第十一章 连续分段独立一体化积分法

高等数学教材部分积分法在高等数学教材中，积分法是求解定积分的重要方法之一。

其中，部分积分法是一种常用而且灵活的积分法。

本文将介绍部分积分法的基本原理、步骤以及一些典型的应用。

一、部分积分法的基本原理部分积分法是基于积分运算中的乘法法则。

根据积分的定义，定积分可以理解为曲线与坐标轴之间所夹的面积。

而部分积分法能够将一个较复杂的积分转化成一个相对简单的积分，从而更容易求解。

二、部分积分法的步骤部分积分法的求解步骤如下：1. 根据乘法法则，将要求解的积分中的函数分为两部分：一部分为求导容易，另一部分为求积容易。

2. 对分部后的两部分进行求导和求积。

3. 利用部分积分公式进行积分化简。

4. 若未达到最终的简化形式，可考虑再次应用部分积分法，直至达到求解目标为止。

三、部分积分法的应用举例举例一：计算积分∫ xe^x dx。

解：设 u = x，dv = e^x dx，则 du = dx，v = ∫e^x dx = e^x。

根据部分积分法公式∫u dv = uv - ∫ v du，代入相应的值：∫xe^x dx = x * e^x - ∫e^x dx = x * e^x - e^x + C。

所以，积分∫ xe^x dx = x * e^x - e^x + C。

举例二：计算积分∫ ln x dx。

解：设 u = ln x，dv = dx，则 du = 1/x dx，v = x。

根据部分积分法公式∫u dv = uv - ∫v du，代入相应的值：∫ln x dx = x * ln x - ∫x * (1/x) dx = x * ln x - ∫ dx = x * ln x - x + C。

所以，积分∫ ln x dx = x * ln x - x + C。

综上所述，部分积分法是高等数学教材中重要的积分方法之一。

通过将复杂的积分转化为相对简单的积分，部分积分法能够简化求解过程。

在实际应用中，我们可以根据具体的问题选择合适的函数进行分部积分，从而提高解题效率。

第十一章基本知识点1. 对弧长的曲线积分的定义、性质（P188起）2. 对弧长的曲线积分的计算：(1) 对光滑曲线弧,)(,)(,)(:βαψφ≤≤==t t y t x L⎰L s y x f d ),(⎰=βαψφ)](),([t t f t t t d )()(22ψφ'+'(2) • 对光滑曲线弧,)()(:b x a x y L ≤≤=φ⎰L s y x f d ),(⎰=ba x x f ))(,(φx x d )('12φ+(3) • 对光滑曲线弧),()(:βθαθ≤≤=r r L ⎰Ls y x f d ),( ⎰=βαθθθθ)sin )(,cos )((r r f θθθd )()(22r r '+3. 对坐标的曲线积分的定义、性质（P194起）4. 对坐标的曲线积分的计算（P197起）注意：L － 表示 L 的反向弧：⎰-+L y y x Q x y x P d ),(d ),(⎰+-=Ly y x Q x y x P d ),(d ),( 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!5. 两类曲线积分的联系：⎰+L y Q xP d d {}s Q P L d cos cos βα+=⎰ z R y Q x P d d d ++⎰Γ{}s R Q P d cos cos cos γβα++=⎰Γ6. 格林公式：⎰+L y Q x P d d y x yP x Q D d d )(⎰⎰∂∂-∂∂= 7. 四个等价条件：设 P , Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有⎰+L y Q x P d d 在 D 内与路径无关. 等价于：对 D 内任意闭曲线 L 有0d d =+⎰L y Q x P等价于：在 D 内有yP x Q ∂∂=∂∂ 等价于：在 D 内有y Q x P u d d d +=8. 对面积的曲面积分的计算法⎰⎰∑S z y x f d ),,(y x y x z y x z y x z y x f y x D y x d d ),(),(1)),(,,(22++=⎰⎰ 如果曲面方程为：z y D z y z y x x ∈=),(),,(z x D z x z x y y ∈=),(),,(或 公式类似9. 对坐标的曲面积分的计算法 ⎰⎰∑yx z y x R d d ),,(y x y x z y x R yx D d )d ),(,,(⎰⎰=（取上侧） 10. 两类曲面积分及其联系 ⎰⎰∑++y x R x z Q zy P d d d d d d S R Q P d )cos cos cos (⎰⎰∑++=γβα11. 高斯公式⎰⎰⎰Ω∂∂+∂∂+∂∂z y x z R y Q x P d d d )(⎰⎰∑++=y x R x z Q z y P d d d d d d （∑ 取外侧）12. 斯托克斯公式（P240起）。

分部积分法定积分
分部积分法是定积分中比较常见的解决方法之一，也叫做间断积分法，是把一个复杂的定积分分解成若干个相对简单的和关系容易求得的定积分，最后把每一部分的积分值相加，得到总的积分值的方法。

下面以定积分[abx^2e^x/(1-e^2x)]dx为例，来讲解下分部积分法是怎么实现的。

首先，把复杂的定积分分解成几个容易求解的简单积分，比如
([a/2]*x^3+[b/3]*x^4+[d/4]*x^5+[e]*x^2) dx，最后通过对这几个简单积分求解，求出每
一部分的积分值，然后将每一部分的积分值相加即可得到最终的结果。

其次，经过分部积分法处理后，你可以看到，原来复杂的积分变得更加简单，所以可以看
出分部积分法可以帮助我们把复杂的定积分分解成相对简单和容易求解的定积分，从而大
大简化解题的步骤，获得更准确、更快捷的定积分结果。

最后，分部积分法为我们提供了一种解决复杂定积分问题的新思路，从减少计算步骤入手，把复杂的定积分分解为几个比较简单的定积分，没有太多时间和精力来完成一个复杂的定积分，都可以利用分部积分法来辅助传统的积分方法，来实现快速有效的积分解答。

2018考研数学中求分段函数的不定积分问题来源：文都教育2017考研初试已经落下帷幕，17的考生此时在为复试做准备，18的考生们，是时候开启自己的复习道路啦！文都考研数学老师认为，17年真题所考查的知识点，值得2018考研考生重点学习和记忆。

今天文都考研数学老师针对2018考研数学中求分段函数的不定积分问题，为大家进行详细的解答，帮助2018年的考研学子把握复习备考的命题方向！一、解题思路分析求分段函数的原函数（不定积分）先考虑函数在分段点处的连续性，如果连续，可按下述步骤求之：（1）分别求出函数的各分段函数在相应区间内的原函数（不定积分）。

（2）因函数在分段点处连续，故在包含该分段点的区间内原函数存在。

这时应根据原函数的连续性（或可导性）确定各区间上任意常数的关系，将各分段区间的原函数在分段点处连续地连接起来，将各段上的任意常数i C 统一成一个任意常数。

先用分段积分法求出分段函数()x f 的一个原函数()()dt t f x F x a ⎰=，然后写出()x f 的原函数()()C x F dx x f +=⎰，其中C 为任意常数。

如果分段函数在分段点不连续，且分段点为函数的第一类间断点，则在包含 该点的区间内不存在原函数。

这时函数的不定积分只能在不包含该点的各个分段区间内得到。

二、例题解析例1 已知()⎪⎩⎪⎨⎧>≤<+<=,1,2,10,1,0,132x x x x x x f 则求()dx x f ⎰.解析：由题意得：因()x f 在点0=x 处无定义，而()00+f 及()00-f 均存在，故0=x 为()x f 的第一类间断点，所以在()+∞∞-,内()x f 不存在原函数，而在点1=x 处()x f 连续，故()x f 的不定积分只能分别在区间()0,∞-()+∞,0内得到。

综上所述，()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<++<+=⎰,1,,10,3,0,34231x C x x C x x x C x dx x f因()x f 在点1=x 处连续，故()x f 的原函数在点1=x 处也连续。

积分的分段函数法积分是高等数学中的一个重要概念，它经常被人们用来计算一段曲线下的面积或者求出某个函数的不定积分。

积分的分段函数法是一种处理复杂函数积分的方法，它可以将一个函数拆成若干个可积分的部分，再通过将这些部分拼接起来得到原函数的积分值。

1. 积分的定义在开始讨论积分的分段函数法之前，我们需要先了解积分的定义。

积分可以看作是函数在某个区间上的面积或者体积，表示为$\int_a^bf(x)dx$，其中$f(x)$是被积函数，$a$和$b$是积分区间的上下界。

在一维情况下，积分区间是一个闭合的区间，我们可以利用定积分的定义处理这个问题。

在二维或者三维情况下，我们需要使用重积分或者三重积分来计算曲面或者空间体积。

2. 分段函数的定义分段函数是指一个函数在不同的区间上有不同的表达式。

比如，我们可以定义一个函数$f(x)=\begin{cases}x^2,x<0\\2x,x\geq0\end{cases}$，它在$x<0$的时候是$x^2$，而在$x\geq 0$的时候是$2x$。

分段函数可以看作是一组函数拼在一起的结果，每个函数都有一个区间在其上有定义。

3. 积分的分段函数法积分的分段函数法是一种将一个函数拆成若干个可积分的部分，然后通过将这些部分拼接起来得到原函数的积分值的方法。

这种方法在计算某些复杂函数积分的时候非常有用。

比如，在计算函数$f(x)=\begin{cases}x^2,x<0\\2x,x\geq0\end{cases}$在$x\in[-1,1]$上的积分时，我们可以将其拆成两个部分，分别计算负数和正数部分的积分。

由于$f(x)$在$x<0$的时候是$x^2$，因此负数部分的积分为$\int_{-1}^0 x^2dx=\frac{x^3}{3}\bigg|_{-1}^0=\frac{1}{3}$；而正数部分的积分为$\int_0^1 2x dx=x^2\bigg|_0^1=1$。

分部积分法求积分步骤分部积分法是求解一些复杂的积分的常用方法之一。

它利用积分运算的乘法公式，将被积函数拆解成两个因子相乘的形式，然后通过反复应用积分运算的乘法公式，将原函数逐步简化，最终得到所求积分。

下面将详细介绍分部积分法求解积分的步骤。

一、确定被积函数首先需要明确要求解的积分是哪个函数。

在确定被积函数时，需要考虑其是否具有可拆解性。

通常情况下，如果要求解的函数可以拆解成两个因子相乘的形式，则可以采用分部积分法来求解。

二、选择合适的代换在确定被积函数后，需要选择合适的代换来进行计算。

常见的代换包括：1. 三角代换：当被积函数中含有三角函数时，可以采用三角代换来化简计算。

2. 指数代换：当被积函数中含有指数或幂函数时，可以采用指数代换来化简计算。

3. 对数代换：当被积函数中含有对数函数时，可以采用对数代换来化简计算。

4. 反三角代换：当被积函数中含有反三角函数时，可以采用反三角代换来化简计算。

根据被积函数的特点选择合适的代换，可以有效地简化计算过程。

三、应用分部积分公式在选择好代换后，需要应用分部积分公式来进行计算。

分部积分公式如下：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx其中，u(x)和v(x)是被积函数中的两个因子，u'(x)和v'(x)是它们的导数。

通过上述公式，可以将原函数拆解成两个较为简单的函数相乘的形式。

然后再将其中一个因子作为新的被积函数，重复应用分部积分公式，最终得到所求积分。

四、注意边界条件在进行计算时，还需要注意边界条件。

通常情况下，在进行第一次分部积分后就可以得到一个新的被积函数。

此时需要确定该新被积函数在区间内是否存在奇点或不连续点，并对其进行分类讨论。

如果存在奇点或不连续点，则需要将整个区间划分成多个子区间，在每个子区间内采用相同的方法来求解所需积分。

五、总结通过上述步骤，可以应用分部积分法来求解一些比较复杂的积分。

断面法计算方法!断面法是一种常用的数学计算方法，广泛应用于物理、工程和其它科学领域。

本文将详细介绍断面法的计算方法，包括其基本概念、计算步骤以及应用示例。

一、基本概念1.断面：在物理空间中，将一个物体或物理系统按照截面分割，每个截面就是一个断面。

断面可以是一个平面、一个线或者一个点。

2.被积函数：断面法的核心是对物体或物理系统的一些属性进行求和或求积。

这个被求和或被积的函数称为被积函数。

被积函数的具体形式根据具体问题的需求而定，可以是线性函数、非线性函数或其它形式的函数。

3.离散和连续断面法：根据断面的特性，断面法可以分为离散和连续断面法。

离散断面法适用于离散的物体或物理系统，通过对每个断面的属性进行求和或求积得到整个物体或系统的属性。

连续断面法适用于连续分布的物体或物理系统，通过积分的方式对每个断面的属性进行求和得到整个物体或系统的属性。

二、计算步骤断面法的计算步骤如下：1.确定被积对象：首先确定需要对哪个物体或物理系统进行断面法计算。

2.确定断面：根据被积对象的特性和计算需求，在物理空间中选择适当的断面进行分割。

断面的选择可以根据物体的几何形状、物理属性以及计算方便性等因素来确定。

3.确定被积函数：根据计算需求，确定需要对断面属性进行求和或求积的被积函数。

被积函数的具体形式由具体问题的需求决定，可以是直接的物理量，也可以是通过一些关系间接得到的物理量。

4.确定积分区间：如果采用连续断面法，需要确定积分区间。

积分区间的选择与断面的位置和分布密切相关。

5.计算被积函数：根据所选断面和被积函数，计算每个断面上的被积函数值。

6.求和或求积：对所有断面的被积函数值进行求和或求积，并进行适当的求和或求积运算，得到物体或物理系统的属性。

三、应用示例以下是一些应用断面法进行计算的示例：1.杆的质心计算：假设有一根均质杆，其长度为L，质量为M。

我们可以将杆按照截面分割，每个截面的质量可以通过密度乘以截面面积得到。

积分关系法
1、积分关系法：直线法和积分关系法都具有结构简单、机器存储量小和运算时间省的优点。

缺点是，当近似常微分方程组阶数很高或出现奇点时，常会出现计算不稳定问题。

2、积分关系法是1951年A. A. 多罗德尼岑提出的，是直线法的另一个主要发展。

它被用于求解空气动力学问题。

该法是从守恒型偏微分方程出发，先按某一变量求积，获得一组积分关系式，再用适当的内插公式代替积分关系式中的被积函数，最后导出近似常微分方程组。

由于积分后的函数比被积函数更光滑，当被积函数有第一类间断点时，积分仍能给出连续的表达式。

因此，当流场中出现间断面时，积分关系法仍能保持物理量的守恒关系，而普通直线法则不能做到这一点。

此法曾被用来求解钝头旋转体高速飞行时的绕流问题并获得了成功。

为使积分关系法也能适用于边界层的计算，1960年多罗德尼岑还提出广义积分关系法。

该法用逐段连续的“权函数”去乘原始方程组中的每一个方程并进行积分。

对梯度变化较大的被积函数，可选择适当的权函数加以“平滑”。

这样，就能以低级近似来获得高精度的数值解。

连续分段独立一体化积分法近十多年来，随着国民经济及交通事业发展，国内外桥梁结构发展很快，跨江跨海工程日益增多，桥梁建设向“更长、更高、更轻”的趋势发展，跨度日益增大，体形越来越复杂，新材料的应用日益增多，结构体系越来越新颖，施工技术越来越先进。

桥梁结构的这种大发展，对桥梁结构理论的发展有很大促进。

目前，桥梁结构理论及分析方法发展趋势是：从简单结构向大型复杂结构、新型结构及新材料结构发展；从线性向非线性发展；从静力向动力发展；从确定性向不确定性发展；从简化分析向精细化分析发展；发展智能结构理论，发展结构性能设计理论，在桥梁结构分析与设计理论方面正在孕育着新的突破。

桥梁结构遇到的挑战首先是实现基于性能的结构设计，以提高工程结构使用性能及抗灾性能。

要实现基于性能的结构设计，必须精确掌握结构性能，必须精确分析结构性能。

为此，必须有考虑到结构非线性、结构不确定性、荷载不确定性及结构损伤等复杂因素的精细化分析方法，这是结构性能设计理论的客观要求。

目前对于结构性能及其可靠度尚无精细化分析方法，因此发展结构性能的精细化分析方法及结构性能的控制方法是创立结构性能设计理论的关键问题。

由此可知，结构非线性、结构不确定性、结构损伤力学是发展结构性能精细化分析方法的重要基础。

因此，致力于创立结构非线性、结构不确定性及结构损伤分析的新理论、新方法是当务之急，也是长远之计。

车、船、农机、建筑、机床、管道、飞机、导弹、卫星、航空母舰、高层建筑、大跨度桥梁、机器人的优化设计和控制计算，首先必须满足强度、刚度、稳定性和抗震要求，都需要计算结构的剪力、弯矩、转角和挠度，画出结构的剪力图、弯矩图、转角图和挠度图。

但目前的材料力学和结构力学计算方法都是采用手工计算，方法繁琐，计算速度慢，得不到完整的解析解。

如截面法需要建立平衡方程，能得到剪力和弯矩，可以画出剪力图和弯矩图，但不能得到转角和挠度，对于超静定结构采用截面法连剪力和弯矩也不能求得；直接积分法，奇异函数法能得到转角和挠度的解析表达式，但首先需要知道弯矩方程这是难点之一，确定积分常数是难点之二，计算繁琐，速度慢；采用能量法，如莫尔法仅仅能够得到指定截面的转角和挠度，事先也需要知道弯矩方程；力法[5]可以得到超静定结构的约束力，三弯矩方程可以得到连续梁的约束力，但首先需要选择静定基，求出约束力只是将超静定问题转变成静定问题而已；位移法求解超静定结构以单跨超静定梁为基础，需要查表，计算速度慢，得不到表达式。

连续梁振动调整的快速解析李彤;李银山;霍树浩;韦炳威【摘要】采用连续分段独立一体化积分法求解了连续梁自振角频率的解析表达式.首先采用弯曲-振动比拟法建立具有四阶导数的挠度微分方程,独立积分4次,得到挠度的通解.利用边界条件和连续性条件确定积分常数,得到挠度的解析表达式;然后根据最小能量原理得到了自振角频率的一次近似解析解;根据渐近法求解精确的振动微分方程得到更精确的挠度解析函数表达式,利用最小能量原理求得自振角频率的精确表达式.按照振动结构的同步失效准则和最优化准则对连续梁支座位置进行调整,得到了结构的固有角频率最优解的解析表达式.绘制了固有角频率随位置的变化曲线.工程实例表明,连续分段独立一体化积分法编程程式化,可以得到自振角频率最优的解析解.【期刊名称】《实验室研究与探索》【年(卷),期】2016(035)005【总页数】7页(P4-9,70)【关键词】振动调整;自振角频率;快速解析法;最小能量原理;渐近法【作者】李彤;李银山;霍树浩;韦炳威【作者单位】华东理工大学承压系统与安全教育部重点实验室,上海200237;河北工业大学机械工程学院,天津300130;太原科技大学机械工程学院,山西太原030024;河北工业大学机械工程学院,天津300130【正文语种】中文【中图分类】TU311.41·实验技术·随着科学技术的发展，结构振动的快速解析计算与计算机仿真研究越来越重要[1-9]。

自振角频率的调整是一个弹性杆件体系动力学的基本问题，它归结为用各种方法调整弹性体系的刚度或改变对应的位移。

在强迫振动时是调整动力和位移的问题，它的计算常与隔振器和减震器的设置，改变作用在结构上的动力传播简图，选择动力作用激振器的工作等有关。

振动调整的目的是从调平的条件用方程式的形式表达。

通常，总的未知数等于反映与限制目的所要联合求解的方程式数目。

但是，由于这些方程的系数部分是位移，所以在一般情况下，这些方程组是非线性的，常用的方法无法求得解析解。