第六章杆单元的有限变形理论及算法(徐春晖、李明瑞)

李廉锟《结构力学》笔记和课后习题（含考研真题）详解-第6章结构位移计算【圣才出品】第6章结构位移计算6.1 复习笔记【知识框架】【重点难点归纳】一、结构位移的基本概念（见表6-1-1）★★表6-1-1 结构位移的基本概念二、刚体的虚功原理★★★平衡方程是一种直接的受力分析方法，而虚功原理是一种间接手法。

虚功原理是（任意平衡力系）在（任意可能位移）上所做的总虚功为零。

根据虚设对象不同，刚体的虚功原理分两种应用形式（虚力原理、虚位移原理），具体见表6-1-2。

表6-1-2 刚体的虚功原理三、变形体系的虚功原理（见表6-1-3）★★★表6-1-3 变形体系的虚功原理四、位移计算的一般公式单位荷载法★★★★★基于化整为零、积零为整的原则，结构位移的计算从局部变形入手，通过虚力原理中的单位荷载法推导其拉伸、剪切、弯曲变形公式，再对这些局部变形公式进行叠加，得到整体变形公式，最后通过虚功方程推导出位移计算公式，见表6-1-4。

表6-1-4 单位荷载法求变形体系的位移注：为虚设单位荷载在支座处引起的反力；、N、Error!S分别为单位荷载在截面引起的弯矩、轴力、剪力。

拟求位移Δ可以引申理解为广义位移，将结构位移广义化，可以求解两点之间的广义位移。

广义位移、广义单位荷载和外力虚功三者之间满足：W＝1·Δ。

单广义位移分类及单位荷载施加方式见表6-1-5。

表6-1-5 单广义位移分类及单位荷载施加方式五、静定结构在荷载作用下的位移计算（见表6-1-6）★★★★表6-1-6 静定结构在荷载作用下的位移计算注：G为材料的切变模量；A为杆件截面的面积；k为切应力沿截面分布不均匀而引用的改正系数（考试作为已知条件）。

六、图乘法（见表6-1-7）★★★★★。

第1章绪论1.1 课程内容(1) 研究内容本课程主要研究工程结构计算机分析（数值分析）的常用方法——有限单元法、加权残数（余量）法和边界单元法的基本概念、基本原理及其应用。

(2) 参考书籍课程的主要参考书籍如下：唐锦春，孙炳楠，郭鼎康，计算结构力学，浙江大学出版社，1989丁皓江, 谢贻权, 何福保，弹性和塑性力学中的有限单元法，机械工业出版社，1989王勖成，有限单元法，清华大学出版社，2003王勖成，邵敏，有限单元法基本原理与数值方法，第二版，清华大学出版社，1997徐次达，固体力学加权残数法，同济大学出版社，1987孙炳楠，项玉寅，张永元，工程中边界单元法及其应用，浙江大学出版社，1991 Bath, K. J. Finite Element Procedures, Prentice-Hall, Inc., 1996.Zienkiewicz, O. C., The Finite Element Method, 5th Edition, McGraw Hill, 2001.Brebbia, C.A., The Boundary Element Method for Engineers, Pentech Press, London, 1978.Chandrupatla, T. R., Belegundu, A.D. Introduction to Finite Elements in Engineering, Prentice-Hall, Inc., 2002.1.2 结构分析方法概述一个工程技术问题总可由一组基本方程（通常是微分方程）加一组边界条件描述，即由下式给出：基本方程：L(u)-p=0，∈V（域内）边界条件：B(u)-g=0，∈S（边界）式中L、B为算子，p、g为已知函数。

工程技术问题的常用分析方法有：(1) 解析方法只适用于少数简单问题，即形状规则且外部作用（如外荷载）简单的结构分析问题。

前言本书是为了与张嗣瀛院士等编写的教材《现代控制理论》相配套而编写的习题解答。

本书对该教材中的习题给予了详细解答，可帮助同学学习和理解教材的内容。

由于习题数量较多，难易程度不同，虽然主要对象是研究型大学自动化专业本科学生，但同时也可以作使用其它教材的专科、本科、以及研究生的学习参考书。

书中第5、6、8章习题由高立群教授组织编选和解答；第4、7 章由井元伟教授组织编选和解答，第1、2章由郑艳副教授组织编选和解答。

由于时间比较仓促，可能存在错误，请读者批评、指正。

另外有些题目解法和答案并不唯一，这里一般只给出一种解法和答案。

编者 2005年5月第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答2.1有电路如图P2.1所示，设输入为1u ，输出为2u ，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。

图P2.1解 此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。

也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。

这里采样机理分析法。

设1C 两端电压为1c u ，2C 两端的电压为2c u ，则212221c c c du u C R u u dt++= (1) 112121c c c du u duC C dt R dt+= (2) 选择状态变量为11c x u =，22c x u =，由式(1)和(2)得：1121121121212111c c c du R R C u u u dt R R C R C R C +=--+ 2121222222111c c c du u u u dt R C R C R C =--+ 状态空间表达式为：12111211212121212122222221111111R R C x x x u R R C R C R C x x x u R C R C R C y u u x +⎧=--+⎪⎪⎪=--+⎨⎪⎪==-⎪⎩即: 12121121211112222222211111R R C R C R R C R C x x u x x R C R C R C +⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]11210x y u x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦2.2 建立图P22所示系统的状态空间表达式。

有限变形与有限元法引论作者徐春晖李明瑞前言由于我国已经进入大规模建设的新时代，基本上已走上自行设计、创新设计各类大型建筑结构如：大型场馆、大跨度和新型桥梁、超高层塔楼，更需自行设计制造自己的航天飞行器、军事武器、卫星天线等等。

可是结构设计的基本的力学理论基础还停留在小变形假设的线性理论基础上，不论是机械工业或是建筑工业的实际规范都也还停留在以小变形假设的理论基础上。

大型结构必然承受大的载荷，也必将产生大的变形。

所以大型结构用线性小变形理论进行设计的后果将是严重的。

不仅经济上将会遭受严重损失：小则盲目追求安全，浪费不必要的材料或是飞行器因过重而上不了天；大则会出现大型场馆、大型桥梁、超高层塔楼等建筑因陈旧的设计理论和规范造成坍塌(实际上已经出现了多起桥梁坍塌事故)，或是航天飞行器的事故将会造成人民的生命财产和我国的声誉的影响。

所以有限变形的理论及其应用是一个具有非常重要意义和现实意义的事。

20有限变形理论是一门描述物体在运动、变形全过程的精确理论。

对于变形体的任意微小变化（位移、转动、应变）均予以计入而不做忽略。

因此是高度非线性的。

相对线性小变形理论而言当然有一定难度。

作者希望从基本概念出发，将有限变形的理论、方法逐步介绍给初学者，并与有限元方法密切结合，使其成为读者能够掌握应用的一门实用学科。

30本书是一本基础性的入门著作，不可能涉及有限变形理论更深层次的问题和最新发展的方方面面。

这些问题将在本书的后继著作《有限变形与有限元的几个专门问题》中予以介绍。

内容简介作者系统地阐述了有限变形理论中的基本概念、基本原理、基本理论、基本方程，以及用有限元求解的方法、步骤、技巧。

全书共10章。

内容包括有限变形的理论基础及其与小变形理论的根本区别--位形概念、参考系概念、应变分析、应力分析、能量理论与能量共轭、变形梯度及极分解等。

以及介绍了为阅读本书必须具备的张量运算知识。

在此基础上详细介绍了杆系、二维梁、二维及三维连续体的有限元方法：如何建立上述结构的非线性有限元方程，以及求解非线性方程的方法和技巧，以及必须基于有限变形理论的各种算法。

有限杆中不可逆相边界的传播规律及其应用徐薇薇;唐志平;张兴华【摘要】采用一种简单混合物相变本构模型,对不可逆相变材料有限杆中的宏观相边界传播规律进行了研究.结果表明,界面和加卸载条件对杆中相边界的传播有重要影响,不同界面条件下杆中新相体积含量的最终分布呈现出不同的形态.还解释了相变Taylor杆碰撞实验中发现的新现象,提出了利用冲击方法制备对称型梯度材料的可能性.【期刊名称】《高压物理学报》【年(卷),期】2006(020)004【总页数】7页(P365-371)【关键词】相边界;梯度材料;特征线法;相变Taylor杆试验【作者】徐薇薇;唐志平;张兴华【作者单位】中国科学技术大学、中国科学院材料力学行为和设计重点实验室,安徽合肥,230027;中国科学技术大学、中国科学院材料力学行为和设计重点实验室,安徽合肥,230027;中国科学技术大学、中国科学院材料力学行为和设计重点实验室,安徽合肥,230027【正文语种】中文【中图分类】O347.41 引言相变材料中的冲击波往往具有三波结构：弹性前驱波、塑性波和相变波。

在x -t 图上，相变波分隔着未相变区和相变区，构成所谓的“宏观相边界”。

相边界除了力学意义上的间断外，在物理意义上它主要是一种物质间断面。

因此，对宏观相边界传播规律的研究，将有助于了解相变材料的动力学响应，并可能揭示出一些不同于普通冲击波的特殊现象，对于材料的冲击响应、应力波理论的拓展以及新型材料的冲击合成，具有重要的参考价值。

尽管冲击相变领域已有了广泛的研究，有关冲击下宏观相边界传播规律的研究却少见文献报道。

Abeyaratne等[1]研究了不稳定弹性材料中相边界传播的定解问题，其理论的核心是成核判据和动力学关系，所讨论的相边界是不同相的截然分界面，更接近微观意义。

Chen[2]、Bekker等人[3]分别采用不同的本构模型计算了形状记忆合金的热力耦合的撞击问题，但没有考虑卸载过程。