山西大学附属中学2014届高三第二学期第一次月考数学试题(理科)
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山西大学附属中学2014届高三第二学期第一次月考数学试题（理科）考试时间：120分钟 满分：150分 考查内容：高中全部 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1.已知i 为虚数单位,则1ii+的实部与虚部的乘积等于( ) A. 14 B. 14- C. 14i D. 14i -2．集合A ={}16102-+-=x x y x ，集合B ={}A x x y y ∈=,log 2，则=⋂B C A R ( )A.[]32，B.(]21，C.[]83，D.(3．已知x 与y 方程∧∧∧+=a x b y 必过 ( ) A ．点)2,2( B ．点)0,23(C ．点)2,1(D ．点)4,23(4个选项中的（ ） A. b c > B. c b > C. c >5．已知正项数列{}n a 中，11=a 222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a A ．22 B ．4 C ．6．设,,a b c 是空间三条直线，,αβA ．当c α⊥时，若c β⊥，则//αβ B ．当b α⊂时，若b β⊥，则αβ⊥C ．当,b a αα⊂⊄且c 是a 在α内的射影时，若b c ⊥，则a b ⊥D ．当b α⊂且c α⊄时，若//c α，则//b c7．若点),(y x M 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥<-+04x x y y x ，则15--x y 的取值范围是（ ）A.),1()3,(+∞⋃--∞B.),1[]3,(+∞⋃--∞C.)1,3(-D.]1,3[- 8．使奇函数)2cos(3)2sin()(θθ+++=x x x f 在]0,4[π-上为减函数的θ值为（ ）侧视图正视图A.3π- B.6π- C.65πD.32π9．现有4名教师参加说课比赛，共有4个备选课题，若每位选手从中有放回地随机选出一个课题进行说课，其中恰有一个课题没有被这4位选中的情况有( )A. 288种B. 144种C. 72种D. 36种10.矩形ABCD中,2,3,AD AB E==为AD的中点,P为边AB上一动点,则tan DPE∠的最大值）AD．111．已知函数,log31()(2xxxf-=实数cba,,满足),(0)()()(>>><⋅⋅abccfbfaf若实数x 为方程0)(=xf的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是( )A．x<a B．x>b C．x<c D．x>c12．设1F、2F是双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使22()0OP OF PF+⋅=（O为坐标原点），且122||3||PF PF=，则双曲线的离心率为( )A．32BC D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分,共20分.）13.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该几何体的表面积为.14.设(sin cos)a x x dxπ=+⎰，则二项式6(展开式中含2x项的系数是 .15．在△ABC 中，a、b、c分别为、B、C的对边，三边a、b、c成等差数列，且，则cos cosA C-的值为．16．给出以下四个命题：①设2:0p a a+≠,:0q a≠，则qp是的充分不必要条件；②过点)2,1(-且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程是01=-+yx；③若函数()y f x=与()y g x=的图像关于直线y x=对称，则函数()2y f x=与()12y g x=的图像也关于直线y x=对称；④若直线01cossin=++ααyx和直线1cos102x yα--=垂直，则角2().26k k kππαπαπ=+=+∈Z或其中正确命题的序号为．（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本题满分12分）数列}{na的前n项和为nS，数列}{nb的前n项的和为nT，}{nb为等差数列且各项均为正数，11=a ，121+=+n n S a )(*N n ∈，15321=++b b b （Ⅰ）求证：数列}{n a 是等比数列；（Ⅱ）若11b a +，22b a +，33b a +成等比数列，求n T ．18．（本题满分12分）为了某项大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选。
假定某基地有4名武警战士（分别记为A 、B 、C 、D ）拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为221,,332.这三项测试能否通过相互之间没有影响. （Ⅰ）求A 能够入选的概率； （II ）规定：按入选人数得训练经费（每入选1人，则相应的训练基地得到3000元的训练经费），求该基地得到训练经费的分布列与数学期望. ks5u 19．（本题满分12分）如图，D 、E 分别是正三棱柱111ABC A B C -的棱1AA 、11B C 的中点，且棱18AA =，4AB =.（Ⅰ）求证：1//A E 平面1BDC ；（Ⅱ）在棱1AA 上是否存在一点M ，使二面角11M BC B --的大小为60 ，若存在，求AM 的长；若不存在，请说明理由.20．（本题满分12分）已知抛物线24y x =，过点(0,2)M 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，且直线l 与x 轴交于点C .（Ⅰ）求证:||MA 、||MC 、||MB 成等比数列；（Ⅱ）设MA AC α= ，MB BC β=，试问αβ+是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．21．(本小题满分12分) 已知函数)(x f 满足)()2(2x f x f =+，且当,)2,0(时∈x)21(ln )(-<+=a ax x x f ，)2,4(--∈x 时，)(x f 的最大值为4-.（Ⅰ）求,)2,0(时∈x 函数)(x f 的解析式； （Ⅱ）是否存在实数b 使得不等式x xx f bx >+-)(对于)2,1()1,0( ∈x 时恒成立？若存在，求出实数b 的取值集合；若不存在，说明理由．请考生在第22、23题中任选一题作答.若多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xoy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-4,22π，曲线C 的极坐标方程为θρsin 4=. （Ⅰ）写出点P 的直角坐标及曲线C 的普通方程；（Ⅱ）若Q 为C 上的动点，求PQ 中点M 到直线⎩⎨⎧+-=+=t y tx l 223:(t 为参数）距离的最小值.ks5u23.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知函数1()x f x e ex=+( 2.718)e ≈ . （Ⅰ）若1212,[1,),x x x x ∈+∞≠.求证：2121()()0f x f x x x ->-；（Ⅱ）若满足(||3)(|4|1)f a f a +>-+，试求实数a 的取值范围.数学（理）答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1.A. 2．D.3．D ．4．C. 5．B ． 6．B ．7．A. 8．D. 9． B. 10. C ． 11．D ．12．C ． 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分,共20分.） 13.224cm π 14.-192 15．．①③ 三、解答题17又，得2=d ，或10-=d （舍去）N 、P 则A 能够入选包含以下几个互斥事件：,,,.MNP MNP MNP MNP()()()()()P A P MNP P MNP P MNP P MNP ∴=+++221211*********332332332332183=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯== （4分） （Ⅱ）记ξ表示该训练基地得到的训练经费,则ξ的取值为0、3000、6000、9000、12000. ∴8113132)0(44=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ 8183132)1(3114=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ 81243132)2(2224=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ 81323132)3(1334=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ 81163132)4(0444=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛==C P ξ∴ξ的分布列为∴824321630006000900012000800081818181E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（元） （12分） 19．【法一】（Ⅰ）在线段1BC 上取中点F ，连结EF 、DF .则1//EF DA ，且1EF DA =，∴1EFDA 是平行四边形……2′∴1//A E FD ，又1A E ⊄平面1BDC ，FD ⊂平面1BDC ，∴1//A E 平面1BDC (4)11M BC B --大于60 . ……11′ ∴M 在棱1AA 上时，二面角11M BC B --总大于60 .故棱1AA 上不存在使二面角11M BC B --的大小为60 的点M . ……12′20.解：（I ）设直线l 的方程为：2y kx =+(0)k ≠，联立方程可得224y kx y x =+⎧⎨=⎩得:22(44)40k x k x +-+= ①设11(,)A x y ，22(,)B x y ，2(,0)C k -，则12244k x x k -+=-，1224x x k ⋅= ② 21224(1)||||0|0|k MA MB x x k+⋅=--=，而222224(1)||0|)k MC k k +=--=，∴2||||||0MC MA MB =⋅≠，即||MA ，||MC 、||MB 成等比数列 …………6分（Ⅱ）由MA AC α= ，MB BC β= 得11112(,2)(,)x y x y kα-=---，22222(,2)(,)x y x y kβ-=---即得：112kx kx α-=+，222kx kx β-=+，则212122121222()2()4k x x k x x k x x k x x αβ--++=+++由(1)中②代入得1αβ+=-，故αβ+为定值且定值为1-…………12分 21．解:（1）由已知得：()=2(+2)=4(+4)f x f x f x ， ……………1分()10,2()ln ()2x f x x ax a ∈=+<-因为时，，()()()4,2+40,2(+4)=ln(+4)++4x x f x x a x ∈--∈设时，则，所以∴()()4,2()=4(+4)4ln(+4)+4+4x f x f x x a x ∈--=时, ………3分∴144()4444x af x a a x x ++'=+=⋅++， 12a <- ，∴1442a -<--<-，∴当144()0()x f x f x a ⎛⎫'∈---> ⎪⎝⎭，时，，为增函数， 当142()0()x f x f x a ⎛⎫'∈--< ⎪⎝⎭，-时，，为减函数，∴111()(4)4ln()4()4max f x f a a a a =--=-+-=-，∴1a =----------5分∴当()0,2x ∈时，()ln f x x x =- …………6分（2）由（1）可得：()()0,11,2x ∈⋃时，不等式()x b f x x ->+恒成立， 即为ln x b x ->恒成立，① 当()0,1x ∈时，ln x bb x x x ->⇒>-，令(),(0,1)g x x x x =∈则()1g x '==令()ln 2h x x =-，则当()0,1x ∈时，11()0h x xx -'==<∴()(1)0h x h >=，∴()0g x '=>，ks5u∴()(1)1g x g <=，故此时只需1b ≥即可；----9分② 当()1,2x ∈时，ln x bb x x x -><，令(),(1,2)x x x x ϕ=∈则()1x ϕ'==令()ln 2h x x =-，则当()1,2x ∈时，1()0h x x'=-=>∴()(1)0h x h >=，∴()0x ϕ'=>，∴()(1)1x ϕϕ<=，故此时只需1b ≤即可， ………………11分综上所述：1b =，因此满足题中b 的取值集合为：{}1 ………………12分22.23.解：（Ⅰ）212121211212121212112111(1)()()()1()()()x x x x f x f x x x x x x xx x e x x e x x e x x -+-----===---211212110,0x x x x x x -∴>>∴>...2分1212,[1,),x x x x ∈+∞≠ 221()()0f x f x x x -∴>- .5分(Ⅱ)由（Ⅰ）可知，()f x 在[1,)+∞为单调增函数. ks5u||31,|4|11a a +>-+≥ ks5u且(||3)(|4|1)f a f a +>-+||3|4|1a a ∴+>-+ ..7分ks5u 当0a ≤时，34135a a a -+>-+∴>∴∈∅； 当04a <<时，341114a a a a +>-+∴>∴<<； 当4a ≥时，341334a a a +>-+∴>-∴≥ 综上所述：1a > ..........10分。
