第2章 信号分类及频谱分析一、知识要点及要求1） 了解信号的分类，掌握信号的时频域描述；2） 掌握周期信号及其频谱特点，了解傅立叶级数的概念和性质； 3） 掌握非周期信号及其频谱特点，了解傅立叶变换的概念和性质； 4） 了解信号处理的目的和分类，及数字信号处理的基本步骤； 5） 掌握模拟信号数字化出现的问题、原因和措施；二、重点内容及难点1.教学重点： 信号的分类；信号的时域、频域描述；采样定理；2.教学难点： 信号的时域/频域转换；数字信号处理的步骤；采样定理；混叠；泄露；窗函数；三、教学内容（一） 信号的分类1. 按信号随时间的变化规律分类 确定性信号与非确定性信号2．按信号幅值随时间变化的连续性分类根据信号幅值随时间变化的连续性，可把信号分为连续信号和离散信号。
3．按信号的能量特征分类根据信号用能量或功率表示，可把信号分为能量信号和功率信号。
当信号()x t 在(-∞，∞)内满足2()d x t t ∞-∞<∞⎰(2-6)时，则该信号的能量是有限的，称为能量有限信号，简称能量信号。
例如，图 2.6 所示的信号都是能量信号。
若信号()x t 在(-∞，∞)内满足2()d x t t ∞-∞→∞⎰(2-7)而在有限区间12(,)t t 内的平均功率是有限的，即212211()d t tx t t t t <∞-⎰(2-8)则信号为功率信号。
例如，图2.2中的正弦信号就是功率信号。
综上所述，从不同角度对信号进行分类，常用分类法归纳如下： (1) 按信号随时间的变化规律分类。
⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎩⎪⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩谐波信号周期信号一般周期信号确定性信号准周期信号非周期信号一般非周期信号信号各态历经信号平稳随机信号非确定性信号非各态历经信号非平稳随机信号(2) 按信号幅值随时间变化的连续性分类。
()()()()⎧⎧⎨⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩模拟信号信号的幅值与独立变量均连续连续信号一般连续信号独立变量连续信号一般离散信号独立变量离散离散信号数字信号信号的幅值和独立变量均离散 (3) 按信号的能量特征分类。
()()⎧⎨⎩能量有限信号信号功率有限信号（二） 信号的时域—频域描述信号的时域描述和频域描述之间是可以相互转换的，但它们包含相同的信息量（信号是信息的载体，信息包含在信号之中）。
直接观测或记录的信号一般为随时间变化的物理量。
这种以时间为独立变量，用信号的幅值随时间变化的函数或图形来描述信号的方法称为时域描述。
时域描述简单直观，只能反映信号的幅值随时间变化的特性，而不能明确揭示信号的频率成分。
因此，为了研究信号的频率构成和各频率成分的幅值大小、相位关系，则需要把时域信号转换成频域信号，即把时域信号通过数学处理变成以频率f (或角频率ω)为独立变量，相应的幅值或相位为因变量的函数表达式或图形来描述，这种描述信号的方法称为信号的频域描述。
信号“域”的不同，是指信号的独立变量不同，或描述信号的横坐标物理量不同。
信号在不同域中的描述，使所需信号的特征更为突出，以便满足解决不同问题的需要。
信号的时域描述以时间为独立变量，其强调信号的幅值随时间变化的特征；信号的频域描述以角频率或频率为独立变量，其强调信号的幅值和初相位随频率变化的特征。
因此，信号的时域描述直观反映信号随时间变化的情况，频域描述则反映信号的频率组成成分。
信号的时域描述和频域描述是信号表示的不同形式，同一信号无论采用哪种描述方法，其含有的信息内容是相同的，即信号的时域描述转换为频域描述时不增加新的信息。
（三） 周期信号与离散频谱1 周期信号的傅里叶级数的三角函数展开在有限区间上，任何周期信号()x t 只要满足狄利克雷(dirichlet)①条件，都可以展开成傅里叶级数。
傅里叶级数的三角函数表达式为 ()0001()cos sin ωω∞==++∑n n n x t a a n t b n t (2-9)式中，0a 为信号的常值分量； n a 为信号的余弦分量幅值； n b 为信号的正弦分量幅值。
0a 、n a 和n b 分别表示为000000/20/20/20/20/20/21()d 2()cos d 2()sin d T T T n T T n T a x t t T a x t n t t T b x t n t tT ωω---===⎰⎰⎰(2-10)式中，0T 为信号的周期；0ω为信号的基频，即角频率，002π/T ω=，1,2,3,n =L 合并式(2-9)中的同频项，则式(2-9)表示为001()sin()ωθ∞==++∑n n n x t a A n t (2-11)式中，信号的幅值n A 和初相位角θn 分别为=n A 意义：周期信号是由一个或几个乃至无穷多个不同频率的谐波叠加而成。
或者说，一般周期信号可以分解为一个常值分量0a 和多个成谐波关系的正弦分量之和。
因此，一般周期信号的傅里叶级数三角函数展开是以正(余)弦作为基本函数簇进行相加获得的。
周期信号频谱的三个特点：1） 离散性；即周期信号的频谱是离散的。
2） 谐波性；即每条谱线只出现在基频的整数倍上。
3） 收敛性；即工程中常见周期信号，其谐波幅值总的趋势是随谐波次数的增高而减小。
各频率分量的的谱线高度表示该谐波的幅值或相位角。
2 周期函数的奇偶特性利用函数的奇偶性，可使周期函数(信号)的傅里叶三角函数展开式有较大的简化。
(1) 如果周期函数()x t 是奇函数，即()()=--x t x t ，这样傅里叶系数的常值分量00=a ，余弦分量幅值0=n a ，傅里叶级数01()sin ω∞==∑n n x t b n t。
(2) 如果周期函数()x t 是偶函数，即()()=-x t x t ，这样傅里叶系数的正弦分量幅值0=n b ，则傅里叶级数001()cos ω∞==+∑n n x t a a n t。
3 傅里叶级数的复指数函数展开为了便于数学运算，往往将傅里叶级数写成复指数函数形式。
根据欧拉公式j e cos jsin (j t t t ωωω±=±(2-17)则j j 1cos (e e )2t t t ωωω-=+ (2-18a) j j 1sin j(e e )2t t t ωωω-=-(2-18b)则00j j 011()ee n tn tn n n n x t C C C ωω∞∞--===++∑∑或 0j ()e0,1,2,n tnn x t C n ω∞=-∞==±±∑L(2-20) 00j j 011j()j()01()ee ||e ||e nnn tn tn n n n n t n t n n n x t C C C C C C ωωωϕωϕ∞∞--==∞--+==++⎡⎤=++⎣⎦∑∑∑ (2-25)因此，可把n C (0,1,2,=±±L n )看做复平面内的模||n C 为/2n A 、角频率为0ω的一对共轭反向旋转矢量(即相量)。
初相角为ϕn ，表示矢量n C 对于实轴在0=t 时刻的位置。
矢量旋转的方向可正、可负，因此出现了正、负频率。
当0ωn 为正时，ϕn 为负值；当0ωn 为负时，ϕn 为正值，如图2.12所示。
图2.12 负频率的说明由此可见，周期信号用复指数形式展开，相当于在复平面内用一系列旋转矢量j ()||e nn t n C ωϕ±来描述，且具有负频率的矢量总是与具有正频率的矢量成对出现。
在双边幅频图中，每对正、负频率上谱线的高度||n C 相等，因此幅频图呈偶对称分布，而双边相频图总是呈奇对称分布的。
表2-1 傅里叶级数的复指数与三角函数展开的关系5 周期信号的强度表述周期信号的强度通常是以峰值F x 、绝对值||μx 、有效值rms x 和平均功率av P 来表述。
1. 峰值F x 与峰-峰值F F x - F max |()|=x x t2. 均值μx 与绝对均值||μx周期信号中的均值μx 是指信号在一个周期内幅值对时间的平均，也就是用傅里叶级数展开后的常值分量0a ，即01()d Tx x t t T μ=⎰(2-30)周期信号全波整流后的均值称为信号的绝对均值||μx ，即 ||01|()|d Tx x t t T μ=⎰3. 有效值rms x信号中的有效值就是均方根值rms x ，即rms x =(2-32)它记录了信号经历的时间进程，反映了信号的功率大小。
4. 平均功率av P有效值的平方，也就是说均方值就是信号的平均功率av P ，即2av 01()d TP x t tT =⎰(2-33)（四） 非周期信号与连续频谱 非周期信号：1） 准周期信号：频谱是离散的，但各频率分量与基频的比值不一定都是有理数。
如)2sin()sin()(00t t t x ωω+=。
2） 瞬变非周期信号：可简称为非周期信号。
瞬态信号是非周期信号，也可以说它的周期→∞T 。
因此，可以把瞬态信号看做是周期趋于无穷大的周期信号。
从周期信号的角度来理解非周期信号并推导其频谱。
周期为0T 的信号()x t 的频谱是离散谱，相邻谐波之间的频率间隔为002π/T ωω∆==。
对于瞬态信号，0→∞T 时，00ωω=∆→，这意味着在周期无限扩大时，周期信号频谱谱线间隔在无限缩小，相邻谐波分量无限接近，离散参数0ωn 就变换成连续变量ω，离散频谱变成了连续频谱，式(2-11)和式(2-20)中的求和运算可用积分运算来取代，所以瞬态信号的频谱是连续的。
这时，瞬态信号的频域描述已不能用傅里叶级数展开，而要用傅里叶变换来描述j 0()lim (j )e 2πn tT n x t X ωωω∞→∞=-∞=⋅⋅∑(2-40)当0→∞T 时，离散频率0ω→n 连续变量ω。
求和→∑积分。
则j 1()(j )e d 2tx t X ωωω∞-∞=⋅π⎰(2-41)()x t 为(j )X ω的傅里叶逆变换(反变换)。
式(2-37)和式(2-41)构成了傅里叶变换对：FTIFT()(j )x t X ω⇔由于02f ω=π，所以式(2-37)和式(2-41)可变为j2(j )()e d ft X f x t t∞-π-∞=⎰ (2-42)j2()(j )e d ft x t X f f∞π-∞=⋅⎰(2-43)频谱密度函数；即)(f X 与n C 很相似，但n C 的量纲与信号幅值的量纲一样，而)(f X 的量纲是单位频宽上的幅值。
傅里叶变换的主要性质表2-3 傅里叶变换的主要性质奇偶虚实性一般(j )X f 是实变量ƒ的复变函数。
它可以表达为j2(j )()d Re (j )jIm (j )ft X f x t e t X f X f ∞-π-∞==-⎰ (2-48)式中Re (j )()cos 2d X f x t ft t∞-∞=π⎰ (2-49)Im (j )()sin 2d X f x t ft t∞-∞=π⎰ (2-50)余弦函数是偶函数，正弦函数是奇函数。
