《两条直线的平行与垂直》教案2苏教版必修2

2.1.3 两条直线的平行与垂直（2）学习目标1. 掌握用斜率判断两条直线垂直的方法.2. 感受用代数方法研究几何图形性质的思想。

学习过程一 学生活动1．过点)3,2(-P 且平行于过两点)5,1()2,1(--N M ，的直线的方程为_______________．2．直线1l ：04)1(2=+++y m x 与直线2l ：023=-+y mx 平行，则m 的值为________________．3．已知点)322,2()322,6()2,4()2,0(++D C B A ，，，，判断四边形ABCD 的形状， 并说明此四边形的对角线之间有什么关系？二 建构知识1.当两条不重合的直线21,l l 的斜率都存在时，若它们相互垂直，则它们的斜率的乘积等于_____________，反之，若它们的斜率的乘积_____________，那么它们互相___________，即1l ⊥⇔2l ______________________．当一条直线的斜率为零且另一条直线的斜率不存在时，则它们______________________．2．直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=垂直的条件是12120A A B B +=，与直线0Ax By C ++=垂直的直线可设为0Bx Ay m -+=三 知识运用例题（1）已知四点)11,6()4,3()6,10()3,5(--D C B A ，，，，求证：CD AB ⊥； （2） 已知直线1l 的斜率为431=k ，直线2l 经过点)1,0()2,3(2+-a B a A ，， 且1l ⊥2l ，求实数a 的值．如图，已知三角形的顶点为),3,2(),2,1(),4,2(--C B A 求BC 边上的高AD所在的直线方程．例1 例2x例3 在路边安装路灯，路宽m 23，且与灯柱成ο120角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直，当灯柱高h 为多少米是，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？（精确到m 01.0）巩固练习1．求满足下列条件的直线l 的方程：（1）过点)1,3(且与直线0323=-+y x 垂直；（2）过点)7,5(且与直线03=-x 垂直；（3）过点)4,2(-且与直线5=y 垂直．2．如果直线0=+y mx 与直线012=++y x 垂直，则=m ___________________．3．直线1l ：062=++y ax 与直线2l ：0)1()1(2=-+-+a y a x 垂直，则a 的值为____________________．4．若直线1l 在y 轴上的截距为2，且与直线2l ：023=-+y x 垂直，则直线1l 的方程是_____________________________．5．以)4,1()1,2()1,1(C B A ，，--为顶点的三角形的形状是______________________．四 回顾小结两直线垂直的等价条件五 学习评价基础训练1. 直线l 在y 轴上的截距为2，且与直线320x y +-=垂直，则l 方程为_________1. 根据条件，判断直线l 1与2l 是否垂直： 1l 的倾斜角为45o ，2l 的方程为1x y += __________________;1l 经过点M （1，0），N （4，5），2l 经过点R （-6，0），S （-1，3）：__________. 235.2 ︒1203.若直线10ax y -+=和直线210x by +-=垂直，则,a b 满足____________________.4.已知两点(1,3),(3,1)A B -，点C 在坐标轴上.若ACB ∠=2π，则这样的点C 有_________个.5. 已知点(0,1),A -点B 在直线10x y -+=上且直线AB 垂直于该直线，则点B 的坐标是_________6.若原点在直线l 上的射影为(2,1)P ，则直线l 的方程为______________.7. 求与直线0734=+-y x 垂直，且与坐标轴围成的三角形面积是6的直线的方程．拓展延伸8.若三角形的一个顶点是A （2，3），两条高所在的直线的方程为230x y -+=和40x y +-=，试求此三角形三边所在直线的方程.9.已知直线l 方程为34120x y +-=，l '与l 垂直，且l '与坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l '的方程.2.1.3 两条直线的平行与垂直（2）1.3x-y+2=0,2.（1）垂直；（2）不垂直3.2a-b=0；4.3 ,5.（-1,0），6.2x+y-5=07.3x+4y+12=0或3x+4y-12=0 ,8.2x+y-7=0,x-y+1=0,x+2y-5=0；9. 4x-3y 0±=.。

两条直线的平行和垂直教材分析：本节内容选自苏教版高中教材必修二第二章第一节，是用坐标系研究平面内根本图形点、线之后，进一步通过坐标系，利用代数方程精确研究线与线的位置关系。

在教学中要突出坐标法思想，即建立坐标系，把几何对象转化为代数对象，把几何问题转化为代数问题，利用代数的工具、方法研究并获得结论；然后再解释几何现象。

学情分析：本节内容蕴含了数形结合、分类讨论、坐标法等重要的数学思想方法，对思维的严谨性有较高要求。

学生易于掌握线线平行垂直的斜率关系，但是对于直线平行问题中的重合和斜率不存在问题容易考虑全面。

教学目标：1掌握用斜率判定两条直线平行和垂直的方法，能够判断简单的线线位置关系；2让学生进一步感受坐标法思想在研究几何问题的重要作用；3通过分类讨论和数形结合的思想方法的运用，培养学生思维的严谨性教学重点：掌握两条直线平行和垂直时斜率的关系。

教学难点：直线平行时需要考虑直线重合和斜率不存在情况；直线垂直需要考虑斜率不存在。

教学过程设计：【引入】问题1：前面我们已经利用坐标系研究了平面几何中的根本图形点、线，把几何对象点、线转为代数对象有序实数对，方程表示。

研究完根本图形后，那接下来我们可以研究那些内容？〔在立体几何中我们研究了点线面的位置关系，那在平面里我们可以研究什么？学生说：点线的位置关系，提醒比方点与点的位置关系〕生：可以研究点与线的位置关系，线与线的位置关系。

设计意图：平面几何是学生初中研究的内容，学习完根本图形点、线后，就研究点线的位置、线线的位置关系。

学生能够类比指出可以在坐标系中研究的内容。

让学生提出本节课的课题，能够引起学生学习的兴趣。

师：这些都是我们接下来要研究的内容，本节课我们首先研究线与线的位置关系。

线与线的位置关系有哪些？生：线线平行，线线相交，线线重合。

师：本节课我们主要研究线线平行，垂直。

〔书写课题：两条直线的平行与垂直〕【建构概念】师：观察图像，直线和直线的位置关系是什么？生：平行。

2．1.3 两条直线的平行与垂直如右图，在平面四边形ABCD中，由∠A＋∠B＝90°＋90°＝180°可知AD∥BC.或因为∠B＝90°，可知AB⊥BC；可由∠A＝90°，得到AD⊥AB，依据“在平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行”得到AD∥BC.在平面几何中，我们可依据几何图形的性质来证明直线相交、平行、重合或垂直．那么，在解析几何中，又如何证明或判断直线的这些关系呢？1．通过初中的学习我们知道“两直线平行，则两直线的倾斜角相等”，同样，两条直线平行，如果它们的斜率都存在，则它们的斜率相等．反之也成立，即：已知直线l1：y＝k1x＋b1；l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2.这个结论成立的前提是两条直线不重合并且斜率都存在．特别地，若两不重合直线的斜率不存在，由于它们的倾斜角都是90°，所以它们互相平行．2．当直线l1，l2都垂直于x轴且不重合时，由于垂直于同一条直线的两条直线平行，可推得：l1∥l2，因此，两条不重合直线平行的判定的一般结论是：l1和l2的斜率都不存在或k1＝k2且b1≠b2.3．两直线的斜率都存在时，若两直线垂直，则它们的斜率k1，k2的乘积k1k2＝－1，反之也成立，即：l1⊥l2⇔k1k2＝－1.4．两条直线l1，l2，若一条直线的斜率不存在，同时另一条斜率为0，则两条直线垂直．这样，两条直线垂直的判定的一般结论就是：一条直线的斜率不存在，同时另一条斜率为0或k1k2＝－1．,一、两条直线平行与垂直的判定设两条不重合的直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，①两条直线平行的条件为：l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2；②两条直线垂直的条件为：l1⊥l2⇔k1k2＝－1；③两条直线l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2.以上给出了已知直线的斜截式方程条件下判定两条直线位置关系的又一常用方法．判断方法仅适用于两条直线都有斜率的直线．同学们要特别谨记：同时平行于同一坐标轴的两条直线互相平行，分别平行于两坐标轴的两条直线互相垂直．若两条直线的方程是一般式l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则常有以下判定方法：①l 1与l 2平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且(B 1C 2－B 2C 1)2＋(A 2C 1－A 1C 2)2≠0或A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)；②l 1与l 2垂直⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0；③l 1与l 2重合⇔A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2(λ≠0)或A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)．基础巩固知识点一 两条直线平行1．已知过点A (－2，m )和B (m ，4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为________．解析：kAB ＝4－m m ＋2，∵过AB 的直线与2x ＋y －1＝0平行，∴4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8. 答案：－82．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋5＝0平行，则k ＝________．解析：∵l 1∥l 2，∴－2(k －3)－2(4－k )(k －3)＝0，解得k ＝3或5，经检验k ＝3或5时，l 1∥l 2.答案：3或53．已知点A (3，1)、B (0，－1)、C (1，3)，则点D 满足什么条件时，可以使得AB ∥CD . 解析：设D (a ，b )，则kAB ＝1－（－1）3－0＝23，kCD ＝b －3a －1.∵AB ∥CD ，∴b －3a －1＝23.∴2a －3b ＋7＝0. ∴当点D 在直线2x －3y ＋7＝0上时，AB ∥CD .知识点二 两条直线垂直4．过点A (－1，0)和B (1，－1)的直线与过M (0，k )和N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，0(k ≠0)两点的直线的位置关系是________．解析：kAB ＝－1－01＋1＝－12，kMN ＝0－k －k 2－0＝2， ∴kAB ·kMN ＝－12×2＝－1，即AB ⊥MN . 答案：垂直5．已知点A (2，2)、B (1，－2)，若点P 在坐标轴上，且∠APB 为直角，则这样的点P 有________个．解析：若点P 在y 轴上，则点P 只有一个；若点P 在x 轴上，则点P 有两个．故满足条件的点p 共有3个．答案：36．已知直线l 1经过点A (－2，0)和点B (1，3a )，直线l 2经过点M (0，－1)和点N (a ，－2a )，若l 1⊥l 2，试确定实数a 的值．解析：(1)当直线l 1、l 2的斜率都存在，即a ≠0时，直线l 1、l 2的斜率分别是k 1＝a ，k 2＝1－2a a. ∵l 1⊥l 2，∴a ·1－2a a＝－1. ∴a ＝1.(2)当a ＝0时，k 1＝0，k 2不存在，此时l 1⊥l 2.综合(1)(2)知，若l 1⊥l 2，则实数a 的值为1或0.知识点三 两条直线平行或垂直的判定与应用7．已知点A (－4，2)、B (6，－4)、C (12，6)、D (2，12)，下面四个结论中正确的是________(填序号)．①AB ∥CD; ②AB ⊥AD; ③AB ⊥BD; ④AC ⊥BD .解析：由题意得kAB ＝－35，kAD ＝53，kCD ＝－35，kAC ＝14，kBD ＝－4，∴kAB ＝kCD ，kAB ·kAD ＝－1，kAC ·kBD ＝－1.∴AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AC ⊥BD ，①②④正确．又kAB ·kBD ≠－1，∴③错误．答案：①②④8．若已知直线l 1上的点满足ax ＋2y ＋6＝0，直线l 2上的点满足x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0(a ≠0)，当a 为何值时：(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解析：k 1＝－a 2，k 2＝－1a －1. (1)l 1∥l 2时，k 1＝k 2，即－a 2＝－1a －1， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，l 1的方程为2x ＋2y ＋6＝0，即x ＋y ＋3＝0，l 2的方程为x ＋y ＋3＝0，则l 1与l 2重合．∴a ＝－1.(2)l 1⊥l 2时，由k 1k 2＝－1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a －1＝－1，解得a ＝23. 综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2；a ＝23时，l 1⊥l 2.能力升级综合点一 平行与垂直的简单应用9．在直角坐标平面内有两个点A (4，2)、B (1，－2)，在x 轴上有点C ，使∠ACB ＝90°，则点C 的坐标是________．解析：设C (x 0，0)，由AC ⊥BC ，得0－2x 0－4·0＋2x 0－1＝－1，∴x 0＝0或x 0＝5. 答案：(0，0)或(5，0)10．若点A (1，2)在直线l 上的射影为B (－1，4)，则直线l 的方程是________． 解析：∵AB ⊥l ，kAB ＝4－2－1－1＝－1，∴kl ＝1.又l 过点B ，∴l ：y －4＝x ＋1，即直线l 的方程为x －y ＋5＝0.综合点二 平行与垂直的综合应用11．已知两点A (2，0)、B (3，4)，直线l 过点B ，且交y 轴于点C (0，y )，O 是坐标原点，且O ，A ，B ，C 四点共圆，那么y 的值是________．解析：由题意知，AB ⊥BC ，∴kAB ·kBC ＝－1，即4－03－2·4－y 3－0＝－1，解得y ＝194. 答案：19412．过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，73与B (7，0)的直线l 1与过点(2，1)，(3，k ＋1)的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个过原点的圆，则实数k 为________．解析：若l 1和l 2与坐标轴围成的四边形内接于一个过原点的圆，则l 1⊥l 2，而kl 1＝73－7＝－13，kl 2＝k ＋1－13－2＝k .而kl 1·kl 2＝－1，得k ＝3. 答案：3综合点三 平行直线系或垂直直线系问题13．已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 1，l 2和两坐标轴围成的梯形的面积是4，求l 2的方程．解析：∵l 1∥l 2，∴设l 2的方程为x ＋y －m ＝0.设l 1与x 轴，y 轴分别交于点A 、D ，l 2与x 轴，y 轴分别交于点B 、C ，易得：A (1，0)、D (0，1)、B (m ，0)，C (0，m )．又l 2在l 1的上方，∴m ＞0.S 梯形＝S Rt △OBC －S Rt △OAD ，∴4＝12m ·m －12×1×1. ∴m 2＝9，m ＝3.故l 2的方程是x ＋y －3＝0.。

2.1.3 两条直线的平行与垂直（2）教学目标:1. 掌握利用斜率判定两条直线垂直的方法，感受用代数方法研究几何问题的思想；2. 通过分类讨论、数形结合等数学思想的渗透，培养学生严谨、辩证的思维习惯.教材分析及教材内容的定位：本节课和上节课研究的内容有类似之处，都是通过方程研究几何性质的.教学重点：用斜率判断两直线垂直的方法.教学难点：理解直线垂直的解析刻画.教学方法：探究合作.教学过程：一、问题情境1•复习回顾：（1）利用直线的斜率关系判断两条直线平行；（2）利用直线的一般式方程判断两条直线的平行.2 •本节课研究的问题是：一一两条直线垂直，两条直线垂直，那么他们的斜率之间有什么关系，体现在方程有何特征？二、学生活动探究：两条直线垂直，即倾斜角的差为直角，那么他们的斜率如何？不妨设直线丨1,丨2（斜率存在）所对应的倾斜角分别为a 1, a 2,对应的斜率分别为k1, k2.因为两条直线相互垂直，不妨设 a 1 — a 2= 90 .根据倾斜角与斜率的关系，我们知道当倾斜角不是直角时，斜率存在，从而有k1=tan a 1, k2= tan a 2，于是根据诱导公式有1k1 tan 1 tan （90° 2）tan 2即k i k2=—1 .此时，若两直线平行，则两直线的斜率乘积为一1.反之，如果两直线的斜率(斜率存在)互为负倒数，即k i k2=—1,根据倾斜角和斜率的关系以及正切函数的单调性可知倾斜角的差等于直角，从而说明它们互相垂直.三、建构数学两直线垂直.一般地，设直线l i,丨 2 (斜率存在)所对应的斜率分别为k i, k2，则11 I2 k i k2 1说明：(1)如果直线丨1,丨2的斜率有一个不存在，那么其中有一条直线(不妨设为I 1 )与X轴垂直，此时两条直线垂直的等价条件为I 2的斜率为0；(2)在利用以上结论判定两直线的位置关系时，一定要注意前提条件，即斜率存在，因此在讨论问题过程中一定要注意对斜率是否存在作分类讨论.(3)设直线I 1: Ax + By+ Ci= 0, 12：Ax+ By + C2= 0，那么两条直线垂直的等价条件为：A1A2 B1 B20 .四、数学运用例1 (1 )已知四点A(5, 3), B (10, 6) , C(3, —4) , D(—6 , 11),求证：AB丄CD3 2(2)已知直线I 1的斜率k1= ,直线12经过点A (3a, —2) , B( 0 , a +1),且I』412 ,求实数a的值.例2 已知三角形的顶点为A (2 , 4), B (1, —2), C (—2 , 3),求BC边上的高AD 所在的直线.例3在路边安装路灯，路宽23m,灯杆长2. 5m且与灯柱成1200角.路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直. 当灯柱高h为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？(精确到0. 01m)练习：1. 求过点A(0 , —3),且与直线2x+ y—5= 0垂直的直线的方程.2. 已知直线I与直线I : 3x+4y —12= 0互相垂直，且与坐标轴围成的三角形面积为6,求直线I的方程.3. 若直线(a+ 2)x + (1 —a)y —3 = 0 与(a—1)x + (2a+ 3)y+ 2= 0 互相垂直，则实数a4. 已知直线l i：mx^y —(n+1) = 0 与12：x+my-2m= 0 垂直，求m的值.5. 已知三条直线的方程分别为：2x—y+ 4= 0, x—y+ 5 = 0与2mx- 3y+ 12= 0.若三条直线能围成一个直角三角形，求实数m的值.五、要点归纳与方法小结两条直线垂直的等价条件是什么？课后思考题：已知三条直线的方程分别为：2x—y+ 4 = 0, x—y + 5 = 0与2mx- 3y + 12= 0.若三条直线能围成一个三角形，求实数m的取值范围.。