两角和与差的正弦

两角和和差的正弦公式正弦公式是三角函数中的基本公式之一，用于求解两角和和差的正弦值。

我们先来看一下两角和的正弦公式，然后再来推导两角差的正弦公式。

1.两角和的正弦公式：sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)其中A和B是任意两个角。

推导：根据向量的加法：设向量A的模为a，向量B的模为b，A与y轴的夹角为α，B与y轴的夹角为β，A与B的夹角为θ。

则向量A可以表示为：A = a(sinα, cosα)向量B可以表示为：B = b(sinβ, cosβ)向量A+B可以表示为：A+B = a(sinα, cosα) + b(sinβ, cosβ)= (asinα + bsinβ, acosα + bcosβ)设向量A+B与y轴的夹角为γ，则：tanγ = (asinα + bsinβ) / (acosα + bcosβ)根据三角函数的定义：sinγ = (asinα + bsinβ) / √[(asinα + bsinβ)² + (acosα + bcosβ)²]cosγ = (acosα + bcosβ) / √[(asinα +bsinβ)² + (acosα + bcosβ)²]根据正弦函数的定义：sin(A + B) = sinγ所以：sin(A + B) = (asinα + bsinβ) / √[(asinα + bsinβ)² + (acosα + bcosβ)²]= [(sinα + (b/a)sinβ) / √(1 + (b/a)cos(β - α))²]= (sinαcos(β - α) + sinβcos(β - α)) / √(1 +(b/a)cos(β - α))²= sinαcos(β - α) + sinβcos(β - α) / √(1 +2(b/a)cos(β - α) + (b/a)²cos²(β - α))= sinαcos(β - α) + sinβcos(β - α) / √(1 - sin²(β - α) + (b/a)²(cos(β - α))²)= sinαcos(β - α) + sinβcos(β - α) / √(cos²(β - α) - sin²(β - α) + (b/a)²(cos(β - α))²)由于sin²θ + cos²θ = 1，所以：sin(A + B) = sinαcos(β - α) + sinβcos(β - α) /√(cos²(β - α) - sin²(β - α) + (b/a)²(cos(β - α))²) = sinαcos(β - α) + sinβcos(β - α) / √cos²(β - α)(1 + (b/a)²cos²(β - α))= sinαcos(β - α) + sinβcos(β - α) / cos(β - α)√(1 + (b/a)²cos²(β - α))= sinα + (sinα/b)sinβ / √(1 + (b/a)²cos²(β - α))= sinα + (sinα/b)sinβ / √(1 + (b/a)²(1 - sin²(θ)))= sinα + (sinα/b)sinβ / √(1 + (b/a)² - (b/a)²sin²(θ))= sinα + (sinα/b)sinβ / √(1 + sin²(α)/cos²(α) -(b/a)²sin²(θ))= sinα + (sinα/b)sinβ / √(cos²(α)/cos²(α) +sin²(α)/cos²(α) - (b/a)²sin²(θ))= sinα + (sinα/b)sinβ / √((cos²(α) + sin²(α))/cos²(α) - (b/a)²sin²(θ))= sinα + (sinα/b)sinβ / √(1/cos²(α) - (b/a)²sin²(θ))由于1/cos²θ = sec²θ，所以：sin(A + B) = sinα + (sinα/b)sinβ / √(sec²(α) -(b/a)²sin²(θ))= sinα + (sinα/b)sinβ / √(1 + tan²(α) - (b/a)²sin²(θ)) = sinα + (sinα/b)sinβ / √(1 + (b/a)²sin²(θ)/cos²(α))= sinα + (sinα/b)sinβ / √(1 + (b/a)²tan²(θ))= sinα + (sinα/b)sinβ / √(1 + sin²(β)tan²(α))根据正弦函数的定义：sin(A + B) = sinα + (sinα/b)sinβ / √(1 +sin²(β)tan²(α))= sinα + sinβ(1/b) / √(1 + sin²(β)tan²(α))所以：sin(A + B) = sinα + sinβ(1/b) / √(1 + sin²(β)tan²(α))这就是两角和的正弦公式。

两角和与差的正弦公式在三角函数中，两角和与差的正弦公式是一组用于计算两个角度的和或差的正弦值的公式。

这两个公式是基于三角函数的相加和相减规则衍生出来的。

在本文中，我们将详细介绍两角和与差的正弦公式，并提供一些实际情景下使用这些公式的示例。

首先，我们来看两角和的正弦公式。

假设有两个角A和B，则它们的正弦和公式可以表示为：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB这个公式可以通过以下的推导来证明。

根据三角函数的和差公式，我们有：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB同样地，我们可以推导出两角差的正弦公式。

假设有两个角A和B，则它们的正弦差公式可以表示为：sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB这个公式可以通过以下的推导来证明。

根据三角函数的和差公式，我们有：sin(A - B) = sinAcos(-B) + cosAsin(-B)由于cos(-B) = cosB和sin(-B) = -sinB，我们可以将上式简化为：sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB现在，让我们通过一些实际情景的示例来演示这些公式的用途。

示例1：角度相加假设你正在走进一个圆形迷宫，迷宫的第一步是向前走30度，然后向右转45度。

你想知道这两个角度相加后，你面对的方向。

可以使用两角和的正弦公式来计算这个方向的正弦值，如下所示：sin(30 + 45) = sin30cos45 + cos30sin45根据正弦函数的数值，我们可以计算出：sin(30 + 45) = 0.5 * 0.707 + 0.866 * 0.707因此，我们可以得出：sin(30 + 45) = 0.354 + 0.612 = 0.966这意味着，你面对的方向的正弦值为0.966示例2：角度相减假设你正在拍摄一个汽车广告，希望通过两个镜头的角度来展示汽车的速度感。

两角和与差的正弦余弦正切公式两角和的公式可以表示为：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinBcos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinBtan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA * tanB)两角差的公式可以表示为：sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinBcos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinBtan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA * tanB)这些公式可以通过三角函数的定义及相关几何知识进行推导。

我们以sin(A + B)的公式为例进行推导。

设点P(x, y)在单位圆上，与x轴正半轴的夹角为A + B。

则点P的坐标为(x, y) = (cos(A + B), sin(A + B))。

根据三角函数的定义可知：x = cos(A + B)y = sin(A + B)在单位圆上再取点Q(x', y')，与x轴正半轴的夹角为A，点Q的坐标为(x', y') = (cosA, sinA)。

同理再取点R(x'', y'')，与x轴正半轴的夹角为B，点R的坐标为(x'', y'') = (cosB, sinB)。

由于圆上任意两点间的距离为1，因此PQ与PR的长度均为1，可以分别表示为：PQ = sqrt((x - x')^2 + (y - y')^2)PR = sqrt((x - x'')^2 + (y - y'')^2)同时利用勾股定理可知：PQ^2 = (x - x')^2 + (y - y')^2 = (cos(A + B) - cosA)^2 + (sin(A + B) - sinA)^2PR^2 = (x - x'')^2 + (y - y'')^2 = (cos(A + B) - cosB)^2 + (sin(A + B) - sinB)^2将上述两个式子相加得：PQ^2 + PR^2 = (cos(A + B) - cosA)^2 + (sin(A + B) - sinA)^2 + (cos(A + B) - cosB)^2 + (sin(A + B) - sinB)^2展开计算可得：PQ^2 + PR^2 = 2 + 2 * (cos(A + B) * cosA + sin(A + B) * sinA - cos(A + B) * cosB - sin(A + B) * sinB)利用三角函数的和角公式可进一步化简：PQ^2 + PR^2 = 2 + 2 * (cosA * cos(A + B) + sinA * sin(A + B) - cosB * cos(A + B) - sinB * sin(A + B))= 2 + 2 * (cosA * cos(A + B) - sinA * sin(A + B) + cosB * cos(A + B) - sinB * sin(A + B))利用余弦函数的差角公式可进一步化简：PQ^2 + PR^2 = 2 + 2 * (cos(A + B - A) + cos(A + B + A) - cos(B - A) - cos(B + A))= 2 + 2 * (cosA + cos(B + A) - cos(B - A) - cosA)= 2 + 2 * (cosA + cosB * cosA - sinB * sinA - cosB * cosA + sinB * sinA)= 2 + 2 * cosA因此，PQ^2 + PR^2 = 2 + 2 * cosA。

两角和与差的正弦公式
首先，让我们来看两角和的正弦公式。

假设有两个角A和B，它们的正弦分别为sinA和sinB。

那么，根据两角和的正弦公式，我们有：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB
这个公式表达了两个角的正弦之和与它们的正弦和余弦的乘积之间的关系。

根据这个公式，我们可以通过已知一个角的正弦、余弦和另一个角的正弦来求解两个角的和的正弦。

接下来，我们来看两角差的正弦公式。

同样假设有两个角A和B，它们的正弦分别为sinA和sinB。

那么，根据两角差的正弦公式，我们有：sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinB
与两角和的公式相比，两角差的公式只是将正弦的符号变为减号，其余部分完全一致。

根据这个公式，我们可以通过已知一个角的正弦、余弦和另一个角的正弦来求解两个角的差的正弦。

需要注意的是，两角和与差的正弦公式是基于三角函数的基本定义和三角恒等式推导出来的。

在使用这些公式时，我们需要了解它们的证明过程和数学原理，以便能够正确地应用它们。

此外，两角和与差的正弦公式还可以进一步推广到其他三角函数，如余弦和正切等。

它们的形式类似，只是将公式中的正弦替换为对应的三角函数即可。

总结起来，两角和与差的正弦公式在解决三角方程和简化三角函数问题时起到了重要的作用。

通过合理运用这些公式，我们可以将复杂的问题
转化为简单的计算，并得到精确的结果。

这不仅在数学学习中非常有帮助，同时也在实际应用中具有重要价值。

两角和和差的正弦公式在三角函数的学习中，我们经常会遇到求两角的和或差的正弦值的问题。

为了解决这类问题，我们需要掌握两角和和差的正弦公式。

设A和B为两个角，则有：sin(A ± B) = sinA * cosB ± cosA * sinB其中，"+"号适用于求两角的正弦和，"-"号适用于求两角的正弦差。

与两角和的公式类似，设A和B为两个角，则有：sin(A ± B) = sinA * cosB ∓ cosA * sinB其中，"+"号适用于求两角的正弦和，"-"号适用于求两角的正弦差。

下面我们来证明这两个公式。

1.两角和的正弦公式的证明：我们假设一个单位圆O，以O为中心，OA为半径作出角A，以OB为半径作出角B。

设这两条半径与其终边的交点分别为C和D。

根据三角函数的定义，我们可以得到：sinA = OC / OA cosA = AC / OAsinB = OD / OB cosB = BD / OB现在我们要求两角和的正弦值，即sin(A + B)，根据正弦的定义可得：sin(A + B) = OD / OA同时，根据平面几何知识，我们可以知道：OD = OC * cosB + OD * sinBOC=OCOA=OA代入前面的三角函数定义中，可以得到：OD / OA = (OC * cosB + OD * sinB) / OA进一步化简，有：sin(A + B) = cosB * sinA + sinB * cosA由此证得，两角和的正弦公式成立。

2.两角差的正弦公式的证明：同样假设单位圆O，以O为中心，OA为半径作出角A，以OB为半径作出角B。

根据三角函数的定义，我们可以得到：sinA = OC / OA cosA = AC / OAsinB = OD / OB cosB = BD / OB现在我们要求两角差的正弦值，即sin(A - B)，根据正弦的定义可得：sin(A - B) = OD / OA同时，根据平面几何知识，我们可以知道：OD = OC * cosB - OD * sinBOC=OCOA=OA代入前面的三角函数定义中，可以得到：OD / OA = (OC * cosB - OD * sinB) / OA进一步化简，有：sin(A - B) = cosB * sinA - sinB * cosA由此证得，两角差的正弦公式成立。

归纳与技巧：两角和与差的正弦、余弦和正切公式基础知识归纳1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．常用的公式变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4.基础题必做1． 若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选Dsin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6. 2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( )A ．－22B.22C.32D ．1解析：选B 原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝22. 3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )A ．－53 B ．－19C.19D.53解析：选B cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－19.4．(教材习题改编)若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________ 解析：由已知条件sin α＝－1－cos 2α＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝－7210. 答案：－72105．若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝25，则tan α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝25， 即5tan α＋5＝2－2tan α. 则7tan α＝－3，故tan α＝－37.答案：－37解题方法归纳1.两角和与差的三角函数公式的理解：(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．三角函数公式的应用 典题导入[例1] 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． [自主解答] (1)∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝2sin π4＝ 2. (2)∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65， ∴2sin α＝1013，2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝65. 即sin α＝513，cos β＝35.∴cos α＝1213，sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1213×35－513×45＝1665.解题方法归纳两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．以题试法1．(1)已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________.(2) 已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝( ) A ．－3 B ．－17C ．－43D ．－7 解析：(1)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45. ∴原式＝－75.(2)依题意得，sin α＝255，故tan α＝2，tan 2α＝2×21－4＝－43，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝1－431＋43＝－17. 答案：(1)－75 (2)B三角函数公式的逆用与变形应用典题导入[例2] 已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值． [自主解答] (1)∵f (x )＝2cos 2x2－3sin x ＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，∴周期T ＝2π，f (x )的值域为[－1,3]．(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴1＋2cos α＝13，即cos α＝－13. ∵α为第二象限角，∴sin α＝223. ∴cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α ＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.解题方法归纳运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．以题试法2．(1) 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋cos α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值为( ) A.45 B.35 C.32D.35(2)若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．解析：(1)由条件得32sin α＋32cos α＝435， 即12sin α＋32cos α＝45. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45. (2)－1＝tan 3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β. ∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2，即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 答案：(1)A (2)2角 的 变 换 典题导入[例3] (1) 若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.(2) 设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． [自主解答] (1)由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，则tan α＝2.故tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α] ＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43.(2)因为α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425， cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝725， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝2425×22－725×22＝17250. [答案] (1)43 (2)17250解题方法归纳1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； 2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．3．常见的配角技巧： α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)； α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]； π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α；α＝π4－⎝⎛⎭⎫π4－α.以题试法3．设tan ()α＋β＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.1318 B.1322 C.322D.16解析：选C tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322.1． 设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：选A 由题意可知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2， tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3.2． 已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的值是( ) A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1解析：选C cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－1. 3． 已知α满足sin α＝12，那么sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( ) A.14 B ．－14C.12D ．－12解析：选A 依题意得，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝12cos 2α＝12(1－2sin 2α)＝14.4．已知函数f (x )＝x 3＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线的斜率为4，则函数g (x )＝3sin 2x ＋b cos 2x 的最大值和最小正周期为( )A ．1，πB ．2，π C.2，2πD.3，2π解析：选B 由题意得f ′(x )＝3x 2＋b ， f ′(1)＝3＋b ＝4，b ＝1. 所以g (x )＝3sin 2x ＋b cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 故函数的最大值为2，最小正周期为π. 5． 设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin ()α＋β＝35，则cos β＝( ) A.2525B.255C.2525或255D.55或525 解析：选A 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α、β均为锐角，因此0<α<α＋β<π， cos α>cos(α＋β)，注意到45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525.6．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53B ．－59C.59D.53解析：选A 将sin α＋cos α＝33两边平方，可得1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23，所以(－sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝53.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以－sin α＋cos α＝－153，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)·(cos α＋sin α)＝－53. 7． 满足sin π5sin x ＋cos 4π5cos x ＝12的锐角x ＝________.解析：由已知可得 cos 4π5cos x ＋sin 4π5sin x ＝12，即cos ⎝⎛⎭⎫4π5－x ＝12，又x 是锐角，所以4π5－x ＝π3，即x ＝7π15.答案：7π158．化简2tan (45°－α)1－tan 2(45°－α)·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝________. 解析：原式＝tan(90°－2α)·12sin 2αcos 2α＝sin (90°－2α)cos (90°－2α)·12sin 2αcos 2α ＝cos 2αsin 2α·12sin 2αcos 2α＝12. 答案：129． 已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________.解析：依题设及三角函数的定义得： cos β＝－13，sin(α＋β)＝45.又∵0<β<π，∴π2<β<π，π2<α＋β<π，sin β＝223，cos(α＋β)＝－35.∴cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－35×⎝⎛⎭⎫－13＋45×223 ＝3＋8215.答案：3＋821510．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝12，求tan 2α和sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值． 解：∵tan α＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－14＝43，且sin αcos α＝12，即cos α＝2sin α， 又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴5sin 2α＝1，而α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝55，cos α＝255. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×255＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝45－15＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310. 11．已知：0<α<π2<β<π，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45. (1)求sin 2β的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值．解：(1)法一：∵cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos π4cos β＋sin β＝22cos β＋22sin β＝13， ∴cos β＋sin β＝23，∴1＋sin 2β＝29，∴sin 2β＝－79. 法二：sin 2β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2β＝2cos 2⎝⎛⎭⎫β－π4－1＝－79. (2)∵0<α<π2<β<π， ∴π4<β<－π4<34π，π2<α＋β<3π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫β－π4>0，cos (α＋β)<0. ∵cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13，sin (α＋β)＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝223，cos (α＋β)＝－35. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝cos (α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝－35×13＋45×223＝82－315. 12． 函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π－x 2，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (α)＝2105，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值． 解：(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π－x 2＝sin x 2＋cos x 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4， 故f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π. (2)由f (α)＝2105，得sin α2＋cos α2＝2105， 则⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＝⎝⎛⎭⎫21052， 即1＋sin α＝85，解得sin α＝35，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos α＝1－sin 2α＝ 1－925＝45， 故tan α＝sin αcos α＝34， 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝34＋11－34＝7.1．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg ⎝⎛⎭⎫1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为( ) A ．1B.110 C ．1或110 D ．1或10解析：选C tan(α＋β)＝1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝lg (10a )＋lg ⎝⎛⎭⎫1a 1－lg (10a )·lg ⎝⎛⎭⎫1a ＝1⇒lg 2a ＋lg a ＝0， 所以lg a ＝0或lg a ＝－1，即a ＝1或110. 2．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：123．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. (1)求sin 2α和tan 2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95， 即1＋sin 2α＝95，∴sin 2α＝45.又2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos 2α＝1－sin 22α＝35， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43. (2)∵β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，β－π4∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45， 于是sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫β－π4cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝2425. 又sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝－cos 2β， ∴cos 2β＝－2425， 又∵2β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin 2β＝725， 又∵cos 2α＝1＋cos 2α2＝45⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴cos α＝255，sin α＝55. ∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝255 ×⎝⎛⎭⎫－2425－55×725＝－11525.1． 已知函数f (x )＝3sin 2x ＋sin x cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π.(1)求f (x )的零点；(2)求f (x )的最大值和最小值．解：(1)令f (x )＝0，得sin x ·(3sin x ＋cos x )＝0， 所以sin x ＝0或tan x ＝－33. 由sin x ＝0，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，得x ＝π；由tan x ＝－33，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，得x ＝5π6. 综上，函数f (x )的零点为5π6，π.(2)f (x )＝32(1－cos 2x )＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3. 所以当2x －π3＝2π3，即x ＝π2时，f (x )的最大值为3； 当2x －π3＝3π2，即x ＝11π12时，f (x )的最小值为－1＋32. 2．已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值； 解：∵0<β<π2<α<π， ∴－π4<α2－β<π2，π4<α－β2<π. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β ＝ 1－⎝⎛⎭⎫232＝53，sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2 ＝ 1－⎝⎛⎭⎫－192＝459. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527. ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.。