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第三讲导数的应用研热点（聚焦突破）类型一利用导数研究切线问题导数的几何意义(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x)就是曲线y＝f(x)在点(x,f(x))处的切线的斜率,即k＝f′(x)；(2)曲线y＝f(x)在点(x0,f(x))处的切线方程为y－f(x)＝f′(x)(x－x)．[例1] (2012年高考安徽卷改编)设函数f(x)＝a e x＋1aex＋b(a>0)．在点(2,f(2))处的切线方程为y＝32x,求a,b的值．[解析]∵f′(x)＝a e x－1 aex,∴f′(2)＝a e2－1ae2＝32, 解得a e2＝2或a e2＝－12(舍去),所以a＝2e2,代入原函数可得2＋12＋b＝3, 即b＝12, 故a＝2e2,b＝12.跟踪训练已知函数f(x)＝x3－x.(1)求曲线y＝f(x)的过点(1,0)的切线方程；(2)若过x轴上的点(a,0)可以作曲线y＝f(x)的三条切线,求a的取值范围．解析：(1)由题意得f′(x)＝3x2－1.曲线y＝f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程为y－f(t)＝f′(t)(x－t),即y＝(3t2－1)·x－2t3,将点(1,0)代入切线方程得2t3－3t2＋1＝0,解得t＝1或－,代入y＝(3t2－1)x－2t3得曲线y＝f(x)的过点(1,0)的切线方程为y＝2x－2或y＝－x＋.(2)由(1)知若过点(a,0)可作曲线y＝f(x)的三条切线,则方程2t3－3at2＋a＝0有三个相异的实根,记g(t)＝2t3－3at2＋a.则g′(t)＝6t2－6at＝6t(t－a)．当a>0时,函数g(t)的极大值是g(0)＝a,极小值是g(a)＝－a3＋a,要使方程g(t)＝0有三个相异的实数根,需使a>0且－a3＋a<0,即a>0且a2－1>0,即a>1；当a＝0时,函数g(t)单调递增,方程g(t)＝0不可能有三个相异的实数根；当a<0时,函数g(t)的极大值是g(a)＝－a3＋a,极小值是g(0)＝a,要使方程g(t)＝0有三个相异的实数根,需使a<0且－a3＋a>0,即a<0且a2－1>0,即a<－1.综上所述,a的取值范围是(－∞,－1)∪(1,＋∞)．类型二利用导数研究函数的单调性函数的单调性与导数的关系在区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数f(x)在区间(a,b)上单调递增；如果f′(x)<0,那么函数f(x)在区间(a,b)上单调递减．[例2] (2012年高考山东卷改编)已知函数f(x)＝(k为常数,e＝2.718 28…是自然对数的底数),曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间． [解析] (1)由f (x )＝ln x ＋kex, 得f ′(x )＝1－kx －xln xxex ,x ∈(0,＋∞)．由于曲线y ＝f (x )在(1,f (1))处的切线与x 轴平行, 所以f ′(1)＝0,因此k ＝1.(2)由(1)得f ′(x )＝(1－x －x ln x ),x ∈(0,＋∞)． 令h (x )＝1－x －x ln x ,x ∈(0,＋∞), 当x ∈(0,1)时,h (x )>0； 当x ∈(1,＋∞)时,h (x )<0.又e x >0,所以当x ∈(0,1)时,f ′(x )>0； 当x ∈(1,＋∞)时,f ′(x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,＋∞)．跟踪训练若函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x 存在单调递减区间,求实数a 的取值范围． 解析：由题知f ′(x )＝1x －ax －2＝－ax2＋2x －1x ,因为函数f (x )存在单调递减区间,所以f ′(x )＝－ax2＋2x －1x≤0有解．又因为函数的定义域为(0,＋∞),则应有ax 2＋2x －1≥0在(0,＋∞)上有实数解．(1)当a >0时,y ＝ax 2＋2x －1为开口向上的抛物线,所以ax 2＋2x －1≥0在(0,＋∞)上恒有解； (2)当a <0时,y ＝ax 2＋2x －1为开口向下的抛物线,要使ax 2＋2x －1≥0在(0,＋∞)上有实数解,则Δ＝>0,此时－1<a <0；(3)当a ＝0时,显然符合题意．综上所述,实数a 的取值范围是(－1,＋∞)． 类型三 利用导数研究函数的极值与最值 1．求函数y ＝f (x )在某个区间上的极值的步骤 (1)求导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根x 0； (3)检查f ′(x )在x ＝x 0左右的符号； ①左正右负⇔f (x )在x ＝x 0处取极大值； ②左负右正⇔f (x )在x ＝x 0处取极小值．2．求函数y ＝f (x )在区间[a ,b ]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在区间(a,b)内的极值(极大值或极小值)；(2)将y＝f(x)的各极值与f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值．[例3] (2012年高考北京卷)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0),g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1,c)处具有大众切线,求a,b的值；(2)当a2＝4b时,求函数f(x)＋g(x)的单调区间,并求其在区间(－∞,－1]上的最大值．[解析](1)f′(x)＝2ax,g′(x)＝3x2＋b,因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1,c)处具有大众切线,所以f(1)＝g(1),且f′(1)＝g′(1)．即a＋1＝1＋b,且2a＝3＋b.解得a＝3,b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当b＝14a2时,h(x)＝x3＋ax2＋14a2x＋1,h′(x)＝3x2＋2ax＋14a2.令h′(x)＝0,得x1＝－a2,x2＝－a6.a>0时,h(x)与h′(x)的变化情况如下：0 0所以函数h(x)的单调递增区间为(－∞,－2)和(－6,＋∞)；单调递减区间为(－2,－6)．当－a2≥－1,即0<a≤2时,函数h(x)在区间(－∞,－1]上单调递增,h(x)在区间(－∞,－1]上的最大值为h(－1)＝a－14a2.当－a2<－1,且－a6≥－1,即2<a≤6时,函数h(x)在区间(－∞,－a2)上单调递增,在区间(－a2,－1]上单调递减,h(x)在区间(－∞,－1]上的最大值为h(－a2)＝1.当－a6<－1,即a>6时,函数h(x)在区间(－∞,－a2)上单调递增,在区间(－a2,－a6)上单调递减,在区间(－a6,－1]上单调递增,又因为h(－a2)－h(－1)＝1－a＋14a2＝14 (a－2)2>0,所以h(x)在区间(－∞,－1]上的最大值为h(－a2)＝1.跟踪训练(2012年珠海摸底)若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x3＋3x2＋1（x ≤0）eax （x>0）,在[－2,2]上的最大值为2,则a 的取值范围是( )A ．[12ln 2,＋∞)B ．[0,12ln 2]C ．(－∞,0]D ．(－∞,12ln 2]解析：当x ≤0时,f ′(x )＝6x 2＋6x ,易知函数f (x )在(－∞,0]上的极大值点是x ＝－1,且f (－1)＝2,故只要在(0,2]上,e ax ≤2即可,即ax ≤ln 2在(0,2]上恒成立,即a ≤ln 2x 在(0,2]上恒成立,故a ≤12ln 2. 答案：D析典题（预测高考）高考真题【真题】 (2012年高考辽宁卷)设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ,b ∈R,a ,b 为常数),曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切． (1)求a ,b 的值；(2)证明：当0<x <2时,f (x )<9x x ＋6. 【解析】 (1)由y ＝f (x )过(0,0)点,得b ＝－1.由y ＝f (x )在(0,0)点的切线斜率为32,又y ′⎪⎪x ＝0＝(1x ＋1＋12x ＋1＋a )⎪⎪x ＝0＝32＋a ,得a ＝0.(2)证明：证法一 由均值不等式,当x >0时, 2（x ＋1）·1<x ＋1＋1＝x ＋2,故x ＋1<x2＋1. 记h (x )＝f (x )－9x x ＋6, 则h ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1－54（x ＋6）2＝2＋x ＋12（x ＋1）－54（x ＋6）2<x ＋64（x ＋1）－54（x ＋6）2 ＝（x ＋6）3－216（x ＋1）4（x ＋1）（x ＋6）2.令g (x )＝(x ＋6)3－216(x ＋1), 则当0<x <2时,g ′(x )＝3(x ＋6)2－216<0. 因此g (x )在(0,2)内是递减函数． 又由g (0)＝0,得g (x )<0,所以h ′(x )<0. 因此h (x )在(0,2)内是递减函数． 又h (0)＝0,得h (x )<0.于是当0<x <2时,f (x )<9x x ＋6. 证法二 由(1)知f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1－1.由均值不等式,当x >0时,2（x ＋1）·1<x ＋1＋1＝x ＋2,故x ＋1<x 2＋1.① 令k (x )＝ln(x ＋1)－x ,则k(0)＝0,k′(x)＝1x＋1－1＝－xx＋1<0,故k(x)<0,即ln(x＋1)<x.②由①②得,当x>0时,f(x)<32 x.记h(x)＝(x＋6)f(x)－9x,则当0<x<2时,h′(x)＝f(x)＋(x＋6)f′(x)－9<32x＋(x＋6)·(1x＋1＋12x＋1)－9＝12（x＋1）[3x(x＋1)＋(x＋6)·(2＋x＋1)－18(x＋1)]<12（x＋1）[3x(x＋1)＋(x＋6)·(3＋x2)－18(x＋1)]＝x4（x＋1）(7x－18)<0.因此h(x)在(0,2)内单调递减．又h(0)＝0,所以h(x)<0,即f(x)<9xx＋6.【名师点睛】本题主要考查导数的应用和不等式的证明以及转化与化归能力,难度较大．本题不等式的证明关键在于构造函数利用最值来解决．考情展望高考对导数的应用的考查综合性较强,一般为解答题,着重考查以下几个方面：一是利用导数的几何意义来解题；二是讨论函数的单调性；三是利用导数研究函数的极值与最值．常涉及不等式的证明、方程根的讨论等问题名师押题【押题】已知f(x)＝ax－ln x,x∈(0,e],g(x)＝ln xx,其中e是自然常数,a∈R.(1)讨论a＝1时,f(x)的单调性和极值；(2)求证：在(1)的条件下,f(x)>g(x)＋1 2；(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,若存在,求出a的值；若不存在,请说明理由．【解析】(1)由题知当a＝1时,f′(x)＝1－1x＝x－1x,因为当0<x<1时,f′(x)<0,此时f(x)单调递减,当1<x<e时,f′(x)>0,此时f(x)单调递增,所以f(x)的极小值为f(1)＝1.(2)证明因为f(x)的极小值为1,即f(x)在(0,e]上的最小值为1.令h(x)＝g(x)＋12＝ln xx＋12,h′(x)＝1－ln xx2,当0<x<e时,h′(x)>0,h(x)在(0,e]上单调递增,所以h(x)max＝h(e)＝1e＋12<12＋12＝1＝f(x)min,所以在(1)的条件下,f(x)>g(x)＋1 2.(3)假设存在实数a,使f(x)＝ax－ln x(x∈(0,e])有最小值3,f′(x)＝a－1x＝ax－1x.①当a≤0时,因为x∈(0,e],所以f′(x)<0,而f(x)在(0,e]上单调递减,所以f(x)min＝f(e)＝a e－1＝3,a＝4e(舍去),此时f(x)无最小值；②当0<1a <e 时,f (x )在(0,1a )上单调递减,在(1a ,e]上单调递增,所以f (x )min ＝f (1a )＝1＋ln a ＝3,a ＝e 2,满足条件；③当1a≥e 时,因为x ∈(0,e],所以f ′(x )<0,所以f (x )在(0,e]上单调递减,f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3,a ＝4e (舍去)此时f (x )无最小值．综上,存在实数a ＝e 2,使得当x ∈(0,e]时,f (x )有最小值3.知识改变命运。
高考前数学重点题型导 数⏹ 导数的基本运算：将函数()f x 求导，然后再将值代入()x f '. 注意：（1）真数大于0；（2）求导时，不含变量时就是常数。
1. ()sin cos f x x α=-,则'()f α等于 αsin .2. 设()x x x f ln =，若()20='x f ，则0x 等于 e .3. 已知()21ln 2f x x x =-，则使导函数()0f x '>的x 取值范围是 ()1,0 .4. 已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2322f x x xf '=+，则()5f '= 6 .⏹ 导数的几何意义：将切点的横坐标代入到导函数中所得的东西就是切线的斜率。
注意：（1）由直线方程求斜率时，一定要化成b kx y +=的形式；（2）切点的特点，在曲线和直线上，则可以将切点代入曲线和直线方程； （3）求切线方程的点斜式：()00x x k y y -=-；（4）注意真数大于0；（5）两直线垂直，则121-=⋅k k ；（6）斜率αtan =k （α为倾斜角）；5. 设函数f(x)=g(x)+x 2，曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y =2x +1，则曲线y =f(x )在点(1,f(1))处切线的斜率为 4 .6.已知函数()x f y =的图象在点()()1,1f M 处的切线方程为221+=x y ，则()()11f f '+= 3 .7. 曲线423+-=x x y 在点()3,1处的切线的倾斜角为 45 .8. 已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点(1，3)，求a = -1 b = 3 ．9. 设曲线11-+=x x y 在点()2,3处的切线与直线01=++y ax 垂直，则a 等于 -2 .10. 曲线x x y +=331在点⎪⎭⎫ ⎝⎛34,1处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为 9 .11. 设函数()b f x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=.求()y f x =的解析式. ()xx x f 3-=导数与单调性：在同一区间中，若()0>'x f ，则()x f 为增；若()0<'x f ，则()x f 为减。
高中导数题所有题型及解题方法一、导数的概念1.1 导数的定义•导数的定义公式：f′(x)=limℎ→0f(x+ℎ)−f(x)ℎ•导数表示函数在某一点的变化率1.2 导数的几何意义•函数图象在某一点的切线斜率•函数图象在某一点的局部线性近似二、导数的基本运算法则2.1 基本导数公式•常数函数：d dx (C)=0•幂函数：d dx (x n)=nx n−1•指数函数：ddx(a x)=a x ln(a)2.2 函数和、差、积、商的导数•和的导数：(u+v)′=u′+v′•差的导数：(u−v)′=u′−v′•积的导数：(uv)′=u′v+uv′•商的导数：(uv)′=u′v−uv′v2,其中v≠02.3 复合函数的导数•复合函数的求导公式：如果y=f(u)及u=g(x), 则dy dx =dy dududx三、导数的应用3.1 函数的单调性•若f′(x)>0，则函数f(x)在该区间上单调递增•若f′(x)<0，则函数f(x)在该区间上单调递减3.2 函数的极值与最值•极大值：若f′(x0)=0，且f″(x0)<0，则f(x0)是函数f(x)在x0处的极大值•极小值：若f′(x0)=0，且f″(x0)>0，则f(x0)是函数f(x)在x0处的极小值3.3 函数的拐点•拐点：若f″(x0)=0，则f(x)在x0处的图像有拐点3.4 函数的图像•函数图象的基本性质–若f′(x)>0，则函数的图像上的点随x的增大而上升–若f′(x)<0，则函数的图像上的点随x的增大而下降–若f″(x)>0，则函数的图像在该区间上凹–若f″(x)<0，则函数的图像在该区间上凸四、基础导数题型4.1 求导数•题型1：求函数的导数y=f(x)•题型2：求函数的高阶导数y(n)=f(x)4.2 高阶导数应用•题型1：求函数的极值和拐点•题型2：求函数在某点的切线方程•题型3：求函数的图像4.3 求解极值问题•题型1：求一定范围内函数的极大值和极小值•题型2：求满足一定条件的函数极值4.4 函数的单调性•题型1：判断函数的单调区间•题型2：填空题，填写使函数单调递增或递减的区间五、综合题型5.1 数学建模•题型1：利用导数求解实际生活中的问题5.2 物理应用•题型1：利用导数求解物理问题，如速度、加速度等5.3 函数的变化率•题型1：求函数在某点的变化率•题型2：求函数在某段区间的平均变化率六、总结本篇文章主要介绍了高中阶段导数相关的内容，包括导数的基本定义、几何意义、基本运算法则，以及导数在函数的单调性、极值与最值、图像以及物理应用中的运用。
导数及其应用1、 导数的几何意义 已知点P 在曲线y=14+x e 上，α为曲线在点P 处的切线倾斜角，则α的取值范围是多少？2、 若曲线y=2x 2的一条切线l 与直线x+4y-8=0垂直，则切线l 的方程为3、 若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+9415-x 都相切 ，则a 的值为多少4、 曲线y=e x 在点（2，e 2）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为多少？5、 已知函数f （x ）的定义域为[)∝+-,3，且f(6)=2,)(,x f 为f(x)的导函数，图像如图所示，若正数a ，b 满足f （2a+b ）＜2，则23-+a b 的取值范围。
6、 曲边梯形由曲线y=x 2+1，y=0，x=1，x=2所围成，过曲线y=x 2+1，x ∈[1，2 ]上一点P 作切线，使得次切线从23、函数)(x f 的定义域为开区间（a ，b ），导函数)`(x f 在区间（a ，b ）内的图像如图所示，则函数)(x f 在区间（a ，b ）内的极小值点有几个？24、设函数21)(ax e x f x+=，其中a 为正实数。
（1） 当a=43时，求)(x f 的极值点； （2） 若)(x f 为R 上的单调函数，求a 的取值范围利用导数求解函数的最值 25、设函数)(x f =x x e 122+，x exe x g 2)(=，对任意x 1，x 2∈（0，+∞），不等式1)()(21+≤k xf k xg 恒成立，则正数k 的取值范围为多少？导数解决实际应用问题 31、 某市政府为了打造宜居城市，计划在公园内新建一个如图所示的矩形ABCD 的休闲区，内部是景观区A 1B 1C 1D 1,景观区四周是人行道，已知景观区的面积为8000平方米，人行道的宽度为5m 。
（1） 设景观区的宽B 1C 1的长度为x 米，求休闲区ABCD 所占面积关于x 的函数；（2） 规划要求景观区的宽B 1C 1的长度不能超过50米，如何设计景观区的长和宽，才能使ABCD 所占面积最小？32、 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位;cm ）满足关系C （x ）=)100(53≤≤+x x k，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设)(x f 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。
导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、根本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。
二、热点题型分析题型一：利用导数几何意义求切线方程1．曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．假设曲线x x x f -=4)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，那么P 点的坐标为 〔1，0〕3．假设曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，那么l 的方程为 430x y --=4．求以下直线的方程：〔1〕曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； 〔2〕曲线2x y =过点P(3,5)的切线；解：〔1〕0211=+-+=-y x x y 即，〔2〕2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，或 题型二：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1．函数))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 〔Ⅰ〕假设函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； 〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； 〔Ⅲ〕假设函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围解：〔1〕 .542)(23+-+=x x x x f 〔2〕在[－3，1]上最大值是13。
〔3〕y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又,23)(2b ax x x f ++='由①知2a+b=0。
依题意)(x f '在[－2，1]上恒有)(x f '≥0，即.032≥+-b bx x①当6,03)1()(,16min ≥∴>+-='='≥=b b b f x f bx 时； ②当φ∈∴≥++=-'='-≤=b b b f x f bx ,0212)2()(,26min 时；③当.60,01212)(,1622min ≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时综上所述，参数b 的取值范围是),0[+∞2．三次函数32()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值，且(2)4f -=-． (1) 求函数()y f x =的表达式； (2) 求函数()y f x =的单调区间和极值；解：(1)3()32f x x x =--．(2) 当1x >时，()0f x '>．∴函数()f x 在区间(,1]-∞-上是增函数；在区间[1,]-１上是减函数；在区间[1,)+∞上是增函数．函数()f x 的极大值是(1)0f -=，极小值是(1)4f =-．3．设函数()()()f x x x a x b =--．〔1〕假设()f x 的图象与直线580x y --=相切，切点横坐标为２，且()f x 在1x =处取极值，求实数,a b 的值；〔2〕当b=1时，试证明：不管a 取何实数，函数()f x 总有两个不同的极值点． 解：〔1〕a=1，b=1．题型三：利用导数研究函数的图象1． f 〔x 〕的导函数 )(/x f 的图象如右图所示，那么f 〔x 〕的图象只可能是〔 D 〕〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕 2．函数的图像为14313+-=x x y ( A )3．方程内根的个数为在)2,0(076223=+-x x ( B )A 、0B 、1C 、2D 、3xyo 4 -4 2 4 -42 -2 -2x yo 4 -4 2 4 -42 -2 -2xyy 4 -4 2 4 -42-2 -26 6 6 6 yx-4-2 o4 2 24题型四：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围1．设函数.10,3231)(223<<+-+-=a b x a ax x x f〔1〕求函数)(x f 的单调区间、极值.〔2〕假设当]2,1[++∈a a x 时，恒有a x f ≤'|)(|，试确定a 的取值范围.解：〔1〕()f x 在〔a ，3a 〕上单调递增，在〔-∞，a 〕和〔3a ，+∞〕上单调递减x a =时，34()3f x b a =-极小，3x a =时，()f x b =极小〔2〕22()43f x x ax a '=-+-∵01a <<，∴对称轴21x a a =<+，∴()f x '在[a+1，a+2]上单调递减∴22(1)4(1)321Maxf a a a a a '=-+++-=-，22min(2)4(2)344f a a a a a '=-+++-=-依题|()|f x a '≤⇔||Max f a '≤，min ||f a '≤ 即|21|,|44|a a a a -≤-≤解得415a ≤≤，又01a << ∴a 的取值范围是4[,1)52．函数f 〔x 〕＝x3＋ax2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值〔1〕求a 、b 的值与函数f〔x 〕的单调区间〔2〕假设对x ∈〔－1，2〕，不等式f 〔x 〕<c2恒成立，求c 的取值范围。
导数及其应用导数的运算1. 几种常有的函数导数：①、 c（ c 为常数）； ②、( x n )（ n R ）； ③、 (sin x) = ；④、 (cos x) =；⑤、( a x )； ⑥、 ( ex)； ⑦、 (log a x ) ； ⑧、 (ln x ).2. 求导数的四则运算法规：(u v)u v ； (uv) u vu'u v ' uv 'u ( v0 ) 注：① u, v 必定是可导函数 .uv ； (u)vuvvvv 223. 复合函数的求导法规：f x ( ( x))f (u) ? ( x) 或 y xy u ? u x一、求曲线的切线（导数几何意义）导数几何意义： f (x 0 ) 表示函数 y f (x) 在点 ( x 0 ， f (x 0 ) )处切线 L 的斜率；函数 y f (x) 在点 ( x 0 ， f (x 0 ) )处切线 L 方程为 y f (x 0 )f (x 0 )(x x 0 )1. 曲线在点 处的切线方程为（ ）。
A:B:C:D:答案详解 B 正确率 : 69%, 易错项 : C解析 :本题主要观察导数的几何意义、导数的计算以及直线方程的求解。
对 求导得，代入 得 即为切线的斜率， 切点为，因此切线方程为即。
故本题正确答案为B 。
2.3. 设函数f ( x) g( x) x2，曲线 y g(x) 在点 (1,g(1)) 处的切线方程为 y 2x 1，则曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1))处切线的斜率为( )A ．41C．21B ． D ．4 24. 已知函数 f ( x) 在R上满足 f ( x) 2 f (2 x) x28x 8，则曲线y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是()A . y2x 1 B. y x C. y3x 2 D. y2x 3变式二：5. 在平面直角坐标系xoy 中，点P在曲线C : y x310 x 3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为.6. 设曲线 yx n 1 (n N * ) 在点（ 1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n ,令 a n lg x n ，则 a 1 a 2 L a 99 的值为.7. 已知点 P 在曲线 y=4 上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则的取值范围是e x1, 3]D 、 [ 3,A 、 [0, )B 、 [, ) C 、 ( )44 22 4 4变式三：8. 已知直线y =x＋ 1 与曲线y ln( x a) 相切，则α的值为( )A . 1 B. 2 C. － 1 D. － 29. 若存在过点 (1,0)的直线与曲线 yx 3 和 y ax 2 15 x 9 都相切，则 a 等于4( )A ． 1或 -25B ． 1或21C ． 7 或 - 25D ．7或 76444 6441 110. 若曲线 yx 2 在点 a, a 2 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 aA 、64B 、 32C 、 16D 、811. （本小题满分 13 分） 设 f ( x)ae x 1b( a 0) . （ I ）求 f ( x) 在 [0, ) 上的最小值；ae x3x ；求 a,b 的值 .（ II ）设曲线 yf ( x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y212. 若曲线 f x ax2Inx 存在垂直于y轴的切线，则实数 a 的取值范围是.二、求单调性或单调区间1、利用导数判断函数单调性的方法：设函数y f (x) 在某个区间 D 内可导，若是 f ( x) ＞0，则y f (x) 在区间D上为增函数；若是 f ( x) ＜0，则y f (x) 在区间 D 上为减函数；若是 f ( x) =0恒成立，则y f (x) 在区间 D 上为常数 .2、利用导数求函数单调区间的方法：不等式 f ( x) ＞0的解集与函数y f (x) 定义域的交集，就是y f ( x) 的增区间；不等式 f ( x) ＜0的解集与函数y f (x) 定义域的交集，就是y f (x) 的减区间 .1、函数f (x) ( x 3)e x的单调递加区间是( )A . ( ,2) B. (0,3) C. (1,4) D . (2, )2. 函数f (x)x315x233x 6 的单调减区间为.3. 已知函数，，谈论的单调性。
导数大题1 ．已知函数()b ax x x f ++=23的图象在点P (1,0)处的切线与直线03=+y x 平行｡ (1)求常数a 、b 的值;(2)求函数()x f 在区间[]t ,0上的最小值和最大值(0>t )｡2 ．已知函数R a ax x x f ∈+-=,)(3 (1)假设)(x f 在),1[+∞上为单调减函数,求实数a 取值范围;(2)假设,12=a 求)(x f 在[-3,0]上的最大值和最小值｡3 ．设函数x e x x f 221)(=. (1)求函数)(x f 的单调区间;(2)假设当]2,2[-∈x 时,不等式m x f <)(恒成立,求实数m 的取值范围.4 ．已知函数.),2,1()(3)(3l P P x f y x x x f 作直线过点上一点及-=-= (1)求使直线)(x f y l =和相切且以P 为切点的直线方程;(2)求使直线)(x f y l =和相切且切点异于P 的直线方程)(x g y =｡5 ．已知函数3()31,0f x x ax a =--≠ ()I 求()f x 的单调区间;()II 假设()f x 在1x =-处取得极大值,直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点,求m 的取值范围｡7 ．已知函数2()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2))P f 处的切线方程为22ln 23++-=x y . (Ⅰ)求b a ,的值;(Ⅱ)假设方程()f x m +=求m 的取值范围(其中e 为自然对数的底数);8 ．已知函数212()()ln f x a x x =-+.(R a ∈) (1)当a =1时,求()f x 在区间[1,e ]上的最大值和最小值;(2)假设在区间(1,+∞)上,函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方,求a 的取值范围。
10．已知函数2()sin 2(),()()2f x x b x b R F x f x =+-∈=+,且对于任意实数x ,恒有(5)(5)F x F x -=-｡ ⑴求函数)(x f 的解析式;⑵已知函数()()2(1)ln g x f x x a x =+++在区间(0,1)上单调,求实数a 的取值范围;⑶讨论函数21()ln(1)()2h x x f x k =+--零点的个数?12．已知函数b ax x x x f +++=23)(. ( I )当1-=a 时,求函数)(x f 的单调区间;( II )假设函数)(x f 的图象与直线ax y =只有一个公共点,求实数b 的取值范围.13．已知函数).()(2a x x x f += (1)当a =1时,求)(x f 的极值;(2)当0≠a 时,求)(x f 的单调区间.14．(本小题共13分)已知函数))0(,0(31)(23f d cx bx x x f 在点++-=处的切线方程为.2=y (I)求c 、d 的值;(II)求函数f (x )的单调区间｡15．已知函数2()(1)f x x x =+ . (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间与极值;(Ⅱ)设2()g x ax =,假设对于任意(0,)x ∈+∞,()()f x g x ≥恒成立,求实数a 的取值范围.16．已知函数c bx ax x x f +++=23)(,412)(-=x x g , 假设0)1(=-f ,且)(x f 的图象在点))1(,1(f 处的切线方程为)(x g y =.(Ⅰ)求实数c b a ,,的值;(Ⅱ)求函数)()()(x g x f x h -=的单调区间.17．设函数x x a ax x f 12)36(2)(23++-=()R a ∈.(Ⅰ)当1=a 时,求函数)(x f 的极大值和极小值;(Ⅱ)假设函数)(x f 在区间)1,(-∞上是增函数,求实数a 的取值范围.18．已知函数32()(,f x x ax b a b =-++∈R). (Ⅰ)假设a =1,函数()f x 的图象能否总在直线y b =的下方?说明理由;(Ⅱ)假设函数()f x 在(0,2)上是增函数,求a 的取值范围;(Ⅲ)设123,,x x x 为方程()0f x =的三个根,且1(1,0)x ∈-,2(0,1)x ∈,3(,1)(1,)x ∈-∞-+∞,求证:||1a >.23．已知32()f x ax bx cx =++在区间[01]，上是增函数，在区间(0)(1)-+，，，∞∞上是减函数，又1322f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭． 〔Ⅰ〕求()f x 的解析式；〔Ⅱ〕假设在区间[0](0)m m >，上恒有()f x x ≤成立，求m 的取值范围．24．已知函数32()2f x x ax bx =+++与直线450x y -+=切于点P 〔1-，1〕． 〔Ⅰ〕求实数,a b 的值；〔Ⅱ〕假设0x >时，不等式2()22f x mx x ≥-+恒成立，求实数m 的取值范围．27．已知函数()32f x x ax bx c =+++，在(-∞，-1)，(2，+∞)上单调递增，在(-1，2)上单调递减，当且仅当x>4时，()()245f x x x g x >-+=．〔Ⅰ〕求函数f(x)的解析式；〔Ⅱ〕假设函数y m =与函数f(x)、g(x)的图象共有3个交点，求m 的取值范围．。
高中导数试题题型及答案一、选择题1. 函数 \( y = 3x^2 - 2x + 1 \) 在 \( x = 1 \) 处的导数是：A. 6B. 4C. 5D. 72. 已知 \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \)，其中 \( a = 1 \)，\( b = -1 \)，\( c = 1 \)，求 \( f'(x) \)：A. \( 3x^2 + 2x - 1 \)B. \( 3x^2 + 2x + 1 \)C. \( 3x^2 + 2x \)D. \( 3x^2 + 1 \)二、填空题3. 函数 \( y = x^3 \) 的导数是 ______ 。
答案：\( 3x^2 \)4. 如果 \( f(x) = \sin(x) \)，那么 \( f'(x) \) 是 ______ 。
答案：\( \cos(x) \)三、计算题5. 求函数 \( y = x^4 - 5x^3 + 6x^2 \) 的导数。
答案：\( y' = 4x^3 - 15x^2 + 12x \)6. 已知 \( f(x) = \ln(x) + 2x^2 - 3x \)，求 \( f'(x) \)。
答案：\( f'(x) = \frac{1}{x} + 4x - 3 \)四、应用题7. 某物体的位移函数是 \( s(t) = 2t^3 - 3t^2 + 4t \)，求物体在\( t = 2 \) 秒时的瞬时速度。
答案：首先求导数 \( s'(t) = 6t^2 - 6t + 4 \)，然后将 \( t= 2 \) 代入，得到 \( s'(2) = 6 \times 2^2 - 6 \times 2 + 4 =24 - 12 + 4 = 16 \) 米/秒。
8. 某工厂的产量函数是 \( P(x) = 100x - x^2 \)，求工厂在 \( x= 10 \) 时的边际产量。
导数专题的题型总结一、导数的概念与运算题型1. 求函数的导数- 题目：求函数y = x^3+2x - 1的导数。
- 解析：- 根据求导公式(x^n)^′=nx^n - 1，对于y = x^3+2x - 1。
- 对于y = x^3，其导数y^′=(x^3)^′ = 3x^2；对于y = 2x，其导数y^′=(2x)^′=2；对于y=-1，因为常数的导数为0，所以y^′ = 0。
- 综上，函数y = x^3+2x - 1的导数y^′=3x^2+2。
2. 复合函数求导- 题目：求函数y=(2x + 1)^5的导数。
- 解析：- 设u = 2x+1，则y = u^5。
- 根据复合函数求导公式y^′_x=y^′_u· u^′_x。
- 先对y = u^5求导，y^′_u = 5u^4；再对u = 2x + 1求导，u^′_x=2。
- 所以y^′ = 5u^4·2=10(2x + 1)^4。
二、导数的几何意义题型1. 求切线方程- 题目：求曲线y = x^2在点(1,1)处的切线方程。
- 解析：- 对y = x^2求导，根据求导公式(x^n)^′=nx^n - 1，可得y^′ = 2x。
- 把x = 1代入导数y^′中，得到切线的斜率k = 2×1=2。
- 由点斜式方程y - y_0=k(x - x_0)（其中(x_0,y_0)=(1,1)，k = 2），可得切线方程为y - 1=2(x - 1)，即y = 2x-1。
2. 已知切线方程求参数- 题目：已知曲线y = ax^2+3x - 1在点(1,a + 2)处的切线方程为y = 7x + b，求a和b的值。
- 解析：- 先对y = ax^2+3x - 1求导，y^′=2ax + 3。
- 把x = 1代入导数y^′中，得到切线的斜率k = 2a+3。
- 因为切线方程为y = 7x + b，所以切线斜率为7，即2a + 3=7，解得a = 2。
导数大题20种主要题型一、求函数的单调性1. 给出函数解析式，求导数，并根据导数正负确定函数的单调区间。
2. 给出函数解析式和区间，求函数在区间内的单调性。
二、求函数的极值3. 给出函数解析式，求导数，并根据导数正负确定函数的极值点，求出极值。
4. 给出函数解析式和区间，求函数在区间内的极值点，并求出极值。
三、求函数的最大值或最小值5. 给出函数解析式，求导数，并根据导数正负确定函数的单调区间，从而确定函数的最大值或最小值。
6. 给出函数解析式和区间，求函数在区间内的极值点，并求出极值，再与区间端点的函数值比较，得到函数的最大值或最小值。
四、确定函数图像的单调区间7. 给出函数解析式，求导数，并根据导数正负确定函数图像的单调区间。
8. 给出函数图像的大致形状，根据图像的变化趋势，确定函数解析式，并求导数，确定函数图像的单调区间。
五、判断函数的零点9. 给出函数解析式和区间，判断函数在区间内的零点个数。
10. 给出函数解析式和大致的图像，根据图像的变化趋势，判断函数在某一点的零点是否存在。
六、判断函数的最值点11. 给出函数解析式和区间，判断函数在区间内的最值点。
12. 给出函数图像的大致形状，根据图像的变化趋势，确定函数在某一点的最值点。
七、判断函数的极值点13. 给出函数解析式，求导数，并根据导数正负确定函数的极值点。
14. 给出函数图像的大致形状，根据图像的变化趋势，判断函数在某一点的极值点。
八、求解不等式九、求解方程的根十、利用导数证明不等式十一、利用导数求最值十二、利用导数求多变量函数的平衡点十三、利用导数研究函数的图像性质十四、利用导数研究函数的极值和最值十五、利用导数求解高阶导数十六、利用导数求实际问题的最优解十七、利用导数求解曲线的切线方程十八、利用导数研究函数的凹凸性十九、利用导数求解函数的零点个数二十、物理问题的应用。
导数题型归纳请同学们高度重视：首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。
最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令得到两个根；0)('=x f 第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；例1：设函数在区间D 上的导数为，在区间D 上的导数为，若在区间D 上，()y f x =()f x '()f x '()g x 恒成立，则称函数在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，()0g x <()y f x =4323()1262x mx x f x =--（1）若在区间上为“凸函数”，求m 的取值范围；()y f x =[]0,3（2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.2m ≤m ()f x (),a b b a -解:由函数 得4323()1262x mx x f x =--32()332x mx f x x '=--2()3g x x mx ∴=--（1） 在区间上为“凸函数”，()y f x = []0,3则 在区间[0,3]上恒成立 2()30g x x mx ∴=--<解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <(0)0302(3)09330g m g m <-<⎧⎧⇒⇒>⎨⎨<--<⎩⎩解法二：分离变量法：∵ 当时, 恒成立,0x =2()330g x x mx ∴=--=-<当时, 恒成立03x <≤2()30g x x mx =--<等价于的最大值（）恒成立，233x m x x x ->=-03x <≤而（）是增函数，则3()h x x x=-03x <≤max ()(3)2h x h ==2m ∴>(2)∵当时在区间上都为“凸函数” 2m ≤()f x (),a b 则等价于当时 恒成立2m ≤2()30g x x mx =--<解法三：变更主元法再等价于在恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题）2()30F m mx x =-+>2m ≤22(2)023011(2)0230F x x x F x x ⎧->--+>⎧⎪⇒⇒⇒-<<⎨⎨>-+>⎪⎩⎩2b a ∴-=例2：设函数),10(3231)(223R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-= （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a 的取值范围. ],2,1[++∈a a x ()f x a '≤（二次函数区间最值的例子）解：（Ⅰ）()()22()433f x x ax a x a x a '=-+-=---01a <<令得,0)(>'x f )(x f 令得的单调递减区间为（－，a ）和（3a ，+）,0)(<'x f )(x f ∞∞∴当x=a 时，极小值= 当x=3a 时，极大值=b. )(x f ;433b a +-)(x f （Ⅱ）由||≤a ，得：对任意的恒成立①)(x f '],2,1[++∈a a x 2243a x ax a a -≤-+≤则等价于这个二次函数 的对称轴()g x max min ()()g x a g x a≤⎧⎨≥-⎩22()43g x x ax a =-+2x a =01,a << （放缩法）12a a a a +>+=即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
导数经典题型归类（共12类）导数题型目录 1.导数的几何意义 2.导数四则运算构造新函数 3.利用导数研究函数单调性 4.利用导数研究函数极值和最值 5. 知零点个数求参数范围 含参数讨论零点个数 6.函数极值点偏移问题7.导函数零点不可求问题8.双变量的处理策略 9.不等式恒成立求参数范围 10.不等式证明策略 11.双量词的处理策略12.绝对值与导数结合问题导数专题一导数几何意义一.知识点睛导数的几何意义：函数y=f （x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。
二.方法点拨：1.求切线①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0 (2)求出导数f′(x)，把x0代入导数求得函数y＝f(x)在点x=x0处的导数f′(x0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y－y0＝f′(x0)(x－x0)．②点（x0，y0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x1，y1)；(2)根据切点写出切线方程y－y1＝f′(x1)(x－x1) (3)利用点（x0，y0）在切线上求出（x1，y1）；(4)把（x1，y1）代入切线方程求得切线。
2. 求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f′(x0) ②切点在曲线上③切点在切线上三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式四．跟踪练习 1. （2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)=f（-x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，-3）处的切线方程是 2. （2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln（x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x，则a= A. 0 3. （2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b= 4.（2014江西）若曲线y=e-x 上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是 5.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，-5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b= 6.（2012新课标全国）设点P在曲线y=ex上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则▕PQ▏的最小值为 B.（1-ln2）+ln2 D.(1+ln2) 7. 若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切，则a等于8. 抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A. B. C. D. 1 9. 已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 10. 已知函数f（x）=2x3-3x.（1）求f（x）在区间[-2，1]上的最大值；（2）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围. 11. 已知函数f（x）=4x-x4，x∈R. (1) 求f（x）的单调区间 (2) 设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）(3) 若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2-x1≤-+4. 导数专题二利用导数四则运算构造新函数一．知识点睛导数四则运算法则：[f(x)±g（x）]’=f′(x)±g′(x) [f(x)·g（x）]’=f′(x)·g(x) +f(x)·g′(x) [ ]′= 二．方法点拨在解抽象不等式或比较大小时原函数的单调性对解题没有任何帮助，此时我们就要构造新函数，研究新函数的单调性来解抽象不等式或比较大小。
《数学》必会基础题型——《导数》【知识点】1.导数公式：'0C = '1()n n x nx -= '(sin )cos x x = '(cos )sin x x =-'()x x e e = '()ln x x a a a = '1(ln )x x = '1(log )ln a x x a = 2.运算法则：'''()u v u v +=+ '''()u v u v -=- '''()uv u v uv =+ '''2()u u v uv v v -= 3.复合函数的求导法则：（整体代换）例如：已知2()3sin (2)3f x x π=+，求'()f x 。
解：''()32sin(2)[sin(2)]33f x x x ππ=⋅+⋅+'6sin(2)cos(2)(2)333x x x πππ=+⋅++ 6sin(2)cos(2)212sin(2)cos(2)3333x x x x ππππ=+⋅+⋅=+⋅+26sin(4)3x π=+ 4.导数的物理意义：位移的导数是速度，速度的导数是加速度。
5.导数的几何意义：导数就是切线斜率。
6.用导数求单调区间、极值、最值、零点个数：对于给定区间[,]a b 内，若'()0f x >，则()f x 在[,]a b 内是增函数；若'()0f x <，则()f x 在[,]a b 内是减函数。
【题型一】求函数的导数 (1)ln x y x = (2)2sin(3)4y x π=- (3)2(1)x y e x =- (4)3235y x x =-- (5)231x x y x -=+ (6)2211()y x x x x =++ 【题型二】导数的物理意义的应用1.一杯90C 红茶置于25C 的房间里，它的温度会不断下降，设温度T 与时间t 的关系是函数()T f t =，则'()f t 符号为 。
