2011年中考二轮复习材料：数学思想方法专题(含答案)

中考数学第二轮专题复习（三）---- 数学思想方法（二）（方程思想、函数思想、数形结合思想）一、中考专题诠释：见数学思想方法（一）二、解题策略和解法精讲：见数学思想方法（一）三、中考考点精讲考点四：方程思想从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。

用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。

这种函数思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更快更好地解决问题。

构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质。

例5 （2013•凉山州）某车队要把4000吨货物运到雅安地震灾区（方案定后，每天的运量不变）．（1）从运输开始，每天运输的货物吨数n（单位：吨）与运输时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系式？（2）因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务，求原计划完成任务的天数．对应训练5．（2013•济南）某地计划用120-180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米3．（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万米3）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3？考点六：数形结合思想数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)A．x＞1 B．-1＜x＜0C．-1＜x＜0或x＞1 D．x＜-1或0＜x＜1四、中考真题训练一、选择题1．（2013•六盘水）下面四个几何体中，主视图是圆的几何体是（）A．B．C．D．2．（2013•南通）如图所示的几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2013•娄底）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞2第3题第5题第6题4．（2013•常州）已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法判断5．（2013•黔东南州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＜0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0，b2-4ac＜022A．B．C．D．8．（2013•凉山州）如图，正比例函数y1与反比例函数y2相交于点E（-1，2），若y1＞y2＞0，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）第8题第9题第10题第11题A．B．C．D．9．（2013•遵义）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图如图所示，若M=a+b-c，N=4a-2b+c，P=2a-b．则M，N，P中，值小于0的数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个10．（2013•杭州）在▱ABCD中，下列结论一定正确的是（）。

数学方法篇一：配方法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．【范例讲析】1．配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。

例1、求二次根式322+-a a 中字母a 的取值范围分析：根据二次根式的定义，必须被开方数大于等于零，再观察被开方数可以发现可以利用配方法求得。

解：2)1(2)12(32222+-=++-=+-a a a a a因为无论a 取何值，都有0)1(2≥-a 。

所以a 的取值范围是全体实数。

点评：经过配方，观察被开方数，然后利用被开方数必须大于等于零求得所需要的解。

2．配方法在化简二次根式中的应用在二次根式的化简中，也经常使用配方法。

例2、化简526-分析：题中含有两个根号，化简比较困难，但根据题目的结构特征，可以发现526-可以写成2)15(1525-=+-，从而使题目得到化简。

解：1 5 )1 5 ( 1 52 ) 5 ( 1 5 2 5 5 2 6 2 2 2 - = - = + - = + - = - 点评：题型b a 2+一般可以转化为y x y x +=+2)(（其中⎩⎨⎧==+b xy ay x ）来化简。

3．配方法在证明代数式的值为正数、负数等方面的应用在证明代数式的值为正数或负数，配方法也是一种重要的方法。

例3、不管x 取什么实数，322-+-x x 的值一定是个负数，请说明理由。

分析：本题主要考查利用配方法说明代数式的值恒小于0，说明一个二次三项式恒小于0的方法是通过配方将二次三项式化成“2a -+负数”的形式。

解：2)1(31)12(3)2(322222---=-++--=---=-+-x x x x x x x ∵0)1(2≤--x ， ∴02)1(2<---x 。

因此，无论x 取什么实数，322-+-x x 的值是个负数。

数学思想方法专题一、数形结合思想数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，关键是数与形之间的相互转化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及常见函数图象的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义.例1 如图1，数轴上的A ，B ，C ，D 四点所表示的数分别为a ，b ，c ，d ，且O 为原点．根据图中各点位置，判断与|a －c|的值不同的是（ ）A ． |a|+|b|+|c|B ． |a-b|+|c-b|C ． |a-d|-|d-c|D ． |a|+|d|-|c-d|分析：根据绝对值的性质计算出各绝对值表示的线段长，与|a-c|的长进行比较即可． 解：由题意，知|a-c|=AC.∵|a|+|b|+|c|=AO+BO+CO ≠AC ，故A 选项正确；∵|a －b|+|c －b|=AB+BC=AC ，故B 选项错误；∵|a －d|－|d －c|=AD －CD=AC ，故C 选项错误；∵|a|+|d|－|c －d|=AO+DO －CD=AC ，故D 选项错误.所以选A ．点评：本题考查了实数与数轴，知道绝对值的意义是解题的关键．例2 （2012年河南省）如图2，函数y=2x 和y=ax+4的图象相交于点A （m ，3），则不等式2x<ax+4的解集为（ ）A. x<23 B. x<3 C. x>23 D. x>3 分析：由于两条直线交于点A ，结合函数表达式y=2x 确定点A的横坐标．注意在交点左边和右边y 值的变化情况，根据图象信息直接确定不等式的解集.解：把A （m ，3）代入y=2x ，得m=23.所以A （23，3）. 由图象可知，不等式2x ＜ax+4的解集为x ＜23． 故选A.点评：本题主要考查对一次函数与一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能熟练运用性质进行解题，并通过图象判断不等式的关系是解题的关键.二、分类讨论思想分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不明确的因素，无法用统一的方法或结论给出统一的描述时，按可能出现的所有情况来分别进行讨论，得出各种情况下相互独立的结论.分类的原则是：①分类的每一部分是相互独立的；②一次分类必须依据同一个标准；③分类必须是逐次进行的.例3 （2012年湘潭市）已知一次函数y=kx+b （k ≠0）的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的表达式．分析：根据点（0，2）以及图象与两坐标轴围成的三角形面积确定图象与x 轴的交点坐标，注意分交点位于原点左侧和原点右侧两种情况讨论，根据两个点的坐标即可确定一次函数的表达式．解：∵一次函数y=kx ＋b （k ≠0）的图象过点（0，2），∴b=2.令y=0，则x=－k2. ∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2， ∴21×2×k2-=2，即k 2=2. 当k ＞0时，k2=2.解得k=1； 当k ＜0时，-k 2=2.解得k=-1． 故此一次函数的表达式为y=x+2或y=-x+2．点评：确定一次函数的表达式，关键是确定图象与坐标轴的另一交点坐标.由于题目中没有明确指出图象与x 轴交于正半轴还是负半轴，故需要分两种情况进行讨论.例4 （2012年龙东市）等腰三角形的一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为________． 分析：结合题意“一边上的高”将问题分为底上的高与腰上的高两种情况，等腰三角形腰上的高又分为高在三角形内（锐角三角形）与高在三角形外（钝角三角形）两种情况，运用勾股定理，分别求解.解：（1）若高是该等腰三角形底边上的高，如图3，此时，AB=AC=5，AD=3.由勾股定理，得BD=22BD AB -=2235-=4.所以底边BC=8.（2）若高是该等腰三角形腰上的高.①当等腰三角形为锐角三角形时，如图4，此时AB=AC=5，BD=3.由勾股定理，得AD=22BD AB -=2235-=4.故CD=1.在Rt △BCD 中，由勾股定理，得BC=22CD BD +=2213+=10；②当等腰三角形为钝角三角形时，如图5.此时AB=AC=5，CD=3.由勾股定理，得AD=22CD AC -=2235-=4.故BD=9.在Rt △BCD 中，由勾股定理，得BC=22CD BD +=2213+=310.综上，底边长为8或10或310.点评：题目没有图形，仅仅已知腰长以及一边上的高，答案不唯一，可以分高是底边上的高和是腰上的高两种情况讨论，其中腰上的高又分两种情况，高位于等腰三角形内和高位于等腰三角形外进行分类讨论，避免漏解或重解．三、转化思想转化思想常用的解题策略是：（1）已知与未知的转化：分析已知条件的内涵，挖掘其隐含条件，使得已知条件朝着明朗化的方面转化；对于一个未知的新问题，通过联想，寻找转化为已知的途径，或者是从结论入手进行转化；（2）数与形的转化：把抽象的数学语言与直观的图形相结合，使许多概念直观而形象，有利于发现解题途径；（3）一般与特殊的转化：比如探究规律问题，从简单的某些属性，按照某种不变的规律向一般图形具有的性质进行探究等；（4）复杂与简单的转化：把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解答.例5 （2012年湛江市）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题.例：解一元二次不等式x2－4＞0.解：∵x2－4=（x ＋2）（x －2），∴x2－4＞0可化为（x ＋2）（x －2）＞0.由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①⎩⎨⎧-+0202 x x ，或②⎩⎨⎧-+0202 x x . 解不等式组①，得x ＞2；解不等式组②，得x ＜－2.∴（x ＋2）（x －2）＞0的解集为x ＞2或x ＜－2.即一元二次不等式x2－4＞0的解集为x ＞2或x ＜－2.（1）一元二次不等式x2－16＞0的解集为_______；（2）分式不等式31+-x x ＞0的解集为____________； （3）解一元二次不等式2x 2－3x ＜0.分析：（1）将一元二次不等式的左边分解因式后化为两个一元一次不等式组求解即可；（2）根据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可；（3）将一元二次不等式的左边分解因式后化为两个一元一次不等式组求解即可. 解：（1）x ＞4或x ＜－4.（2）x ＞3或x ＜1.（3）∵2x 2－3x=x （2x －3），∴2x 2－3x ＜0可化为x （2x －3）＜0.由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得①⎩⎨⎧-0320 x x 或②⎩⎨⎧-0320 x x .解不等式组①，无解；解不等式组②，得0＜x ＜23. ∴x （2x －3）＜0的解集为0＜x ＜23. 即一元二次不等式2x2－3x ＜0的解集为0＜x ＜23. 点评：这是一道方法渗透性阅读理解题，解题的关键是认真阅读材料，并运用材料中提供的方法解答新的问题，这里渗透了转化思想．例6 （2012年日照市）如图6-①，正方形OCDE 的边长为1，阴影部分的面积记作S 1；如图6-②，最大圆的半径r=1，阴影部分的面积记作S 2，则S 1_______S 2（用“>”、“<”或“=”填空）.分析：观察图①可知，阴影部分的面积等于矩形CAFD 的面积，观察图②可知，阴影部分的面积等于最大圆面积的41，分别求出矩形CAFD 的面积、最大圆面积的41后作比较即可． 解：连接OD ，如图6-①.∵四边形OCDE 为正方形，OE=1，∴由勾股定理，得OD=22DE OE +=2211+=2.∴AO=2.∴AC=AO-CO=2－1.∴S 1=S 矩形CAFD =（2－1）×1=2－1.∵S 大圆=πr2=π，∴S 2=41π． ∵2<49，即2<23， ∴ 2－1＜23-1，即2－1＜41. 又21<43<41π， ∴2－1＜41π. ∴S 1＜S 2．点评：对不规则图形面积的考查是近几年中考的热点问题，主要是通过转化，将不规则图形转化为规则图形，再利用和或差进行计算．四、整体思想整体思想就是从问题的整体出发，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的联系，进行有目的、有意识的整体处理.例7 （2012年南通市）无论a取什么实数，点P（a－1，2a－3）都在直线l上，Q（m，n）是直线l上的点，则（2m－n＋3）2的值等于________．分析：根据无论a取什么实数，点P（a－1，2a－3）都在直线l上，确定函数的表达式，再把x=m，y=n代入函数表达式，求出2m－n的值，最后整体代入．解：因为2a－3=2（a－1）－1，而无论a取什么实数，点P（a－1，2a－3）都在直线l上，所以直线l的表达式是y=2x－1.又Q（m，n）是直线l上的点，所以n=2m－1，即2m－n=1.所以（2m－n＋3）2=（1＋3）2=16．点评：如果已知以含有字母的代数式为坐标的点在某直线上，可以通过研究点的横、纵坐标之间的关系来确定函数表达式.用整体代入的方法求代数式的值是一种常用的方法．例8 （2012年内江市）如图7，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，则阴影部分图形的周长为（）A. 15B. 20C. 25D. 30分析：要求阴影部分的周长，我们可以把两块阴影部分的周长相加，运用轴对称的性质，找到阴影部分的周长与原矩形边长的关系.解：因为在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，所以CD=AB=10，AD=BC=5.根据轴对称的性质，得A1E=AE，A1D1=AD，D1F=DF.设线段D1F与线段AB交于点M，则阴影部分的周长是：（A1E＋EM＋MD1＋A1D1）＋（MB＋MF＋FC＋CB）=AE＋EM＋MD1＋AD＋MB＋MF＋FC＋CB=（AE＋EM＋MB）＋（MD1＋MF＋FC）＋AD＋CB=AB＋（FD1＋FC）＋5＋5=10＋（FD＋FC）＋10=20＋DC=20＋10=30.故选D.点评：灵活运用轴对称的性质是解决此类问题的关键，正确找出折叠前后的对应边和对应角，运用整体代换有助于解决问题.五、建模思想建模思想就是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的数学模型的一种思想方法．例９某地上年度电价为０．８元/度，年用电量为１亿度，本年度计划将电价调至０．５５至０．７５元之间．经测算，若电价调至ｘ元，则本年度新增用电量ｙ亿度与ｘ－０．４成反比例，又当ｘ＝０．６５元时，ｙ＝０．８．（１）求ｙ与ｘ的函数关系式.（２）若每度电的成本价为０．３元，则电价调至０．６元时，本年度电力部门的收益是多少？［收益＝用电量×（实际电价－成本价）］分析：本题ｙ与ｘ虽不是反比例函数，但根据题意ｙ与ｘ－０．４成反比例，根据反比例的特点列出关系式ｙ＝4.0-x k ，用待定系数法就可确定函数关系式．用电量与实际电价减去成本价，二者乘积即为收益．根据题意列出方程解之即可得到结果．解：（１）∵ ｙ与ｘ－０．４成反比例，∴设ｙ与ｘ的函数关系式为ｙ＝4.0-x k （ｋ≠０），把ｘ＝０．６５，ｙ＝０．８代入，可以求出ｋ＝０．２．∴ ｙ＝4.02.0-x =251-x ． （２）根据题意，收益为1+251-x ·（ｘ－０．３）亿元．将ｘ＝０．６代入，得收益为０．６亿元．所以当电价调至０．６元时，本年度电力部门的收益是０．６亿元．点评：函数是描述变量之间相互关系的重要数学模型之一．很多实际问题都可以归结为函数问题．根据题意，找出变量之间的关系，建立适当的数学模型是解题的关键．六、方程思想方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为数学模型，然后通过解方程（组）来使问题获解.一般方法是认真分析题中的各个量以及相互关系，用一个或者几个等量关系描述题目中所有的相等关系，建立方程（组）模型，进而确定未知数的值，使问题获得解答.例10 （2012年济宁市）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？分析：设该校共购买了x 棵树苗.由题意，得x ［120－0.5（x －60）］=8800，解方程即可．解：因为60棵树苗售价为120元×60=7200元，7200元＜8800元，所以该校购买树苗超过60棵.设该校共购买了x 棵树苗.由题意，得x ［120－0.5（x －60）］=8800.解得x1=220，x2=80．当x1=220时，120－0.5×（220－60）=40＜100，∴x1=220（不合题意，舍去）；当x2=80时，120－0.5×（80－60）=110＞100，∴该校共购买了80棵树苗．点评：根据已知“如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元”列出方程是解题关键.例11 （2012年潍坊市）为了援助失学儿童，九年级学生李明从2012年1月份开始，每月一次将相等数额的零用钱存入已有部分存款的储蓄盒内，准备每6个月一次将储蓄盒内的存款一并汇出（汇款手续费不计）．已知2月份存款后清点储蓄盒内有存款80元，5月份存款后清点储蓄盒内有存款125元．（1）在李明2012年1月份存款前，储蓄盒内已有存款多少元？（2）为了实现到2015年6月份存款后存款总数超过1000元的目标，李明计划从2013年1月份开始，每月存款都比2012年每月存款多t 元（t 为整数），求t 的最小值．分析：（1）根据题目中的两个相等关系：①储蓄盒内原有存款+2个月的存款=80元；②储蓄盒内原有存款+5个月的存款=125元，列方程组求解即可.（2）首先计算出2012年共有的存款数，再由题意可得从2013年1月份开始，每月存款为（15+t ）元；从2013年1月到2015年6月共有30个月，共存款30×（15+t ），再加上2012年共有的存款总数超过1000元，由此构造不等式取符合条件的最小整数值即可．解：（1）设李明每月存款x 元，储蓄盒内原有存款y 元.依题意，得2x+y=80和5x+y=125. 解得x=15，y=50.所以储蓄盒内原有存款50元．（2）由（1），得李明2012年共有存款12×15＋50=230（元），2013年1月份后每月存入（15＋t ）元，2013年1月到2015年6月共有30个月.依题意，得230＋30（15＋t ）＞1000.解得t ＞1032.所以t 的最小值是11． 点评：建立方程模型应从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式等，求出结果并结合题意讨论结果的意义，得出符合题意的解．七、函数思想函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题和解决问题.也是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型，一般方法是认真分析题意，恰当设变量，寻找题目中相关量之间的相等关系，构造方程（组），确定函数的表达式，再结合题意进行有关探究、计算.例12 （2012年温州市）如图8，在△ABC 中，∠C=90°，M 是AB 的中点，动点P 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动到终点C ，动点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动到终点B ．已知P ，Q 两点同时出发，并同时到达终点，连接MP ，MQ ，PQ ．在整个运动过程中，△MPQ面积的变化情况是（ ）A ． 一直增大B ． 一直减小C ． 先减小后增大D ． 先增大后减少分析：思路1，找出几个特殊情况时△MPQ 的面积大小情况：①当P ，Q 两点刚开始运动时，△MPQ 的面积；②当P ，Q 两点同时运动到三角形所在边的中点时，△MPQ 的面积；③当P ，Q 两点运动到接近终点时，△MPQ 的面积．然后比较求解．思路2，把△MPQ 的面积用运动时间t 的函数表示出来，根据函数性质解答．解法一（合情推理）：当点P 从点A 出发时，△MPQ 的面积等于△ACM 的面积，即等于△ABC 面积的21； 当点P 运动到边AC 的中点时，点Q 也相应地运动到BC 边的中点，此时△MPQ 是△ABC 的中点三角形，△MPQ ∽△CBA ，其相似比为21. ∴△MPQ 的面积等于△ABC 面积的41； 当点P 接近点C ，点Q 接近点B 时，△MPQ 的面积接近于△BCM 的面积，即约等于△ABC面积的21. 综上可知，△MPQ 的面积大小变化情况是先减小后增大．故选C ．解法二（建立面积的函数模型）：设点P 从A 到C 运动的总时间为t ，从A 到P 运动的时间为m ，从P 到C 运动的时间为n ，则m ＋n=t ，记AC=b ，BC=a ，则△APM 中，AP=nm m +b ，AP 边上的高为21a ，所以 S △ＡＰＭ＝21·n m m +b ·21a=41·nm m +·ab. 同理得到S △BQM ＝21·n m n +a ·21b=41·n m n +·ab ； S △ＰＣＱ＝21·n m m +b ·n m n +a=21·()2n m m n +·ab ； S △ＡＢＣ＝21ab. ∴S △MPQ =S △ＡＢＣ-S △ＡPM -S △BQM -S △PCQ ＝21ab-41·n m m +·ab －41·n m n +·ab －21·()2n m m n +·ab =21ab-21·()2n m m n +·ab =21ab ·１－()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+22-1n m mn ＝41ab ·()222n m n m ++ ＝24t ab［m 2+（t-m ）2］ ＝22tab （m 2-tm+21t 2） ＝22tab （m-21t ）2＋81ab. ∵22t ab >0且81ab 是一个常数， ∴当m=21t 时，△MPQ 的面积取最小值81ab ； 当m<21t 时，即点P 到达AC 中点前，△MPQ 的面积逐渐减小； 当m>21t 时，即点P 过AC 中点后，△MPQ 的面积逐渐增大．故选C．点评：在解答运动变化的选择题时，过程不一定需要很严谨，利用特殊位置确定一些特殊值，然后结合变化过程运用合情推理找到正确答案即可．如果从变化的数量上描述变化的规律，可以建立函数模型，运用函数的性质加以分析，最终得出变化的规律.例13 （2012年绵阳市）某种子商店销售“黄金一号”玉米种子，为惠民促销，推出两种销售方案供采购者选择.方案一：每千克种子价格为4元，无论购买多少均不打折；方案二：购买3千克以内（含3千克）的价格为每千克5元，若一次性购买超过3千克的,则超过3千克的部分种子价格打7折.（1）请分别求出方案一和方案二中购买的种子数量x（千克）和付款金额y（元）之间的函数表达式.（2）若你去购买一定量的种子，你会怎样选择方案？请说明理由.解析：（1）方案一：y=4x；方案二：()()⎩⎨⎧+≤=35.45.335xyxxx（2）设购买x千克的种子.当x≤3时，选择方案一.当x>3时：当4x=3.5x+4.5时，x=9；当4x>3.5x+4.5时，x>9；当4x<3.5x+4.5时，x<9.所以当购买种子的质量少于９千克时，应选择方案一；当购买种子的质量为９千克时，选择两种方案均可；当购买种子的质量超过９千克时，应选择方案二.。

专题03 整体代入法【规律总结】整体代入法，在求代数式值中应用求代数式的值最常用的方法，即把字母所表示的数值直接代入，计算求值。

有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难求出字母的值或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入，求值时方便又快捷，这种整体代入的技法经常用到。

【典例分析】例1、在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2.当AD−AB=2时，S2−S1的值为()A. 2aB. 2bC. 2a−2bD. −2b【答案】B【解析】解：S1=(AB−a)⋅a+(CD−b)(AD−a)=(AB−a)⋅a+(AB−b)(AD−a)，S2=AB(AD−a)+(a−b)(AB−a)，∴S2−S1=AB(AD−a)+(a−b)(AB−a)−(AB−a)⋅a−(AB−b)(AD−a)=(AD−a)(AB−AB+b)+(AB−a)(a−b−a)=b⋅AD−ab−b⋅AB+ab=b(AD−AB)=2b．故选：B．利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．本题考查了整式的混合运算：“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．例2、若m是方程2x2−3x−1=0的一个根，则6m2−9m+2015的值为______．【答案】2018【解析】解：由题意可知：2m2−3m−1=0，∴2m2−3m=1∴原式=3(2m2−3m)+2015=2018故答案为：2018根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．例3、解下列各题：(1)若n满足(n−2023)(2021−n)=−6，求(n−2023)2+(2021−n)2的值．(2)已知：m2=n+2，n2=m+2(m≠n)，求：m3−2mn+n3的值．【答案】解：(1)∵(n−2023)(2021−n)=−6，∴原式=(n−2023+2021−n)2−2(n−2023)(2021−n)=(−2)2−2×(−6)=4+12=16；(2)∵m2=n+2①，n2=m+2(m≠n)②，∴m2−n=2，n2−m=2，∵m≠n，∴m−n≠0，∴①−②得m2−n2=n−m∴(m−n)(m+n)=−(m−n)，∵m−n≠0，∴m+n=−1∴原式=m3−mn−mn+n3=m(m2−n)+n(n2−m)=2m +2n=2(m +n)=2×(−1)=−2．【解析】本题主要考查的是代数式求值，完全平方公式，运用了整体代入法的有关知识．(1)将给出的代数式进行变形为(n −2023+2021−n)2−2(n −2023)(2021−n)，然后整体代入求值即可；(2)先根据m 2=n +2，n 2=m +2(m ≠n)，求出m +n =−1，然后将给出的代数式进行变形，最后整体代入求解即可．【好题演练】一、选择题1. 已知a +b =12，则代数式2a +2b −3的值是( ) A. 2B. −2C. −4D. −312 【答案】B 【解析】解：∵2a +2b −3=2(a +b)−3，∴将a +b =12代入得：2×12−3=−2故选：B ．注意到2a +2b −3只需变形得2(a +b)−3，再将a +b =12，整体代入即可此题考查代数式求值的整体代入，只需通过因式解进行变形，再整体代入即可．2. 若α、β为方程2x 2−5x −1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为( ) A. −13B. 12C. 14D. 15【答案】B【解析】【分析】 本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−b a，x 1x 2=c a .也考查了一元二次方程解的定义． 根据一元二次方程解的定义得到2α2−5α−1=0，即2α2=5α+1，则2α2+3αβ+5β可表示为5(α+β)+3αβ+1，再根据根与系数的关系得到α+β=52，αβ=−12，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵α为2x 2−5x −1=0的实数根，∴2α2−5α−1=0，即2α2=5α+1，∴2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5(α+β)+3αβ+1，∵α、β为方程2x 2−5x −1=0的两个实数根，∴α+β=52，αβ=−12，∴2α2+3αβ+5β=5×52+3×(−12)+1=12． 故选B ．3. 如果a 2+2a −1=0，那么代数式(a −4a ).a 2a−2的值是( )A. −3B. −1C. 1D. 3【答案】C【解析】【分析】 本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据a 2+2a −1=0，可以得到a 2+2a =1，从而可以求得所求式子的值．【解答】解：(a −4a )⋅a 2a−2=a 2−4a ⋅a 2a−2=(a+2)(a−2)a ⋅a 2a−2=a 2+2a ，由a 2+2a −1=0得a 2+2a =1，故原式=1．故选C ．4.已知1x −1y=3，则代数式2x+3xy−2yx−xy−y的值是()A. −72B. −112C. 92D. 34【答案】D【解析】解：∵1x−1y=3，∴y−xxy=3，∴x−y=−3xy，则原式=2(x−y)+3xy(x−y)−xy=−6xy+3xy−3xy−xy=−3xy−4xy=34，故选：D．由1x −1y=3得出y−xxy=3，即x−y=−3xy，整体代入原式=2(x−y)+3xy(x−y)−xy，计算可得．本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思想的运用．5.已知x1，x2是方程x2−3x−2=0的两根，则x12+x22的值为()A. 5B. 10C. 11D. 13【答案】D【解析】【分析】本题考查了完全平方公式以及根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca，利用根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=−2，再利用完全平方公式得到x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x1+x2=3，x1x2=−2，所以x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=32−2×(−2)=13．故选：D．6.小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下()A. 31元B. 30元C. 25元D. 19元【答案】A【解析】【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设每支玫瑰x元，每支百合y元，根据总价=单价×数量结合小慧带的钱数不变，可得出关于x，y的二元一次方程，整理后可得出y=x+7，再将其代入5x+3y+10−8x中即可求出结论．【解答】解：设每支玫瑰x元，每支百合y元，依题意，得：5x+3y+10=3x+5y−4，∴y=x+7，∴5x+3y+10−8x=5x+3(x+7)+10−8x=31．故选A．二、填空题7.已知ab=a+b+1，则(a−1)(b−1)=______．【答案】2【解析】【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及整体代入思想的运用，属于基础题．将ab=a+b+1代入原式=ab−a−b+1，合并即可得．【解答】解：当ab=a+b+1时，原式=ab−a−b+1=a+b+1−a−b+1=2，故答案为：2．8.将抛物线y=ax2+bx−1向上平移3个单位长度后，经过点(−2,5)，则8a−4b−11的值是______．【答案】−5【解析】解：将抛物线y=ax2+bx−1向上平移3个单位长度后，表达式为：y=ax2+bx+2，∵经过点(−2,5)，代入得：4a−2b=3，则8a−4b−11=2(4a−2b)−11=2×3−11=−5，故答案为：−5．根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点(−2,5)代入，得到4a−2b=3，最后将8a−4b−11变形求值即可．本题考查了二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得出平移后的表达式．9.若a+b=1，则a2−b2+2b−2=______．【答案】−1【解析】解：∵a+b=1，∴a2−b2+2b−2=(a+b)(a−b)+2b−2=a−b+2b−2=a+b−2=1−2=−1．故答案为：−1．由于a+b=1，将a2−b2+2b−2变形为a+b的形式，整体代入计算即可求解．本题考查了平方差公式，注意整体思想的应用．10.若实数x满足x2−2x−1=0，则2x3−7x2+4x−2017=______．【答案】−2020【解析】【分析】把−7x2分解成−4x2与−3x2相加，然后把所求代数式整理成用x2−2x表示的形式，然后代入数据计算求解即可．本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要．【解答】解：∵x2−2x−1=0，∴x2−2x=1，2x3−7x2+4x−2017=2x3−4x2−3x2+4x−2017，=2x(x2−2x)−3x2+4x−2017，=6x−3x2−2017，=−3(x2−2x)−2017=−3−2017=−2020，故答案为−2020．11.已知|x−y+2|+√x+y−2=0，则x2−y2的值为________．【答案】−4【解析】【分析】本题考查了非负数的性质，解题关键是掌握几个非负数的和等于0，那么这几个非负数都等于0.由非负数的性质得出x、y的值，再代入所求代数式求解即可．【解答】解：∵|x−y+2|+√x+y−2=0，∴x−y+2=0，x+y−2=0，即x−y=−2，x+y=2，∴x 2−y 2=(x +y)(x −y)=2×(−2)=−4，故答案为−4．12. 已知m +n =3mn ，则1m +1n 的值为______．【答案】3【解析】【试题解析】【分析】本题考查了分式的化简求值，利用通分将原式变形为m+n mn 是解题的关键．原式通分后可得出m+n mn ，代入m +n =3mn 即可求出结论．【解答】解：原式=1m +1n =m+n mn ，又∵m +n =3mn ，∴原式=m+n mn =3．故答案为：3．三、解答题13. 已知x =√2+1，y =√2−1，分别求下列代数式的值；(1)x 2+y 2；(2)y x +x y ．【答案】解：(1)∵x =2+1=√2−1，y =2−1=√2+1，∴x −y =−2，xy =2−1=1，∴x 2+y 2=(x −y)2+2xy =(−2)2+2×1=6；(2)∵x 2+y 2=6，xy =1，∴原式=x 2+y 2xy =61=6．【解析】本题考查二次根式的化简求值，分母有理化，解题的关键是运用完全平方公式以及整体思想，本题属于基础题型．(1)先将x 、y 进行分母有理化，得到x =√2−1，y =√2+1，再求出x −y 与xy 的值，然后根据完全平方公式得出x 2+y 2=(x −y)2+2xy ，再整体代入即可；(2)将所求式子变形为x 2+y 2xy ，再整体代入即可．14. 阅读材料，然后解方程组．材料：解方程组{x −y −1=0, ①4(x −y)−y =5. ②由①得x −y③，把③代入②，得4×1−y =5．解得y =−1．把y =−1代入③，得x =0．∴{x =0y =−1这种方法称为“整体代入法”.你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组{2x −3y −2=0,①2x−3y+57+2y =9．②． 【答案】解：由①得：2x −3y =2③，将③代入②得：1+2y =9，即y =4，将y =4代入③得：x =7，则方程组的解为{x =7y =4．【解析】由第一个方程求出2x −3y 的值，代入第二个方程求出y 的值，进而求出x 的值，即可确定出方程组的解．此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．15. 阅读材料，善于思考的小军在解方程组{2x +5y =3①4x +11y =5②时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x +10y +y =5即2(2x +5y)+y =5③把方程①代入③得2×3+y =5∴y =−1把y =−1代入①得x =4∴方程组的解为{x =4y =−1请你解决以下问题：(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组{3x −2y =5 ①9x −4y =19② (2)已知x 、y 满足方程组{5x 2−2xy +20y 2=822x 2−xy +8y 2=32，求x 2+4y 2的值； 【答案】解：(1)由②得：3x +6x −4y =19，即3x +2(3x −2y)=19③，把①代入③得：3x +10=19，即x =3，把x =3代入①得：y =2，则方程组的解为{x =3y =2； (2)由5x 2−2xy +20y 2=82得：5(x 2+4y 2)−2xy =82，即x 2+4y 2=82+2xy 5， 由2x 2−xy +8y 2=32得：2(x 2+4y 2)−xy =32，即2×82+2xy 5−xy =32， 整理得：xy =4，∴x 2+4y 2=82+2xy 5=82+85=18．【解析】此题考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键．(1)模仿小军的“整体代换”法，求出方程组的解即可；(2)方程组第一个方程变形表示出x 2+4y 2，第二个方程变形后代入求出xy 的值，进而求出x 2+4y 2的值．16. (1)已知x 3⋅x a ⋅x 2a+1=x 31求a 的值；(2)若n 为正整数，且x 2n =4，求(3x 3n )2−4⋅(x 2)2n 的值。