ＝k ＋1时(n ＝1已验，n ＝k 已假设成立)，这样证明：（k ＋1）2＋（k ＋1）＝k 2＋3k ＋2<k 2＋4k ＋4＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，命题成立，此种证法( )A ．是正确的B ．归纳假设写法不正确C ．从k 到k ＋1推理不严密D ．从k 到k ＋1的推理过程未使用归纳假设解析：选D ∵在上面的证明中，当n ＝k ＋1时证明过程没有错误，但没有用到当n ＝k 时的结论，这样就失去假设当n ＝k 时命题成立的意义，也不能构成一个递推关系，这不是数学归纳法．∴A 、B 、C 都不对，选D.二、填空题5．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N ＋)，则f (n ＋1)－f (n )等于________． 解析：因为f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1. 所以f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n －1＋13n ＋13n ＋1＋13n ＋2. 所以f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2. 答案：13n ＋13n ＋1＋13n ＋26．用数学归纳法证明：“当n 为奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”时，在归纳假设中，假设当n ＝k 时命题成立，那么下一步应证明n ＝________时命题也成立．解析：两个奇数之间相差2.答案：k ＋27．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1(n ∈N ＋)”的过程中，第二步假设n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到________．解析：∵n ＝k 时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1”， ∴n ＝k ＋1时为使用归纳假设，应写成1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k ，又考虑到目的，最终应为2k ＋1－1. 答案：1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k ＋1－18．用数学归纳法证明22＋32＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）6－1(n ∈N ＋，且n >1)时，第一步应验证n ＝________，当n ＝k ＋1时，左边的式子为________．解析：∵n ＝k 时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1”， ∴n ＝k ＋1时为使用归纳假设，应写成1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k ，又考虑到目的，最终应为2k ＋1－1. 答案：1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k ＋1－1三、解答题9．用数学归纳法证明： 11×2＋13×4＋…＋1（2n －1）×2n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n. 证明：(1)当n ＝1时，左边＝11×2＝12， 右边＝12，等式成立． (2)假设当n ＝k 时，等式成立，即11×2＋13×4＋…＋1（2k －1）×2k＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)， 则当n ＝k ＋1时，11×2＋13×4＋…＋1（2k －1）×2k ＋1（2k ＋1）（2k ＋2）＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋1（2k ＋1）（2k ＋2） ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2＋1k ＋1 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2 ＝1（k ＋1）＋1＋1（k ＋1）＋2＋…＋1（k ＋1）＋k ＋1（k ＋1）＋（k ＋1）， 即当n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)(2)可知，对一切n ∈N ＋，等式成立．10．用数学归纳法证明对于整数n ≥0，A n ＝11n ＋2＋122n ＋1能被133整除．证明：(1)当n ＝0时，A 0＝112＋12＝133能被133整除．(2)假设n ＝k 时，A k ＝11k ＋2＋122k ＋1能被133整除．当n ＝k ＋1时， A k ＋1＝11k ＋3＋122k ＋3＝11·11k ＋2＋122·122k ＋1 ＝11·11k ＋2＋11·122k ＋1＋(122－11)·122k ＋1 ＝11·(11k ＋2＋122k ＋1)＋133·122k ＋1.∴n ＝k ＋1时，命题也成立．根据(1)、(2)，对于任意整数n ≥0，命题都成立．11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n 的等差中项为1.(1)写出a 1，a 2，a 3；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明． 解：(1)由题意S n ＋a n ＝2，∴a 1＝1，a 2＝12，a 3＝14. (2)猜想a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，等式成立． ②假设当n ＝k 时，等式成立，即a k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1，∵S k ＋1＝2－a k ＋1，S k ＋1－S k＝a k ＋1，S k ＝2－a k ，∴a k ＋1＝12a k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ， 即当n ＝k ＋1时，等式成立．根据①②可知，对一切n ∈N ＋，等式成立．。

【金版学案】2015-2016 高中数学 第一章 统计案例章末总结 新人 教 A 版选修 1-2回归方程及其应用 对所抽取的样本数据进行分析，分析两个变量之间的关系——线性关系或非线性关系， 并由一个变量的变化去推测另一个变量的变化， 这就是对样本进行回归分析． 矚慫润厲钐瘗睞枥。

某商场经营一批进价是 30 元/台的小商品， 在市场试验中发现， 此商品的销售单价 x(x 取整数)元与日销售量 y 台之间有如下对应数据：聞創沟燴鐺險爱氇。

单位 x/元35404550日销售量 y/台564128111 / 11(1)画出散点图并说明 y 与 x 是否具有线性相关关系． 如果有， 求出线性回归方程(方程 的斜率保留一个有效数字)．残骛楼諍锩瀨濟溆。

(2)设经营此商品的日销售利润为 P 元， 根据(1)写出 P 关于 x 的函数关系式， 并预测当 销售单价 x 为多少元时，才能获得最大日销售利润．酽锕极額閉镇桧猪。

分析：作出散点图，根据散点图观察是否具有线性相关关系． 解析：(1)散点图如图所示：从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量具有线性相关关系． ^ ^ ^ (2)设回归直线方程为y＝a＋bx.彈贸摄尔霁毙攬砖。

－ － ^ ∵ x ＝42.5， y ＝34，∴b＝错误!＝－错误!≈－3，错误!＝错误!－b错误!＝34－(－ 3)×42.5＝161.5.謀荞抟箧飆鐸怼类。

^ ∴y＝161.5－3x. (2)由题意，有 P＝(161.5－3x)(x－30)＝－3x ＋251.5x－4 845. 251.5 ∴当 x＝ ≈42 时，P 有最大值． 6 即预测销售单价为 42 元时，能获得最大日销售利润． 点评：判断两个变量之间是否有线性相关关系一般有两种方法：一是计算样本相关系 数； 二是画散点图． 两种方法要结合题目的要求合理选取， 也可同时使用， 则判断更加准确． 厦礴恳蹒骈時盡继。