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教案图与网络最小费用流PPT课件

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运筹学-7、图与网络分析PPT课件

运筹学-7、图与网络分析PPT课件

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终止条件
所有节点都在同一连通分量中， 即生成树形成。
算法思想
从边开始，每次选择权值最小的 边加入，若形成回路则舍去，直 到生成树形成。
算法特点
适用于稀疏图，时间复杂度为 O(eloge)，其中e为边数。
最小生成树问题的应用
通信网络设计
在构建通信网络时，需要在保证所有节点连通的前提下，使得建设 成本最低。最小生成树算法可以用于求解此类问题。
活动时间的估计
对每个活动进行时间估计，包括乐观时间（a）、最 可能时间（m）和悲观时间（b），并计算期望时间 （t=（a+4m+b）/6）。
项目工期的计算
根据活动的逻辑关系和网络结构，计算项目 的期望工期，并确定项目的关键路径。
网络计划技术的应用
项目进度管理
网络计划技术可用于制定详细 的项目进度计划，确保项目按
图与网络的应用背景
图与网络分析的方法
介绍图与网络分析中常用的最短路径 算法、最小生成树算法、最大流算法 等。
阐述图与网络在交通运输、电路设计、 社交网络等领域的应用。
学习目标与要求
学习目标
掌握图与网络分析的基本概念和 常用算法，能够运用所学知识解 决实际问题。
学习要求
熟悉图与网络分析的基本概念和 常用算法，了解相关应用领域， 具备一定的编程能力和数学基础。
算法步骤
初始化距离数组和访问标记数组；从起点开始，选择距离起点最近的未访问节点进行访问 ，并更新其邻居节点的距离；重复上述步骤，直到所有节点都被访问。

最小费用最大流问题ppt课件

最小费用最大流问题ppt课件

v4 (5,3) vt
(3,0)
(2,1) v3
v1
Back 14
continued
(二)调整过程 (1)寻找以为终点的增广链----(反向追踪法)
若vt的第一个标号为v3 , 则弧(v3 , vt )是链上的弧。 接下来检查 v3的第一个标号， 为 v2， 则找出(v3 , v2 )是链上的弧。 同理， (v2 , v1 )和(vs , v1 )是链上的弧. 此时所求的增广链(vs , v1 , v2v3 , vt )。
(2)若在弧 (v j , vi )上 , fij 0, 则给 v j标号 (vi , l(v j )) 这 里 l(v j ) min[ l(vi ), f ji ] .此时,点 v j成为标号而未检查的点.
于是 vi 成为标号且已检查过的点.重复上述步骤,一旦 v t
被标上号,表明得到一条从 vs 到 v t 的增广链 ,转入调整过程.
3 、检查 v1
在弧 (v1 , v3 ) 上 , f13 c13 2, 不满足标号条件;
在弧 (v2 , v1 ) 上 , f 21 0, 则 v2的标号为 (v1,l(v2 )). 其中, l(v2 ) min[ l(v1), f21] min[ 4,1] 1 4 、检查 v2
若所有标号都已经检查过,而标号过程进行不下去时,则 算法结束,此时的可行流就是最大流.
10
2 、调整过程 (1)寻找以v t 为终点的增广链----(反向追踪法): 若vt的第一个标号为vk (或 vk ),则弧(vk , vt )(相应地(vt , vk ))是
链上的弧。 接下来检查vk的第一个标号， 若为vi (或 vi )， 则找 出(vi , vk )(相应地(vk , vi ))。 再检查的第一个标号， 依此下去， 直到 vs为止(2。)调此整时量被找 的l(v弧t ),就即构vt的成第了二增个广标链号。。

最大流与最小费用流PPT课件

最大流与最小费用流PPT课件
第6页/共36页
(1)为了便于弧标号法的计算，首先需要将最大流 问题（譬如图10.3.1）重新改画成为图10.3.2的形式。
图10.3.2
第7页/共36页
在图10.3.2中，每条弧 上V标ij 有两个数字，其
中，靠近点 i 的是 ，c靠ij 近点 j 的是 。如c①ji
②表示5 从0①到②的最大通过量是5（百辆），从② 到①的最大通过量是0；② ③表示从2②到2③和 从③到②都可以通过2（百辆）；等等。
例如，在图10.3.11中，从①到⑦的最短路是①— ③—⑤—⑦，代价为7，在这条最短非饱和路上取P 3 后，③—⑤变成容量为零，在下一次选择最短路时 应将③—⑤视为断路来选取最短非饱和路。另外， 选取①—③—⑤—⑦路后，③—①，⑤—③，⑦— ⑤的弧成为容量大于零的弧，可分别标上它们的代 价值为-3，-3，-1，是①—③，③—⑤，⑤—⑦的相 反数。
转入步骤④，用原图中各条弧上发点与收点数
值减去修改后的图上各点的数值，将得到正负号
相反的两个数，将这个数标在弧上，并将从正到
负的方向用箭头表示,这样就得到最大流量图。例
如原来弧(3,6) 是③ 7 0 ⑥，现在是③ 2 5 ⑥，
相减为±5，③那边为正，我们就记作③ 5⑥。
这样，就得到图10.3.9，即最大流量图。依这样的
第12页/共36页
通过第1次修改，得到图10.3.3。
图10.3.3
返回步骤①，进行第2次修改。
第13页/共36页
第2次修改： 选定①—②—⑤—⑦，在这条路中，由
于 P c25，所3 以，将 改为2c12， 改为0，c25 改
为5，c5、7 、 改为c213。c5修2 改c后75 的图变为图
10.3.4。

第五章 图与网络PPT课件

第五章 图与网络PPT课件
26
解 将所有顶点都放入集合 S{v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7}
集合 S 暂时为空集
第一步：
在 v 1 处标号0，记 S {v1} ，此时
S{v2,v3,v4,v5,v6,v7}
第二步：
d ( v 1 ,v 2 ) d ( v 1 ) ( v 1 ,v 2 ) 0 1 1 d ( v 1 ,v 3 ) d ( v 1 ) ( v 1 ,v 3 ) 0 4 4
或用边的两个顶点记为( v i , v j ) 圈：某一条边的两个顶点相同，则称 v 1
e1
这条边为圈（或环）
e5 e3
v
平行边（或多重边）：若两点之间有多条边，
3
则称这些边为平行边（或多重边）
e4 v2 e2
8
引例【生产流程】
在“西气东输”工程中，天然气管道从 甲
城市经乙城或丙城都可到达丁城市，而且 乙城和丙城之间也有管道相通，如下图所 示，试将城市间的管道连接用图表示
在v 6 处标号4，记d(v6) 4，此时 S{v1,v2,v3,v6}
S {v4,v5,v7}
29
第五步：
d ( v 2 ,v 4 ) d ( v 2 ) ( v 2 ,v 4 ) 1 4 5 d ( v 2 ,v 5 ) d ( v 2 ) ( v 2 ,v 5 ) 1 7 8 d ( v 6 ,v 5 ) d ( v 6 ) ( v 6 ,v 5 ) 4 3 7 d ( v 6 ,v 7 ) d ( v 6 ) ( v 6 ,v 7 ) 4 6 1 0 m i n { d ( v 2 , v 4 ) ， d ( v 2 , v 5 ) ， d ( v 6 , v 5 ) , d ( v 6 , v 7 ) } 5

第5章图与网络分析163页PPT

第5章图与网络分析163页PPT

bi j 0wi j
(vi ,vj)E (vi ,vj)E
例6.4 下图所表示的图可以构造权矩阵B如下:
v1 4
v2
36
72
v6 4
3
3
v3
5
2
v5
v4
v1 0 4 0 6 4 3
v
2

4
0
2
7
0
0

B

v3
0
2
0
5
0
3
v4 6 7 5 0 2 0
v
5
4
17
v4
树与图的最小树
v1 23 v6
20
v2
1
4
v7
9
15 v3
28 25
16 3
v5
17
v4
v1
v2
23 v6
1
4
v7
9
15 v3
28
25
16 3
v5
17
v4
v1
v2
23 v6
1
4
v7 9
15 v3
28
25
16 3
v5
17
v4
v1
v2
23
1
4
v7
v6
9
v3
28
25
16 3
v5
17
v4
v1
②
15
9
7 ④ 14
⑤
①
10
19
20
6 ⑥
③
25
图的矩阵描述： 邻接矩阵、关联矩阵、权矩阵等。
1. 邻接矩阵 对于图G=（V，E），| V |=n， | E |=m，有nn阶方矩阵

运筹学图与网络模型以及最小费用最大流 PPT

运筹学图与网络模型以及最小费用最大流 PPT

是一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向
的弧表示。
6
a1
(v2)钱
a7
a2
a8
(赵v1)
a3 a14
a15
a4
a9
(v3)孙
a5
a6
a12
a11
(周v5)运筹学图与a网10络模型(以v及6)吴最小费a用13
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
最大流
图11-3
(v4) 李
(v7)陈
• 定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它所
运筹学图与网络模型以及最小费用
11
最大流
• 如何用最短的线路将三部电话连起来？ • 此问题可抽象为设△ABC为等边三角形，，连接三顶点
的路线（称为网络）。这种网络有许多个，其中最短路 线者显然是二边之和（如AB∪AC）。
A
B
C
运筹学图与网络模型以及最小费用
12
最大流
• 但若增加一个周转站（新点P），连接4点的新网络的最短 路线为PA＋PB＋PC。最短新路径之长N比原来只连三点 的最短路径O要短。这样得到的网络不仅比原来节省材料， 而且稳定性也更好。
运筹学图与网络模型以及最小费用
14
最大流
例 渡河游戏
• 一老汉带了一只狼、一只羊、一棵白菜想要从南岸过河
到北岸，河上只有一条独木舟，每次除了人以外，只能 带一样东西；另外，如果人不在，狼就要吃羊，羊就要 吃白菜，问应该怎样安排渡河，才能做到既把所有东西 都运过河去，并且在河上来回次数最少？这个问题就可 以用求最短路方法解决。
Chapter11 图与网络分析 ( Graph Theory and Network Analysis )

04最大流与最小费用流PPT课件

图 1 所示网络等价于图 2 所示的单源单汇网络。
x1
,2
s
,4 x2
6 ,1
v1
5 ,1
1,1
3,0 4,0 1,0
y1 2 ,1
2,2
v4 5,3
1,0
3 ,1
s 6,0
3,2
v 3 图2 4 , 4
y3
2,2 ,0
y
,
2
6
,
t
0
6,4
10
二、最大流与最小割
最大流问题是一类应用极为广泛的问题，例如在交通运输网络中 有人流、车流、货物流，供水网络中有水流，金融系统中有现金流， 通讯系统中有信息流，等等。
（2）任一网络至少存在一个流，如零流 ( f (e) 0,eV ) 。
7
例 1：图 1 表示一个网络及网络流
x1
6 ,1
v1
5 ,1
1,1
3,0 4,0 1,0
y1 2 ,1
2,2
v4 5,3
1,0
3 ,1
s 6,0
x2
3,2
v3
4,4 y3
图1
发点集： X {x1, x2} 收点集： Y {y2} 中间点集： I {v1, v2, v3, v4, y1, y2}
（2）流出发点集 X 的净流量等于流入收点集Y 的净流量。
定义 4 设 f 是网络 N 的一个流，则 f 的流的价值 Val f 定义为
Val f ＝ f (e) f (e)
eN ( X )
eN (Y )
即流的价值是发点集的流出量，也是收点集的流入量。
9
注 3：任何一个多源多汇网络 N (V , E, c, X ,Y ) 都等价与一个 单源单汇网络 N ' (V ', E', c', X ',Y ' ) 。在解决实际问题时，常把多源

教案图与网络最小费用流

教案图与网络最小费用流教案一：图的基本概念1.1 图的定义与分类引入图的概念，解释无向图、有向图、无向图和有向图的定义介绍图的顶点、边、连通性等基本概念教案二：图的表示与遍历1.2 图的表示方法介绍邻接矩阵和邻接表两种表示方法解释这两种表示方法的优缺点及应用场景1.3 图的遍历算法介绍深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）算法通过示例讲解DFS和BFS的实现和应用教案三：最小费用流问题概述2.1 最小费用流问题的定义引入最小费用流问题的概念，解释流量、费用和约束条件2.2 最小费用流问题的应用举例说明最小费用流问题在实际应用中的重要性，如运输问题、网络优化等教案四：Ford-Fulkerson算法3.1 Ford-Fulkerson算法的原理介绍Ford-Fulkerson算法的思想，讲解增广路径和最大流的概念3.2 Ford-Fulkerson算法的实现讲解Ford-Fulkerson算法的具体步骤，通过示例演示算法的实现过程教案五：最小费用流问题的线性规划方法4.1 线性规划方法的基本概念介绍线性规划方法，解释目标函数和约束条件4.2 最小费用流问题的线性规划模型建立最小费用流问题的线性规划模型，讲解模型的求解方法教案六：最小费用流问题的Dinic算法5.1 Dinic算法的原理介绍Dinic算法的思想，讲解如何利用层次图和增广路径提高算法的效率5.2 Dinic算法的实现讲解Dinic算法的具体步骤，通过示例演示算法的实现过程教案七：最小费用流问题的割集与最大流6.1 割集的概念解释割集的概念，讲解割集在最小费用流问题中的应用6.2 Edmonds-Karp算法介绍Edmonds-Karp算法，讲解如何利用割集求解最大流问题教案八：最小费用流问题的Cplex求解器7.1 Cplex求解器的基本概念介绍Cplex求解器，讲解其求解最小费用流问题的能力和优势7.2 Cplex求解器的使用方法讲解如何使用Cplex求解器求解最小费用流问题，包括建立模型、设置参数和输出结果等步骤教案九：最小费用流问题的应用案例分析8.1 运输问题分析运输问题的最小费用流解决方案，讲解如何计算运输成本和最优运输方案8.2 网络优化问题讲解网络优化问题的最小费用流解决方案，如电信网络的流量优化、交通网络的路径规划等9.2 最小费用流问题的研究展望探讨最小费用流问题的研究现状和未来发展方向，如图论、算法优化和实际应用等领域重点和难点解析重点环节一：图的定义与分类理解图的基本概念，区分无向图、有向图、无向图和有向图的定义。

教案图与网络最小费用流

教案图与网络最小费用流教案一：图的基本概念1.1 教学目标理解图的定义及基本术语掌握图的表示方法了解图的基本性质1.2 教学内容图的定义及基本术语：顶点、边、无向图、有向图、无权图、加权图等图的表示方法：邻接矩阵、邻接表图的基本性质：连通性、无向图的偶数性、有向图的传递性等1.3 教学方法采用讲授法，讲解图的基本概念及性质利用多媒体演示图的表示方法引导学生通过实例理解图的基本性质教案二：网络与流2.1 教学目标理解网络的定义及基本术语掌握网络的最小费用流问题2.2 教学内容网络的定义及基本术语：源点、汇点、边、流量、费用等最小费用流问题：定义、性质、基本定理最小费用流的算法：Ford-Fulkerson算法、Edmonds-Karp算法等2.3 教学方法采用讲授法，讲解网络的定义及最小费用流问题利用多媒体演示最小费用流的算法原理引导学生通过实例掌握最小费用流的算法步骤教案三：Ford-Fulkerson算法3.1 教学目标理解Ford-Fulkerson算法的原理掌握Ford-Fulkerson算法的实现步骤3.2 教学内容Ford-Fulkerson算法的原理：增广路径、残量网络Ford-Fulkerson算法的实现步骤：选择增广路径、更新残量网络、重复执行3.3 教学方法采用讲授法，讲解Ford-Fulkerson算法的原理及实现步骤利用多媒体演示Ford-Fulkerson算法的执行过程引导学生通过实例掌握Ford-Fulkerson算法的应用教案四：Edmonds-Karp算法4.1 教学目标理解Edmonds-Karp算法的原理掌握Edmonds-Karp算法的实现步骤4.2 教学内容Edmonds-Karp算法的原理：基于Ford-Fulkerson算法的广度优先搜索Edmonds-Karp算法的实现步骤：使用队列进行广度优先搜索、更新残量网络、重复执行4.3 教学方法采用讲授法，讲解Edmonds-Karp算法的原理及实现步骤利用多媒体演示Edmonds-Karp算法的执行过程引导学生通过实例掌握Edmonds-Karp算法的应用教案五：最小费用流问题的应用5.1 教学目标了解最小费用流问题在实际应用中的重要性掌握最小费用流问题在网络设计、资源分配等领域的应用5.2 教学内容最小费用流问题在网络设计中的应用：如互联网流量分配、电信网络等最小费用流问题在资源分配中的应用：如人员调度、物流配送等5.3 教学方法采用讲授法，讲解最小费用流问题在实际应用中的重要性引导学生通过实例了解最小费用流问题在不同领域的应用鼓励学生探讨最小费用流问题在其他领域的应用可能性教案六：最大流问题6.1 教学目标理解最大流问题的定义及基本性质掌握最大流算法的实现步骤6.2 教学内容最大流问题的定义及基本性质：如Ford-Fulkerson算法的最大流性质最大流算法的实现步骤：如使用增广路径和残量网络的方法6.3 教学方法采用讲授法，讲解最大流问题的定义及基本性质利用多媒体演示最大流算法的执行过程引导学生通过实例掌握最大流算法的应用教案七：最小费用最大流问题7.1 教学目标理解最小费用最大流问题的定义及基本性质掌握最小费用最大流算法的实现步骤7.2 教学内容最小费用最大流问题的定义及基本性质最小费用最大流算法的实现步骤：如基于最大流算法的修改7.3 教学方法采用讲授法，讲解最小费用最大流问题的定义及基本性质利用多媒体演示最小费用最大流算法的执行过程引导学生通过实例掌握最小费用最大流算法的应用教案八：网络流问题的扩展8.1 教学目标了解网络流问题的扩展及应用掌握网络流问题的其他算法及变种8.2 教学内容网络流问题的扩展：如多源点网络流、多汇点网络流等网络流问题的其他算法及变种：如Dinic算法、Push-Relabel算法等8.3 教学方法采用讲授法，讲解网络流问题的扩展及应用引导学生通过实例了解网络流问题的其他算法及变种鼓励学生探讨网络流问题的其他应用可能性教案九：编程实践与案例分析9.1 教学目标培养学生解决实际网络流问题的能力分析并解决具体的网络流问题案例9.2 教学内容使用编程语言实现最小费用流、最大流等算法分析并解决具体的网络流问题案例9.3 教学方法采用实践教学法，让学生动手编程实现网络流算法引导学生分析并解决具体的网络流问题案例给予学生指导和反馈，提高其问题解决能力10.1 教学目标展望网络流在未来的发展和应用前景10.2 教学内容回顾本门课程所学的主要概念、算法和应用探讨网络流在未来可能的发展方向和应用领域10.3 教学方法引导学生思考网络流在未来的发展和应用前景鼓励学生提出自己的见解和想法，进行课堂讨论重点和难点解析教案二：网络与流最小费用流问题的定义及性质最小费用流的算法原理教案三：Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法的原理及实现步骤教案四：Edmonds-Karp算法Edmonds-Karp算法的原理及实现步骤教案六：最大流问题最大流问题的定义及基本性质教案七：最小费用最大流问题最小费用最大流问题的定义及基本性质教案八：网络流问题的扩展网络流问题的扩展类型网络流问题的其他算法及变种教案九：编程实践与案例分析编程实现网络流算法分析并解决具体的网络流问题案例网络流未来的发展和应用前景的展望在教学过程中，教师应当重点关注上述环节，通过详细的讲解和示例，帮助学生理解和掌握网络流及最小费用流的核心概念、算法和应用。

清华大学 网络优化-第7章__最小费用流问题PPT课件


如果 (i,j) 在P中是正向弧, 则在W中是反向弧; 反之, 如果 (i,j) 在P中是反向弧, 则在W中是正向弧
P W \ {(i, j)} 也是网
络中关于x的增广路, 且 s
ij
Pt
C(P W \ {(i, j)}) C(P) C(W ) C(P)
W 17
7.2.2 最小费用路算法 也称为连续最短路算法, 即Successive Shortest Path Algorithm), Jewell(1958), Iri(1960), Busacker & Gowen (1961) 独立提出的 STEP 0 . 取x为任一s-t可行流、且在同一流值的流中费用最小的 流 (如x=0). STEP 1. 若x的流值达到v, 结束；否则在残量网络N(x)中判别最 小费用路. 若无这样的路,则流值不可达到v, 结束；否则STEP 2. STEP 2. 沿该最小费用增广路增广流量(增广后的流值不超过v), 转STEP 1.
例 - 最大流问题
s
t
设s为起点,t为终点,增加弧(t,s),
令 cts 1, uts
而令所有其他弧上的费用为0, 所有顶点上的供需量(外部流量)全为0.
6
7.1.2 最小费用流模型的特例及扩展
例 -运输问题(transportation Problem)
又称Hitchcock问题（Hitchcock,1941年）
定理7.1 可行流x为最小费用流的充要条件是N(x)中不存在负费
用增广圈.
必要性是显然的. 反证法证明充分性：
设x0为不同于的可行流，但费用低于x的费用，即
v(x) v(x0 ) v c(x) c(x0 )
令 x1 =x0-x, 则 x1 0, v(x1 ) v(x0 ) v(x) 0 ，即令x1为网络N中的循环流.
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如何求最小费用增广链？
生成最小费用可行流的剩余网络：
将饱和弧反向 将非饱和非零流弧加一反向弧 零流弧不变 所有正向弧的权为该弧的费用，反向弧的权
为该弧费用的相反数
剩余网络又叫长度网络，本教材叫做赋 权图。
最小费用增广链对应剩余网络的最短路
最小费用流的实例
v1
（0，10，4）
vs（
vi
-1
vs
-2
6
vt
-1
2
3
v2
-3
v3
13
第三次调整网络流
v1
（1,10,4）
（5,5,1）
（4,5,2）
（0,2,6）
vs
（ 8,8,1）
（4,10,3）
v2
vt
（4,4,2）
v3
14
剩余网络已不存在最短路
v1
-4
-1
4
vs
2 -2
6
vt
-1
-2
3
v2
v3
-3
15
最小费用最大流
制定一个总运量为7且总运费最小的运输 方案：最小费用流问题
给定网络N=(V,A,c,b)和经过网络的流量v，求流在 网络上的最佳分布，使总费用最小。
c为弧的容量，b为弧上通过单位流量的费用
min b ( f )
b ij f ij
( i , j ) A
f sj
f js v ( f )
( s , j ) A
( j ,s ) A
f tj
f jt v ( f )
v (fi j,ci j,bi j) j
（0，5，1）
vt
（0，5，2）
（0，2，6）
0， 8， 1）
（0，4，2）
（0，10，3）
v2
v3
8
第一次剩余网络最短路
v1
4
D=4
1
vs
2
6
vt
1 2
3
v2
v3
9
第一次调整网络流
v1
（0,10,4）
（5,5,1）
（5,5,2）Biblioteka （0,2,6）vs
（ 5,8,1）
二、求解最小费用流的赋权图法
增广链费用，最小费用增广链。 对于最小费用可行流，沿最小费用增广链
调整流，可使流增加，并保持流费用最小。 给定初始最小费用可行流，求最小费用增
广链，若存在，则沿该增广链调整网络流， 直到达到给定的网络流或不存在增广链为 止，后一种情况为最小费用最大流。 若给定网络流超过最大流，则不可能实现。
vt
（0,4,2）
（0,10,3）
v2
v3
10
第二次剩余网络最短路
v1
4
D=6
-1
vs
-2
6
vt
1 -1
3
v2
2
v3
11
第二次调整网络流
v1
（0,10,4）
（5,5,1）
（5,5,2）
（0,2,6）
vs
（ 8,8,1）
vt
（3,4,2）
（3,10,3）
v2
v3
12
第三次剩余网络的最短路
v1
4
D=7
运筹学
讲课教师：汤建影
1
第一部分
整体概述
THE FIRST PART OF THE OVERALL OVERVIEW, PLEASE SUMMARIZE THE CONTENT
2
第五节 最小费用流问题
什么是最小费用流问题？ 求解最小费用流的赋权图法 求解最小费用流的复合标号法
3
一、什么是最小费用流
v1
（0,10,4）
（5,5,1）
T (vt ) [v3,3,6] P
（5,5,2）
（0,6,2）
vs（ 5,8,1）
P(vs ) [0,,0]
（0,10,3）
v2
T (v2 ) [vs ,3,1] P
vt
（0,4,2）
v3 T (v3) [v2,3,4]
第三次迭代
T(v1) [vs,10,4] P
( t , j ) A
( j ,t ) A
f ij
f ji 0 , i s , t
( i , j ) A
( j ,i ) A
0 f ij C ij
二、求解最小费用流的赋权图法
基本思想： 从零流量开始，在始点到终点的所有可能增加流
量的增广链中寻求总费用最小的链，并首先在这 条链上增加流量，得到流量为 f (1) 的最小费用流。 再对 f (1) 寻求所有可能增加流量的增广链，并在 其中总费用最小的增广链上继续增加流量，得到 流量为 f (2 ) 的最小费用流。 依此类推，直到网络中不再存在增广链，不能再 增加流量为止。
v1
vi
v (fi j,ci j,bi j) j
（1,10,4）
（5,5,1）
（4,5,2）
（0,6,2）
vs（ 8,8,1）
（4,10,3）
vt
（4,4,2）
v2
v3
Q&A问答环节
敏而好学，不耻下问。 学问学问，边学边问。
He is quick and eager to learn. Learning is learni ng and asking.
制定使运量最大且总运费最小的运输方 案：最小费用流问题
若规定网络流为7，则第二次调整量应为 2，而不是3。
最小费用与网络流的关系是凸的，即随 着流的增加，单位流的费用在增加。请 见下页的图。
16
费 50 用
40
30 20 10
流量f
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17
三、求解最小费用流的复合标号法
将求最短路的标号法和求最大流的标号 法相结合，即在求增广链的标号后加上 一个距离标号，成为一组三标号，距离 标号应采用修正标号法。并采用T标号和 P标号的记法。
下面以前例为例来说明符合标号的应用。
18
第一次迭代
vi
v (fi j,ci j,bi j) j
T (v1) v[1vs ,10,4] [v2,5,3] P
23
结束语 CONCLUSION
感谢参与本课程，也感激大家对我们工作的支持与积极的参与。课程 后会发放课程满意度评估表，如果对我们课程或者工作有什么建议和 意见，也请写在上边，来自于您的声音是对我们最大的鼓励和帮助， 大家在填写评估表的同时，也预祝各位步步高升，真心期待着再次相 会！
24
感谢聆听
v1
（0,10,4）
（5,5,1）
T (vt ) [v3,1,7] P
（5,5,2）
（0,6,2）
vs（ 8,8,1）
P(vs ) [0,,0]
（3,10,3）
v2
T (v2 ) [v1,5,2] P
vt
（3,4,2）
v3
T (v3) [v1,6,6] [v2,5,5] P
最后结果
（0,10,4）
（0,5,1）
T (vt ) [v1,5,6] P
（0,5,2）
（0,6,2）
vs（ 0,8,1）
P(vs ) [0,,0]
（0,10,3）
v2
T (v2 ) [vs ,8,1] P
vt
（0,4,2）
v3
T (v3) [v2,8,4]
第二次迭代
T (v1) [vs ,10,4] P