专题质量检测(五)
- 格式：doc
- 大小：133.00 KB
- 文档页数：10
答案：(x－4)2＋y2＝16
14．若直线l：4x＋3y－8＝0过圆C：x2＋y2－ax＝0的圆心且交圆C于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为__________．
解析：由题易知，圆C：x2＋y2－ax＝0的圆心为.又直线l：4x＋3y－8＝0过圆C的圆心，∴4×＋3×0－8＝0，∴a＝4，∴圆C的方程为x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4.∴|AB|＝2r＝4.又点O(0,0)到直线l：4x＋3y－8＝0的距离d＝＝，∴S△OAB＝|AB|·d＝×4×＝.
答案：C
5．以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为()
A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0
C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝0
解析：抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，选项A中圆的圆心坐标为(－1,0)，排除A；选项B中圆的圆心坐标为(－0.5,0)，排除B；选项C中圆的圆心坐标为(0.5,0)，排除C.
答案：D
6．直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A、B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于()
A.B．2
C.D．4
解析：直线4kx－4y－k＝0，即y＝k，即直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋＝4，故x1＋x2＝，则弦AB的中点的横坐标是，弦AB的中点到直线x＋＝0的距离是＋＝.
由于直线x＋3y＝n与椭圆E有公共点，所以Δ＝(6n)2－4×18×(n2－18)≥0，
解得－6≤n≤6，故·＝x＋3y－6的取值范围为[－12,0]．
19．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，左、右焦点分别为F1、F2，抛物线y2＝4x的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点．
答案：D
9．已知双曲线－＝1(a＞1，b＞0)的焦距为2c，离心率为e，若点(－1,0)与点(1,0)到直线－＝1的距离之和为S，且S≥c，则离心率e的取值范围是()
A.B．[，]
C.D.
解析：由题意得S＝＋＝≥c，所以2c2≤5ab，即4c4≤25a2(c2－a2)，整理得4c4－25a2c2＋25a4≤0，所以4e4－25e2＋25≤0，解得≤e2≤5，即≤e≤.
答案：D
4．已知双曲线－＝1的两个焦点分别为F1、F2，则满足△PF1F2的周长为6＋2的动点P的轨迹方程为()
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1(x≠0) D.＋＝1(x≠0)
解析：依题意得，|F1F2|＝2＝2，|PF1|＋|PF2|＝6＞|F1F2|，因此满足△PF1F2的周长为6＋2的动点P的轨迹是以点F1、F2为焦点，长轴长是6的椭圆(除去长轴的端点)，即动点P的轨迹方程是＋＝1(x≠0)，选C.
答案：B
12．设平面区域D是由双曲线y2－＝1的两条渐近线和抛物线y2＝－8x的准线所围成的三角形(含边界与内部)．若点(x，y)∈D，则x＋y的最小值为()
A．－1 B．0
C．1 D．3
解析：由题意知，双曲线的渐近线方程为y＝±x，抛物线的准线方程为x＝2，设z＝x＋y，得y＝－x＋z，平移y＝－x，可知当直线过点O(0,0)时，直线y＝－x＋z的纵截距最小，故zmin＝0.
答案：B
二、填空题
13．已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2＝2x上，其中O为坐标原点，则△OAB的外接圆的方程是________．
解析：由题意知A，B两点关于x轴对称，所以外接圆的圆心C在x轴上．设圆C的半径为r(r＞0)，则圆心坐标为(r,0)，A点坐标为，于是有2＝2×r，解得r＝4，所以圆C的方程为(x－4)2＋y2＝16.
解析：依题意得，圆心(0,0)到直线l的距离等于＝1，即直线l必是圆x2＋y2＝1的切线．对于A，圆x2＋y2＝1的切线x＝－1与曲线y2＝x没有公共点；对于B，圆x2＋y2＝1的切线x＝－1与曲线－y2＝1没有公共点；对于C，圆x2＋y2＝1的切线x＝－1与曲线(x－2)2＋y2＝4没有公共点；对于D，由于圆x2＋y2＝1上的所有点均不在椭圆＋y2＝1外，因此圆x2＋y2＝1的切线与曲线＋y2＝1一定有公共点．综上所述，选D.
答案：
三、解答题
17．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上且过点P，离心率是.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l过点E(－1,0)且与椭圆C交于A，B两点，若|EA|＝2|EB|，求直线l的方程．
解析：(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由已知可得
解得a2＝4，b2＝1.
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
答案：C
8．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是()
A.B.
C．2 D.－1
解析：由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为＝，所以d＋|PF|－1的最小值为－1.
A．10B．20
C．30D．40
解析：已知圆的圆心为(3,4)，半径为5，则最短的弦长为2＝4，最长的弦为圆的直径为10，则四边形的面积为×4×10＝20，故应选B.
答案：B
3．若直线l被圆x2＋y2＝4所截得的弦长为2，则直线l与下列曲线一定有公共点的是()
A．y2＝xB.－y2＝1
C．(x－2)2＋y2＝4 D.＋y2＝1
11．若P是双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)和圆C2：x2＋y2＝a2＋b2的一个交点且∠PF2F1＝2∠PF1F2，其中F1、F2是双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离心率为()
A.－1 B.＋1
C．2 D．3
解析：依题意得，∠F1PF2＝90°，又∠PF2F1＝2∠PF1F2，因此∠PF1F2＝30°，|PF2|＝|F1F2|＝c，|PF1|＝|F1F2|＝c，双曲线C1的离心率等于＝＝＋1，选B.
∴线段AB的中点到y轴的距离为.
答案：
16．设点A1、A2分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，若在椭圆上存在异于点A1、A2的点P，使得PO⊥PA2，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是__________．
解析：由题设知∠OPA2＝90°，设P(x，y)(x＞0)，以OA2为直径的圆的方程为2＋y2＝，与椭圆方程联立，得x2－ax＋b2＝0.易知，此方程有一实根a，且由题设知，此方程在区间(0，a)上还有一实根，由此得0＜＜a，化简得0＜＜1，即0＜＜1，得e2＞，所以e的取值范围为.
(2)由已知，若直线l的斜率不存在，则过点E(－1,0)的直线l的方程为x＝－1，此时令A，B，显然|EA|＝2|EB|不成立．
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝k(x＋1)．
联立
整理得(4k2＋1)x2＋8k2x＋4k2－4＝0.
由Δ＝(8k2)2－4(4k2＋1)(4k2－4)＝48k2＋16＞0.
答案：
15．F是抛物线y2＝2x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝6，则线段AB的中点到y轴的距离为__________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知：|AF|＋|BF|＝＋x1＋＋x2＝x1＋x2＋p＝6，
∵p＝1，∴x1＋x2＝5，
∵线段AB的中点的横坐标为＝，
专题质量检测(五)解析几何
一、选择题
1．“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：方程mx2＋ny2＝1可以变形为＋＝1，则m＞n＞0⇔0＜＜，故选C.
答案：C
2．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC、BD，则以点A，B，C，D为顶点的四边形ABCD的面积为()
答案：C
7．已知A(－2,0)，B(0,2)，实数k是常数，M，N是圆x2＋y2＋kx＝0上两个不同点，P是圆x2＋y2＋kx＝0上的动点，如果M，N关于直线x－y－1＝0对称，则△PAB面积的最大值是()
ห้องสมุดไป่ตู้A．3－B．4
C．3＋D．6
解析：依题意得圆x2＋y2＋kx＝0的圆心位于直线x－y－1＝0上，于是有－－1＝0，即k＝－2，因此圆的圆心坐标是(1,0)、半径是1.由题意可得|AB|＝2，直线AB的方程是＋＝1，即x－y＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB的距离等于＝，点P到直线AB的距离的最大值是＋1，△PAB面积的最大值为×2×＝3＋，选C.
答案：A
10．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)和双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F1、F2，则椭圆和双曲线离心率的平方和为()
A.B.
C．2 D．3
解析：依题意得2a2－b2＝a2＋b2，即a2＝2b2，因此该椭圆和双曲线的离心率分别是和，该椭圆与双曲线的离心率的平方和为＋＝＋＝，选A.
答案：A
因为椭圆E过A点，所以|AF1|＋|AF2|＝2a，所以2a＝5＋＝6，所以a＝3，a2＝18，b2＝2，故椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由(1)知C(4,4)，又A(3,1)，所以＝(1,3)，设Q(x，y)，则＝(x－3，y－1)，则·＝x＋3y－6.令x＋3y＝n，则由消去x得18y2－6ny＋n2－18＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
即x1＋x2＝－，x1x2＝.①
由|EA|＝2|EB|，得x1＋2x2＝－3.②
①②联立解得k＝±.
所以直线l的方程为x＋6y＋＝0或x－6y＋＝0.
18．已知圆C：(x－4)2＋(y－m)2＝16(m∈N*)，直线4x－3y－16＝0过椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，且被圆C所截得的弦长为，点A(3,1)在椭圆E上．
14．若直线l：4x＋3y－8＝0过圆C：x2＋y2－ax＝0的圆心且交圆C于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为__________．
解析：由题易知，圆C：x2＋y2－ax＝0的圆心为.又直线l：4x＋3y－8＝0过圆C的圆心，∴4×＋3×0－8＝0，∴a＝4，∴圆C的方程为x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4.∴|AB|＝2r＝4.又点O(0,0)到直线l：4x＋3y－8＝0的距离d＝＝，∴S△OAB＝|AB|·d＝×4×＝.
答案：C
5．以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为()
A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0
C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝0
解析：抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，选项A中圆的圆心坐标为(－1,0)，排除A；选项B中圆的圆心坐标为(－0.5,0)，排除B；选项C中圆的圆心坐标为(0.5,0)，排除C.
答案：D
6．直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A、B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于()
A.B．2
C.D．4
解析：直线4kx－4y－k＝0，即y＝k，即直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋＝4，故x1＋x2＝，则弦AB的中点的横坐标是，弦AB的中点到直线x＋＝0的距离是＋＝.
由于直线x＋3y＝n与椭圆E有公共点，所以Δ＝(6n)2－4×18×(n2－18)≥0，
解得－6≤n≤6，故·＝x＋3y－6的取值范围为[－12,0]．
19．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，左、右焦点分别为F1、F2，抛物线y2＝4x的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点．
答案：D
9．已知双曲线－＝1(a＞1，b＞0)的焦距为2c，离心率为e，若点(－1,0)与点(1,0)到直线－＝1的距离之和为S，且S≥c，则离心率e的取值范围是()
A.B．[，]
C.D.
解析：由题意得S＝＋＝≥c，所以2c2≤5ab，即4c4≤25a2(c2－a2)，整理得4c4－25a2c2＋25a4≤0，所以4e4－25e2＋25≤0，解得≤e2≤5，即≤e≤.
答案：D
4．已知双曲线－＝1的两个焦点分别为F1、F2，则满足△PF1F2的周长为6＋2的动点P的轨迹方程为()
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1(x≠0) D.＋＝1(x≠0)
解析：依题意得，|F1F2|＝2＝2，|PF1|＋|PF2|＝6＞|F1F2|，因此满足△PF1F2的周长为6＋2的动点P的轨迹是以点F1、F2为焦点，长轴长是6的椭圆(除去长轴的端点)，即动点P的轨迹方程是＋＝1(x≠0)，选C.
答案：B
12．设平面区域D是由双曲线y2－＝1的两条渐近线和抛物线y2＝－8x的准线所围成的三角形(含边界与内部)．若点(x，y)∈D，则x＋y的最小值为()
A．－1 B．0
C．1 D．3
解析：由题意知，双曲线的渐近线方程为y＝±x，抛物线的准线方程为x＝2，设z＝x＋y，得y＝－x＋z，平移y＝－x，可知当直线过点O(0,0)时，直线y＝－x＋z的纵截距最小，故zmin＝0.
答案：B
二、填空题
13．已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2＝2x上，其中O为坐标原点，则△OAB的外接圆的方程是________．
解析：由题意知A，B两点关于x轴对称，所以外接圆的圆心C在x轴上．设圆C的半径为r(r＞0)，则圆心坐标为(r,0)，A点坐标为，于是有2＝2×r，解得r＝4，所以圆C的方程为(x－4)2＋y2＝16.
解析：依题意得，圆心(0,0)到直线l的距离等于＝1，即直线l必是圆x2＋y2＝1的切线．对于A，圆x2＋y2＝1的切线x＝－1与曲线y2＝x没有公共点；对于B，圆x2＋y2＝1的切线x＝－1与曲线－y2＝1没有公共点；对于C，圆x2＋y2＝1的切线x＝－1与曲线(x－2)2＋y2＝4没有公共点；对于D，由于圆x2＋y2＝1上的所有点均不在椭圆＋y2＝1外，因此圆x2＋y2＝1的切线与曲线＋y2＝1一定有公共点．综上所述，选D.
答案：
三、解答题
17．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上且过点P，离心率是.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l过点E(－1,0)且与椭圆C交于A，B两点，若|EA|＝2|EB|，求直线l的方程．
解析：(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由已知可得
解得a2＝4，b2＝1.
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
答案：C
8．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是()
A.B.
C．2 D.－1
解析：由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为＝，所以d＋|PF|－1的最小值为－1.
A．10B．20
C．30D．40
解析：已知圆的圆心为(3,4)，半径为5，则最短的弦长为2＝4，最长的弦为圆的直径为10，则四边形的面积为×4×10＝20，故应选B.
答案：B
3．若直线l被圆x2＋y2＝4所截得的弦长为2，则直线l与下列曲线一定有公共点的是()
A．y2＝xB.－y2＝1
C．(x－2)2＋y2＝4 D.＋y2＝1
11．若P是双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)和圆C2：x2＋y2＝a2＋b2的一个交点且∠PF2F1＝2∠PF1F2，其中F1、F2是双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离心率为()
A.－1 B.＋1
C．2 D．3
解析：依题意得，∠F1PF2＝90°，又∠PF2F1＝2∠PF1F2，因此∠PF1F2＝30°，|PF2|＝|F1F2|＝c，|PF1|＝|F1F2|＝c，双曲线C1的离心率等于＝＝＋1，选B.
∴线段AB的中点到y轴的距离为.
答案：
16．设点A1、A2分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，若在椭圆上存在异于点A1、A2的点P，使得PO⊥PA2，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是__________．
解析：由题设知∠OPA2＝90°，设P(x，y)(x＞0)，以OA2为直径的圆的方程为2＋y2＝，与椭圆方程联立，得x2－ax＋b2＝0.易知，此方程有一实根a，且由题设知，此方程在区间(0，a)上还有一实根，由此得0＜＜a，化简得0＜＜1，即0＜＜1，得e2＞，所以e的取值范围为.
(2)由已知，若直线l的斜率不存在，则过点E(－1,0)的直线l的方程为x＝－1，此时令A，B，显然|EA|＝2|EB|不成立．
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝k(x＋1)．
联立
整理得(4k2＋1)x2＋8k2x＋4k2－4＝0.
由Δ＝(8k2)2－4(4k2＋1)(4k2－4)＝48k2＋16＞0.
答案：
15．F是抛物线y2＝2x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝6，则线段AB的中点到y轴的距离为__________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知：|AF|＋|BF|＝＋x1＋＋x2＝x1＋x2＋p＝6，
∵p＝1，∴x1＋x2＝5，
∵线段AB的中点的横坐标为＝，
专题质量检测(五)解析几何
一、选择题
1．“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：方程mx2＋ny2＝1可以变形为＋＝1，则m＞n＞0⇔0＜＜，故选C.
答案：C
2．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC、BD，则以点A，B，C，D为顶点的四边形ABCD的面积为()
答案：C
7．已知A(－2,0)，B(0,2)，实数k是常数，M，N是圆x2＋y2＋kx＝0上两个不同点，P是圆x2＋y2＋kx＝0上的动点，如果M，N关于直线x－y－1＝0对称，则△PAB面积的最大值是()
ห้องสมุดไป่ตู้A．3－B．4
C．3＋D．6
解析：依题意得圆x2＋y2＋kx＝0的圆心位于直线x－y－1＝0上，于是有－－1＝0，即k＝－2，因此圆的圆心坐标是(1,0)、半径是1.由题意可得|AB|＝2，直线AB的方程是＋＝1，即x－y＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB的距离等于＝，点P到直线AB的距离的最大值是＋1，△PAB面积的最大值为×2×＝3＋，选C.
答案：A
10．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)和双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F1、F2，则椭圆和双曲线离心率的平方和为()
A.B.
C．2 D．3
解析：依题意得2a2－b2＝a2＋b2，即a2＝2b2，因此该椭圆和双曲线的离心率分别是和，该椭圆与双曲线的离心率的平方和为＋＝＋＝，选A.
答案：A
因为椭圆E过A点，所以|AF1|＋|AF2|＝2a，所以2a＝5＋＝6，所以a＝3，a2＝18，b2＝2，故椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由(1)知C(4,4)，又A(3,1)，所以＝(1,3)，设Q(x，y)，则＝(x－3，y－1)，则·＝x＋3y－6.令x＋3y＝n，则由消去x得18y2－6ny＋n2－18＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
即x1＋x2＝－，x1x2＝.①
由|EA|＝2|EB|，得x1＋2x2＝－3.②
①②联立解得k＝±.
所以直线l的方程为x＋6y＋＝0或x－6y＋＝0.
18．已知圆C：(x－4)2＋(y－m)2＝16(m∈N*)，直线4x－3y－16＝0过椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，且被圆C所截得的弦长为，点A(3,1)在椭圆E上．
