2019_2020学年新教材高中数学第六章平面向量初步章末综合检测(六)新人教B版必修第二册

第六章 平面向量初步单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题正确的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ＝b B ．若a ≠b ，则|a |≠|b |C ．若|a |＝|b |，则a 与b 可能共线D ．若|a |≠|b |，则a 一定不与b 共线 答案 C解析 因为向量既有大小又有方向，只有方向相同、大小(长度)相等的两个向量才相等，因此A 错误；两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B 错误；不论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，C 正确，D 错误．2．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4)答案 A解析 BC →＝AC →－AB →，AC →＝(－4，－3)，AB →＝(3,1)，故BC →＝(－7，－4)． 3．设a ，b 是共线的单位向量，则|a ＋b |的值( ) A ．等于2 B ．等于0 C ．大于2 D ．等于0或等于2答案 D解析 ∵a 与b 是共线的单位向量，∴当两个向量同向时，|a ＋b |＝2|a |＝2；当两个向量反向时，|a ＋b |＝0；综上所述，故选D ．4．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向答案 D解析 ∵c ∥d ，∴设c ＝λd ，则k a ＋b ＝λa －λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，λ＝－1，∴k ＝－1，λ＝－1，∴c ＝－d ，∴k ＝－1且c 与d 反向．5．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2答案 D解析 因为a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，所以a ＋b ＝(3，x ＋1),4b －2a ＝(6,4x －2)，由于a ＋b 与4b －2a 平行，则6(x ＋1)－3(4x －2)＝0，解得x ＝2.6．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4＝( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2) 答案 D解析 由题意知f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1,2)．7．已知平面内M ，N ，P 三点满足MN →－PN →＋PM →＝0，则下列说法正确的是( ) A ．M ，N ，P 是一个三角形的三个顶点 B ．M ，N ，P 是一条直线上的三个点 C ．M ，N ，P 是平面内的任意三个点 D ．以上都不对 答案 C解析 因为MN →－PN →＋PM →＝MN →＋NP →＋PM →＝MP →＋PM →＝0，所以MN →－PN →＋PM →＝0对任意情况是恒成立的．故M ，N ，P 是平面内的任意三个点．故选C ．8．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( )A ．23B ．43C ．－3D ．0答案 D解析 如图，连接AD ，∵CD →＝2DB →，∴CB →＝32CD →，又CB →＝AB →－AC →，∴32CD →＝AB →－AC →，∴CD →＝23AB →－23AC →，又CD →＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23，∴r ＋s ＝0.故选D ．9．O 为平面上一动点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，且满足OA →＋OB →＝λOC →≠0(λ∈R )，则O 点的轨迹必过△ABC 的( )A ．垂心B ．外心C ．内心D ．重心答案 D解析 如图，设D 为AB 边的中点，OA →＋OB →＝2OD →，∴2OD →＝λOC →，∴点O 在△ABC 底边AB的中线上．故选D ．10．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)答案 D解析 ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)， ∴a ＝－2p ＋2q ＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)．令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．11．在△ABC 中，AD →＝14AB →，DE ∥BC ，且DE 与AC 相交于点E ，M 是BC 的中点，AM 与DE相交于点N .若A N →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x ＋y ＝( )A ．1B ．12C ．14D ．18答案 C解析 ∵AD →＝14AB →，∴AD ＝14AB ．∵DE ∥BC ，∴AE ＝14AC ．又∵M 为BC 的中点，∴N 为DE的中点．∴ AN →＝12(AD →＋AE →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫14 AB →＋14AC →＝18AB →＋18AC →，∴x ＝y ＝18，∴x ＋y ＝18＋18＝14.12．如图所示，在△ABC 中，设AB →＝a ，AC →＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰为P ，则AP →＝( )A ．12a ＋12bB ．13a ＋23bC ．27a ＋47bD ．47a ＋27b 答案 C解析 如图，连接BP ， 则AP →＝AC →＋CP →＝b ＋PR →， ①AP →＝AB →＋BP →＝a ＋RP →－RB →. ②①＋②，得2AP →＝a ＋b －RB →. ③又∵RB →＝12 QB →＝12(AB →－A Q →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12AP →， ④ 将④代入③，得2AP →＝a ＋b －12⎝⎛⎭⎪⎫a －12AP →，解得AP →＝27a ＋47B ．故选C ．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于x 轴，b ＝(2，－1)，则a ＝________. 答案 (－1,1)或(－3,1)解析 由于|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于x 轴，所以a ＋b ＝(1,0)或(－1,0)，则a ＝(1,0)－(2，－1)＝(－1,1)或a ＝(－1,0)－(2，－1)＝(－3,1)．14．如图，直线l 上依次有五个点A ，B ，C ，D ，E ，满足AB ＝BC ＝CD ＝DE ，如果把向量A B →作为单位向量e ，那么直线上向量D A →＋C E →的坐标为________．答案 －1解析 由题意得，DA ＝3AB ，CE ＝2AB ，可得DA →＝－3AB →，CE →＝2AB →，故可得DA →＋CE →＝－3AB→＋2AB →＝－AB →＝－e ，故直线上向量DA →＋CE →的坐标为－1.15．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是40 m/s ，则鹰的飞行速率为________m/s.答案8033解析 设鹰的飞行速度为v 1，鹰在地面上的影子的速度为v 2，则|v 2|＝40 m/s ，因为鹰的运动方向是与水平方向成30°角向下，故|v 1|＝|v 2|32＝8033 (m/s)．16.OA →＝(sin θ，－1)，OB →＝(2sin θ，2cos θ)，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则|AB →|的最大值为________．答案 3解析 AB →＝OB →－OA →＝(sin θ，2cos θ＋1)⇒|AB →|＝sin 2θ＋4cos 2θ＋4cos θ＋1＝3cos 2θ＋4cos θ＋2 ＝3⎝⎛⎭⎪⎫cos θ＋232＋23， ∴当cos θ＝1，即θ＝0时，|AB →|取得最大值，最大值为3.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA →，BC →的中点，且DC AB＝k (k ≠1)．设AD →＝e 1，AB →＝e 2，选择基底{e 1，e 2}，试写出向量DC →，BC →，MN →在此基底下的分解式．解 如图所示，∵AB →＝e 2，且DC AB＝k ，∴DC →＝kAB →＝k e 2. 又AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴BC →＝－AB →－CD →－DA →＝－AB →＋DC →＋AD → ＝－e 2＋k e 2＋e 1＝e 1＋(k －1)e 2. ∵MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0，∴MN →＝－NB →－BA →－AM →＝BN →＋AB →－AM → ＝12BC →＋e 2－12AD → ＝12[e 1＋(k －1)e 2]＋e 2－12e 1 ＝k ＋12e 2.18．(本小题满分12分)已知向量a ，b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)求实数k ，使k a ＋b 与2a ＋k b 共线． 解 (1)证明：AB →＝a ＋b ， AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝6a ＋6b ，显然AB →＝16AD →.故AB →∥AD →，又AB →与AD →有公共点A ， 故点A ，B ，D 三点共线．(2)若k a ＋b ∥2a ＋k b ，必存在实数λ，使得k a ＋b ＝λ(2a ＋k b )， 整理k a ＋b ＝2λa ＋λk b ， 又a与b 不共线，⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2λ，1＝λk ，得k 2＝1k即k ＝± 2. 当k ＝2时，k a ＋b ＝2a ＋b,2a ＋k b ＝2a ＋2b ， 此时k a ＋b ∥2a ＋k b ，同理可验证k ＝－2时亦符合题意． 故k ＝± 2.19．(本小题满分12分)已知△ABC 内一点P 满足AP →＝λAB →＋μAC →，若△PAB 的面积与△ABC 的面积之比为1∶3，△PAC 的面积与△ABC 的面积之比为1∶4，求实数λ，μ的值．解如图，过点P 作PM ∥AC ，PN ∥AB ，分别交AB ，AC 于点M ，N ，则AP →＝AM →＋AN →，所以AM →＝λAB →，AN →＝μAC →.作PG ⊥AC 于点G ，BH ⊥AC 于点H ，因为S △PAC S △ABC ＝14，所以PG BH ＝14.又因为△PNG ∽△BAH ，所以PG BH ＝PN AB ＝14，即AM AB ＝14，所以λ＝14，同理μ＝13.20．(本小题满分12分)已知：如图，点L ，M ，N 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，且BLBC ＝l ，CM CA ＝m ，AN AB＝n ，若AL →＋BM →＋CN →＝0.求证：l ＝m ＝n .证明 设BC →＝a ，CA →＝b 为基底． 由已知得BL →＝l a ，CM →＝m b ，∵AB →＝AC →＋CB →＝－a －b ，∴ AN →＝nAB →＝－n a －n b ，∴AL →＝AB →＋B L →＝(l －1)a －b ，① BM →＝B C →＋CM →＝a ＋m b ，② CN →＝CA →＋AN →＝－n a ＋(1－n )b ，③将①②③代入AL →＋BM →＋CN →＝0，得 (l －n )a ＋(m －n )b ＝0，∵a ，b 不共线，∴l －n ＝0，m －n ＝0， 即l ＝m ＝n .21．(本小题满分12分)平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；(3)设d ＝(x ，y )满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝1，求向量D ． 解 (1)∵a ＝m b ＋n c ， ∴(3,2)＝(－m ＋4n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)∵(a ＋k c )∥(2b －a )，又a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∴2(3＋4k )＋5(2＋k )＝0，即k ＝－1613.(3)∵d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)， 又(d －c )∥(a ＋b )，|d －c |＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋55，y ＝1＋255或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－55，y ＝1－255.所以d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋55，1＋255或d ＝⎝⎛⎭⎪⎫4－55，1－255. 22．(本小题满分12分)已知点A (x,0)，B (2x,1)，C (2，x )，D (6,2x )． (1)求实数x 的值，使向量AB →与CD →共线；(2)当向量AB →与CD →共线时，点A ，B ，C ，D 是否在一条直线上？ 解 (1)AB →＝(2x,1)－(x,0)＝(x,1)， CD →＝(6,2x )－(2，x )＝(4，x )．若向量AB →与CD →共线，则x 2－4×1＝0，故x ＝±2. ∴当x ＝±2时，向量AB →与CD →共线． (2)当x ＝2时，A (2,0)，B (4,1)，C (2,2)，AB →＝(4,1)－(2,0)＝(2,1)， AC →＝(2,2)－(2,0)＝(0,2)．∵2×2－0×1≠0， ∴向量AB →与AC →不共线， ∴点A ，B ，C 不在一条直线上， ∴点A ，B ，C ，D 不在一条直线上．当x ＝－2时，A (－2,0)，B (－4,1)，C (2，－2)，AB →＝(－4,1)－(－2,0)＝(－2,1)， AC →＝(2，－2)－(－2,0)＝(4，－2)．∵(－2)×(－2)－4×1＝0，∴向量AB →与AC →共线，∵AB 与AC 有公共点A ， ∴点A ，B ，C 在一条直线上．又∵向量AB →与CD →共线，∴AB 与CD 平行或重合． 又A ，B ，C 在一条直线上，∴点A ，B ，C ，D 在一条直线上．综上，当x ＝2时，向量AB →与CD →共线，但点A ，B ，C ，D 不在一条直线上． 当x ＝－2时，向量AB →与CD →共线，且点A ，B ，C ，D 在一条直线上．。

，
∴ ， ， ．
选②，过点 作 延长线的垂线，垂足于 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为对角线 平分 ，所以 ，
所以 ．
19．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）由正弦定理可得 ，
即 ，
又因为 ，所以 ，
∵ ，所以 ．
（2）
，
∵ ，∴ ，
所以 ，即 ．
20．【答案】（1） ， ；（2）证明见解析．
①当 时，
②当 是线段 的中点时， ，
③若 为定值1，则在平面直角坐标系中，点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的轨迹是一条线段
④ 的最大值为
A．1B．2C．3D．4
8．已知点P是 所在平面内一点，有下列四个等式：
甲： ；
乙： ；
丙： ；
丁： ．
如果只有一个等式不成立，则该等式为（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
故选B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．【答案】ABD
【解析】 ， ，
对于A： ， ， ，
故A正确；
对于B： ， ，
故B正确；
对于C：向量 在向量 上的投影是 ，故C错误；
对于D：向量 的单位向量是 ，故D正确，
（1）若M在距离A点4 km处，求点M，N之间的距离；
（2）为节省投入资金，人工湖 的面积要尽可能小．试确定M的位置，使 的面积最小，并求出最小面积．
22．（12分）如图，在平面四边形 中， ， ， ， 是等边三角形．

所以O→A＋O→C＝2O→E＝－3O→B.
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解析
所以O→B＝－23O→E， |O→B|＝23|O→E|. 设点 A 到 BD 的距离为 h，则 S△AOB＝12|O→B|·h，S△AOC＝2S△AOE＝|O→E|·h.
1→ 1→ 所以SS△△AAOOCB＝2|O|→OEB|·|·hh＝2|O|→OEB||＝12×23＝13.
求证：D→E＝13(b－a)．
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证明 ∵CDDA＝EABE＝12，∴D→A＝23C→A＝23b，A→E＝13A→B＝13(A→C＋C→B)＝13(－b －a)＝－13b－13a.
∴D→E＝D→A＋A→E＝23b－13b－13a＝13b－13a＝13(b－a).
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正解 因为 D 为 BC 的三等分点， 当 BD＝13BC 时，如图 1，
B→D＝13B→C，
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答案
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所以A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋13B→C ＝A→B＋13(A→C－A→B) ＝23A→B＋13A→C ＝23a＋13b.
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答案 C
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答案
解析 找出一个非零实数 λ 使得 a＝λb 即可判断 a∥b.A 项中 a＝－12b； B 项中 a＝4b；D 项中 a＝－32b，故 A，B，D 三项中 a∥b，而 C 项中 a＝e1 －2e2，b＝－2e1＋e2，所以 C 项 a 与 b 不一定共线，故选 C.
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解析
3．(1)已知 3(x＋a)＋3(x－2a)－4(x－a＋b)＝0(其中 a，b 为已知向量)， 求 x；

6.2.3 向量的数乘运算一、选择题1．4(a －b )－3(a ＋b )－b 等于( )A ．a －2bB ．aC ．a －6bD ．a －8b解析：原式＝4a －4b －3a －3b －b ＝a －8b .答案：D2．点C 在直线AB 上，且AC →＝3AB →，则BC →等于( )A ．－2AB → B.13AB →C ．－13AB → D ．2AB →解析：如图，AC →＝3AB →，所以BC →＝2AB →.答案：D3．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为( )A ．－1或3 B. 3C ．－1或4D ．3或4解析：因为向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以m ＝－32－m，解得m ＝－1或m ＝3. 答案：A4.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝( )A ．a ＋34b B.34a ＋14bC.14a ＋14bD.14a ＋34b 解析：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b . 答案：D二、填空题5．已知|a |＝4，|b |＝8，若两向量方向同向，则向量a 与向量b 的关系为b ＝________a . 解析：由于|a |＝4，b ＝8，则|b |＝2|a |，又两向量同向，故b ＝2a .答案：26．点C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，则AC →＝________AB →，BC →＝________AB →. 解析：因为C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，所以AC →与AB →方向相同，BC →与AB →方向相反，且AC AB＝35，BC AB ＝25，所以AC →＝35AB →，BC →＝－25AB →. 答案：35 －257．已知向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝5，且a ＝λb ，则实数λ的值是________． 解析：由a ＝λb ，得|a |＝|λb |＝|λ||b |.∵|a |＝3，|b |＝5，∴|λ|＝35，即λ＝±35. 答案：±35三、解答题8．计算(1)13(a ＋2b )＋14(3a －2b )－12(a －b )； (2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ＋2b －23a －b －76⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋37⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋76a . 解析：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋34－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＋12b ＝712a ＋23b . (2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫73a ＋b －76⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋37b＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. 9．已知E ，F 分别为四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的中点，设BC →＝a ，DA →＝b ，试用a ，b表示EF →.解析：如图所示，取AB 的中点P ，连接EP ，FP .在△ABC 中，EP 是中位线， 所以PE →＝12BC →＝12a .在△ABD 中，FP 是中位线，所以PF →＝12AD →＝－12DA →＝－12b . 在△EFP 中，EF →＝EP →＋PF →＝－PE →＋PF →＝－12a －12b ＝－12(a ＋b )． [尖子生题库]10．已知e ，f 为两个不共线的向量，若四边形ABCD 满足AB →＝e ＋2f ，BC →＝－4e －f ，CD→＝－5e －3f .(1)用e 、f 表示AD →；(2)证明：四边形ABCD 为梯形．解析：(1)AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e ＋2f )＋(－4e －f )＋(－5e －3f )＝(1－4－5)e ＋(2－1－3)f ＝－8e －2f .(2)证明：因为AD →＝－8e －2f ＝2(－4e －f )＝2BC →，所以AD →与BC →方向相同，且AD →的长度为BC →的长度的2倍，即在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ≠BC ，所以四边形ABCD 是梯形．。