精品教育高中数学北师大版必修4习题：第三章三角恒等变形3.3.2

第三章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数y=3sin x-3√3cos x的最大值是()A.3+3√3B.4√3C.6D.3解析:∵函数y=3sin x-3√3cos x=6si n(x-π3),∴所求的最大值是6.答案:C2.函数y=2si n(π3-x)−cos(π6+x)(x∈R)的最小值等于()A.-3B.-2C.-1D.−√5解析:y=2si n(π3-x)−cos(π6+x)=2cos(π6+x)−cos(π6+x)=cos(π6+x),故最小值为-1.答案:C3.计算34cos215°−38等于()A.−3√316B.3√316C.316D.−316解析:34cos215°−38=38(2cos215°−1)=38cos 30°=38×√32=3√316.答案:B4.函数g(x)的图像是函数f(x)=sin 2x−√3cos 2x的图像向右平移π12个单位长度得到的,则函数g(x)的图像的对称轴为()A.直线x=π4B.直线x=π3C.直线x=π2D.直线x=π6解析:f(x)=sin 2x−√3cos 2x=2si n(2x-π3),其图像向右平移π12个单位长度得到g(x)=2si n[2(x-π12)-π3]=2sin(2x-π2)=−2cos 2x.由cos 2x=±1,得2x=kπ(k∈Z),即x=kπ2(k∈Z),所以函数g(x)的图像的对称轴为直线x=kπ2(k∈Z).只有选项C符合条件.答案:C5.在△ABC中,C=90°,则函数y=sin2A+2sin B的最值情况是()A.有最大值,无最小值B.无最大值,有最小值C.有最大值,也有最小值D.无最大值,也无最小值解析:y=sin2A+2sin B=sin2A+2cos A=1-cos2A+2cos A=-(cos A-1)2+2,而0<cos A<1,故函数无最大值也无最小值.答案:D6.如图,在平面直角坐标系中,已知两点A(cos 80°,sin 80°),B(cos 20°,sin 20°),则AB的长为()A.12B.√22C.√32D.1解析:由两点间的距离公式,得AB=√(cos80°-cos20°)2+(sin80°-sin20°)2=√2-2(cos80°cos20°+sin80°sin20°)=√2-2cos(80°-20°)=√2-2cos60°=√2-2×12=1.答案:D7.已知向量a=(cos 2α,sin α),b=(1,2sin α-1),α∈(π2,π),若a·b=25,则tan(α+π4)=()A.13B.27C.17D.23解析:由a·b=25,得cos 2α+sin α(2sin α-1)=25,解得sin α=35.又α∈(π2,π),所以cos α=−45,tan α=−34,则ta n(α+π4)=tanα+tanπ41-tanαtanπ4=17.答案:C8.已知sin θ=35,5π2<θ<3π,则tanθ2+cosθ2的值为()A.√1010−3B.3−√1010C.−30+√1010D.30+√1010解析:因为sin θ=35,5π2<θ<3π,所以cos θ=−45,又5π4<θ2<3π2,所以si nθ2=−√1-cosθ2=−3√1010,co sθ2=−√1+cosθ2=−√1010,tanθ2=3,故ta nθ2+cosθ2=3−√1010.答案:B9.若cos 5°=a,则sin 2 375°等于()A.−12a−√32√1-a2B.12a+√32√1-a2C.−√32a−12√1-a2D.√32a+12√1-a2解析:因为cos 5°=a,所以sin 5°=√1-a2,所以sin 2 375°=sin 215°=-sin 35°=-sin(30°+5°)=-sin 30°cos5°-cos 30°sin 5°=−12a−√32√1-a2.答案:A10.有下列四个函数:①y=sin x+cos x;②y=sin x-cos x;③y=sin x·cos x;④y=sinxcosx .其中在(0,π2)上为递增函数的是()A .①B .②C .①和③D .②和④解析:y=sin x+cos x =√2sin (x +π4)在(0,π2)上不是单调函数,所以①不是,排除A 和C;y =sinxcosx =tan x 在(0,π2)上是增加的,所以④是,排除B,故选D .答案:D11.已知(sin x-2cos x )(3+2sin x+2cos x )=0,则sin2x+2cos 2x1+tanx的值为( )A .85B.58C .25D.52解析:∵3+2sin x+2cos x=3+2√2sin (x +π4)>0,∴sin x-2cos x=0.∴tan x=2. ∴原式=2cosx (sinx+cosx )1+sinxcosx=2cos 2x (sinx +cosx )cosx +sinx=2cos 2x =2cos 2x22=2tan 2x +1=222+1=25.答案:C12.关于函数f (x )=2(sin x-cos x )cos x 有以下四个结论:P 1:最大值为√2;P2:把函数f(x)=√2sin 2x −1的图像向右平移π4个单位长度后可得到函数f(x)=2(sin x −cos x)cos x 的图像;P3:递增区间为[kπ+7π8,kπ+11π8] (k ∈Z );P 4:图像的对称中心为(kπ+π,-1)(k ∈Z ).其中正确的结论有( ) A .1个B .2个C .3个D .4个解析:因为f (x )=2sin x cos x-2cos 2x=sin 2x-cos 2x-1=√2sin (2x -π4)−1,所以最大值为√2−1,所以P 1错误;将f (x )=√2sin 2x-1的图像向右平移π4个单位长度后得到f (x )=√2sin [2(x -π4)]−1=√2sin (2x -π)−1的图像,所以P 2错误;由−π+2kπ≤2x −π≤π+2kπ,解得−π+kπ≤x ≤3π+kπ(k ∈Z ),即递增区间为[-π8+kπ,3π8+kπ](k∈Z),所以P3正确;由2x−π4=kπ(k∈Z),得x=k2π+π8(k∈Z),所以对称中心为(k2π+π8,-1)(k∈Z),所以P4正确.答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.函数y=ta n x2−1sinx的最小正周期是.解析:y=1-cosxsinx −1sinx=−cosxsinx=−1tanx,T=π.答案:π14.函数f(x)=(sin x+cos x)2的递增区间是. 解析:f(x)=(sin x+cos x)2=1+sin 2x.令−π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ(k∈Z),得−π4+kπ≤x≤π4+kπ(k∈Z),所以f(x)的递增区间是[-π4+kπ,π4+kπ](k∈Z).答案:[-π4+kπ,π4+kπ](k∈Z)15.已知α∈(0,π2),且tan(α+π4)=3,则log5(sin α+2cos α)+log5(3sin α+cos α)=.解析:ta n(α+π4)=tanα+11-tanα=3,∴tan α=12,则log5(sin α+2cos α)+log5(3sin α+cos α)=log53sin 2α+7sinαcosα+2cos2αsin2α+cos2α=log53tan 2α+7tanα+2tan2α+1=log55=1.答案:116.在平面直角坐标系xOy中,已知任意角θ以坐标原点O为顶点,x轴的非负半轴为始边,若终边经过点P(x0,y0),且|OP|=r(r>0),定义:sos θ=y0+x0r,称“sos θ”为“正余弦函数”,对于“正余弦函数”y=sos x,有同学得到以下性质:①该函数的值域为[−√2,√2];②该函数的图像关于原点对称;③该函数的图像关于直线x=3π4对称;④该函数为周期函数,且最小正周期为2π;⑤该函数的递增区间为[2kπ-3π4,2kπ+π4],k∈Z.其中正确的是.(填上所有正确性质的序号)解析:由“正余弦函数”的定义可知,y=sos x=sin x+cos x=√2sin(x+π4),由三角函数的性质可得①④⑤正确.答案:①④⑤三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知tan α=2.(1)求ta n(α+π4)的值;(2)求sin2αsin2α+sinαcosα-cos2α-1的值.解(1)ta n(α+π4)=tanα+tanπ41-tanαtanπ4=tanα+11-tanα=2+11-2=−3.(2)sin2αsin2α+sinαcosα-cos2α-1=2sinαcosαsin2α+sinαcosα-(2cos2α-1)-1 =2sinαcosαsin2α+sinαcosα-2cos2α=2tanαtan2α+tanα-2=2×222+2-2=1.18.(12分)若函数f(x)=1+cos2x4sin(π2+x)−asin x2cos(π-x2)的最大值为2,求实数a的值.解f(x)=1+cos2x4sin(π2+x)−asin x cos(π-x)=2cos2x+asin x cos x=1cos x+a sin x=√1+a2sin(x+φ),其中φ满足sin φ=2则该函数的最大值为√1+a2,由已知,得14+a24=22,∴a2=15,∴a=±√15.19.(12分)已知函数f(x)=a(cos2x+sin x cos x)+b.(1)当a>0时,求f(x)的递增区间;(2)当a<0,且x∈[0,π2]时,f(x)的值域是[3,4],求a,b的值.解f(x)=a·1+cos2x2+a·12sin 2x+b=√2a2sin(2x+π4)+a2+b.(1)当2kπ−π≤2x+π≤2kπ+π(k∈Z)时,kπ−3π8≤x≤kπ+π8(k∈Z),∴[kπ-3π8,kπ+π8](k∈Z)为f(x)的递增区间.(2)∵0≤x≤π2,∴π4≤2x+π4≤5π4,∴−√22≤si n(2x+π4)≤1,∴f(x)min=1+√2a+b=3,f(x)max=b=4,∴a=2-2√2,b=4.20.(12分)已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x+θ)的定义域为R.(1)当θ=0时,求f(x)的单调区间.(2)若θ∈(0,π),且sin x≠0,当θ为何值时,f(x)为偶函数?解(1)当θ=0时,f(x)=sin x+cos x=√2sin(x+π4),当2kπ−π≤x+π≤2kπ+π(k∈Z),即2kπ−3π≤x≤2kπ+π(k∈Z)时,f(x)是增加的;当2kπ+π2≤x+π4≤2kπ+3π2(k∈Z),即2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4(k∈Z)时,f(x)是减少的.∴f(x)的递增区间为[2kπ-3π4,2kπ+π4](k∈Z);f(x)的递减区间为[2kπ+π,2kπ+5π](k∈Z).(2)f(x)=√2cos(x-π4+θ)为偶函数,则θ−π4=kπ(k∈Z),∴θ=kπ+π4(k∈Z).∵θ∈(0,π),∴θ=π4.21.(12分)已知函数f(x)=12sin 2x−√3cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最小值;(2)将函数f(x)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图像.当x∈[π2,π]时,求g(x)的值域.解(1)f(x)=12sin 2x−√3cos2x=12sin 2x−√32(1+cos 2x)=12sin 2x−√32cos 2x−√32=sin(2x-π3)−√32,因此f(x)的最小正周期为π,最小值为−2+√3.(2)由条件可知:g(x)=si n(x-π3)−√32.当x∈[π2,π]时,有x−π3∈[π6,2π3],从而si n(x-π3)的值域为[12,1],那么si n(x-π3)−√32的值域为[1-√32,2-√32].故g(x)在区间[π2,π]上的值域是[1-√32,2-√32].22.(12分)已知函数f(x)=√3sin ωx·cos ωx+cos2ωx−12(ω>0),其最小正周期为π2.(1)求f(x)的解析式;(2)将函数f(x)的图像向右平移π8个单位长度,再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图像,若关于x的方程g(x)+k=0在区间[0,π2]上有且只有一个实数解,求实数k的取值范围.解(1)f(x)=√3sin ωx·cos ωx+cos2ωx−12=√32sin 2ωx+cos2ωx+12−12=sin(2ωx+π6).由题意,知f(x)的最小正周期T=π,则2π=π=π,所以ω=2,所以f(x)=si n(4x+π6).(2)将f(x)的图像向右平移π8个单位长度后,得到y=si n(4x-π3)的图像,再将所得图像所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y=si n(2x-π3)的图像,所以g(x)=si n(2x-π3).因为0≤x≤π2,所以−π3≤2x−π3≤2π3.g (x )+k=0在区间[0,π2]上有且只有一个实数解,即函数y=g (x )与y=-k 的图像在区间[0,π2]上有且只有一个交点,由正弦函数的图像可知−√32≤-k <√32或-k=1,所以−√32<k ≤√32或k=-1.。

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7
师：现在暂停读书，这几个公式形式比我们过去学过的其他 三角公式要复杂一些，记好用好这些公式得有一段过程，当 然，千万不要死记硬背，适当做一些练习，掌握这些公式的 实际应用，是可以逐步掌握它们的．让我们看看以下的例 题． 例题 求sin75°·cos15°的值． 请同学们想想有什么办法可以解决这个问题？ 生1：考虑到75°±15°都是特殊角，所以想到使用积化和差 公式解决之．
2． cos37.5°·cos22.5°
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10
而sin20°·sin40°·sin80°
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11
(四)课堂小结
本节课，我们学习了三角函数的积化和差公式，虽然这些公式是新出现 的，但它和过去学习的一些三角公式有密切的关系，所以首先应理清他 们的内在联系，这组公式的功能可以把三角函数的积的形式转化为和差 的形式，通过例解及课堂练习，同学们也开始发现这组公式的作用，希 望同学们在今后的学习中记好、用好这一组公式
五、作业
P．231中3；P．236中1、2．
六、教后反思：
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12
第二课时 三角函数的和差化积
一、教与学过程设计 (一)复习积化和差公式 1．请学生复述积化和差公式，教师板书
2．部分作业选讲 ① 证明 cos2αcosα—sin5αsin2α=cos4α·cos3α． 利用积化和差公式，可得
间是有紧密关系的．
师：和、差、倍、半角的三角函数是一组十分重要的公式，它
们在解决三角恒等变换等方面有许多重要应用．但是，光是这
些关系还不足以解决问题，今天我们还要进一步把握它们的内
在联，寻求新的关系式．
(二)引入新课
请学生说出正、余弦的和差完角整版公课件式pp(t 板书)

§2两角和与差的三角函数2.1两角差的余弦函数2.2两角和与差的正弦、余弦函数课时过关·能力提升1.在△ABC中,sin A sin B<cos A cos B,则其形状是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形解析:∵sin A sin B<cos A cos B,∴cos A cos B-sin A sin B>0,即cos(A+B)>0,∴cos C<0.故这个三角形为钝角三角形.答案:B2.在△ABC中,已知cos A=35,cos B=1517,则cos C等于()A.−1385B.1385C.−7785D.7785解析:因为cos A=35,cos B=1517,所以sin A=4,sin B=8,所以cos C=-cos(A+B)=−35×1517+45×817=−1385.答案:A3.函数f(x)=sin x−√3cos x(x∈[-π,0])的递增区间是()A.[-π,-5π6]B.[-5π6,-π6]C.[-π3,0]D.[-π6,0]解析:f(x)=2(12sinx-√32cosx)=2(sinxcosπ3-cosxsinπ3)=2sin(x-π3).∵-π≤x≤0,∴−4π3≤x−π3≤−π3,∴当−π≤x −π≤−π,即x ∈[-π6,0]时,f (x )是增加的.答案:D4.已知α,β均为锐角,且cos α=√10,cos β=√5,则α+β的值是( ) A .2π3B.3π4C.π4D.π3解析:∵α,β均为锐角,∴sin α=3√10,sin β=2√5. ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=√1010×√55−3√1010×2√55=−√22.又α,β均为锐角,∴0<α+β<π.∴α+β=3π4. 答案:B5.已知8sin α+5cos β=6,sin(α+β)=4780,则8cos α+5sin β=( ) A .±10 B .10 C .-10D .±20 解析:设8cos α+5sin β=x ,则(8sin α+5cos β)2+(8cos α+5sin β)2=62+x 2,从而有64+25+80(sin α·cos β+cos αsin β)=36+x 2,∴89+80×4780=36+x2,∴x2=100,∴x =±10.答案:A6.已知函数f (x )=√3sin 2x +cos 2x,则下面结论中错误的是( )A .函数f (x )的最小正周期为πB .函数f (x )的图像可由g (x )=2sin 2x 的图像向左平移π6个单位长度得到C .函数f (x )的图像关于直线x =π6对称D .函数f (x )在区间[0,π6]上是增加的解析:∵函数f (x )=√3sin 2x+cos 2x=2(√32sin2x +12cos2x)=2sin (2x +π6),∴把g (x )=2sin 2x 的图像向左平移π6个单位长度得到函数y=2si n [2(x +π6)]=2sin (2x +π3)的图像,∴B 选项是错误的. 答案:B7.在△ABC 中,A=120°,则sin B+sin C 的最大值为 .解析:由A=120°,A+B+C=180°,得sin B+sin C=sin B+sin(60°-B )=√32cos B +12sin B=sin(60°+B ).显然,当B=30°时,sin B+sin C 取得最大值1.答案:1★8.已知α,β∈(3π4,π),sin(α+β)=−35,sin(β-π4)=1213,则cos(α+π4)=.解析:由条件,得3π2<α+β<2π,π2<β−π4<3π4,∴cos(α+β)=45,cos(β-π4)=−513.∴co s(α+π4)=cos[(α+β)-(β-π4)]=cos(α+β)co s(β-π4)+sin(α+β)sin(β-π4)=45×(-513)+(-35)×1213=−5665.答案:−56659.函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为. 解析:∵f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)=sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cos φ+cos(x+φ)sin φ-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cos φ-cos(x+φ)sin φ=sin[(x+φ)-φ]=sin x.∴f(x)max=1.答案:110.求证:sin(2α+β)sinα−2cos(α+β)=sinβsinα.证明左边=sin[α+(α+β)]-2sinαcos(α+β)sinα=sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)-2sinαcos(α+β)sinα=-sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)sinα=sin[(α+β)-α]sinα=sinβsinα=右边,∴原等式成立.11.已知si n(α+π3)+sin α=−4√35,−π2<α<0,求cos α的值.解由已知,得sin αco sπ3+cos αsi nπ3+sin α=−4√35,∴3 2sin α+√32cos α=−4√35,∴√32sin α+12cos α=−45,即si n(α+π)=−4.∵−π<α<0,∴−π3<α+π6<π6,∴cos(α+π6)=35,∴cos α=co s[(α+π6)-π6]=cos(α+π6)cosπ6+sin(α+π6)sinπ6=35×√32+(-45)×12=3√3-410.★12.已知a=(√3,−1),b=(sin x,cos x),x∈R,f(x)=a·b.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)的周期、值域及单调区间.解(1)f(x)=a·b=(√3,−1)·(sin x,cos x)=√3sin x-cos x=2(√32sinx-12cosx)=2sin(x-π6)(x∈R).(2)∵f(x)=2si n(x-π6),∴f(x)的周期为2π1=2π,值域为[-2,2].由−π2+2kπ≤x−π6≤π2+2kπ(k∈Z),得f(x)的递增区间为[-π3+2kπ,2π3+2kπ](k∈Z);由π2+2kπ≤x−π6≤3π2+2kπ(k∈Z),得f(x)的递减区间为[2π3+2kπ,5π3+2kπ](k∈Z).。

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1.两角和与差的余弦公式
(1)cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β ;(Cα+β) (2)cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β .(Cα-β) 2.两角和与差的正弦公式
(1)sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β ;(Sα+β) (2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β .(Sα-β)
2.
同理,sin
2α=−
12 13
.
∴sin(α-β)=sin[2α-(α+β)]
=sin
2αcos(α+β)-cos
2αsin(α+β)=
12-10 39
2.
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反思求解本题的关键是利用角的代换化异角为同角.常见
的角的变换有 α=(α+β)-β=β-(β-α),π4+α=π2 −
已知 α,β 都是锐角,且 sin α=
5 , sin ������ =
5
10 , 求������ +
10
������的值.
错解∵α,β∈
0,
π 2
, 且sin
α=
5 , sin ������ =
5
10,
10
∴cos
α=
2 5,
5
cos
������
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