2020年河南省中考数学一模试卷

2020年河南省中考数学全真模拟试卷1一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上1．（3分）下列四个数：﹣3，﹣0.5，，中，绝对值最大的数是（）A．﹣3B．﹣0.5C．D．2．（3分）港珠澳大桥是中国境内一座连接着香港、珠海和澳门的桥隧工程，工程投资总额1269亿元，1269亿用科学记数法表示为（）A．1.269×1010B．1.269×1011C．12.69×1010D．0.1269×10123．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图和俯视图相同的是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，OC是∠AOB的角平分线，l∥OB，若∠1＝52°，则∠2的度数为（）A．52°B．54°C．64°D．69°5．（3分）在中考体育加试中，某班30名男生的跳远成绩如下表：成绩/m 1.95 2.00 2.05 2.10 2.15 2.25人数239853这些男生跳远成绩的众数、中位数分别是（）A．2.10，2.05B．2.10，2.10C．2.05，2.10D．2.05，2.05 6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．（3分）如图，正比例函数y＝x的图象与一次函数y＝x+的图象交于点A，若点P 是直线AB上的一个动点，则线段OP长的最小值为（）A．1B．C．D．28．（3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA 和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°9．（3分）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝OG•OC．其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．③④10．（3分）在边长为的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点，过P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F．设BP＝x，△OEF的面积为y，则能反映y与x之间关系的图象为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）计算：﹣（）﹣1+＝．12．（3分）2019年永州市初中体育学业水平考试实行改革，增加了两类自选类项目：一类是运动技能测试，学生可以从篮球、足球、排球向上垫球三个项目中必须自选一项；另一类是身体力量测试，学生从一分钟跳绳、仰卧起坐（女）或引体向上（男）、原地正面掷实心球、立定跳远四个项目中再选一项，则某一初三男学生同时选择篮球和立定跳远这两项的概率是．13．（3分）关于x的一元二次方程a（x﹣h）2+k＝x+n两根为x1＝﹣1，x2＝3，则方程a（x ﹣h﹣3）2+k+3＝x+n的两根为．14．（3分）如图，7个腰长为1的等腰直角三角形（Rt△B1AA1，Rt△B2A1A2，Rt△B3A2A3…）有一条腰在同一条直线上，设△A1B2C1的面积为S1，△A2B3C2的面积为S2，△A3B4C3的面积为S3，则S1+S2+S3+S4+S5+S6＝．15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，CD是△ABC的中线，E 是边BC上一动点，将△BED沿ED折叠，点B落在点F处，EF交线段CD于点G，当△DFG是直角三角形时，则CE＝．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：，其中a是方程a2+a﹣6＝0的解．17．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以D为圆心，DB长为半径作作⊙D．（1）求证：AC是⊙D的切线．（2）设AC与⊙D切于点E，DB＝1，连接DE，BF，EF．①当∠BAD＝时，四边形BDEF为菱形；②当AB＝时，△CDE为等腰三角形．18．（9分）设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分，规定：85≤x≤100为A级；75≤x＜85为B级；60≤x＜75为C级；x＜60为D级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了名学生，A级人数占本次抽取人数的百分比为%；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中C级对应的圆心角为度；（4）若该校共有1000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？19．（9分）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB＝5km．（1）景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短的公路，不考虑其它因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km）（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到1km）（参考数据：＝1.73，＝2.24，sin53°＝cos37°＝0.80，sin37°＝cos53°＝0.60，tan53°＝1.33，tan37°＝0.75，sin38°＝cos52°＝0.62，sin52°＝cos38°＝0.79，tan38°＝0.78，tan52°＝1.28，sin75°＝0.97，cos75°＝0.26，tan75°＝3.73．）20．（9分）如图，直线y＝2x+6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．（1）求m的值和反比例函数的表达式；（2）观察图象，直接写出当x＞0时，不等式2x+6＜0的解集；（3）当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？21．（10分）某商场计划经销A，B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、售价如下表所示．A型B型进价（元/盏）4065售价（元/盏）60100（1）若该商场购进这批台灯共用去2500元，问这两种台灯各购进多少盏？（2）在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场销售这批台灯的总利润不少于1400元，问至少需购进B种台灯多少盏？（3）若该商场预计用不多于2600元的资金购进这批台灯，其中A种台灯不超过30盏，为了打开B种台灯的销路，商场决定每售出一盏B种台灯，返还顾客现金a元（10＜a ＜20），问该商场该如何进货，才能获得最大的利润？22．（10分）（1）问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，点D时线段AB上一动点，连接BE．填空：①的值为；②∠DBE的度数为．（2）类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，点D是线段AB上一动点，连接BE．请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE 的中点M，连接BM、CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少？请直接写出答案．23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣3），直线x＝1为抛物线的对称轴．点D为抛物线的顶点，直线BC与对称轴相交于点E．（1）求抛物线的解析式并直接写出点D的坐标；（2）点P为直线x＝1右方抛物线上的一点（点P不与点B重合）．记A、B、C、P四点所构成的四边形面积为S，若S＝S△BCD，求点P的坐标；（3）点Q是线段BD上的动点，将△DEQ延边EQ翻折得到△D′EQ，是否存在点Q 使得△D′EQ与△BEQ的重叠部分图形为直角三角形？若存在，请求出BQ的长，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上1．（3分）下列四个数：﹣3，﹣0.5，，中，绝对值最大的数是（）A．﹣3B．﹣0.5C．D．【分析】根据绝对值的性质以及正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小判断即可．【解答】解：∵|﹣3|＝3，|﹣0.5|＝0.5，||＝，||＝且0.5＜＜＜3，∴所给的几个数中，绝对值最大的数是﹣3．故选：A．2．（3分）港珠澳大桥是中国境内一座连接着香港、珠海和澳门的桥隧工程，工程投资总额1269亿元，1269亿用科学记数法表示为（）A．1.269×1010B．1.269×1011C．12.69×1010D．0.1269×1012【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：1269亿＝126900000000，用科学记数法表示为1.269×1011．故选：B．3．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图和俯视图相同的是（）A．B．C．D．【分析】根据图形、找出几何体的左视图与俯视图，判断即可．【解答】解：A、左视图第一层两个小正方形，俯视图第一层一个小正方形，故A不符合题意；B、左视图和俯视图相同，故B符合题意；C、左视图第一层两个小正方形，俯视图第一层一个小正方形，故C不符合题意；D、左视图是一列两个小正方形，俯视图一层三个小正方形，故D不符合题意；故选：B．4．（3分）如图，OC是∠AOB的角平分线，l∥OB，若∠1＝52°，则∠2的度数为（）A．52°B．54°C．64°D．69°【分析】依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠BOC＝64°，再根据平行线的性质，即可得出∠2的度数．【解答】解：∵l∥OB，∴∠1+∠AOB＝180°，∴∠AOB＝128°，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC＝64°，又l∥OB，且∠2与∠BOC为同位角，∴∠2＝64°，故选：C．5．（3分）在中考体育加试中，某班30名男生的跳远成绩如下表：成绩/m 1.95 2.00 2.05 2.10 2.15 2.25人数239853这些男生跳远成绩的众数、中位数分别是（）A．2.10，2.05B．2.10，2.10C．2.05，2.10D．2.05，2.05【分析】中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【解答】解：由表可知，2.05出现次数最多，所以众数为2.05；由于一共调查了30人，所以中位数为排序后的第15人和第16人的平均数，即：2.10．故选：C．6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】分别解不等式进而得出不等式组的解集，进而得出答案．【解答】解：，解①得：x＞﹣6，解②得：x≤13，故不等式组的解集为：﹣6＜x≤13，在数轴上表示为：．故选：B．7．（3分）如图，正比例函数y＝x的图象与一次函数y＝x+的图象交于点A，若点P 是直线AB上的一个动点，则线段OP长的最小值为（）A．1B．C．D．2【分析】判断出OP⊥AB时，OP最小，利用三角形的面积建立方程求解即可得出结论．【解答】解：由得，∴A（2，3），由一次函数y＝x+，令y＝0，解得x＝﹣2，∴（﹣2，0），∴S△AOB＝OB•|y A|＝＝3，AB＝＝5，∵当OP⊥AB时，OP最小，∴S△AOB＝AB•OP最小，∴×5OP最小＝3∴OP最小＝，故选：C．8．（3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA 和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长＝P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，即可得出∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°．【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，故选：B．9．（3分）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝OG•OC．其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．③④【分析】①由正方形证明OC＝OD，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COM＝∠DOF，便可得结论；②证明点O、E、C、F四点共圆，得∠EOG＝∠CFG，∠OEG＝∠FCG，进而得OGE∽△FGC便可；③先证明S△COE＝S△DOF，∴便可；④证明△OEG∽△OCE，得OG•OC＝OE2，再证明OG•AC＝EF2，再证明BE2+DF2＝EF2，得OG•AC＝BE2+DF2便可．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴OC＝OD，AC⊥BD，∠ODF＝∠OCE＝45°，∵∠MON＝90°，∴∠COM＝∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；②∵∠EOF＝∠ECF＝90°，∴点O、E、C、F四点共圆，∴∠EOG＝∠CFG，∠OEG＝∠FCG，∴OGE∽△FGC，故②正确；③∵△COE≌△DOF，∴S△COE＝S△DOF，∴，故③正确；④）∵△COE≌△DOF，∴OE＝OF，又∵∠EOF＝90°，∴△EOF是等腰直角三角形，∴∠OEG＝∠OCE＝45°，∵∠EOG＝∠COE，∴△OEG∽△OCE，∴OE：OC＝OG：OE，∴OG•OC＝OE2，∵OC＝AC，OE＝EF，∴OG•AC＝EF2，∵CE＝DF，BC＝CD，∴BE＝CF，又∵Rt△CEF中，CF2+CE2＝EF2，∴BE2+DF2＝EF2，∴OG•AC＝BE2+DF2，故④错误，故选：B．10．（3分）在边长为的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点，过P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F．设BP＝x，△OEF的面积为y，则能反映y与x之间关系的图象为（）A．B．C．D．【分析】分析，EF与x的关系，他们的关系分两种情况，依情况来判断抛物线的开口方向．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝BD＝2，OB＝OD＝，①当P在OB上时，即0≤x≤1，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴EF：AC＝BP：OB，∴EF＝2BP＝2x，∴y＝EF•OP＝×2x（1﹣x）＝﹣x2+x；②当P在OD上时，即1＜x≤2，∵EF∥AC，∴△DEF∽△DAC，∴EF：AC＝DP：OD，即EF：2＝（2﹣x）：1，∴EF＝4﹣2x，∴y＝EF•OP＝＝﹣x2+3x﹣2，这是一个二次函数，根据二次函数的性质可知：二次函数的图象是一条抛物线，开口方向取决于二次项的系数．当系数＞0时，抛物线开口向上；系数＜0时，开口向下．根据题意可知符合题意的图象只有选项B．故选：B．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）计算：﹣（）﹣1+＝0．【分析】直接利用负指数幂的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣4+4＝0．故答案为：0．12．（3分）2019年永州市初中体育学业水平考试实行改革，增加了两类自选类项目：一类是运动技能测试，学生可以从篮球、足球、排球向上垫球三个项目中必须自选一项；另一类是身体力量测试，学生从一分钟跳绳、仰卧起坐（女）或引体向上（男）、原地正面掷实心球、立定跳远四个项目中再选一项，则某一初三男学生同时选择篮球和立定跳远这两项的概率是．【分析】用A、B、C分别表示篮球、足球、排球向上垫球三个项目，用a、b、c、d分别表示一分钟跳绳、仰卧起坐（女）或引体向上（男）、原地正面掷实心球、立定跳远四个项目，画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出某一初三男学生同时选择篮球和立定跳远这两项的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：用A、B、C分别表示篮球、足球、排球向上垫球三个项目，用a、b、c、d 分别表示一分钟跳绳、仰卧起坐（女）或引体向上（男）、原地正面掷实心球、立定跳远四个项目，画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中某一初三男学生同时选择篮球和立定跳远这两项的结果数为1，所以某一初三男学生同时选择篮球和立定跳远这两项的概率＝．故答案为．13．（3分）关于x的一元二次方程a（x﹣h）2+k＝x+n两根为x1＝﹣1，x2＝3，则方程a（x ﹣h﹣3）2+k+3＝x+n的两根为2或6．【分析】根据函数与方程的关系及函数平移的规律，变形要求的方程，利用平移规律可解．【解答】解：由方程a（x﹣h﹣3）2+k+3＝x+n得a（x﹣h﹣3）2+k＝x+n﹣3①方程①可看作左边是二次函数y＝a（x﹣h﹣3）2+k，右边是一次函数y＝x+n﹣3根据平移知识，可知方程①相当于关于x的一元二次方程a（x﹣h）2+k＝x+n②，左右两边都向右平移3个单位而方程②的两根为x1＝﹣1，x2＝3∴方程①的两根为x1＝2，x2＝6故答案为2或6．14．（3分）如图，7个腰长为1的等腰直角三角形（Rt△B1AA1，Rt△B2A1A2，Rt△B3A2A3…）有一条腰在同一条直线上，设△A1B2C1的面积为S1，△A2B3C2的面积为S2，△A3B4C3的面积为S3，则S1+S2+S3+S4+S5+S6＝．【分析】连接B1、B2、B3、B4点，显然它们共线且平行于AC1，依题意可知△B1B2C1与△C1AA1相似，求出相似比，根据三角形面积公式可得出S1，同理：B2B3：AA2＝1：2，所以B2C2：C2A＝1：2，进而S2的值可求出，同样的道理，即可求出S3，S4…S6的值，即可求解．【解答】解：解：连接B1、B2、B3、B4．∵n+1个边长为1的等腰三角形有一条边在同一直线上，∴＝×1×1＝，＝×2×1＝1，＝×3×1＝，…＝＝3，连接B1、B2、B3点，显然它们共线且平行于AA1易知S1＝，∵B2B3∥AA2，∴△B2C2B3∽△A2C2A，∴＝，∴S2＝＝，同理可求，S3＝＝，S4＝×2＝，S5＝＝，S6＝＝，∴S1+S2+S3+S4+S5+S6＝＝，故答案为：．15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，CD是△ABC的中线，E 是边BC上一动点，将△BED沿ED折叠，点B落在点F处，EF交线段CD于点G，当△DFG是直角三角形时，则CE＝1或﹣．【分析】分两种情形：①如图1中，当∠DGF＝90°时，作DH⊥BC于H．②如图2中，当∠GDF＝90°，作DH⊥BC于H，DK⊥FG于K．【解答】解：①如图1中，当∠DGF＝90°时，作DH⊥BC于H．在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，∴AB＝＝＝2，∵AD＝DB，∴CD＝AB＝，∵DH∥AC，AD＝DB，∴CH＝BH，∴DH＝DG＝AC＝1，∴CG＝﹣1，∵DC＝DB，∴∠DCB＝∠B，∴cos∠DCB＝cos∠B＝，∴CE＝CG÷cos∠DCB＝﹣．②如图2中，当∠GDF＝90°，作DH⊥BC于H，DK⊥FG于K．易证四边形DKEH是正方形，可得EH＝DH＝1，∵CH＝BH＝2，∴CE＝1，综上所述，满足条件的CE的值为1或﹣．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：，其中a是方程a2+a﹣6＝0的解．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后由方程a2+a﹣6＝0可以求得a的值，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题，注意代入a的值必须使得原分式有意义．【解答】解：＝＝＝＝，由a2+a﹣6＝0，得a＝﹣3或a＝2，∵a﹣2≠0，∴a≠2，∴a＝﹣3，当a＝﹣3时，原式＝＝．17．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以D为圆心，DB长为半径作作⊙D．（1）求证：AC是⊙D的切线．（2）设AC与⊙D切于点E，DB＝1，连接DE，BF，EF．①当∠BAD＝30°时，四边形BDEF为菱形；②当AB＝+1时，△CDE为等腰三角形．【分析】（1）作DM⊥AC于M，由角平分线的性质可得DM＝DB，由切线的判定可证AC是⊙D的切线；（2）①由菱形的性质可得BD＝BF，且BD＝DF，可证△BDF是等边三角形，可得∠ADB ＝60°，即可求解；②由切线的性质可得DE⊥AC，由等腰直角三角形的性质可得CD＝DE＝，∠C＝45°，可证AB＝BC＝+1．【解答】证明：（1）如图1，作DM⊥AC于M，∵∠B＝90°，AD平分∠BAC，DM⊥AC，∴DM＝DB，∵DB是⊙D的半径，∴AC是⊙D的切线；（2）①如图2，∵四边形BDEF是菱形，∴BD＝DE＝EF＝BF，∵BD＝DF＝DE，∴BD＝DF＝DE＝EF＝BF，∴△BDF，△DEF是等边三角形，∴∠ADB＝∠ADE＝60°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAD＝30°，∴当∠BAD＝30°时，四边形BDEF是菱形，故答案为：30°；②∵AC与⊙D切于点E，∴DE⊥AC，∵△DEC是等腰三角形，且DE⊥AC，∴DE＝EC，∠C＝∠EDC＝45°，∴DC＝DE，∵∠ABC＝90°，∠C＝45°，∴∠BAC＝∠C＝45°，∴AB＝BC，∵BD＝DE＝EC＝1，∴DC＝x，∴AB＝BC＝+1，∴当AB＝+1时，△CDE为等腰三角形，故答案为：+1．18．（9分）设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分，规定：85≤x≤100为A级；75≤x＜85为B级；60≤x＜75为C级；x＜60为D级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了50名学生，A级人数占本次抽取人数的百分比为24%；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中C级对应的圆心角为72度；（4）若该校共有1000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？【分析】（1）根据B级的人数和所占的百分比求出抽取的总人数，再用A级的人数除以总数即可求出α；（2）用抽取的总人数减去A、B、D的人数，求出C级的人数，从而补全统计图；（3）用360度乘以C级所占的百分比即可求出扇形统计图中C级对应的圆心角的度数；（4）用D级所占的百分比乘以该校的总人数，即可得出该校D级的学生数．【解答】解：（1）在这次调查中，一共抽取的学生数是：24÷48%＝50（人），α＝×100%＝24%；故答案为：50，24；（2）等级为C的人数是：50﹣12﹣24﹣4＝10（人），补图如下：（3）扇形统计图中C级对应的圆心角为×360°＝72°；故答案为：72；（4）根据题意得：1000×＝80（人），答：该校D级学生有80人．19．（9分）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB＝5km．（1）景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短的公路，不考虑其它因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km）（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到1km）（参考数据：＝1.73，＝2.24，sin53°＝cos37°＝0.80，sin37°＝cos53°＝0.60，tan53°＝1.33，tan37°＝0.75，sin38°＝cos52°＝0.62，sin52°＝cos38°＝0.79，tan38°＝0.78，tan52°＝1.28，sin75°＝0.97，cos75°＝0.26，tan75°＝3.73．）【分析】过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F，求DE 的问题就可以转化为求∠DBE的度数或三角函数值的问题．Rt△DCE中根据三角函数就可以求出CD的长．【解答】解：（1）如图，过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F，在Rt△DAF中，∠ADF＝30°，∴AF＝AD＝×8＝4，∴DF＝，在Rt△ABF中BF＝＝3，∴BD＝DF﹣BF＝4﹣3，sin∠ABF＝，在Rt△DBE中，sin∠DBE＝，∵∠ABF＝∠DBE，∴sin∠DBE＝，∴DE＝BD•sin∠DBE＝×（4﹣3）＝≈3.1（km），∴景点D向公路a修建的这条公路的长约是3.1km；（2）由题意可知∠CDB＝75°，由（1）可知sin∠DBE＝＝0.8，所以∠DBE＝53°，∴∠DCB＝180°﹣75°﹣53°＝52°，在Rt△DCE中，sin∠DCE＝，∴DC＝≈4（km），∴景点C与景点D之间的距离约为4km．20．（9分）如图，直线y＝2x+6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．（1）求m的值和反比例函数的表达式；（2）观察图象，直接写出当x＞0时，不等式2x+6＜0的解集；（3）当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）结合函数图象找到直线在双曲线下方对应的x的取值范围；（3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：（1）∵直线y＝2x+6经过点A（1，m），∴m＝2×1+6＝8，∴A（1，8），∵反比例函数经过点A（1，8），∴k＝8，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）不等式2x+6＜0的解集为0＜x＜1；（3）由题意，点M，N的坐标为M（，n），N（，n），∵0＜n＜6，∴＜0，∴＞0∴S△BMN＝|MN|×|y M|＝＝（n﹣3）2+，∴n＝3时，△BMN的面积最大，最大值为．21．（10分）某商场计划经销A，B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、售价如下表所示．A型B型进价（元/盏）4065售价（元/盏）60100（1）若该商场购进这批台灯共用去2500元，问这两种台灯各购进多少盏？（2）在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场销售这批台灯的总利润不少于1400元，问至少需购进B种台灯多少盏？（3）若该商场预计用不多于2600元的资金购进这批台灯，其中A种台灯不超过30盏，为了打开B种台灯的销路，商场决定每售出一盏B种台灯，返还顾客现金a元（10＜a ＜20），问该商场该如何进货，才能获得最大的利润？【分析】（1）首先设该商场购进A种台灯x盏，购进B种台灯（50﹣x）盏，然后根据题意，即可得方程，解方程即可求得答案；（2）设至少需购进B种台灯x盏，然后由该商场销售这批台灯的总利润不少于1400元，即可得一元一次不等式35y+20（50﹣y）≥1400，解此不等式即可求得答案；（3）首先设该商场购进A种台灯m盏，由该商场预计用不多于2600元的资金购进这批台灯，可通过不等式组求得m的取值范围，然后求得该商场获得的总利润与该商场购进A种台灯的盏数的一次函数，由10＜a＜20，根据一次函数的增减性即可求得答案．【解答】解：（1）设该商场购进A种台灯x盏，购进B种台灯（50﹣x）盏，由题意得：40x+65（50﹣x）＝2500，解得：x＝30，∴该商场购进A种台灯30盏，购进B种台灯20盏．（2）设购进B种台灯y盏，由题意得：35y+20（50﹣y）≥1400，解得：y≥，∴y的最小整数解为27，∴至少需购进B种台灯27盏；（3）设该商场购进A种台灯m盏，由题意得：40m+65（50﹣m）≤2600，解得：m≥26，∴26≤m30，设该商场获得的总利润为w元，则w＝20m+（35﹣a）（50﹣m）＝（a﹣15）m+1750﹣50a，∵10＜a＜20，∴当10＜a≤15时，m＝26，即购进A种台灯26盏，购进B种台灯24盏，该商场获得的总利润最大，当15＜a＜20时，m＝30，即购进A种台灯30盏，购进B种台灯20盏，该商场获得的总利润最大．22．（10分）（1）问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，点D时线段AB上一动点，连接BE．填空：①的值为1；②∠DBE的度数为90°．（2）类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，点D是线段AB上一动点，连接BE．请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE 的中点M，连接BM、CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少？请直接写出答案．【分析】（1）由直角三角形的性质可得∠ABC＝45°，可得∠DBE＝90°，通过证明△ACD∽△BCE，可得的值；（2）通过证明△ACD∽△BCE，可得的值，∠CBE＝∠CAD＝60°，即可求∠DBE 的度数；（3）分点D在线段AB上和BA延长线上两种情况讨论，由直角三角形的性质可证CM ＝BM＝，即可求DE＝2，由相似三角形的性质可得∠ABE＝90°，BE＝AD，由勾股定理可求BE的长．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠CAB＝45°∴∠ABC＝∠CAB＝45°∴AC＝BC，∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，且∠CAB＝∠CDE＝45°，∴△ACD∽△BCE∴故答案为：1，90°（2），∠DBE＝90°理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∠CED＝∠ABC＝30°∴tan∠ABC＝tan30°＝＝∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴Rt△ACB∽Rt△DCE∴∴，且∠ACD＝∠BCE∴△ACD∽△BCE∴＝，∠CBE＝∠CAD＝60°∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°（3）若点D在线段AB上，如图，由（2）知：＝，∠ABE＝90°∴BE＝AD∵AC＝2，∠ACB＝90°，∠CAB＝90°∴AB＝4，BC＝2∵∠ECD＝∠ABE＝90°，且点M是DE中点，∴CM＝BM＝DE，且△CBM是直角三角形∴CM2+BM2＝BC2＝（2）2，∴BM＝CM＝∴DE＝2∵DB2+BE2＝DE2，∴（4﹣AD）2+（AD）2＝24∴AD＝+1∴BE＝AD＝3+若点D在线段BA延长线上，如图同理可得：DE＝2，BE＝AD∵BD2+BE2＝DE2，∴（4+AD）2+（AD）2＝24，∴AD＝﹣1∴BE＝AD＝3﹣综上所述：BE的长为3+或3﹣23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣3），直线x＝1为抛物线的对称轴．点D为抛物线的顶点，直线BC与对称轴相交于点E．（1）求抛物线的解析式并直接写出点D的坐标；（2）点P为直线x＝1右方抛物线上的一点（点P不与点B重合）．记A、B、C、P四点所构成的四边形面积为S，若S＝S△BCD，求点P的坐标；（3）点Q是线段BD上的动点，将△DEQ延边EQ翻折得到△D′EQ，是否存在点Q 使得△D′EQ与△BEQ的重叠部分图形为直角三角形？若存在，请求出BQ的长，若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用抛物线的对称性得到B（3，0），则设交点式为y＝a（x+1）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入求出a即可得到抛物线解析式，然后把解析式配成顶点式即可得到D点坐标；（2）设P（m，m2﹣2m﹣3），先确定直线BC的解析式y＝x﹣3，再确定E（1，﹣2），则可根据三角形面积公式计算出S△BDC＝S△BDE+S△CDE＝3，然后分类讨论：当点P在x 轴上方时，即m＞3，如图1，利用S＝S△P AB+S△CAB＝S△BCD得到2m2﹣4m＝；当点P在x轴下方时，即1＜m＜3，如图2，连结OP，利用S＝S△AOC+S△COP+S△POB＝S△BCD 得到﹣m2+m+6＝，再分别解关于m的一元二次方程求出m，从而得到P点坐标；（3）存在．直线x＝1交x轴于F，利用两点间的距离公式计算出BD＝2，分类讨论：①如图3，EQ⊥DB于Q，证明Rt△DEQ∽Rt△DBF，利用相似比可计算出DQ＝，则BQ＝BD﹣DQ＝；②如图4，ED′⊥BD于H，证明Rt△DEQ＝H∽Rt△DBF，利用相似比计算出DH＝，EH＝，在Rt△QHD′中，设QH＝x，D′Q＝DQ ＝DH﹣HQ＝﹣x，D′H＝D′E﹣EH＝DE﹣EH＝2﹣，则利用勾股定理可得x2+（2﹣）2＝（﹣x）2，解得x＝1﹣，于是BQ＝BD﹣DH+HQ﹣＝+1；③如图5，D′Q⊥BC于G，作EI⊥BD于I，利用①得结论可得EI＝，BI＝，而BE＝2，则BG＝BE﹣EG＝2﹣，根据折叠性质得∠EQD＝∠EQD′，则根据角平分线性质得EG＝EI＝，接着证明△BQG∽△BEI，利用相似比可得BQ＝﹣，所以当BQ为或+1或﹣时，将△DEQ沿边EQ翻折得到△D′EQ，使得△D′EQ与△BEQ的重叠部分图形为直角三角形．【解答】解：（1）∵点A与点B关于直线x＝1对称，∴B（3，0），设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入得﹣3a＝﹣3，解得a＝1，∴抛物线就笑着说为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线顶点D的坐标为（1，﹣4）；（2）设P（m，m2﹣2m﹣3），易得直线BC的解析式为y＝x﹣3，当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣3，则E（1，﹣2），∴S△BDC＝S△BDE+S△CDE＝×3×（﹣2+4）＝3，当点P在x轴上方时，即m＞3，如图1，S＝S△P AB+S△CAB＝•3•（3+1）+•（3+1）•（m2﹣2m﹣3）＝2m2﹣4m，∵S＝S△BCD，∴2m2﹣4m＝，整理得4m2﹣8m﹣15＝0，解得m1＝，m2＝（舍去），∴P点坐标为（，）；当点P在x轴下方时，即1＜m＜3，如图2，连结OP，S＝S△AOC+S△COP+S△POB＝•3•1+•3•m+•3•（﹣m2+2m+3）＝﹣m2+m+6，∵S＝S△BCD，∴﹣m2+m+6＝，整理得m2﹣3m+1＝0，解得m1＝，m2＝（舍去）∴P点坐标为（，），综上所述，P点坐标为（，）或（，）；（3）存在．直线x＝1交x轴于F，BD＝＝2，①如图3，EQ⊥DB于Q，△DEQ沿边EQ翻折得到△D′EQ，∵∠EDQ＝∠BDF，∴Rt△DEQ∽Rt△DBF，∴＝，即＝，解得DQ＝，∴BQ＝BD﹣DQ＝2﹣＝；②如图4，ED′⊥BD于H，∵∠EDH＝∠BDF，∴Rt△DEQ＝H∽Rt△DBF，∴＝＝，即＝＝，解得DH＝，EH＝，在Rt△QHD′中，设QH＝x，D′Q＝DQ＝DH﹣HQ＝﹣x，D′H＝D′E﹣EH＝DE﹣EH＝2﹣，∴x2+（2﹣）2＝（﹣x）2，解得x＝1﹣，∴BQ＝BD﹣DQ＝BD﹣（DH﹣HQ）＝BD﹣DH+HQ＝2﹣+1﹣＝+1；③如图5，D′Q⊥BC于G，作EI⊥BD于I，由①得EI＝，BI＝，∵BE＝＝2，∴BG＝BE﹣EG＝2﹣，∵△DEQ沿边EQ翻折得到△D′EQ，∴∠EQD＝∠EQD′，∴EG＝EI＝，∵∠GBQ＝∠IBE，∴△BQG∽△BEI，∴＝，即＝，∴BQ＝﹣，综上所述，当BQ为或+1或﹣时，将△DEQ沿边EQ翻折得到△D′EQ，使得△D′EQ与△BEQ的重叠部分图形为直角三角形．。

2020年河南省郑州市市直学校中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．1．（3分）的倒数是（）A．﹣B．C．2020D．﹣20202．（3分）舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，这个数用科学记数法应表示为（）A．4.995×1011B．49.95×1010C．0.4995×1011D．4.995×10103．（3分）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2＝35°，则∠1的度数为（）A．45°B．55°C．65°D．75°4．（3分）下列运算正确的是（）A．（﹣2a3）2＝﹣4a6B．＝±3C．m2•m3＝m6D．x3+2x3＝3x35．（3分）如图，它是由5个完全相同的小正方体搭建的几何体，若将最右边的小正方体拿走，则下列结论正确的是（）A．主视图不变B．左视图不变C．俯视图不变D．三视图都不变6．（3分）一元二次方程（x﹣1）（x+3）＝5x﹣5的根的情况是（）A．无实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．有一个正根，一个负根7．（3分）某市5月份连续7天的最高气温如下（单位：℃）：32，30，34，36，36，33，37．这组数据的中位数、众数分别为（）A．34℃，36℃B．34℃，34℃C．36℃，36℃D．32℃，37℃8．（3分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9B．6C．4D．39．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于AC 长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（）A．2B．4C．3D．10．（3分）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x 轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（）A．（，1）B．（2，1）C．（1，）D．（2，）二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）计算：|﹣1|+30＝．12．（3分）不等式组的最小整数解是．13．（3分）在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中有5个红球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个黄球的概率为．14．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形EBF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是．15．（3分）如图，正方形ABCD的边长是9，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点，CF＝4，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点A′，D′处，当点D′落在直线BC上时，线段AE的长为．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：（﹣x+1）÷，其中x满足x2+x﹣2＝0．17．（9分）如图，AB为⊙O的直径，DB⊥AB于B，点C是弧AB上的任一点，过点C作⊙O的切线交BD于点E．连接OE交⊙O于F．（1）求证：CE＝ED；（2）填空：①当∠D＝时，四边形OCEB是正方形；②当∠D＝时，四边形OACF是菱形．18．（9分）我市正在开展“食品安全城市”创建活动，为了解学生对食品安全知识的了解情况，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果按照“A非常了解、B了解、C了解较少、D不了解”四类分别进行统计，并绘制了下列两幅统计图（不完整）．请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次共调查了名学生；（2）扇形统计图中D所在扇形的圆心角为；（3）将上面的条形统计图补充完整；（4）若该校共有800名学生，请你估计对食品安全知识“非常了解”的学生的人数．19．（9分）郑州大学（ZhengzhouUniversity），简称“郑大”，是中华人民共和国教育部与河南省人民政府共建的全国重点大学，首批“双一流”世界一流大学、“211工程”．某学校兴趣小组3人来到郑州大学门口进行测量，如图，在大楼AC的正前方有一个舞台，舞台前的斜坡DE＝4米，坡角∠DEB＝41°，小红在斜坡下的点E处测得楼顶A的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶A的仰角为45°，其中点B，C，E在同一直线上求大楼AC的高度．（结果精确到整数．参考数据：≈1.73，sin41°≈0.6，cos41°≈0.75，tan41°≈0.87）20．（9分）某文具店经销甲、乙两种不同的笔记本，已知：两种笔记本的进价之和为10元，甲种笔记本每本获利2元，乙种笔记本每本获利1元，小玲同学买4本甲种笔记本和3本乙种笔记本共用了47元．（1）甲、乙两种笔记本的进价分别是多少元？（2）该文具店购入这两种笔记本共60本，花费不超过296元，则购买甲种笔记本多少本时文具店获利最大？21．（10分）某数学兴趣小组对函数y＝x+的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．x…﹣3﹣2﹣1﹣﹣123…y…﹣m﹣2﹣﹣2…（1）自变量x的取值范围是，m＝．（2）根据（1）中表内的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分．（3）请你根据函数图象，写出两条该函数的性质；（4）进一步探究该函数的图象发现：①方程x+＝3有个实数根；②若关于x的方程x+＝t有2个实数根，则t的取值范围是．22．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，＝．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决△CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，求线段BD的长．23．（11分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．2020年河南省郑州市市直学校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．1．【解答】解：的倒数是2020，故选：C．2．【解答】解：将499.5亿用科学记数法表示为：4.995×1010．故选：D．3．【解答】解：如图，作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠2＝∠AEF＝35°，∠1＝∠FEC，∵∠AEC＝90°，∴∠1＝90°﹣35°＝55°，故选：B．4．【解答】解：A、（﹣2a3）2＝（﹣2）2•（a3）2＝4a6，故本选项错误；B、＝3，故本选项错误；C、m2•m3＝m2+3＝m5，故本选项错误；D、x3+2x3＝3x3，故本选项正确．故选：D．5．【解答】解：根据三视图的定义，若将最右边的小正方体拿走，俯视图、主视图都发生变化，左视图不变．故选：B．6．【解答】解：方程化为x2﹣3x+2＝0，∵△＝（﹣3）2﹣4×2＝1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．设方程两根分别为x1，x2，∴x1+x2＝3＞，x1x2＝2＞0，∴方程有两个正的实数根．故选：B．7．【解答】解：把这组数据从小到大排列为30，32，33，34，36，36，37，最中间的数是34，则中位数是34；众数是36；故选：A．8．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴4×ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3，故选：D．9．【解答】解：如图，连接FC，则AF＝FC．∵AD∥BC，∴∠F AO＝∠BCO．在△FOA与△BOC中，，∴△FOA≌△BOC（ASA），∴AF＝BC＝3，∴FC＝AF＝3，FD＝AD﹣AF＝4﹣3＝1．在△FDC中，∵∠D＝90°，∴CD2+DF2＝FC2，∴CD2+12＝32，∴CD＝2．故选：A．10．【解答】解：∵AD′＝AD＝2，AO＝AB＝1，∴OD′＝＝，∵C′D′＝2，C′D′∥AB，∴C′（2，），故选：D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．【解答】解：原式＝﹣1+1＝．故答案为：．12．【解答】解：不等式组整理得：，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，则最小的整数解为0，故答案为：013．【解答】解：设袋子中黄球有x个，根据题意，得：＝，解得：x＝3，即袋中黄球有3个，所以随机摸出一个黄球的概率为＝，故答案为：．14．【解答】解：如图，连接BD．∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴∠ADC＝120°，∴∠1＝∠2＝60°，∴△DAB是等边三角形，∵AB＝2，∴△ABD的高为，∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，∴∠4+∠5＝60°，∠3+∠5＝60°，∴∠3＝∠4，设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，在△ABG和△DBH中，，∴△ABG≌△DBH（ASA），∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF﹣S△ABD＝﹣×2×＝﹣．故答案是：﹣．15．【解答】解：分两种情况：①当D′落在线段BC上时，连接ED、ED′、DD′，如图1所示：由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，∴DE＝D′E，∵正方形ABCD的边长是9，∴AB＝BC＝CD＝AD＝9，∵CF＝4，∴DF＝D′F＝CD﹣CF＝9﹣4＝5，∴CD′＝＝3，∴BD'＝BC﹣CD'＝6，设AE＝x，则BE＝9﹣x，在Rt△AED和Rt△BED'中，由勾股定理得：DE2＝AD2+AE2＝92+x2，D'E2＝BE2+BD'2＝（9﹣x）2+62，∴92+x2＝（9﹣x）2+62，解得：x＝2，即AE＝2；②当D′落在线段BC延长线上时，连接ED、ED′、DD′，如图2所示：由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，∴DE＝D′E，∵正方形ABCD的边长是9，∴AB＝BC＝CD＝AD＝9，∵CF＝4，∴DF＝D′F＝CD﹣CF＝9﹣4＝5，CD′＝＝3，∴BD'＝BC+CD'＝12，设AE＝x，则BE＝9﹣x，在Rt△AED和Rt△BED'中，由勾股定理得：DE2＝AD2+AE2＝92+x2，D'E2＝BE2+BD'2＝（9﹣x）2+122，∴92+x2＝（9﹣x）2+122，解得：x＝8，即AE＝8；综上所述，线段AE的长为2或8；故答案为：2或8．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．【解答】解：原式＝•＝•＝，由x2+x﹣2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1，∵x≠1，∴当x＝﹣2时，原式＝＝．17．【解答】解：（1）证明：连接OC，∵CE为⊙O的切线，OC⊥CE，∴∠OCE＝90°，∴∠ACO+∠DCE＝90°，∵BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∴∠A+∠D＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∴∠D＝∠DCE，∴CE＝ED；（2）若四边形OCEB是正方形，则∠CEB＝90°，∴∠CED＝90°，∵CE＝ED，∴∠D＝∠DCE＝45°，故答案为45°；（3）若四边形OACF是菱形，则OA＝AC，∵OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，∴∠A＝60°，∵DB⊥AB，∴∠A+∠D＝90°，∴∠D＝90°﹣60°＝30°，故答案为30°．18．【解答】解：（1）（25+23）÷40%＝120（名），即此次共调查了120名学生，故答案为：120；（2）360°×＝54°，即扇形统计图中D所在扇形的圆心角为54°，故答案为：54°；（3）如图所示：（4）800×＝200（人），答：估计对食品安全知识“非常了解”的学生的人数是200人．19．【解答】解：设CE＝x，在Rt△DEB中，sin∠DEB＝，∴DB＝DE•sin∠DEB≈4×0.6＝2.4，cos∠DEB＝，∴BE＝DE•cos∠DEB≈4×0.75＝3，在Rt△AEC中，tan∠AEC＝，∴AC＝CE•tan∠AEC＝x，∵∠ADF＝45°，∴F A＝FD，∴x﹣2.4＝x+3，解得，x＝，∴AC＝x≈13，答：大楼AC的高度约为13米．20．【解答】解：（1）设甲种笔记本的进价为m元，乙种笔记本的进价为n元．．由题意得，解得，答：甲种笔记本的进价是6元/本，乙种笔记本的进价是4元/本．（2）设购入甲种笔记本x本，则购入乙种笔记本（60﹣x）本，根据题意得6x+4（60﹣x）≤296，解得n≤28，设利润为y元，则y＝2x+（60﹣x），即y＝x+60，∵k＝1＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x＝28时文具店获利最大．答：购入甲种笔记本最多28本，此时获利最大．21．【解答】解：（1）∵x在分母上，∴x≠0．当x＝﹣2时，m＝y＝﹣2+＝﹣．故答案为：x≠0；﹣．（2）描点、连线，画出函数图象，如图所示．（3）观察函数图象，可找出函数性质：①函数图象关于原点中心对称；②当x＞1时，y的值随x值的增大而增大．（4）①方程x+＝3可看成函数y＝x+的图象与直线y＝3的交点的个数，∵函数y＝x+的图象与直线y＝3有两个交点，∴方程x+＝3有2个实数根．故答案为：2．②观察函数图象可知，当t＜﹣2或t＞2时，函数y＝x+的图象与直线y＝t有两个交点．故答案为：t＜﹣2或t＞2．22．【解答】解：（1）①当α＝0°时，∵Rt△ABC中，∠B＝90°，∴AC＝＝＝2，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴AE＝AC＝，BD＝BC＝1，∴＝．②如图1﹣1中，当α＝180°时，可得AB∥DE，∵＝，∴＝＝．故答案为：①，②．（2）如图2，当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB，又∵＝＝，∴△ECA∽△DCB，∴＝＝．．（3）①如图3﹣1中，当点E在AB的延长线上时，在Rt△BCE中，CE＝，BC＝2，∴BE＝＝＝1，∴AE＝AB+BE＝5，∵＝，∴BD＝＝．②如图3﹣2中，当点E在线段AB上时，易知BE＝1，AE＝4﹣1＝3，∵＝，∴BD＝，综上所述，满足条件的BD的长为或．23．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，∴B（0，4），当y＝0时，﹣x+4＝0，x＝6，∴C（6，0），把B（0，4）和C（6，0）代入抛物线y＝ax2+x+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；（2）如图1，过E作EG∥y轴，交直线BC于G，设E（m，﹣m2+m+4），则G（m，﹣m+4），∴EG＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣+4m，∴S△BEC＝EG•OC＝×6（﹣+4m）＝﹣2（m﹣3）2+18，∵﹣2＜0，∴S有最大值，此时E（3，8）；（3）y＝﹣x2+x+4＝﹣（x2﹣5x+﹣）+4＝﹣（x﹣）2+；对称轴是：x＝，∴A（﹣1，0）∵点Q是抛物线对称轴上的动点，∴Q的横坐标为，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形；①如图2，以AM为边时，由（2），可得点M的横坐标是3，∵点M在直线y＝﹣x+4上，∴点M的坐标是（3，2），又∵点A的坐标是（﹣1，0），点Q的横坐标为，根据M到Q的平移规律：可知：P的横坐标为﹣，∴P（﹣，﹣）；②如图3，以AM为边时，四边形AMPQ是平行四边形，由（2），可得点M的横坐标是3，∵A（﹣1，0），且Q的横坐标为，∴P的横坐标为，∴P（，﹣）；③以AM为对角线时，如图4，∵M到Q的平移规律可得P到A的平移规律，∴点P的坐标是（﹣，），综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是（﹣，﹣）或（，﹣）或（﹣，）．。

河南省2020年中考数学一摸数学试卷参考答案一、选择题（每小题3分,共30分）二、填空题（每小题3分,共15分）11. 0 12. ︒145 13. 0 , 1 , 2 14. 233-π 15. 3或326-部分选择题、填空题答案解析7.已知关于x 的一元二次方程()01212=-++x x k 有实数根,则k 的取值范围是【 】（A ）k ≥2- （B ）k ≥2-且1-≠k （C ）k ≥2 （D ）k ≤2- 解析:本题为易错题,易忽视二次项系数不等于0这个限制条件.∵该方程是有实数根的一元二次方程∴()⎩⎨⎧≥++=∆≠+0142012k k 解之得:k ≥2-且1-≠k . ∴选择答案【 B 】.9. 如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,点B 的坐标为()2,1,过点B 作y BA ⊥轴于点A ,连结OB ,将△AOB 绕点O 按顺时针方向旋转︒45,得到△''OB A ,则点'B 的坐标为 【 】（A ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,2 （B ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,223 （C ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,3 （D ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1,223 第 9 题图解析:本题考查图形的变换与点的坐标,是河南中考的必考内容.如图所示,作出旋转后的△''OB A ,过点','B A 分别作x C A ⊥'轴,x D B ⊥'轴,作C A E B ''⊥,由题意可知,△OC A '和△E B A ''均为等腰直角三角形.∵()y AB B ⊥,2,1轴∴1'',2'====B A AB OA OA ∴2222''====OA C A OC 22212''''=====B A CD E B E A ∴223222=+=+=CD OC OD 22222'''=-=-==E A C A D B CE ∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,223'B . 重要结论 等腰直角三角形的斜边长是直角边长的2倍.10. 如图1所示,在矩形ABCD 中,点E 在AD上,△BEF 为等边三角形,点M 从点B 出发,沿B →E →F 匀速运动到点F 时停止,过点M 作AD MP ⊥于点P ,设点M 运动的路径长为x ,MP 的长为y ,y 与x 的函数图象如图2所示,当3310=x cm 时,则MP 的长为【 】 图 1PMFEDC BA图 2/ cm（A ）233cm （B ）32cm （C ）3cm （D ）2 cm解析:本题考查几何图形与函数图象的关系,是河南中考的必考内容,难度较高,解题时要注意几何图形的变化与函数图象的变化之间的对应关系,尤其要注意几何图形上特殊点与函数图象上的特殊点所代表的意义. 由题意可知,等边△BEF 的边长为32cm ∵3310=x cm 32>cm ∴此时点M 在EF 边上,如下图所示.P MFEDC BA在Rt △PEM 中334323310=-=EM cm,︒=∠60PEM ∵EM MPPEM =∠sin∴22333460sin =⨯=︒⋅=EM MP cm ∴选择答案【 D 】.14. 如图所示,四边形OABC 为菱形,2=OA ,以点O 为圆心,OA 长为半径画弧AE ,弧AE 恰好经过点B ,连结OE ,BC OE ⊥,则图中阴影部分的面积为_________.解析:本题考查与圆有关的阴影面积的计算,是河南中考的必考内容.阴影部分面积的计算都要涉及到扇形面积的计算,所以要熟记扇形面积的计算公式:3602r n S π=扇形.注意添加半径的辅助线,来构造出扇形.第 14 题图连结OB ,设OE 与BC 交于点F ,则有:OABF AOE S S S 梯形扇形阴影-=由题意和作图可知,△AOB 和△BOC 均为等边三角形,︒=∠90AOE .∴312,12122=-===OF BC BF ∴()23213602902⨯+-⨯⨯=π阴影S 233-=π.15.如图,在等边△ABC 中,232+=AB , 点D 在边AB 上,且2=AD ,点E 是BC 边上一动点,将B ∠沿DE 折叠,当点B 的对应点'B 落在△ABC 的边上时,BE 的长为_________.解析:本题考查与动点有关的几何图形的折叠,是河南中考必考内容,难度大,考虑到答题的时限性和此类题目的难度,不建议学生在此类题目上花费太多的时间.此类题目的结果不唯一,需要根据不同的折叠情况分类讨论.本题折叠的结果分为两种情况:点'B 落在BC 边上和点'B 落在AC 边上.①当点'B 落在BC 边上时,如图1所示.图 1CE DB'BA由折叠可知,D B BD '= ∵︒=∠60B∴△'BDB 是等边三角形 ∴322232=-+==BD BE ;②当点'B 落在AC 边上时,如图2所示.F 图 2CE DB'BA先说明此时AB D B ⊥'. 作AB DF ⊥,在Rt △ADF 中3260tan =︒⋅=AD DF由折叠可知:32'==D B BD ∴DF D B =',显然,点'B 与点F 重合. ∴AB D B ⊥',从而AC E B ⊥' ∴42'==AD AB∴2324232'-=-+=C B 在Rt △CE B '中()326323260tan ''-=⨯-=︒⋅=C B E B ∴326'-==E B BE .综上所述,BE 的长为3或326-. 三、解答题（共75分） 16.（8分）先化简,再求值:x y x x y xy x 2222-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--, 其中32,32-=+=y x .解:x y x x y xy x 2222-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-- ()()()y x y x xxy x -+⋅-=2yx yx +-=…………………………………5分 当32,32-=+=y x 时原式2332323232=-+++-+=. ……………………………………………8分 17.（9分）解:整理数据 4 , 3; ……………………2分 分析数据 76; …………………………4分 得出结论（1）估计全校九年级成绩达到90分及以上的人数为1602541000=⨯（人）;……………………………………………6分 （2）从平均数评价:九年级和八年级成绩相同;从中位数评价:八年级的中位数较大,成绩优秀的人数较多;从方差评价:九年级方差大,成绩不稳定,八年级方差小,成绩稳定,故八年级的成绩比较好.……………………………………………9分 18.（9分）如图所示,已知反比例函数()0≠=k xky 与一次函数b ax y +=的图象相交于点()1,-n A ,()3,1B ,过点A 作y AD ⊥轴于点D ,过点B 作x BC ⊥轴于点C ,连结CD .（1）求反比例函数的解析式;（2）求四边形ABCD 的面积.解:（1）把()3,1B 代入x ky =得:331=⨯=k ∴反比例函数的解析式为xy 3=;……………………………………………3分 （2）把()1,-n A 代入xy 3=得:3-=n ∴()1,3--A延长AD ,交BC 的延长线于点E ,则有()431=--=-=-=A B A E x x x x AE ()413=--=-=-=A B E B y y y y BE1==DE CE……………………………………………7分∴CDE ABE ABCD S S S ∆∆-=四边形21511214421=⨯⨯-⨯⨯=.……………9分 19.（9分）如图所示,在△ABC 中,︒=∠90C ,点D 是AB 边上一点,以BD 为直径的⊙O 与边AC 相切于点E ,与边BC 交于点F ,过点E 作AB EH ⊥于点H ,连结BE . （1）求证:BH BC =;（2）若4,5==AC AB ,求CE 的长.321OHFEDC A（1）证明:连结OE . ……………………1分 ∵OB OE = ∴21∠=∠ ∵AC 与⊙O 相切 ∴OE AC ⊥ ∵AC BC ⊥ ∴BC OE // ∴132∠=∠=∠ ∴BE 平分ABC ∠ 在△BCE 和△BHE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BE BE BHE BCE 13 ∴△BCE ≌△BHE （AAS ） ∴BH BC =;……………………………………………5分（2）解:设x CE =,则x EH =,x AE -=4. 在Rt △ABC 中,由勾股定理得:3452222=-=-=AC AB BC……………………………………………6分 由（1）可知:3==BC BH ∴235=-=-=BH AB AH .……………………………………………7分 在Rt △AEH 中,由勾股定理得:222AE AH EH =+∴()22242x x -=+,解之得:23=x . ∴23=CE .………………………………9分 20.（9分）如图所示,为了测量某矿山CH的高度,科考组在距离矿山一段距离的B 点乘坐直升机垂直上升2000米至A 点,在A 点,在A 点观察H 点的俯角为︒35,然后乘坐直升机从A 水平向前飞行500米到E 点,此时观察H 点的俯角为︒45,所有的点都在同一平面内,科考队至此完成了数据监测,请你依据数据计算科考队测得的矿山高度.（结果保留整数,参考数据:）41.12,70.035tan ,82.035cos ,57.035sin ≈≈︒≈︒≈︒解:作AB HP ⊥,延长CH 交AE 的延长线于点D ,则四边形APHD 为矩形. 设x CH =米,则x PB =米∴()x DH AP -==2000米 在Rt △DEH 中,∵︒=∠45DEH ∴()x DH DE -==2000米 ∴5002000+-=+=x AE DE AD ()x -=2500米.……………………………………………3分 在Rt △ADH 中 ∵ADDH=︒35tan ∴70.025002000≈--xx………………………6分解之得:833≈x .…………………………8分 ∴833≈CH 米.答:科考队测得的矿山高度约为833米. ……………………………………………9分 21.（10分）随着第27届信阳茶文化节发布会、固始西九华山第三届郁金香风情文化节等系列活动的成功举办,越来越多的游客想要到信阳游玩.小明所在的公司想在五一黄金周期间组织员工去信阳游玩,咨询了甲、乙两家旅行社,两家旅行社分别推出优惠方案（未推出优惠方案前两家旅行社的收费标准相同）.甲:购买一张团体票,然后个人票打六折优惠;乙:不购买团体票,当团体人数超过一定数量后超过部分的个人票打折优惠,优惠期间,公司的员工人数为x （人）,在甲旅行社所需总费用为y 甲（元）,在乙旅行社所需总费用为y 乙（元）,y 甲、y 乙与x 之间的函数关系如图所示.（1）甲旅行社团体票是_________元,乙旅行社团体人数超过一定数量后,个人票打_________折;（2）求y 甲、y 乙关于x 的函数表达式; （3）请说明小明所在的公司选择哪个旅行社出游更划算.解:（1）600 , 四;……………………………………………2分 提示:当人数x 小于或等于10时,乙旅行社的个人票为300103000=（元）,当人数超过10人时,个人票为=--102530004800120（元）,4.0300120=,所以乙旅行社团体人数超过10人时,个人票打四折.（2）6001806003006.0+=+⨯=x x y 甲. ……………………………………………4分 当0≤x ≤10时,设乙y 的解析式为x k y 1=乙. 把()3000,10代入x k y 1=乙得:3001=k . ∴x y 300=乙;当10>x 时,设乙y 的解析式为b x k y +=2乙. 把()3000,10,()4800,25分别代入得:⎩⎨⎧=+=+48002530001022b k b k ,解之得:⎩⎨⎧==18001202b k .∴1800120+=x y 乙.∴()()⎩⎨⎧>+≤≤=101800120100300x x x x y 乙;……………………………………………7分 （3）当0≤x ≤10时,令x x 300600180=+,解之得:5=x ;当10>x 时,令1800120600180+=+x x ,解之得:20=x .∴当公司的员工人数为5或20时,甲、乙两家旅行社的总费用相同;当公司的员工人数大于5小于20时,选择甲旅行社出游更划算;当公司的员工人数小于5人或大于20时,选择乙旅行社出游更划算.…………………………………………10分 22.（10分）如图所示,在△ABC 中,BC AB =,D 、E 分别是边AB 、BC 上的动点,且BE BD =,连结AD 、AE ,点M 、N 、P 分别是CD 、AE 、AC 的中点,设α=∠B . （1）观察猜想①在求CEMN的值时,小明运用从特殊到一般的方法,先令︒=60α,解题思路如下: 如图1,先由BE BD BC AB ==,,得到AD CE =,再由中位线的性质得到PN PM =,︒=∠60NPM ,进而得出△PMN 为等边三角形,∴21==CE NP CE MN . ②如图2,当︒=90α时,仿照小明的思路求CEMN的值; （2）探究证明如图3,试猜想CEMN的值是否与()︒<<︒1800αα的度数有关,若有关,请用含α的式子表示出CEMN,若无关,请说明理由; （3）拓展应用如图4,︒=∠=36,2B AC ,点D 、E 分别是射线AB 、CB 上的动点,且CE AD =,点M 、N 、P 分别是线段CD 、AE 、AC 的中点,当1=BD 时,请直接写出MN 的长.图 2P NMD BA图 1PN M E D C BA图 4图 3PN MEDC BAPNMEDCBA解:（1）②∵BE BD BC AB ==, ∴CE AD =.∵BC AB =,︒=∠90B ∴△ABC 为等腰直角三角形∵点M 、N 、P 分别是CD 、AE 、AC 的中点 ∴CE PN CE PN 21,//=AD PM AD PM 21,//=∴︒=∠=∠=45,ACB APN PN PM︒=∠=∠45CAB CPM∴︒=︒-︒-︒=∠904545180NPM∴△PMN 为等腰直角三角形 ∴PN MN 2=∴222=⋅=CE PN CE MN ; ……………………………………………3分H图 5PNMED CBA（2）∵BE BD BC AB ==, ∴CE AD =.∵点M 、N 、P 分别是CD 、AE 、AC 的中点∴CE PN CE PN 21,//=AD PM AD PM 21,//=∴ACB APN PN PM ∠=∠=,CAB CPM ∠=∠∴CAB ACB NPM ∠-∠-︒=∠180α=∠=B作MN PH ⊥,如图5所示,则NH MN 2=,221α=∠=NPM NPH . 在Rt △NPH 中,∵PNNHNPH =∠sin ∴2sinα⋅=PN NH∴2sin2sin22αα===CEPNCENHCE MN ;……………………………………………8分 （3）455-=MN 或435+=MN . …………………………………………10分提示:注意条件“点D 、E 分别是射线AB 、CB 上的动点,且CE AD =”,考虑到点D 、E 不是边AB 、CB 上的动点,要进行分类讨论. ①当点D 、E 分别是边AB 、CB 上的动点时,作ACB ∠的平分线交AB 边于点F ,并连结BP ,如图6所示.图 6由题意容易得到2===BF CF AC ,且AC BP ⊥.设x BC =,则2-=x AF ,1-=x CE . 可证:△ACF ∽△ABC . ∴xx AB AC AC AF 222,=-=. 整理得:0422=--x x解之得:51+=x （51-=x 舍去）. ∴51+=BC ,5151=-+=CE . 由（2）可知:︒=18sin CEMN. ∴︒=︒⋅=18sin 518sin CE MN . 在Rt △BCP 中41551118sin sin -=+==︒=∠BC CP CBP ∴()4554155-=-=MN ; ②当点D 、E 分别是边AB 、CB 的延长线上的动点时,如图7所示.52511+=++=CE图 7AB C DEM NP∴()43541552+=-⨯+=MN . 综上所述,MN 的长为455-或435+.重要结论 我们把顶角为︒36的等腰三角形称为特殊等腰三角形.已知特殊等腰三角形的底边长,作出其中一个底角的平分线,可以利用三角形相似的知识可以求出腰长.特殊等腰三角形23.（11分）如图所示,抛物线c x ax y +-=22与x 轴交于A 、B 两点,与y轴交于点C ,直线3+=x y 经过A 、C 两点. （1）求抛物线的解析式;（2）点N 是x 轴上的动点,过点N 作x 轴的垂线,交抛物线与点M ,交直线AC 于点H . ①点D 在线段OC 上,连结AD 、BD ,当BD AH =时,求AH AD +的最小值;②当OD OC 3=时,将直线AD 绕点A 旋转︒45,使直线AD 与y 轴交于点P ,请直接写出点P 的坐标.第 23 题图备用图解:（1）对于3+=x y ,令03=+x ,解之得:3-=x ,令0=x ,则3=y . ∴()0,3-A ,()3,0C .把()0,3-A ,()3,0C 代入c x ax y +-=22可得:⎩⎨⎧==++3069c c a ,解之得:⎩⎨⎧=-=31c a ∴抛物线的解析式为322+--=x x y ; ……………………………………………3分（2）①令0322=+--x x 解之得:31-=x ,12=x ∴()()0,1,0,3B A -……………………………………………5分 ∵BD AH =∴BD AD AH AD +=+ ∵BD AD +≥AB∴()()431min =--==+AB BD AD 即AH AD +的最小值为4;……………………………………………9分②点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,0或()6,0.…………………………………………11分 提示:题目为指明直线AD 旋转的方向,这里要分为两种情况进行讨论.当直线AD 绕点A 顺时针旋转︒45时,如图1所示.图 1∵()()3,0,0,3C A -∴3==OC OA ,△AOC 为等腰直角三角形. ∴︒=∠=∠45ACO CAO .∵︒=∠+∠=∠+∠45OAD OAP OAD CAD ∴OAP CAD ∠=∠.作AC DE ⊥,则△DCE 为等腰直角三角形. ∵OD OC 3= ∴2,1==CD OD ∴2222===CD DE在Rt △AOD 中,由勾股定理得:10132222=+=+=OD OA AD∴55102sin sin ===∠=∠AD DE EAD CAD ∴55sin =∠OAP . 设m OP =,则5593222=+=+m m m m . 两边分别平方得:51922=+m m解之得:23=m （23-=m ）舍去.∴23=OP∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,0P ;当直线AD 绕点A 逆时针旋转︒45时,如图2.∵︒=∠=∠+∠45ACO CAP OPA第11页︒=∠=∠+∠45DAP CAD CAP∴CAD OPA ∠=∠作AC DE ⊥,则△DCE 为等腰直角三角形. 设m OP =∵55sin sin =∠=∠EAD CAD ∴5593sin 2=+==∠m PAOAOPA . 两边分别平方得:51992=+m . 解之得:6=m （6-=m ）舍去. ∴6=OP ∴()6,0P .综上所述,点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,0或()6,0.学生整理用图321OHFEDC BAF 图 6PNMEDCBA图 7ABCDEM NPxy第 23 题图OMH NDC BAxy备用图CBA O。

河南省2020年数学中考一模试卷一、单选题（共10题；共20分）1.下列各组数中，互为倒数的是( )A. 2和 −12B. 3和 13C. |﹣3|和﹣ 13D. ﹣4和4 2.地球的表面积约为510000000km 2 ， 将510000000用科学记数法表示为（ ）A. 0.51×109B. 5.1×108C. 5.1×109D. 51×1073.下列四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是（ ） A. B. C. D.4.下列运算正确的是（ ）.A. m 2+2m 3=3m 5B. m 2⋅m 3=m 6C. (−m)3=−m 3D. (mn)3=mn 35.不等式组 {2−x ≥x −23x −1>−4的最大整数解是（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 26.某次数学纠错比赛共有 10 道题目，每道题都答对得 10 分，答错或不答得 0 分，全班 40 名同学参加了此次竞赛，他们的得分情况如下表所示：则全班 40 名同学的成绩的中位数和众数分别是（ ）A. 75 ， 70B. 80 ， 80C. 70 ，70D. 75 ， 807.将一张宽度相等的长方形纸条按如图所示的方式折叠一下，如果∠1＝130°，那么∠2的度数是（ ）A. 105°B. 100°C. 110°D. 115°8.如图，△PAB 与△PCD 均为等腰直角三角形，点C 在PB 上，若△ABC 与△BCD 的面积之和为10，则△PAB 与△PCD 的面积之差为（ ）A. 5B. 10C. l5D. 209.如图，将抛物线y＝﹣x2+x+5的图象x轴上方的部分沿x轴折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象.则新图象与直线y＝﹣5的交点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 410.如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AC=AD.动点P从点B出发沿折线B→A→D→C方向以1单位/秒的速度运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则AD 等于（）A. 10B. √89C. 8D. √41二、解答题（共9题；共57分）11.化简：(2−√3)0+√24√2√2=________.12.先化简，再求值x2−2x+1x2−1• x+1x2−x- 1x+1，其中x是方程x2+x-3=0的解.13.某校有3000名学生.为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了该校部分学生的主要上学方式(参与问卷调查的学生只能从以下六个种类中选择一类)，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图.某校部分学生主要上学方式扇形统计图某校部分学生主要上学方式条形统计图根据以上信息，回答下列问题：（1）参与本次问卷调查的学生共有________人，其中选择B类的人数有________人.（2）在扇形统计图中，求E类对应的扇形圆心角α的度数，并补全条形统计图.（3）若将A、C、D、E这四类上学方式视为“绿色出行”，请估计该校每天“绿色出行”的学生人数.14.如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点P，过A作直线AC⊥PC交⊙O于另一点D，连接PA、PB.（1）求证：AP平分∠CAB；（2）若P是直径AB上方半圆弧上一动点，⊙O的半径为2，则①当弦AP的长是________时，以A，O，P，C为顶点的四边形是正方形；②当AP⌢的长度是________时，以A，D，O，P为顶点的四边形是菱形.15.图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图.已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为2米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米.（1）真空管上端B到水平线AD的距离.（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度(结果精确到0.1米)参考数据：sin37°≈ 35，cos37°≈ 45，tan37°≈ 34，sin22°≈ 38，cos22°≈ 1516，tan22°≈ 2516.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（0，﹣4），反比例﹣函数y＝kx（k≠0）的图象经过点C.（1）求反比例函数的解析式；（2）点P是反比例函数在第二象限的图象上的一点，若△PBC的面积等于正方形ABCD的面积，求点P的坐标.17.振华书店准备购进甲、乙两种图书进行销售，若购进40本甲种图书和30本乙种图书共需1700元：若购进60本甲种图书和20本乙种图书共需1800元，（1）求甲、乙两种图书每本进价各多少元；（2）该书店购进甲、乙两种图书共120本进行销售，且每本甲种图书的售价为25元，每本乙种图书的售价为40元，如果使本次购进图书全部售出后所得利润不低于950元，那么该书店至少需要购进乙种图书多少本？18.已知：△ABC是等边三角形，点D是△ABC（包含边界）平面内一点，连接CD，将线段CD绕C逆时针旋转60°得到线段CE，连接BE，DE，AD，并延长AD交BE于点P.（1）观察填空：当点D在图1所示的位置时，填空：①与△ACD全等的三角形是________.②∠APB的度数为________.（2）猜想证明：在图1中，猜想线段PD，PE，PC之间有什么数量关系？并证明你的猜想.（3）拓展应用：如图2，当△ABC边长为4，AD=2时，请直接写出线段CE的最大值.19.如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c与x轴交于点M，与y轴交于点N，抛物线的对称轴与x轴交于点P，OM＝1，ON＝5.（1）求抛物线的表达式；（2）点A是y轴正半轴上一动点，点B是抛物线对称轴上的任意一点，连接AB、AM、BM，且AB⊥AM.①AO为何值时，△ABM∽△OMN，请说明理由；②若Rt△ABM中有一边的长等于MP时，请直接写出点A的坐标.三、填空题（共4题；共6分）20.用2，3，4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为________ .21.关于x的一元二次方程（2﹣a）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则整数a的最小值是________.22.如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心.AD的长为半径画弧，再以BC为直径画平圆.若阴影部分①的面积为S1，阴影部分②的面积为S2，则S2-S1的值为________.23.如图，已知直线l∥AB，l与AB 之间的距离为2 ，C、D 是直线l上l两个动点（点C在D 点的左侧），且AB=CD=5.连接AC、BC、BD，将△ABC 沿BC 折叠得到△A′BC.若以A′、C、B、D 为顶点的四边形为矩形，则此矩形相邻两边之和为________.答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】有理数的倒数【解析】【解答】解：A、2和−1不是倒数关系，故此选项错误；2B、3和1是倒数关系，故此选项正确；3C、|﹣3|＝3，3和﹣1不是倒数关系，故此选项错误；3D、﹣4和4不是倒数关系，故此选项错误；故答案为：B..【分析】根据倒数的定义逐个分析即可.数a（a≠0）的倒数是1a2.【答案】B【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【考点解读】科学记数法—表示绝对值较大的数考点解读【解析】【解答】解：510000000=5.1×108，故选B．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．3.【答案】B【考点】几何体的展开图【解析】【解答】A、是三棱锥的展开图，故选项错误；B、是三棱柱的平面展开图，故选项正确；C、两底有4个三角形，不是三棱锥的展开图，故选项错误；D、是四棱锥的展开图，故选项错误．故选B．【分析】根据三棱柱的展开图的特点进行解答即可．4.【答案】C【考点】同底数幂的乘法，合并同类项法则及应用，积的乘方，幂的乘方【解析】【解答】A选项，m2与2m3不是同类项，不能合并，此选项错误；B选项，m2⋅m3=m5，此选项错误；C选项，(−m)3=−m3，此选项正确；D选项，(mn)3=m3n3，此选项错误；故答案为：C.【分析】利用合并同类项的法则可对A 作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对B 作出判断；利用幂的乘方法则可对C 作出判断；利用积的乘方法则可对D 作出判断。