双曲线离心率练习题

双曲线离心率专题训练一、单选题1．已知双曲线22221x y a b-=，(),0a b >的左右焦点记为1F ，2F ，直线l 过2F 且与该双曲线的一条渐近线平行，记l 与双曲线的交点为P ，若所得12PF F △的内切圆半径恰为3b，则此双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．53C D 2．已知1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形12F NF M 的周长C 与面积S 满足2aS C =则该双曲线的离心率的平方为（ ）A ．2+B ．8+C ．2+ D ．2+3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左右焦点为12,F F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于P ，Q 两点，且223PF F Q →→=，若线段1PF 的中垂线过点Q ，则双曲线的离心率为（ ）A．3B ．2C D 4．如图，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，12=4F F ，P 是双曲线右支上的一点，12PF PF ⊥，直线2F P 与y 轴交于点A ，1APF △的内切圆半径为1，则双曲线的离心率是（ ）AB C．D ．25．已知О为坐标原点，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，直线x c =与双曲线C 的渐近线交于A 、B 两点，其中M 为线段OB 的中点．O 、A 、F 、M 四点共圆，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D ．26．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别是1F ，2F ，在其渐近线上存在一点P ，满足122PF PF b -=，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）A．(B．)2C．D ．()2,37．设P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>在第一象限内的动点，O 为坐标原点，双曲线C 在P 点处的切线的斜率为m ，直线OP 的斜率为n ，则当1ln ln b a m n a b mn++++取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ） AB ．2 CD8．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作直线l ，且直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A ，直线l 与另一条渐近线交于点B .已知O 为坐标原点，若△OAB，则双曲线C 的离心率为（ ） AB1 C4 D2 9．已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，点A 是C 的左顶点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，O 为坐标原点，且PO 平分APM ∠，则C 的离心率为( ) A ．2BC ．3D10．已知双曲线22122:1x y C a b-=(0a >，0b >)的左､右焦点分别为1F ，2F ，若双曲线1C 与曲线2222:0C x y b +-=在第二象限的交点为M ，且1213MF MF =，则双曲线1C 的离心率为() AB ．3C D ．3211．如图所示A ，B ，C 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的三个点，点A ，B 关于原点对称，线段AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且BF FC =，则该双曲线的离心率为（）ABCD 12．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线y kx =交于A ，B 两点，点P 为C 上一动点，记直线PA ，PB 的斜率分别为PA k ，PB k ，C 的左､右焦点分别为1F ，2F .若14P PA B k k ⋅=，且C 的焦点到渐近线的距离为1，则（ ）A ．4a =B ．C的离心率为2C ．若12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为2D ．若12PF F △的面积为12PF F △为钝角三角形13．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，则21S S =（ ）A．B ．4C．D ．814．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F 、2F 、A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P 、Q 两点，且23PAQ π∠=，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD15．已知点12,F F 分别为双曲线()222210,0x y C a b a b -=>>：的左右焦点，过1F 的直线与双曲线右支交于点P ，过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为A，若1F A ,则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A．( B．(C．)D．)16．如图，O 是坐标原点，P 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>右支上的一点，F 是E 的右焦点，延长PO ，PF 分别交E 于Q ，R 两点，已知QF ⊥FR ，且||2||QF FR =，则E 的离心率为（ ）A B C D 17．已知双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的一条渐近线被圆22100x y y +-=截得的线段长不小于8，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．50,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭18．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交双曲线C 的左支于P ，Q 两点，若2222PF PF QF =⋅，且2PQF 的周长为12a ，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D ．19．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右顶点分别是A ，B ，点),0Q，点P 在过点Q 且垂直于x 轴的直线l 上，当ABP 的外接圆面积达到最小时，点P 恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）AB C D 20．已知F 是双曲线22221x y a b -=的左焦点，圆2222:O x y a b +=+与双曲线在第一象限的交点为P ，若PF 的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（ ）A B ．2C D21．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点A 是双曲线渐近线上一点，且1AF AO ⊥(其中O 为坐标原点)，1AF 交双曲线于点B ，且1AB BF =，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 22．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 在C 的右支上，1AF 与C 交于点B ，若220F A F B ⋅=，且22F A F B =，则C 的离心率为（ ）AB C D23．已知1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x yE a b a b-=>>的左、右焦点，直线y kx =与E 交于A ，B 两点，且1260F AF ∠=︒，四边形12F AF B 的周长C 与面积S 满足2C =，则E 的离心率为（ ）A BC D 24．设12,F F 同时为椭圆22122:1(0)x yC a b a b +=>>与双曲线()222112211:10,0x y C a b a b -=>>的左右焦点，设椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限内交于点M ，椭圆1C 与双曲线2C 的离心率分别为12,,e e O 为坐标原点，现有下述四个结论：△122F F MO =，则221211e e +=△122F F MO =，则2212112e e += △1224F F MF =，则12e e 的取值范围是23,32⎛⎫⎪⎝⎭△1224F F MF =，则12e e 的取值范围是2,23⎛⎫⎪⎝⎭其中所有正确结论的编号是（ ） A ．△△B ．△△C ．△△D ．△△25．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的短轴长为4，上顶点为B ，O 为坐标原点，点D 为OB 的中点，双曲线E ：22221x y m n -=(0m >，0n >)的左､右焦点分别与椭圆C 的左､右顶点1A ，2A 重合，点P 是双曲线E 与椭圆C 在第一象限的交点，且1A ，P ，D 三点共线，直线2PA 的斜率243PA k =-，则双曲线E 的离心率为（ ）AB ．32CD26．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作圆222:O x y a +=的切线，切点为T ，延长2F T 交双曲线E 的左支于点P ．若222PF TF >，则双曲线E 的离心率的取值范围是（ ） A．(B．)+∞C ．()2,+∞D．27．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，直线l 经过点F 且与双曲线相交于,A B 两点，记该双曲线的离心率为e ，直线l 的斜率为k ，若2AF FB =，则（ ） A ．2281e k -=B ．2281e k -=C ．2291e k -=D ．2291k e -=28．点1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过点2F 作直线12AB F F ⊥交双曲线C 于A ，B 两点，现将双曲线所在平面沿直线12F F 折成平面角为锐角α的二面角，如图，翻折后A ，B 两点的对应点分别为A '，B '，1A F B β''∠=，若1cos 251cos 16αβ-=-，则双曲线C 的离心率为（ ）ABC ．2D ．329．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，点P 是双曲线C 右支上异于顶点的点，点H在直线x a =上，且满足1212PF PF PH PF PF λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，R λ∈.若125430HP HF HF →++=，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．630．已知双曲线()22221,0x y a b a b-=>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且倾斜角为6π的直线l 与双曲线的左､右支分别交于点A ，B ，且22AFBF =，则该双曲线的离心率为（ ）A BC ．D ．二、填空题31．已知点F 为抛物线28x y =的焦点，()0,2M -，点N 为抛物线上一动点，当NF NM最小时，点N 恰好在以,M F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为___________.32．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >的左、右焦点，双曲线上有一点M ，满足1211||||()32MF MF λλ=≤≤，且1260F MF ∠=︒，则该双曲线离心率的取值范围是____33．已知椭圆和双曲线有相同的焦点1F 和2F ，设椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，P 为两曲线的一个公共点，且122PF PF PO-=（O 为坐标原点）．若1e ∈⎝⎦，则2e 的取值范围是______． 34．已知离心率为1e 的椭圆1C ：()2211221110x y a b a b +=>>和离心率为2e 的双曲线2C ：()2222222210,0x y a b a b -=>>有公共的焦点，其中1F 为左焦点，P 是1C 与2C 在第一象限的公共点.线段1PF 的垂直平分线经过坐标原点，则22124e e +的最小值为_____________.35．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 1与C 的左支和右支分别交于A ，B 两点，2ABF 是等边三角形，若x 轴上存在点Q 且满足23BQ AF =，则C 的离心率为___________.36．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作直线l 垂直于双曲线的一条渐近线，直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若11AF F B λ=，且2λ>，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为________． 37．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 的右支上，2OP OF =（O为坐标原点）．若直线2PF 与C 的左支有交点，则C 的离心率的取值范围为______． 38．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点作直线l ，使l 垂直于x 轴且交C 于M 、N 两点，双曲线C 虚轴的一个端点为A ，若AMN 是锐角三角形，则双曲线C 的离心率的取值范围___________．39．已知过抛物线2y x =焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过坐标原点O 的直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>交于M ，N 两点，点P 是双曲线上一点，且直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，若不等式()124(||||)||||kk AF BF AF BF +⋅≥+恒成立，则双曲线的离心率为________.40．在ABC 中，tan :tan 1:3B C =，以,B C 为焦点的双曲线的一支经过顶点A ，另一支交线段AB 于点M ，BM MA λ=，e 为双曲线的离心率.设2BC c =，当()2,3e ∈时，λ的取值范围是___________.41．已知梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，32AE EC = ，若双曲线以A 、B 为焦点，且过C 、D 、E 三点，则双曲线的离心率为_______42．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为A 交另一条渐近线于点B ，若FB AF λ=，34λ≤≤，求C 的离心率的取值范围为___________43．已知F 是双曲线E ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左焦点，过点F 的直线与双曲线E 的左支和两条渐近线依次交于A ，B ，C 三点．若FA AB BC ==，则双曲线E 的离心率为______．44．已知点12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左、右焦点，以2F 为圆心，12F F 为半径的圆交双曲线右支于点,A B ，若点2F 恰好在1F AB ∠的平分线上，则C 的离心率为_________． 45．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点为12,F F ，P 是双曲线上一点，且123F PF π∠=.若12F PF ∆的外接圆和内切圆的半径分别为,R r ，且4R r =，则双曲线的离心率为__________.46．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为 12,F F ，点P 在双曲线上．若12PF F △为直角三角形，且125tan 12PF F ∠=，则双曲线的离心率为 _______________________ ． 47．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线l 交C 的右支于A ，B 两点，且10AB AF ⋅=，1125AB AF =，则C 的离心率为_________48．设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 直线的l 分别与双曲线左､右两支交于M ，N 两点，且22F M F N ⊥，22F M F N =，则双曲线C 的离心率为___________.49．已知双曲线2222:1x y T a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线T 右支上一点12F PF ∠的角平分线交x 轴于点M ，||PM c =（c 为半焦距），且22OM MF =（点O 为坐标原点），则双曲线T 的离心率为________．50．已知双曲线C :22221x y a b -=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F ，2F ，点A 在C 的左支上，2AF 交C 的右支于点B ，()110F A F B AB +⋅=，111F A F B F B -=，则C 的离心率为______．参考答案1．A 【分析】根据给定条件探求出12PF F △的内切圆圆心坐标，再借助点到直线距离公式计算作答. 【详解】令双曲线22221x y a b -=的半焦距为c ，则12(,0),(,0)F c F c -，由对称性不妨令与l 平行的渐近线为by x a =，直线l 方程为：()by x c a=-，即0bx ay bc --=， 令12PF F △的内切圆O '与12PF F △三边相切的切点分别为A ，B ，C ，令点0(,0)A x ，如图，由切线长定理及双曲线定义得：1212||||||||(||||)PF PF PC CF PB BF -=+-+()()1200022AF AF x c c x x a =-=+--==，即0x a =，而AO x '⊥轴，圆O '半径为3b ，则有(,)3bO a '-，点O '到直线l|()|3bab a bc b -⋅--=，整理得|43|a c c -=，即43e e -=，而1e >，解得2e =，所以双曲线的离心率为2. 故选：A 【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②根据给定条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，再转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).2．A 【分析】联立圆和双曲线的方程，并利用对称性、双曲线的定义、勾股定理，结合2aS C =，解得双曲线的离心率的平方为2【详解】如图所示，根据题意绘出双曲线与圆的图像，设()11,M x y由圆与双曲线的对称性可知，点M 与点N 关于原点对称，可得：1212F F M F F N S S =△△因为圆是以12F F 为直径，所以圆的半径为c因为点()11,M x y 在圆上，也在双曲线上，所以有221122222111x y a b x y c⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，联立化简可得：222222211b cy a y a b整理可得：2222222211b c a bb y a y4221bc y ，21b y c则有：1221222F F M S S c y b ∆==⋅=因为2a S C =，所以222a b C =，24b C a= 因为()1212122C MF MF NF NF MF MF =+++=+可得：2212b MF MF a +=因为122MF MF a ，联立2121222b MF MF a MF MF a⎧+=⎪⎨⎪-=⎩可得：44122b a MF MF a -⋅=因为12F F 为圆的直径，可得：2221212MF MF F F ，即44222424b a a c a-+= 4422240a c a c +-=，42240e e +-=所以离心率的平方为：22e ==又1e >，则2e = 故选：A 3．C 【分析】由双曲线的定义得出1PFQ 中各线段长（用a 表示），然后通过余弦定理得出,a c 的关系式，变形后可得离心率 【详解】由题意12222QF QF PQ QF PF a -=-== 又223PF F Q = 则有：223QF a =可得：183QF a =，14PF a =，83PQ a =12PF F △中，22222122(4)(2)(2)5cos 2424a a c a c F PF a a a +--∠==⨯⨯1PFQ 中．1121232cos 843PF a F PF PQ a ∠=== 可得：2225344a c a -=解得：222a c =则有：ce a==故选：C 4．D 【分析】根据给定条件结合直角三角形内切圆半径与边长的关系求出双曲线实半轴长a ，再利用离心率公式计算作答. 【详解】依题意，12PF PF ⊥，1Rt APF 的内切圆半径1r =，由直角三角形内切圆性质知：111(||||||)2r PF PA AF =+-，由双曲线对称性知，12||||AF AF =，于是得1212111(||||||)(||||)2222r PF PA AF PF PF a a =+-=-=⨯=，即1a =，又双曲线半焦距c =2，所以双曲线的离心率2ce a==. 故选：D 【点睛】结论点睛：二直角边长为a ，b ，斜边长为c 的直角三角形内切圆半径2a b cr +-=. 5．A 【分析】根据题意得到(),0F c ，,bc A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,bc B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,22c bc M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再根据O 、A 、F 、M 四点共圆，可知四边形OAMF 为等腰梯形，利用OM AF =，求得a ，b 关系即可. 【详解】由题意得：(),0F c ，,bc A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,bc B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为M 为线段OB 的中点，,22c bc M a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭又F 为AB 的中点，//MF OA ∴，即四边形OAMF 为梯形， 又O 、A 、F 、M 四点共圆，即四边形OAMF 为圆内接四边形， 而圆内接四边形的对角互补，可知四边形OAMF 为等腰梯形，OM AF ∴=bc a ，整理得223a b ，所以c e a == 故选：A 6．A 【分析】由题意问题转化为双曲线22221x y a b -=的渐近线与双曲线22221x y b a -=有公共点即可，据此可得两曲线渐近线斜率间的关系，进而求出离心率范围. 【详解】双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±，12122||PF PF b F F -=<,∴点P 在双曲线22221x y b a -=上， 双曲线22221x y b a -=的渐近线方程为a y x b =±，因为b y x a =±与双曲线22221x y b a-=相交，所以由双曲线渐近线性质可知只需b aa b<，即22a b >，则222a c a >-，解得1ca<<故该双曲线离心率的取值范围是， 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键在于由题意转化为已知双曲线的渐近线与22221x y b a-=有交点，再根据双曲线渐近线判断直线与双曲线的的位置关系，建立不等式即可求出离心率，要掌握根据直线斜率与渐进线斜率的大小关系判断直线与双曲线的交点个数问题. 7．D 【分析】设()00,P x y ，则2020b x m a y =，00y n x =，则22221ln ln ln b a b a a b a m n f a b mn a b b a b ⎛⎫++++=+++= ⎪⎝⎭，令0a t b=>，则()212ln f t t t t t =++-，利用导数研究其单调性，求得最小值点，再由离心率公式即可得出. 【详解】设()00,P x y ，则双曲线C 在P 点处的切线方程为：00221x y x y a b-=，则2020b x m a y =，y n x =， 22002200·b x y b mn a y x a ∴==，1ln ln b a m n a b mn ∴++++ 2222ln b a a b a b b a =+++ a f b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，令0a t b=>，则()212ln f t t t t t =++-，()()()22221112'12t t f t t t t t +-=-++-=，∴当01t <<时，()'0f t <，当1t >时，()'0f t >，所以()f t 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，得1t =时，()f t 取最小值，1a b∴=，即a b =时，1ln ln b a m n a b mn ++++取最小值，c e a ∴== 故选：D.8．D 【分析】需分为A ，B 在y 轴同侧或A ，B 在y 轴异侧分类讨论，画出对应图形，同侧时，结合MN btan AOF a NO=∠=，由几何关系表示出NO ，再结合离心率公式即可求解；异侧时，结合内切圆半径公式得2AB OA OB +-=，化简可得OB AB -，联立勾股定理|OB |2=|AB |2+a 2求出AB ，|OB |，求出AOB ∠，再由离心率公式即可求解. 【详解】若A ，B 在y 轴同侧，不妨设A 在第一象限，如图，设△OAB 内切圆的圆心为M ，则M 在△AOB 的平分线Ox 上，过点M 分别作MN △OA 于N ，MT △AB 于T ，由F A △OA 得四边形MTAN 为正方形，由焦点到渐近线的距离为b 得|F A |=b ，又|OF |=c ，所以|OA |=a ，又NA MN ==，所以NO =，所以MN b tan AOF a NO =∠==e ==；若A ，B 在y 轴异侧，不妨设A 在第一象限如图，易知|F A |=b ，|OF |=c ，|OA |=a ，所以△OAB 的内切圆半径为2AB OA OB +-=，所以2OB AB a -=，又因为|OB |2=|AB |2+a 2，所以AB =，|OB |=2a ，所以△BOA =60°，△AOF =60°，则tan 60b a =︒=2e ==.综上，双曲线C 或2.故选：D 9．A 【分析】根据已知条件求出P 点坐标和直线P A 方程，PO 平分APM ∠，则O 到PM 的距离等于到AP 的距离，列式可求离心率﹒ 【详解】如图，双曲线的渐近线取b y x a =，则()22PF a ak PF y x c b b=-=--，：，由()2a a y x c xbc b ab y x y a c ⎧⎧=--=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，∴P (2,a ab c c )，)(,0A a -，故2PA ab b ck a a c a c==++，∴()bPA y x a a c=++：，即()0bx a c y ab -++= ∵PO 平分APM ∠，∴O 到PM 的距离等于O 到AP 的距离|OM |，2ac=，化简整理得220e e--=，解得e=2，故选：A﹒10．C【分析】根据几何关系得1MF OM⊥，再由余弦定理列出a与c的关系即可﹒【详解】如图，由题知：OM b=，1OF c=，△212123MF MF aMF MF⎧-=⎪⎨=⎪⎩，△23MF a=，1MF a=，△22211|MF OM OF＋＝，∴1MF OM⊥，∴12221149cos22MF a a c aMFOOF c c a+-∠===⨯⋅，△22124a c=，△23e=，△e=故选：C．11．D【分析】分别设出,A C坐标利用几何条件将C坐标表达出后代入双曲线方程，整理出离心率表达式，并代入选项验证即可得解【详解】由题意可得在直角三角形ABF中，OF为斜边AB上的中线，所以222AB OA OF c===设(),A m n 且在第一象限，则满足22222221m n c m n a c ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得2b m n c ==所以2b A c ⎫⎪⎪⎝⎭, 2b B c ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ (),0F c 设(),C x y 因为BF AC ⊥则22201b y c x c a c b cc--⋅=--+--,化简得22221y b x c c c b ⋅=--++……BF FC = 则()2222222a c b b c x c y c c ⎛⎫⎛⎫+++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将代入后可分别化简得 22,b c x y c +==即22b c C c ⎛+ ⎝⎭， 将22b c C c ⎛+ ⎝⎭)223b a a -= 因为在双曲线中222,cb c a e a=-=所以上式为 )))222222232b a c a a c a a -=--=-=1= 整理为(221e -=将选项代入验证，D 选项满足等式 故选：D 12．D 【分析】设点A (x 1，y 1)，B (-x 1，-y 1)，P (x 0，y 0)，利用点差法求解直线的斜率，得到a 、b 关系， 通过点到直线的距离求解c ，求出a ，b ，即可推出离心率，判断A ，B 的正误；设P 在双曲线的右支上，记 2,PF t = 则 14PF t =+，利用12PF PF ⊥，转化求解三角形的面积，判断C ；设P (x 0，y 0)，通过三角形的面积求解P 的坐标，结合双曲线的定义以及余弦定理，判断三 角形的形状，判断D. 【详解】设点A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)则2211221x ya b-=，且2200221x ya b-=，两式相减得2222101022x x y ya b--=，所以2220122201y y bx x a-=-，因为01010101()()1()()4PA PBy y y yk kx x x x-+⋅=⋅=-+，所以2214ba=，12ba=故双曲线C的渐近线方程1 =2 y x±因为焦点(c，0)到渐近线1=2y x的距离为1，1=，c=2a=，1b=，故A，B错误．对于C，不妨设P在右支上, 记2,PF t=则14PF t=+因为12PF PF⊥, 所以22(4)20t t++=解得2t=或2t= (舍去）, 所以12PF F△的面积为12112)2)22PF PF=⨯1=，故C不正确；对于D，设P(x0，y0)，因为1200122PF FS c y∆=⋅==2y=，将2y=带入C：2214xy-=，得2020x=，即x=由于对称性，不妨取P得坐标为(2)，则23PF==，17PF=因为222212121212cos02PF F F PFPF FPF F F+-∠==<所以∠PF2F1为钝角，所以PF1F2为钝角三角形，故D正确故选：D13．B【分析】先利用双曲线的离心率得到ba=MN的方程，设出点P的坐标，再利用平面向量的数量积运算和二次函数的最值求出最值，进而求出面积比.【详解】由于双曲线的离心率为2==c a，故b a =所以直线MN的方程为)y x a +，设()P t ，[],0t a ∈-， 焦点坐标为()()12,0,,0F c F c -，则1(,)c F P t =--，2(,)c t PF =-则222123()PF PF t c t a =-++⋅ 22243()t a t a =-++2246t at a =+-22313=444t a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由于[],0t a ∈-，故当34t a =-时取得最小值，此时34P y a ⎛⎫=-=⎪⎝⎭； 当0=t时取得最大值，此时P y =.则124S S ==. 故选：B.14．C 【分析】先由题意，得到以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，不妨设双曲线的渐近线为b y x a =，设()00,P x y ，则()00,Q x y --，求出点P ，Q 的坐标，得出AP ，AQ ，根据23PAQ π∠=，再利用余弦定理求出a ，c 之间的关系，即可得出双曲线的离心率． 【详解】由题意，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，不妨设双曲线的渐近线为by x a=． 设()00,P x y ，则()00,Q x y --，由222b y xa x y c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩或x a y b =-⎧⎨=-⎩，∴(),P a b ，(),Q a b --．又A 为双曲线的左顶点，则(),0A a -， ∴AP =AQ b ，2PQ c =，在PAQ △中，23PAQ π∠=，由余弦定理得22222cos 3PQ AP AQ AP AQ π+-=，即22224()c a a b b b =+++， 即222442c a b b =+，则2b =()22244b a b =+，则2234b a =，即()22234c a a -=，所以2273c a =∴c e a ==． 故选：C. 【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ；②构造,a c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解． 15．D 【分析】如图根据题意可得OA a =，在1AFO △中利用余弦定理可得12cos AOF e e∠=-，再根据1cos AOF ∠的范围，从而求得e 的范围. 【详解】如图所示，由已知可知PA 是12F PF ∠的角平分线， 且2PA BF ⊥，延长2F A 交1PF 于B ， 易知22,PB PF AB AF ==， 由122PF PF a -=， 所以112PF PB BF a -==， 又12OF OF c ==，2AB AF =， 所以112OA BF a ==， 在1AFO △中222222111132cos 22AO FO AF a c b AOF e AO FO ac e+-+-∠===-⋅，由OA 的斜率可无限靠近渐近线的斜率，所以11cos (1,)AOF e∠∈--，所以21(1,)e e e -∈--，2e <. 故选：D 16．B 【分析】令双曲线E 的左焦点为F '，连线即得PFQF '，设FR m =，借助双曲线定义及直角F PR '用a 表示出|PF|，||PF '，再借助Rt F PF '即可得解. 【详解】如图，令双曲线E 的左焦点为F '，连接,,PF QF RF '''，由对称性可知，点O 是线段PQ 中点，则四边形PFQF '是平行四边形，而QF ⊥FR ，于是有PFQF '是矩形，设FR m =，则|||2∣PF FQ m '==，||22PF m a =-，||2,||32RF m a PR m a '=+=-， 在Rt F PR '中，222(2)(32)(2)m m a m a +-=+，解得43am =或m ＝0（舍去），从而有82,||33a a PF PF ='=，Rt F PF '中，22282433a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得22179c a =，c e a ==所以双曲线E ． 故选：B 17．D 【分析】求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a ，b 的关系，即可得到所求的离心率． 【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程设为0bx ay -=，由题得圆22(5)25x y +-=的圆心为()0,5，半径=5r ， 可得圆心到渐近线的距离为5ad c==，则由题意可知2241681525a c ⇒⇒-≥，解得：22259c a ≥所以双曲线C 的离心率53c e a =≥，即5,3e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭故选：D ． 【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ；②构造,a c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解． 18．A 【分析】根据条件求得23PF a =，△1PF a =，在12Rt PF F △中，由勾股定理可得关于,a c 的等式，进而可求得离心率. 【详解】由双曲线定义知21212PF PF QF QF a -=-=，则122PF PF a =-，122QF QF a =-，所以11224a P PF QF PF Q QF ==-++， △2PQF 的周长为()22222412PF QF PQ PF QF a a ++=+-=， △228PF QF a +=，4PQ a =，由()22222222200PF PF QF PF PF QF PF PQ PF PQ =⋅⇒⋅-=⇒⋅=⇒⊥， 所以290F PQ ∠=︒，故2222216PF a QF +=，△222QF PF a -=， △23PF a =，25QF a =，△1PF a =，在12Rt PF F △中，()()22232a a c +=，故c e a ==.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：由2222PF PF QF =⋅得到290F PQ ∠=︒. 19．A 【分析】 设点Р的坐标为)()0,0y y>,利用正弦定理将APB 的外接圆面积取得最小值的条件转化为tan APB ∠取得最大值，利用直线的斜率公式和两角差的正切公式表示tan APB ∠,利用基本不等式可确定tan APB ∠取得最大值时点Р的坐标，代入双曲线的方程，得到a,b 的关系，进而求得离心率. 【详解】根据双曲线的对称性不妨设点Р的坐标为)()0,0y y>，由于AB 为定值，由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时，APB 的外接圆面积取得最小值，也等价于tan APB ∠取得最大值，∵0tan APQ ∠tan BPQ ∠= ∴()tan tan APB APQ BPQ ∠=∠-∠2000021a a y y ==+，当且仅当()20000a y y y =>，即0y a =时，等号成立，此时APB ∠最大，此时APB的外接圆面积取最小，点Р的坐标为),a ，代入22221x y a b -=，可得221b a =， 故选：A . 【点睛】本题考查双曲线的性质，正弦定理，直线的斜率公式，两角差的正切公式和利用基本不等式求最值，属中档题，关键是利用两角差的正切公式将∠APB 的正切值表示为关于0y 的函数表达式，并利用基本不等式取等号的条件确定△APB 面积最小时P 的坐标. 20．A 【分析】根据双曲线的几何性质和平面几何性质，建立关于a,b,c 的方程，从而可求得双曲线的离心率得选项. 【详解】由题意可设右焦点为1F ，因为222+=a b c ，且圆O ：2222x y a b +=+，所以点P 在以焦距为直径的圆上，则190FPF ∠=︒，设PF 的中点为点M ，则MO 为1FPF 的中位线，所以1//MO PF ，则90FMO ∠=︒，又点M 在渐近线上， 所以tan b FMMOF a MO∠==，且222FM MO OF +=，则FM b =，MO a =，所以122PF MO a ==，所以4PF a =，则在1Rt FPF 中，可得，22211PF PF FF +=，即2224164a a c +=，解得25e =，所以e =故选：A ．【点睛】方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，利用222b c a =-和ce a=转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量． 21．C 【分析】根据双曲线的定义和余弦定理建立关于,,a b c 的方程，从而可得双曲线的离心率． 【详解】根据双曲线的对称性，不妨设点A 在第二象限，设()1,0F c -，因为1AF AO ⊥，点1F 到直线0bx ay +=的距离d b =，所以1AF b =，因为1FO c =，所以1cos b AFO c∠=，因为1AB BF =，所以11122bBF AF ==，由双曲线的定义可知21222bBF BF a a =+=+，在12BF F △中，由余弦定理可得22214242cos 222b bc a b AF O b c c ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭∠==⨯⨯，整理得b a =，所以c，即离心率ce a= 故选：C. 【点睛】方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，利用222b c a =-和ce a=转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量． 22．B 【分析】由题设知△2ABF 为等腰直角三角形，即24BAF π∠=、22||||AB F A F B ，结合双曲线的定义求2||F A 、1||F A ，在△12AF F 中应用余弦定理，构造齐次方程，求离心率即可. 【详解】由220F A F B ⋅=且22F A F B =知：△2ABF 为等腰直角三角形且22AF B π∠=、24BAF π∠=，即22||||AB F A F B ，∵122111||||2||||2||||||F A F A a F B F B a AB F A F B -=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩， ∴||4AB a =，故22||||F A F B ==，则1||1)F A a =，而在△12AF F 中，2221221212||||||2||||cos F F F A F A F A F A BAF =+-∠，∴2222484(31)c a a a =++-，则223c a =，故==ce a. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：由已知条件判断△2ABF 为等腰直角三角形，结合双曲线的定义及余弦定理可得齐次方程，即可求离心率. 23．A 【分析】不妨设1AF m =，()2AF n m n =>，结合双曲线定义和余弦定理可得()2221612m n c a +=-，再由四边形12F AF B 的周长与面积关系求得,a c 关系即可求离心率． 【详解】不妨设1AF m =，()2AF n m n =>，由双曲线的定义可知，2m n a -=，即22224m n mn a +-=①， 又1260F AF ∠=︒，所以由余弦定理可得2224m n mn c +-=②，由①②可得2244mn c a =-，222284m n c a +=-，所以()2221612m n c a +=-．又四边形12F AF B 为平行四边形，故四边形12F AF B 的周长()2C m n =+=面积)2212442S c a =⨯=-．因为2C =，故)()22224441612c a c a -=-，整理得2223c a ，故双曲线E的离心率为c a =． 故选：A. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是根据双曲线的对称性得到四边形12F AF B 是平行四边形，从而得到()2C m n =+． 24．D 【分析】设12,MF m MF n ==，结合椭圆双曲线定义可得11,m a a n a a =+=-，当122F F MO =，可得2224m n c +=，进而求出221211e e +；当1224F F MF =时，可得121112e e -=，进而2212222e e e e =+，即可求出范围. 【详解】如图，设12,MF m MF n ==，焦距为2c ，由椭圆定义可得2m n a +=，由双曲线定义可得12m n a -=，解得11,m a a n a a =+=-.当122F F MO =时，则1290F MF ∠=，所以2224m n c +=，即22212a a c +=，由离心率的公式可得2212112e e +=，故△正确. 当1224F F MF =时，可得12n c =，即112a a c -=，可得121112e e -=，由101e <<，可得111e >，可得2112e >，即212e <<，则2212222e e e e =+，可设22(34)e t t +=<<，则222222(2)4242e t t e t t -⎛⎫==+- ⎪+⎝⎭， 由()44f t t t =+-在()3,4上单调递增，可得()1,13f t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则122,23e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故△正确.故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查椭圆双曲线离心率的求解，解题的关键是根据已知条件结合定义正确得出关系式. 25．D 【分析】由椭圆C 的短轴长为4得B 的坐标，D 的坐标11PA k a∴= 设1A P 的中点为M 连接得124PA OM k k a =-，24=3PA OM k k =-，3a = 直线1A P 的方程得M 的坐标，P 的坐标，求出双曲线E 的实轴长，解得双曲线E的离心率e ==【详解】因为椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的短轴长为4，所以()0,2B ，()0,1D .设1A P 的中点为M ，连接OM ，则124PA OM k k a =-，而24=3PA OM k k =-，11PA k a =，所以21443a a ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，得3a =，所以直线1A P 的方程为113y x =+，与直线OM 的方程43y x =-联立，得11,34,3y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得3,54,5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以M 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，P 的坐标为98,55⎛⎫⎪⎝⎭，又双曲线E ：22221x y m n-=()0,0m n >>的左､右焦点分别为()13,0A -，()23,0A ，所以根据双曲线的定义，得双曲线的实轴长22m ==，所以双曲线E的离心率e ==故选：D 【点睛】充分利用椭圆和双曲线的几何特征，特别是双曲线的左右焦点与椭圆的左右顶点重合. 结论拓展已知直线l ：()0,0y kx m k m =+≠≠与椭圆22221x y a b+=相交于A ，B 两点，M 为AB的中点，O 为坐标原点，则22OM b k k a⋅=-.26．D 【分析】因为过2F 作圆222:O x y a +=的切线，切点为T ，故OT a =，过1F 作12F M PF ⊥ 于M ， 利用2222,2b PF TF b b a>>-得关于a,b 的不对等时，从而得出关于e 的不等式，结合切线与双曲线左支有交点，得出e ∴∈. 【详解】过1F 作12F M PF ⊥ 于M ， 2OT PF ⊥ ,O 为12F F 的中点，122MF OT a ∴== ，2222MF TF b == ，令20PF t => ，则212,PF aPF t a k b=-=- ，222PM PF MF t b ∴=-=- ，在1PMF 中，222(2)(2)(2)t a a t b -=+- 解得22=b t PF b a=- ,2222,2b PF TF b b a>∴>-即2b a < ，e ∴=， 且2PF 与左支有交点，2PF a b k b a ∴=->- ，即221b a> ，e ∴，e ∴∈ .故选：D 【点睛】充分利用题中相切的特点，以及双曲线自身的几何特征，建立关于a,b,c 的不等式，得出离心率的范围，特别是切线与双曲线左支有交点这个条件的利用. 27．C 【分析】设直线l 的方程为x my c =+，联立方程组求得2412122222222,b mc by y y y b m a b m a-+==--，根据2AF FB =，得到122y y -=，代入上式，可得222228m c b m a -=-，求得22910e k --=，即可求解. 【详解】由题意，设直线l 的方程为x my c =+，联立方程组22221x my c x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得222224()20b m a y b mcy b -++=，设1122(,),(,)A x y B x y ，可得2412122222222,b mc b y y y y b m a b m a -+==--， 因为2AF FB =，即1122(,)2(,)c x y x c y --=-，可得122y y -=，代入上式，可得2222242222222b mcy b m a b y b m a ⎧=⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩， 可得24222222222()b mc b b m a b m a -=--， 整理得222228m c b m a -=-，即2222(8)0c b m a +-=，又由222c a b =+，可得2222(9)0c a m a --=，即22(91)10e m --=， 所以221(91)()10e k-⋅-=，可得22910e k --=，即2291e k -=.故选：C. 【点睛】设出直线l 的方程为x my c =+，与椭圆的方程联立方程组，利用根与系数的关系，求得1212,y y y y +，结合2AF FB =，转化为122y y -=，列出关于,,a c m 的方程是解答的关键.28．D 【分析】。

双曲线经典练习题总结（带答案）一、选择题1．以椭圆x 216＋y 29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为( C )A ．x 216－y 248＝1B ．y 29－x 227＝1C ．x 216－y 248＝1或y 29－x 227＝1D ．以上都不对[解析] 当顶点为(±4,0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，双曲线方程为x 216－y 248＝1；当顶点为(0，±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，双曲线方程为y 29－x 227＝1.2．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( C ) A ．2 B ．22 C ．4 D ．42[解析] 双曲线2x 2－y 2＝8化为标准形式为x 24－y 28＝1，∴a ＝2，∴实轴长为2a ＝4.3．(全国Ⅱ文，5)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( C )A ．(2，＋∞)B ．(2，2 )C ．(1，2)D ．(1,2)[解析] 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a. ∴c 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a >1，∴0<1a 2<1，∴1<1＋1a2<2，∴1<e < 2.故选C ．4．(2018·全国Ⅲ文，10)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( D ) A ．2 B ．2 C ．322D ．22[解析] 由题意，得e ＝ca＝2，c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝b 2.又因为a >0，b >0，所以a ＝b ，渐近线方程为x ±y ＝0，点(4,0)到渐近线的距离为42＝22， 故选D ．5．(2019·全国Ⅲ卷理，10)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( A ) A ．324B ．322C ．22D ．32[解析] 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝22x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324.故选A ． 6．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( A ) A ．2 B ．3 C ．2D ．233[解析] 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.根据点到直线的距离公式得2b a 2＋b 2＝3，解得b 2＝3a 2. 所以C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2.故选A ． 二、填空题7．(2019·江苏卷，7)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 [解析] 因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，所以9－16b 2＝1(b >0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .8．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是__－12＜k ＜0__.[解析] 双曲线方程可变形为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝ca ＝4－k2.又因为e ∈(1,2)，即1＜4－k2＜2，解得－12＜k ＜0. 三、解答题9．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52的双曲线的方程；(2)求实轴长为12，离心率为54的双曲线的标准方程．[解析] (1)设双曲线的方程为x 29－λ－y 2λ－4＝1(4<λ<9)，则a 2＝9－λ，b 2＝λ－4，∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∵e ＝52，∴e 2＝c 2a 2＝59－λ＝54，解得λ＝5， ∴所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.(2)由于无法确定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，所以可设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题设知2a ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝6，c ＝152，b 2＝814.∴双曲线的标准方程为x 236－y 2814＝1或y 236－x 2814＝1.B 级 素养提升一、选择题1．如果椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，那么双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( A )A ．52B ．54C ．2D ．2[解析] 由已知椭圆的离心率为32，得a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.∴a 2＋b 2a 2＝5b 24b 2＝54.∴双曲线的离心率e ＝52. 2．双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是( C )A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >2[解析] 本题考查双曲线离心率的概念，充分必要条件的理解． 双曲线离心率e ＝1＋m >2，所以m >1，选C ．3．(多选题)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值可能是( BC ) A ．－1 B ．0 C ．12D ．1[解析] 由双曲线方程可知F 1(－3，0)、F 2(3，0)， ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋(－y 0)(－y 0)<0， 即x 20＋y 20－3<0，∴2＋2y 20＋y 20－3<0，y 20<13， ∴－33<y 0<33，故选BC ． 4．(多选题)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( BD ) A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2 B ．当a <b 时，e 1>e 2 C ．对任意的a ，b ，e 1<e 2 D ．当a >b 时，e 1<e 2[解析] 由条件知e 21＝c 2a 2＝1＋b 2a2，e 22＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2，当a >b 时，b ＋m a ＋m >ba ，∴e 21<e 22.∴e 1<e 2.当a <b 时，b ＋m a ＋m <ba ，∴e 21>e 22.∴e 1>e 2.所以，当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2. 二、填空题5．(2019·课标全国Ⅰ理，16)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为__2__.[解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，∵F 1B →·F 2B →＝0，∴F 1B ⊥F 2B ，∴点B 在⊙O ：x 2＋y 2＝c 2上，如图所示，不妨设点B 在第一象限，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax x 2＋y 2＝c2a 2＋b 2＝c 2x ＞0，得点B (a ，b )，∵F 1A →＝AB →，∴点A 为线段F 1B 的中点，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫a －c 2，b 2，将其代入y ＝－b a x 得b 2＝⎝⎛⎭⎫－b a ×a －c 2.解得c ＝2a ，故e ＝ca＝2.6．已知双曲线x 29－y 2a ＝1的右焦点为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为__y ＝±23x __.[解析] 由已知得9＋a ＝13，即a ＝4，故所求双曲线的渐近线为y ＝±23x .三、解答题7．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．[解析] 因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1(－c,0)、F 2(c,0)．因为双曲线过点P (42，－3)， 所以32a 2－9b2＝1.①又因为点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直， 所以QF 1→·QF 2→＝0，即－c 2＋25＝0. 所以c 2＝25.② 又c 2＝a 2＋b 2，③所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)． 所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 29＝1. 8．(2020·云南元谋一中期中)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，其斜率为－3，求双曲线的离心率．[解析] (1)由题意，ba ＝1，c ＝2，a 2＋b 2＝c 2，∴a 2＝b 2＝2，∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)由题意，设A (m ，n )，则k OA ＝33，从而n ＝33m ，m 2＋n 2＝c 2，∴A (32c ，c 2)， 将A (32c ，c 2)代入双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1得：3c 24a 2－c 24b 2＝1，∴c 2(3b 2－a 2)＝4a 2b 2，且c 2＝a 2＋b 2，∴(a 2＋b 2)(3b 2－a 2)＝4a 2b 2， ∴3b 4－2a 2b 2－a 4＝0，∴3(b a )4－2(ba )2－1＝0，∴b 2a 2＝1从而e 2＝1＋b 2a 2＝2，∴e ＝ 2.。

一、求双曲线的离心率及其范围。

例1:已知21,F F 分别是双曲线122
22=-b
y a x 的左右焦点，过1F 垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点，若2ABF ∆是直角三角形，求双曲线的离心率。

答案：21+
=e 变式：
1、若2ABF ∆是等边三角形，求双曲线的离心率。

答案：3=e
2、若2ABF ∆是锐角三角形，求双曲线的离心率。

答案：)21,1(+
∈e 3、若2ABF ∆是钝角三角形，求双曲线的离心率。

答案：),21(+∞+∈e
例2:已知21,F F 分别是双曲线12222=-b
y a x 的左右焦点，过2F 且倾斜角的为 60的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，求双曲线的离心率的取值范围。

答案：),2[+∞∈e
例3:过双曲线122
22=-b
y a x 的右焦点2F 作垂直于渐近线的的直线与双曲线的两支都相交，求双曲线的离心率的取值范围。

答案：),2(+∞∈e
二、直线1-=kx y 与双曲线42
2=-y x 没有公共点，求k 的取值范围 2
5,25>-<k k 或 变式1、直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 有两个公共点，求k 的取值范围
)2
5,1()1,1()1,25(⋃-⋃-- 变式2、直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 只有一个公共点，求k 的取值范围1,2
5±±=k k 或 变式3、直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 的左支有两个公共点，求k 的取值范围 )1,25(--。

双曲线一、单选题（共29题；共58分）1.已知双曲线的焦距为，则的离心率为（）A. B. C. D.2.已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.3.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.4.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（）A. 4B.C. 2D.5.实轴长为的双曲线上恰有个不同的点满足，其中，分别是双曲线的左、右顶点.则的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.6.双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的左焦点的坐标为( )A. (－，0)B. (－，0)C. (－，0)D. (－，0)7.已知双曲线的离心率，且其右焦点,则双曲线的方程为（）A. B. C. D.8.已知双曲线的渐近线为，实轴长为，则该双曲线的方程为（）A. B. 或C. D. 或9.双曲线的焦点坐标是( )A. B. C. D.10.已知双曲线(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是（）A. B. (1,2), C. D.11.设F1，F2是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为时，的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 612.已知双曲线的左、右焦点为、，在双曲线上存在点P满足,则此双曲线的离心率e的取值范围是（）A. B. C. D.13.设为双曲线的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线的左.右支交于点，若，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.14.已知双曲线：的离心率为，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.15.双曲线C的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F1，F2，虚轴的一个端点为A，若△AF1F2是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B. 或 C. D. 或16.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）A. 2B.C.D.17.过点，且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是（）A. B. C. D.18.若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.19.设、分别为双曲线的左、右顶点，、是双曲线上关于轴对称的不同两点，设直线、的斜率分别为、，若，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.20.双曲线的焦点坐标为（）A. B. C. D.21.双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.22.已知双曲线：（，）的左右顶点分别为，，点，若三角形为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D. 323.已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. 或 D. 或24.若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围（）A. B. C. D.25.若双曲线的离心率大于2，则该双曲线的虚轴长的取值范围是（）A. B. C. D.26.已知点为双曲线上一点，则它的离心率为（）A. B. C. D.27.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，焦点F到一条渐近线的距离为d，若，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.28.设点是双曲线上的一点，分别是双曲线的左、右焦点，已知，且，则双曲线的一条渐近线方程是（）A. B. C. D.29.以原点为中心，焦点在y轴上的双曲线C的一个焦点为，一个顶点为，则双曲线C的方程为（）A. B. C. D.二、填空题（共12题；共13分）30.设为曲线上一点，，，若，则________．31.已知双曲线的离心率为2，则点到的渐近线的距离为________.32.若点在双曲线上，它的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，则点与双曲线的左焦点的距离为________33.双曲线上的一点到一个焦点的距离等于1，那么点到另一个焦点的距离为________.34.已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点. 设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为________．35.双曲线- =1的渐近线方程是________，实轴长为________．36.已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线方程为2x±3y=0，焦距为2 ，则双曲线C的标准方程为________．37.双曲线的一个焦点是，一条渐近线是，那么双曲线的方程是________38.已知双曲线（，）满足，且双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为________.39.设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则的值为________．40.双曲线的其中一个焦点坐标为，则实数________.41.已知分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为________.三、解答题（共5题；共55分）42.已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上，离心率为，且过点.（1）求双曲线的方程；（2）若点在双曲线上，求的面积.43.已知双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点(4,6)．（1）求双曲线方程；（2）若双曲线的左，右焦点分别是F1，F2，试问在双曲线上是否存在点P，使得|PF1|＝5|PF2|.请说明理由.44.已知双曲线：的实轴长为2.（1）若的一条渐近线方程为，求的值；（2）设、是的两个焦点，为上一点，且，的面积为9，求的标准方程.45.已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点.（1）求双曲线的方程；（2）若点在双曲线上，求证：；（3）求的面积．46.双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点．（1）若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b= ，若l的斜率存在，M为AB的中点，且=0，求l的斜率．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】依题意可知，所以，故，所以，故答案为：C.【分析】根据求得的值，进而求得双曲线离心率.2.【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】依题意可知双曲线的焦点为，，，三角形高是，，边的中点，，代入双曲线方程得：，整理得：，，，整理得，求得，，.故答案为：C.【分析】先根据双曲线方程求得焦点坐标的表达式，进而可求得三角形的高，则点的坐标可得，进而求得边的中点的坐标，代入双曲线方程求得，和的关系式化简整理求得关于的方程求得．3.【答案】D【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】令，整理得，所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：D【分析】令双曲线的为，从而得到方程，化简后即得渐近线方程．4.【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】双曲线的，，，一个焦点设为，，一条渐近线设为，可得一个焦点到一条渐近线的距离为.故答案为：C.【分析】求得双曲线的，，，可设一个焦点和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得所求值．5.【答案】A【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】依题意可得，，，设，则由，得，整理得.由，得，因为双曲线上恰有个不同的点满足，所以方程有两不等实根，所以只需，解得，则.故答案为：A【分析】先由题意，得到，，，设，根据，得，再与双曲线联立，消去，得到，根据双曲线上存在个不同的点满足，得到只需，求出，进而可求出离心率的范围.6.【答案】C【考点】双曲线的标准方程【解析】【解答】由，可得，，由得，所以左焦点坐标为(－，0)故答案为：C【分析】将双曲线化成标准式，再结合双曲线的关系式求解7.【答案】B【考点】双曲线的标准方程【解析】【解答】由双曲线的离心率，且其右焦点为，可得，所以，所求双曲线的方程为，故答案为：B．【分析】由已知双曲线的离心率，右焦点为列式，得到，即可求出双曲线的标准方程.8.【答案】B【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质【解析】【解答】当双曲线的焦点在轴上时, ,又,即,所以,所求双曲线的方程为: ;当双曲线的焦点在轴上时, ,又,即,所以,所以所求双曲线的方程为: .所以所求双曲线方程为: 或.故答案为：.【分析】根据双曲线的焦点所在位置分两种情况讨论: 当双曲线的焦点在轴上时, ; 当双曲线的焦点在轴上时, ,结合可解得.9.【答案】D【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】由得,故,故焦点坐标为故答案为：D【分析】将化简成标准方程再进行焦点坐标运算即可.10.【答案】A【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，，离心率，，故答案为：．【分析】若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．11.【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】双曲线的两个焦点坐标为，设的坐标为，则△的面积为，，，代入双曲线方程解得，不妨取，，，故答案为：．【分析】求得双曲线的焦点坐标，利用△的面积为，确定的坐标，运用两点的距离公式，即可求得结论．12.【答案】B【考点】双曲线的应用【解析】【解答】因为为的边的中线，可知，双曲线上存在点满足，则，由，可知，则。

2023年高考数学复习---离心率问题专项练习题（含答案解析）一、单选题1．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知双曲线C ：2221x y a −=()0a >的右焦点为F ，点()0,A a −，若双曲线的左支上存在一点P ，使得7PA PF +=，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．(C ．2⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．)+∞【答案】C 【解析】设双曲线左焦点为1F ，因为点P 在双曲线左支上，所以有12PF PF a −=， 即12PF PF a =+.由已知得，存在点P ，使得7PA PF +=，即172PA PF a +=−，显然720a −>，所以72a <.又11PA PF AF +≥=P 位于图中1P 位置时，等号成立，72a −，又221c a =+，72a −，整理可得，214240a a −+≥，解得2a ≤或12a ≥（舍去）， 所以02a <≤，则204a <≤，则2114a ≥，所以2222211514c a a a a +==+≥，所以c e a ===. 故选：C.2．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b −=>>，F 为C 的下焦点．O 为坐标原点，1l 是C 的斜率大于0的渐近线，过Fl 交1l 于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，若||||OA OB =，则C 的离心率为（ ） A ．2 BCD【答案】C【解析】因为F 为双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b −=>>的下焦点，不妨设()0,F c −，所以过Fy x c =−，所以),0B . 因为1l 是C 的斜率大于0的渐近线，所以可设1:al y x b=.由y ca y x b⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩联立解得：A .因为||||OA OB =，所以2223c +=，解得：a .所以离心率c e a ====.故选：C3．（2022春·福建福州·高三福州四中校考阶段练习）设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若12MN F F =，22NF =，则椭圆C 的离心率为（ ） AB ．12CD【答案】C【解析】依题意作图，由于12MN F F =，并且线段MN ，12F F 互相平分，∴四边形12MF NF 是矩形，其中12π2F MF ∠=，12NF MF =， 设2MF x =，则12MF a x =−，根据勾股定理，2221212MF MF F F +=，()22224a x x c −+=，整理得22220x ax b −+=，由于点M 在第一象限，x a =由22NF =，得23MN MF =，即(32a c =，整理得227690c ac a +−=，即27690e e +−=，解得37e =． 故选：C ．4．（2022春·江苏南通·高三期末）如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，若直线AC 与BD 的斜率之积为14−，则椭圆的离心率为（ ）A ．12 B C D ．34【答案】C【解析】设内层椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由离心率相同可知，外层椭圆的方程为22221()()x y ma mb +=，如图，设切线AC 的方程为1()y k x ma =−， 则1222()()()()y k x ma bx ay ab =−⎧⎨+=⎩， 消去y 得22223224222111()20b a k x ma k x m a k a b +−+−=由Δ0=，得2212211b k a m =⋅−，设切线BD 的方程为2y k x mb =+， 联立2222()()()y k x mb bx ay ab =+⎧⎨+=⎩，消去y 得222222222222()20b b a k x ma k x m a b a b +++−=，由Δ0=得22222(1)b k m a=⋅−，422124,b k k a∴⋅=又直线AC 与BD 的斜率之积为14−，2214b a ∴=2,,a b c ∴=e ∴故选：C5．（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，A ，B 分别为C 的左右顶点，222:()(0)G x y m m m +−=>e 与y 轴的一个交点为D ，直线AD ，BG 的交点为M ，且MF x ⊥轴，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A【解析】解法一：由题意可知(,0),(,0),(0,2),(0,),(,0)A a B a D m G m F c −−， 故直线AD 的方程为2020()m y m x a −−=−−，即22my x m a=+， 直线BG 的方程为00m y m x a −−=−，即my x m a=+−， 联立直线AD ，BG 的方程，解得3M ax =−.又MF x ⊥轴，所以,33ac a c −=−=，所以C 的离心13c e a ==， 故选：A.解法二：设O 为坐标原点，由题意知(,0),(,0),(0,),(,0),(0,2),//A a B a G m F c D m MF OD −−， 故OAD FAM ，所以||||||||MF AF OD OA =，即2MF a c m a−=，解得2()m a c MF a −=. 又OGB FMB ，所以||||||||MF BF OG OB =，即MF a cm a+= ， 解得()||m a c MF a +=，则()()2m a c m a c a a+−=，得3a c =，所以C 的离心率13c e a == 故选：A.6．（2022春·陕西·高三陕西省榆林中学校联考阶段练习）已知如图，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，若AN NM MB ==，则椭圆C 的离心率e 为（ ）A ．12 BCD【答案】C【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ， ∵AN NM MB ==，∴()1,0M x −，10,2y N ⎛⎫ ⎪⎝⎭．则112,2y B x ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，得211222x x y y =−⎧⎪⎨=−⎪⎩，由22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +−+−+=， 即2121221212y y y y b x x x x a−+⋅=−−+， 其中121212y y x x −=−，且11112121113122232y yy y y x x x x x +−===−+，解得：111y x =， 故111121121111122222y y y y y y x x x x x x −+===−=−+−−， 故221122b a ⎛⎫⋅−=− ⎪⎝⎭，解得2214b a =， 故22214a c a −=，∴e =故选：C7．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，直线l 过坐标原点并交椭圆于,P Q 两点（P 在第一象限），点A 是x 轴正半轴上一点，其横坐标是点P 横坐标的2倍，直线QA 交椭圆于点B ，若直线BP 恰好是以PQ为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A ．12 BCD【答案】D【解析】依题意，设()()()()1111221,,,,,,2,0P x y Q x y B x y A x −−，直线,(),PQ QB QA BP 的斜率一定存在,分别为123,,k k k ， 直线BP 恰好是以PQ 为直径的圆的切线,则PQ PB ⊥,则131k k =−, 则()()112111101233y y k k x x x −−===−−，∴3213k k =−，∵2222112222221,1x y x y a b a b +=+=，两式相减得22221212220x x y y a b −−+=， ∴2121221212y y y y b x x x x a +−⋅=−+−，即2232b k k a=−， ∴2213b a −=−，∴2213b a =，∴22222213c b e a a ==−=，∴椭圆的离心率e =， 故选:D ．8．（2022春·浙江金华·高三期末）设O 为坐标原点，12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的两个焦点，12,l l 为双曲线的两条渐近线，1F A 垂直1l 于1,A F A 的延长线交2l 于B ，若2OA OB AB +=，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的渐近线方程为：0bx ay ±=，不妨令12:0,:0l bx ay l bx ay +=−=，因为直线1F A 垂直1l ，则111F A l k k ⋅=−，故1F A ak b=，又1(,0)F c −，1OF c = 则点1(,0)F c −到直线1:0l bx ay +=的距离为1AFb =，所以OA a ===，1F A a k b=，又1(,0)F c −，可知直线1F A 的方程为：()ay x c b =+，与2l 联立方程组可得：()ay x c bb y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()b a x x c a b =+ ，解得22222a cx b a abc y b a ⎧=⎪⎪−⎨⎪=⎪−⎩，故22222,a c abc B b a b a ⎛⎫ ⎪−−⎝⎭, 由||||2||OA OB AB +=,则222||ac OB b a ==−, Rt OAB 中，由勾股定理可得:()()()()224222244222222222222224a c a b a a ca b AB OB OA a bababa −−=−=−==−−−,故2222||ba AB b a =−；又||||2||OA OB AB +=,则2222224ac ba a b a b a +=−−，即2222241c ab b a b a +=−−，因为1F A 的延长线交2l 于B ，此时B 点的纵坐标大于0，即220abcb a>−，故220b a −>，所以2222b a b a −=− ，所以2222241c ab b a b a +=−−化简得2224b a c ab −+=.则224b ab =，故2b a =，则c e a ===故选：B.9．（2022春·广东广州·高三校考期中）已知1F 、2F 为双曲线()222210,0x ya b a b−=>>的左、右焦点，P 为双曲线的渐近线上一点，满足1260F PF ∠=︒，12OP F （O 为坐标原点），则该双曲线的离心率是（ ）A B C D 【答案】A【解析】由题可知，()1,0F c −，()2,0F c ， 根据对称性，不妨设P 为渐近线b y x a =上一点，坐标为,b m m a ⎛⎫⎪⎝⎭，0m >，因为12OP F =2c ，则222212b m c a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故m ，故)P，在12PF F △中，1260F PF ∠=︒，由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+−⋅⋅∠， 即222224))))c c c =+++−+122−，即22224424c a c b =++则22c =4422498c c a c =−， 即22485a c c =，即2285a c =，即2285c a =，所以c e a ==故选：A.10．（2022春·江苏·高三校联考阶段练习）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 交于,A B 两点.若23,2AB a AF AB =⊥，则C 的离心率为（ ）A B C ．23D ．13【答案】A【解析】令1213,2,,2aAF m AF a m BF m ==−=−则 则212BF a m =+， 又22,Rt AF AB ABF ⊥中，222196(2),245a a m a a m m ⎛⎫+=+−∴=⎪⎝⎭， 1264,55a aAF AF ∴==， 12Rt AF F 中，22223616524252525a a a c =+=，所以，离心率e =故选：A. 二、多选题11．（2022春·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知双曲线2221(0)4x y b b −=>右焦点为1F ，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，点()4,0F −，若ABF △为锐角三角形，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线过点()2,0−B ．直线30x y −=与双曲线有两个公共点C ．双曲线的一条渐近线2b y x =D．双曲线的离心率取值范围为⎛ ⎝⎭【答案】ACD【解析】A 选项：将点()2,0−代入双曲线，得到2222014b−=，符合，所以双曲线过()2,0−点，故A 选项正确；D 选项：因为ABF △是锐角三角形，所以14AFF π∠<，则212tan tan 144b AFFc π∠=<=+，即282b c <+.因为双曲线22214x y b−=中2a =，所以22224b c a c =−=−，所以2482c c −<+，解得11c <c a <.因为1c e a =>，则1e <<，所以双曲线的离心率的取值范围是⎛ ⎝⎭，D 选项正确；C 选项：双曲线的一条渐近线为2b y x =，则斜率为2b ，22241444b c c −==−，又2c c a =<则221144b c =−−=4，所以2942b <<，即2b <故C 选项正确，B 选项：联立2221(0)430x y b b x y ⎧−=>⎪⎨⎪−=⎩，得()222314x x b −=，即()2224360b x b −−=，则()2260316b b ∆−=+，由C 选项得，6b <，此时Δ0<，故B 选项错误. 故选：ACD.12．（2022春·江苏常州·高三统考阶段练习）如图，椭圆1C 与椭圆2C 有公共的左顶点和左焦点，且椭圆2C 的右顶点为椭圆1C 的中心，设椭圆1C 与椭圆2C 的长半轴长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c ，离心率分别为1e 和2e ，则以下结论中正确的是（ ）A ．2121e e =−B ．1221a c a c >C ．1221a c a c +=+D ．122122a c a c −>−【答案】ACD【解析】由题知1222112,,a a a c a c =⎧⎨−=−⎩①②，由②两边同时加21c c +得1221a c a c +=+，故C 正确； 将①代入②得21222a c a c −=−， 两边同时除以2a 得：112212211222222c c ca a c a a −=−=−=−，即2121e e =−，故A 正确； 由②得11222222c a a c a c c =−+=+>，③③式两边同乘以2a 得1222122c a a c a c >=，故B 错误；由③式得122c c −<−，故两边同加1a 得21111222a c a c c a =−<−−，故D 正确. 故选：ACD13．（2022·浙江·模拟预测）如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，且AB ⊥BF ，则C 的离心率为（ ）A ．BF AFB ．22||||AB AFC ．2||AF BF AB ⋅ D【答案】ABD 【解析】由题意知，(,0)A a −，(0,)B b ，(c,0)F ，则(,)AB a b =，(,)BF c b =−， ∵ AB BF ⊥，∴0AB BF ⋅=，即：20ac b −=， ① 又∵ 222b a c =−，②∴由①②得：220c ac a +−=，即：210e e +−=， 又∵ 01e <<，∴e =，故D 项正确；∴c =，∴222222)b a c a =−=−=，∴||||BF aeAF a c=====+，故A 项正确；∴2222222||||()a AB a b e AF a c +====+，故B 项正确；∴222()||||()1||a aAF BF a c a e AB a b ⋅+==≠+，故C 项错误； 故选：ABD.14．（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）如图，P是椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n −=>>在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ，则下列结论不正确的是（ ）A ．12,PF m a PF m a =+=−B ．若60θ=︒，则2221314e e += C ．若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D ．tan2b nθ=【答案】ACD【解析】依题意，121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨−=⎪⎩，解得12,PF a m PF a m =+=-，A 不正确；令12||2F F c =，由余弦定理得：22222222212122212||||||()()42cos 2||||2()()PF PF F F a m a m c a m c PF PF a m a m a m θ+−++−−+−===+−−，当60θ=︒时，22234a m c +=，即22()3()4a m c c+=，因此2221314e e +=，B 正确；当90θ=︒时，2222a m c +=，即22()()2a m c c+=，有2212112e e +=，而221201e e <<<，则有22222222121122()22e e e e e e +<+=，解得22122e e >+，C 不正确； 22222222222222222221()2()()cos ()()1()n a m c a c c m b n b n a m a c c m b n bθ−+−−−−−====−−+−++， 22222222cos sin 1tan 222cos cos sin 22cos sin 1tan 222θθθθθθθθθ−−=−==++，于是得22221()1tan 21tan 1()2n b n bθθ−−=++，解得22tan()2n b θ=，而tan 0,02n b θ>>，因此tan 2nbθ=，D 不正确. 故选：ACD15．（2022春·山西运城·高三校考阶段练习）已知12F F 、分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的左、右焦点，过点2F 的直线与双曲线的右支交于AB 、两点，记12AF F △的内切圆1I 的半径为112,r BF F 的内切圆2I 的半径为2r ，若212r r a =，则（ ）A ．1I 、2I 在直线x a =上B ．双曲线的离心率2e =C ．1ABF 内切圆半径最小值是32aD ．12r r +的取值范围是2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABC 【解析】对A ：过1I 分别作1AF 、2AF 、12F F 的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则1122,,AD AE F D F F F E F F ===，∵122AF AF a −=，则()()112122AD DF AE EF F F F F a +−+=−=， 又∵12122F F F F F F c =+=，则11FF OF OF a c =+=+， ∴OF a =，即1I 在直线x a =上， 同理可得：2I 在直线x a =上， A 正确； 对B ：∵2212121221，A B I F I F F I F I F F ∠∠∠∠==，则1221212121222I F I F I F F I F F F I A B I ∠∠∠∠∠++==， ∴122π2I F I ∠=， 又∵1222I F F F F FI F=，则2122I F I F F F =，即2212()r r c a a =−=，∴2c a =，故离心率为2ce a==，B 正确； 对C ：∵2e =，则2,c a b =，∴()22,0F a，双曲线的渐近线方程为y =，则直线AB 的倾斜角π2π,33θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设AB 直线方程为2x my a =+，()()1122,,,,m A x y B x y ⎛∈ ⎝⎭，联立方程2222213x my ax y a a=+⎧⎪⎨−=⎪⎩，消去x 得：()222311290m y may a −++=，∴2121222129,3131ma a y y y y m m +=−=−−，则()2121226113a m y y AB y m +−==−=−， 设1ABF 内切圆半径为r ，其周长()()()1112122242L AF BF AB AF AF BF BF AF BF AB a AB =++=−+−+++=+()2221211641313a m a a m m +=+=−−，根据1ABF 的面积可得：1212112222Lr c y y a y y =⨯⨯−=−，则122431316213a y y m r a a L m −−==≥−，C 正确； 对D ：由题意不妨设12I F F ∠α=，ππ,32θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，∵2παθ+=，则πππ,243θα−⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，令tan t α⎡=∈⎣，∴12tan r FF at α==，22πtan 2a r FF t α⎛⎫=−= ⎪⎝⎭，121r r a t t ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，又∵1y t t=+在⎡⎣上单调递增，∴1212r r a t a t ⎡⎫⎛⎫+=+∈⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭，D 错误； 故选：ABC.16．（2022春·福建厦门·高三厦门双十中学校考期中）已知1F ，2F 是双曲线E ：()222210,0x y a b a b−=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30°的直线分别交y 轴与双曲线右支于点M ，P ，1PM MF =，下列判断正确的是（ ） A ．21π3PF F B ．2112MF PF =C ．ED ．E 的渐近线方程为y =【答案】BD【解析】如下图所示，因为1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，所以2//OM PF ，因为12OM F F ⊥，所以212PF F F ⊥，所以21π2PF F ∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确； 由212PF F F ⊥知222221PF ca b−=，所以22b PF a=，又122F F c =，1230PF F ∠=，2c =)222c a ac −=220e −，解得：e =C 错误；所以==c e a 223c a =，所以22222b c a a =−=，所以ba= 所以E 的渐近线方程为y =，D 正确．故选：BD ．三、填空题17．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线2222:1x yC a b−=上，点H 在直线x a =上，且满足122340HP HF HF ++=.若存在实数λ使得122112sin sin PF PF OH OP PF F PF F λ⎛⎫=++ ⎪∠∠⎝⎭，则双曲线C 的离心率为_____________ 【答案】2【解析】设直线PH 交x 轴于点Q ，如图，设12PF F △的外接圆半径为R ，由122112sin sin PF PF OH OP PF F PF F λ⎛⎫=++ ⎪∠∠⎝⎭，有12211222sin 2sin PF PF OH OP R R PF F R PF F λ⎛⎫=+⋅+ ⎪∠∠⎝⎭，故12122PF PF PH R PF PF λ⎛⎫⎪=⋅+ ⎪⎝⎭，所以直线PH 过12PF F △的内心， 设12PF F △的内切圆圆心为I ，内切圆圆I 分别切1PF 、2PF 、12F F 于点M 、N 、T ，由切线长定理可得11F M FT =，22F N F T =，PM PN =， 所以，()()1212122PF PF PM F M PN F N FT F T a −=+−+=−=， 结合图形可得()()22T T T x c c x x a +−−==，所以，T x a =， 故12PF F △的内心的横坐标为a ，因为点H 在直线x a =上，所以点H 为12PF F △的内心.由122340HP HF HF ++=可得()()122340PH PF PH PF PH −+−+−=， 所以，12934PH PF PF =+，记12934777PH PF PF =+，设123477PG PF PF =+，则()()214377PG PF PF PG −=−，所以，2134F G GF =， 所以，点G 在直线12F F 上，又因为12PH F F Q =，故点G 与点Q 重合，且有12934777PH PF PF PQ =+=，由角平分线的性质可知点Q 到直线1PF 、2PF 的距离相等， 故12112243PF Q PF QS PF FQ S PF F Q===△△，同理可得1212PH PF PF HQ FQ F Q ==，令23PF m =，则14PF m =，且1212121272PH PF PF PF PF HQFQ F QFQ F Q +====+， 故12122FQ F Q F F m +==. 则双曲线C 的离心率12122243F F c me a PF PF m m====−−.故答案为：2.18．（2022·河南·模拟预测）已知椭圆1C 和双曲线2C 有共同的左、右焦点12,F F ，M 是它们的一个交点，且12π4F MF ∠=，记1C 和2C 的离心率分别为12,e e ，则12e e 的最小值是___________.【解析】不妨设M 为第一象限的点．如图，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义知1212MF MF a +=，1222MF MF a −=， 所以112MF a a =+，212MF a a =−， 设122=F F c 在12MF F △中，12π4∠=F MF ， 由余弦定理得，()()()()22212121212π42cos4=++−−+−c a a a a a a a a ，化简得((22212224a a c +=，124=()1201,1e e <<>，所以124=≥所以12e e12=2212==e e 等号成立， 所以12e e．19．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于916−，则椭圆的离心率为______．【解析】设内层椭圆方程为22221x y a b +=()0a b >>，由于内外椭圆离心率相同，由题意可设外层椭圆方程为()()22221x y ma mb +=()1m >.所以A 点坐标为(),0ma −，B 点坐标为()0,mb ，设切线AC 的方程为()1y k x ma =+，切线BD 的方程为2y k x mb =+，联立直线AC 的方程与内层椭圆方程()222211x y a b y k x ma ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，()2222322242211120k ab x ma k x m k a a b +++−=，因为直线AC 与椭圆相切，所以()()()23222222422111Δ240ma k k a b m k a a b =−+−=，整理可得，2212211b k a m =⋅−.同理，联立直线BD 的方程与内层椭圆方程222221x y a b y k x mb⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可推出()222221b k m a =−，所以()224222122224111b b b k k m a m a a=⋅⨯−=−.因为12916k k =−，所以22916b a =，则222222c a b e a a −==227116b a =−=，所以e =.20．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）双曲线 22221(00)x y a b a b−=>>，的左顶点为A ， 右焦点()0F c ，， 若直线x c =与该双曲线交于B C 、两点，ABC 为等腰直角三角形， 则该双曲线离心率为__________ 【答案】2【解析】联立 22222221x cx y a b c a b =⎧⎪⎪−=⎨⎪=+⎪⎩， 可得2b y a =±， 则22b BC a =，因为点 B C 、关于x 轴对称， 且F 为线段BC 的中点， 则AB AC =.又因为 ABC 为等腰直角三角形， 所以，2BC AF =， 即()222b c a a=+， 即 ()222a c abc a +==−， 所以，a c a =−， 可得2c a =，因此， 该双曲线的离心率为 2ce a==． 故答案为：221．（2022·上海崇明·统考一模）已知椭圆1Γ与双曲线2Γ的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点1F 、2F ，P 是1Γ与2Γ在第一象限的交点，当12π6F PF ∠=时，双曲线2Γ的离心率等于______.【答案】2【解析】设椭圆1Γ标准方程为()2211221110x y a b a b +=>>，椭圆离心率为1e ，设双曲线2Γ标准方程为()2222222210,0x y a b a b −=>>，双曲线离心率为2e ，由题可知：121e e ⋅=．设1PF m =，2PF n =，则122222,2,π42cos ,6m n a m n a c m n mn ⎧⎪+=⎪−=⎨⎪⎪=+−⋅⎩①②③， 由①②得，12m a a =+，12n a a =−，代入③整理得，((22212422c a a =+，两边同时除以2c得，124=即(22242e =即(42222420e e −+=，解得222(2e =，即2e=2故答案为：222．（2022·广东广州·统考一模）如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为4和2，球心距离12O O =面分别与球1O ，球2O 相切于点,E F （,E F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________.【答案】13【解析】设12O O EF D ⋂=，由22112112O D O F O D O E O D O D ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，解得21O D O D =所以42,33DE DF ====， 所以4222,133c c =+==， 设直线EF 与圆锥的母线相交于点A ， 圆锥的母线与球相切于,B C 两点，如图所示， 则,AB AE AC AF ==，两式相加得2AB AC AE AF a c a c a +=+=−++=，即2BC a =， 过2O 作21O G O B ⊥，垂直为G ， 则四边形2BGO C 为矩形，所以26a BC ===，3a =，所以椭圆的离心率为13c a=. 故答案为：13。

专题双曲线中的离心率问题限时：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设F 1、F 2分别是双曲线C :x 2-y 2b=1的左、右焦点，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A 、B 两点，若△ABF 1为正三角形，则C 的离心率为()A.2B.63C.22D.3【解析】设AF 2 =t ，因为AB ⊥x 轴，则点A 、B 关于x 轴对称，则F 2为线段AB 的中点，因为△ABF 1为等边三角形，则∠AF 1F 2=30°，所以，AF 1 =2AF 2 =2t ，所以，AF 1 -AF 2 =AF 2 =t =2a =2，则AF 1 =2AF 2 =2t =4，所以，2c =F 1F 2 =AF 12-AF 2 2=42-22=23，则c =3，因此，该双曲线C 的离心率为e =ca= 3.故选：D .2.若双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1a >0,b >0 的一条渐近线被圆x 2+y -2 2=4所截得的弦长为23，则C的离心率为()A.2B.233C.223D.433【解析】双曲线C 的渐近线方程为y =±a b x ，直线y =±ab x 被圆x 2+y -2 2=4所得截得的弦长为23，则圆心0,2 到直线y =±ab x 的距离为d =22-3 2=1，由点到直线的距离公式可得d =21+ab2=1，解得a 2b 2=3，则b 2a2=13，因此，双曲线C 的离心率为e =ca =1+b a2=1+13=233.故选：B .3.已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，A 、B 两点在双曲线的左、右两支上，且OA+OB =0，AF ⋅FB =0，3BF =FC ，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为()A.103B.102C.52D.233【解析】设双曲线的左焦点为F ，连接AF ,BF ,CF ，因为AF ⋅FB =0，所以AF ⊥FB ，因为OA +OB =0，所以OA =OB ，因为OF =OF ，所以四边形AFBF 为矩形，设BF =t (t >0)，则FC =3t ，BF =2a +t ,CF =2a +3t ，在Rt △CBF 中，BC 2+BF 2=CF 2，所以4t 2+2a +t 2=2a +3t 2，化简得t 2-at =0，解得t =a ，在Rt △BFF 中，BF 2+BF 2=FF 2，所以t 2+2a +t 2=4c 2，所以a 2+9a 2=4c 2，所以10a 2=4c 2，得10a =2c ，所以离心率e =c a =102，故选：B4.如图，双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1与双曲线的两条渐近线分别交于P ,Q 两点．若P 是F 1Q 的中点，且F 1Q ⋅F 2Q=0，则此双曲线的离心率为()A.3B.2C.22D.23【解析】因为F 1Q ⋅F 2Q =0，则QF 1⊥QF 2，所以△F 1F 2Q 是直角三角形，又因为O 是F 1F 2的中点，所以OQ 是直角△F 1F 2Q 斜边中线，因此F 1O =OQ ，而点P 是线段F 1Q 的中点，所以△F 1OQ 是等腰三角形，因此∠F 1OP =∠POQ ，由双曲线渐近线的对称性可知中：∠F 1OP =∠F 2OQ ，于是有：∠F 1OP =∠POQ =∠F 2OQ =π3，因为双曲线渐近线的方程为：y =±b ax ，因此有：b a =tan π3⇒ba=3⇒b 2=3a 2⇒c 2-a 2=3a 2⇒c =2a ⇒e =2，故选：B .5.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在C 上存在点P (不是顶点)，使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F ，则C 的离心率的取值范围为()A.2,2B.3,+∞C.(1,3]D.1,2【解析】设PF 1与y 轴交于Q 点，连接QF 2，则QF 1=QF 2,∴∠QF 1F 2=∠QF 2F 1，因为∠PF 2F 1=3∠PF 1F ，故P 点在双曲线右支上，且∠PF 2Q =∠PQF 2=2∠PF 1F 2，故|PQ |=|PF 2|，而|PF 1|-|PF 2|=2a ，故|PF 1|-|PF 2|=|PF 1|-|PQ |=|QF 1|=2a ，在Rt △QOF 1中，|QF 1|>|OF 1|，即2a >c ，故e =ca<2，由∠PF 2F 1=3∠PF 1F 2，且三角形内角和为180°，故∠PF 1F 2<180°4=45°，则cos ∠PF 1F 2=|OF 1||QF 1|>cos45°，即c 2a >22，即e =ca>2，所以C 的离心率的取值范围为2,2 ，故选：A 6.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两个焦点为F 1､F 2，点M ,N 在C 上，且F 1F 2 =3MN ，F 1M⊥F 2M ，则双曲线C 的离心率为()A.6+32B.6+3C.2+2D.5+2【解析】由于F 1F 2 =3MN ，所以x M =-2c ×13×12=-c3，则-c32a 2+y 2Mb2=1，解得y M =b 3a c 2-9a 2，由于F 1M ⊥F 2M ，所以2c 3，b 3a c 2-9a 2 ⋅-4c 3，b 3ac 2-9a 2 =0，整理得c 4-18a 2c 2+9a 4=0，两边除以a 4得e 4-18e 2+9=0，由于e >1，e 2>1，故解得e =6+ 3.故选：B7.已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的上下焦点分别为F 1,F 2，点M 在C 的下支上，过点M 作C的一条渐近线的垂线，垂足为D ，若MD >F 1F 2 -MF 1 恒成立，则C 的离心率的取值范围为()A.1,53B.53,2C.1,2D.53,+∞【解析】如图，过点F 2作渐近线的垂线，垂足为E ，设|F 1F 2|=2c ，则点F 2到渐近线y =±abx 的距离EF 2 =bca 2+b2=b .由双曲线的定义可得MF 1 -MF 2 =2a ，故MF 1 =MF 2 +2a ，所以MD +MF 1 =|MD |+MF 2 +2a ≥EF 2 +2a =b +2a ，即MD +MF 1 的最小值为2a +b ，因为MD >F 1F 2 -MF 1 恒成立，所以|MD |+MF 1 >F 1F 2 恒成立，即2a +b >2c 恒成立，所以，b >2c -2a ，即b 2>4c 2+4a 2-8ac ，即c 2-a 2>4c 2+4a 2-8ac ，所以，3c 2+5a 2-8ac <0，即3e 2-8e +5<0，解得1<e <53.故选：A .8.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，过A 的直线l 与C 的右支交于点B ，若线段AB 的中点在圆O :x 2+y 2=a 2上，且OB =7OA ，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.2D.3【解析】设线段AB 的中点为E ，双曲线的右顶点为D ，左右焦点为F 1,F 2，连接DE ,DB ，因为线段AB 的中点E 在圆O :x 2+y 2=a 2上，所以DE ⊥AB ，所以△ADE ≌△BDE ，所以AD =BD =2a ，因为OB =7OA ，所以OB =7a ，在△ODB 中，由余弦定理得cos ∠ODB =OD2+DB 2-OB 22OD ⋅DB =a 2+4a 2-7a 24a 2=-12，因为∠ODB ∈0,π ，所以∠ODB =2π3，所以∠BDF 2=π3，过B 作BF ⊥x 轴于F ，则BF =3a ,DF =a ，所以B 2a ,3a ，所以4a 2a 2-3a 2b 2=1，得a 2=b 2，所以a 2=c 2-a 2，2a 2=c 2，所以c =2a ，所以离心率e =ca=2，故选：A二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的离心率为e 1，双曲线y 2b 2-x 2a2=1的离心率为e 2，则e 1+e 2的值不可能是()A.3B.22C.145D.52【解析】∵e 1+e 2 2=e 21+e 22+2e 1e 2=a 2+b 2a 2+a 2+b 2b 2+2×a 2+b 2a×a 2+b 2b=2+b 2a 2+a 2b2+2a 4+b 4+2a 2b 2a 2b 2=2+b 2a 2+a 2b 2+2a 2b 2+b 2a 2+2≥2+2+22+2=8，当且仅当b 2a 2=a 2b2即a =b 时取等号，所以e 1+e 2≥22.故选：CD .10.双曲线x 2-y 2a2=1的离心率为e ，若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线，则e 可能取值为( )．A.324B.2C.32D.2【解析】斜率不存在时不合题意，所以直线切线斜率一定存在，设切线方程是y -2=k (x -2)，由x 2-y 2a2=1y -2=k (x -2) 得(a 2-k 2)x 2+4k (k -1)x -4(k -1)2-a 2=0，显然a 2-k 2=0时，所得直线只有一条，不满足题意，所以k ≠±a ，由Δ=0得16k 2(k -1)2+4(a 2-k 2)[4(k -1)2+a 2]=0，整理为3k 2-8k +4+a 2=0，由题意此方程有两不等实根，所以Δ1=64-12(4+a 2)>0，a 2<43，则c 2=1+a 2<73(c 为双曲线的半焦距)，e =c 1=c <213，即1<e <213，k =±a 代入方程3k 2-8k +4+a 2=0，得a =±1，此时e =2，综上，e 的范围是1,2 ∪2,213.故选：AC11.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线l 与圆x 2+y 2=a 2相切，且与C 交于M ,N 两点，若cos ∠F 1NF 2=45，则C 的离心率可能为()A.53B.32C.52D.133【解析】当点M ,N 同时在双曲线C 的左支上时，设切点为P ，则OP ⊥MN ，OP =a ,OF 1 =c ,PF 1 =c 2-a 2=b .作F 2Q ∥OP 交MN 于点Q ，则F 2Q ⊥MN ，而O 为F 1F 2的中点，则P 为QF 1的中点，故F 2Q =2OP =2a ,QF 1 =2PF 1 =2b ，因为cos ∠F 1NF 2=45，∠F 1NF 2为锐角，故sin ∠F 1NF 2=35所以NF 2 =F 2Qsin ∠F 1NF 2=10a 3,NQ =NF 2 cos ∠F 1NF 2=8a3，NF 1 =NQ -QF 1 =8a 3-2b ，所以NF 2 =NF 1 +2a =8a 3-2b +2a =10a 3，则2a =3b ，故双曲线C 的离心率e =ca =1+b 2a2=1+232=133.当点M ,N 在双曲线的两支上时，仍有F 2Q =2OP =2a ,QF 1 =2PF 1 =2b ，因为cos ∠F 1NF 2=45，∠F 1NF 2为锐角，故sin ∠F 1NF 2=35所以NF 2 =F 2Qsin ∠F 1NF 2=10a 3,NQ =NF 2 cos ∠F 1NF 2=8a3，NF 1 =NQ +QF 1 =8a 3+2b ，所以NF 2 =NF 1 -2a =8a 3+2b -2a =10a 3，则4a =3b ，故双曲线C 的离心率e =ca =1+b 2a2=1+432=53，故选：AD12.已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且AF 2=13F 2B ，则该双曲线的离心率为( ).A.62B.2C.3D.5【解析】当AF 2 =13F 2B时，设∠F 2OA =α，则∠AOB =2α，设a =1，如图，双曲线的渐近线方程为y =±b a x ，即tan α=b a ，在Rt △OAF 2中，tan α=|AF 2||OA |=ba ，设|AF 2|=bt ,|OA |=at ，又|AF 2|2+|OA |2=|OF 2|2，则(bt )2+(at )2=c 2，又双曲线中c 2=a 2+b 2，即有t =1，于是|OA |=a =1，|OF 2|=c =e ，|AF 2|=b ，|BF 2|=3b ，则|AB |=4b ，tan α=b a =b ，tan2α=4ba=4b ，代入得tan2α=2tan α1-tan 2α=2b 1-b 2=4b ，即2=4-4b 2，解得b =22，则e =c a =a 2+b 2=1+12=62，A 正确；当F 2A =13F 2B 时，设∠F 2OA =α，∠AOB =β，设a =1，如图，则∠F 2OB =α+β，∠F 1OB =π-(α+β)，在Rt △OAF 2中，tan α=|AF 2||OA |=b a ，设|AF 2|=bt ,|OA |=at ，又|AF 2|2+|OA |2=|OF 2|2，则(bt )2+(at )2=c 2，又双曲线中c 2=a 2+b 2，即t =1，于是|OA |=a =1，|OF 2|=c =e ，|AF 2|=b ，|BF 2|=3b ，则|AB |=2b ，tan α=b a =b ，tan β=2ba=2b ，而tan ∠F 1OB =tan [π-(α+β)]=-tan (α+β)=tan α，即tan (α+β)=tan α+tan β1-tan α⋅tan β=-tan α，因此b +2b 1-b ⋅2b=-b ，即3=2b 2-1，解得b =2，则e =ca =a 2+b 2=3，C 正确.故选：AC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =22x ，则其离心率是.【解析】由题意知b a =22，又因为在双曲线中，c 2=a 2+b 2，所以e 2=c 2a 2=1+b 2a2=32，故e =62(负舍)14.已知双曲线方程为C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，左焦点F 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为.【解析】如图：设F 关于渐近线y =b a x 对称的点A 在渐近线y =-bax 上，FA 的中点B 在渐近线y =bax 上，则∠FOB =∠BOA ，又∠FOB =∠AOx ，所以∠FOB =∠BOA =∠AOx =60°，所以tan60°=b a =3，所以e =ca=a 2+b 2a 2=1+b a2=1+3=2.15.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为Fc ,0 ，直线l :x =c 与双曲线C 交于A ,B 两点，与双曲线C 的渐近线交于D ,E 两点，若DE =2AB ，则双曲线C 的离心率是．【解析】由双曲线方程可得其渐近线方程为：y =±ba x ，∵直线l :x =c ，∴AB 为双曲线的通径，则由x =cx 2a2-y2b 2=1得x =cy =±b 2a，则AB =2b 2a，由x=cy=±bax得x=cy=±bca，则DE =2bca，由DE=2AB得：2bca=4b2a即c=2b，所以a=c2-b2=3b，所以离心率e=ca=23316.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，双曲线的左顶点为A，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若AQ≥3AP，则该双曲线的离心率的取值范围是.【解析】依题意可得，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2，不妨设双曲线的这条渐近线方程为y=ba x，由y=baxx2+y2=c2，得：x=ay=b或x=-ay=-b，所以Q(a,b),P(-a,-b)，双曲线的左顶点为A，则A(-a,0)，所以AQ=(a+a)2+b2=4a2+b2，AP=(-a+a)2+b2=b，因为AQ≥3AP，所以4a2+b2≥3b，化简得a2≥2b2，所以a2≥2(c2-a2)，所以e2=a2c2≤32，所以e≤62，又e>1，所以e∈1,62.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当PF12PF2取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．【解析】双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上的任意一点，∴PF1-PF2=2a,PF1=2a+PF2，∴PF12PF2=2a+PF22PF2=4a2PF2+4a+PF2≥8a，当且仅当4a2PF2=PF2，即PF2=2a时取等号，∴PF1=2a+PF2=4a，∵PF 1 -PF 2 =2a <2c ，PF 1 +PF 2 =6a ≥2c ⇒e =ca≤3，∴e ∈1,3 ，故双曲线的离心率e 的取值范围为：1,3 ..18.已知椭圆C 1:x 2a 21+y 2b 21=1a 1>b 1>0 与双曲线C 2:x 2a 22-y 2b 22=1a 2>0,b 2>0 ，有相同的左、右焦点F 1，F 2，若点P 是C 1与C 2在第一象限内的交点，且F 1F 2 =4PF 2 ，设C 1与C 2的离心率分别为e 1，e 2，求e 2-e 1的取值范围.【解析】设PF 1 =m ，PF 2 =n ，F 1F 2 =2c ，由椭圆的定义可得m +n =2a 1，由双曲线的定义可得m -n =2a 1，解得m =a 1+a 2，n =a 1-a 2，由F 1F 2 =4PF 1 ，可得n =12c ，即a 1-a 2=12c ，由e 1=c a 1，e 2=c a 2，可得1e 1-1e 2=12，由0<e 1<1，可得1e 1>1，可得1e 2>12，即1<e 2<2，则e 2-e 1=e 2-2e 22+e 2=e 222+e 2，设2+e 2=t 3<t <4 ，则e 222+e 2=t -2 2t =t +4t-4，由于函数f t =t +4t -4在3，4 上递增，所以f t ∈13，1 ，即e 2-e 1的取值范围为13，1.19.已知双曲线T ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)离心率为e ，圆O ：x 2+y 2=R 2R >0 ．(1)若e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0 ，求双曲线方程；(2)若圆O 过双曲线T 的右焦点F ，圆O 与双曲线T 的四个交点恰好四等分圆周，求b 2a 2的值；(3)若R =1，不垂直于x 轴的直线l ：y =kx +m 与圆O 相切，且l 与双曲线T 交于点A ，B 时总有∠AOB =π2，求离心率e 的取值范围．【解析】(1)因e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0 ，则c =2，ca =2，a =1，b 2=c 2-a 2=3，则双曲线方程为x 2-y 23=1.(2)如图所示，因为圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，则OA=c，∠AOF=45°，则A22c,22c，代入双曲线方程x2a2-y2b2=1，可得b2a2-a2b2=2，令x=b2a2x>0，则x-1x=2，解得x=1+2，即b2a2=2+1.(3)由题知，作图如下，因为直线l：y=kx+m与圆O相切，且R=1，则圆心到直线l距离为mk2+1=1，化简得m2=k2+1，①又∠AOB=π2，设A x1,y1,B x2,y2，则k OA⋅k OB=-1，即y1x1⋅y2x2=-1，则k2x1x2+km x1+x2+m2x1x2=-1，②联立y=kx+mx2a2-y2b2=1得b2-a2k2x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0，则x1+x2=2a2kmb2-a2k2，x1x2=-a2m2+b2b2-a2k2，③联立①②③，得k2+1a2+a2b2-b2=0，则a2+a2b2-b2=0，又c2=a2+b2，则c2a2=c2-a2+2=b2+2>2，则e=ca>2，即离心率e的取值范围为2,+∞.20.已知点P 是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)右支上一点，F 1、F 2是双曲线的左、右焦点，PF 1=(2+3) PF 2 ，∠F 1PF 2=60°．(1)求双曲线的离心率；(2)设R 、r 分别是△F 1PF 2的外接圆半径和内切圆半径，求Rr．【解析】(1)由P 为双曲线的右支上一点，可得|PF 1|-|PF 2|=2a ，又PF 1=(2+3) PF 2 ，可得PF 1 =(3+1)a ，PF 2 =(3-1)a ，在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2=60°，由余弦定理可得4c 2=(4+23)a 2+(4-23)a 2-2(3+1)(3-1)a 2⋅12=8a 2-2a 2=6a 2，即c =62a ，可得e =c a =62；(2)由2R =2csin60°=6a32=22a ，即R =2a ；因为S △PF 1F 2=12PF 1⋅ PF 2 ⋅sin60°=12(3+1)(3-1)a 2⋅32=32a 2，又S △PF 1F 2=12PF 1+ PF 2 +2c r =12(23a +6a )r ，所以r =323+6a =2-22a ，所以R r =222-2=2+22．21.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 为双曲线C 左支上一点，AF 2 -AF 1 =2b ．(1)求双曲线C 的离心率；(2)设点A 关于x 轴的对称点为B ，D 为双曲线C 右支上一点，直线AD ,BD 与x 轴交点的横坐标分别为x 1,x 2，且x 1x 2 =1，求双曲线C 的方程．【解析】(1)由于A 为双曲线C 左支上一点，由双曲线的定义可知AF 2 -AF 1 =2a =2b ，所以2a 2=b 2=c 2-a 2．整理，得3a 2=c 2，所以ca=3，所以双曲线C 的离心率为3．(2)由(1)可设双曲线C 的标准方程为x 2a 2-y 22a2=1．设A x3,y3，B x3,-y3，D x4,y4．直线AD的方程为y-y3=y3-y4x3-x4x-x3．令y=0，则x1=-x3y4-x4y3y3-y4．直线BD的方程为y+y3=-y3-y4x3-x4x-x3，令y=0，则x2=x3y4+x4y3y3+y4．所以x1x2=-x3y4-x4y3y3-y4⋅x3y4+x4y3y3+y4=x23y24-x24y23y23-y24．因为A x3,y3，D x4,y4满足方程x2a2-y22a2=1，所以x23=a2+y232，x24=a2+y242,所以x1x2=x23y24-x24y23y23-y24=a2+y232y24-a2+y242y23y23-y24=a2=1,所以双曲线C的方程为x2-y22=1．22.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，若直线l与双曲线C交于A,B两点，线段AB的中点为M，且k AB⋅k OM=34(O为坐标原点).(1)求双曲线C的离心率；(2)若直线l不经过双曲线C的右顶点N2,0，且以AB为直径的圆经过点N，证明直线l恒过定点E，并求出点E的坐标.【解析】(1)设A x1,y1,B x2,y2，则Mx1+x22,y1+y22，由题意得x21a2-y21b2=1,x22a2-y22b2=1,所以x21-x22a2-y21-y22 b2=0，y21-y22x21-x22=b2a2,y1-y2x1-x2∙y1+y22x1+x22=b2a2,k AB=y1-y2x1-x2,k OM=y1+y22x1+x22，∴k AB⋅k OM=b2a2，即b2a2=34，a2=43b2,c2=a2+b2=73b2,e2=c2a2=74，∴e=72；(2)因为双曲线的右顶点N 2,0 ，所以双曲线C 的标准方程为x 24-y 23=1，因为k AB ⋅k OM =34，所以直线l 的斜率一定存在，并且k ≠±32(如果k =±32，则k OM =±32,AB ⎳OM ，这不可能)，设直线l 的方程为y =kx +m ，联立方程y =kx +mx 24-y 23=1得：3-4k 2x 2-8kmx -4m 2-12=03-4k 2≠0 ，所以Δ=64k 2m 2-43-4k 2-4m 2-12 >0，即m 2-4k 2+3>0，所以x 1+x 2=8km 3-4k 2,x 1⋅x 2=-4m 2-123-4k 2.因为以AB 为直径的圆经过点N ，所以NA ⊥NB ，所以NA ⋅NB=0，又因为NA =x 1-2,y 1 ,NB=x 2-2,y 2 ，所以NA ⋅NB=x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=x 1x 2-2x 1+x 2 +4+y 1y 2=0，又因为y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2，所以NA ⋅NB=k 2+1 x 1x 2+km -2 x 1+x 2 +m 2+4=0，即k 2+1 ×-4m 2-123-4k 2+km -2 ×8km3-4k2+m 2+4=0，化简得m 2+16km +28k 2=0，即m +14k m +2k =0，解得m =-14k 或m =-2k ，且均满足m 2-4k 2+3>0，当m =-2k 时，y =kx -2k =k x -2 ，因为直线l 不过定点N 2,0 ，故舍去；当m =-14k 时，y =kx -14k =k x -14 ，所以直线l 恒过定点E 14,0 ；综上，e =72，直线l 恒过定点E 14,0 .。

专题16：双曲线的离心率问题一、单选题1．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A ．1B 1C ．12D ．122．12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，直线l 为双曲线C 的一条渐近线，1F 关于直线l 的对称点为'1F ，且点'1F 在以F 2为圆心、以半虚轴长b 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为 AB C ．2D3．已知双曲线2222:1x y E a b-=的左、右顶点分别为A 、B ，M 是E 上一点，ABM 为等腰三角形，且外接圆面积为23a π，则双曲线E 的离心率为 AB 1CD 14．设点1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点.点A ，B 分别在双曲线C 的左，右支上，若21225AB F A AF AB AF ==⋅，，且22AF BF <，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．B C ．135D ．1775．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点、右焦点分别为A ，F ，过点A 的直线l 与C 的一条渐近线交于点Q ，直线QF 与C 的一个交点为B ，若AQ AB AQ FB ⋅=⋅，且3BQ FQ =，则C 的离心率为( )A ．2B1C D ．2+6．已知1F ，2F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，过点1F 倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点A ，B .若22AF BF =，则双曲线C 的离心率为（ ） AB C ．2D 7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，关于原点对称的两点A 、B 分别在双曲线的左、右两支上，0AF FB ⋅=，3BF FC =且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）AB C D ．28．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右两个焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点2F 关于直线b y x a=对称，则该双曲线C 的离心率为（ ）A．2B C D ．29．已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左，右焦点，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，设点(),H H H x y ，(,)G G G x y 分别为12AF F △，12BF F △的内心，若3H G y y =，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A．[2,)+∞B ．C ．(1,2]D ．(1,2)10．双曲线上22221(0)x y b a a b-=>>有两点A 、B ，O 为坐标原点，F 为双曲线焦点，满足OA OB ⊥，当A 、B 在双曲线上运动时，使得恒222111||||||OA OB OF +≤成立，则离心率取值范围是（） A ．⎦ B ．⎦C ．⎭ D ．⎛ ⎝ 11．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，点A是双曲线C 右支上一点，若12AF F △的内切圆M 的半径为a ，且12AF F △的重心G 满足12MG F F λ=，则双曲线C 的离心率为（） A BC ．2D ．12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作斜率为2的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，若22AF BF =，则双曲线的离心率为（ ）A．2 BC D13．已知1F ，2F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左，右焦点，点A 为双曲线C 的右顶点，且直线2:b l y a=与双曲线C 的左、右两支分别交于P ，Q 两点，若122QAF PAF π∠∠+<，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．11,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．)+∞D ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 、2F ，A B 、分别是双曲线左、右两支上关于坐标原点O 对称的两点，且直线AB 的斜率为M N 、分别为2AF 、2BF 的中点，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A ．BCD 15．若双曲线E ：221x y m n-=(0)mn >绕其对称中心旋转3π后可得某一函数的图象，则E 的离心率等于（ ）A ．B C ．2 D ．216．已知F 为双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 、B 是双曲线C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，AF BF ⊥，且AF 的中点在双曲线C 上，则C 的离心率为A1B C D 117．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:bl y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（ ） A．B ．3C D ．218．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的左支交于P ，Q 两点，若212PF F F =，且1132PF QF =，则C 的离心率为（ ） A ．32B ．75C ．53D ．219．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点C在双曲线上，ABC ∆的三个内角分别用A ，B ，C 表示，若tan tan 2tan 0A B C ++=，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2 D 20．设双曲线()2222100y x a b a b-=＞，＞的上焦点为F ，过点F 作与y轴垂直的直线交两渐近线于A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP OA OB λμ=+，()2259R λμλμ+=∈，，则双曲线的离心率e 的值是（ ）A ．3B C ．4D ．3221．已知1x =是方程320x ax bx c +++=的一个根，另两个实根可分别作为某椭圆，某双曲线的离心率，则22a b +的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．)+∞C ．[)5,+∞D ．()5,+∞二、填空题22．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右顶点分别是,A B ，右焦点F，过F 垂直于x 轴的直线l 交双曲线于,M N 两点，P 为直线l 上的点，当APB ∆的外接圆面积达到最小时，点P 恰好落在M （或N ）处，则双曲线的离心率是__________．23．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e +的最小值为____________． 24．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点为12,F F ，P 是双曲线上一点，且123F PF π∠=.若12F PF ∆的外接圆和内切圆的半径分别为,R r ，且4R r =，则双曲线的离心率为__________.25．如图，已知双曲线222:12x y C a a -=+的左､右焦点分别为1F ，2F ，M 是C 上位于第一象限内的一点，且直线2F M 与y 轴的正半轴交于A 点，1AMF 的内切圆在边1MF 上的切点为N ，若||4MN =，则双曲线C 的离心率为________.26．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>上一点P ，过双曲线中心O 的直线交双曲线于A 、B 两不同（点A ，B 异于点P ）．设直线P A 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，当22121261ln ln k k k k ⋅++最小时，双曲线的离心率为_______．27．已知双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 且斜率C 于A 、B 两点，若4AF FB =，则C 的离心率为______.参考答案1．B【解析】过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|， ∵|PA|=m|PN| ∵1||||PN m PA =， 设PA 的倾斜角为α，则1sin mα=， 当m 取得最大值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切， 设直线PA 的方程为y=kx ﹣1，代入x 2=4y ，可得x 2=4（kx ﹣1），即x 2﹣4kx+4=0，∵∵=16k 2﹣16=0，∵k=±1， ∵P （2，1），∵双曲线的实轴长为PA ﹣PB=2﹣1）， ∵双曲线的离心率为1=．故选B ．【点评】本题的关键是探究m 的最大值，先利用抛物线的定义转化PA m PF =得到1sin PNm PAα==，m 取得最大值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切，得到∵=0，得到k 的值.转化是高中数学很重要的一个数学思想，在解题过程中要注意灵活运用. 2．B【分析】根据左焦点1F 与渐近线方程，求得1F 关于直线l 的对称点为'1F 的坐标，写出以F 2为圆心、以半虚轴长b 为半径的圆的方程，再将'1F 的坐标代入圆的方程，化简即可得离心率．【解析】因为直线l 为双曲线C 的一条渐近线，则直线:bl y x a= 因为12,F F 是双曲线C 的左、右焦点 所以1F （-c ，0），2F （c ，0）因为1F 关于直线l 的对称点为'1F ，设'1F 为（x ，y ） 则001,22y b y b x cx c a a -+-⋅=-=⋅+ 解得222,b a abx y c c -==- 所以'1F 为（222,b a abc c--） 因为'1F 是以2F 为圆心，以半虚轴长b 为半径的圆，则圆的方程为()222x c y b -+=将以'1F 的（222,b a ab c c --）代入圆的方程得222222b a ab c b c c ⎛⎫-⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简整理得225a c = ，所以e ==所以选B【点评】本题考查了双曲线渐近线方程、离心率的应用，点关于直线对称点的求法，对于几何关系的理解非常关键，属于难题．3．C【分析】不妨设M 在第二象限，由外接圆面积得其半径，设ABM AMB θ∠=∠=，利用正弦定理求出sin θ，从而可得sin 2,cos 2θθ，然后求得M 点坐标，把M 点坐标代入双曲线方程可得,a b 关系式，化简后可求得离心率．【解析】不妨设M 在第二象限，则在等腰ABM ∆中，2AB AM a ==， 设ABM AMB θ∠=∠=，则12F AM θ∠=，θ为锐角．ABM ∆外接圆面积为23a π，∵2sin aθ=，∵sin 3θ=，cos 3θ=，∵sin 223θ==，21cos 2213θ=⨯-=， 设M点坐标为(,)x y ，则5cos 23a x a AM θ=--=-，sin 2y AM θ==， 即M点坐标为5(3a -， 由M点在双曲线上，得22225()331a a b --=，整理得222b a=，∵c e a ===故选C ．【点评】本题将解三角形和双曲线的几何性质结合在一起考查，综合性较强，解题时要抓住问题的关键和要点，从所要求的离心率出发，寻找双曲线中,a c 之间的数量关系，其中通过解三角形得出M 点的坐标，是解题的突破点，在得到点M 坐标后，根据点在双曲线上得出,a b间的关系，最后根据222c a b =+可求得离心率． 4．B【分析】由222AF AB AF =⋅及数量积的运算律可得22F B AF ⊥，设1F A m =，则5AB m =，16BF m =，利用双曲线的定义及直角三角形可求得m a =（23m a =不合题意舍去），然后求出cos BNM ∠，再用余弦定理得出,a c 关系求得离心率．【解析】15AB F A =，∴1,,F A B 共线，且15AB F A =，2222222222()AF AB AF AF F B AF AF F B AF =⋅=+⋅=+⋅，∴220F B AF ⋅=，则22F B AF ⊥，故有22222AF BF AB+=，设1F A m =，则5AB m =，16BF m =，QQ 群333528558由双曲线的定义可得222222226225AF m a m BF aAF BF m ⎧-=⎪⎪-=⎨⎪⎪+=⎩∵222(2)(62)25m a m a m ++-=，整理得()(32)0m a m a --=，解得：m a =或23m a =，若23m a =，则283AF a =，22BF a =，不满足22AF BF <，舍去；若m a =，2234AF a BF a =<=，符合题意，则16BF a =，5AB a =， 此时22cos 5||445a BF A a BF AB ∠===， 在12F BF 中，22212121222cos F F BF BF BF BF ABF =+-⋅∠，即2224361664542c a a a a =+-⨯⨯⨯，得到222175c e a ==，即22175c a =，∵c e a ==． 故选：B ．【点评】关键点【点评】本题主要考查双曲线的定义、双曲线的离心率及直线与双曲线的位置关系的应用，其中涉及到平面向量的线性运算和余弦定理，求解出22F B AF ⊥是本题的解题关键，属于中档题. 5．C【分析】由向量数量积等式推出l ∵x 轴，求出点Q 坐标，进而得点B 坐标，再代入双曲线方程求解即得. 【解析】由已知得(),0A a ，设(),0F c ，由AQ AB AQ FB ⋅=⋅，得()0AQ AB BF AQ AF ⋅+=⋅=， 所以l x ⊥轴，即:l x a =，不妨设点Q 在第一象限，则(),Q a b . 设()00,B x y ，由3BQ FQ =，得2BF FQ =，()()00,2,c x y a c b ∴--=-， 00322x c a y b =-⎧∴⎨=-⎩，即()32,2B c a b --， 点()00,B x y 在双曲线上，()()22223221c a b ab--∴-=，整理得229120c ac a --=，291210e e ∴--=，解得e =e =负值舍去).故选C. 故选：C【点评】求解双曲线离心率的问题，根据条件建立关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2=c 2-a 2转化为a ，c 的齐次式，再转化为关于e 的方程，解之即可得e . 6．A【分析】设1AF t =，据双曲线的定义可用t 表示22AF BF ，，作2F H AB H ⊥=，构造直角三角形可计算得t ，并用勾股定理列出了)()2222c a -=，进而可求e .【解析】设1AF t =，则222AF t a BF =+=， 从而14BF t a =+，进而4BA a =.过2F 作2F H AB H ⊥=，则2AH a =.如图：在12Rt F F H △中，22sin30F H c c =︒=，122cos F H c AF θ==；在2Rt AF H △中，)()2222c a -=，即2224c a =，所以e = 故选：A【点评】（1）焦点三角形为条件求圆锥曲线的离心率，常利用圆锥曲线的定义；（2）求圆锥曲线的离心率，常利用有关三角形建立关于,,a b c 的齐次等式，再化为e 的等式可求；（3）此题的关键是作2F H AB H ⊥=得直角三角形，即可求出边长，又可用来建立,,a b c 的齐次等式. 7．B【分析】由点A 、B 关于原点对称，设(),B x y ，则(),A x y --，利用3BF FC =，得()43,3C c x y --，再利用0AF FB ⋅=得到关系式222c x y =+，再用点C 、B 在双曲线上，三个式子联立求解得到2223a c +=，化简得到425702e e -+=，即可求得双曲线的离心率.【解析】由点A 、B 关于原点对称，设(),B x y ，则(),A x y --(),0F c ，设(),C m n ，(),BF c x y ∴=--，(),FC m c n =- 3BF FC =，()43333m c x c x m c n y y n =-⎧-=-⎧∴⇒⎨⎨=--=⎩⎩，即()43,3C c x y -- 0AF FB ⋅=，()(),,,AF c x y BF c x y =+=--利用向量数量积公式得：()(),,0c x y c x y +⋅--=，即222c x y =+∵ 又点C 、B 均在双曲线上，22221x y a b ∴-=∵，()()22224331c x y a b ---=∵由∵∵∵可得：2223a c +=两边同时除以2a 可得：212e +=两边同时平方得；()()22212921e e +=-，即()()422227502510e e e e -+=⇒--=又双曲线的离心率1e >，则252e =，即e ==【点评】关键点【点评】本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中利用3BF FC =得到点C 坐标，利用点C 、B 均在双曲线上，得到关系式，再利用0AF FB ⋅=得到关系式，三个式子联立得到所要求的等量关系，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题． 8．B【分析】求出过焦点2F 且垂直渐近线的直线方程，联立渐近线方程，解方程组可得对称中心的点的坐标，代入方程结合222+=a b c ，解出e 即得.【解析】由题意，设点焦点2F 且垂直渐近线的直线方程为：()0ay x c b-=--， 由()0a y x c b b y xa ⎧-=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：2a x c =，ab yc =，所以，对称中心的点坐标为2,a ab c c ⎛⎫⎪⎝⎭，又()2,0F c ，设点()00,P x y ，则200202c x a c y ab c ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得20022a x c c ab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点222,a ab P c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 将点222,a ab P c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入双曲线的方程可得()222222222241a c a b a c b c--=，又222+=a b c ，化简可得225c a =，故ce a==.【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线离心率的求解和对称问题，属于中档题. 9．D【分析】结合图形，由双曲线的定义及内切圆的性质可得1212AF AF F F FF -=-，即H x a =，同理可得G x a =，从而可得12HG F F ⊥，再由3H G y y =，可得3FH FG =，设直线AB 的倾斜角为θ，在2Rt F FG △和2Rt F FH △中，分别将FH ,FG 用θ表示代入即可求出直线AB 的斜率，再结合直线AB 与双曲线右支交于两点，即可求出b a<进而可求出离心率的取值范围.【解析】不妨设直线AB 的斜率大于0．如图:连接HG ．2HF ，2GF ，设12AF F △的内切圆与三边分别切于点D ，E ，F ，则12121212()AF AF AD DF AE EF DF EF F F FF -=+-+=-=-，所以2()H H a c x c x =+--，即H x a =，同理可得G x a =，所以12HG F F ⊥，设直线AB 的倾斜角为θ，在2Rt F FG △中，2tan ()tan 22FG FF c a θθ==-，在2Rt F FH △中，2tan()tan 222FH FF c a πθπθ-⎛⎫==-⋅- ⎪⎝⎭，又3H G y y =，所以3FH FG =，即()tan 3()tan 222c a c a πθθ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得tan 2θ=，所以22tan2tan 1tan 2==-θθθAB， 由题意，直线AB与双曲线右支交于两点，故ba<所以(1,2)c a =. 故选:D【点评】本题主要考查了结合平面几何知识求双曲线的离心率的取值范围，属于难题. 10．A【分析】先根据OA OB ⊥得到12120x x y y +=，再联立直线方程和双曲线方程利用韦达定理化简得到2222221m a b k b a=+-，从而得到22222211||||b a a b OA OB -+=为定值，即可求解离心率. 【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB :y kx m =+ 因为OA OB ⊥，即12120OA OB x x y y ⋅=+=联立22221y kx mx y a b=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()22222222220b a k x kma x a m a b ----=2122222kma x x b a k +=-，()22212222a m b x x b a k-+=-()()()2212121112y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++ 代入得2222212222m b a b k y y b a k-=- 所以()222222*********2220a m b m b a b k x x y y b a k b a k-+-+=+=-- 整理得2222221m a b k b a=+-即由()0,0O 到直线AB :y kx m =+的距离d =所以距离为一个定值又()()222222211||||||||||||||||||OA OB AB OA OB OA OB OA OB +==⋅⋅+ 又11||||||22ABCSOA OB AB d =⋅=⋅ 即()222||||||OA OB AB d ⋅=所以()2222222222211||11||||||||AB k b a dm a bOA OB OA OB +-+====⋅ 又222111||||||OA OB OF +≤所以222221112b a e a bc -≤⇒<≤又b a e >⇒< 12e +<≤ 故选：A【点评】此题考查双曲线的离心率，难点是联立方程后的化简过程，对计算的要求较高，属于较难题目. 11．C【分析】根据12MG F F λ=，得到M G y y a ==，33A G y y a ==，然后由等面积法由()12121123222AF FS c a AF AF c a =⋅⋅=⋅++⋅，结合122AF AF a -=，解得12,AF AF ，再利用距离公式得到2A x a =，进而得到A 的坐标，代入双曲线方程求解即可. 【解析】如图所示：因为12MG F F λ=， 所以12//MG F F ，所以M G y y a ==，33A G y y a ==， 所以()12121123222AF FS c a AF AF c a =⋅⋅=⋅++⋅， 又122AF AF a -=， 解得122,2AF c a AF c a =+=-，设(),A A A x y ，()1,0F c -，所以1AF ==A ex a ==+.所以1A AF a ex =+，解得2A x a =，所以()2,3A a a ，代入双曲线方程得：()()2222231aa ab-=，解得,2b c a ===， 所以2c e a==. 故选：C【点评】本题主要考查双曲线的第一定义和焦半径公式以及内切圆的应用，离心率的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题. 12．D【分析】取AB 中点M ，连结2F M ，因为22AF BF =，所以可得2F M AB ⊥，设22AF BF x ==，根据双曲线的定义求出1F M ，再由勾股定理得出2F M ==，得出22222x a c =+，再由直线l ，即可求出离心率.【解析】如图，因为22AF BF =，则取AB 中点M ，连结2F M ，可得2F M AB ⊥，设22AF BF x ==，因为212AF AF a -=，则12AF x a =-，又因为122BF BF a -=，则12BF x a =+，114AB BF AF a =-=，则2AM BM a ==，则1FM x =，在12Rt F F M中有2=F M 2Rt AF M ∆中有2=F M=，解得22222x a c =+，因为直线l的斜率为2，所以2121tan F MMF F F M ∠===222212c a a c -=+，223c a =，所以离心率e =故选：D【点评】本题主要考查双曲线的性质即离心率的求法，解题的关键是找出双曲线中,,a b c 间的关系. 13．A【分析】首先联立直线l 与双曲线的方程，求得点P ，Q 的坐标，然后根据条件可推出0AP AQ ⋅<，由此得到关于a ，b 的不等式，从而求得22b a的范围，进而求得双曲线离心率的取值范围. 【解析】由222221x y a b by a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得x c =±，所以2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,b Q c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为(),0A a ，所以2,b AP c a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，2,b AQ c a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.又122QAF PAF π∠∠+<，所以2PAQ ππ<∠<，则0AP AQ ⋅<，即()()220b b c a c a a a---+⨯<，整理，得42220b a c a -+<.因为222c a b -=，所以4220b b a -+<，所以221b a <，所以双曲线C 的离心率c e a ==1e >，所以1e << 故选：A.【点评】本题考查双曲线的几何性质、向量的数量积等，考查逻辑推理能力、运算求解能力、数形结合思想，考查的核心素养是逻辑推理，数学运算，属于较难题.关于求解椭圆，双曲线的离心率问题，基本的解题思路是建立椭圆或双曲线中关于a ，b ，c 的关系式，求值问题建立关于a ，b ，c 的等式，求取值范围问题建立关于a ，b ，c 的不等式. 14．A【分析】设()00,B x ，A 点与B 点关于原点对称，M N 、分别为2AF 、2BF 的中点，可得出,,A M N的坐标，再根据原点O 在以线段MN 为直径的圆上，所以有OM ON ⊥,可得出0x 与c 的关系，代入双曲线方程化简即可得出离心率.【解析】设()()000,0B x x >，则()00,A x --，(),0F c ，如图M N 、分别为2AF 、2BF 的中点，00,2x c M -+⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，002x c N +⎛⎫ ⎪⎝⎭，原点O 在以线段MN 为直径的圆上，∴OM ON ⊥即22200204c x OM ON x →→-=-=，解得：03c x =故3c B ⎛ ⎝⎭，把,33c B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入双曲线方程22221x y a b -=可得：22228199c c a b -=，化简得：42249180a a c c -+=即421890e e -+=，解得：29e =+e =故选：A【点评】本题考查了双曲线的几何性质及其应用，由题意得到a 和c 的关系，接下来解关于离心率e 的方程，考查了学生的计算能力，属于较难题. 15．C【分析】由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60，所以b a =e =即可算出结果.【解析】由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60，又双曲线的焦点既可在x 轴，又可在y 轴上，所以b a =2e ∴==. 故选：C【点评】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的概念，考查了分类讨论的数学思想. 16．A【分析】由题知ABF 是直角三角形，O 是斜边中点，得AO OB OF c === ，从而求出点A 坐标，得到点M 坐标，再代入双曲线方程化简可得离心率.【解析】AF BF ⊥，ABF 是直角三角形，AO OB OF c ===A 点在渐近线0bx ay -=上，设00(,)bx A x a0(0)x > ，(c,0)F 22222002b x AOx c a 解得：0x a =(,)A a b ，+(,)22c a bM 中点M 在双曲线C 上,代入方程：2222(+)144c a b a b化简得22()=5c a a ，224=0e e 则1e = 故选：A.【点评】本题考查求双曲线离心率. 求双曲线离心率的三种方法:(1)直接求出,a c 来求解e 通过已知条件列方程组，解出,a c 的值． (2)构造,a c 的齐次式，解出e 由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用双曲线的离心率()1+e ，∈∞)进行根的取舍，否则将产生增根．17．A【分析】设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为bx y c a=-，联立方程得到()312222ab y y b a c +=-，()2412222a b y y b a c =-，根据向量关系化简到229b a =，得到离心率.【解析】设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为bx y c a=-. 联立2222,1,b x y c a x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩整理得()44232420b a y ab cy a b --+=， 则()()3241212222222,ab a b y y y y b a c b a c +==--.因为11122OP OF OQ =+，所以P 为线段1QF 的中点，所以212y y =，()()()()22622221222222224124942a b b a c y y b y y b a b a c a b -+===⋅--，整理得229b a =，故该双曲线的离心率e = 故选：A .【点评】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力. 18．B【分析】计算得到2122PF F F c ==，122PF c a =-， ()13QF c a =-，23QF c a =-，根据1212cos cos PF F QF F ∠=-∠，利用余弦定理得到2251270c ac a -+=，计算得到答案.【解析】2122PF F F c ==，故12222PF PF a c a =-=-，1132PF QF =，故()13QF c a =-，故2123QF a QF c a =+=-.根据余弦定理222112212112cos 2PF F F PF PF F PF F F +-∠=⋅，222112212112cos 2QF F F QF QF F QF F F +-∠=⋅，1212cos cos PF F QF F ∠=-∠，化简整理得到：2251270c ac a -+=，即251270e e -+=，解得75e =或1e =（舍去）. 故选：B .【点评】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 19．A【分析】由式子tan tan()C A B =-+和tan tan 2tan 0A B C ++=可得：2(tan tan )tan tan 01tan tan A B A B A B++-=-，进而可得出tan tan 1A B =-，设点(,)c c C x y 在第一象限，分别求得tan c c y A x a =+，tan cc y B x a =--，代入tan tan 1A B =-可得：221b a =，最后求出离心率即可.【解析】tan tan tan tan()1tan tan A B C A B A B +=-+=--，2(tan tan )tan tan 01tan tan A B A B A B++-=-，∵2(tan tan )101tan tan A B A B ⎛⎫+-= ⎪-⎝⎭，tan tan 0A B +≠， ∵1tan tan 2A B -=，即tan tan 1A B =-， 设点(,)c c C x y 在第一象限，则tan c c y A x a =+，tan c cy B x a =--，222tan tan c c y A B x a =--，22221c cx y a b -=，∵22221c cx y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，22tan tan 1b A B a =-=-，∵221b a =，e == 故选：A.【点评】本题考查两角和的正切公式，考查双曲线的简单几何性质，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 20．C【分析】根据,,A B P 三点共线得到1λμ+=，计算得到,3bc P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，代入双曲线方程，化简得到答案.【解析】渐近线为：a y x b =±，取y c =，解得bcx a=±，则,,,bc bc A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. OP OA OB λμ=+，且,,A B P 三点共线，故1λμ+=，2259λμ+=， 则1323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，不妨取1323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则,3bc P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 代入双曲线方程得到：222219c c a a -=，即281,94e e ==.故选：C .【点评】本题考查了双曲线的离心率，根据共线得到1λμ+=是解题的关键. 21．D【分析】由题意，求出1c a b =---，分解函数的表达方式为一个一次因式与一个二次因式的乘积，通过函数的零点即可推出a ，b 的关系利用线性规划求解22a b +的取值范围即可. 【解析】依题意得10a b c +++=，故1c a b =---，所以()()()2111f x x x a x a b ⎡⎤=-+++++⎣⎦.另外两根分别是一椭圆、一双曲线的离心率，故()()211g x x a x a b +=++++有两个分别属于()0,1和()1,+∞的零点.故有()00g >且()10g <，即10a b ++>且230a b ++<. 运用线性规划知识，以横轴为a ，以纵轴为b ，作出不等式组10230a b a b ++>⎧⎨++<⎩所表达平面区域,为阴影部分可求得()225,a b +∈+∞.故选D.【点评】椭圆离心率()0,1e ∈，双曲线离心率()1,e ∈+∞，本题考查函数零点问题，线性规划问题，综合性比较强，有一定难度. 22【解析】【分析】设点P 的坐标为(),c t ，求出点M 的坐标2,b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，由APB ∆的外接圆面积取最小值时，APB ∠取到最大值，则()tan tan APB APF BPF ∠=∠-∠，利用基本不等式求出tan APB ∠的最小值，利用等号成立求出t 的表达式，令2bt a=求出双曲线的离心率的值．【解析】如下图所示，将x c =代入双曲线的方程得22221c ya b-=，得2b y a =±，所以点2,b M c a ⎛⎫⎪⎝⎭，设点P 的坐标为()(),0c t t >，由APB ∆的外接圆面积取最小值时，则APB ∠取到最大值，则tan APB ∠取到最大值，tan a c APF t +∠=，tan c aBPF t-∠=，()tan tan tan tan 1tan tan APF BPFAPB APF BPF APF BPF∠-∠∠=∠-∠=+∠⋅∠2222211c a c a aa a t t t c a c ab b b t t t t t +--===≤=+-+⋅++， 当且仅当()20b t t t=>，即当t b =时，等号成立，所以，当t b =时，APB ∠最大，此时APB ∆的外接圆面积取最小值，由题意可得2b b a =，则1b a =，此时，双曲线的离心率为e ==，．【点评】本题考查双曲线离心率的求解，考查利用基本不等式求最值，本题中将三角形的外接圆面积最小转化为对应的角取最大值，转化为三角函数值的最值求解，考查化归与转化思想的应用，运算量较大，属于难题． 23．6【分析】由于线段1PF 的垂直平分线过2F ，所以有122F F PF =，再根据双曲线和椭圆的定义，求出2c 的表达式，然后利用基本不等式来求得最小值.【解析】设椭圆对应的参数为11,,a b c ，双曲线对应的参数为22,,a b c ，由于线段1PF 的垂直平分线过2F ，所以有1222F F PF c ==.根据双曲线和椭圆的定义有11122222PF c a PF c a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，两式相减得到()1242c a a =-，即122a a c -=.所以2121222224222e a a c c e c a c a +=+=++46≥+=，即最小值为6.【点评】本小题考查双曲线的定义和几何性质，考查椭圆的定义和几何性质，是一个综合性较强的题目.由于椭圆和双曲线有公共的焦点，所以焦距相同，也就是有相同c .对于两个曲线的公共交点来说，即满足椭圆的定义，又满足双曲线的定义，根据定义可列出方程.再利用基本不等式可求得最小值.24【分析】在12F PF △中，利用正弦定理：12122sin F F R F PF =∠，求得R =，14r R ==，设12,PF m PF n ==，再利用余弦定理求得mn ，然后由121sin 23F PF Smn π=()122m n c r =++求解． 【解析】双曲线的焦点为()()1212,0,,0,2F c F c F F c -=， 在12F PF △中，由正弦定理得：121222sin 3sin3F F c R F PF π===∠，解得3R c =，146r R ==， 设12,PF m PF n ==，在12F PF △中，由余弦定理得：()222242cos3c m n mn m n mn π=+-=-+，解得()224mn c a =-，所以)12221sin23P F F S c mn a π==-△，因为()()()222222244161612m n m n mn a c a c a +=-+=+-=-又()()12212212F PF m n c Sm n c r ++=++=，)()22212m c a n c ++-=，则221012c a m n c -+=所以()22222210121612c a m n c a c ⎛⎫-+==- ⎪⎝⎭整理得44222136570c a a c +-=，则()()222221360c a c a --=解得c e a ==1e =（舍去）故答案为：7． 【点评】关键点【点评】本题的关键在于结合正余定理以及121sin 23F PF Smn π=()122m n c r =++化简求解．25．4【分析】根据双曲线的定义以及圆的切线定理得到2242GF MF a +-=，进而得到28a =，求出a ，即可求出双曲线的离心率.【解析】解：如图所示：设1AMF 的内切圆在1,AF AM 上的切点分别为,E G ，由双曲线的定义知：122MF MF a -=， 即1242NF MF a +-=， 又112NF EF GF ==， 即2242GF MF a +-=， 即42GM a +=，又4GM MN ==，28a ∴=，即4a =， 则216a =，2426a +=+=，222166=22c a a ∴=++=+，即c =4e ∴=故答案为：4. 【点评】关键点【点评】本题解题的关键是利用双曲线的定义以及切线长定理得到2242GF MF a +-=. 26．2【分析】设(),P x y ，()11,A x y ，()11,B x y --，显然1x x ≠，1x x ≠-，又由点A ，P 在双曲线上得221122222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，结合斜率公式可推得2122b k k a =，令12t k k =，构造函数62ln y t t=+，利用导数求出函数的最小值，然后计算出双曲线的离心率.【解析】设(),P x y ，()11,A x y ，()11,B x y --，显然1x x ≠，1x x ≠-．∵点A ，P 在双曲线上，∵221122222211x y a bx y ab ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式相减得22212221y y b x x a-=-，∵222111122221110AP BPy y y y y y b k k k k x x x x x x a-+-==⋅==>-+-， ∵()2212121212616ln ln 2ln y k k k k k k k k =⋅++=+⋅⋅，设12t k k =，则()62ln 0y t t t=+>， ∵求导得226226t y t t t-'=-+=， ∵62ln y t t=+在()0,3单调递减，在()3,+∞单调递增， ∵当3t =时，62ln y t t=+取最小值，此时2e ===．故答案为：2【点评】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，利用导数求函数的最值，直线的斜率公式，考查了学生的运算求解能力. 27．65【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，将直线的方程和双曲线的方程联立消元得出24121222223,33c b y y y y a b a b-+==--，由4AF FB =可得124y y =-，这几个式子再结合222b c a =-化简可得65c a =【解析】因为直线AB 过点(c,0)F所以直线AB 的方程为：)y x c =-与双曲线22221x y a b-=联立消去x ，得22224103b a y cy b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭设()()1122,,,A x y B x y所以412122233b y y y y a b-+==-因为4AF FB =，可得124y y =-代入上式得4222223343b y y a b--=-=-消去2y 并化简整理得：22243(3)34c a b =- 将222b c a =-代入化简得：223625c a = 解之得65c a =因此，该双曲线的离心率65c e a== 故答案为：65【点评】1.直线与双曲线相交的问题，常将两个的方程联立消元，用韦达定理表示出横（纵）坐标之和、积，然后再结合条件求解 2.求离心率即是求a 与c 的关系.。

高三数学双曲线大题练习题1. 已知双曲线C的焦点为F（2，0），离心率为e=2/3。

双曲线的渐近线方程为y=x-1。

求双曲线方程。

解析：设双曲线C的中心为O（h，k）。

由于双曲线的焦点F（2，0），离心率为e=2/3，可得焦距2ae=2/3。

又根据双曲线的渐近线方程y=x-1，渐近线的斜率为1，又设焦点到渐近线的距离为d，可得它们之间的关系：2a=d。

因此，我们可以得到以下方程组：2ae=2/32a=d代入a=d/2，解得a=1/3，e=2/3。

根据双曲线方程的定义可知，双曲线方程的一般形式为：(x-h)^2 / a^2 - (y-k)^2 / b^2 = 1代入已知条件可得：(x-h)^2 / (1/3)^2 - (y-k)^2 / b^2 = 1即9(x-h)^2 - 3(y-k)^2 = 9综上所述，双曲线C的方程为9(x-h)^2 - 3(y-k)^2 = 9。

2. 已知双曲线的中心为O（1，-2），离心率e=2/3，焦点到直线x-y+1=0的距离为3。

求双曲线方程。

解析：设双曲线的焦点为F（a，b）。

根据离心率的定义可知：e=c/a，其中c为焦点到中心的距离，a为焦点到顶点的距离。

又根据焦点到直线的距离的定义可得：所以，我们可以得到以下方程组：c/a=2/3a^2+b^2=3^2将第一个方程改写为c=2a/3，并代入第二个方程可得：(2a/3)^2+b^2=94a^2/9+b^2=94a^2+9b^2=81又双曲线的中心为O（1，-2），代入可得：4(1)^2+9(-2)^2=814+36=8140=81由此可以看出，该方程无解。

因此，题目中给出的条件存在矛盾。

综上所述，《高三数学双曲线大题练习题》中的第二题给出的条件存在矛盾，因此无法求出双曲线方程。

3. 某公司二次函数销售模型的方程为y=-2x^2+8x+30，其中y代表销量（单位：件），x代表售价（单位：元/件）。

请回答以下问题：a) 该二次函数的开口方向是什么？b) 求销售量的最大值，并确定此时的售价。

双曲线离心率专题一．选择题（共40小题）1．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P，若点P在以线段F1F2为直径的圆，则双曲线离心率的取值围是（）A．（1，2）B．（1，）C．（，2）D．（2，+∞）2．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A，B，点P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β．若=﹣，则C的离心率为（）A．B．C．D．3．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），过原点的一条直线与双曲线交于A，B两点，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=，则该双曲线离心率e的值为（）A．2B．C．2D．4．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为双曲线的两个焦点，若双曲线上存在点P使得，则双曲线离心率的取值围为（）A．（1，+∞）B．[2，+∞）C．D．5．双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c）、F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且以MN为直径的圆过F2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．6．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．圆x2+y2=a2+b2与双曲线C的右支交于点A，且2|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞）的左焦点为F，右顶点为E，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C相交于不同的两点A，B，若△ABE为锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值围为（）A．（1，2）B．（1，2]C．（2，3]D．[2，3）8．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N 在E上，MN∥F1F2，|MN|=|F1F2|，线段F2M交E于点Q．且=，则E的离心率为（）A．B．C．2D．10．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，则C1的离心率为（）A．或B．2或C．2或D．或11．已知F为双曲线C：x2﹣m2y2=3（m＞0）的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为3，则该对曲线的离心率为（）A．B．2C．D．312．设F1，F2分别为椭圆与双曲线C2公共的左、右焦点，两曲线在第一象限交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，若椭圆C1的离心率，则双曲线C2的离心率e2的取值围是（）A．（1，5]B．[2，4]C．[2，5]D．[4，5]13．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的经过点（﹣2，1），则它的离心率为（）A．B．C．D．14．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴为A1A2，虚轴的一个端点为B，若三角形A1A2B的面积为b2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．15．过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为（）A．B．C．D．16．若双曲线C的渐近线与实轴的夹角为，则该双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．17．已知双曲线，四点P1（2，1），P2（1，0），P3（﹣2，），P4（2，）中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．518．若双曲线的渐近线与抛物线相切，则C的离心率为（）A．B．C．2D．19．过双曲线的左焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的右顶点，若点M在以AB为直径的圆的外部，则此双曲线的离心率e 的取值围为（）A．（）B．（1，）C．（2，+∞）D．（1，2）20．已知双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c），F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且MN与抛物线焦点的连线构成等边三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．21．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的切圆在边AF2上的切点为Q，若|F2Q|=2|AQ|，|OA|=b（O是坐标原点）则双曲线C的离心率是（）A．B．C．5D．+122．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线E右支上的一点，若线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点，则双曲线E 的离心率为（）A．B．C．2D．23．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．24．设F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=90°，且|MF1|=2|MF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．2D．25．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若直线1：y=（x+c）（c为双曲线的半焦距）恰好与圆：x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．26．设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M是双曲线右支上一点，|MF2|=|F1F2|，并且sin∠F1MF2=，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．已知双曲线的标准方程，F1，F2为其左右焦点，若P是双曲线右支上的一点，且tan∠PF1F2==2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．28．若双曲线的焦点都在直线x+2y﹣4=0的下方，则C的离心率的取值围为（）A．（4，+∞）B．（1，4）C．（2，+∞）D．（1，2）29．若m＜﹣2，则双曲线的离心率的取值围是（）A．B．C．D．30．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30°，则双曲线M的离心率是（）A．B．C．2D．或231．直线x=2a与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）在第一和第四象限分别交于点M和N．O为坐标原点，A为y轴上一点〔（不与O重合），若∠AOM=∠MON，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．32．双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作实轴的垂线交双曲线C于M，N两点若△MNF1是直角三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．33．已知双曲线﹣=1，经过点M（2，2），则其离心率e=（）A．B．C．D．34．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2=45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．35．已知点P（1，2）在双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线上，则C的离心率是（）A．B．C．D．36．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q两点，PQ⊥PF1，且|PF1|、|PQ|、|F2Q|依次成等差数列，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．37．已知双曲线的渐近线方程为y=，则双曲线的离心率（）A．B．C．或D．或38．设双曲线的一个焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为（）A．B．2C．D．39．若双曲线的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在一点P，满足|PF1|=3|PF2|，则该双曲线的离心率的取值围是（）A．1＜e＜2B．1≤e≤2C．1＜e≤2D．1≤e＜2 40．F为双曲线（a＞0，b＞0）右焦点，M，N为双曲线上的点，四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN的面积为bc，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．双曲线离心率专题参考答案与试题解析一．选择题（共40小题）1．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P，若点P在以线段F1F2为直径的圆，则双曲线离心率的取值围是（）A．（1，2）B．（1，）C．（，2）D．（2，+∞）【解答】解：设F1（﹣c，0），双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线方程为y=（x+c），联立渐近线方程y=﹣x，可得交点P（﹣c，），点P在以线段F1F2为直径的圆，可得（﹣c）2+（）2＜c2，即有＜3，可得双曲线的离心率e==＜2，但e＞1，即1＜e＜2．故选：A．2．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A，B，点P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β．若=﹣，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点P（m，n）是C上异于A，B的一点，可得﹣=1，即有=，设k1=tanα=，k2=tanβ=，k1k2=tanαtanβ===，若=﹣，则==﹣，解得tanαtanβ=5，即b2=5a2，可得双曲线的离心率为e===．故选：D．3．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），过原点的一条直线与双曲线交于A，B两点，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=，则该双曲线离心率e的值为（）A．2B．C．2D．【解答】解：如图，可设|AF|=m，|OF|=c，F'为双曲线的左焦点，连接AF'，BF'，可得四边形AFBF'为矩形，在直角三角形ABF中，∠ABF=，即有|BF|=m，|AF'|=m，2c=2m，2a=m﹣m，则双曲线的离心率e===+1．故选：B．4．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为双曲线的两个焦点，若双曲线上存在点P使得，则双曲线离心率的取值围为（）A．（1，+∞）B．[2，+∞）C．D．【解答】解：设P（m，n），可得m2+n2≥a2，由•=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2=﹣c2，可得m2+n2=c2，则c2≥a2，即有e=≥，故选：C．5．双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c）、F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且以MN为直径的圆过F2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线C2：的准线方程为y=﹣c，焦点坐标为（0，c），由，解得x=±，以MN为直径的圆的方程为x2+（y+c）2=，以MN为直径的圆过F2，可得4c2=，即有4c2a2=（c2﹣a2）2，即为a4﹣6a2c2+c4=0，解得a2=（3﹣2）c2，椭圆的离心率的平方为=1﹣（3﹣2）=2﹣2．故选：C．6．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．圆x2+y2=a2+b2与双曲线C的右支交于点A，且2|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：可设A为第一象限的点，且|AF1|=m，|AF2|=n，由题意可得2m=3n，①由双曲线的定义可得m﹣n=2a，②由勾股定理可得m2+n2=4（a2+b2），③联立①②③消去m，n，可得：36a2+16a2=4a2+4b2，即b2=12a2，则e====，故选：D．7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞）的左焦点为F，右顶点为E，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C相交于不同的两点A，B，若△ABE为锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值围为（）A．（1，2）B．（1，2]C．（2，3]D．[2，3）【解答】解：根据双曲线的对称性，得：△ABE中，|AE|=|BE|，∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角，由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|，∵|AF|==，|EF|=a+c，∴＜a+c，即2a2+ac﹣c2＞0，两边都除以a2，得e2﹣e﹣2＜0，解之得﹣1＜e＜2，∵双曲线的离心率e＞1，∴该双曲线的离心率e的取值围是（1，2），故选：A．8．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），∴渐近线方程为y=±x，因此，点（2，﹣1）在直线y=﹣x上，可得a=4，∴b=2，可得c=2，由此可得双曲线的离心率e==．故选：C．9．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N 在E上，MN∥F1F2，|MN|=|F1F2|，线段F2M交E于点Q．且=，则E的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：F1（﹣c，0），F2（c，0），∵MN∥F1F2，|MN|=|F1F2|，∴M的横坐标为﹣，N的横坐标为，把x=﹣代入﹣=1得：y=±=±b，∴M（﹣，b），∵=，即Q为MF2的中点，∴Q（，），把Q坐标代入双曲线方程得：﹣=1，即﹣+=1，解得e=．故选：B．10．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，则C1的离心率为（）A．或B．2或C．2或D．或【解答】解：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，可得双曲线C1的一条渐近线倾斜角为30°或60°，即有=或，e===或2．故选：B．11．已知F为双曲线C：x2﹣m2y2=3（m＞0）的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为3，则该对曲线的离心率为（）A．B．2C．D．3【解答】解：F为双曲线C：x2﹣m2y2=3（m＞0）的一个焦点（，0），点F到C的一条渐近线x+my=0的距离为3，可得：=3，解得m=，则a=，c=2，双曲线的离心率为：e==2．故选：B．12．设F1，F2分别为椭圆与双曲线C2公共的左、右焦点，两曲线在第一象限交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，若椭圆C1的离心率，则双曲线C2的离心率e2的取值围是（）A．（1，5]B．[2，4]C．[2，5]D．[4，5]【解答】解：∵F1，F2为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2的左右焦点，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，∴|MF2|=|F1F2|=2c，∵椭圆C1的离心率e1∈[，]，∴当e1=时，=，解得c=，双曲线C2的离心率e2==2，当e1=时，=，解得c=，双曲线C2的离心率e2==5，∴双曲线C2的离心率取值围是[2，5]．故选：C．13．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的经过点（﹣2，1），则它的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（2，﹣1），可得2b﹣a=0，即4c2﹣4a2=a2，可得4c2=5a2e=．故选：A．14．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴为A1A2，虚轴的一个端点为B，若三角形A1A2B的面积为b2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设B（0，b），则|A1A2|=2a，∵三角形A1A2B的面积为b2，∴S=×2a•b=ab=b2，即a=b，则离心率e====，故选：A．15．过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：x=2a时，代入双曲线方程可得y=±b，取P（2a，﹣b），∴双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线的斜率为，∴=∴e==2+．故选：B．16．若双曲线C的渐近线与实轴的夹角为，则该双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．【解答】解：∵双曲线不妨设为：（a＞0，b＞0）的渐近线与实轴的夹角为30°，∴a=b，∴c==2b，∴e===．故选：D．17．已知双曲线，四点P1（2，1），P2（1，0），P3（﹣2，），P4（2，）中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5【解答】解：根据双曲线的性质可得P3（﹣2，），P4（2，）中在双曲线上，则P1（2，1），一定不在双曲线上，则P2（1，0）在双曲线上，∴a=1，，解得b2=，∴c2=a2+b2=，∴c=，∴e==，故选：A．18．若双曲线的渐近线与抛物线相切，则C的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±x，所以其中一条渐近线方程为y=x，又因为渐近线与抛物线y=x2+相切，所以，消去y得x=x2+，即x2﹣x+=0，所以△=﹣4×1×=0，解得b=a，又c2=a2+b2，所以c2=a2，所以离心率e==．故选：A．19．过双曲线的左焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的右顶点，若点M在以AB为直径的圆的外部，则此双曲线的离心率e 的取值围为（）A．（）B．（1，）C．（2，+∞）D．（1，2）【解答】解：设双曲线方程为，a＞0，b＞0则直线AB方程为：x=﹣c，因此，设A（﹣c，m），B（﹣c，﹣m），∴，解之得m=，得|AF|=，∵双曲线的左焦点M（﹣a，0）在以AB为直径的圆外部，∴|MF|＞|AF|，即a+c＞，将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＞0，两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＜0，∵e＞1，解之得1＜e＜2，故选：D．20．已知双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c），F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且MN与抛物线焦点的连线构成等边三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线C2：的准线方程为y=﹣c，焦点坐标为（0，c）由，解得x=±，则MN=，∵MN与抛物线焦点的连线构成等边三角形，∴=tan60°=，∴2ac=b2=（c2﹣a2），即2e=（e2﹣1），解得e=，∴椭圆的离心率为==，故选：B．21．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的切圆在边AF2上的切点为Q，若|F2Q|=2|AQ|，|OA|=b（O是坐标原点）则双曲线C的离心率是（）A．B．C．5D．+1【解答】解：设△PAF2的切圆在边PF2上的切点为M，在AP上的切点为N，则|PM|=|PN|，|AQ|=|AN|，|QF2|=|MF2|，由双曲线的对称性可得|AF1|=|AF2|=|AQ|+|QF2|，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=|PA|+|AF1|﹣|PM|﹣|MF2|=+|AN|+|NP|﹣|PM|﹣|QF2|=+|AQ|﹣|QF2|=﹣|AQ|=﹣==2a，化为9a2=2c2﹣a2，即5a2=c2，离心率e==．故选：B．22．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线E右支上的一点，若线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点，则双曲线E 的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：由已知中点P是双曲线E右支上的一点，线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点，可得P点横坐标为c，则P为通径的一个端点，则，即b=2a，则c==，故双曲线E的离心率e=，故选：D．23．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，即=，∴b=a，∴c==a，∴双曲线的离心率为e===．故选：D．24．设F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=90°，且|MF1|=2|MF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：设F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=90°，且|MF1|=2|MF2|，设|MF2|=t，|MF1|=2t，（t＞0）双曲线中2a=|MF1|﹣|MF2|=t，2c==t=2a，∴离心率为，故选：D．25．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若直线1：y=（x+c）（c为双曲线的半焦距）恰好与圆：x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：直线1：y=（x+c）（c为双曲线的半焦距）恰好与圆：x2+y2=a2相切，可得=a，化简可得c=2a，即e==2，故选：C．26．设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M是双曲线右支上一点，|MF2|=|F1F2|，并且sin∠F1MF2=，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设|MF2|=|F1F2|=2c，并且sin∠F1MF2=，可得cos∠F1MF2==，由双曲线的定义可得|MF1|=2a+|MF2|=2a+2c，在△MF1F2中，可得cos∠F1MF2===，即4c=5a，即e==．故选：B．27．已知双曲线的标准方程，F1，F2为其左右焦点，若P是双曲线右支上的一点，且tan∠PF1F2==2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设P（m，n），可得﹣=1，F1（﹣c，0），F2（c，0）为其左右焦点，可得直线PF1的斜率k1=，直线PF2的斜率k2=，k2=﹣2，k1=，即为=，=﹣2，解得m=c，n=c，则﹣=1，由b2=c2﹣a2，e=可得9e2﹣=25，化为9e4﹣50e2+25=0，即为e2=5（＜1舍去），可得e=．故选：A．28．若双曲线的焦点都在直线x+2y﹣4=0的下方，则C的离心率的取值围为（）A．（4，+∞）B．（1，4）C．（2，+∞）D．（1，2）【解答】解：双曲线的焦点（0，±），双曲线的焦点都在直线x+2y﹣4=0的下方，可得：2﹣4＜0，解得b2＜3，因为a=1，所以c∈（1，2）．∴双曲线C的离心率的取值围为：（1，2）．故选：D．29．若m＜﹣2，则双曲线的离心率的取值围是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，双曲线中，a=1，c=，m＜﹣2，其离心率e==，故选：A．30．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30°，则双曲线M的离心率是（）A．B．C．2D．或2【解答】解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30°，则这条渐近线与x轴的夹角为60°，∴=tan60°=，∴e===2．故选：C．31．直线x=2a与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）在第一和第四象限分别交于点M和N．O为坐标原点，A为y轴上一点〔（不与O重合），若∠AOM=∠MON，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：直线x=2a与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）在第一和第四象限分别交于点M和N．O为坐标原点，A为y轴上一点〔（不与O重合），∠AOM=∠MON，可得∠AOM=∠MON=60°，所以M（2a，），所以，∴b=，e===，故选：C．32．双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作实轴的垂线交双曲线C于M，N两点若△MNF1是直角三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作实轴的垂线交双曲线C于M，N两点，不妨M在第一象限，若△MNF1是直角三角形，可得M（c，2c），可得，即，e＞1，解得e2=3+2，可得e=1+．故选：B．33．已知双曲线﹣=1，经过点M（2，2），则其离心率e=（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣=1，经过点M（2，2），可得﹣=1，解得m=4，则双曲线的a=，b=2，c=，则其离心率e==，故选：A．34．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2=45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：如图，OM⊥PF1，ON⊥PF1，依题意|OM|=a，|NF2|=2a，∵且∠F1PF2=45°，可知三角形PF2N是一个等腰直角三角形，∴|PF2|=2a，|PF1|=2a+2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得：（2c）2=（2a+2a）2+（2a）2﹣2×，化简得c2=3a2，∴该双曲线的离心率为．故选：B．35．已知点P（1，2）在双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线上，则C的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：点P（1，2）在双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，可得：，即b=2a，所以e===．故选：D．36．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q两点，PQ⊥PF1，且|PF1|、|PQ|、|F2Q|依次成等差数列，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：可设P，Q为双曲线右支上一点，设|PF2|=m，|QF2|=n，|F1F2|=2c，由双曲线的定义可得|PF1|=2a+m，|QF1|=2a+n，且|PF1|、|PQ|、|F2Q|依次成等差数列，可得2|PQ|=|PF1|+|QF2|，即2（m+n）=2a+m+n，即|PQ|=2a，由PQ⊥PF1，在直角△PF1Q中，|QF1|2=|PF1|2+|PQ|2，即（4a﹣m）2=（2a+m）2+4a2，解得m=a，|PF1|=2a+m=a，由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即a2+a2=4c2，化为e2==，即e=，故选：A．37．已知双曲线的渐近线方程为y=，则双曲线的离心率（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵双曲线的焦点在x轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）可得双曲线的渐近线方程是y=x结合题意双曲线的渐近线方程是y=±x，∴2b=a，可得c==a因此，此双曲线的离心率e==．当双曲线的焦点在y轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）可得双曲线的渐近线方程是y=x结合题意双曲线的渐近线方程是y=±x，∴b=2a，可得c==a因此，此双曲线的离心率e==．故选：C．38．设双曲线的一个焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为（）A．B．2C．D．【解答】解：双曲线的一个焦点为F（0，﹣c），渐近线方程为y=±x，若，可得BF=2FA，由F到渐近线y=x的距离FA==b，BF=2b，在直角三角形OAF中，OF=c，可得OA==a，在直角三角形OAB中，可得OB=，由OF为∠AOB的平分线可得=，即=，化为a2=3b2，由b2=c2﹣a2，可得3c2=4a2，则e==．故选：C．39．若双曲线的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在一点P，满足|PF1|=3|PF2|，则该双曲线的离心率的取值围是（）A．1＜e＜2B．1≤e≤2C．1＜e≤2D．1≤e＜2【解答】解根据双曲线定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a，即3|PF2|﹣|PF2|=2a．∴a=|PF2|，|PF1|=3a在△PF1F2中，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，2c＜4|PF2|，c＜2|PF2|=2a，∴＜2，当p为双曲线顶点时，=2又∵双曲线e＞1，∴1＜e≤2故选：C．40．F为双曲线（a＞0，b＞0）右焦点，M，N为双曲线上的点，四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN的面积为bc，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．【解答】解：设M（x0，y0），x0＞0，y0＞0．∵四边形OFMN为平行四边形，∴，∵四边形OFMN的面积为bc，∴|y0|c=bc，即|y0|=b，∴，代入双曲线方程得，∵e＞1，∴．故选：B．。